Soluçao Prova Estrutura da Matéria
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8/18/2019 Soluçao Prova Estrutura da Matéria
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Universidade Federal do Maranhão
Departamento de Física
Disciplina: Estrutura da Matéria
Profº Edson Carvalho
1ª Avaliação - Solução
1.
a) Use a relação ⁄ para encontrar a expressão de.b)
Encontre a expressão de em coordenadas cartesianas.c) Use a expressão de para obter as de .
Sabe-se que
então,
Quando ⁄ , teremos
isto é,
Para encontrar de , teremos que aplicar o operador escada ̂ em de duasmaneiras:
- algebricamente
̂ √ e que
√ ̂ Usaremos agora a forma diferencial de ̂:
̂
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Substituindo esta última expressão na anterior, teremos
√ ̂ Para encontrara a partir de, tem-se que aplicar ̂ em de duas maneiras:
̂ √ e que
√ ̂ usando a diferencial de ̂:
̂
Substituindo esta expressão, teremos
√ ̂ 2. Os resultados da experiência de Stern-Gerlach contrariam a teoria quântica de Schrödinger?
Explique fisicamente as propriedades do spin.
O experimento realizado por Stern-Gerlach mostra que a dinâmica do momento de dipolo
magnético é uma evidência experimental da quantização espacial. O fato de ser observado
somente duas componentes discretas, mostra que a teoria de Schrödinger estava incompleta e
que dever-se-ia levar em consideração o movimento do núcleo carregado em torno do seu
próprio eixo, portanto, existe um número quântico de valores semi-inteiros ⁄ e ⁄ que possui características semelhantes a ⃗ .As propriedades dos spins resumem-se a existência de somente uma componente
de
com
incerteza nula, em que sua orientação é descrita pelos estados de spin-up e spin-down.
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3. (a) Desenhe o diagrama dos níveis de energia do átomo de hidrogênio para todos os estados
até , mas explicando também os desdobramentos segundo e . (b) Com flechasconectando os pares de níveis, indique todas as transições que são permitidas pelas regras de
seleção.
Ver nota de aula!
4.A O átomo de hidrogênio pode ser visto como duas partículas carregadas – um próton e um
elétron com potencial de interação de Coulomb entre eles. Escreva a equação de Schrödinger
para este sistema e o separe em duas partes: uma descrevendo o movimento do centro de
massa, e outra descrevendo o movimento relativo do próton e do elétron.
A equação de Schrödinger para o sistema próton – elétron é dada por
Para o sistema em questão, temos que o potencial é definido como
e a coordenada do centro de massa dada por
Os laplacianos para os dois sistemas de referências são
e
analogamente, temos , , e . Substituindo esses operadores na equação deSchrödinger, temos
{
} em que . Podemos separar a função de onda em duas partes, a primeira partedepende somente do centro de massa e a segunda das coordenadas relativas, isto é, da seguinte forma
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como cada lado deve ser igual a uma constante, então
( ) e
em que é a energia cinética translacional no referencial do centro de massa e é aenergia relativa. Ambas são provenientes da relação .
4.B A autofunção de um elétron no átomo de hidrogênio é
⁄ , em que
;
é o raio de Bohr (a carga nuclear é e o átomo contém somente um elétron). (a)Calcule a constante de normalização. (b) Se o número nuclear é e , qual é aprobabilidade do elétron está no núcleo? Assuma que o raio do núcleo é ⁄ fm. (c)Qual é a probabilidade do elétron está na região ?
(a) A condição de normalização é dada por
∭ então
⁄
⁄
como ∫ ⁄ . Portanto,
√
(b)
A probabilidade do elétron se encontrar no núcleo é
|| ⁄ o fato de ser pequeno comparado a , possibilita-nos considerar || como umaconstante no núcleo, ou seja, ⁄ ⁄ . Assim,
em que .(c)
A função de onda é independente de e . Assim, a probabilidade do elétron está em do espaço (isto é, em ) é simplesmente .
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5 As relações de comutação fundamentais para o momento angular permitem autovalores
semi-inteiros (bem como inteiros). Mas, para o momento angular orbital, apenas os valores
inteiros ocorrem. Deve haver alguma restrição extra na forma específica que excluios valores semi-inteiros. Seja uma constante conveniente para as dimensões decomprimento (o raio de Bohr, por exemplo, se estivermos falando de hidrogênio), defina os
operadores
√ ; √ ;
√ ; √ .(a) Verifique que ; . Desse modo, os e os
satisfazem as relações de comutação canônicas para a posição e momento, e aqueles
do índice 1 são compatíveis com o índice 2.Quando [ ] e segue que . Da mesma forma,quando [ ] e segue que . Estes novosoperadores satisfazem as mesmas relações de comutação como as posições
tradicionais e os operadores momentos lineares.
(b)
Demonstre que
.(c) Verifique que , em que cada é o Hamiltoniano para um oscilador
harmônico com massa
Podemos expressar em termos dos novos operadores
Logo,
O Hamiltoniano do oscilador harmônico é dado por
como e , então
esta expressão pode ser reescrita como sendo
Utilizando a relação final encontrada na letra (b), temos então que
(d) Sabe-se que os autovalores para o oscilador harmônica são dados por
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com . Isso implica que os autovalores dos operadores são
Então, Portanto, e que deve ser um número inteiro.