Sries de taylor e de maclaurin
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Séries de Taylor e de Maclaurin
Definições – Série de Taylor, Série de Maclaurin
Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em x = a é
...)(!
)(...)(
!2
)´´())(´()()(
!
)( )(2
0
)(
+−++−+−+=−∑∞
=
nn
k
k
k
axn
afax
afaxafafax
k
af
A série de Maclaurin gerada por f é
∑∞
=
+++++=0
)(2
)(
...,!
)0(...
!2
)0´´()0´()0(
!
)0(
k
nn
kk
xn
fx
fxffx
k
f
a série de Taylor gerada por f em x = 0.
Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n
Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0 a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio
.)(!
)(...)(
!
)(...)(
!2
)´´())(´()()(
)()(2 n
nk
k
n axn
afax
k
afax
afaxafafxP −++−++−+−+=
Resto de um Polinômio de Taylor
Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um resto Rn(x) definido por
)()()( xRxPxf nn +=
O valor absoluto )()()( xPxfxR nn −= é chamado de erro associado à aproximação.
Teorema de Taylor
Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a, então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que
),()(!
)(...)(
!2
)´´())(´()()( )(
)(2 xRax
n
afax
afaxafafxf n
nn
+−++−+−+=
onde
.)()1(
)()( 1
)1(+
+
−+
= nn
n axn
cfxR
Teorema da Estimativa do Resto
Se existirem constantes positivas M e r tais que 1)1( )( ++ ≤ nn Mrtf para todo t entre a e x, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a desigualdade
.)!1(
)(11
+−
≤++
n
axrMxR
nn
n
Se essas condições forem válidas para todo n e todas as outras condições do Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, então a série convergirá para f(x).
Combinando Séries de Taylor
Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a enésima derivada de f + g é f(n) + g(n) e assim por diante.
Podemos obter a série de Maclaurin para (1 + cos 2x) / 2 substituindo 2x na série de Maclaurin para cos x, adicionando 1 e dividindo o resultado por 2. A série de Maclaurin para sen x + cos x é a soma termo a termo da série para sen x e cos x. Obtemos a série de Maclaurin para x sen x pela multiplicação de todos os termos da série de Maclaurin de sen x por x.
Séries de Fourier
∑∞
=
++=
1
0 .sencos2
)(n
nn L
xnb
L
xna
axf
ππ (1)
Observe que no intervalo – L < x < L é simétrico em relação à origem. A equação (1) é chamada de série de Fourier de f no intervalo (-L, L).
Coeficientes na Expansão em Série de Fourier
1) ∫− =L
Ldx
L
xn0cos
π
2) ∫− =L
Ldx
L
xn0sen
π
3) ∫−
=≠
=L
L nmL
nmdx
L
xm
L
xn
,
,0coscos
ππ
4) ∫− =L
Ldx
L
xm
L
xn0cossen
ππ
5) ∫−
=≠
=l
L nmL
nmdx
L
xm
L
xn
,
,0sensen
ππ
Cálculo de a0
Integramos ambos os lados da equação (1) de – L a L e consideramos que as operações para integração e somatória podem ser trocadas entre si para obter
∫ ∑ ∫∑ ∫∫−
∞
=−
∞
=−−
++=L
Ln
L
Lnn
L
Ln
L
Ldx
L
xnbdx
L
xnadx
adxxf
11
0 .sencos2
)(ππ
(2)
Para todo inteiro positivo n, as duas últimas integrais do lado direito da equação (2) são zero (fórmulas 1 e 2 na Tabela dos Coeficientes). Portanto,
.22
)( 000 La
L
Lxadx
adxxf
L
L
L
L=
−== ∫∫ −−
Então, obtemos a0:
∫−=L
Ldxxf
La .)(
10
Cálculo de am
Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por )/cos( Lxmπ , m > 0, e integramos o resultado de – L a L:
∑ ∫
∑ ∫
∫ ∫
∞
=−
∞
=−
− −
+
+
=
1
1
0
.cossen
coscos
cos2
cos)(
n
L
Ln
n
L
Ln
L
L
L
L
dxL
xm
L
xnb
dxL
xm
L
xna
dxL
xmadx
L
xmxf
ππ
ππ
ππ
(4)
A primeira integral do lado direito da equação (4) é zero (fórmula 1 na Tabela dos coeficientes). As fórmulas 3 e 4 na Tabela reduzem ainda mais a equação para
∫ ∫− −==
L
L
L
L mm LadxL
xm
L
xmadx
L
xmxf .coscoscos)(
πππ
Portanto,
∫−=L
Lm dxL
xmxf
La .cos)(
1 π
Cálculo de bm
Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por )/sen( Lxmπ , m > 0, e integramos o resultado de – L a L:
∑ ∫
∑ ∫
∫∫
∞
=−
∞
=−
−−
+
+
=
1
1
0
.sensen
sencos
sen2
sen)(
n
L
Ln
n
L
Ln
l
L
L
L
dxL
xm
L
xnb
dxL
xm
L
xna
dxL
xmadx
L
xmxf
ππ
ππ
ππ
Das fórmulas 2, 4 e 5 na Tabela de coeficientes, obtemos
∫ ∫− −==
L
L
L
L mm LbdxL
xm
L
xmbdx
L
xmxf
πππsensensen)(
Portanto,
∫−=L
Lm dxL
xmxf
Lb .sen)(
1 π (6)
A série trigonométrica (1), cujos coeficientes a0, an, bn são determinados pelas equações (3), (5) e (6), respectivamente (com m substituído por n), é chamada de expansão em série de Fourier de função f no intervalo – L < x < L. As constantes a0, an e bn são os coeficientes de Fourier de f.
Definição – Séries de Fourier
A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo –L < x < L é
∑∞
=
++=
1
0 .sencos2
)(n
nn L
xnb
L
xna
axf
ππ
∫−=L
Ldxxf
La .)(
10
∫−=L
Ln dxL
xnxf
La .cos)(
1 π
∫−=L
Ln dxL
xnxf
Lb .sen)(
1 π
Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por )/sen( Lxmπ , m > 0, e integramos o resultado de – L a L:
∑ ∫
∑ ∫
∫∫
∞
=−
∞
=−
−−
+
+
=
1
1
0
.sensen
sencos
sen2
sen)(
n
L
Ln
n
L
Ln
l
L
L
L
dxL
xm
L
xnb
dxL
xm
L
xna
dxL
xmadx
L
xmxf
ππ
ππ
ππ
Das fórmulas 2, 4 e 5 na Tabela de coeficientes, obtemos
∫ ∫− −==
L
L
L
L mm LbdxL
xm
L
xmbdx
L
xmxf
πππsensensen)(
Portanto,
∫−=L
Lm dxL
xmxf
Lb .sen)(
1 π (6)
A série trigonométrica (1), cujos coeficientes a0, an, bn são determinados pelas equações (3), (5) e (6), respectivamente (com m substituído por n), é chamada de expansão em série de Fourier de função f no intervalo – L < x < L. As constantes a0, an e bn são os coeficientes de Fourier de f.
Definição – Séries de Fourier
A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo –L < x < L é
∑∞
=
++=
1
0 .sencos2
)(n
nn L
xnb
L
xna
axf
ππ
∫−=L
Ldxxf
La .)(
10
∫−=L
Ln dxL
xnxf
La .cos)(
1 π
∫−=L
Ln dxL
xnxf
Lb .sen)(
1 π