S&SII

Engenharia de Telecomunicao Sistemas e Sinais II USM S&SII.pdf Prof. Mrio Ricci e-mail: [email protected]

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Aula 01 - Contedo

1) Apresentao da disciplina Sinais e sistemas Ementa, objetivos, programa, critrios de avaliao, bibliografia bsica, etc.

2) Introduo aos sistemas de comunicao 2.1) Multiplexao no domnio da freqncia e no domnio do tempo 2.2) Interpretao grfica da convoluo 2.3) Convoluo de uma funo com o impulso unitrio 2.4) Teoremas da modulao e da amostragem

2.4.1) A modulao a partir do teorema da convoluo 2.4.2) O teorema da amostragem a partir do teorema da convoluo

2.4.2.1) Recuperando f(t) de suas amostras 2.4.2.2) Sistemas de comunicao

2.5) Problemas

1) Apresentao da disciplina

Ementa, objetivos, programa, critrios de avaliao, bibliografia e cronograma de atividades da disciplina.

2) Introduo aos sistemas de comunicao

A engenharia de comunicao trata da transmisso de vrios sinais de um ponto a outro. Deparamo-nos com este problema nas transmisses de rdio e televiso, na comunicao longa distncia por linhas telefnicas, na comunicao de satlites, nos sistemas de controle remoto, na telemetria, etc. Neste curso estudaremos alguns dos sistemas de comunicao.

Os sinais so transmitidos de um ponto a outro atravs de um canal que pode ter a forma de uma linha de transmisso (tal como um canal de telefone) ou meramente de um espao aberto em que os sinais, que carregam a informao desejada, so irradiados (como transmisses de rdio e televiso, comunicao de satlites, etc.). Cada um dos sinais a ser transmitido geralmente tem uma largura de faixa finita e pequena comparada largura de faixa disponvel no prprio canal. Conseqentemente, um desperdcio transmitir um sinal de cada vez no canal. O canal estar sendo operado muito abaixo de sua capacidade de transmitir a informao. No se pode, entretanto, transmitir diretamente mais de um sinal de cada vez porque isto causar uma interferncia entre os sinais, e ser impossvel recuperar os sinais individuais na extremidade de recepo. Isto significa que no possvel, por um mtodo direto, transmitir mais de uma conversao em uma linha telefnica ou irradiar mais de uma estao de rdio ou de televiso de cada vez. Vamos ver que atravs de tcnicas de multiplexao no domnio da freqncia ou no domnio do tempo possvel transmitir simultaneamente diversos sinais em um canal.

2.1) Multiplexao no domnio da freqncia e no domnio do tempo

Como mencionado anteriormente, um desperdcio transmitir apenas um sinal de cada vez em um canal. Poderamos eliminar esse problema, entretanto, se pudssemos


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deslocar o espectro de freqncia de vrios sinais de modo que ocupassem diferentes faixas de freqncia sem que essas faixas se sobreponham. possvel deslocar o espectro de freqncia de um sinal modulando-o (isto , multiplicando o sinal por um sinal senoidal). Conseqentemente, possvel transmitir ao mesmo tempo um grande nmero de sinais em um canal usando tcnicas de modulao.

Para o caso de diversos sinais, o espectro de cada sinal individual transladado de uma quantidade apropriada de modo que no haja nenhuma superposio entre os espectros dos vrios sinais. Na extremidade de recepo, os vrios sinais podem ser separados usando filtros apropriados. Os espectros individuais que so assim separados, entretanto, no representam o sinal original porque foram transladados de sua posio original. Ento, para obter o sinal original, cada espectro individual transladado novamente de uma quantidade apropriada para traz-lo de volta a sua forma original.

A modulao, entretanto, serve tambm a uma outra finalidade muito til para os sistemas que transmitem sinais irradiando-os pelo espao. Pode ser mostrado da teoria de ondas eletromagnticas que um sinal pode ser irradiado eficazmente somente se a antena de irradiao da ordem de um dcimo ou mais do comprimento de onda que corresponde s freqncias dos sinais irradiados. Para a fala humana, a mxima freqncia aproximadamente 10.000 cps, que corresponde a um comprimento de onda mnimo de 30.000 metros. Assim, para irradiar as ondas eletromagnticas correspondentes faixa de freqncia da voz humana, seria necessria uma antena de vrios quilmetros de comprimento. Isto impraticvel. O processo da modulao desloca o espectro de freqncia para qualquer faixa mais elevada desejada de freqncia o que facilita a irradiao por ondas eletromagnticas. Na prtica todos os sinais de rdio e televiso so modulados, assim de fato o espectro de freqncia do sinal desejado deslocado para uma faixa de freqncia muito elevada. A modulao, conseqentemente, permite no somente a transmisso simultnea de diversos sinais, sem a interferncia de um com outro, mas tambm torna possvel transmitir (irradiar) estes sinais de uma forma eficaz.

O processo da modulao discutido acima no a nica maneira de transmitir vrios sinais simultaneamente em um canal. Agora vamos mostrar que um sinal de largura de faixa limitada (um sinal que no tem componentes espectrais alm de uma determinada freqncia mf cps) unicamente especificado por seus valores a intervalos de ( )mf2/1 segundos (teorema da amostragem uniforme). Ser mostrado que o sinal completo pode ser reconstrudo a partir do conhecimento do sinal nestes instantes apenas. Portanto, somente necessrio transmitir as amostras do sinal nestes nmeros finitos de instantes. Assim, o canal ocupado somente nestes instantes e no transmite nenhum sinal o resto do tempo. Durante este perodo de inatividade pode-se transmitir amostras de outros sinais. possvel, assim, intercalar amostras de diversos sinais no canal. Na extremidade de recepo, estas amostras podem ser separadas por um detector sncrono apropriado.

Portanto, podemos transmitir diversos sinais simultaneamente em um canal, desde que estes sinais possam ser separados na extremidade de recepo. Cada sinal pode ser especificado no domnio do tempo ou no domnio da freqncia. Conseqentemente, na extremidade de recepo, possvel recuperar os sinais individuais tanto no domnio do tempo quanto no domnio da freqncia. No mtodo da translao em freqncia, todos os sinais so misturados no domnio do tempo, mas seus espectros so separados de tal forma que ocupam diferentes faixas de freqncia. Na extremidade de recepo, possvel recuperar os vrios sinais individuais usando filtros apropriados. At aqui, ns recuperamos


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o espectro dos sinais individuais, e, portanto, este mtodo realmente separa, na extremidade de recepo, os vrios sinais no domnio da freqncia. Esta abordagem, onde diferentes sinais compartilham diferentes intervalos de freqncia, conhecida como multiplexao em freqncia. Na ltima abordagem, as amostras de vrios sinais so intercaladas, e as amostras de sinais individuais podem ser separadas na extremidade de recepo pelo detector sncrono apropriado. Neste mtodo realmente os vrios sinais so recuperados no domnio de tempo. Ser visto mais adiante que os espectros de freqncia de todos estes sinais ocupam a mesma faixa de freqncia e so misturados realmente. Esta abordagem, onde todos os sinais compartilham os diferentes intervalos do tempo, conhecida como multiplexao temporal.

Ambas estas tcnicas podem ser estudadas convenientemente, usando o teorema da convoluo. Este teorema talvez a ferramenta mais poderosa na anlise em freqncia e na teoria de comunicao. O teorema da modulao e o teorema da amostragem so casos meramente especiais do teorema da convoluo. O estudo da convoluo e sua interpretao grfica em detalhe so de grande importncia. O conceito da convoluo ser usado extensivamente para estudar sistemas de comunicao bsicos. Faremos uma breve reviso do teorema da convoluo e mostraremos que o teorema da amostragem e o teorema da modulao so casos especiais do teorema da convoluo.

2.2) Interpretao grfica da convoluo

A interpretao grfica da convoluo muito til em anlise de sistemas e na teoria da comunicao. Ela permite que o aluno capte visualmente os resultados de muitas relaes abstratas. Isso particularmente verdade na teoria da comunicao. Em sistemas lineares, se ( )tf e ( )th so conhecidas graficamente, a convoluo grfica ajuda bastante a anlise. Para efeito de ilustrao, vamos considerar ( )tf um pulso retangular e ( )th um pulso triangular. Vamos encontar a convoluo ( ) ( )thtf graficamente. Por definio,

( ) ( ) ( ) ( )+

dthfthtf .

A varivel independente na integral de convoluo . Dadas as funes ( )f e ( )h abaixo com 0,,, >dcba , calcular ( ) ( )thtf .

1 ( )f

( )h

b a

c d


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Primeiro obtm-se a funo ( )h girando a funo ( )h de 180o em torno do eixo vertical. Depois, obtm-se a funo ( )th deslocando-se a funo ( )h de t unidades para a direita.

Agora deve-se variar t de at + , ou seja, devemos fazer com que a funo tringulo passeie ao longo da reta , no sentido da esquerda para a direita, desde at

+ . Verifique que de =t at cat =+ , ou seja, ( )catt +== 1 , as duas funes ( )f e ( )th no se sobrepem (figura abaixo). O mesmo acontece para o intervalo que

vai de dbt = , ou seja, dbt += , at =t . Se no h superposio de grficos significa que a integral de convoluo zero nesses dois intervalos.

( ) ( ) 1thf

1

at +

b a

( )h

( )th t

bt

( )f

c d b ( )1th

at +1 bt 1

( )act +=1


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medida que t avana o triangulo se move para a direita. O grfico de ( )f permanece imvel. A figura acima mostra o instante 1tt = onde o grfico triangular comea a se sobrepor com o grfico de ( )f . Repare que para 1tt o produto ( ) ( ) thf zero para qualquer valor de .

No caso de ocorrer superposio o valor de ( ) ( )thtf dado pela rea debaixo da curva ( ) ( ) thf . A figura abaixo mostra um dado instante 2tt = onde o grfico triangular se sobrepe ao grfico de ( )f . O valor de ( ) ( )22 thtf ( ( ) ( )thtf calculado em 2tt = ) a rea debaixo da curva ( ) ( ) 2thf .

Escolhemos diferentes valores para t, deslocamos ( )th para a direita de acordo com cada valor de t, e encontramos a rea sob a curva produto para cada valor de t. Essas reas representam o valor da funo de convoluo ( ) ( )thtf calculada nos respectivos valores de t. O grfico das reas sob a curva produto em funo de t representa a funo de convoluo ( ) ( )thtf desejada.

t bt

db + bt

cb bt

ad bt

( )ca +

d

bt 2

( ) ( ) 2thf

( )2thc

1

( )f

b

2t

at +2

( ) ( )thtf


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Observe que para encontrar a funo de convoluo ( ) ( )thtf para valores positivos de t, deslocamos a curva no sentido positivo de . Para encontrar a funo de convoluo ( ) ( )thtf para valores negativos de t, deslocamos a curva no sentido negativo de .

A convoluo comutativa, ou seja, a convoluo de ( )tf com ( )th igual a convoluo de ( )th com ( )tf , ou seja,

( ) ( ) ( ) ( )tfththtf = .

Portanto, poderamos manter ( )th fixa tomando a imagem espelhada de ( )tf nas figuras acima que daria o mesmo resultado.

2.3) Convoluo de uma funo com o impulso unitrio

A convoluo de uma funo ( )tf com a funo impulso unitrio ( )t reproduz a prpria funo ( )tf . Isso ser mostrado a seguir. Seja,

( ) ( )Ftf .

Uma vez que

( ) 1t ,

tem-se pelo teorema da convoluo temporal (visto mais adiante na pg. 8) que

( ) ( ) ( ) Fttf .

evidente, ento, que

( ) ( ) ( )tfttf = .

Conclui-se, ento, que a convoluo de uma funo ( )tf com a funo impulso unitrio ( )t reproduz a prpria funo ( )tf .

Esse resultado pode ser obtido pela integral de convoluo. Por definio,

( ) ( ) ( ) ( )+

= dtfttf .

Usando a propriedade da comutatividade, tem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

== dtftftttf .


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Observe que ( ) existe somente em 0= , sendo zero para qualquer outro valor de . Ento o integrando zero para qualquer valor de exceto 0= . Conseqentemente, a funo ( )tf tem significado somente para 0= , e, portanto, pode ser substituda por ( )tf . Assim,

( ) ( ) ( ) ( )+

= dtfttf .

( ) ( )+

= dtf

( )tf= . Ento,

( ) ( ) ( )tfttf = .

Este resultado tambm evidente graficamente. O aluno pode observar esse resultado fazendo a convoluo de ( )tf com ( )t graficamente como foi discutido na seo anterior. Uma simples extenso da frmula anterior produz

( ) ( ) ( )TtfTttf = , ( ) ( ) ( )2121 tttfttttf = , ( ) ( ) ( )2121 ttttttt = .

Exemplo:

Encontre graficamente a convoluo de ( )tf com o par de impulsos de intensidade k, ( )th .

De acordo como procedimento grfico da convoluo, descrito na seo anterior, devemos dobrar ( )h em torno do eixo das ordenadas para obter ( )h . Uma vez que a funo ( )h uma funo par, ( ) ( ) = hh .

k

( )th

( )tf

T T

T T

A

t

t

a


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Agora deve-se variar t de at + , ou seja, devemos fazer com que os impulsos trafeguem ao longo da reta , no sentido da esquerda para a direita, desde at + . Verifique que de =t at ( )22 /aTt += no h sobreposio de funes. O mesmo acontece para o intervalo que vai de 22 /aTt += at =t . A partir de

( )22 /aTt += o impulso que estava originalmente em T= comea a reproduzir o pulso triangular centrado em T= . Em ( )22 /aTt = teremos um pulso triangular de altura Ak centrado em Tt 2= . Continuando com o deslocamento dos impulsos para a direita, em 2/at = o impulso que estava originalmente em T= comea a reproduzir o pulso triangular centrado em T= e o impulso que estava originalmente em T= comea a reproduzir o pulso triangular centrado em T= . Em 2/at = um tringulo de altura 2Ak estar produzido e centrado em 0=t . Continuando com o deslocamento dos impulsos para a direita, a partir de 22 /aTt = o impulso que estava originalmente em

T= comea a reproduzir o pulso triangular centrado em T= . Em 22 /aTt += teremos um pulso triangular de altura Ak e centrado em Tt 2= . O resultado final mostrado abaixo.

2.4) Teoremas da modulao e da amostragem

possvel mostrar que se

( ) ( )11 Ftf ( ) ( )22 Ftf

ento

( ) ( ) ( ) ( ) 2121 FFtftf (teorema da convoluo no tempo)

e

( ) ( ) ( ) ( )[ ]pi 2121 21 FFtftf (teorema da convoluo na freqncia)

( ) ( )thtf

Ak

Ak2

T2 T2 t a a


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Assim, a convoluo de duas funes no domnio de tempo equivalente multiplicao de seus espectros no domnio da freqncia. Da mesma forma, a multiplicao de duas funes no domnio de tempo implica uma convoluo de seus espectros no domnio da freqncia.

J mostramos que a convoluo da funo impulso unitrio com uma funo f(t) reproduz a prpria funo, isto ,

( ) ( ) ( )tfttf = (1a) ( ) ( ) ( ) = tfttf (1b)

O teorema da modulao e o teorema da amostragem sero obtidos, agora, usando o conceito de convoluo.

2.4.1) A modulao a partir do teorema da convoluo

Vamos mostrar agora que o teorema da modulao realmente um caso especial do teorema da convoluo (convoluo em freqncia). Um sinal senoidal ( )tccos dito ser modulado em amplitude por um sinal ( )tf quando o sinal ( )tccos multiplicado por

( )tf . A funo densidade espectral (espectro) do sinal modulado em amplitude, ( ) ( )ttf ccos , ser agora determinado. Modulao representa obviamente a multiplicao

de dois sinais, ( )tf e ( )tccos , no domnio do tempo, e assim a funo densidade espectral do sinal modulado ( ) ( )ttf ccos obtida pela convoluo das funes densidade espectrais de ( )tf e ( )tccos .

Seja ( )F representando a transformada de Fourier (funo densidade espectral) de ( )tf . A transformada de ( )tccos dada por dois impulsos ( ) ( )[ ]cc pi ++ . Ou seja, dois impulsos de intensidade pi ocorrendo em c = . Assim

( ) ( )Ftf e

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ccct pi ++ cos .

Como observa-se vamos chamar daqui para frente estes dois impulsos no domnio da freqncia de ( ) . Portanto, de acordo com o teorema da convoluo

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]ccc FFttf pi ++= 21

21

cos

Das equaes (1) tem-se

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ccc FFttf ++ 21

cos . (2a)


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Da mesma forma possvel mostrar que

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ccc FFjttf + 2sin . (2b)

Portanto, das equaes (2) conclui-se que a multiplicao de um sinal ( )tf por um sinal senoidal de freqncia c , translada o espectro de ( )tf de c .

Fig. 1

Podemos obter os resultados das equaes (2) diretamente do grfico da convoluo de ( )F com o espectro de ( )tccos . ( )F em geral pode ser complexa e represent-la como um funo real na varivel , como feito na Fig 1, pode no ser adequado. Mas, suficiente para indicar a linha de raciocnio usada na avaliao da convoluo por tcnicas grficas. Rotacionamos ( ) em torno do eixo vertical 0= .


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Uma vez que ( ) uma funo par, a funo rotacionada a mesma que ( ) . Avanando, agora, os dois impulsos no sentido positivo, e definindo uma nova varivel com origem na posio original dos impulsos, tem-se que at sc = a convoluo zero. Mas, para alm desta freqncia, o impulso localizado originalmente em c reproduzir ( )F em c = . Da mesma forma, movendo o par dos impulsos no sentido negativo, o outro impulso reproduzir ( )F em c = . Uma vez que os impulsos tm uma intensidade pi , tem-se

( ) ( ) ( ) ( )[ ]cc FFF pi ++= .

Assim,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ccc FFttf ++ 21

cos .

Da mesma forma, possvel mostrar que

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ccc FFjttf + 2sin .

2.4.2) O teorema da amostragem a partir do teorema da convoluo

O teorema da amostragem tem um significado profundo na teoria de comunicao.

Um sinal de largura de banda limitada, que no tenha nenhum componente espectral acima de uma dada freqncia mf ciclos/s, unicamente determinado conhecendo-se apenas os valores do sinal a intervalos separados uniformemente e menores que mf/ 21 s.

Este teorema conhecido como o teorema da amostragem uniforme uma vez que especifica o sinal por suas amostras em intervalos uniformes de mf/ 21 segundos1. Isto implica que se a transformada de Fourier de f(t) zero acima de uma certa freqncia

mm fpi 2= , ento a informao completa sobre f(t) est contida em suas amostras espaadas uniformemente de uma distncia menor que mf/ 21 s. Isto ilustrado na Fig. 2. A funo f(t) amostrada uma vez a cada T segundos ( )mf/T 21 ou a uma taxa maior que ou igual a mf2 amostragens por segundo. As amostras sucessivas so rotuladas de f0,

1 Este teorema na realidade um caso especial do teorema geral da amostragem que atestado a seguir: se

um sinal tem largura de banda limitada e se o intervalo de tempo dividido em partes iguais formando subintervalos tais que cada subdiviso compreende um intervalo de T segundos, onde T menor que 1/2fm, e se uma amostra tomada em qualquer instante dentro de cada subintervalo, ento o conhecimento do valor instantneo de cada amostra mais o conhecimento dos instantes dentro de cada subintervalo em que a amostra foi retirada contm toda a informao do sinal original. Ver, por exemplo, H. S. Black, Modulation Theory, Van Nostrand, New York, 1953, p.41.


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f1, f2, ..., etc. Segue do teorema da amostragem que essas amostras contm a informao de f(t) para todo valor de t. Portanto, a taxa de amostragem deve ser no mnimo o dobro da mais alta freqncia mf contida no espectro de f(t). Dizendo de outra forma, o sinal deve ser amostrado pelo menos duas vezes durante cada perodo ou ciclo de seu componente de freqncia mais elevada.

Fig. 2

O teorema da amostragem pode ser facilmente provado com a ajuda do teorema da convoluo em freqncia. Considere um sinal f(t) com largura de banda limitada que no tenha nenhum componente espectral acima de fm ciclos por segundo. Isto significa que

( )F , a transformada de Fourier de f(t), zero para ( )mmm fpi 2 => . Multipliquemos a funo f(t) por uma funo impulso peridica ( )tT (Fig. 3c),

( ) ( )+=

=

n

n

T nTtt .

A funo produto uma seqncia de impulsos, localizados a intervalos regulares de T segundos, com intensidades iguais aos valores de f(t) nos instantes correspondentes. O produto ( ) ( )ttf T representa certamente a funo f(t) amostrada a intervalos regulares de T segundos. Denotaremos esta funo amostrada por fs(t) (veja Fig. 3e):

( ) ( ) ( )ttftf Ts = .

O espectro de freqncia de f(t) ( )F . possvel mostrar que a transformada de Fourier do trem de impulsos regulares ( )tT tambm um trem de impulsos regulares

( ) 00 (Fig. 3d) de intensidade 0 e separados por um intervalo uniforme T/pi 20 = .

( ) ( ) 00tT .

A transformada de Fourier de ( ) ( )ttf T ser dado, de acordo com o teorema da convoluo em freqncia, pela convoluo de ( )F com ( ) 00 .

( ) ( ) ( )[ ]pi 0021

Ftf s .


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Substituindo 0 por T/pi2 , tem-se

( ) ( ) ( )[ ] 01 FTtf s . (3)

Fig. 3

evidente da Equao (3) que o espectro do sinal amostrado fs(t) dado pela convoluo de ( )F com um trem de impulsos. As Funes ( )F e ( )0 (mostradas nas Figs. 3b e 3d, respectivamente) - ( )0 difere de ( ) 00 apenas em intensidade - podem ser convolucionadas graficamente pelo procedimento j abordado em aula. Para executar esta operao, rotacionamos ( )0 em torno do eixo vertical 0= . Uma vez que ( )0 uma funo par, a funo rotacionada a mesma que ( )0 . Para executar a


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operao de convoluo, avana-se, agora, todo o trem de impulsos ( )0 no sentido positivo de . Cada impulso que passar em baixo de ( )F reproduz a mesma. Uma vez que os impulsos so espaados de uma distncia de T/pi 20 = , a operao de convoluo acaba repetindo ( )F a cada intervalo de 0 rd/s como mostra a Fig. 3f. A funo densidade espectral (transformada de Fourier) de fs(t) , portanto, a mesma de ( )F mas repetida periodicamente a cada intervalo de 0 rd/s. Essa funo ser designada por ( )sF . Note que ( )F se repetir periodicamente sem sobreposio se m 20 , ou

( )mfT pipi 222

que ,

mfT

21 . (4)

Portanto, sempre que ( )tf for amostrada a intervalos regulares menores que mf/ 21 segundos de comprimento, ( )sF , a funo densidade espectral de ( )tf s , ser uma

rplica peridica de ( )sF e, portanto, contm toda a informao de ( )tf . Podemos facilmente recuperar ( )F a partir de ( )sF permitindo que o sinal amostrado passe atravs de um filtro passa-baixas que ir somente permitir componentes de freqncia abaixo de mf , atenuando todos os componentes de freqncia acima desse valor. , portanto, evidente que a funo amostrada ( )tf s contm toda a informao de ( )tf . Para recuperar ( )tf a partir de ( )tf s , permite-se que a funo amostrada ( )tf s passe atravs de um filtro passa-baixas que somente permite componentes de freqncia abaixo de mf e atenua os componentes de freqncia acima de mf . A caracterstica ideal para o filtro mostrada na Fig. 3f em linha tracejada.

Observe que se o intervalo de amostragem T torna-se maior que mf/ 21 , ento a convoluo de ( )F com ( )0 fornece ( )F periodicamente. Mas, agora, h uma superposio entre ciclos sucessivos, e ( )F no pode ser recuperada a partir de ( )sF . Portanto, se o intervalo de amostragem muito longo a informao parcialmente perdida, e o sinal ( )tf no pode ser recuperado do sinal amostrado ( )tf s . Esta concluso bastante lgica uma vez que razovel esperar que se perca informao se a amostragem muito lenta. O mximo intervalo de amostragem mf/T 21= tambm chamado de intervalo de Nyquist.

Na discusso precedente ( ) ( ) 0F foi obtida graficamente. O mesmo resultado tambm pode ser obtido por um procedimento analtico. Tem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ++++= 000 n


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( ) ( ) ++++++ 00 n ( )

=

=

n

n 0 .

Da Equao 3, tem-se que

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

==

=n

s nFTF

TF 0

110

( ) ( )

=

=n

nFT 01

.

Da Equao 1, segue que

( ) ( )

=

=

n

s nFTF 0

1 . (5)

O lado direito da Equao (5) representa a funo ( )F se repetindo a cada intervalo de 0 rd/s. Este exatamente o mesmo resultado obtido pela convoluo grfica.

2.4.2.1) Recuperando f(t) de suas amostras

Como foi discutido anteriormente, a funo original pode ser recuperada passando a funo amostrada atravs de um filtro passa-baixas com uma freqncia de corte m . Isto obviamente uma operao no domnio da freqncia. Devido dualidade entre o domnio da freqncia e o domnio do tempo, h uma operao equivalente no domnio do tempo para recuperar ( )tf de suas amostras. Vamos explorar esta possibilidade.

Considere um sinal ( )tf amostrado a uma taxa mnima requerida ( mf2 amostragens por segundo). Nesse caso

mfT

21

= e mmfT pipi

2420 === .

Assim a Equao (5) torna-se

( ) ( )

=

=

n

s nFTF 02

1 . (6a)

Como observado anteriormente, o espectro de ( )F pode ser obtido filtrando ( )sF atravs de um filtro passa-baixas com uma freqncia de corte m . bvio que tal

operao de filtragem equivalente a multiplicar ( )sF por uma funo de porta ( )mG2 . Assim, da Equao 6a, tem-se


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( ) ( ) ( ) FTGF ms1

2 = .

Portanto,

( ) ( ) ( ) mGTFF s 2= . (6b)

Aplicando o teorema da convoluo temporal a Equao 6b, obtm-se

( ) ( ) ( )tSatTftf mms pi

=

( ) ( )tSatf ms = . (6c)

A funo amostrada ( )tf s dada por

( ) ( ) =n

ns nTtftf

onde nf a n-sima amostra de ( )tf . Assim

( ) ( ) ( ) =n

mn tSanTtftf

( )( ) =n

mn nTtSaf . (6d)

bvio que ( )tf pode ser construda no domnio do tempo a partir de suas amostras de acordo com a Equao 6d. Graficamente, cada amostra multiplicada por uma funo de amostragem e todas as formas de onda resultante so somadas para obter ( )tf . Isto mostrado na Fig. 3g.

A maioria dos sinais, na prtica, dificilmente se aproxima dos sinais de banda limitada. Estritamente falando, um sinal de banda limitada no existe. possvel mostrar que se um sinal existe sobre um intervalo finito de tempo ele contm os componentes de todas as freqncias2. Entretanto, para todos os sinais, na prtica, as funes de densidade espectral diminuem para freqncias mais altas. A maioria da energia est encerrada nos componentes de um certo intervalo de freqncia e, para todos os propsitos prticos, um sinal pode ser considerado de banda limitada. O erro introduzido ao se ignorar os componentes de alta freqncia desprezvel.

O teorema da amostragem um conceito importante, ele permite substituir um sinal contnuo de banda limitada por uma seqncia discreta de suas amostras sem que se

2 Esse resultado obtido do critrio de Paley-Wiener. Se ( )F tem banda limitada ( )[ ]

mF >= para ,0 ,

ento ( )F viola a condio de Paley-Wiener e sua transformada inversa, ( )tf , existe para todos os valores negativos de tempo. Portanto, um sinal de banda limitada existe sobre um intervalo infinito de tempo. Por outro lado, um sinal que existe somente sobre um intervalo finito de tempo no pode ser de banda limitada.


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perca qualquer informao. O contedo de informao contida num sinal contnuo de banda limitada equivalente a pedaos discretos de informao. Uma vez que o princpio da amostragem especifica substancialmente o menor nmero de valores discretos necessrio para reproduzir um sinal contnuo, o problema de transmitir tal sinal reduzido quele da transmisso de um nmero finito de valores.

2.4.2.2) Sistemas de comunicao

Estamos prontos para discutir vrios sistemas de comunicao. Como mencionado anteriormente, possvel transmitir vrios sinais simultaneamente num nico canal. H duas tcnicas comumente usadas para este propsito: o compartilhamento em freqncia (multiplexao em freqncia) e o compartilhamento no tempo (multiplexao temporal). tambm possvel usar uma combinao de ambas as tcnicas.

Na multiplexao em freqncia, os espectros de vrios sinais so transladados de uma quantidade apropriada de tal forma que ocupem diferentes intervalos de freqncia. Na multiplexao temporal, os vrios sinais so amostrados e as amostras de todos os sinais so entrelaadas. Vamos discutir vrios mtodos de transmitir e recuperar esses sinais usando estas tcnicas.

2.5) Problemas

1) Dadas as duas funes peridicas

( ) tntfn

0

10

11 cos

=

= 10000 = rd/s

( ) tntfn

0

5

12 cos

=

=

(a) Encontre e rascunhe a transformada de Fourier ( )1F e ( )2F das duas funes. (b) Encontre e rascunhe a transformada de Fourier da funo ( ) ( )tftf 21 .

2) A relao entre os sinais de entrada e sada de um dispositivo dada por

( ) ( )[ ]2tete ino =

Se

( ) tnten

in 0

110

101cos

=

= 10000 = rd/s

(a) Encontre e rascunhe o espectro de freqncia do sinal de sada ( )teo usando o teorema da convoluo.

3) Se um sinal


18

( ) ( )ktSatein =

aplicado a entrada do dispositivo do problema 2, encontre e rascunhe o espectro de freqncia do sinal de sada.

4) Se ( )tf um sinal contnuo com largura de banda limitada a m rps, ento mostre que

( ) ( )[ ] ( )tfktSatfk =pi

para qualquer mk > . Mostre que

( ) ( )[ ] ( )tSatSatSa mmmm pi

=

(Nota: use o teorema da convoluo temporal).

5) Determine a mnima freqncia de amostragem e o intervalo de Nyquist para os seguintes sinais

(a) ( )tSa 100 (b) ( )[ ]2100tSa

6) Os sinais abaixo no so de banda limitada. Entretanto, eles podem ser aproximados por sinais de banda limitada. Considere um critrio aceitvel para tal aproximao e encontre a mnima freqncia de amostragem e o intervalo de Nyquist, em cada caso

(a) te 5 (b) ( ) ( )tute t 100cos (c) ( )tute t5 (d) ( )tG10


19

Aula 02 - Contedo

1) Modulao em amplitude: Sistemas com supresso de portadora (AM/SC) 1.1) Tcnicas de translao em freqncia 1.2) Sistemas moduladores (conversores ou misturadores de freqncia) 1.3) Demodulao (Deteco) de sinais modulados com supresso de

portadora 1.4) Um amplificador choperizado

1) Modulao em amplitude: Sistemas com supresso de portadora (AM/SC)

Esta tcnica essencialmente translada o espectro de freqncia do sinal a ser transmitido multiplicando-o por um sinal senoidal de freqncia igual translao desejada. Do teorema da convoluo em freqncia, evidente que o espectro de

( ) ( )ttf ccos o mesmo que de f(t), mas deslocado de c radianos por segundo (Fig. 4e). Isto , se

( ) ( )Ftf ento

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ccc FFttf ++ 21

cos .

O sinal ( )tccos chamado de portador. A multiplicao de ( )tccos por f(t) realmente equivalente a variar a amplitude do portador proporcionalmente a f(t). Assim, este modo de transmisso conhecido como modulao em amplitude (AM). O sinal portador ( )tccos dito ser modulado pelo sinal f(t). O sinal f(t) assim um sinal modulador, e o sinal portador ( )tccos o sinal modulado.

A modulao em amplitude conseqentemente translada o espectro de freqncia de c radianos por segundo. Para recuperar o sinal original f(t) a partir do sinal modulado, necessrio transladar novamente o espectro a sua posio original. O processo de retransladar o espectro a sua posio original conhecido como demodulao ou deteco.

O espectro da forma de onda modulada (Fig. 4e) pode convenientemente ser retransladado posio original multiplicando o sinal modulado por ( )tccos na extremidade de recepo. Uma vez que a multiplicao no domnio do tempo equivalente a convoluo dos espectros no domnio da freqncia, evidente que o espectro do sinal resultante, ( ) ( )ttf c2cos , ser obtido pela convoluo do espectro do sinal recebido (Fig. 4d) com o espectro de ( )tccos (dois impulsos em c ). Esta convoluo obtm o espectro mostrado na Fig. 4g. Este resultado pode tambm ser obtido diretamente da identidade:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]ttftfttfttf ccc 2cos212cos1

21

cos2 +=+= . (7)

Conseqentemente, se


20

( ) ( )Ftf ento

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ccc FFFttf 2412

41

21

cos2 +++ . (8)

evidente do espectro da Fig. 4g, que o sinal original f(t) pode ser recuperado usando um filtro passa-baixas que permitir a passagem de ( )F e atenuar os componentes restantes centrados em torno de c2 . Uma forma possvel para a caracterstica do filtro passa-baixas mostrada em linha tracejada na Fig. 4g. O sistema necessrio na extremidade de recepo para recuperar o sinal f(t) a partir do sinal modulado recebido ( ) ( )ttf ccos mostrado na Fig. 4f. interessante observar que a multiplicao de f(t) por ( )tccos translada o espectro de f(t) de c . O novo espectro pode ser transladado novamente para a posio original atravs de outra translao de c , que obtida pela multiplicao do sinal modulado por ( )tccos no receptor (no processo, obtm-se um espectro adicional em c2 que extrado por filtragem). O processo na extremidade de recepo , portanto, exatamente o mesmo que aquele requerido na extremidade transmissora. Assim, este mtodo de recuperao do sinal original chamado deteco sncrona ou deteco coerente.

bvio desta discusso que neste sistema necessrio gerar o sinal da portadora ( )tccos na extremidade de recepo exatamente na mesma freqncia que aquela da

portadora na extremidade transmissora. Qualquer erro nas freqncias das portadoras no transmissor e no receptor causa uma distoro sria. Isto pode ser mostrado facilmente. Suponha que a freqncia da portadora na extremidade transmissora seja c e quela na extremidade de recepo seja ( ) +c . Ento o sinal modulado recebido no receptor

( ) ( )ttf ccos . O sinal agora multiplicado por ( )tc +cos , para efeito de demodulao, na extremidade de recepo. O sinal resultante ( ) ( ) ( )tttf cc +coscos e pode ser expresso como

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tttftttf ccc ++=+ 2coscos21

coscos .


21

Fig. 4


22

O termo ( )tc +2cos representa um espectro centrado na freqncia ( ) +c2 e filtrado por um filtro passa-baixas. A sada deste filtro , portanto,

( ) ttf cos21 . Assim, ao invs de recuperar o sinal original f(t), obtm-se o sinal ( ) ttf cos . Logo, de fundamental importncia ter freqncias idnticas de portadoras

nos terminais de transmisso e de recepo. Para atingir este objetivo, necessrio um circuito muito caro e elaborado no receptor. Isto no prtico para sistemas de comunicao comerciais, tais como o rdio e a televiso. Nesses casos, uma grande quantidade da portadora tambm transmitida junto com o sinal modulado. Isto, entretanto, representa um desperdcio de potncia da portadora uma vez que o portador por si s no carrega nenhuma informao. Conseqentemente, quando as exigncias de potncia so crticas, o portador no transmitido junto com o sinal modulado ( ) ( )ttf ccos , mas gerado no receptor com a finalidade da demodulao. claro, um preo pago em termos de circuitos caros e elaborados no terminal de recepo. Tais sistemas de comunicao so conhecidos como sistemas de amplitude modulada com supresso de portadora e abreviados por AM/SC. Em tais sistemas uma quantidade muito pequena de portadora (portadora piloto) transmitida junto com o sinal modulado. No receptor, o portador piloto separado por um filtro apropriado e amplificado. Este sinal fraco de portador usado ento para travar o oscilador local que gera um sinal de portador forte de mesma freqncia que quela do portador no transmissor.

Os sistemas onde uma grande quantidade de potncia do portador transmitida junto com o sinal modulado ( ) ( )ttf ccos necessitam de circuitos muito simples no receptor com a finalidade da demodulao, mas um preo pago em termos das grandes quantidades de potncia desperdiada na transmisso do portador. Tais sistemas so conhecidos simplesmente como os sistemas de amplitude modulada (AM). O rdio e a televiso comerciais AM so exemplos deste sistema. Este tipo de sistema discutido em detalhe em uma seo mais adiante.

1.1) Tcnicas de Translao em freqncia

bvio do teorema da modulao que o espectro de qualquer sinal pode ser transladado de c radianos por segundo no domnio da freqncia multiplicando o sinal com um sinal senoidal de freqncia c . Isto, entretanto, no a nica maneira conseguir essa translao. Pode-se mostrar facilmente que o espectro pode ser transladado de uma quantidade c multiplicando o sinal por qualquer sinal peridico de freqncia c , independente da sua forma de onda. Isto intuitivamente bvio uma vez que qualquer forma de onda de freqncia c contem componentes senoidais de freqncias 0, c , 2 c , 3 c ,.., etc. Assim, a multiplicao de um sinal f(t) por uma forma de onda arbitrria peridica de freqncia c , ir transladar o espectro de f(t) de 0, c , c2 , c3 , etc. Estamos, entretanto, interessados somente na parte do espectro centrado em torno de c . Este espectro desejado pode ser separado usando um filtro passa-banda que ir permitir a passagem dos componentes de freqncia em torno de c e atenuar todas as outras freqncias.


23

Como um exemplo, considere um sinal f(t) (Fig. 5a) cujo espectro ( )F mostrado na Fig. 5b. A multiplicao deste sinal por um sinal senoidal ( )tccos (Fig. 5e) desloca o espectro de c (Fig. 5f). Agora, ao invs de um sinal senoidal, devemos multiplicar f(t) por uma onda quadrada (Fig. 5g) de freqncia c . O espectro de uma onda quadrada peridica p(t) mostrado na Fig. 5h. Este espectro ( )P uma seqncia de impulsos localizados em 0= , c , c3 , c5 ,..., etc. (veja Fig. 5k). evidente que o espectro de ( ) ( )tptf dado por ( ) ( ) ( )pi PF 21 . O resultado desta convoluo realizada graficamente mostrado na Fig. 5j.

Pode-se ver facilmente desta figura que a multiplicao de f(t) por p(t) desloca o espectro de f(t) de 0= , c , c3 , c5 ,..., etc. Este resultado verdadeiro para qualquer funo peridica de freqncia c , independente da sua forma de onda. No exemplo especial de uma onda quadrada, as harmnicas pares c2 , c4 ,..., etc. so zero. Mas esse no necessariamente acontece para um sinal peridico genrico. Portanto, conclui-se que a multiplicao de um sinal f(t) por qualquer sinal peridico de freqncia

c , independente da sua forma de onda, desloca o espectro de f(t) de 0= , c , c2 , c3 ,..., etc. Este resultado pode ser facilmente obtido analiticamente. Seja ( )t um sinal

peridico de freqncia fc cps ( )cc fpi 2= . Em geral, a transformada de Fourier de um sinal peridico dada por

( ) ( )

=

n

cn nt pi 2 , (9)

onde n representa o coeficiente da n-sima harmnica na srie exponencial de Fourier para ( )t . Este um resultado significativo. A Equao (9) atesta que a funo densidade espectral ou transformada de Fourier de um sinal peridico consiste de impulsos localizados nas freqncias harmnicas do sinal e que a intensidade de cada impulso pi2 vezes o valor do coeficiente correspondente na srie de Fourier na sua forma exponencial. Segue do teorema da convoluo que

( ) ( ) ( ) ( )

=

n

cn nFttf pipi

221

( ) ( )

=

n

cn nF

( )

=

n

cn nF . (10)


24

Fig. 5


25

evidente da Equao (10) que o espectro de ( ) ( )ttf contem o prprio espectro de ( )F e ( )F transladado de c , c2 ,..., etc. Observe que as amplitudes dos ciclos sucessivos de ( )F so multiplicadas pelas constantes 0 , 1 , 2 ,..., etc. Se ( )t for uma onda quadrada dada por

( )


26

Assim, da Equao (9) tem-se

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

=

+

mpar

2112n

n

c

/n

nn

tp pi , (11)

e

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

=

+

mpar

211121

n

n

c

/n

nFn

Ftptf pi

, (12)

A Fig. (5j) mostra exatamente o espectro representado pela Equao (12). Na modulao em amplitude, entretanto, estamos apenas interessados no espectro

de freqncia centrado em torno de c . Isto pode ser obtido usando um filtro passa-banda que permite a passagem dos componentes de freqncia centrados em c e atenua outros componentes de freqncia. Um circuito simples ressonante R-L-C sintonizado em

c = deixar passar uma faixa de freqncias centrada em c e filtrar os componentes de freqncia restantes. , portanto, evidente que se passarmos o sinal f(t)p(t) (Fig. 5i) atravs de tal filtro passa-banda centrado em c , a sada resultante ser dada por

( ) ( )ttf ccos como mostra a Fig. 6.

Fig. 6 Efeito da filtragem numa onda quadrada modulada.

O processo de translao em freqncia tambm chamado de converso ou mistura em freqncia. Os sistemas que executam esta funo so chamados de conversores ou misturadores em freqncia. Ambos, modulador e demodulador, executam a operao da translao em freqncia, e por isso so conhecidos tambm como conversores ou misturadores em freqncia.

Na discusso das tcnicas de translao em freqncia freqentemente faz-se referncia aos filtros passa-baixas, passa-altas, e passa-bandas. possvel projetar filtros com caractersticas de magnitude (ou caractersticas de fase) to prximas das caractersticas ideais quanto possvel, usando nmeros maiores de elementos3. Mas num grande nmero de casos, os componentes de freqncia indesejados a serem filtrados esto

3 Para informao sobre projeto de filtros, consulte J. D. Ryder, Networks, Lines and Fields, Captulo 4,

Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1960.


27

to separados dos componentes de freqncia desejados que podem ser usadas formas muito simples de filtros.

1.2) Sistemas moduladores (conversores ou misturadores de freqncia)

Consideraremos agora alguns circuitos simples para produzir modulao. O processo da modulao translada o espectro de freqncia. Assim, a resposta de um modulador contm freqncias que so diferentes daquelas presentes no sinal de entrada. , conseqentemente, impossvel produzir modulao usando sistemas lineares invariantes no tempo, porque a resposta de tais sistemas no pode conter freqncias exceo daquelas presentes no sinal de entrada. A modulao pode, entretanto, ser efetuada usando sistemas lineares variantes no tempo (tais como circuitos de chaveamento ou choperizao) ou circuitos que usam elementos no-lineares. A no-linearidade fornece o mecanismo real para a modulao, mas geralmente um sistema que produz modulao pode ser representado como um sistema linear variante no tempo.

O diagrama esquemtico de um modulador tipo chopper mostrado na Fig. 7a. O interruptor s alterna entre os terminais a e b com freqncia c . Metade do perodo o interruptor conecta o terminal c ao sinal f(t), e na metade restante, o terminal c aterrado. A forma de onda da sada no terminal c , portanto, choperizada a uma freqncia c . A operao de choperizao pode ser vista como uma multiplicao de f(t) por uma onda quadrada p(t). Como discutido previamente, tal forma de onda choperizada contm o espectro de f(t) transladado de 0= , c , c3 ,..., etc., e o sinal modulado desejado

( ) ( )ttf ccos pode ser recuperado passando este sinal choperizado atravs de um filtro passa-banda centrado em c , (Fig. 6).

Um arranjo prtico para tal circuito mostrado na Fig. 7b. Os diodos agem como um interruptor. Quando o sinal ( )tccos de tal polaridade que faz com que o terminal c esteja positivo em relao ao terminal d, todos os diodos conduzem, supondo que o sinal

( )tccos muito maior do que o sinal f(t). Nestas condies, a tenso nos terminais do diodo D1 a mesma que quela atravs de D2 e, portanto, o terminal a est no mesmo potencial que o terminal b. Assim, o terminal de sada a est conectado a terra. Quando a polaridade de ( )tccos faz com que o terminal d esteja positivo em relao ao terminal c, todos os diodos esto polarizados reversamente, abrindo o circuito. Nesta circunstncia, o terminal a conectado ao sinal f(t) atravs da resistncia R. bvio que os diodos comutam o terminal a para o sinal f(t) e a terra alternadamente com freqncia c . No terminal de sada, um circuito ressonante paralelo ajustado freqncia c , atua como um filtro passa-banda. A tenso de sada o sinal modulado desejado que proporcional a

( ) ( )ttf ccos . Observe que o circuito modulador discutido aqui um circuito linear uma vez que a multiplicao de f(t) por uma constante afetar a sada do mesmo fator. Este circuito, entretanto, variante no tempo uma vez que seus parmetros se alteram periodicamente. O modulador mostrado em Fig. 7b conhecido como modulador em anel.

Um modulador linear, em geral, pode ser descrito como um sistema cujo ganho (ou funo de transferncia) pode ser variado no tempo aplicando um sinal variante no tempo em algum ponto. O ganho G pode variar proporcionalmente ao sinal f(t). Assim,


28

(a)

Fig. 7 (a) Diagrama esquemtico de um modulador do tipo chopper. (b) um modulador balanceado do tipo chopper (modulador em anel), usando diodo como chaves.


29

G = Kf(t) .

A portadora ( )tccos aplicada no terminal de entrada (Fig. 8a). evidente que a sada ser um sinal modulado ( ) ( )ttKf ccos . Alternativamente, uma portadora pode ser usada para variar o ganho do parmetro (Fig. 8b), e f(t) pode ser aplicado nos terminais de entrada. O exemplo do modulador em anel cai na ltima categoria. O modulador em anel atua como um sistema cujo ganho varia entre a unidade e o zero na freqncia da portadora. A variao do ganho com tempo neste caso no senoidal, mas retangular. Isto, naturalmente, causa translaes no desejadas para harmnicas mais elevadas, que so eliminadas por filtragem.

Fig. 8 Sistemas moduladores lineares.

Na prtica, os parmetros do ganho de dispositivos ativos como tubos de vcuo ( ) e transistores ( ) dependem dos valores das derivas das tenses e correntes. Assim, o ganho destes dispositivos pode variar no tempo variando os sinais de deriva, usando sinais apropriados. Os detalhes de tais sistemas moduladores (e demoduladores) usando tubos de vcuo e transistores podem ser encontrados nos textos de circuitos eletrnicos4.

Como indicado anteriormente, a modulao pode tambm ser conseguida usando dispositivos no-lineares. Uma caracterstica tpica de um dispositivo no-linear mostrada na Fig. 9a. Um diodo semicondutor um bom exemplo de tal dispositivo.

Uma caracterstica no-linear tal como esta pode ser aproximada por uma srie de potncia,

4 C. L. Alley and K. W. Atwood, Electronic Enginneering, Chapter 14, Wiley, New York, 1962; W. H.

Evans, Introduction to Electronics, Chapter 10, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1962.


30

i = ae + be2.

Fig. 9.

Transistores e tubos de vcuo tambm exibem relao similar entre a entrada e a sada em condies de grandes sinais. Um arranjo possvel para o uso de elementos no-lineares para modulao mostrado na Fig. 9b.

Para analisar este circuito, considera-se o elemento no-linear em srie com a resistncia R como um elemento composto no-linear cuja tenso e e a corrente i esto relacionadas por uma srie de potncia,

i = ae + be2.

As tenses 1e e 2e so dadas por


31

( ) ( )tfte c += cos1 e

( ) ( )tfte c = cos2

bvio que as correntes 1i e 2i so dadas por

2111 beaei +=

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]2coscos tftbtfta cc +++= (13a)

e

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]22 coscos tftbtftai cc += . (13b)

A tenso de sada ov dada por

RiRivo 21 = . (14)

Substituindo a Eq. 13 na Eq. 14, tem-se

( ) ( ) ( ) ( )[ ]tafttbfRtv co += cos22 .

O sinal af(t) nesta equao pode ser eliminado usando um filtro passa-banda nos terminais da sada, sintonizado em c . Diodos semicondutores podem ser usados como elementos no-lineares neste circuito. Uma forma prtica de tal modulador mostrada na Fig. 9c. Todos os moduladores discutidos at aqui geram um sinal modulado em amplitude com supresso de portadora e so conhecidos como moduladores balanceados.

1.3) Demodulao (Deteco) de sinais modulados com supresso de portadora

Na extremidade de recepo, para recuperar o sinal original f(t), necessrio demodular o sinal recebido ( ) ( )ttf ccos . Como visto antes, o procedimento de demodulao tambm equivalente translao do espectro e pode ser conseguido multiplicando o sinal modulado ( ) ( )ttf ccos pelo sinal ( )tccos (deteco sncrona). Conseqentemente, os mesmos circuitos usados no procedimento de modulao podem ser empregados com a finalidade da demodulao. H, entretanto, uma diferena nos circuitos moduladores e demoduladores. O espectro da sada do modulador est centrado em torno das freqncias c , e necessrio usar um filtro passa-banda sintonizado em c na sada do circuito modulador. No caso do demodulador, entretanto, o espectro de sada ( )F , e centrado em 0= . Assim necessrio usar um filtro passa-baixas nos terminais de sada do demodulador a fim de eliminar os componentes de freqncia elevados indesejados que so centrados em c , c2 , c3 ,..., etc. O demodulador usando chaveamento (do tipo chopper) e usando elementos no-lineares so mostrados nas Figs. 10a e 10b.


32

Fig. 10 (a) Um demodulador em anel. (b) Um demodulador que usa elementos no-lineares.


33

Observe que os circuitos R-C nos terminais de sada de cada circuito so filtros passa-baixas.

A demodulao pode ser realizada multiplicando o sinal modulado ( ) ( )ttf ccos por qualquer sinal peridico de freqncia c . Se ( )t um sinal peridico de freqncia

c , ento a transformada de Fourier ( ) pode ser escrita como (Eq. 9)

( ) ( )

=

n

cn nt pi 2 .

bvio que se o sinal modulado ( ) ( )ttf ccos for multiplicado por ( )t , o espectro resultante ser dado por

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

=

++n

cnccc nFFtttf picos

( )[ ] ( )[ ]{ }

=

++n

ccn nFnF pi 11 .

evidente que este espectro contm um termo ( )F que pode ser filtrado usando um filtro passa-baixas.

1.4) Um amplificador choperizado

O princpio da translao em freqncia encontra tambm uma aplicao til em amplificadores de corrente contnua e de baixas freqncias. Devido s consideraes prticas quanto ao tamanho requerido para os capacitores de acoplamento, muito difcil construir amplificadores para amplificar sinais de freqncia muito baixa. Uma vez que o capacitor age como um circuito aberto em baixas freqncias, os tamanhos dos capacitores de acoplamento requeridos para um amplificador multi-estgio para obter um ganho satisfatrio, so extremamente grandes. Assim, para amplificar sinais C.C. e sinais de freqncia muito baixa, usado o acoplamento direto. O acoplamento direto, entretanto, introduz um srio problema de desvio do ponto de operao quiescente do amplificador. O desvio introduzido por mudanas ambientais varia o sinal de sada, e esta variao no pode ser discernida daquela introduzida pelo prprio sinal de entrada. Supera-se este problema usando um amplificador choperizado que essencialmente desloca o espectro do sinal de entrada de uma faixa de freqncia mais baixa para uma faixa apropriada mais elevada, onde o sinal pode facilmente ser amplificado. O sinal amplificado ento demodulado para trazer de volta a forma amplificada do sinal original de baixa freqncia.

Quaisquer dos circuitos discutidos acima podem ser usados. O chopper tem uma chave que oscila entre dois terminais contactando estes terminais periodicamente. Uma vez que os procedimentos de modulao e demodulao necessitam de portadora de mesma freqncia, necessrio usar o mesmo chopper para modulao e demodulao, como mostra a Fig. 11.

O capacitor no terminal de entrada elimina o componente do espectro centrado em torno de 0= (C.C.) e permitem a passagem dos restantes dos componentes. O espectro


34

do sinal de entrada , ento, o mesmo que aquele do sinal de entrada f(t), mas deslocado de c = , c3 , c5 ,..., etc. Este sinal amplificado e novamente multiplicado por uma

onda quadrada pelo chopper na sada. Este processo retranslada o espectro de volta para 0= . H tambm componentes indesejados adicionais do espectro centrados em torno de

c = , c2 ,..., etc., que so eliminados nos terminais de sada por um filtro passa-baixas.

Fig. 11 Um amplificador choperizado.


35

Aula 03 - Contedo

1) Transmisso em banda nica 1.1) Gerao de sinais de banda nica 1.2) Mtodo do deslocamento de fase 1.3) Demodulao de sinais SSB

1) Transmisso em banda nica

No processo de modulao em amplitude, o espectro original ( )F transladado de c , como mostra a Fig. 12b. O sinal no-modulado ocupa a largura de faixa de m . (Fig. 12a), enquanto que o mesmo sinal, aps a modulao, ocupa uma largura de faixa de

m2 . , conseqentemente, evidente que o preo da translao em freqncia, discutido to exaustivamente at aqui, pago em termos do dobramento da largura de faixa. Entretanto, isto no precisa ser o caso. Uma olhada na Fig. 12b mostra que ao transmitir o espectro completo mostrado nesta figura, est se transmitindo informao redundante. O espectro de ( )F foi deslocado para c+ e para c . Estes dois espectros so idnticos. Cada um deles contem a informao completa de ( )F . Sendo assim, porque transmitir ambos os espectros? Porque no transmitir somente um dos dois? Isto, entretanto, impossvel uma vez que, para todo sinal fisicamente vivel, o espectro uma funo par na varivel . Um espectro que no simtrico em relao ao eixo vertical passando pela origem no representa um sinal real, e, portanto, no pode ser transmitido. Mas h uma maneira alm desta. Observe que o espectro centrado em c composto de duas partes: uma parcela encontra-se acima de c , e conhecida como banda superior, e a outra parcela encontra-se abaixo de c , e conhecida como banda inferior. Da mesma forma, o espectro centrado em c tem bandas superior e inferior (Fig. 12b). Observe agora da Fig. 12b, que as duas bandas superiores (ou as duas bandas inferiores) do espectro contm a informao completa sobre ( )F . Assim, ao invs de transmitir o espectro completo na Fig. 12b, suficiente transmitir somente as bandas superiores ou inferiores do espectro (mostrados nas Figs. 12c e 12d). Note que as duas bandas superiores ou as duas bandas inferiores uma funo par em e, portanto, representa um sinal real. O sinal original f(t) pode ser recuperado das bandas superiores ou inferiores pela apropriada translao em freqncia. Para transmitir as bandas necessrio somente uma metade da largura de faixa total ( )m . Este modo de transmisso conhecido como transmisso de banda nica - do ingls, single sideband (SSB) contrastando com a transmisso de banda dupla (DSB) discutida previamente.

1.1) Gerao de sinais de banda nica5

5 Para mais informaes sobre tcnicas SSB o aluno est convidado a consultar o caderno especial da IRE

sobre transmisso SSB. Single Sideband Issue, Proc. IRE, Vol. 44, No. 12, December 1956.


36

Para gerar um sinal SSB, tudo que preciso filtrar uma das bandas dos sinais modulados obtidos dos moduladores balanceados discutidos previamente. O sinal AM/SC obtido do modulador balanceado passado atravs de um filtro passa-banda apropriado que permite a passagem das bandas desejadas e eliminando as bandas restantes. O filtro necessrio para executar esta funo deve ter uma caracterstica muito prxima da ideal na freqncia c . Ou seja, o filtro deve ter uma caracterstica de corte aguda em c com o objetivo de rejeitar todas as freqncias de um lado de c e aceitar todas as freqncias de outro lado de c . Do ponto de vista prtico, mais fcil projetar um filtro, com uma caracterstica de corte aguda, em freqncias mais baixas. Assim, o espectro ( )F primeiramente transladado para uma freqncia mais baixa

1c , onde uma das bandas

eliminada por filtragem. Aps este filtragem o espectro transladado a uma freqncia desejada mais elevada c , a partir de 1c . Na realidade, a translao pode ser obtida sucessivamente em mais de uma etapa. O espectro ( )F transladado a uma primeira freqncia mais baixa

1c , onde uma das bandas atenuada. A nica banda do espectro

em 1c

ainda contm alguns resduos indesejados devido a imperfeies na filtragem. Assim, este espectro transladado a uma freqncia intermediria

2c , onde sujeito

novamente ao processo de filtragem para remover os resduos de banda no desejados. Este espectro finalmente transladado freqncia desejada mais elevada c .

Fig. 12.


37

1.2) Mtodo do deslocamento de fase

tambm possvel gerar sinais SSB por um mtodo indireto de deslocamento espectral de fase. Simplificando, suponha que o sinal f(t) ( )tscos . Conseqentemente,

( )F representado por dois impulsos em s (Fig. 13a). O sinal modulado com portadora ( )tccos dado por ( ) ( )tt cs coscos e tem o espectro de ( )F deslocado de

c (Fig. 13b). O espectro do SSB (banda inferior) dado por dois impulsos em ( )sc como mostra a Fig. 13c. evidente que o sinal que corresponde a este espectro

do SSB (Fig. 13c) dado por ( )[ ]tsc cos . Conseqentemente, a gerao de um sinal SSB para o caso especial de ( ) ( )ttf scos= equivalente gerao do sinal

( )[ ]tsc cos . Da identidade trigonomtrica tem-se

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )ttttt cscssc sensencoscoscos += .

Fig. 13.

Assim, o sinal SSB desejado pode ser produzido somando ( ) ( )tt cs coscos e ( ) ( )tt cs sensen . O sinal ( ) ( )tt cs coscos pode facilmente ser produzido a partir de

qualquer modulador balanceado discutido previamente. O sinal ( ) ( )tt cs sensen pode ser expresso como ( ) ( )2cos2cos /t/t cs pipi . Logo, este sinal pode ser produzido por um


38

modulador balanceado, desde que o sinal ( )tscos e a portadora ( )tccos estejam ambos deslocados em fase de 2/pi (Fig. 14). Embora a obteno deste resultado seja para um caso especial onde ( ) ( )ttf scos= , ele continua sendo vlido para qualquer forma de onda genrica. Isto porque cada forma de onda pode ser expressa como uma soma contnua de sinais senoidais (ou exponenciais). Assim, o sinal SSB que corresponde a f(t) dado por

( ) ( ) ( ) ( )ttfttf cpc sencos + ,

onde ( )tf p o sinal obtido deslocando a fase de cada componente de freqncia de f(t) de 2/pi . O diagrama esquemtico de tal arranjo mostrado na Fig. 14.

Fig. 14 Mtodo do deslocamento de fase para gerar um sinal SSB.

Ser dada agora uma prova formal do resultado acima para qualquer funo genrica f(t). Um sistema de deslocamento de fase para deslocar a fase dos componentes da freqncia de 2/pi tem uma funo mdulo unitria. Assim, os mdulos dos componentes de freqncia permanecem inalterados, mas a fase de todos os componentes de freqncia positivos deslocada de 2/pi . Uma vez que o espectro de fase uma funo mpar em , as fases de todos os componentes negativos da freqncia so deslocadas de 2/pi+ . O espectro em mdulo e fase de um sistema de deslocamento de fase mostrado na Fig. 15.

Fig. 15.


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( ) 1=H ( ) ( ) ( )pipi uH ==

2.

Portanto, a funo de transferncia ( )H desse sistema de deslocamento de fase dada por

( ) ( ) ( ) jeHH =

( )[ ]pipi u/je = 2

e se

( ) ( )Ftf

ento

( ) ( ) ( )[ ]pipi u/jp eFtf 2 ( ) ( )pi ujejF (15)

e, do teorema da modulao, tem-se

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ccc FFttf ++ 21

cos (16a)

e, das Equaes 15 e 2b, segue que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]cc ujcujccp eFeFttf pipi + + 21

sen (16b)

e

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]cujccpc eFttfttf pi ++ 121sencos ( ) ( )[ ]cujc eF pi +++ 121 . (17)

Observe que

( )

>

(supresso da banda superior), e ( )cF + ( )cu + representa ( )cF + truncada na regio c < (supresso da banda

superior). Assim, o sinal na Equao 17 representa o sinal SSB com a banda superior suprimida. Se ao invs de somar o sinal ( ) ( )ttf cp sen ao sinal ( ) ( )ttf ccos , o mesmo fosse subtrado, obteria-se o sinal SSB com a banda inferior suprimida.

1.3) Demodulao de sinais SSB

Para recuperar f(t) a partir do sinal SSB, necessrio retransladar o espectro (Figs. 12c ou 12d) de volta para a sua posio original ( )0= . Isto pode ser feito facilmente pela deteco sncrona. A multiplicao do sinal SSB por ( )tccos (deteco sncrona) equivalente convoluo do espectro do sinal SSB com o espectro de ( )tccos (dois impulsos em c ). Isto mostrado na Fig. 16 para o caso das bandas superiores. A convoluo gera ( )F e um sinal SSB adicional transladado para c2 que pode ser eliminado por filtragem. Assim, a demodulao de sinais SSB pode ser realizada por deteco sncrona, e idntica quela usada para sinais AM DSB/SC. Qualquer um dos circuitos da Fig. 10 pode ser usado para a finalidade de demodulao de sinais SSB.


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Fig. 16 Demodulao de sinal SSB.

Como mencionado anteriormente, onde quer que a deteco sncrona esteja envolvida, um pouco da portadora piloto transmitida junto com os sinais modulados. Isto se aplica para ambos os sistemas DSB e SSB, com supresso de portadora. Na extremidade de recepo, a portadora piloto separada por um filtro apropriado, amplificada e usada posteriormente para travar a freqncia do oscilador local. O sinal do oscilador local agora tem a mesma freqncia da portadora no transmissor e pode ser usado para a deteco sncrona.

Os requisitos restritos de fornecimento de uma portadora de freqncia exatamente igual no receptor e a exigncia de circuitos complexos para conseguir isto impedem a utilizao em larga escala de sistemas com supresso de portadora (DSB e SSB). O requisito6 de preciso no controle da freqncia, na faixa de 2 a 30 mc, de uma parte em 107. Para sistemas de comunicao comerciais como o rdio e a televiso um sistema muito mais simples, particularmente no receptor, desejado. Para tais aplicaes, entretanto, uma grande quantidade de potncia transmitida. A modulao e demodulao de sinais, sob estas condies, so relativamente simples.

6 M. Schwartz: Information Transmission, Modulation and Noise, p. 111, McGraw-Hill, New York, 1959.

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