SPI5814 Física atômica e molecular - Equações de Bloch ópticas

Rafael Bruno Barbosa Lima

Instituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, Brasil

(Dated: Novembro de 2015)

1

I. INTRODUÇÃO

Procuramos uma equação para descrever a evolução temporal de átomos integarentes com

um campo de radiação. Entretanto para retratar sistemas que contém processos de excitação

e relaxação acontecendo simultâneamente, a formulação usual da mecânica quântica usando

a equação de Schrodinger, já não é mais sufuiente, pois a mesma somente é capaz de explicar

processos estimulados como absorção e uma onda monocromática. Desta forma, processos

mais complexos como a emissão espontânea ou qualquer outro processo dissipativo devem

ser incluídos na evolução temporal do sistema, gerando um caráter mais geral no processo

de evoluçção do sistema.

Assim, já não é suficiente representar esta situação usando somente uma função de onda,

mas sim por um esemble delas, onde somos capazes de medir as probabilidades associadas

a cada estado do sistema. Para realizar esta tarefa devemos construir um formalismo mais

abrangente, capaz de englobar casos mais complexos como descritos acima, denominado

de formalismo de operador densidade ou simplesmente matriz densidade. Dentro deste

contexto, se inseres as equações de Bloch ópticas, capaz de descrever a evolução temporal

dos elementos de matriz do operador densidade, em outras palavras, a evolução temporal

das populações, descrito pelos termos diagonais da matriz, e das coerências do sistema,

representado pelos termos não diagonais, conforme veremos a seguir.

A maioria dos resultados apresentados nesta monografia foram baseados na referência

[1]. Além disso, pode-se consultar o artigo original publicado em 1946 pelo físico Suíço Felix

Bloch na referência [2]. Vale mencionar que Bloch recebeu o prêmio Nobel de 1952 pelo

desenvolvimento de novos métodos de medição precisa do magnetismo nuclear e descobertas

afins, comumente chamada de ressonância magnética nuclear (RMN).

II. O OPERADOR DENSIDADE

O operador densidade ou matriz densidade, é uma formulação usada para descrever esta-

dos quânticos mistos, onde cada estado possui uma probabilidade associada de ser medido.

Sua grande vantagem vem do fato dela ser mais geral do que a formulação usando funções

de ondas, pois esta somente descreve estados puros. A matriz densidade se torna então o

análogo quântico da mecânica estatística clássica. Sendo assim, podemos definir o operador

2

densidade da seguinte forma

ρ =∑k

pk |ψk〉 〈ψk| , (1)

onde |ψk〉 representa um conjunto completo de estados ortonormais, pk é a probabilidade

de encontrarmos o estado |ψk〉. Logicamente temos que pk ≥ 0 e sua a condição de normali-

zação∑

k pk = 1. Um caso interesante a ser ressaltado são os estdos puros, no qual temmos

pk = 1, e o operador densidade se torna simplesmente

ρ = |ψ〉 〈ψ| . (2)

Calculando os elementos de matriz da equação (1) encontramos

〈ψk| ρ |ψk〉 = pk, (3)

onde usamos o fato dos estados serem ortonormais 〈ψk|ψn〉 = δk,n. A equação (3) representa

a probabilidade de encontrar o sistema no estado |ψk〉. Além disso, expandindo os estados

|ψk〉 no espaço de Fock |n〉, definindo 〈n|ψk〉 = cn e inserindo a completeza∑

n |n〉 〈n| = 1

na equação (1), temos

ρ =∑k

pk∑n

|n〉 〈n|ψk〉∑m

〈ψk|m〉 〈m| =∑k

∑m,n

pkcnc∗m |n〉 〈m| . (4)

Com isso podemos calcular novamente os elementos de matriz

1. termos diagonais: 〈n| ρ |n〉 =∑

k|cn|2 → representa as populações.

2. termos não diagonais: 〈n| ρ |m〉 =∑

k cnc∗m → representa as coerências ∗.

Com isso podemos mostrar que o operador densidade é hermitiano, basta calcular o con-

jugado do elemento de matriz e ver que 〈n| ρ |m〉∗ = 〈m| ρ |n〉. Vamos agora mencionar

algumas propriedades do operador densidade

(a) Hermitiano: ρ = ρ†.

(b) Normmalização: Tr (ρ) = 1.

(c) Tr (ρ2) =

= 1, estados puros,

> 1, estados mistos.

∗ As coerências são responsáveis pelas perdas das características quânticas do sistema

3

(d) 〈ψ| ρ |ψ〉 ≥ 0

(e) ρ pode ser diagonalizado: ρ =∑

n pn |n〉 〈n|

(f) a média de um operador A é: 〈A〉 = Tr (ρA) =∑

n 〈n|Aρ |n〉.

(g) o traço possui propriedade cíclica: Tr (ABC) = Tr (CAB) = Tr (BCA)

III. EVOLUÇÃO TEMPORAL DO OPERADOR DENSIDADE

Podemos ainda calcular a evolução temporal da equação (1)

dρ (t)

dt=∑n

pn

[(d

dt|ψn〉

)〈ψn|+ |ψn〉

(d

dt〈ψn|

)]. (5)

Usando a equação de Schrodinger i~ ∂∂t|ψ(t)〉 = H |ψ(t)〉 e substituindo a equação (5), temos

dρ (t)

dt=i

~

[ρ (t) , H

], (6)

e é chamada de equação de Lioville - von Neumann. Se o Hamiltoniano da equação (6) for

independente do tempo, a solução se escreve sa seguinte maneira

ρ (t) = U (t− t0) ρ (t0)U † (t− t0) , com U (t− t0) = eiH(t−t0)/~. (7)

A equação de Lioville - von Neumann descreve a evolução temporal do operador densi-

dade sujeito ao Hamiltoniano H, que no caso está escrita na representação de Schrodinger.

Além disto, podemos escrever a equação (6) na representação de interação, bastanto apenas

aplicarmos a transformação

ρ (t) = eiH0(t−t0)/~ρS (t0) e−iH(t−t0)~. (8)

Fazendo o processo análogo ao que foi feito para equação (6)

dρ (t)

dt=i

~

[ρ (t) , V (t)

], (9)

onde a evolução do operador densidade depende somente da parte temporal do Hamiltoniano.

A representação de interação é mais aconselhável para sistemas que possuem um termo livre

mais outro responsável pela parte temporal, como H = H0 + V (t).

4

IV. EQUAÇÕES DE BLOCH ÓPTICAS

Nesta seção faremos a dedução das equações de Bloch para a representação de Schrodin-

ger, pois esta é mais frequentemente encontrada na literatura. Outro ponto que deve ser

destacado é o fato dessa primeira abordagem não incluir o termo de emissão espontânea, que

será tratado posteriormente. Calculando os elementos de matriz da equação (6), obtemos

〈m| dρ (t)

dt|n〉 =

i

~〈m|

[ρ (t) , H

]|n〉 =

i

~

[〈m| ρ (t) , H0 + V (t) |n〉

]=i

~(En − Em) 〈m| ρ (t) |n〉+

i

~〈m|

[ρ (t) , V (t)

]|n〉

=i

~(En − Em) 〈m| ρ (t) |n〉+

i

~∑k

[〈m| ρ (t) |k〉 〈k|V (t) |n〉 − 〈m| ρ (t) |k〉 〈k|V (t) |n〉

],

(10)

em que usamos a relação de completeza∑

k |k〉 〈k| = 1 e definindo o elemento de matriz

〈m|A |n〉 = Amn, podemos reescrever a equação (10) da seguinte maneira

ρmn (t) =i

~(En − Em) ρmn (t) +

i

~∑k

[ρmk (t)Vkn (t)− Vkn (t) ρmk (t)

], (11)

que são conhecidas como as equações de Bloch ópticas. Um fato importante a ser destacado

é que o acoplamento da interação V (t) é somente não diagonal †.

V. EQUAÇÕES DE BLOCH PARA ÁTOMOS DE DOIS NÍVEIS

Faremos agora a aplicação da equação (11) para um sistema de dois níveis acoplado a um

campo sem o termo de emissão espontânea . Desta forma, vamos calcular os elementos

1. Para m = n = 1:

dρ11

dt=i

~

2∑k=1

(ρ1kVk1 − V1kρk1) =i

~(ρ12V21 − V12ρ21) , (12)

2. m = n = 2:

dρ22

dt=i

~

2∑k=1

(ρ2kVk2 − V2kρk2) =i

~(ρ21V12 − V21ρ12) = −dρ11

dt, (13)

† Considere como exemplo a interação elétron-elétron Coulombiana e a interação de dois corpos, que pode

ser escrita como Vint = 12

∫dr1dr2V (r1 − r2)ψ†σ1

(r1)ψ†σ2(r2)ψσ′

2(r2)ψσ′

1(r1).

5

3. m = 1, n = 2:

dρ12

dt=i

~(E2 − E1) ρ12 +

i

~

2∑k=1

(ρ1kVk2 − V1kρk2)

= iω0ρ12 +i

~V12 (ρ11 − ρ22) , (14)

4. m = 2, n = 1:

dρ21

dt=i

~(E1 − E2) ρ21 +

i

~

2∑k=1

(ρ2kVk1 − V2kρk1)

= −iω0ρ21 +i

~V21 (ρ22 − ρ11) =

ρ∗12

dt(15)

5. ou escrevendo matricialmente:

d

dt

ρ11

ρ22

ρ12

ρ21

=i

~

M11 M12

M21 M22

ρ11

ρ22

ρ12

ρ21

=⇒ ~ρ = Mρ, (16)

onde os termos Mij representam os elementos de matriz calculados acima. Pode-se ainda

calcular as equações de Bloch para a representação de interação,

dρ22

dt=i

~(ρ21V12 − V21ρ12) ,

dρ12

dt=i

~V12 (ρ11 − ρ22) , (17)

onde os elementos ρ11 = −ρ22 e ρ21 = ρ∗12 estão vinculados conforme as equações acima. Ou-

tra maneira de calcular as equações na representação de interação é utilizar a transformação

ρ12 = ρ12eiω0t. Observe que a representação de interação simplifica a dependência temporal

das coerências do sistema.

Fazendo a aproximação de onda girante (RWA), que considera somente ondas com

frequência ∆ω = ω − ω0, temos que a interações ficam V12 = 12~Ωeiωt e V21 = 1

2~Ωe−iωt.

Aplicando estas trasformações nas equações de Bloch

dρ22

dt=iΩ

~(ρ21 − ρ12) ,

dρ12

dt= −i∆ωρ12 +

iΩ

2(ρ11 − ρ22) . (18)

Considerando condições de contorno arbitrárias, as soluções se tornam complexas. En-

tretanto ainda podemos resolver essa condição, sendo que para isto vamos fazer uso da

6

representação matricial, conforme visto na equação (16). Considerando o caso do átomo de

dois níveis, temos

d

dt

ρ11

ρ22

ρ12

ρ21

=i

2

0 0 Ω −Ω

0 0 −Ω Ω

Ω −Ω −2∆ 0

−Ω Ω 0 2∆

ρ11

ρ22

ρ12

ρ21

. (19)

Aplicando o ansatz ρi,j (t) = ρi,j (0) eλt, onde λ é o autovalor da matriz. Então basta

diagonalizarmos nossa matriz presente na equação (19) para encontrarmos nossa solução.

Assim, primeiramente será feito considerando condições de contorno gerais

det (A− λ1) =⇒ λ2[λ2 − 4

(∆2 + Ω2

)]= 0

λ =

0

i√

∆2 + Ω2 = iG

−i√

∆2 + Ω2 = −iG,

(20)

onde o termo G é definido como a frequência de Rabi generalizada. Um aspecto importante

a ser salientado é que devido as termos diagonais ρnn e não diagonais ρmn possuírem um

vínculo conforme visto nas equações (13) e (15), por simplicidade vamos somente calcular

os termos ρ22 e ρ12. Então nossa solução assume a seguinte forma

ρ22 (t) = ρ(1)22 (0) + ρ

(2)22 (0) eiGt + ρ

(3)22 (0) e−iGt

ρ12 (t) = ρ(1)12 (0) + ρ

(2)12 (0) eiGt + ρ

(3)12 (0) e−iGt (21)

onde os termos ρk22 (0) são dados por

ρ(1)22 (0) = ρ22 (0) +

1

2G2

|Ω|2 [1− 2ρ22 (0)]−∆ω [Ωρ∗12 (0) + Ω∗ρ12 (0)]

ρ

(2)22 (0) =

1

4G2

−|Ω|2 [1− 2ρ22 (0)] + (∆ω +G) Ωρ∗12 (0) + (∆ω −G) Ω∗ρ12 (0)

ρ

(3)22 (0) =

1

4G2

−|Ω|2 [1− 2ρ22 (0)] + (∆ω −G) Ωρ∗12 (0) + (∆ω +G) Ω∗ρ12 (0)

, (22)

e analogamente para o termo não diagonal ρk12 (0)

ρ(1)12 (0) =

1

2G2

∆ωΩ [1− 2ρ22 (0)] + Ω

[Ω ˜rho∗12 (0) + Ω∗ρ12 (0)

]ρ

(2)12 (0) =

(∆ω −G)

4G2

−Ω [1− 2ρ22 (0)] + (∆ω +G)

Ω

Ω∗ρ∗12 (0) + (∆ω −G) ρ12 (0)

ρ

(3)12 (0) =

(∆ω +G)

4G2

−Ω [1− 2ρ22 (0)] + (∆ω −G)

Ω

Ω∗ρ∗12 (0) + (∆ω +G) ρ12 (0)

(23)

7

Entretanto, podemos simplificar as condições iniciais considerando por exemplo que o átomo

esteja no estado fundamental quando o campo de radiação está ligado no tempo t = 0

ρ11 (0) = 1, ρ22 (0) = 0, ρ12 (0) = 0, ρ11 (0) = 0. (24)

Aplicando estas condições nas equações (22) e (23), temos

ρ(1)22 (0) =

|Ω|2

2G2, ρ

(1)12 (0) =

∆ωΩ

2G2

ρ(2)22 (0) = −|Ω|

2

4G2, ρ

(2)12 (0) =

(G−∆ω) Ω

4G2

ρ(3)22 (0) = −|Ω|

2

4G2, ρ

(3)12 (0) = −(G+ ∆ω) Ω

4G2. (25)

Substituindo as equações acimas na equação (21),

ρ22 (t) =|Ω|2

4G2

(2− eiGt − e−iGt

)=|Ω|2

G2sin2

(Gt

2

)ρ12 (t) =

[∆ωΩ

2G2− (∆ω −G)

4G2ΩeiGt − (∆ω +G)

4G2Ωe−iGt

]ei∆ωt

=2Ω

4G2[∆ω −∆ω cos (Gt) + iG sin (Gt)] ei∆ωt

=Ω

G2sin

(Gt

2

)[∆ω sin

(Gt

2

)+ iG cos

(Gt

2

)]ei∆ωt, (26)

onde usamos as propriedades trigonométricas cosx = 1−2 sin2 (x/2) e sinx = 2 sin (x/2) cos (x/2).

Na figura (1-a), temos a evolução temporal da população, ρ2(t) para diversos valores de Ω

e ∆ω. É possível observar que para o instante inicial, t = 0, o átomo se encontra no estado

fundamental (ρ11(0) = 1, ρ22(0) = 1). Para t > 0, a probabilidade de encontrar o átomo no

estado excitado (|2〉) oscila, ou seja, ocorrem inversões da população entre os estados |1〉

e |2〉 ao longo do tempo. Na figura (1-b), foi fixado um valor de tempo, t = π/2, e feito

o gráfico da população em função da frequência ∆ω. Podemos notar que para Ω = 1 a

população está distribuída de maneira igual entre os estados |1〉 e |2〉. Considerando o caso

que Ω = 2, esta simetria é quebrada, fazendo com que toda a população seja transferida

para o estado excitado |2〉. Por fim, no caso em que Ω = 3, temos o retorno da simetria

populacional do sistema.

8

Ω=1 ,Δω=1

Ω=2 ,Δω=1

Ω=1 ,Δω=2Ω=1

Ω=2

Ω=3

t=π2

(a) (b)

Figura 1. (a) Evolução temporal da população do estado ρ22(t) para diversos valores das frequências

Ω e ∆ω . (b) Gráfico da população ρ22 em função da frequência ∆ω considerando um tempo t = π/2.

VI. O VETOR DE BLOCH ATÔMICO

Nesta seção apresentaremos uma notação alternativa para a equação de movimento. As-

sim, para um sistema de dois níveis podemos definir uma base utilizando as matrizes de

Pauli da seguinte maneira

1

0

= |1〉 ,

0 1

0 0

= |1〉 〈2| = σ− ,

0 1

1 0

= σ+ + σ− = σx,

0

1

= |2〉 ,

0 0

1 0

= |2〉 〈1| = σ+ ,

0 −i

i 0

=1

i

(σ+ − σ−

)= σy,

1 0

0 0

= σ+σ− ,

0 0

0 1

= σ+σ− ,

1 0

0 −1

=[σ−, σ+

]= σz, (27)

9

onde o vetor σ = (σx, σy, σz) é chamado de vetor de Bloch. Desta maneira, a matriz

densidade pode ser expandida utilizando esta baseρ11 ρ12

ρ21 ρ22

= ρ11 |1〉 〈1|+ ρ12 |1〉 〈2|+ ρ21 |2〉 〈1|+ ρ22 |2〉 〈2|

= ρ11σ−σ+ + ρ12σ

− + ρ21σ+ + ρ22σ

+σ−

=

〈σ−σ+〉 〈σ−〉

〈σ+〉 〈σ+σ−〉

. (28)

Então, podemos definir o vetor de Bloch atômico da seguinte forma

β ≡

2Re (ρ12)

2Im (ρ12)

ρ22 − ρ11

=

〈σ−〉+ 〈σ+〉

i (〈σ−〉 − 〈σ+〉)

〈σ+σ−〉 − 〈σ−σ+〉

=

〈σx〉

〈σy〉

〈σz〉

(29)

onde ρ12 = 〈σ−〉, 2Re (ρ12) = ρ12 + ρ∗12 e 2Im (ρ12) = ρ12 − ρ∗12. Além disso, temos que

as quantidades ρ12 descreve a polarização e ρ11 − ρ22 a inversão de população do átomo.

Podemos então definimos o vetor G como

G =

Ω

0

∆ω

, (30)

no qual a norma do vetor é simplesmente a frequência de Rabi generalizada ‖G2‖ = G =√

Ω2 + ∆ω2. Com isto, podemos formalizar as equações de Bloch utilizando esta represen-

tação vetorialdβ

dt= G× β. (31)

Considerando condições iniciais mais simples como

βx (0) = 0, βy (0) = 0 e βz (0) = −β, (32)

a solução da equação de movimento (31) se dá por

βx = |β|Ω∆ω

G2[cos (Ωt)− 1] ,

βy = |β|ΩG

sin (ωt) ,

βz = −|β|[1 +

Ω2

G2cos (Ωt− 1)

]. (33)

10

A partir da equação (33) vemos que para o instante inicial t = 0, o vetor de Bloch aponta

para a direção −z, ou seja, toda a população está presente no estado fundamental do sistema.

Para t > 0, o vetor gira no plano x−y no sentido anti-horário. Especificamente para o tempo

t = π/(2Ω), o vetor de Bloch aponta para a direção y e considerando t = π/Ω, vemos que ele

aponta para z. Com isso, temos que toda a população foi transferida para o estado excitado

e o vetor de Bloch continua a girar em torno de G com frequência proporcional a força Ω

da interação do átomo com o campo.

VII. EQUAÇÕES DE BLOCH COM EMISSÃO ESPONTÂNEA

Nesta seção, trataremos o problema equivalente da seção (V) adicionando o termo de

emissão espontânea na matriz da evolução temporal dos estados. Um aspecto importante

a ser ressaltado é o fato que o termo proporcional a emissão espontânea, no contexto das

equações ópticas de Bloch, é adicionado a mão. Para o mesmo aparacer naturalmente na

derivação das equações, temos que fazer uso de um formalismo mais complexo, onde utiliza-

se sistemas quânticos abertos. Desta forma, podemos escrever a matriz presente na equação

(19) da forma

d

dt

ρ11

ρ22

ρ12

ρ21

=1

2

−4γ 0 iΩ −iΩ

4γ 0 iΩ iΩ

iΩ −iΩ −2 (i∆ω − γ) 0

−iΩ iΩ 0 2 (i∆ω − γ)

ρ11

ρ22

ρ12

ρ21

. (34)

Considerando as condições de contorno da seguinte forma ρ11(0) = 1, ρ22(0) = 0, ρ12(0) = 0

e ρ21(0) = 0, a solução da equação (34) é

ρ22 (t) =1

2

|Ω|2

|Ω|2 + 2γ2

1−

[cos (Gt) +

3γ

sGsin (Gt)

]e

3γ2G

, (35)

em que G =√

Ω2 + γ2. A equação (35) nos fornece a população do estado ρ22(t) em

função do tempo. Assim, podemos considerar um caso mais simples, no qual vamos impor a

condição de solução estacionário, ou seja, ρi,j(t) = 0. Desta maneira, as soluções da equação

(34) ficam da seguinte forma

ρ22 (0) =1

4

|Ω|2(∆ω2 + 1

2|Ω|2 + γ2

) ,ρ12 (0) =

ei∆ωt

2

Ω (∆ω − iγ)

∆ω2 + 12|Ω|2 + γ2

, (36)

11

onde tanto as populações e as coerências dependem da frequência Ω e podemos definir uma

largura efetiva, tal que

Γef = 2

√|Ω|2

2+

Γ2

4. (37)

Podemos observar na figura (2) o espectro da população ρ22(0) da equação (36). Anali-

sando a figura, podemos notar que conforme aumentamos o parâmetro γ, responsável pelo

termo de emissão espontânea, ocorre um alargamento da linha. Na figura (3) temos os

gráficos da parte real e imaginária da coerência, ρ12(0), do sistema.

Como a frequência Ω depende do campo elétrico aplicado, tal que Ω = d12 ·E0/~, então a

largura efetiva, Γef, depende da intensidade do campo de luz aplicado. A este processo é dado

o nome de alargamento por potência. Além dele, existem outros processos de alargamento,

como o causado por colisões, efeito Doppler, que não serão tratados nesta monografia.

ρ12

Δ ω

Ω=1 ,γ=0

Ω=1 ,γ=0.5

Ω=2 ,γ=1

Figura 2. Gráfico da população ρ22(0) em função da frequência ∆ω no estado estacionário.

12

Ω=1 ,γ=1

Ω=0.4 ,γ=1

Ω=1 ,γ=0.3

Ω=1 ,γ=1

Ω=0.4 ,γ=1

Ω=1 ,γ=0.3

ℜ(ρ

12)

ℑ(ρ

12)

Δ ω Δ ω

(a) (b)

Figura 3. Gráfico da coerência ρ12(0) em função da frequência ∆ω no estado estacionário. (a) parte

real, Re [ρ12(0)] e (b) parte imaginária, Im [ρ12(0)].

[1] P. W. Courteille, Disponível em: <http://www.ifsc.usp.br/ stron-

tium/Publication/Scripts/LuzMateriaScript.pdf>.

[2] F. Bloch, Physical Review 70, 460 (1946).

13