Solução Numérica de Equação Integro-Diferencial …€¦ · Abstract The theory of the...

Agradecimentos

DUrante os anos de conclusão deste trabalho muitos foram os apren-dizados, desafios, dificuldades e conquistas. E nesse momento éhora de agradecer a todos que contribuíram.

Agradeço:

À Deus acima de tudo.

À minha esposa Camila pelo carinho e companheirismo durante todosesses anos.

Aos meus familiares, amigos e parentes que estando ou não ao meu ladosempre me incentivaram.

À Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC, pela oportunidade econcessão do apoio financeiro.

Ao Prof. José Alberto Cuminato, pela disponibilidade, paciência e ori-entação.

Ao Prof. Alistair Fitt da universidade de Southampton pela grande con-tribuição dada a este trabalho.

A todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização destetrabalho.

i

Resumo

A Teoria das equações integrais, desde a segunda metade do séculoXX, tem assumido um papel cada vez maior no âmbito de proble-mas aplicados. Com isso, surge a necessidade do desenvolvimento

de métodos numéricos cada vez mais eficazes para a resolução deste tipo deequação. Isso tem como consequência a possibilidade de resolução de umagama cada vez maior de problemas. Nesse sentido, outros tipos de equa-ções integrais estão sendo objeto de estudos, dentre elas as chamadasequa-ções integro-diferenciais. O presente trabalho tem como objetivo o estudodas equações integro-diferenciais singulares lineares e não-lineares. Maisespecificamente, no caso linear, apresentamos os principais resultados ne-cessários para a obtenção de um método numérico e a formulação de suaspropriedades de convergência. O caso não-linear é apresentado através deum modelo matemático para tubulações em um tipo específico de reator nu-clear (LMFBR) no qual origina-se a equação integro-diferencial. A partir daequação integro-diferencial um modelo numérico é proposto com base nascondições físicas do problema.

iii

Abstract

The theory of the integral equations, since the second half of the20th cen-tury, has been assuming an ever more important role in the modelling of ap-plied problems. Consequently, the development of new numerical methodsfor integral equations is called for and a larger range of problems has beenpossible to be solved by these new techniques. In this sense, many types ofintegral equations have been derived from applications and been the objectof studies, among them the so calledsingular integro-differentialequation.The present work has, as its main objective, the study of singular integro-differential equations, both linear and non-linear. More specifically, in thelinear case, we present our main results regarding the derivation of a nume-rical method and its uniform convergence properties. The non-linear caseis introduced through the mathematical model of boiler tubes in a specifictype of nuclear reactor (LMFBR) from which the integro-differential equa-tion originates. For this integro-differential equation a numerical method isproposed based on the physical conditions of the problem.

v

Conteúdo

Agradecimentos i

Resumo iii

Abstract v

1 Introdução 11.1 Contextualização. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Conceitos Preliminares 52.1 O Problema de Valor de Fronteira de Hilbert para Arcos Abertos. . . . . . . . . . 9

2.1.1 Solução do Problema Homogêneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 Solução do Problema Não-Homogêneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Solução de Equações Integrais Singulares Lineares para Arcos Abertos. . . . . . . 142.2.1 Solução da Equação Dominante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Solução da Equação Completa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Solução Numérica de Equações Integrais Singulares 213.1 Conceitos Iniciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213.2 Equação Integral Singular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283.3 Teoria em Termos de Operadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293.4 Método Numérico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

3.4.1 Convergência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .343.5 Exemplo Numérico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

4 Equação Integro-diferencial Linear 434.1 Revisão Bibliográfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434.2 Conceitos Iniciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .454.3 Método Numérico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .484.4 Lemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .514.5 Propriedades dos Operadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .574.6 Convergência Uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

vii

viii

4.7 Exemplos Numéricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .684.7.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .684.7.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .704.7.3 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

4.8 Equação da Vela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

5 Equação Integro-diferencial singular na modelagem de tubulações em um LMFBR 775.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .775.2 O Sistema LMFBR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .785.3 O Modelo Matemático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

5.3.1 A Camada Fina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .805.3.2 Transferência de Massa na Superfície Livre. . . . . . . . . . . . . . . . . 815.3.3 Fluxo de Vapor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .815.3.4 Transferência de Calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

5.4 A Equação Integro-diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .835.5 Problema Modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

5.5.1 Reformulacão do Problema e Regularização. . . . . . . . . . . . . . . . . 855.5.2 Análise Assintótica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

5.6 Método Numérico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .905.7 Resultados Numéricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

5.7.1 Determinação do ComprimentoL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6 Considerações Finais 97

A Anexos 99A.1 Análise da derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99A.2 Nomenclatura e Valores Típicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

Bibliografia 104

CAPÍTULO

1Introdução

1.1 Contextualização

A teoria de equações integrais tem sido amplamente estudada desde a primeira metade do sé-

culo passado. No início a teoria era pouco difundida entre a comunidade científica, mas no decorrer

dos anos, dada a grande quantidade de situações práticas, em diversas áreas, que envolviam a ne-

cessidade de resolução de equações integrais, houve um crescente interesse no desenvolvimento

da teoria, não apenas por matemáticos mas também por pesquisadores de outras áreas.

Pode-se dizer que em alguns aspectos a teoria de equações integrais se parece com a teoria de

equações diferenciais parciais. Por exemplo, da mesma forma que existem vários tipos de EDP´s

o mesmo acontece com equações integrais e, cada tipo possui sua própria teoria. De acordo com

Golberg (1978), a primeira grande divisão é entre as equações integrais uni-dimensionais e multi-

dimensionais. A ênfase dada pelos pesquisadores, de um modo geral, é pelo caso unidimensional.

Em seguida, podemos subdividir as equações integrais em lineares e não-lineares, cada uma das

quais apresentando vários tipos.

Dentre os tipos existentes de equações integrais, nos restringiremos nesse trabalho ao estudo

de equações integrais singulares com núcleo de Cauchy (ou simplesmente equação integral de

1

2 1.1. CONTEXTUALIZAÇÃO

Cauchy) no caso linear. São equações da forma

a(x)φ(x) +b(x)

π

∫L

− φ(t)

t− xdt+

∫L

k(x, t)φ(t) dt = f(x)

onde as funçõesa, b, k ef são conhecidas,φ é a solução da equação eL é uma curva suave, aberta

ou fechada, emIR2. A notação∫−, para a integral, se refere ao valor principal de Cauchy o qual

será definido no próximo capítulo.

Uma generalização das equações integrais é obtida considerando não apenas integrais da fun-

ção incógnita mais também suas derivadas, isso dá origem às chamadas equações

integro-diferenciais. Basicamente podemos classificá-las em lineares e não-lineares e, dada a

gama maior de possibilidades, não possuem em geral classificação quanto ao tipo de equação.

O tratamento de equações integro-diferenciais muitas vezes se dá pela redução da mesma a um

tipo conhecido de equação integral. Esse procedimento é utilizado no Capítulo 4.

De maneira parecida com o que ocorre para equações diferenciais pode-se dizer que os tra-

balhos, tanto em equações integrais quanto em equações integro-diferenciais, avançam em duas

linhas a priori distintas, mais que se completam, sendo uma preocupada com o desenvolvimento

de métodos e técnicas numéricas para a resolução de problemas de natureza prática, e outra mais

preocupada com uma análise matemática mais teórica, tendo como principal ferramenta sofistica-

dos resultados da teoria de análise funcional. Esta última linha também está mais ligada à prova

da convergência dos métodos, bem como a busca de altas ordens de precisão na obtenção dos

resultados numéricos.

O objetivo deste trabalho é o estudo de equações integro-diferenciais singulares (que apresen-

tam núcleo de Cauchy) no caso linear e não-linear, as quais têm grande destaque na literatura e

encontram aplicações em diversas áreas como teoria da elasticidade, aerodinâmica, mecânica dos

fluidos, etc. Mais especificamente, estaremos interessados na obtenção de um método numérico

para a resolução das equações e, conseqüentemente, dos problemas relacionados a ela. Além de

propor o método numérico, no caso linear, estaremos também interessados na obtenção de resulta-

dos teóricos que validem a aplicação do mesmo, ou seja, resultados relacionados à consistência e

convergência do método.

Dentre os tipos de equações integro-diferenciais estudadas veremos que, no caso linear, é pos-

sível a transformação desse tipo de equação em uma equação integral de Cauchy. Já no caso

não-linear necessita-se de uma outra abordagem, porém utilizando de aspectos teóricos das equa-

ções integrais de Cauchy. Sendo assim os Capítulos 2 e 3 deste trabalho serão dedicados ao estudo

das equações integrais de Cauchy no caso linear.

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3

No Capítulo 2 é dado um tratamento apenas teórico ao assunto. Veremos que a teoria desen-

volvida para o tratamento do chamadoproblema de valor de fronteira de Hilberttem uma relação

direta com a teoria de equações integrais de Cauchy, ou seja, em um certo sentido veremos que en-

contrar a solução de equações integrais de Cauchy se reduz à resolução do problema de Hilbert. No

Capítulo 3, estaremos interessados na obtenção de um método numérico para a solução da equação

integral de Cauchy. Além disso será feita uma abordagem teórica no que se refere a convergência

deste método. Tanto o Capítulo 2 quanto o Capítulo 3 se referem a aspectos teóricos já descritos na

literatura (ver, por exemplo,Cuminato (1987a)). No Capítulo 4 passaremos ao estudo original de

equações integro-diferenciais. Estaremos interessados no estudo de equações integro-diferenciais

da forma:

a(x) ϕ(x) +1

π

∫ 1

−1

− ϕ′(t)

t− xdt+

∫ 1

−1

k(x, t)ϕ′(t) dt+

∫ 1

−1

l(x, t)ϕ(t) dt = f(x) |x| < 1

sendo quea, k, l ef são funções conhecidas sobre[−1, 1] (sobre[−1, 1]× [−1, 1] no caso dek e l)

e a funçãoϕ(x) satisfaz uma determinada condição de fronteira. Veremos que esse tipo específico

de equação integro-diferencial se reduz à uma equação integral de Cauchy. Porém, tanto o método

numérico quanto os resultados de convergência precisam passar por modificações não triviais, as

quais dão origem à necessidade de novos resultados, principalmente no que tange à convergência.

Ao final do capítulo serão apresentados exemplos numéricos que são úteis no entendimento dos

aspectos e detalhes do método numérico, bem como a possibilidade de aplicação desse método em

outras situações. No Capítulo 5, alguns conceitos da teoria de equações integrais relacionados ao

núcleo de Cauchy são utilizados na elaboração de um método numérico para a resolução de um

tipo específico de equação integro-diferencial não linear. Tal equação tem origem na modelagem de

tubulações de água usadas em certos tipos de reatores nucleares. Por se tratar de um tipo específico

de uma equação integro-diferencial não linear, não se tem ainda na literatura nenhum tratamento

teórico tanto no que tange à solução quanto à aspectos ligados ao método numérico. No entanto,

é possível verificar a consistência dos resultados numéricos obtidos dadas as características físicas

do problema. Em outras palavras, é feita uma análise, baseada nos conceitos físicos intrínsecos ao

problema, para se verificar se a solução numérica obtida realmente condiz com o que se espera na

prática.

CAPÍTULO

2Conceitos Preliminares

Neste capítulo serão introduzidas as definições de alguns conceitos e fatos que serão utilizados

durante o desenvolvimento da teoria de Equações Integrais Singulares (EIS). No desenvolvimento

da teoria de EIS o chamado “Problema de Valor de Fronteira de Hilbert” desempenha um impor-

tante papel. Por se tratar de um problema já conhecido na literatura, omitiremos aqui os detalhes da

sua apresentação e nos restringiremos apenas à alguns conceitos e definições provenientes deste.

O problema em detalhes pode ser encontrado emMuskhelishvili (1953).

Definição 2.1.Um contorno suaveL é uma curva aberta ou fechada, no plano complexo dada

por:

(ρ(s), υ(s)), a ≤ s ≤ b

satisfazendo:

• s1, s2 ∈ (a, b), ρ(s1) = ρ(s2) e υ(s1) = υ(s2) ⇒ s1 = s2. Quandoρ(a) = ρ(b) e

υ(a) = υ(b) ⇒ L é um contorno suave fechado;

• ρ′(s) eυ′(s) são contínuas e nunca se anulam simultaneamente ao longo deL;

• ρ′(a) = ρ′(b) eυ′(a) = υ′(b), quandoL é fechado.

5

6

Definição 2.2.SejamL um contorno suave,ϕ uma função (real ou complexa) definida sobreL.

Dizemos queϕ satisfaz a condição de Hölder sobreL se para quaisquerx, y emL,

|ϕ(x)− ϕ(y)| ≤ A|x− y|σ

ondeA > 0 é uma constante, denominada constante de Hölder e0 < σ ≤ 1 é denominado índice

de Hölder.

De acordo com a Definição, podemos definir o espaço de todas as funções que satisfazem a

condição de Hölder sobreL com índice0 < σ ≤ 1, ou seja, definimos

Hσ(L) =

ϕ : sup

x 6=y∈L

|ϕ(x)− ϕ(y)||x− y|σ

:= Mϕ <∞

(2.0.1)

munido da norma Hölder

||ϕ||Hσ := ||ϕ||∞ +Mϕ, (2.0.2)

ondeMϕ é uma constante a qual depende deϕ e ||ϕ||∞ := supx∈L |ϕ(x)|. Nessas condições

Hσ (L) é um espaço de Banach (Muskhelishvili (1953)).

De maneira análoga podemos definir a condição de Hölder para uma função de duas ou mais

variáveis.

Definição 2.3.SejaL um contorno suave aberto. Dizemos queϕ é Hölder contínua sobreL, e

denotamos porϕ ∈ H∗, quandoϕ satisfaz a condição de Hölder sobreL exceto possivelmente

nos extremos ondeϕ deve ser integrável.

Definição 2.4.SejaL um contorno suave, eϕ ∈ Hσ(L). Definimos o valor principal da integral

de Cauchy deϕ no pontox deL por:∫L

− ϕ(t)

t− xdt ≡ lim

δ→0+

∫L−l

ϕ(t)

t− xdt

ondeL − l é o contorno obtido subtraindo-se deL a intersecção deL com um círculo de raioδ

centrado no ponto x, conforme figura2.1abaixo.

SejaL o contorno suave definido em2.1. DenotaremosL = ab para indicar queL é o contorno

de extremosL(a) e L(b). Por vezes, também nos referiremos aos pontosa e b como sendo os

extremos deL. Definimos emL a orientação positiva como sendo dea parab. Numa vizinhança

de cada pontox0 ∈ L não coincidindo com nenhum dos extremos, podemos considerar um círculo

de raio pequeno o suficiente de modo queL divida esse círculo em duas regiões, uma à direita

e outra à esquerda deL, quando percorremosL no sentido positivo, de acordo com a figura2.2

CAPÍTULO 2. CONCEITOS PRELIMINARES 7

Figura 2.1: ContornoL− l

abaixo. Nos referiremos à essas regiões como sendo vizinhanças à direita, denotada porD+ e à

esquerda, denotada porD− do pontox0, respectivamente. QuandoL é um contorno fechado a

parte do plano que é limitada porL será denotada porD+ e a parte não limitada porD− e nesse

caso a orientação é definida de forma queD+ esteja sempre à esquerda quando percorremos a

curva, de acordo com a figura.

Figura 2.2: Regiões definidas pela curvaL

O primeiro resultado de grande importância desta seção é o lema

Lema 2.1. SejaL um contorno suave eϕ ∈ Hσ(L). Então a função

Φ(z) =1

2πi

∫L

ϕ(t)

t− zdt

é contínua à direita e à esquerda deL, exceto naqueles extremos ondeϕ(x) 6= 0.

A demonstração deste resultado pode ser encontrada emMuskhelishvili (1953).

Usaremos mais adiante o caso particular em quez = x ∈ L e com isso a função,

Φ(x) =1

2πi

∫L

− ϕ(t)

t− xdt

8

é contínua sobreL exceto possivelmente nos extremos ondeϕ(x) 6= 0.

O próximo teorema tem grande importância dentro da teoria de EIS e é conhecido comoas

fórmulas de Plemelj-Sokhotski.

Teorema 2.1.(Plemelj-Sokhotski) Sejaϕ ∈ Hσ(L), para cadaz /∈ L e para cadax ∈ L que não

seja um dos extremos, defina:

Φ(z) =1

2πi

∫L

ϕ(t)

t− zdt

Φ+(x) = limz→x

Φ(z), z ∈ D+

Φ−(x) = limz→x

Φ(z), z ∈ D−.

Então,

Φ+(x) =1

2ϕ(x) +

1

2πi

∫L

− ϕ(t)

t− xdt

Φ−(x) = −1

2ϕ(x) +

1

2πi

∫L

− ϕ(t)

t− xdt

(2.0.3)

Demonstração:

Vamos fazer a demonstração para o caso em queL é um contorno fechado. Usaremos também

a seguinte fórmula ∫L

dt

t− z=

2πi, z ∈ D+

0, z ∈ D−

πi, z ∈ L(2.0.4)

Sejax ∈ L, podemos reescreverΦ(z) da seguinte forma,

Φ(z) =1

2πi

∫L

ϕ(t)

t− zdt =

1

2πi

∫L

ϕ(t)− ϕ(x)

t− zdt+

ϕ(x)

2πi

∫L

dt

t− z.

Agora pelo Lema2.1e das igualdades2.0.4acima, temos

Φ+(x) = ϕ(x) +1

2πi

∫L

− ϕ(t)− ϕ(x)

t− xdt

= ϕ(x) +1

2πi

[∫L

− ϕ(t)

t− xdt− ϕ(x)

∫L

− dt

t− x

]=

1

2ϕ(x) +

1

2πi

∫L

− ϕ(t)

t− xdt

De maneira análoga obtemos a fórmula paraΦ−(x).


Obs.: 1) A prova para o caso em queL não é um contorno fechado é discutida emMuskhelishvili

(1953) ;

2) Uma conseqüência das fórmulas (2.0.3) é que,

Φ+(x) + Φ−(x) =1

πi

∫L

− ϕ(t)

t− xdt (2.0.5)

Φ+(x)− Φ−(x) = ϕ(x) (2.0.6)

2.1 O Problema de Valor de Fronteira de Hilbert para Ar-

cos Abertos

SejamL1, L2, . . . , Lp, p contornos suaves abertos que não se interceptam, com um sentido

positivo fixado. DefinimosL como sendo a união desses contornos e denotamos,

L = L1 + L2 + · · ·+ Lp .

Os extremos de cada um dos contornos serão denotados poraj e bj tais que o sentido positivo em

Lj é deaj parabj. Denotaremos porS os pontos do plano que não pertencem aL.

Definição 2.5. SejaL o contorno definido acima, dizemos que uma funçãoΦ(z), da variável

z = x + iy, é seccionalmente holomorfa com linha de descontinuidadeL, seΦ(z) é holomorfa

emS e é contínua sobreL à direita e à esquerda, exceto possivelmente nos extremos ondeΦ deve

satisfazer

|Φ(z)| ≤ C

|z − c|α, 0 ≤ α < 1, (2.1.1)

ondeC > 0 é uma constante ec representa qualquer um dos extremos deL1, L2, . . . , Lp. Além

disso para|z| grande devemos ter

Φ(z) =+∞∑

j=−∞

ajzj,

onde há somente um número finito de termos com potência positiva dez. Nesse caso dizemos que

Φ(z) tem grau finito no infinito.

Tendo essa definição em mente, sejamG(x) eg(x) funções Hölder contínuas sobreL eG(x) 6=0 sobreL. O problema de valor de fronteira de Hilbertconsiste em encontrar uma funçãoΦ(z)

seccionalmente holomorfa, tendo grau finito no infinito para a qual uma das seguintes condições

102.1. O PROBLEMA DE VALOR DE FRONTEIRA DE HILBERT PARA ARCOS ABERTOS

de fronteira estão satisfeitas

Φ+(x) = G(x)Φ−(x) sobreL (problema homogêneo) (2.1.2)

Φ+(x) = G(x)Φ−(x) + g(x) sobreL (problema não-homogêneo) (2.1.3)

2.1.1 Solução do Problema Homogêneo

Considere,

Γ(z) =1

2πi

∫L

log(G(t))

t− zdt ,

ondelog(G(t)) é um ramo do logaritmo que varia continuamente sobre cada contornoLj.

Afirmamos queeΓ(z) satisfaz (2.1.2). De fato, aplicando a conseqüência da fórmula de Plemelj-

Sokhotski (2.0.6) na funçãoΓ(z) obtemos

Γ+(x)− Γ−(x) = log(G(x)),

com isso,

eΓ+(x)e−Γ−(x) = G(x)

ou seja,

eΓ+(x) = G(x)eΓ

−(x). (2.1.4)

Com isso concluímos que a funçãoeΓ(z) satisfaz a condição (2.1.2). Por outro lado podemos

observar que no enunciado do problema de Hilbert, necessitamos que a funçãoΦ(z) seja seccio-

nalmente holomorfa e, com isso, a condição (2.1.1) pode não se verificar paraeΓ(z), quando não

impomos nenhuma condição.

Denote qualquer um dos extremosaj oubj deLj porck, k = 1, 2, . . . , 2p, então como pode ser

encontrado emMuskhelishvili (1953) pg. 74, numa vizinhança do pontock, podemos escrever

Γ(z) =1

2πi

[∫L

log(G(ck))

t− zdt+

∫L

log(G(t))− log(G(ck))

t− zdt

]= ± log(G(ck))

2πilog(z − ck) + Γ0(z)

ondeΓ0(z) é limitada numa vizinhança deck. O sinal “+” aparece quandock = aj e o sinal “-”,

quandock = bj. Então

eΓ(z) = (z − ck)αk+iβkeΓ0(z) = (z − ck)

αk+iβkΩ(z)


numa vizinhança do pontock, onde

αk + iβk = ± log(G(ck))

2πie Ω(z) = eΓ0(z).

Agora vamos escolher inteirosλk, k = 1, 2, . . . , 2p, com a propriedade

−1 < αk + λk < 1 (2.1.5)

e considere

Π(z) = (z − c1)λ1(z − c2)

λ2 · · · (z − c2p)λ2p .

Defina a função

X(z) = Π(z)eΓ(z), (2.1.6)

X(z) satisfaz todas as condições do problema de Hilbert. De fato,

X+(x) =Π(x)eΓ+(x)

X−(x) =Π(x)eΓ−(x)

e usando (2.1.4) vemos queX(z) satisfaz a condição de fronteira (2.1.2). De (2.1.5) vemos que

X(z) é seccionalmente holomorfa e, portanto, é a solução procurada do problema de Hilbert.

Na verdade o problema ainda não está completamente resolvido, pois como pode-se verificar

a condição (2.1.5) não determina unicamente a soluçãoX(z) (podemos ter mais de uma escolha

paraλk), somente teremos unicidade no caso daqueles extremos para os quaisαk é um número

inteiro pois, neste caso,λk = −αk. Os extremos para os quais isso acontece serão denominados

extremos especiaise os demais,extremos não-especiais.

Dependendo do valor deλk escolhido a solução pode ser limitada ou ilimitada nos extremos.

Definição 2.6.Sejamc1, c2, . . . , cm todos os extremos não-especiais. Dizemos que a soluçãoΦ(z)

está na classeh(c1, c2, . . . , cq), ondeq ≤ m, se é limitada nos extremosc1, c2, . . . , cq.

A classe em que as soluções sãoilimitadas em todos os extremos não-especiais é denotada por

h0. A classe em que as soluções sãolimitadas em todos os extremos não-especiais é denotada por

hm.

Definição 2.7.A soluçãoX(z) pertencente a uma certa classe, obtida pela escolha deλk será

chamadasolução fundamental.

Definiremos a seguir a noção de índice de uma dada classe de soluções, o qual terá um papel

importante no tratamento das equações integrais singulares.

122.1. O PROBLEMA DE VALOR DE FRONTEIRA DE HILBERT PARA ARCOS ABERTOS

Definição 2.8.O inteiro

κ = −2p∑

j=1

λj (2.1.7)

será chamado oíndiceda classe de soluçõesh(c1, c2, . . . , cq).

Obs.: Podemos verificar a partir de (2.1.6) e da definição deΓ(z) queX(z) tem grau grau−κ no

infinito e que

limz→∞

zκX(z) = 1.

Definição 2.9.Denominamosfunção fundamentalda classeh(c1, c2, . . . , cq), a função dada por:

Z(x) = Π(x)eΓ(x), x ∈ L. (2.1.8)

Lema 2.2. SejamX a solução do problema de Hilbert em uma dada classe de soluções

h(c1, c2, . . . , cq) eZ(x) a função fundamental,x ∈ L, então

X+(x) =√G(x)Z(x) (2.1.9)

X−(x) =Z(x)√G(x)

(2.1.10)

Z(x) =√X+(x)X−(x) (2.1.11)

Z(x) = w0(x)(x− c1)γ1(x− c2)

γ2 · · · (x− c2p)γ2p ∈ H∗ (2.1.12)

ondeγk = (αk + λk) + iβk e o ramo da raiz quadrada nas equações(2.1.9) e (2.1.10) é fixado

como sendo√G(x) = e1/2 log(G(x)).

A demonstração do lema pode ser encontrada emCuminato (1987a).

Teorema 2.2.Uma função seccionalmente holomorfaΦ(z) com grau finito no infinito é uma so-

lução do problema de Hilbert homogêneo(2.1.2) se e somente se

Φ(z) = P (z)X(z)

ondeP (z) é um polinômio.

A demonstração do teorema pode ser encontrada emCuminato (1987a)

2.1.2 Solução do Problema Não-Homogêneo

Analogamente ao problema homogêneo, procuramos uma solução pertencente a uma dada

classeh(c1, c2, . . . , cq). SejaX(z) a solução fundamental do problema homogêneo desta classe,


então a partir de

X+(x) = G(x)X−(x), obtemosG(x) =X+(x)

X−(x).

Substituindo a última equação em (2.1.3) obtemos a equação

Φ+(x)

X+(x)=

Φ−(x)

X−(x)+

g(x)

X+(x).

Como numa vizinhança dos extremosc1, c2, . . . , cq,X(z) torna-se zero,∣∣∣∣Φ(z)

X(z)

∣∣∣∣ < cte

|z − cj|α, α < 1

e, com isso,Φ(z)X(z)

é seccionalmente holomorfa e tem grau finito no infinito.

De acordo com essa análise, podemos perceber que o problema não-homogêneo de Hilbert

pode ser reescrito da seguinte forma: “Sejah(x) uma função de posição sobreL tal queh ∈H∗. Encontrar uma função seccionalmente holomorfaΨ(z) com grauκ no infinito que satisfaz a

seguinte condição de fronteira

Ψ+(x) = Ψ−(x) + h(x) sobreL”. (2.1.13)

A solução deste problema é dada por

Ψ(z) =1

2πi

∫L

h(t)

t− zdt+ Pκ(z), (2.1.14)

ondePκ(z) é um polinômio de grauκ eκ é o índice definido anteriormente.

A partir daí a solução do problema não-homogêneo original (2.1.3) é dada por

Φ(z) =X(z)

2πi

∫L

g(t)

X+(t)(t− z)dt+X(z)P (z) (2.1.15)

ondeP (z) é um polinômio arbitrário de grauκ.

Usando o fato já mencionado de queX(z) tem grau−κ no infinito, podemos verificar o teo-

rema abaixo.

Teorema 2.3. 1) Para κ ≥ 0 a solução do problema não-homogêneo de uma dada classe,

anulando-se no infinito é dada por

Φ(z) =X(z)

2πi

∫L

g(t)

X+(t)(t− z)dt+X(z)Pκ−1(z). (2.1.16)

142.2. SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INTEGRAIS SINGULARES LINEARES PARA ARCOS

ABERTOS2) Paraκ < 0 a solução do problema não-homogêneo de uma dada classe, anulando-se no

infinito, existe se e somente se as condições∫L

tjg(t)

X+(t)dt = 0, j = 0, 1, . . . ,−κ− 1 (2.1.17)

são válidas e, neste caso, é dada por(2.1.16) comPκ−1 ≡ 0.

A demonstração do teorema pode ser encontrada emCuminato (1987a).

2.2 Solução de Equações Integrais Singulares Lineares

para Arcos Abertos

Como já foi mencionado, existe uma relação entre o problema de valor de fronteira de Hil-

bert e a teoria de equações integrais singulares. Vamos agora apresentar essa relação para um

determinado tipo de equação integral singular.

Como anteriormente vamos considerarL = L1 +L2 + · · ·+Lp uma união de contornos suaves

abertosLj, j = 1, . . . , p, que não se interceptam, com extremosaj e bj e com orientação positiva

deaj parabj.

A equação integral a ser considerada tem a seguinte forma

a(x)φ(x) +b(x)

π

∫L

− φ(t)

t− xdt+

∫L

m(x, t)φ(t) dt = f(x) (2.2.1)

onde as funçõesa, b, m e f são reais e satisfazem a condição de Hölder sobreL. Além disso,

estaremos considerando quer(x) :=√a(x)2 + b(x)2 6= 0, ∀x ∈ L.

Escreveremos a equação (2.2.1) em termos de operadores. Para isso definimos

Aφ = a(x)φ(x) +b(x)

π

∫L

− φ(t)

t− xdt,

Mφ =

∫L

m(x, t)φ(t) dt.

A equação

Aφ = f (2.2.2)

será chamadaequação dominante, e

Aφ+Mφ = f (2.2.3)


será chamadaequação completa.

2.2.1 Solução da Equação Dominante

Primeiramente vamos trabalhar com a equação dominante. Considere a funçãoΦ(z) definida

por

Φ(z) =1

2πi

∫L

φ(t)

t− zdt

ondeφ(x) é a solução procurada da equação (2.2.2). Pelas conseqüências das fórmulas de Plemelj-

Sokhotski (2.0.5) e (2.0.6) temos

Φ+(x) + Φ−(x) =1

πi

∫L

− φ(t)

t− xdt (2.2.4)

Φ+(x)− Φ−(x) = φ(x). (2.2.5)

Substituindo essas fórmulas em (2.2.2), obtemos

a(x)(Φ+(x)− Φ−(x)) + ib(x)(Φ+(x) + Φ−(x)) = f(x)

ou, rearranjando os termos

Φ+(x) =a(x)− ib(x)

a(x) + ib(x)Φ−(x) +

f(x)

a(x) + ib(x). (2.2.6)

Note que, seφ(x) é solução de (2.2.2) então também deve satisfazer (2.2.6). Por outro lado,

(2.2.6) é exatamente o problema de Hilbert não-homogêneo comG(x) = a(x)−ib(x)a(x)+ib(x)

, se assumirmos

quea(x) − ib(x) 6= 0 e a(x) + ib(x) 6= 0 ou, equivalentemente,r(x) :=√a2(x) + b2(x) 6= 0.

Com essas hipóteses, temos queG(x) é Hölder contínua sobreL eG(x) 6= 0, ∀x ∈ L.

Obtemos assim a equivalência entre o problema de valor de fronteira de Hilbert e a equação

integral singular. Note que, essa equivalência implica que as soluções de (2.2.2) também serão

divididas em classes, e a solução geral da classeh(c1, c2, . . . , cq) será dada pela fórmula (2.1.16),

ou seja,

Φ(z) =X(z)

2πi

∫L

f(t)

(a(t) + ib(t))X+(t)(t− z)dt+X(z)Pκ−1(z), (2.2.7)

juntamente com (2.2.5), ondeX(z) é a solução do problema homogêneo associado.

Usando (2.1.9) e a expressão der(x) definida acima teremos

r(x)Z(x) =r(x)X+(x)√

G(x)= X+(x)(a(x) + ib(x)).


ABERTOS

Enunciamos o seguinte teorema (Cuminato (1987a)).

Teorema 2.4.A soluçãoφ da equação dominante(2.2.2) será dada por

φ(x) =AIf − 2ib(x)Z(x)

r(x)Pκ−1(x), seκ ≥ 0

φ(x) =AIf seκ < 0

(2.2.8)

onde

AIf =a(x)f(x)

r2(x)− b(x)Z(x)

r(x)π

∫L

− f(t)

r(t)Z(t)(t− x)dt.

Sendo que paraκ < 0 a solução existe se e somente se as condições∫L

tjf(t)

r(t)Z(t)dt = 0, j = 0, 1, . . . ,−κ− 1 (2.2.9)

ocorrem.

Demonstração:

Por (2.2.5) e (2.2.7), temos que

φ(x) =Φ+(x)− Φ−(x) = X+(x)Ψ+(x) +X+(x)Pκ−1(x)

−X−(x)Ψ−(x)−X−(x)Pκ−1(x)(2.2.10)

onde

Ψ(z) =1

2πi

∫L

f(t)

r(t)Z(t)(t− z)dt.

Por outro lado, pela fórmula de Plemelj-Sokhotski (2.0.3) podemos escrever

Ψ+(x) =1

2

f(x)

Z(x)r(x)+

1

2πi

∫L

− f(t)

r(t)Z(t)(t− x)dt

Ψ−(x) = −1

2

f(x)

Z(x)r(x)+

1

2πi

∫L

− f(t)

r(t)Z(t)(t− x)dt.

Substituindo em (2.2.10) obtemos

Φ(x) =1

2

f(x)

Z(x)r(x)

[X+(x) +X−(x)

]+

1

2πi

∫L

− f(t)

r(t)Z(t)(t− x)dt[

X+(x)−X−(x)]+ Pκ−1(x)

[X+(x)−X−(x)

].


De (2.1.9) e (2.1.10) temos

X+(x) +X−(x) =√G(x)Z(x) +

Z(x)√G(x)

=

[√a(x)− ib(x)

a(x) + ib(x)+

√a(x) + ib(x)

a(x)− ib(x)

]Z(x)

=2a(x)Z(x)

r(x).

De maneira análoga temos

X+(x)−X−(x) = −2ib(x)Z(x)

r(x),

portanto,

φ(x) =a(x)f(x)

r2(x)− b(x)Z(x)

r(x)π

∫L

− f(t)

r(t)Z(t)(t− x)dt− 2ib(x)Z(x)

r(x)Pκ−1(x).

Para o caso em queκ < 0, a condição (2.2.9) segue diretamente de (2.1.17).

Corolário 2.1. 1)AIAg = g + b(x)Z(x)r(x)

Pκ−1(x) seκ ≥ 0;

AIAg = g seκ < 0, para toda função Hölder contínuag;

2) O núcleo do operadorA tem dimensãoκ e é gerado pelo conjunto das funçõesb(x)Z(x)

r(x)1, x, x2, . . . , xκ−1.

2.2.2 Solução da Equação Completa

Vejamos agora como tratar a equação completa (2.2.3) para uma determinada classe de funções

h(c1, c2, . . . , cq). Começamos a partir de

Aφ+Mφ = f ⇒

Aφ = f −Mφ, (2.2.11)

ondef−Mφ é Hölder contínua, pois estamos assumindo quef(x) em(x, t) são Hölder contínuas.

Por hora vamos assumir também que o lado direito de (2.2.11) é conhecido e, com isso, podemos

usar o que foi feito no caso da equação dominante. A idéia é usar o Teorema2.4de maneira que a

solução de (2.2.11) pode ser escrita como

φ(x) +

∫L

N(x, t)φ(t) dt = f1(x) (2.2.12)


ABERTOS

onde

N(x, t) =a(x)m(x, t)

r2(x)− b(x)Z(x)

r(x)π

∫L

− m(t, s)

Z(s)r(s)(s− t)dt (2.2.13)

f1(x) =a(x)f(x)

r2(x)− b(x)Z(x)

r(x)π

∫L

− f(t)

r(t)Z(t)(t− x)dt

− b(x)Z(x)

r(x)Pκ−1(x).

(2.2.14)

Mostraremos agora que a equação (2.2.12) pode ser transformada em uma equação integral de

Fredholm do segundo tipo. A partir de (2.1.12), podemos escrever

Z(x) = w0(x)(x− c1)γ1(x− c2)

γ2 · · · (x− c2p)γ2p

onde os extremoscj foram divididos em três grupos

0 < Re(γk) < 1, k = 1, 2, . . . , q

−1 < Re(γk) < 0, k = q + 1, . . . , l

Re(γk) = 0, k = l + 1, . . . , 2p.

O problema é que se observarmos as expressões em (2.2.13) e (2.2.14) pode-se verificar que

tantoN(x, t) quantof1(x) têm, numa vizinhança dos extremoscq+1, . . . , cl, o mesmo compor-

tamento deZ(x) e, portanto, têm infinitos de ordemRe(γk) nesses extremos. De maneira que

(2.2.12) não é apriori uma equação integral de Fredholm. No entanto, vamos aplicar uma mudança

na variável dependenteφ e na variável independentet em (2.2.12) de maneira a transformá-la em

uma equação de Fredholm. Vejamos como isso pode ser feito.

SejaT (x) = (x − cq+1)γq+1 · · · (x − cl)

γl e escrevaφ = T (x)φ0(x). Então (2.2.12) pode ser

escrita como

φ0(x) +

∫L

N(x, t)T (t)

T (x)φ0(t) dt =

f1(x)

T (x). (2.2.15)

Note que, com essa mudança não temos mais a singularidade na variávelx, no entanto, surge uma

singularidade na variávelt. Para remover essa singularidade vamos aplicar a seguinte mudança

t1 =

∫ t

ak

T (s) ds, x1 =

∫ x

ak

T (s) ds

sobreLk comk = 1, 2, . . . , p.


Após essas mudanças a equação (2.2.15) pode ser escrita como a seguinte equação de Fredholm

φ1(x1) +

∫L′N1(x1, t1)φ1(t1) dt1 = f2(x1),

ondeL′ é o contorno transformado deL e,φ1,N1 e f2, são funções limitadas das novas variáveis

independentes. A partir daí podemos concluir que a equação (2.2.12) tem uma única solução,

qualquer que seja o lado direito de (2.2.11), desde que -1 não seja um autovalor do núcleoN1.

CAPÍTULO

3Solução Numérica de Equações

Integrais Singulares

Neste capítulo restringiremos o estudo às equações integrais singulares com coeficientes cons-

tantes, ou seja, um caso particular da teoria mais geral desenvolvida no capítulo anterior. Também

estaremos considerando o contornoL como sendo o intervalo[−1, 1] da reta. Um método numérico

será proposto para a aproximação da solução de tais equações, mais especificamente utilizaremos

o método decolocação polinomial, desenvolvido porGolberg (1984). O principal objetivo é o

desenvolvimento de condições suficientes para a prova da convergência de soluções do método nu-

mérico para a solução da equação integral. Ao final serão apresentados alguns exemplos numéricos

que ilustram a aplicação do método.

3.1 Conceitos Iniciais

Apresentaremos nesta seção alguns lemas necessários para a prova da convergência de solu-

ção do método numérico utilizado na resolução de equações integrais singulares. Basicamente

21

22 3.1. CONCEITOS INICIAIS

são resultados da teoria de aproximação de funções. O primeiro lema pode ser encontrado em

(Kalandiya, 1975, pg. 105).

Observação:Em tudo o que segue, neste e nos próximos capítulos,c é uma constante a qual pode

assumir diferentes valores em diferentes lugares.

Lema 3.1. Sejaf : [−1, 1] → IR tal que para cadan ≥ 2 existe um polinômiopn(x) de graun

satisfazendo a seguinte condição

maxx∈[−1,1]

|sn(x)| := maxx∈[−1,1]

|f(x)− pn(x)| ≤ c

np

ondep > 0 e c é uma constante arbitrária. Então

|sn(x)− sn(y)| ≤ c

np−2ξ|x− y|ξ , 0 < 2ξ < p.

Demonstração.Para cada valor fixo den, seja

Uk(x) = pi(k)(x)− pi(k−1)(x), k = 1, 2, . . .

ondei(k) = 2kn. A partir dessa definição podemos verificar que

sn(x) := (f(x)− pn(x)) =∞∑

k=1

Uk(x) . (3.1.1)

Podemos estimarUk(x) da seguinte forma

|Uk(x)| = |pi(k)(x)− pi(k−1)(x)|

≤ |f(x)− pi(k)(x)|+ |pi(k−1)(x)− f(x)|

≤ c

(2kn)p+

c

(2k−1n)p=

c∗k(2k−1n)2ξ

(3.1.2)

ondec∗k =c(1 + 2−p)

(2k−1n)p−2ξe ξ é tal que0 < 2ξ < p .

Note que osc∗k são monotonicamente decrescentes, ou seja,

c∗k ≤ 2−(p−2ξ)c∗k−1 (3.1.3)

c∗k ≤ (2(p−2ξ))1−kc∗1 . (3.1.4)

CAPÍTULO 3. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES INTEGRAIS SINGULARES 23

Dado um número positivo arbitrárioζ, 0 ≤ ζ ≤ 2, suponhamos primeiramente que4n2ζ < 1

e escolha um inteirom tal que

2−2(m+1)n−2 < ζ < 2−2mn−2. (3.1.5)

Note que esta escolha é sempre possível pois4n2ζ < 1.

Tendo escolhidom, dividimos o somatório em (3.1.1) da seguinte forma

sn(x) = F1(x) + F2(x)

onde

F1(x) =m∑

k=1

Uk(x), F2(x) =∞∑

k=m+1

Uk(x).

No que segue usaremos a seguinte notação

∆ζf(x) = f(x+ ζ)− f(x).

Então, provar o lema é o mesmo que mostrar que

|∆ζsn(x)| = |∆ζF1(x) + ∆ζF2(x)| ≤c

np−2ξζξ,

∀ζ tal quex+ ζ ∈ [−1, 1].

Primeiramente vamos estimar|∆ζF1(x)|.Utilizaremos agora o desenvolvimento de Markov (ver por exemplo,Cheney (1966)). “Se

qn(x) é um polinômio de graun em[−1, 1], então

|q′n(x)| ≤ n2 maxt∈[−1,1]

|qn(x)| , ∀x ∈ [−1, 1]” .

Então pelo teorema do valor médio, o resultado acima, (3.1.2), (3.1.3) e (3.1.4) temos as seguintes

desigualdades

|∆ζF1(x)| ≤m∑

k−1

|Uk(x+ ζ)− Uk(x)| ≤ ζ

m∑k=1

|U ′k(x+ θkζ)|

≤ ζm∑

k=1

(2kn)2 maxt∈[−1,1]

|Uk(t)| ≤ 22ξζm∑

k=1

(2kn)2(1−ξ)c∗k

≤ 22ξc∗1ζ(2mn)2(1−ξ)

m−1∑k=0

2−2(1−ξ)k. (3.1.6)


Agora, de (3.1.5)

(2mn)2(1−ξ) ≤ ζξ−1 (3.1.7)

em−1∑k=0

2−2(1−ξ)k ≤ 22(1−ξ)[22(1−ξ) − 1

]−1. (3.1.8)

Usando agora, (3.1.7) e (3.1.8), (3.1.6) pode ser escrita como

|∆ζF1(x)| ≤ 22ξc∗1ζξ22(1−ξ)

[22(1−ξ) − 1

]−1

= 4(1 + 2−p)[22(1−ξ) − 1

]−1 cζξ

np−2ξ(3.1.9)

onde usamos a definição dec∗1.

Para limitar|∆ζF2(x)| usamos

|∆ζF2(x)| ≤ 2∞∑

k=m+1

maxx∈[−1,1]

|Uk(x)| .

Agora, usando (3.1.3), (3.1.2) e fazendo a mudança de variáveisk = r +m+ 1 no somatório,

obtemos

|∆ζF2(x)| ≤ 2c∗m+1

∞∑k=m+1

(2k−1n)−2ξ = 22ξ+1c∗m+1(2m+1n)−2ξ

∞∑r=0

2−2ξr .

Usando (3.1.5) e a definição dec∗m+1 temos

|∆ζF2(x)| ≤ 24ξ+1(1 + 2−p)[22ξ − 1

]−1 cζξ

np−2ξ. (3.1.10)

Assim, mostramos que para qualquerζ tal que4n2ζ < 1,

|∆ζsn(x)| = |∆ζF1(x) + ∆ζF2(x)| ≤ |∆ζF1(x)|+ |∆ζF2(x)|

≤[4(1 + 2−p)

22(1−ξ) − 1+

24ξ+1(1 + 2−p)

22ξ − 1

]cζξ

np−2ξ. (3.1.11)


Para completar a demonstração temos que mostrar que (3.1.11) ainda continua válida no caso

em que4n2ζ ≥ 1. Observamos que

ζ−ξ|∆ζsn(x)| ≤ (4n2)ξ maxx∈[−1,1]

|∆ζsn(x)| ≤ 2(4n2)ξ maxx∈[−1,1]

|sn(x)|

≤ 2(4n2)ξcn−p = 22ξ+1 c

np−2ξ

isto é,

|∆ζsn(x)| ≤ 22ξ+1 cζξ

np−2ξ

que está na mesma forma de (3.1.11).

Finalmente escrevemos

|∆ζsn(x)| ≤ Aζξ

np−2ξ

onde

A = cmax

22ξ+1,

4(1 + 2−p)

22(1−ξ) − 1+

24ξ+1(1 + 2−p)

2ξ − 1

.

O próximo resultado nos diz o quão rápido é a convergência da interpolação polinomial quando

a função tem uma certa regularidade. Esse lema pode ser encontrado emRivlin (1969).

Lema 3.2. Sejaf ∈ Cp[−1, 1] comf (p) ∈ Hµ[−1, 1] e considerexi ∈ [−1, 1] como sendo os

zeros do(n+ 1)-ésimo polinômio de Chebyshev do primeiro tipo, isto é

xi = cos

((2i+ 1)π

2(n+ 1)

), i = 0, 1, . . . , n.

Seja tambémPn(x) o polinômio que interpolaf(x) nos pontosxi, então

maxx∈[−1,1]

|f(x)− Pn(x)| ≤ (5 + 2π

log n)c

np+µ. (3.1.12)

Demonstração.SejaP ∗n(x) a melhor aproximação polinomial de graun na norma uniforme da

funçãof , ou seja

En(f) ≡ maxx∈[−1,1]

|f(x)− P ∗n(x)| ≤ max

x∈[−1,1]|f(x)− qn(x)| ,

qualquer que seja o polinômioqn de graun. Então

maxx∈[−1,1]

|f(x)− Pn(x)| ≤ maxx∈[−1,1]

|f(x)− P ∗n(x)|+ max

x∈[−1,1]|P ∗

n(x)− Pn(x)| . (3.1.13)


Note que podemos escrever

P ∗n(x) =

n∑j=0

Lj(x)P∗n(xj)

Pn(x) =n∑

j=0

Lj(x)f(xj)

ondeLj é o polinômio de Lagrange definido por

Lj(x) =n∏

i=0i6=j

(x− xi)

(xj − xi).

De (3.1.13) e das expressões acima paraP ∗n(x) ePn(x) obtemos

maxx∈[−1,1]

|f(x)− Pn(x)| ≤ En(f) +n∑

j=0

maxx∈[−1,1]

|Lj(x)| |f(xj)− P ∗n(xj)|

≤

[1 +

n∑j=0

maxx∈[−1,1]

|Lj(x)|

]En(f) = (1 + Ωn)En(f). (3.1.14)

As constantesΩn =∑n

j=0 maxx∈[−1,1] |Lj(x)| são denominadas, constantes de Lebesgue.

Como pode ser encontrado em [Rivlin (1969) pgs. 88-93] estas constantes satisfazem

Ωn ≤ 5 + 2π

log n . (3.1.15)

Agora paraEn(f), podemos aplicar o teorema de Jackson (vejaCheney (1966), pg. 147) e

com isso

En(f) ≤ cte(n+ 1)(n) · · · (n− p+ 2)

ωp

[1

n−p

], cte= constante

onde

ωp

[1

n−p

]= sup

x1 ,x2∈[−1,1]

|x1−x2|≤ 1n−p

|f (p)(x1)− f (p)(x2)|

é denominado módulo de continuidade def (p)(x) em[−1, 1]. Agora usando a condição de Hölder

def (p) e tomandon > p obtemos a partir de (3.1.15), a desigualdade (3.1.12).

Utilizando as idéias do último lema é possível provar um resultado análogo para uma função de

duas variáveisk(x, t). Para isso precisamos definir o polinômio que interpolak(x, t) na variável


x. Este polinômio pode ser definido por:

kn(x, t) =n∑

j=0

φj(x)ψj(t) (3.1.16)

onde a seqüência de polinômiosφj satisfaz a condição de Haar (vejaCheney (1966), pg. 74) no

intervalo[−1, 1] e as funçõesψj são tais que

n∑j=0

φj(xi)ψj(t) = k(xi, t), i = 0, 1, . . . , n.

Note que, a igualdade acima representa um sistema de equações cujas incógnitas são as funções

ψj. As funçõesψj estão bem definidas poisdetφj(xi) 6= 0 (verCheney (1966)).

Lema 3.3. Sejak(x, t) ∈ Cq[−1, 1] na variávelx, com ∂qk(x1,t)∂xq ∈ Hσ[−1, 1], uniformemente na

variávelt, isto é, ∣∣∣∣∂qk(x1, t)

∂xq− ∂qk(x2, t)

∂xq

∣∣∣∣ ≤M |x1 − x2|σ (3.1.17)

onde as constantesM e σ são independentes det. Então a funçãokn(x, t) definida por(3.1.16)

satisfaz

max(x,t)∈[−1,1]2

|k(x, t)− kn(x, t)| ≤ c log n

nq+σ, quandon→∞.

Demonstração.Pelo Lema3.2anterior, parat ∈ [−1, 1] en > q temos que

maxx∈[−1,1]

|k(x, t)− kn(x, t)| ≤ (5 + 2π

log n)c

nqωq

[1

n−q

](3.1.18)

onde

ωp

[1

n−q

]= sup

x1 ,x2∈[−1,1]

|x1−x2|≤ 1n−q

|∂

qk(x1, t)

∂xq− ∂qk(x2, t)

∂xq|.

Agora de (3.1.17) temos

ωp

[1

n−q

]≤M |x1 − x2|σ ≤

1

(n− q)σ

substituindo esse resultado em (3.1.18) e lembrando queM é independente det obtemos o resul-

tado desejado.

28 3.2. EQUAÇÃO INTEGRAL SINGULAR

3.2 Equação Integral Singular

Consideremos a seguinte equação integral com coeficientes constantes

aφ(x) +b

π

∫ 1

−1

− φ(t)

t− xdt+

∫ 1

−1

k(x, t)φ(t) dt = f(x) − 1 < x < 1 (3.2.1)

onde assumimos quek(x, t) ef(x) são Hölder contínuas ea2 + b2 = 1.

De acordo com a definição deG(x) na página15, temos,

G(x) =a− ib

a+ ib

e com isso, a expressão deΓ(x) da página10, fica

Γ(x) =1

2πilog

(a− ib

a+ ib

)∫ 1

−1

− dt

t− x=

1

2πilog

(a− ib

a+ ib

)log

(1− x

1 + x

).

Com isso,

eΓ(x) = (1− x)γ(1 + x)−γ

onde

γ =1

2πilog

(a− bi

a+ bi

).

Agora, de acordo com o que foi colocado na página11, devemos escolher inteirosM eN tais que

−1 < γ +M < 1

−1 < −γ +N < 1.(3.2.2)

Assim,

Z(x) = (1− x)M(1 + x)N(1− x)γ(1 + x)−γ = (1− x)α(1 + x)β,

onde

α = γ +M

β = −γ +N.

A partir daí o índice, definido em (2.1.7) é dado por

κ = −(M +N) = −(α+ β).


ComoM eN são inteiros só temos três possibilidades para o índice:−1, 0 ou 1. Vejamos o

que ocorre em cada situação.

Casoκ = 1: Nesse caso temosα, β < 0 e com isso a solução está na classeh0 e é ilimitada em

ambos os extremos+1 e−1. A partir de (2.2.7) podemos verificar que a equação (3.2.1)

tem infinitas soluções. Para se obter unicidade de solução devemos adicionar uma equação

que, geralmente em aplicações, é da seguinte forma∫ 1

−1

φ(x) dx = c, (3.2.3)

sendoc uma constante dada.

Casoκ = 0: Nesse caso (3.2.1) tem uma única solução.

Casoκ = −1: Nesse caso a solução está na classehm e é limitada em ambos os extremos. A

partir de (2.2.9) temos que a solução deve satisfazer a condição de consistência∫ 1

−1

1

Z(x)

[aφ(x) +

b

π

∫ 1

−1

− φ(t)

t− xdt

]dx = 0.

Como pode ser encontrado emCuminato (1987a) capítulo IV, a soluçãoφ(x) pode ser decom-

posta comoφ(x) = Z(x)g(x), ondeg(x) ∈ Hσ[−1, 1] eZ(x) é a função fundamental definida em

(2.1.8). ComoZ(x) faz o papel de uma função peso, de agora em diante o denotaremos porω(x).

Utilizando essa nova caracterização deφ(x) a equação (3.2.1) fica

aω(x)g(x) +b

π

∫ 1

−1

− ω(t)g(t)

t− xdt+

∫ 1

−1

k(x, t)ω(t)g(t) dt = f(x). (3.2.4)

3.3 Teoria em Termos de Operadores

Nesta seção trataremos da equação (3.2.1) de um ponto de vista mais teórico via teoria de

operadores. Serão apresentados apenas os principais resultados os quais já estão bem difundidos

na literatura (ver, por exemplo,Elliott (1981)). As demonstrações e os detalhes serão omitidos,

mas os mesmos podem ser encontrados emMuskhelishvili (1953) ou emCuminato (1987a).

Vamos reescrever a equação (3.2.4) em termos de operadores como

Hg +Kg = f (3.3.1)

30 3.3. TEORIA EM TERMOS DE OPERADORES

onde

Hg = aω(x)g(x) +b

π

∫ 1

−1

− ω(t)g(t)

t− xdt

e

Kg =

∫ 1

−1

k(x, t)ω(t)g(t) dt.

Para analisar a possibilidade de se encontrar a solução da equação (3.3.1) definimos um novo

operadorHI da seguinte forma

HIg = aω∗(x)g(x)− b

π

∫ 1

−1

− ω∗(t)g(t)

t− xdx (3.3.2)

ondeω∗(x) = 1ω(x)

.

A relação entre os operadoresH eHI foi vista anteriormente no Capítulo 2 (Corolário2.1),

sendo

HIHg = g + g0, seκ = 1

HIHg = g, seκ ≤ 0(3.3.3)

para toda funçãog ∈ Hσ[−1, 1], comg0 ∈ Ker(H) constante. Como se pode observar no caso em

queκ ≤ 0,HI é o inverso à esquerda do operadorH.

Antes de prosseguir é necessário especificar em que situação, do pontos de vista da teoria dos

operadores, as igualdades em (3.3.3) se dão.

Voltando à equaçãoHg +Kg = f , vamos considerar os operadoresH eK como operadores

lineares definidos em um espaço de BanachX e tomando valores em um espaço de BanachY .

Assumiremos que o domínio do operadorH, denotado por,dom(H) é denso emX. Escrevendo

X = ker(H) ⊕ X, temos quedom(H) = ker(H) ⊕ X ∩ dom(H) de modo que o operador

H agindo sobre o conjuntoX ∩ dom(H) é um operador injetor e sobrejetor sobre a imagem,

denotada porim(H). Com isso, o operadorHI é o operador inverso deH definido emim(H)

e tomando valores emX ∩ dom(H). Para que a equação dominanteHg = f possa ter uma

solução, precisamos quedom(H) seja fechado emY , mas uma vez escolhidos os espaçosX eY ,

conforme veremos a seguir, isso é apenas uma questão de definição das condições de consistência

dadas em (2.2.9).

Dentre as escolhas possíveis para os espaçosX e Y , uma é colocarX = C[−1, 1], o espaço

das funções contínuas em[−1, 1], munido da norma uniforme|| · ||∞ dada por

||g||∞ = maxt∈[−1,1]

|g(t)|, ∀ g ∈ C[−1, 1].


Agora de acordo comElliott (1981), existem funçõesg ∈ C[−1, 1] para o qualHg não existe.

Sendo assim, consideramos o espaçoHσ[−1, 1]. Esse espaço munido da norma uniforme não é

um espaço de Banach, mas é denso emC[−1, 1] (Elliott (1981)). Por outro lado, tomamosY como

sendo o mesmo espaçoHσ[−1, 1] mas agora munido da norma Hölder (2.0.2). Temos queY nesse

caso é um espaço de Banach.

Vamos voltar agora à equaçãoHg + Kg = f . Aplicando o operadorHI em ambos os lados

obtemos

g +HIKg = HIf + g0, seκ = 1

g +HIKg = HIf seκ ≤ 0.(3.3.4)

Então de acordo com [Cuminato (1987a), pg.64], (3.3.4) são equações de Fredholm do segundo

tipo e têm uma única solução, para cadag0 fixo, contanto que−1 não seja um autovalor deHIK.

Note que as equações (3.3.4) podem ser escritas de maneira compacta

g +HIKg = HIf + g0δ1,κ (3.3.5)

ondeδi,j é o delta de Kronecker. Usando essa nova forma de escrever a equação e também o fato

de que(I +HIK) é inversível, podemos resolver a equação parag, ou seja,

g = (I +HIK)−1(HIf + g0δ1,κ). (3.3.6)

Observe que quandoκ = 1 devemos determinar a constanteg0 a fim de obter uma única

solução. Para isso multiplicamos (3.3.6) porω(x), em seguida integramos sobre[−1, 1] e aplicando

(3.2.3), ficamos com

cte =

∫ 1

−1

ω(x)(I +HIK)−1HIf(x) dx+

∫ 1

−1

(I +HIK)−1g0 dx .

Comog0 é constante podemos escrever

cte =

∫ 1

−1

ω(x)(I +HIK)−1HIf(x) dx+ g0

∫ 1

−1

(I +HIK)−1 dx .

Assim para queg0 seja unicamente determinada pela condição (3.2.3) precisamos que∫ 1

−1

(I +HIK)−11 dx 6= 0

onde1 denota a função constantef(x) ≡ 1.

32 3.4. MÉTODO NUMÉRICO

3.4 Método Numérico

Nesta seção apresentaremos o método numérico para a resolução numérica de equações in-

tegrais singulares, mais especificamente veremos o método decolocação polinomial, aplicado à

seguinte equação

1

π

∫ 1

−1

− φ(t)

t− xdt+

∫ 1

−1

k(x, t)φ(t) dt = f(x), −1 < x < 1. (3.4.1)

Note que essa equação é um caso particular de (3.2.1) quando consideramosa = 0 eb = 1. De

acordo com a teoria apresentada anteriormente, para esses valores dea e b teremos

γ =1

2πilog(−1),

na qual escolhemos o ramo do logaritmo tal que,log(−1) = πi, ou seja,γ = 12.

Nos restringiremos nesta seção ao caso em que a solução é ilimitada em ambos os extremos,

ou seja, devemos ter

−1 < 12

+M < 0

−1 < −12

+N < 0.

Isso nos dáM = −1 eN = 0 e, conseqüentemente o índiceκ = 1 o que implica que a função

ω(x) definida na página29é dada por

ω(x) =1√

1− x2.

Como o índice é 1 precisaremos de uma equação adicional, a qual de acordo com (3.2.3) conside-

raremos ∫ 1

−1

φ(x) dx = 0. (3.4.2)

Para que possamos aplicar o método numérico um resultado fundamental é necessário. Enun-

ciemos esse resultado.


Lema 3.4. Sejamφi(x) = P(α,β)i (x) e φ∗i (x) = P

(−α,−β)i (x), ondeP (α,β)

i (x) é o polinômio de

Jacobi em relação ao pesoω(x) = (1− x)α(1 + x)β. Então

aω(x)φi(x) +b

π

∫ 1

−1

− ω(t)φi(t)

t− xdt =

−b2−κ

sin(πα)φ∗i−κ(x) (3.4.3)

aω∗(x)φ∗i (x)−b

π

∫ 1

−1

− ω∗(t)φ∗i (t)

t− xdt =

−b2κ

sin(πα)φi+κ(x), (3.4.4)

ondeω∗(x) = (1− x)−α(1 + x)−β.

A demonstração desse lema pode ser encontrada em [Cuminato (1987a), pg. 71].

De acordo com as considerações feitas na Seção3.2a equação (3.4.1) fica

1

π

∫ 1

−1

− g(t)√1− t2(t− x)

dt+

∫ 1

−1

k(x, t)√1− t2

g(t) dt = f(x). (3.4.5)

A principal dificuldade em aproximar essa equação está na primeira integral, devido à singula-

ridade presente emt = x.

Para contornar esse problema, vamos considerar uma aproximação deg(x) porgn(x) dada por

gn(x) = a0T0(x) + a1T1(x) + · · ·+ anTn(x),

ondeTj, j = 0, · · · , n são os polinômios de Chebyshev de primeira espécie.

De acordo com o Lema3.4, temos a seguinte relação

1

π

∫ 1

−1

− Tj(t)√1− t2(t− x)

dt =

0 j = 0,

Uj−1(x) j > 0,(3.4.6)

ondeUj, j = 0, · · · , n são os polinômios de Chebyshev de segunda espécie.

Com isso, a partir de (3.4.5) e usando (3.4.6), podemos definir o resíduo

rn(x) =n∑

j=1

ajUj−1(x) +n∑

j=0

aj

∫ 1

−1

k(x, t)Tj(t)√1− t2

dt− f(x). (3.4.7)

Essa equação é o ponto de partida para a aplicação do método de colocação polinomial.

O método de colocação polinomial consiste na escolha den pontos distintosx1, x2, . . . , xn

sobre[−1, 1], onde impomos quern(xi) = 0, i = 1, 2, . . . , n, ou seja:

n∑j=1

ajUj−1(xi) +n∑

j=0

aj

∫ 1

−1

k(xi, t)Tj(t)√1− t2

dt = f(xi) i = 1, . . . , n,


que é um sistema den equações com incógnitasa0, a1, . . . , an. Note que o número de incógnitas é

maior do que o número de equações. Para determinarmos, por exemplo, o coeficientea0, podemos

usar a equação adicional (3.4.2).

Os pontosx1, x2, . . . , xn, serão denominadospontos de colocaçãoe serão tomados como sendo

os zeros deUn(x), dados por

xi = cos

(iπ

n+ 1

), i = 1, . . . , n.

3.4.1 Convergência

Nesta seção, vamos generalizar o que foi visto na Seção anterior onde trabalhamos com o caso

em quea = 0 e b = 1. Além disso, provaremos o teorema que garante que o método numérico

proposto na seção anterior é convergente. Antes veremos alguns resultados necessários para a

prova da convergência.

Como antes vamos aproximarg(x) porgn(x) da seguinte forma

gn(x) =n∑

j=0

ajφj(x)

ondeaj, j = 0, . . . , n são as constantes a serem determinadas eφj(x) são os polinômios definidos

no Lema3.4.

Substituindog porgn em (3.2.4), vamos denotar porrn(x) o resíduo, ou seja,

rn(x) = aω(x)gn(x) +b

π

∫ 1

−1

− ω(t)gn(t)

t− xdt+

∫ 1

−1

k(x, t)ω(t)gn(t) dt− f(x)

ou na forma de operadores

rn(x) = Hgn +Kgn − f.

agora usando (3.4.3) obtemos

rn(x) =n∑

j=0

aj

[−b2−κ

sin(πα)φ∗j−κ(x) +

∫ 1

−1

ω(t)k(x, t)φj(t) dt

]− f(x). (3.4.8)

Considerando agorarn(xm) = 0, m = 0, 1, . . . , n − κ, ondexm são os pontos de colocação,

obtemos o sistema de equações mencionado anteriormente.


Defina a projeçãoPl da seguinte forma

Pl : C[−1, 1] → C[−1, 1]

Plf =l∑

m=0

f(xm)Lm(x) (3.4.9)

ondeLm(x) é o polinômio satisfazendoLm(xk) = δm,k. Portanto,Plf é o polinômio de Lagrange

que interpolaf nos pontosx0, x1, . . . , xl. Segue imediatamente da definição que sef é um polinô-

mio de grau≤ l, entãoPlf = f .

O lema abaixo nos diz que resolver o sistema de equações lineares originado de (3.4.8) quando

aplicado nos pontos de colocação, é equivalente a exigir que o polinômio interpolador dern(x)

seja nulo.

Lema 3.5. O sistema de equaçõesrn(xm) = 0, m = 0, 1, . . . , l, ondel = n − κ tem solução

a0, a1, . . . , an se e somente se estes também são solução de

Plrn ≡ 0.

Demonstração:

Primeiramente suponha quern(xm) = 0, então a partir da definição dePl temos,

Plrn(x) =l∑

m=0

rn(xm)Lm(x) ≡ 0.

Reciprocamente, suponhaPlrn ≡ 0, então em particularPlrn(xk) = 0 para todok, mas

Plrn(xk) =l∑

m=0

rn(xm)Lm(xk) = rn(xk).

Portanto,rn(xk) = 0, k = 1, . . . , l.

Então a partir do Lema3.5, podemos reescrever o sistema de equaçõesrn(xm) = 0 como

PlHgn + PlKgn = Plf. (3.4.10)

Agora de (3.4.3) vemos queHgn é um polinômio de grau no máximon− κ e, com isso,

PlHgn = Hgn,


então (3.4.10) torna-se

Hgn + PlKgn = Plf. (3.4.11)

Note que nesta última igualdade temos que projetar o operadorK. O próximo lema nos diz

como proceder.

Lema 3.6. Sejamk(x, t) uma função Hölder contínua ekn(x, t) o polinômio que interpolak(x, t)

em relação à variávelx, nos pontosx0, x1, . . . , xn. Considere também os operadoresK e Kn

definidos por:

Kf(x) =

∫ 1

−1

k(x, t)f(t) dt

Knf(x) =

∫ 1

−1

kn(x, t)f(t) dt. (3.4.12)

Então,

PnK = Kn. (3.4.13)

Demonstração:

Vamos usar (3.1.16), onde temos que

kn(x, t) =n∑

j=0

φj(x)ψj(t) (3.4.14)

eφj é o conjunto dos polinômios de Jacobi que satisfaz a condição de Haar e as funçõesψj são

escolhidas de tal forma quekn(xi, t) = k(xi, t) parai = 0, 1, . . . , n.

Substituindo (3.4.14) em (3.4.12) obtemos parax = xi ef arbitrária

Knf(xi) =

∫ 1

−1

k(xi, t)f(t) dt = Kf(xi). (3.4.15)

Agora, note que por (3.4.12) e (3.4.14),Knf é um polinômio de graun e de (3.4.15) esse polinômio

interpola a funçãoKf(x), nos pontos considerados. ComoPnKf(x) é por definição a interpolação

polinomial deKf(x), pela unicidade da interpolação devemos ter

PnKf = Knf, ∀f ∈ C[−1, 1].

Daí concluímos que

PnK = Kn.


Necessitaremos também do seguinte teorema, sobre as condições para existência e limitação

da inversa de um operador linear.

Teorema 3.1.SejaA eB operadores lineares limitados em um espaço de BanachX. SuponhaA

inversível e||B|| ||A−1|| < 1. Então o operadorA+B é inversível e

||(A+B)−1|| ≤ ||A−1||1− ||B|| ||A−1||

.

A demonstração desse resultado pode ser encontrada emAtkinson (1976).

Vejamos agora o principal teorema desta seção (o qual pode ser encontrado emCuminato

(1987a)), onde a convergência da solução numérica é estabelecida.

Teorema 3.2.Sejaf ∈ Cp[−1, 1] comf (p) ∈ Hµ[−1, 1], p ≥ 0 e sejak(x, t) uma função Hölder

contínua tal que,k(x, t) ∈ Cq[−1, 1], com relação à variávelx, e ∂qk(x,t)∂xq ∈ Hσ[−1, 1], q ≥

0, uniformemente na variávelt. Sejam tambémg(x) e gn(x), respectivamente, as soluções das

seguintes equações integrais singulares

Hg +Kg = f (3.4.16)

Hgn + PlKgn = Plf. (3.4.17)

Então paran suficientemente grande

maxx∈[−1,1]

|g(x)− gn(x)| ≤ cn−r (3.4.18)

onder = minp+ µ, q + σ − ξ, ξ > 0 suficientemente pequeno.

Demonstração:

Começamos subtraindo as fórmulas (3.4.16) e (3.4.17) obtendo

H(g − gn) +Kn(g − gn) = (Kn −K)g + f − fn (3.4.19)

ondeKn = PlK efn = Plf . Observe que o inteirol está relacionado an por l = n− κ.

Aplicando o operadorHI em ambos os lados de (3.4.19) e usando (3.3.5), obtemos

g − gn +HIKn(g − gn) = HI(Kn −K)g +HI(f − fn) + cδ1,κ. (3.4.20)

Como já foi observado anteriormenteHIKn é um operador integral de Fredholm.


Para toda função contínuah, com‖h‖∞ = 1, temos

∥∥HI(K −Kn)h∥∥∞ = max

x∈[−1,1]

∣∣∣∣aω∗(x)hn(x)− b

π

∫ 1

−1

− ω∗(t)hn(t)

t− xdt

∣∣∣∣ (3.4.21)

onde

hn(x) =

∫ 1

−1

ω(t) [k(x, t)− kn(x, t)]h(t) dt.

Somando e subtraindohn(x) na integral singular em (3.4.21) obtemos

∥∥HI(K −Kn)h∥∥∞ =

maxx∈[−1,1]

∣∣∣∣aω∗(x)hn(x)− b

πhn(x)

∫ 1

−1

− ω∗(t)

t− xdt− b

π

∫ 1

−1

− ω∗(t)

t− x[hn(t)− hn(x)] dt

∣∣∣∣ . (3.4.22)

De (3.4.4) comi = 0 obtemos

aω∗(x)φ∗0(x)−b

π

∫ 1

−1

− ω∗(t)φ∗0(t)

t− xdt =

−b2κ

sin(πα)φκ(x).

Mas nesse caso temos queφ∗0(x) é uma constante, então

aω∗(x)− b

π

∫ 1

−1

− ω∗(t)

t− xdt =

−b2κ

sin(πα)φ∗0φκ(x). (3.4.23)

Dos Lemas3.3e3.1, respectivamente, temos que

maxx∈[−1,1]

|hn(x)| ≤ c log(n)

nq+σ(3.4.24)

e ∣∣∣∣∫ 1

−1

ω∗(t)

t− x[hn(t)− hn(x)] dt

∣∣∣∣ ≤ c log(n)

nq+σ−2ξ. (3.4.25)

Então a partir de (3.4.23) e (3.4.25) deduzimos

maxx∈[−1,1]

∣∣∣∣aω∗(x)hn(x)− b

πhn(x)

∫ 1

−1

− ω∗(t)

t− xdt

∣∣∣∣= max

x∈[−1,1]|hn(x)|

∣∣∣∣aω∗(x)− b

π

∫ 1

−1

− ω∗(t)

t− xdt

∣∣∣∣≤ max

x∈[−1,1]|hn(x)| max

x∈[−1,1]

∣∣∣∣ −b2κ

sin(πα)φ∗0(x)φκ(x)

∣∣∣∣≤ c log(n)

nq+σ(3.4.26)


pois −b2κ

sin(πα)φ∗0(x)φκ(x) é limitado e independente den.

Substituindo (3.4.26) e (3.4.25) em (3.4.22) obtemos

‖HI(K −Kn)h‖∞ ≤ |b|2κ

| sin(πα)|

∥∥∥∥φκ

φ∗0

∥∥∥∥∞

c log(n)

nq+σ+c log(n)

nq+σ−2ξ

e então podemos concluir que, dadoξ′ > 0 existen0 tal que para qualquern ≥ n0 tem-se

∥∥HI(K −Kn)∥∥∞ ≤ c

nq+σ−ξ′. (3.4.27)

Uma conseqüência de (3.4.27) é queHIKn → HIK, uniformemente quandon → ∞. Com

isso, aplicando o Teorema3.1 comA + B = I + HIKn e A = I + HIK, concluímos que o

operador(I +HIKn)−1 e é uniformemente limitado paran suficientemente grande, ou seja

∥∥(I +HIKn)−1∥∥∞ ≤

∥∥(I +HIK)−1∥∥∞

1− ‖(I +HIK)−1‖∞ ‖HI(K −Kn)‖∞

contanto que−1 não seja um autovalor deHIK.

Voltando à equação (3.4.20), vamos aplicar o operador(I +HIKn)−1 em ambos os lados

g − gn = (I +HIKn)−1(Gn + cδ1,κ) (3.4.28)

onde

Gn = HI(Kn −K)g +HI(f − fn).

De (3.4.28) verificamos queGn também pode ser escrito como

Gn = (I +HIKn)(g − gn)− cδ1,κ

Como já mencionado nas seções anterioresHIKn é um operador integral de Fredholm eg−gn

é Hölder contínua. PortantoGn é contínua sobre[−1, 1] e portanto limitada.

O termocδ1,κ é não nulo somente quandoκ = 1 e, nesse caso, temos que supor que tanto

ω(x)g(x) quantoω(x)gn(x) satisfazem a condição (3.2.3) na página29. Agora multiplicando

(3.4.28) porω(x), integrando sobre[−1, 1] e usando (3.2.3) obtemos

cδ1,κ =

∫ 1

−1ω(x)(I +HIKn)−1Gn(x) dx∫ 1

−1ω(x)(I +HIKn)−1 dx

40 3.5. EXEMPLO NUMÉRICO

tomando o módulo

|c| ≤A∥∥(I +HIKn)−1

∥∥∞ ‖Gn‖∞

An

(3.4.29)

onde

An =

∣∣∣∣∫ 1

−1

ω(x)(I +HIKn)−1 dx

∣∣∣∣ e A =

∫ 1

−1

ω(x) dx.

Como(I +HIKn)−1 → (I +HIK)−1 quandon→∞, então (3.4.29) nos dá

c = O(‖Gn‖∞) quandon→∞. (3.4.30)

Portanto, por (3.4.28) e (3.4.30) obtemos

‖g − gn‖∞ ≤ c ‖Gn‖∞ . (3.4.31)

Resta-nos agora deduzir um limitante para‖Gn‖∞. Em relação ao operadorHI(K − Kn) já

obtemos uma limitação em (3.4.26). O mesmo argumento pode ser utilizado para construirmos um

limite para∥∥HI(f − fn)

∥∥∞, ou seja,

∥∥HI(f − fn)∥∥∞ ≤ c

np+µ−ξ′′, ξ′′ > 0. (3.4.32)

Portanto, a partir de (3.4.31), (3.4.27) e (3.4.32), obtemos o resultado (3.4.18), desejado.

3.5 Exemplo Numérico

Considere a seguinte equação

1

π

∫ 1

−1

− φ(t)

t− xdt =

2

π

[1 +

x2

√1− x2

log

∣∣∣∣√1− x2 − x+ 1√1− x2 + x− 1

∣∣∣∣] .Nesse caso temos que

f(x) =2

π

[1 +

x2

√1− x2

log

∣∣∣∣√1− x2 − x+ 1√1− x2 + x− 1

∣∣∣∣] .Essa equação tem como solução exata

φ(x) =x|x|√1− x2

,

se impusermos como condição inicial que∫ 1

−1φ(x) dx = 0.


O principal objetivo deste exemplo é verificar a taxa de convergência do método. Note que,

como mencionado na página29, a solução pode ser decomposta da seguinte maneiraφ(x) =

ω(x)g(x), ondeω(x) = 1√1−x2 .

Calculando a derivada def , de acordo com o AnexoA.1, obtemos

f ′(x) =2

π

2x ln(

∣∣∣f2

f1

∣∣∣)√

1− x2+x3 ln(

∣∣∣f2

f1

∣∣∣)(1− x2)3/2

+

x2sign(f2

f1)

− x√1−x2 − 1

f1

−f2

(− x√

1−x2 + 1)

f 21

√

1− x2

∣∣∣f2

f1

∣∣∣

,

ondef1 =√

1− x2 + x− 1, f2 =√

1− x2 − x + 1 e sign(x) é a função sinal dex. Também do

AnexoA.1 temos que

limx→1−

f ′(x) =8

3πe lim

x→−1+f ′(x) = − 8

3π,

ou seja,f ′(x) existe para todox ∈ [−1, 1]. Além disso, verifica-se (AnexoA.1) quef ′ é contínua

e satisfaz a condição de Hölder com índiceµ ≈ 1. Então de acordo com o Teorema3.2, temos

p = 1 eµ ≈ 1 e consequentemente, pelo mesmo teorema, devemos esperar uma convergência de

ordemr ≈ 2 − ξ ondeξ > 0 é arbitrariamente pequeno. Foram calculados o erroen e a taxa de

convergênciar, dados respectivamente por meio das fórmulas

en = maxx∈[−1,1]

|g(x)− gn(x)|

r =

− ln

(e2n

en

)ln 2

.

Nos cálculos realizados, usamos duas escolhas para os pontos de colocação, os zeros don-ésimo

polinômio de Chebyshev de primeira espécie e também de segunda espécie. Na tabela 1 abaixo

seguem os resultados obtidos.

42 3.5. EXEMPLO NUMÉRICO

Chebyshev1 espécie Chebyshev2 espécie

n ‖g − gn‖∞ r ‖g − gn‖∞ r

2 0.2669 0.1930

2.322 2.26

4 5.33E-02 4.02E-02

2.081 1.94

8 1.26E-02 1.04E-02

2.020 1.91

16 3.10E-03 2.79E-03

2.005 1.93

32 7.74E-04 7.31E-04

Tabela 1

Os resultados justificam a escolha que comumente se utiliza para os pontos de colocação, ou

seja, os zeros do polinômio de Chebyshev do segundo tipo.

Como pode ser verificado pelos valores constantes na Tabela 1, verifica-se efetivamente que a

taxa de convergência ér = 2, ou seja, nesse caso o parâmetroξ tem pouca influência ou pratica-

mente nenhuma influência sobre os resultados de convergência.

CAPÍTULO

4Equação Integro-diferencial Linear

Neste capítulo usaremos os conceitos estudados anteriormente para atingir o principal objetivo

desta tese, ou seja, a proposição e análise de métodos numéricos para a resolução de equações

integro-diferenciais lineares de Cauchy. Serão abordados tanto os aspectos teóricos relacionados

com a convergência do método quanto a descrição detalhada do mesmo.

Ao final do capítulo mostraremos como o método proposto pode ser utilizado na resolução

de uma equação integro-diferencial com uma condição adicional distinta da apresentada na Seção

abaixo.

4.1 Revisão Bibliográfica

A equação integro-diferencial a ser considerada é dada por

a(x) ϕ(x) +1

π

∫ 1

−1

− ϕ′(t)

t− xdt+

∫ 1

−1

k(x, t)ϕ′(t) dt+

∫ 1

−1

l(x, t)ϕ(t) dt = f(x) (4.1.1)

sendo quea, k, l e f são funções Hölder contínuas (em ambas as variáveis no caso dek e l)

sobre[−1, 1] (sobre[−1, 1]× [−1, 1] no caso dek e l). Além disso, vamos considerar as seguintes

condições de fronteira

ϕ(−1) = ϕ(1) = 0. (4.1.2)

43

44 4.1. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A equação (4.1.1) não é o tipo mais geral de equação integro-diferencial, vejaIoakimidis e

Theocaris (1979), mas é geral o suficiente para abranger o caso importante da equação de Prandtl

dada porΓ(x)

B(x)− 1

2π

∫ 1

−1

− Γ′(t)

t− xdt = f(x),

com condições de fronteiraΓ(1) = Γ(−1) = 0, ondeB(x) 6= 0, x ∈ [−1, 1], B e f Hölder

contínuas.

Em se tratando de aplicações, equações tais como (4.1.1) são freqüentes em teoria de elastici-

dade e em mecânica dos fluidos, vejaKalandiya (1975), por exemplo, onde se discutem problemas

de contato com fricção entre dois corpos circulares. Neste mesmo livro são apresentados vários

problemas onde uma equação similar a (4.1.1) tem que ser resolvida.

Nos últimos anos vários autores têm desenvolvido métodos numéricos para o tratamento de

equações integro-diferenciais singulares (EIDS) e, em particular, para a equação de Prandtl. Ver,

por exemplo,Criscuolo et al. (1997), Capobianco et al. (2000), Capobianco (1993), Ioakimidis e

Theocaris (1979), Luther (1999) eTheocaris e Tsamasphyros (1984).

Um dos primeiros trabalhos a mencionar que os métodos usados para resolver equações inte-

grais de Cauchy, poderiam também serem utilizados para resolver EIDS foi o desenvolvido por

Ioakimidis e Theocaris (1979). Nesse trabalho os autores propuseram o uso das regras de quadra-

tura de Gauss-Chebyshev para a discretização da equação. Alguns resultados relacionados com a

convergência do método também foram apresentados e os resultados numéricos foram comparados

com o clássico método de Multhopp que é baseado em interpolação e foi desenvolvido especifi-

camente para a resolução da equação de Prandtl. Também podemos citarKalandiya (1975), o

qual trata de algumas EIDS reduzindo-as à equação de Prandtl e, em seguida, emprega o método

Multhopp para sua solução numérica.

Métodos de colocação e de quadratura para EIDS são apresentados emCriscuolo et al. (1997).

Neste trabalho os autores desenvolvem toda a teoria necessária para estabelecer resultados de con-

vergência em espaços de Sobolev com peso. Em um trabalho subseqüente, os mesmos autores

propõem a solução de uma EIDS por meio de um método de colocação polinomial em termos

de convergência uniforme, por meio do uso de espaços de Besov com peso e também a teoria de

aproximação de espaços, verCapobianco et al. (2000). No entanto, tais resultados parecem não

ser passíveis de aplicação no caso em que as condições de fronteira não sejam as especificadas em

(4.1.2). Problemas envolvendo EIDS com condições de fronteira distintas de (4.1.2) podem ser

encontrados emCuminato et al. (2007), por exemplo.

Neste capítulo vamos descrever um método numérico para a resolução da equação (4.1.1) o

qual não tem as limitações do método Multhopp, e também que não dependa do procedimento de

CAPÍTULO 4. EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL LINEAR 45

fatoração da derivada nas parcelas em que esta se faz presente na equação (4.1.1) como, por exem-

plo, é feito emCapobianco et al. (2000). Salientamos dois principais aspectos que diferenciam

este trabalho dos demais na literatura. Primeiramente, é o fato de que a convergência do método

é obtida diretamente na norma uniforme, ao contrário do que se observa na literatura onde é ne-

cessário o uso de espaços de aproximação ou ainda o uso de espaçosL2ω com peso para a prova

da convergência. Além disso, outro aspecto é que através de ligeiras adaptações, é possível aplicar

tanto o método numérico quanto os resultados de convergência em casos específicos da equação

(4.1.1) mas com condição de fronteira distinta de (4.1.2) como por exemplo, a equação da vela

de Thwaites, verThwaites (1961) e o problema apresentado emMonegato e Strozzi (2002). A

equação da vela será apresentada na última seção deste capítulo, onde mostraremos as mudanças

necessárias para a adaptação do método.

4.2 Conceitos Iniciais

No que segue, vamos fazer um tratamento analítico da equação integro-diferencial em questão

para a obtenção, tanto do método numérico quanto dos resultados de convergência.

Começamos com a seguinte mudança de variáveis

u(x) = ϕ′(x) ⇒ ϕ(x) =

∫ x

−1

u(t) dt . (4.2.1)

Substituindo em (4.1.1) obtemos

1

π

∫ 1

−1

− u(t)

t− xdt+

∫ 1

−1

k(x, t)u(t) dt+ a(x)

∫ x

−1

u(t) dt

+

∫ 1

−1

l(x, t)

[∫ t

−1

u(s)ds

]dt = f(x), (4.2.2)

a qual pode ser considerada como uma equação integral singular de Cauchy (EISC). Note que,

devido à condição de fronteiraϕ(1) = 0 a funçãou(x) tem que satisfazer∫ 1

−1u(t) dt = 0.

De acordo com a teoria de equações integrais singulares de Cauchy apresentadas nos capítulos

anteriores a solução de (4.2.2) será dada por

u(x) = g(x)ω(x) (4.2.3)

sendo

ω(x) = (1− x)α(1 + x)β. (4.2.4)


Os expoentesα eβ foram definidos na página28. Estaremos em busca de soluçõesu da equação

(4.2.2) as quais pertencem à classe de todas as funções Hölder contínuas em todo intervalo fechado

contido em(−1, 1) e integrável nos seus extremos (verMuskhelishvili (1953)).

Devido à forma da equação (4.2.2) teremosα = ±12

eβ = ±12.

O índice da classe de funções que são solução de (4.2.2) foi definido no Capítulo2 e é dado

por

κ = −(α+ β).

Dada a natureza do problema bem como as condições iniciaisϕ(−1) = ϕ(1) = 0 estaremos

considerando no que segueκ = 1, isto é,α = −1/2 eβ = −1/2. Com isso, a solução é dada por

u(x) =g(x)√1− x2

. (4.2.5)

Substituindo (4.2.5) em (4.2.2) obtemos

1

π

∫ 1

−1

− g(t)√1− t2(t− x)

dt+

∫ 1

−1

k(x, t)g(t)√1− t2

dt+ a(x)

∫ x

−1

g(t)√1− t2

dt

+

∫ 1

−1

l(x, t)

[∫ t

−1

g(s)√1− s2

ds

]dt = f(x)

(4.2.6)

juntamente com a condição ∫ 1

−1

g(t)√1− t2

dt = 0 . (4.2.7)

Em seguida, para permitir a obtenção dos resultados de convergência iremos trabalhar com a

equação em termos de operadores. Para isso, definimos

Hg(x) =1

π

∫ 1

−1

− g(t)√1− t2(t− x)

dt,

Kg(x) =

∫ 1

−1

k(x, t)g(t)√1− t2

dt,

Fg(x) =

∫ x

−1

g(t)√1− t2

dt,

Lg(x) = a(x)

∫ x

−1

g(t)√1− t2

dt+

∫ 1

−1

l(x, t)

[∫ t

−1

g(s)√1− s2

ds

]dt

= a(x) Fg(x) +

∫ 1

−1

l(x, t)Fg(t) dt

(4.2.8)


e

HIg(x) = − 1

π

∫ 1

−1

−√

1− t2g(t)

(t− x)dt. (4.2.9)

Com isso, a equação (4.2.6) escrita em termos de operadores fica

Hg(x) +Kg(x) + Lg(x) = f(x). (4.2.10)

Para a obtenção dos resultados de convergência do método a equação (4.2.10) é transformada

em uma equação equivalente na forma

(I +HIK +HIL)g(x) = HIf(x), (4.2.11)

ondeHI é o operador definido em (4.2.9). Para a obtenção de (4.2.11) vamos usar o mesmo

procedimento descrito emCapobianco (1993).

Denote porL2ω(−1, 1) o espaço de Hilbert de todas as funções reais de quadrado integrável

com relação ao pesoω(x) (definido em (4.2.4)), munido do produto escalar

〈u, v〉ω =1

π

∫ 1

−1

u(t)v(t)ω(t) dt (4.2.12)

e da norma||u||ω =√〈u, u〉ω. Para um número reals ≥ 0 definimos o subespaçoL2

ω,s, deL2ω por

L2ω,s = u ∈ L2

ω; ||u||L2ω,s<∞,

onde

||u||2L2ω,s

:=∞∑i=0

(1 + i)2s|〈u, pi〉ω|2,

e pn∞n=0 é o conjunto de polinômios ortogonais normalizados de acordo com o produto escalar

(4.2.12) com coeficientes dominantes positivos sendo o grau depn = n. Definindo

〈u, v〉ω,s =∞∑i=0

(1 + i)2s〈u, pi〉ω〈v, pi〉ω,

L2ω,s se torna um espaço de Hilbert eL2

ω,0 ≡ L2ω. Em particular,

L2ω,r j L2

ω,s e ||v||ω,s ≤ ||v||ω,r, para todo0 ≤ s ≤ r.


De acordo comBerthold et al. (1992), como estamos supondok(x, t) ∈ Hσ[−1, 1] temos que

K é um operador linear limitado que aplicaL2ω emL2

1ω

,t, t ≥ 0, além disso (verMonegato e Strozzi

(2002)) o mesmo vale para o operadorL.

Sabe-se da literatura (verMikhlin e Prössdorf (1986), por exemplo) queH é um operador de

Fredholm deL2ω emL2

1ω

. Como estamos considerando o índiceκ = 1, entãoHI é a inversa à

direita deH. Nesse caso, é necessária uma condição adicional para que haja unicidade na solução

de (4.2.6). Usamos, para isso, a mesma condição que se impôs desde o início, ou seja, a condição

(4.2.7). Então, sob esta condição, temosHIHg = g eHHIg = g.

Aplicando o operadorHI em ambos os lados de (4.2.10) obtemos

(I +HI(K + L))g(x) = HIf(x), ∀g ∈ L2ω. (4.2.13)

Concluímos então que, desde queg satisfaça (4.2.7) e κ = 1, todas as soluções de (4.2.13)

serão também soluções de (4.2.10).

Levando-se em conta o que foi discutido acima, restringiremos nossa atenção para a equação

(4.2.13). Os resultados de convergência serão dados em termos dessa equação.


Começamos considerando uma aproximação deg por gn(x) = a0T0(x) + a1T1(x) + · · · +anTn(x), ondeTj(x) = cos(j arccos x), j = 0, . . . , n, é o polinômio de Chebyshev do primeiro

tipo de grauj.

Substituindogn em (4.2.6), definimos o resíduo

rn(x) = Hgn +Kgn + Lgn − f(x),

onde

Hgn =1

π

∫ 1

−1

−∑n

j=0 ajTj(t)√1− t2(t− x)

dt =n∑

j=0

aj1

π

∫ 1

−1

− Tj(t)√1− t2(t− x)

dt

=n∑

j=1

ajUj−1(x),

Kgn =n∑

j=0

aj

∫ 1

−1

k(x, t)Tj(t)√1− t2

dt,


e

Lgn =

∫ 1

−1

l(x, t)

[∫ t

−1

∑nj=0 ajTj(s)√

1− s2ds

]dt+ a(x)

∫ x

−1

∑nj=0 ajTj(t)√

1− t2dt

= a0

[∫ 1

−1

l(x, t)(π − arccos(t)) dt+ a(x)(π − arccos(x))

]−

n∑j=1

aj

j

[∫ 1

−1

√1− t2l(x, t)Uj−1(t) dt+ a(x)

√1− x2Uj−1(x)

].

Nas equações acimaUj(x) = sin(j+1) arccos(x)sin(arccos(x))

é o polinômio de Chebyshev de segunda espécie,

além disso, usamos a fórmula (3.4.6).

Portanto, temos

rn(x) = Hgn +Kgn + Lgn − f

=n∑

j=1

ajUj−1(x) + a0

[∫ 1

−1

l(x, t)(π − arccos(t)) dt+ a(x)(π − arccos(x))

]

−n∑

j=1

aj

j

[∫ 1

−1

√1− t2l(x, t)Uj−1(t) dt+ a(x)

√1− x2Uj−1(x)

]

+n∑

j=0

aj

∫ 1

−1

k(x, t)Tj(t)√1− t2

dt− f(x) .

(4.3.1)

A condição (4.2.7) imposta agn(x) determinaa0 = 0, de tal forma que restamn incógnitas

a1, a2, . . . , an. Para determiná-las, exigimos que

rn(xm) = 0, m = 1, 2, . . . , n

ondexm são pontos distintos em[−1, 1] criteriosamente escolhidos de tal forma a melhorar as pro-

priedades de aproximação degn(x). Nesse caso escolhemosxm = cos (2m−1)π2n

, m = 1, 2, . . . , n,

isto é, os zeros deTn(x). A razão para esta escolha ficará evidente mais pra frente. Obtemos,

então, um sistema de equações lineares dado por

n∑j=1

aj

[(1− a(xi)

1

j

√1− x2

i

)Uj−1(xi)−

∫ 1

−1

√1− t2l(xi, t)Uj−1(t) dt

+

∫ 1

−1


dt

]= f(xi), (4.3.2)

parai = 1, 2, . . . , n.


Note que, em geral, as integrais∫ 1

−1

√1− t2l(xi, t)Uj−1(t) dt e

∫ 1

−1


dt

não são possíveis de serem calculadas exatamente, de tal forma que teremos que utilizar uma regra

de quadratura para aproximá-las. Vamos utilizar a fórmula de Gauss-Chebyshev do segundo tipo

comn pontos para a primeira integral e a fórmula de Gauss-Chebyshev do primeiro tipo comn+1

pontos para a segunda, ou seja

∫ 1

−1

√1− t2l(x, t)Uj−1(t) dt '

π

n+ 1

n∑i=1

sin2

(iπ

n+ 1

)l

(x, cos

(iπ

n+ 1

))Uj−1

(cos

iπ

n+ 1

)∫ 1

−1


dt ' π

n+ 1

n+1∑i=1

k

(x, cos

(2i− 1)π

2(n+ 1)

)Tj

(cos

(2i− 1)π

2(n+ 1)

),

tais aproximações podem ser encontradas emKrylov (1962).

Em termos de operadores, vamos definir:

Ln : C0[−1, 1] −→ C[−1, 1]

g −→ Lng =π

n+ 1

n∑j=1

sin2

(jπ

n+ 1

)l(x, tj)

F (g(tj))√1− t2j

+ a(x)F (g(x)) (4.3.3)

Kn : C0[−1, 1] −→ C[−1, 1]

g −→ Kng =π

n+ 1

n+1∑j=1

k

(x, cos

((2j − 1)π

2(n+ 1)

))g

(cos

((2j − 1)π

2(n+ 1)

))(4.3.4)

sendotj = cos(

jπn+1

). O espaçoC0[−1, 1] será definido na próxima seção.

Com isso, a equação discreta que de fato temos que resolver tem a seguinte forma

rn(xi) = Hgn(xi) + Kngn(xi) + Lngn(xi)− f(xi) = 0, i = 1, 2, . . . , n. (4.3.5)

Aqui para simplificar a notação utilizamos o mesmo nome para denotar o resíduo.

Considere a projeçãoPn−1 definida em (3.4.9). Em termos dos operadoresLn, Kn e Pn−1 a

equação discreta (4.3.5) é dada por

Pn−1(Hgn + Kngn + Lngn) = Pn−1f. (4.3.6)


A partir da definição degn e (3.4.6) temos que

Hgn =n∑

j=0

aj HTj(x) =n∑

j=0

aj Uj−1(x),

isto é,Hgn é um polinômio de grau≤ n − 1 e isso implica quePn−1Hgn = Hgn. Com isso,

(4.3.6) pode ser escrita como

Hgn + Pn−1(Kngn + Lngn) = Pn−1f. (4.3.7)

4.4 Lemas

Nesta seção apresentaremos as principais definições e resultados que serão necessários para

a prova da convergência do método numérico proposto. Iniciamos com a definição dos espaços

funcionais.

De maneira usual, denotamos porC[−1, 1] o espaço de Banach das funções contínuas no in-

tervalo[−1, 1] munido da norma uniforme

‖g‖∞ = sup|x|≤1

|g(x)|.

Definimos o espaço

C0[−1, 1] =

g ∈ C[−1, 1];

∫ 1

−1

g(t)√1− t2

dt = 0

(4.4.1)

munido da norma uniforme. Salientamos queC0 é um espaço de Banach relativamente a essa

norma.

Não é difícil de verificar que seg ∈ C[−1, 1] entãoF (g(x)) =∫ x

−1g(t)√1−t2

dt ∈ H12 [−1, 1].

Este fato será usado posteriormente.

O lema abaixo é o resultado que possibilita a troca dos operadoresL eK em (4.3.1) por Ln e

Kn respectivamente. No lema denotaremos,

Qn = Pn ∩ C0[−1, 1], (4.4.2)

ondePn é o conjunto dos polinômios reais de grau≤ n.

52 4.4. LEMAS

Lema 4.1. Sejaml(x, t), k(x, t) ∈ Cq[−1, 1] em relação at e∂q

∂tql(x, t),

∂q

∂tqk(x, t) ∈ Hσ[−1, 1],

uniformemente em relação ax. Então

||L− Ln||∞,Qn = supp∈Qn,||p||∞=1

||Lp− Lnp||∞ ≤ c log(n)

nq+σ−1

||K − Kn||∞,Qn = supp∈Qn,||p||∞=1

||Kp− Knp||∞ ≤ c log(n)

nq+σ.

Demonstração.Sejap um polinômio de grau≤ n com ||p||∞ = 1 e p ∈ Qn. Pela definição deL

e Ln segue que

∣∣∣Lp(x)− Lnp(x)∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫ 1

−1

l(x, t)F (p(t)) dt− π

n+ 1

n∑i=1

sin2(

iπn+1

)l(x, ti)

F (p(ti))√1− t2i

∣∣∣∣∣ .Agora, sep ∈ Qn, entãop(x) = c0T0 + c1T1 + · · · + cnTn, comTi(x) sendo o polinômio de

Chebyshev de primeira espécie de graui. Pelo fato de que∫ 1

−1p(t)√1−t2

dt = 0 temosc0 = 0, portanto

F (p(x)) =

∫ x

−1

p(t)√1− t2

dt =n∑

j=0

cj

∫ x

−1

Tj(t)√1− t2

dt = −√

1− x2

n∑j=1

cjjUj−1(x)

ou seja,

F (p(x)) =√

1− x2θ(x), ondeθ(x) = −n∑

j=1

cjjUj−1(x).

Portanto,

∣∣∣Lp(x)− Lnp(x)∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ 1

−1

l(x, t)√

1− t2θ(t) dt− π

n+ 1

n∑i=1

sin2

(iπ

n+ 1

)l(x, ti)θ(ti)

∣∣∣∣.O lado direito da igualdade acima é o erro na regra de quadratura de Chebyshev de segunda

espécie aplicada al(x, t)θ(t) que é uma função diferenciável. Das propriedades do erro da regra

de quadratura temos ∣∣∣Lp(x)− Lnp(x)∣∣∣ ≤ 2πE2n−1(l(x, t)θ(t)), (4.4.3)

ondeEv(f) é definido por:

Ev(f) = minr∈Pv

||f − r||∞.

Temos então

En(l(x, t)) = ||l(x, •)− r∗||∞ ≥ ||l(x, •) θM− r∗

θ

M||∞,


sendoM = maxx∈[−1,1] |θ(x)|.

Portanto,

En(l(x, t)) ≥ ||l(x, •) θM− r∗

θ

M||∞ ≥ min

ω∈P2n−1

||l(x, •) θM− ω||∞

= E2n−1

(l(x, t)

θ(t)

M

),

ou seja

En(l(x, t)) ≥ E2n−1

(l(x, t)

θ(t)

M

). (4.4.4)

A partir do teorema de Jackson (emRivlin (1969)) temos

En(l(x, t)) ≤ c log(n)

nq+σ∀x ∈ [−1, 1].

De (4.4.4) segue queE2n−1(l(x, t)θ(t)) ≤M c log(n)nq+σ .

Agora

M = maxx∈[−1,1]

|θ(x)| = maxx∈[−1,1]

∣∣∣∣∣n∑

j=1

cjjUj−1(x)

∣∣∣∣∣ ≤ maxx∈[−1,1]

n∑j=1

|cj|j|Uj−1(x)|

≤n∑

j=1

|cj|,

já quemaxx∈[−1,1] |Uj−1(x)| = j.

Como|cj| ≤ 1 temosM ≤ n, o que implica

E2n−1(l(x, t)θ(t)) ≤c log(n)

nq+σ−1.

Usando essa última desigualdade e tomando a norma do máximo parax ∈ [−1, 1], em (4.4.3),

obtemos o seguinte resultado


nq+σ−1se||p||∞ = 1, p ∈ Qn. (4.4.5)

Como o limitante em (4.4.5) não depende dep podemos escrever

||L− Ln||∞,Qn ≤c log(n)

nq+σ−1

54 4.4. LEMAS

e isso completa a prova da primeira parte do lema. A prova da segunda parte é análoga e será

omitida.

A escolha dos nós de Chebyshev como pontos de colocação pode agora ser justificada pela

prova do Lema4.1, onde se verifica serem estes a melhor escolha para as estimativas utilizadas.

Na verdade, qualquer escolha dos pontos de colocação para os quais a constante de Lebesgue não

tenha um crescimento maior queO(log(n)) também serviria.

Consideremos a projeção definida em (3.4.9). Pode-se mostrar de maneira análoga ao que foi

feito no Lema3.6, que o operadorPn−1K pode ser escrito como

Pn−1K = Kn, sendo Kng(x) =

∫ 1

−1

kn(x, t)g(t)√1− t2

dt,

ondekn(x, t) =∑n−1

j=0 Tj(x)ψj(t), é o polinômio que interpolak(x, t) na variávelx e as funções

ψj são escolhidas de forma quekn(xi, t) = k(xi, t), i = 1, . . . , n. Também

Pn−1L = Pn−1

∫ 1

−1

l(x, t)F (g(t)) dt+ Pn−1(a(x)F (g(x)))

e analogamente podemos mostrar que

Pn−1L =

∫ 1

−1

ln(x, t)F (g(t)) dt+ Pn−1(a(x)F (g(x))),

onde ln(x, t) é definido da mesma maneira que a funçãokn(x, t). Usaremos a notaçãoLn =

Pn−1L.

Definindo o operador

Un = HI(K −Kn) +HI(L− Ln),

ondeKn eLn são os operadores previamente definidos, podemos enunciar o lema seguinte.

Lema 4.2. Sejamk(x, t), l(x, t) ∈ Cq[−1, 1] com relação à variávelx e∂q

∂xql(x, t),

∂q

∂xqk(x, t)

∈ Hσ[−1, 1], uniformemente na variávelt, ondeq ≥ 0, 0 < σ ≤ 1. Suponha ainda que

a(x) ∈ Hν [−1, 1]. Então

‖Un‖∞ ≤ c

nq+σ−ξ+

c

nν−ε, (4.4.6)

ondeξ e ε são considerados arbitrariamente pequenos e0 < ν ≤ ν.

Demonstração.Temos,

‖Un‖∞ ≤∥∥HI(K −Kn)

∥∥∞ +

∥∥HI(L− Ln)∥∥∞.


A estimativa para∥∥HI(K −Kn)

∥∥∞ foi obtida em (3.4.27).

Resta, então, estimar∥∥HI(L− Ln)

∥∥∞.

Podemos escrever

Lg(x) = Lg(x) + a(x)F (g(x))

Lng(x) = Lng(x) + Pn−1(a(x)F (g(x)))

onde,Lg =∫ 1

−1l(x, t)F (g(t)) dt e Lng =

∫ 1

−1ln(x, t)F (g(t)) dt.

Então,

∥∥HI(L− Ln)∥∥∞ =

∥∥∥∥HI(L− Ln) +HI

(a(x)F (g(x))− Pn−1(a(x)F (g(x)))

)∥∥∥∥∞

≤∥∥HI(L− Ln)

∥∥∞ +

∥∥∥∥HI

(a(x)F (g(x))− Pn−1(a(x)F (g(x)))

)∥∥∥∥∞.

(4.4.7)

Vamos, primeiramente estimar∥∥HI(L− Ln)

∥∥∞.

Sejag ∈ C0[−1, 1] tal que‖g‖∞ = 1 e consideregn(x) =∫ 1

−1[l(x, t) − ln(x, t)]F (g(t)) dt.

Podemos escrever

∥∥HI(L− Ln)g∥∥∞ = sup

x∈[−1,1]

∣∣∣∣− 1

π

∫ 1

−1

−√

1− t2

(t− x)gn(t) dt

∣∣∣∣ , (4.4.8)

então

∥∥HI(L− Ln)g∥∥∞ = sup

x∈[−1,1]

∣∣∣∣− 1

πgn(x)

∫ 1

−1

−√

1− t2

(t− x)dt − 1

π

∫ 1

−1

−√

1− t2

(t− x)[gn(t) − gn(x)] dt

∣∣∣∣= sup

x∈[−1,1]

∣∣∣∣gn(x)

(− 1

π

∫ 1

−1

−√

1− t2

(t− x)dt

)− 1

π

∫ 1

−1

−√

1− t2

(t− x)[gn(t)− gn(x)] dt

∣∣∣∣≤ sup

x∈[−1,1]

(|gn(x)|

∣∣∣∣− 1

π

∫ 1

−1

−√

1− t2

(t− x)dt

∣∣∣∣) + supx∈[−1,1]

∣∣∣∣ 1π∫ 1

−1

−√

1− t2


∣∣∣∣.Do Lema3.4 tem-se como caso particular que,

∣∣∣− 1π

∫ 1

−1−

√1−t2

(t−x)dt∣∣∣ = |T1(x)|. Agora, usando o

Lema3.3obtemos

supx∈[−1,1]

|gn(x)| ≤ c log(n)

nq+σ.

56 4.4. LEMAS

Além disso, usando o Lema3.1temos∣∣∣∣ 1π∫ 1

−1

−√

1− t2


∣∣∣∣ ≤c log(n)

nq+σ−2ξsup

x∈[−1,1]

(1

π

∫ 1

−1

−√

1− t2 |t− x|ξ−1 dt

)≤c log(n)

nq+σ−2ξ

onde0 < 2ξ < q + σ. Concluímos que

∥∥HI(L− Ln)g)∥∥∞ ≤ c log(n)

nq+σ+c log(n)

nq+σ−2ξ. (4.4.9)

O lado direito de (4.4.9) é independente deg, de tal forma que existemξ′′ > 0 e n0 tal que para

n ≥ n0 temos ∥∥HI(L− Ln)g)∥∥∞ ≤ c

nq+σ−ξ′′. (4.4.10)

Falta apenas a estimativa de

∥∥∥∥HI

(a(x)F (g(x))− Pn−1(a(x)F (g(x)))

)∥∥∥∥∞

. Como se pode ve-

rificar na página51, temos queF (g(x)) =∫ x

−1g(t)√1−t2

dt ∈ H12 [−1, 1] e, por hipótese,

a(x) ∈ Hν [−1, 1]. Portantoa(x)F (g(x)) ∈ H ν [−1, 1], onde0 < ν ≤ min12, ν. A partir

daí, utilizando o Lema3.2 e os mesmos argumentos utilizados para encontrar um limitante para∥∥HI(K −Kn)∥∥∞, obtemos∥∥∥∥HI

(a(x)F (g(x))− Pn−1(a(x)F (g(x)))

)∥∥∥∥∞≤ c

nν−ε, (4.4.11)

comε arbitrariamente pequeno.

De (4.4.11) e (4.4.10), obtemos a estimativa para (4.4.7), na forma

∥∥HI(L− Ln)∥∥∞ ≤ c

nν−ε+

c

nq+σ−ξ′′.

Observação:O Lema4.2, como veremos, será necessário para a prova da convergência do Teo-

rema4.2e assegura, de acordo com as hipóteses, pelo menos a convergência dos operadoresKn e

Ln paraK eL respectivamente. Observamos que estimativas de ordem maior que (4.4.6) podem

ser alcançadas, mas estas dependem das propriedade de regularidade da solução, a qual a priori é

desconhecida.


4.5 Propriedades dos Operadores

Escrevendo a equação discreta (4.3.2) em termos dos operadores já definidos e, aplicando a

projeçãoPn−1, obtemos

Pn−1(Hgn + Kngn + Lngn) = Pn−1f ⇒ Hgn + Pn−1(Kngn + Lngn) = Pn−1f

em seguida aplicando o operadorHI à esquerda

gn +HIPn−1(Kngn + Lngn) = HIPn−1f

ou

(I +HIPn−1(Kn + Ln))gn = HIPn−1f.

Portanto para assegurar a existência de uma solução da equação discreta acima, temos que

mostrar que o operador

I +HIPn−1(Kn + Ln)

é inversível emQn.

Teorema 4.1. Seja o operadorI + HI(K + L) continuamente inversível emC0[−1, 1] e

‖(I +HI(K + L))−1‖∞ ≤M . Suponha também que

qn ≡M(‖Sn‖∞ + ‖Un‖∞) < 1 (4.5.1)

sendo

Sn =HIPn−1[(Kn −K) + (Ln − L)] um operador emQn,

Un =HI [(K −Kn) + (L− Ln)] um operador emC0[−1, 1],

Kn =Pn−1K e Ln = Pn−1L.

(4.5.2)

Então o operador(I +HIPn−1(Kn + Ln)) é inversível emQn e

||(I +HIPn−1(Kn + Ln))−1||∞,Qn ≤M

1− qn. (4.5.3)

Demonstração. TomamosA = I + HI(K + L) eB = −Un. Então pela hipótese de queA é

inversível temos

||A−1|| ||B|| =∥∥(I +HI(K + L))−1

∥∥∞ ‖Un‖∞ ≤M ‖Un‖∞ < 1.

58 4.5. PROPRIEDADES DOS OPERADORES

Assim, pelo Teorema3.1o operador

A+B = I +HI(K + L)− Un = I +HI(K + L)−HI [(K −Kn) + (L− Ln)]

= I +HI(Kn + Ln)

é inversível e ∥∥(I +HI(Kn + Ln))−1∥∥∞ ≤ M

1−M ‖Un‖∞. (4.5.4)

Agora, o operadorI +HI(Kn + Ln) satisfaz

(I +HI(Kn + Ln))v ∈ Qn ⇔ v ∈ Qn.

De fato, note que comoPn−1Kv e Pn−1Lv ∈ Pn−1 e o operadorHI leva o espaçoPn−1 em

Qn, temos(I +HI(Kn +Ln))v ∈ Qn. Por outro lado, sev+HIKnv+HILnv = w ∈ Qn, então

o mesmo argumento acima (HIKnv andHILnv ∈ Qn) implicav = w −HI(Kn + Ln)v ∈ Qn.

A partir desse resultado segue queI + HI(Kn + Ln) é um operador inversível emQn, e o

limitante (4.5.4) ainda é válido neste espaço. Usando o Teorema3.1comA = I +HI(Kn + Ln)

eB = Sn, obtemos

||A−1|| ||B|| =∥∥(I +HI(Kn + Ln))−1

∥∥∞ ‖Sn‖∞

≤ M

1−M ‖Un‖∞‖Sn‖∞ < 1

devido a (4.5.1).

PortantoA+B = I +HIPn−1(Kn − Ln) é inversível emQn e

||(I +HIPn−1(Kn + Ln))−1||∞,Qn ≤M

1− qn. (4.5.5)

O Teorema4.1 também será utilizado na prova da convergência do método. Para assegurar

que as hipóteses desse teorema sejam válidas, usamos o lema abaixo. A partir da definição (4.2.9)

do operadorHI pode-se verificar que esse operador aplicaC0[−1, 1] emC0[−1, 1], para isso é

necessário utilizar a chamada fórmula de Poincaré-Bertrand (Cuminato (1987a)).

No que segueCp+σ([−1, 1]) denota o espaço das funçõesp vezes continuamente diferenciáveis

em [−1, 1], cujap-ésima derivada está emHσ[−1, 1].

Lema 4.3. Sejamk(x, t) e l(x, t) ∈ Cp+σ([−1, 1]2). Então os operadoresHIK e HIL de

C0[−1, 1] emC0[−1, 1] são compactos.


Demonstração.Iremos mostrar apenas queHIL é compacto, pois a prova de queHIK é compacto

é análoga. Sem perda de generalidade vamos supor quea(x) ∈ Hσ[−1, 1].

Primeiramente mostraremos queLg(x) ∈ Hµ[−1, 1], ∀g ∈ C0[−1, 1], µ = minσ, 12. De

fato, sejag ∈ C0[−1, 1], note que podemos escrever

Lg(x) = a(x)F (g(x)) + L2g(x),

sendo

F (g(x)) =

∫ x

−1

g(t)√1− t2

dt

e

L2g(x) =

∫ 1

−1

l(x, t)

[∫ t

−1

g(s)√1− s2

ds

]dt.

Como a funçãoa(x) ∈ Hσ[−1, 1] e F (g(x)) ∈ H12 [−1, 1] deduzimos quea(x)F (g(x)) ∈

Hµ[−1, 1].

Além disso,

|L2g(x)− L2g(y)| =∣∣∣∣∫ 1

−1

l(x, t)

[∫ t

−1

g(s)√1− s2

ds

]−∫ 1

−1

l(y, t)

[∫ t

−1

g(s)√1− s2

ds

]dt

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ 1

−1

[l(x, t)− l(y, t)]

[∫ t

−1

g(s)√1− s2

ds

]dt

∣∣∣∣≤∫ 1

−1

|l(x, t)− l(y, t)|∣∣∣∣∫ t

−1

g(s)√1− s2

ds

∣∣∣∣ dt≤ max

|x|≤1

∫ x

−1

g(t)√1− t2

dt

∫ 1

−1

|x− y|σ dt ≤M |x− y|σ .

AssimL2g(x) ∈ Hσ[−1, 1] e, portanto,Lg(x) = a(x)F (g(x)) + L2g(x) ∈ Hµ[−1, 1].

Isso mostra que o operadorL leva o espaçoC0[−1, 1] emHµ[−1, 1], isto é,

L : C0[−1, 1] −→ Hµ[−1, 1].

Agora, vamos mostrar queL é limitado, ou seja, queF eL2 são operadores limitados.

No caso deF , temos que mostrar que||F (g)||H

12

= ||F (g)||∞ +MF (g) ≤ c‖g‖∞, ondeMF (g)

é a constante que está presente na definição da norma Hölder (2.0.2).

De fato, ∣∣∣∣∫ x

−1

g(t)√1− t2

dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ x

−1

|g(t)|√1− t2

dt ≤ ‖g‖∞∫ x

−1

1√1− t2

dt.

60 4.5. PROPRIEDADES DOS OPERADORES

Tomandosup|x|≤1 em ambos os lados da desigualdade obtemos

||F (g)||∞ ≤ c‖g‖∞ .

Além disso, não é difícil concluir que

|F (g(x))− F (g(y))| ≤ c||g||∞|x− y|12 =⇒MF (g) ≤ c||g||∞

∀ x, y ∈ [−1, 1], ∀ g ∈ C0[−1, 1].

Analogamente, no caso deL2 temos que mostrar que||L2g||Hσ = ‖L2g‖∞ +ML2g ≤ c‖g‖∞.

De fato,∣∣∣∣∫ 1

−1

l(x, t)

[∫ t

−1

g(s)√1− s2

ds

]dt

∣∣∣∣ ≤∫ 1

−1

|l(x, t)|∣∣∣∣∫ t

−1

g(s)√1− s2

ds

∣∣∣∣ dt≤max

|t|≤1|l(x, t)|

∫ 1

−1

(max

s∈[−1,t]|g(s)|

∫ t

−1

1√1− s2

ds

)dt

≤max|t|≤1

|l(x, t)|||g||∞∫ 1

−1

∫ t

−1

1√1− s2

ds dt.

Tomandosup|x|≤1 em ambos os lados da desigualdade obtemos||L2g||∞ ≤ c‖g‖∞.

Procedendo da mesma forma como no caso do operadorF deduzimos queML2g ≤ c ‖g‖∞ ⇒‖L2g‖∞ +ML2g ≤ c‖g‖∞ e, com isso, fica provado que o operadorL é limitado.

De acordo com (Capobianco et al., 2000, Lema 4.1), o espaçoHµ[−1, 1] está compactamente

mergulhado emH σ para0 < σ < µ. Assim concluímos queL : C0[−1, 1] −→ H σ[−1, 1] é um

operador compacto.

Resta mostrar queHI : H σ[−1, 1] −→ C0[−1, 1] é limitado, isto é

∥∥HIg∥∥∞ ≤ c||g||σ, ∀ g ∈ H σ[−1, 1],

em outras palavras ∥∥∥Hg∥∥∥∞≤ c(‖g‖∞ +Mg).


De fato,∣∣∣∣∫ 1

−1

−√

1− t2g(t)

t− xdt

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫ 1

−1

−√

1− t2(g(t)− g(x))

t− xdt+ g(x)

∫ 1

−1

−√

1− t2

t− xdt

∣∣∣∣≤∣∣∣∣∫ 1

−1

−√

1− t2(g(t)− g(x))

t− xdt

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣g(x)∫ 1

−1

−√

1− t2

t− xdt

∣∣∣∣≤∫ 1

−1

−√

1− t2|g(t)− g(x)||t− x|

dt+ |g(x)|∣∣∣∣∫ 1

−1

−√

1− t2

t− xdt

∣∣∣∣≤Mg

∫ 1

−1

−√

1− t2|t− x|σ

|t− x|dt+ |g(x)|c.

Multiplicando ambos os lados por1

πe tomando o supremo, obtemos o resultado desejado. Uma

vez que a última integral é sempre finita∀x ∈ [−1, 1].

4.6 Convergência Uniforme

Nesta seção apresentaremos o resultado que garante a convergência de solução do método

numérico proposto.

Em tudo o que segue estaremos sempre considerando como pontos de colocação os chamados

nós de Chebyshev, ou seja, as raízes do polinômio de Chebyshev de primeira espécie. Os nós serão

denotados porx1, x2, . . . , xn. Além disso,Pn−1 denotará a projeção definida em (3.4.9), sobre o

conjunto den nós de Chebyshev.

Como estamos desde o início considerandoκ = 1, a equação

Hg +Kg + Lg = f

possui infinitas soluções (de acordo com a teoria do Capítulo2). Para obter unicidade precisamos

impor uma condição sobre a solução ((Golberg, 1984, p. 449 )). Assumiremos que esta condição é

da formaSg = 0, ondeS : C[−1, 1] 7→ IR é um funcional linear contínuo. Também assumiremos,

conforme é feito emCapobianco (1993), que o problema

Hg +Kg + Lg = f

Sg = 0,(4.6.1)

62 4.6. CONVERGÊNCIA UNIFORME

tem uma única solução emC0[−1, 1]. Na verdade, sabemos que o funcionalS é usualmente

definido por

Sg =

∫ 1

−1

ω(t)g(t) dt.

onde,ω(x) = 1√1−x2 quandoκ = 1. O problema discreto proveniente de (4.6.1) é dado por

Hgn + Pn−1Kgn + Pn−1Lgn = Pn−1f

Sgn = 0.(4.6.2)

Observação:No teorema abaixo, o parâmetroν é o mesmo que foi definido no Lema4.2.

Teorema 4.2.Sejaa(x) ∈ Hν [−1, 1] e 0 < ν ≤ ν, f ∈ Cp+µ[−1, 1], p ≥ 0, 0 < µ, ν ≤ 1 e

k(x, t), l(x, t) funções reais tais quek(x, t), l(x, t) ∈ Cq[−1, 1]2 e

∂k(x, t)

∂xq,∂l(x, t)

∂xq∈ Hσ[−1, 1], uniformemente emt, 0 < σ ≤ 1,

∂k(x, t)

∂tq,∂l(x, t)

∂tq∈ Hσ[−1, 1], uniformemente emx, q ≥ 1.

Sejag a única solução, emC0[−1, 1], do problema

Hg +Kg + Lg = f

Sg =

∫ 1

−1

g(t)√1− t2

dt = 0.(4.6.3)

Então paran suficientemente grande, o problema discreto

Hgn + Pn−1Kgn + Pn−1Lgn = Pn−1f

Sgn =

∫ 1

−1

gn(t)√1− t2

dt = 0,(4.6.4)

tem uma única solução e, além disso

‖g − gn‖∞ ≤ cn−r

onder = minν, p+ µ, q + σ − 1 − ε, 0 < ε 1.


Demonstração. Primeiramente vamos escrever as equações (4.6.3) e (4.6.4) como

g +HIKg +HILg = HIf + s (4.6.5)

gn +HIPn−1Kngn +HIPn−1Lngn = HIPn−1f + sn (4.6.6)

ondes esn são constantes a serem determinadas de forma que

Sg = 0 e Sgn = 0.

Vamos agora fazer uso do Teorema4.1para mostrar que (4.6.6) tem uma única solução. Para

isso, precisamos primeiramente mostrar que as hipóteses deste teorema valem. As duas primeiras

condições seguem do Lema4.3e da alternativa de Fredholm, restando (4.5.1) para ser provada.

Temos então que mostrar que,‖Sn‖∞ → 0 na norma deQn e ‖Un‖∞ → 0 na norma de

C0[−1, 1]. Isso garantirá (4.5.1) parn suficientemente grande.

A partir do Lema4.1temos

||K − Kn||∞,Qn = supp∈Qn,||p||∞=1

||Kp− Knp||∞ ≤ c log(n)

nq+σ

e

||L− Ln||∞,Qn = supp∈Qn,||p||∞=1


nq+σ.

Agora, emQn

||Pn−1(Kn −K)||∞,Qn ≤ c||Pn−1||∞||Kn −K||∞,Qn ≤c log(n)

nq+σ−ξ1(4.6.7)

||Pn−1(Ln − L)||∞,Qn ≤ c||Pn−1||∞||Ln − L||∞,Qn ≤c log(n)

nq+σ−ξ1. (4.6.8)

ondeξ1 se deve à estimativa de||Pn−1||∞. Portanto,

||Sn||∞,Qn = suprn∈Qn,‖rn‖∞=1

∥∥∥HIPn−1(Kn −K)rn +HIPn−1(Ln − L)rn

∥∥∥∞

≤ suprn∈Qn,‖rn‖∞=1

∥∥∥HIPn−1(Kn −K)rn

∥∥∥∞

+ suprn∈Qn,‖rn‖∞=1

∥∥∥HIPn−1(Ln − L)rn

∥∥∥∞.


Por outro lado, temos que

∥∥∥HIPn−1(Kn −K)rn)∥∥∥∞≤ sup

x∈[−1,1]

∣∣∣∣h1n(x)

(− 1

π

∫ 1

−1

−√

1− t2

t− xdt

)− 1

π

∫ 1

−1

−√

1− t2[h1n(t)− h1n(x)]

t− xdt

∣∣∣∣e

∥∥∥HIPn−1(Ln − L)rn)∥∥∥∞≤ sup

x∈[−1,1]

∣∣∣∣h2n(x)

(− 1

π

∫ 1

−1

−√

1− t2

t− xdt

)− 1

π

∫ 1

−1

−√

1− t2[h2n(t)− h2n(x)]

t− xdt

∣∣∣∣comh1n(x) = Pn−1(Kn −K)rn(x) eh2n(x) = Pn−1(Ln − L)rn(x).

Note que

‖h1n‖∞ ≤ ||Pn−1||∞||Kn −K||∞,Qn ‖rn‖∞ ≤ c log(n)

nq+σ−ξ1

e

‖h2n‖∞ ≤ ||Pn−1||∞||Ln − L||∞,Qn ‖rn‖∞ ≤ c log(n)

nq+σ−ξ1.

Sabemos que

− 1

π

∫ 1

−1

−√

1− t2

t− xdt = x,

portanto, usando o Lema3.1da página22,

∥∥HIh1n

∥∥∞ ≤ ‖h1n‖∞ +

c log(n)

nq+σ−2ε1sup

x∈[−1,1]

− 1

π

∫ 1

−1

√1− t2|t− x|ε1−1 dt,

para0 < 2ε1 < q + σ, e

∥∥HIh2n

∥∥∞ ≤ ‖h2n‖∞ +

c log(n)

nq+σ−2ε2sup

x∈[−1,1]

− 1

π

∫ 1

−1

√1− t2|t− x|ε2−1 dt,

para0 < 2ε2 < q + σ.

Portanto,

∥∥HIh1n

∥∥∞ ≤c log(n)

nq+σ−ξ1+c log(n)

nq+σ−2ε1,∥∥HIh2n

∥∥∞ ≤c log(n)

nq+σ−ξ1+c log(n)

nq+σ−2ε2.

(4.6.9)


Assim, concluímos que

‖Sn‖∞ → 0.

A prova de que‖Un‖∞ → 0 é dada pelo Lema4.2, onde se conclui que

‖Un‖∞ ≤ c

nq+σ−ξ+

c

nν−ε(4.6.10)

para0 < ν ≤ ν. Na demonstração desse lema usamos um resultado de (Cuminato, 1987b, Teorema

1), e esse mesmo resultado também nos permite obter

∥∥HI(f − fn)∥∥∞ ≤ c

np+µ−ε, 0 < ε < p+ µ. (4.6.11)

Do Teorema4.1sabemos que o operadorI +HIPn−1(Kn + Ln) é inversível paran suficien-

temente grande e possui inversa limitada.

Isso mostra que o problema

gn +HIPn−1(Kn + Ln)gn = HIPn−1f + sn,

tem uma única solução para cada constantesn.

Escrevendo

gn = (I +HIPn−1(Kn + Ln))−1[HIPn−1f + sn], (4.6.12)

de (4.6.2) temos

0 = Sgn = S(I +HIPn−1(Kn + Ln))−1HIPn−1f + snS((I +HIPn−1(Kn + Ln))−1)1,

sendo que1 denota a função constante igual a 1. Assim

snS((I + HIPn−1(Kn + Ln))−1)1 = −S(I + HIPn−1(Kn + Ln))−1HIPn−1f. (4.6.13)

Pelo Lema4.1e Teorema3.1temos

(I +HIPn−1(Kn + Ln))−1ρj → (I +HI(K + L))−1ρj

sendoρj um polinômio de grau≤ j. Em particular,

(I +HIPn−1(Kn + Ln))−11 → (I +HI(K + L))−11,


e comoS é um funcional linear contínuo

S(I +HIPn−1(Kn + Ln))−11 → S(I +HI(K + L))−11 . (4.6.14)

Agora, da hipótese de que (4.6.3) tem uma única solução, segue que a constantes é unicamente

determinada por

s =−S(I +HI(K + L))−1HIf

S(I +HI(K + L))−11

de modo que o denominador não se anula. Por esse fato e também por (4.6.14) obtemos

|S(I +HIPn−1(Kn + Ln))−11| ≥ J > 0

paran suficientemente grande.

Tomando a norma em (4.6.13)

|snJ | ≤ |sn||S(I + HIPn−1(Kn + Ln))−11| ≤ |S(I + HIPn−1(Kn + Ln))−1HIPn−1f |.

Temos que∥∥∥∥(I +HIPn−1(Kn + Ln))−1HIPn−1f

∥∥∥∥∞≤∥∥∥(I +HIPn−1(Kn + Ln))−1

∥∥∥∞

∥∥HIPn−1f∥∥∞

≤ c∥∥HIPn−1f

∥∥∞ .

De (4.6.11) podemos deduzir queHIPn−1f → HIf o que implica que∥∥HIPn−1f

∥∥∞ é limitado

por uma constante independente den. Assim,|sn| é limitado por uma constante independente de

n e, de (4.6.12),

‖gn‖∞ ≤ c, (4.6.15)

ondec é uma constante independente den.

Para completar a prova, temos que mostrar quegn → g. Subtraindo (4.6.5) de (4.6.6), obtemos

en +HIKnen +HILnen = HI [(f − Pn−1f) + (Kn −K)g + (Ln − L)g

+ Pn−1(Kn −K)gn + Pn−1(Ln − L)gn] + s− sn

sendo,en = g − gn,Kn = Pn−1K eLn = Pn−1L.


Pelo Teorema4.1sabemos que(I +HI(Kn + Ln))−1 existe e é limitado. Portanto, podemos

escrever

en = (I +HI(Kn + Ln))−1HI [(f − Pn−1f) + (Kn −K)g + (Ln − L)g

+ Pn−1(Kn −K)gn + Pn−1(Ln − L)gn] + s− sn (4.6.16)

ondes− sn é determinado a partir deSen = 0.

Provaremos agora ques− sn → 0. AplicandoS em ambos os lados de (4.6.16) e observando

queSen = 0, obtemos

− (s− sn)S(I +HI(Kn + Ln))−11 = S(I +HI(Kn + Ln))−1HI [(f − Pn−1f) + (Kn −K)g

+ (Ln − L)g + Pn−1(Kn −K)gn + Pn−1(Ln − L)gn].

Como(I +HI(Kn + Ln))−11 → (I +HI(K + L))−11 e usando o fato de que

||(I +HI(K + L))−1||∞ ≤M

obtemos

|s− sn| ≤ k

[∥∥HI(f − Pn−1f)∥∥∞ +

∥∥HI((K −Kn) + (L− Ln))g∥∥∞

+∥∥∥HIPn−1((Kn −K) + (Ln − L))

∥∥∥∞‖gn‖∞

].

Assim,

s− sn → 0 (4.6.17)

pois‖gn‖∞ ≤ c.

Portanto, a partir de (4.6.17), (4.6.10), (4.6.11), (4.6.9) e (4.6.15), segue que

‖en‖∞ ≤ c

[∥∥HI(f − Pn−1f)∥∥∞ +

∥∥HI((K −Kn) + (L− Ln))g∥∥∞

+∥∥∥HIPn−1((Kn −K) + (Ln − L))

∥∥∥∞‖gn‖∞

],

o que implica que

‖en‖∞ ≤ c

np+µ−ε+

c

nν−ε+

c

nq+σ−ξ+

c

nq+σ−ξ′+

c

nq+σ−1−ξ′′.

68 4.7. EXEMPLOS NUMÉRICOS

O resultado segue considerando-sen suficientemente grande.

4.7 Exemplos Numéricos

Nesta seção vamos considerar alguns exemplos numéricos que ilustram a aplicação do método

bem como suas propriedades de convergência.

Antes porém deve-se observar que o método numérico da forma como foi elaborado faz a

aproximação da funçãog(x)(definida em4.2.3) por um polinômiogn(x)(definido na Seção (4.3)).

Para obtermos a aproximação da solução da equação integro-diferencial original, ou seja, uma

aproximação para a funçãoϕ(x) usamos

ϕn(x) =

∫ x

−1

gn(t)√1− t2

dt.

Todos os resultados numéricos que serão apresentados se referem à aproximação deϕ(x).

4.7.1 Exemplo 1

Neste primeiro exemplo, faremos uma comparação do método apresentado na Seção (4.3) com

basicamente dois métodos, um elaborado porLuther (1999) e o outro conhecido como método

Multhopp (de acordo comKalandiya (1975)) elaborado especificamente para o tratamento da equa-

ção de Prandtl.

Considere a equação

ϕ(x) +1

π

∫ 1

−1

− ϕ′(t)

t− xdt+

∫ 1

−1

cos(xt)

1 + (xt)2ϕ(t) dt = f(x)

onde

f(x) = ϕ(x) +2x

π√

1− x2log

∣∣∣∣√1− x2 − x+ 1√1− x2 + x− 1

∣∣∣∣ .A solução exata é dada por

ϕ(x) =

√

1− x2 + 2π(arccos(x)− π) x ≤ 0,

2π

arccos(x)−√

1− x2 x ≥ 0

comϕ′(x) =|x| − 2

π√1− x2

, isto é ,g(x) = |x| − 2π

eω(x) = 1√1−x2 .


Neste caso, a funçãol(x, t) = cos(x)1+(xt)2

é infinitamente diferenciável. Assim, a razão de conver-

gência é determinada pelas propriedades da funçãof .Temos quep = 0 eµ = 12, de tal forma que

o esperado é que o erro decaia na razão de1√n.

A Tabela 1 abaixo mostra o erro cometido na aproximação, bem como uma aproximação da

razão de convergência para os três métodos, o apresentado na Seção (4.3), Multhopp e o método

emLuther (1999). Os cálculos foram efetuados considerando-se

τ = −log(

e2n

en

)log(2)

, en = maxx∈[−1,1]

|ϕ(x)− ϕn(x)|.

Tabela 1

n e(1)n e

(2)n e

(3)n τ (1) τ (2) τ (3)

2 3.747239e-02 5.138621e-02 5.138621e-02

0.994808 1.623958 1.623958

4 1.880373e-02 1.667195e-02 1.667195e-02

1.725474 1.801683 1.801683

8 5.686232e-03 4.782176e-03 4.782176e-03

2.022615 1.926198 1.926198

16 1.399447e-03 1.258293e-03 1.258293e-03

2.039638 1.969541 1.969541

32 3.403802e-04 3.212853e-04 3.212853e-04

2.025002 1.985031 1.985031

64 8.363302e-05 8.115903e-05 8.115903e-05

(1) Método da Seção (4.3); (2) Multhopp; (3) Método emLuther (1999).

Os resultados obtidos nesse exemplo, de acordo com a Tabela 1, mostram que o método de

colocação proposto é tão eficiente quanto o método Multhopp na aproximação numérica de solu-

ções para a equação de Prandtl, com a vantagem de ser mais geral. Também, pode-se observar

pelos resultados, que o método Multhopp, pelo menos para este exemplo, é um caso particular do

método emLuther (1999). No entanto, nada garante que esse comportamento seja genérico.

Observamos que a razão de convergência se aproxima de 2. Esse fato, não está em contra-

dição com o Teorema4.2. Na verdade, baseados nos dados iniciais o Teorema4.2 prediz uma

razão de convergência de, pelo menos,12. A diferença para o que é observado na prática se deve,

provavelmente, à natureza da função que está sendo aproximadag(x) = |x| − 2π. Recordamos

que, em um certo sentido, a convergência da solução numérica está intimamente relacionada com

a regularidade da solução exata. No entanto, como a solução exata é desconhecida, a única forma

70 4.7. EXEMPLOS NUMÉRICOS

de analisar a convergência é através dos dados conhecidos, o que é exatamente o que o Teorema

4.2faz.

No proximo exemplo resolveremos uma equação similar, mas o propósito aqui é mostrar a

influência da regra de quadratura sobre a razão de convergência.

4.7.2 Exemplo 2

Considere a equação

a(x)ϕ(x)− 1

π

∫ 1

−1

− ϕ′(t)

t− xdt+

1

π

∫ 1

−1

l(x, t)ϕ(t) dt = f(x)

ondea(x) =√

1− x2, l(x, t) = |x|+ |t| ef(x) = (1− x2) + 1 +|x|2

+2

3π.

A solução exata é

ϕ(x) =√

1− x2

comϕ′(x) = − x√1−x2 .

Nesse caso, a função aproximada pelo método (g(x) = −x) já é um polinômio. De tal forma

que o esperado é que a solução exata seja obtida. No entanto, isso não ocorre como pode ser visto

na Tabela 2.

Tabela 2

n en τ

2 0.179E-1

1.86

4 0.494E-2

1.74

8 0.147E-2

1.85

16 0.409E-3

1.91

32 0.108E-3

1.95

64 0.278E-4

O Teorema4.2 prediz que a razão de convergência é de pelo menos 1, nesse caso. Como

a(x)√

1− x2 = (1− x2) é uma função diferenciável, os parâmetros no Teorema4.2dependem de

outros dados, isto é, da funçãof(x) e l(x, t). Temosp = 0, µ = 1 paraf e q = 0, σ = 1 para


l. Observe que neste exemplo, apesar de a solução ser extremamente bem comportada o erro do

método numérico é determinado pela regularidade dos dados do problema mostrando que a melhor

precisão obtida no primeiro exemplo constitui-se numa exceção.

Para essa mesma equação, se considerarmosl(x, t) = x + |t| então para que a solução seja a

mesma do caso anterior devemos colocarf(x) = (1− x2) + 1 + x2

+ 23π

. Agora,f é infinitamente

diferenciável, e a razão de convergência será influenciada somente pela regularidade da função

l(x, t). Neste caso a razão de convergência é parecida com a do caso anterior, como mostra a

Tabela 3.

Tabela 3

n en τ

2 0.220E-1

1.97

4 0.557E-2

1.77

8 0.163E-2

1.85

16 0.449E-3

1.92

32 0.118E-3

1.95

64 0.305E-4

Finalmente se colocarmosl(x, t) = x+ t entãof(x) = (1−x2) + 1 + x2+ 2

3πconsiderando-se

a mesma solução acima. Neste caso, todas as funções envolvidas são infinitamente diferenciáveis

e paran = 2 a solução numérica coincide com a solução exata.

O propósito deste exemplo foi o de mostrar que a regra de quadratura usada para aproximar as

integrais na equação integro-diferencial (4.1.1), tem um influencia substancial na razão de conver-

gência da solução numérica bem como a convergência depende das funçõesk(x, t) e l(x, t).

4.7.3 Exemplo 3

A equação abaixo é resolvida por (Kalandiya, 1975, pg. 132). Essa equação é derivada a partir

do modelo de um disco circular rígido que é pressionado contra uma abertura em um material

72 4.8. EQUAÇÃO DA VELA

elástico.

χ− 1

χ+ 1

β

x2 + β2N(x)− 1

2π

∫ 1

−1

− N ′(t)

t− xdt− β2

π

∫ 1

−1

N(t)dt

(x2 + β2)(t2 + β2)

=2χβ

1 + χ

x2 − β2

(x2 + β2)2(4.7.1)

sendoχ = 53, β = 1.20886. A Tabela 4 abaixo apresenta valores para a solução numérica da

equação acima, comn = 8, para alguns valores dex.

Tabela 4

x Colocação Multhopp

0.0 -6.10096E-1 -6.10082E-1

0.3 -5.57900E-1 -5.57893E-1

0.6 -4.19227E-1 -4.19261E-1

0.9 -1.98861E-1 -1.98884E-1

A solução utilizando-se o método Multhoop apresentada na terceira coluna foi obtida de (Ka-

landiya, 1975, pg. 135). Note que a equação (4.7.1) não está na forma da equação de Prandtl.

Kalandiya passa o termoβ2

π

∫ 1

−1N(t)dt

(x2+β2)(t2+β2)para o lado direito da igualdade e faz uma aproxi-

mação via regra de quadratura. Estritamente falando esse procedimento já não é mais o método de

Multhopp.

4.8 Equação da Vela

Finalizamos este Capítulo com a apresentação das mudanças necessárias para a aplicação do

método de colocação apresentado anteriormente na resolução numérica da chamada equação da

vela de Thwaites.

Como foi dito anteriormente, o método numérico descrito neste capítulo pode ser usado na

resolução de outros tipos de equações as quais podem ser reescritas na forma (4.1.1), porém com

diferente condição adicional. Veremos nesta seção a aplicação do método para a chamada equa-

ção da vela de Thwaites (veja,Thwaites (1961)), a qual pode ser considerada como um equação

integro-diferencial linear de segunda ordem.

Como pode ser visto emCuminato et al. (2007) a equação da vela de Thwaites pode ser escrita

como uma única equação adimensional em termos da deflexãoS(x) da vela. A equação é dada por

1

π

∫ 1

0

− S ′′(t)

t− xdt = λ(α− S ′(x)) (4.8.1)


com condições de fronteiraS(0) = S(1) = 0 eS ′′(1) = 0. Na equaçãoα denota o ângulo entre a

vela e o vento e um dos parâmetros importantes é

λ =2ρU2c

T

ondeρ denota a densidade do fluido,T (N/m2) é a tensão da vela por unidade de comprimento,

U é a velocidade do vento ec é a posição onde é fixado o ponto de apoio da vela. É importante

observar que soluções exatas não são conhecidas para valores não nulos deα eλ.

Por meio de uma mudança de variáveis podemos reescrever a equação (4.8.1) na forma

1

π

∫ 1

0

− ϕ′(t)

t− xdt = λ(α− ϕ(x)) (4.8.2)

com condições adicionais ∫ 1

0

ϕ(t) dt = 0 e ϕ′(1) = 0. (4.8.3)

Com isso, baseado no método apresentado anteriormente neste capítulo, realizamos a mudança

u(x) = ϕ′(x), resultando em

1

π

∫ 1

0

− u(t)

t− xdt = λ

[α−

∫ x

0

u(t) dt+

∫ 1

0

∫ t

0

u(s) ds dt

](4.8.4)

com condição de fronteira

u(1) = 0. (4.8.5)

A equação (4.8.4) é um caso particular da equação (4.1.1) porém com condição de fronteira

diferente de (4.1.2). Por isso, são necessárias algumas modificações tanto no método numérico

quanto na teoria de convergência. Apresentaremos apenas as principais mudanças de modo que os

detalhes serão omitidos.

Primeiramente reescrevemos a equação (4.8.4) no intervalo[−1, 1] de maneira a obtermos

1

π

∫ 1

−1

− u(t)

t− xdt+ 2λ

∫ x

−1

u(t) dt− 4λ

∫ 1

−1

∫ t

−1

u(s)ds dt = λα. (4.8.6)

A equação (4.8.6) é um caso particular de (4.2.2) coma(x) ≡ 2λ, k(x, t) ≡ 0, l(x, t) ≡ −4λ

ef(x) ≡ λα. A condição de fronteira agora é dada por

u(1) = 0. (4.8.7)


Nesse caso, é necessário considerarmos o problema na classe de funções limitadas no extremo

x = 1, e assim, para esta classe de soluções o índice éκ = 0 e, com isso

u(x) =

√1− x√1 + x

g(x).

Todas as considerações feitas nas páginas46-48são análogas, exceto pelo fato de que ao considerar

o índiceκ = 0, não precisamos de nenhuma condição adicional. Portanto o operadorH é o inverso

do operadorH.

Com relação ao método numérico, como estamos considerando o peso

ω(x) = (1− x)1/2(1 + x)−1/2,

algumas modificações são necessárias. Considerando a expansãogn(x) = a0T0(x) + a1T1(x) +

· · ·+ anTn(x), como feito anteriormente, devemos calcular

1

π

∫ 1

−1

− Tj(t)√

1− t√1 + t(t− x)

dt e∫ x

−1

Tj(t)√

1− t√1 + t

dt.

Usando a conhecida relação

1

π

∫ 1

−1

− Tj(t)√1− t2(t− x)

dt =

0 j = 0

Uj−1(x), j = 1, 2, . . .

e ∫ x

−1

Tj(t)√1− t2

dt =

arcsin(x) j = 0

−1j

√1− x2Uj−1(x) j = 1, 2, . . .

,

após algumas manipulações algébricas, obtemos

1

π

∫ 1

−1

− Tj(t)√

1− t√1 + t(t− x)

dt =

−1 j = 0,

Uj−1(x)− 12Uj(x)− 1

2Uj−2(x), j = 1, 2, . . .


e ∫ x

−1

Tj(t)√

1− t√1 + t

dt =2 arcsin(x)− 2

√1− x2 + π

2j = 0

√1− x2(x

2− 1)− arcsin(x)

2− π

4j = 1

√1− x2

(1

2(j−1)Uj−2(x)− 1

jUj−1(x) + 1

2(j+1)Uj(x)

), j = 2, 3, . . .

.

Também temos que levar em conta o fato de que sem a condição (4.2.7), o parâmetroa0 não

necessariamente se anula e, com isso, temosn + 1 incógnitas. Para a determinação das mesmas,

usamosn+1 pontos de colocação ao invés den. Definimosxm = cos (2m−1)π2(n+1)

,m = 1, 2, . . . , n+1,

ou seja, os zeros deTn+1(x). A partir daí o método numérico é análogo ao que já foi desenvolvido.

Em relação aos resultados apresentados na Seção4.4, comok(x, t) ≡ 0 e l(x, t) ≡ −4λ, toda

integral envolvendo tais funções são respectivamente, identicamente nulas ou calculadas exata-

mente. Portanto, não é necessário o uso da quadratura no cálculo das integrais. Um consequência

desse fato, é que o conjuntoC0 definido na página51 pode ser substituído pelo conjuntoC[−1, 1]

de todas as funções contínuas sobre[−1, 1] e o conjuntoQn substituído porPn, ou seja, o conjunto

dos polinômios reais de grau≤ n.

A prova do Teorema4.2 que garante a convergência do método, será simplificada neste caso

particular. Em (4.6.3) e (4.6.4) não temos a segunda equação, além disso, os operadoresKn e

Ln são substituídos porKn e Ln respectivamente. A partir dessas modificações procedemos a

demonstração de maneira análoga ao que foi feito em Cuminato (Cuminato, 1987b, Teorema 1).

Deve-se observar queThwaites (1961) não considera o problema na forma (4.8.1). A equação

considerada por Thwaites é dada por

Ψ(θ)+λ

[− 1

2π

∫ θ

0

sin2(ξ)

∫ π

0

− Ψ(φ)dφ

cos(ξ)− cos(φ)dξ

+1

4π

∫ π

0

sin(ϕ)

∫ ϕ

0

sin2(ξ)

∫ π

0

− Ψ(φ)dφ

cos(ξ)− cos(φ)dξdϕ

]+λ

(3π

8− θ

2− sin θ

2

)[1

π

∫ π

0

Ψ(θ) dθ

]= λ

(3π

8− θ

2− sin θ

2

) (4.8.8)

onde o parâmetroα desaparece ao se fazer a mudança de variáveisS ′(x) = αΨ(x). Thwaites,

então resolve (4.8.8) usando um método de aproximação baseado na transformação de todos ope-

radores envolvidos na equação em matrizes quadradas.

Para que possamos fazer uma comparação entre os resultados obtidos na aplicação do método

descrito neste trabalho e o método de Thwaites, procedemos da mesma maneira como descrito


emThwaites (1961). Consideramos os pontosθm = mπN−1

, m = 0, 1, . . . , N − 1 sobre o intervalo

[0, π]. Todos os cálculos foram feitos usandoN = 21, e considerando o intervalo[0, 1] de tal forma

que os pontos de colocação sãoxm = 12(1 − cos(θm)). A forma da vela e, consequentemente, as

características da solução dependem dos parâmetrosλ, α, l e c ondec + l é o comprimento total

da vela.

A Tabela 5 abaixo mostra os resultados numéricos para ambos os métodos, colocação e Thwaites.

Tabela 5

xm Colocação Thwaites xm Colocação Thwaites

x0 0 -0.11912157e-6 x11 -0.1449774914 -0.1449661249

x1 0.13530350e-1 0.13525809e-1 x12 -0.2555010902 -0.2554921969

x2 0.53224689e-1 0.53221481e-1 x13 -0.3112299087 -0.3112242045

x3 0.1150683387 0.1150665659 x14 -0.3090074790 -0.3090021928

x4 0.1896776601 0.1896740128 x15 -0.2615698391 -0.2615703870

x5 0.2610873929 0.2610897785 x16 -0.1899262043 -0.1899241408

x6 0.3082074293 0.3082067543 x17 -0.1151712465 -0.1151754200

x7 0.3100634570 0.3100714002 x18 -0.53254211e-1 -0.53253487e-1

x8 0.2539842753 0.2539892717 x19 -0.13533925e-1 -0.13539246e-1

x9 0.1432056745 0.1432178492 x20 0.48332179e-14 0

x10 -0.93271185e-3 -0.92342279e-3

A solução numérica apresentada na Tabela 5 foi obtida usandoλ = 5.507, α = π18, l =

0.07285299816 e c = 1.

CAPÍTULO

5Equação Integro-diferencial singular na

modelagem de tubulações em um

LMFBR

5.1 Introdução

Neste capítulo desenvolveremos o estudo de uma equação integro-diferencial singular não li-

near na modelagem do processo de evaporação de água no interior de tubulações presentes em

certos tipos de reatores nucleares. O modelo estudado consiste no chamado “Liquid Metal Fast

Breeder Reactor” (LMFBR), no qual um tipo de metal líquido é usado para fazer a transferência

de calor ao longo dos tubos de água. O processo em que a água se transforma em vapor é mode-

lado usando ateoria de lubrificação em camadas finase ateoria de aerofóliose o resultado é uma

equação integro-diferencial singular não-linear. O objetivo principal deste capítulo é o desenvolvi-

mento de um método numérico para a resolução da equação obtida. Antes, porém, veremos alguns

aspectos teóricos do modelo em questão e também uma breve descrição da obtenção da equação

final. Toda a parte teórica detalhada, bem como o desenvolvimento do modelo matemático podem

ser encontrados emMphaka (2000).

77

78 5.2. O SISTEMA LMFBR

5.2 O Sistema LMFBR

Existem vários tipos de reatores nucleares os quais podem receber diferentes classificações.

Em relação à substância utilizada para a transferência do calor do reator nuclear para a produção

de vapor, um dos sistemas utilizados é o chamado “Liquid Metal Fast Breeder Reactor” (LMFBR).

Esse tipo de reator usa metal líquido, comumente o sódio, para a transferência de calor. Para uma

referência, bem como um histórico sobre esse tipo de reator ver, por exemplo,Murray (1996).

Basicamente a produção de vapor neste tipo de reator consiste em um conjunto de tubulações

por onde a água passa. No entorno dessa tubulação há um outro canal por onde passa o metal

líquido aquecido proveniente do reator nuclear, de forma que ao longo do percurso a água começa

a aquecer até se transformar em vapor.

A evaporação da água dentro da tubulação passa por diversos regimes e a transição de um

regime para o outro depende de um complicado processo de iteração entre um regime e outro.

Daremos a seguir uma breve descrição desse processo.

No “início” da tubulação somente água está presente (não há bolhas ou vapor), ao percorrer

a tubulação a água vai sendo aquecida até atingir a temperatura de saturação. Nas proximidades

da região de saturação bolhas começam a se formar ao longo da parede. Conforme as bolhas

aumentam estas começam a se desprender da parede e formam uma região de borbulha onde além

da água estão presentes também bolhas de vapor. Em seguida, mais e mais bolhas começam a

se formar e estas se fundem umas as outras dando origem a bolhas cada vez maiores. Nesta fase,

denominadaregime anular, o vapor já começa a ocupar toda a região central da tubulação, restando

apenas umacamada finade água que se desloca na parede até se transformar completamente em

vapor. Em meio ao vapor estão presentes gotículas de água que restaram da fase anterior as quais

ao final também se evaporam, além disso, na camada fina não há nucleação significativa de bolhas

de modo que somente a evaporação se faz presente. Neste último estágio somente vapor está

presente. A figura5.2 ilustra o processo.

A descrição da produção de vapor feita acima foi extremamente simplificada, ou seja, existem

outros regimes intermediários, embora a literatura não seja unânime sobre quais são esses regi-

mes. Outro fator que pode influenciar é a orientação da tubulação, por exemplo, uma tubulação

horizontal apresenta um comportamento ligeiramente diferente ao descrito.

Para a modelagem matemática estaremos considerando somente o regime anular, pois é o re-

gime predominante em um LMFBR. O regime anular é responsável por grande parte do fenômeno

de transferência de massa água/vapor na tubulação e determina o chamadoponto de saídaonde

a evaporação completa ocorre. Saber o ponto (localização) em que isso ocorre é algo de extrema

importância para o funcionamento do reator. A determinação do ponto de saída não é um pro-

CAPÍTULO 5. EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL SINGULAR NA MODELAGEM DETUBULAÇÕES EM UM LMFBR 79

Figura 5.1: Esquema da transformação água/vapor no interior da tubulação

blema de fácil solução (verFisher e Pearce (1993)). De fato, algo que pode acontecer além do

ponto de saída é a formação de novas gotículas de água, estas se depositam na parede da tubulação

formando novamente uma camada fina, conseqüentemente a temperatura nesta região diminuiria.

Se esse processo ocorre periodicamente, devido a pressão térmica, isso pode levar a danos na tu-

bulação (Fisher e Pearce (1993)). Portanto, a localização do ponto de saída é fundamental para a

manutenção do tempo de vida das tubulações.

O objetivo então, é a determinação do ponto de saída, ou da mesma forma, o comprimento da

tubulação necessário para o fim do processo de evaporação.

5.3 O Modelo Matemático

Apresentaremos a seguir um resumo das equações necessárias para a obtenção da equação

final que fecha o modelo. A maioria das deduções, simplificações e considerações teóricas serão

80 5.3. O MODELO MATEMÁTICO

omitidas a fim de tornar mais objetiva a explanação, no entanto, os detalhes podem ser encontrados

emMphaka (2000).

Estaremos assumindo em tudo o que segue que o fluxo, tanto de água quanto de vapor, presente

no regime anular é bidimensional e estacionário. O fluxo na camada fina adjacente à parede aque-

cida é governado pelateoria de lubrificação, a evaporação pelacondição clássica do tipo Stefane

a interação entre o fluxo de vapor (em alta velocidade) e a camada fina de água é descrita usando

a teoria clássica de aerofólios.

O desenvolvimento da equação final se dá pela análise de quatro situações: a camada fina,

transferência de massa na superfície livre, fluxo de vapor e a transferência de calor.

5.3.1 A Camada Fina

Na camada fina de água pela tubulação o fluxo é governado pelas equações de Navier-Stokes

qt + (q · ∇)q = −1

ρ∇p+ ν∇2q (5.3.1)

sendoq = (u, v)T denotando a velocidade do fluido,t denota o tempo,p, ρ e ν = µρ

denotam,

respectivamente, a pressão, a densidade e a viscosidade cinemática (assumimosρ e ν constantes).

Para o uso dateoria de camadas finasaplicamos uma adimensionalização dos parâmetros:x =

Lx, y = εLy, t = LUt, h = εLh, u = Uu, v = εUv e p = µUL

h20p. Nestas igualdadesx e

y denotam, respectivamente, a distância na direção do fluxo e na direção normal ao mesmo,L

denota a distância entre a entrada da água e o ponto de saída (note queL é desconhecido e é o que

precisa ser determinado),h0 denota a espessura da camada fina em um certo ponto conhecido (o

qual seráx = 0), µ é a viscosidade dinâmica,U é a velocidade do fluxo na camada fina eε denota

o quocienteh0

L.

Após algumas simplificações podemos reescrever (5.3.1)

u =1

2pxy(y − 2h) + τ y,

v =1

6pxxy

2(3h− y) +1

2pxy

2hx −1

2τxy

2.(5.3.2)

Foram impostas as condiçõesu = v = 0 em y = 0. Nas equações (5.3.2) o novo parâmetro

τ = µUεLτ denota a pressão exercida na parede, além disso, na superfície livre,h(x) = εLh(x)

tal queuy = τ em y = h(x). A pressãop é uma função apenas dex e é contínua ao longo da

superfície livre.


5.3.2 Transferência de Massa na Superfície Livre

Na interface entre líquido e vapory = h(x) a transferência de massa ocorre a medida que

a água se transforma em vapor. Esse processo deve ser determinado como parte da solução do

problema.

Denotando porM a massa por unidade de área e tempo transferida do líquido para o gás e,

assumindo que isso ocorre na direção normaln à superfície livre, temos

M = ρq · n

e no caso do fluxo estacionário temos

M = ρ(−uhx + v)(1 + h2x)− 1

2 ,

ou

m = −uhx + v (5.3.3)

sendo que a massa adimensionalm é definida porM = ρUεm.

Usando as equações (5.3.2), obtemos

m =

(1

3pxh

3 − 1

2τ h2

)x

,

ou na forma dimensional

M =ρ

µ

(1

3pxh

3 − 1

2τh2

)x

. (5.3.4)

5.3.3 Fluxo de Vapor

Assumimos que o fluxo de vapor possui um alto número de Reynolds, seja imcompressível,

invíscido e irrotacional. Diferenciamos a notação das variáveis para esse meio gasoso acrescen-

tando um “∼” e o subscritog: x = Lx, y = Ly, pg = ρ∞U2∞pg, h = εLh e φ = LU∞φ. Sendo

que o “∼” também denota a quantidade adimensional,φ é a velocidade potencial do fluido(vapor),

ρ∞ eU∞ denotam, respectivamente, a densidade e a velocidade do mesmo ao longo do ponto de

saída, ou seja, quando não há mais a presença da camada fina. Um esboço gráfico da situação é

apresentado na figura5.2.

Nesse contexto procedemos de acordo com a teoria clássica de aerofólios (para mais detalhes

consultarDyke (1996)). Usando a equação de Bernoulli para relacionar pressão e velocidade no

82 5.3. O MODELO MATEMÁTICO

Figura 5.2: Interface água/vapor

fluxo de vapor, a pressão é dada por

pg = p∞ +ρ∞U

2∞

π

∫ L

0

− hξ(ξ)

ξ − xdξ (5.3.5)

onde estamos assumindoh′(x) = 0 parax ≤ 0.

5.3.4 Transferência de Calor

A última questão a se considerar é a transferência de calor na camada fina. Efetuamos a adi-

mensionalização considerandoT = Ts + (Tw − Ts)T , ondeTs e a temperatura de saturação eTw

é a temperatura na parede da tubulação. Temos

uTx + vTy =k

LρUcp

(Txx +

1

ε2Tyy

)ondek e cp são, respectivamente, a condutividade térmica e o calor específico do líquido em

pressão constante. Vamos assumir que a temperatura da parede é mantida aTw e comoT = Ts na

fronteira da fase de mudança, temos

T = 1− y

h.

Temos agora que levar em conta a mudança de fase líquido/vapor. Assumindo que a tempe-

ratura no fluxo de gás permanece constante e desconsiderando a entropia na superfície bem como

recuo de vapor (as quais verificam serem mínimos), a condição de Stefan (verRubinstein (1971) )

assegura que

[kTy]gáslíquido = λρ

D

Dt(y − h(x))


sendo que o colchete indica a variação da quantidadekTy, λ indica o calor latente do líquido para

o vapor e DDt

= ∂∂t

+ q · ∇. Usando os parâmetros adimensionais no caso de fluxo estacionário,

obtemos

Ty|líquido = −1

η(v − uhx)

ondeη = kL(Tw−Ts)

Uρλh20

é um parâmetro adimensional que caracteriza a transferência de massa prove-

niente da camada fina no fluxo de vapor.

De (5.3.3), obtemos

m = −ηTy|líquido ⇒ m =η

h,

ou em parâmetros dimensionais

M =k(Tw − Ts)

λh. (5.3.6)

5.4 A Equação Integro-diferencial

Nesta seção apresentamos a equação final baseada no estudo prévio. Usando (5.3.4), (5.3.5) e

(5.3.6) e o fato de quep = pg na interface líquido/vapor, temos em variáveis dimensionais(h3

3

(ερ∞U

2∞

π

∫ L

0

− hξ(ξ)

ξ − xdξ

)x

− h2τ

2

)x

=µk(Tw − Ts)

λρh

ou em parâmetros adimensionais(θh3

3

(1

π

∫ 1

0

− hξ(ξ)

ξ − xdξ

)x

− h2τ

2

)x

=η

h(5.4.1)

ondeθ = εLρ∞U2∞

µUcaracteriza a variação de pressão do fluxo de vapor para a camada fina.

Algumas considerações são necessárias a respeito da equação. Temos em mãos uma equação

integro-diferencial não linear, singular de terceira ordem. Ainda não se observa na literatura uma

teoria sobre existência e unicidade de solução para equações com tal complexidade. Procedemos

de acordo com a premissa (verCuminato et al. (2007)) de que uma equação integro-diferencial de

n-ésima ordem exigen+ 1 condições de fronteira. Com isso, definimos

h(0) = 1, h(1) = 0, h′(0) = 0 (5.4.2)

e também (θh3

3

(1

π

∫ 1

0

− hξ(ξ)

ξ − xdξ

)x

− h2τ

2

)x=1

= 0. (5.4.3)

84 5.5. PROBLEMA MODELO

As duas primeiras condições são devidas à geometria do problema, a terceira reflete o fato de

que a pressão é finita na entrada do fluxo de água. A condição (5.4.3) expressa o fato de que o

fluxo de massa proveniente da camada fina deve ser zero no ponto de saída.

5.5 Problema Modelo

Antes de tentar a resolução numérica da equação (5.4.1), juntamente com suas condições ini-

ciais (5.4.2) e (5.4.3), vamos fazer uma simplificação do problema com o objetivo de se verificar

de que forma tais condições de fronteira podem ser utilizadas e também como calcular o compri-

mentoL. Dada a complexidade da equação (5.4.1), para facilitar a análise vamos fazer algumas

simplificações (fisicamente insustentáveis) a fim de obtermos uma equação linear. Ou seja, vamos

supor queτ ∼ 2θτ ∗0 xh−2, η ∼ η∗0hθ e ignorar o termoh3/3 que multiplica a parte singular na

equação (5.4.1). Com isso, o problema fica((1

π

∫ 1

0

− hξ(ξ)

ξ − xdξ

)x

− τ ∗0 x

)x

= η∗0 (5.5.1)

ondeη∗0 e τ ∗0 são constantes. Esse problema simplificado servirá como um modelo que será útil

do ponto de vista teórico, assintótico e numérico, podendo assim, ser resolvido analiticamente.

Integrando ambos os lados e usando a condição (5.4.3), ficamos com(1

π

∫ 1

0

− hξ(ξ)

ξ − xdξ

)x

− τ ∗0 x = η∗0(x− 1). (5.5.2)

Em seguida, rearrumando, integrando, invertendo o valor principal (Muskhelishvili (1953)) e uti-

lizando as condiçõesh′(0) = 0, h(0) = 1 e h(1) = 0 obtemos

h(x) =1

48

√x(1− x)

[−16Kx2 + x(24η∗0 − 8K) +

96

π

]− 1

πarcsin(2x− 1) +

1

2, (0 ≤ x ≤ 1)

(5.5.3)

ondeK =τ∗0 +η∗0

2. Obtemos assim a solução única de (5.5.1) satisfazendo as condições (5.4.2) e

(5.4.3).

Descrevemos agora como determinar o comprimentoL a partir da solução encontrada nesse

caso. Para isso uma outra condição é necessária e dentre as possibilidades vamos assumir que

a pressãopg0 é conhecida no início do regime anular emx = 0. Essa condição é equivalente

a prescrever o fluxo de massa total na tubulação: para que se tenha um fluxo de massa positivo


exigimos quepg0 < p∞. Assim

pg0 = p∞ +ερ∞U

2∞

π

∫ 1

0

− hξ(ξ)

ξdξ (5.5.4)

usando a solução (5.5.3), obtemos

pg0 − p∞ερ∞U2

∞=

1

π

[−2 +

3η∗0π

16− τ ∗0π

16

]e assim, para o problema modelo,

L =h0ρ∞U

2∞

16(p∞ − pg0)

[32

π− 3η∗0 + τ ∗0

]. (5.5.5)

Como o sinal dep∞ − pg0 é positivo, o comprimentoL dado por (5.5.5) é positivo, contanto que

η∗0 não seja grande.

Aproveitando-se do fato de que o problema modelo tem uma solução analítica, podemos tam-

bém resolvê-lo numericamente e daí tiramos conclusões acerca do processo. Por brevidade, não

apresentaremos os detalhes e o desenvolvimento do método, mas duas conclusões principais po-

dem ser destacadas. Primeiro o processo de regularização é crucial para que se possa fazer uso

das condições iniciais e, em segundo lugar, conhecer o comportamento assintótico da solução é

extremamente útil na avaliação dos resultados numéricos. Essas conclusões nortearão todo o de-

senvolvimento a seguir no que se refere à equação principal (5.4.1).

5.5.1 Reformulacão do Problema e Regularização

A seguir apresentamos como utilizar as idéias do problema modelo para o tratamento da equa-

ção (5.4.1) juntamente com as condições (5.4.2) e (5.4.3). Para isso, novamente serão usadas

técnicas de inversão do operador integral de Cauchy.

Começamos integrando a equação (5.4.1) para obtermos

θh3

3

(1

π

∫ 1

0

− hξ(ξ)

ξ − xdξ

)x

− h2

2τ = η

∫ x

0

1

h(ξ)dξ + C1. (5.5.6)

Usando a condição de fronteira (5.4.3), temos que

η

∫ x

0

1

h(ξ)dξ + C1 = 0,


emx = 1, isto é

C1 = −η∫ 1

0

1

h(ξ)dξ.

Com isso, a equação (5.5.6) pode ser reescrita como(1

π

∫ 1

0

− hξ(ξ)

ξ − xdξ

)x

=3τ

2h(x)θ− 3η

θh3(x)

∫ 1

x

1

h(ξ)dξ. (5.5.7)

Integrando novamente, obtemos

1

π

∫ 1

0

− hξ(ξ)

ξ − xdξ =

3τ

2θ

∫ x

0

1

h(ξ)dξ − 3η

θ

∫ x

0

(1

h3(ξ)

∫ 1

ξ

1

h(s)ds

)dξ + C2. (5.5.8)

Se definirmos,

F (x, h(x)) =3τ

2θ

∫ x

0

1

h(ξ)dξ − 3η

θ

∫ x

0

(1

h3(ξ)

∫ 1

ξ

1

h(s)ds

)dξ (5.5.9)

então a equação (5.5.8) pode ser escrita como

1

π

∫ 1

0

− hξ(ξ)

ξ − xdξ = F (x, h(x)) + C2 . (5.5.10)

Se considerarmos momentaneamente o lado direito de (5.5.10) conhecido, podemos usar a fór-

mula de inversão da integral de Cauchy (ver (Muskhelishvili, 1953, pg.251)) e, com isso, obtemos

hx(x) = − 1

π√x(1− x)

∫ 1

0

−√ξ(1− ξ)F (ξ, h(ξ))

ξ − xdξ−

C2

π√x(1− x)

∫ 1

0

−√ξ(1− ξ)

ξ − xdξ︸︷︷︸

(1)

+C3√

x(1− x). (5.5.11)

A integral (1) na equação acima pode ser resolvida exatamente∫ 1

0

−√ξ(1− ξ)

ξ − xdξ = −πx+

π

2, (0 < x < 1) (5.5.12)

e quando substituída em (5.5.11), leva a

hx(x) = − 1

π√x(1− x)

∫ 1

0

−√ξ(1− ξ)F (ξ, h(ξ))

ξ − xdξ +

C2(2x− 1)

2√x(1− x)

+C3√

x(1− x). (5.5.13)


A condição de fronteirahx(0) = 0 permite eliminar a constanteC2. Observando que∫ 1

0

−√ξ(1− ξ)F (ξ, h(ξ))

ξ − xdξ é constante quandox = 0, após algumas simplificações obtemos

hx(x) = − 1

π√x(1− x)

∫ 1

0

−√ξ(1− ξ)F (ξ, h(ξ))

ξ − xdξ+

(1− 2x)

π√x(1− x)

∫ 1

0

√ξ(1− ξ)F (ξ, h(ξ))

ξdξ +

2xC3√x(1− x)

.

Integrando novamente

h(x) = − 1

π

∫ x

0

(1√

s(1− s)

∫ 1

0

−√ξ(1− ξ)F (ξ, h(ξ))

ξ − sdξ

)ds+

1

π

∫ 1

0

√ξ(1− ξ)F (ξ, h(ξ))

ξdξ

∫ x

0

(1− 2s)√s(1− s)

ds+ 2C3

∫ x

0

s√s(1− s)

ds+ 1

= − 1

π

∫ x

0

(1√

s(1− s)

∫ 1

0

−√ξ(1− ξ)F (ξ, h(ξ))

ξ − sdξ

)ds+

2

π

∫ 1

0

√ξ(1− ξ)F (ξ, h(ξ))

ξdξ(√x(1− x))+

2C3

(−√x(1− x) +

1

2arcsin(2x− 1) +

π

4

)+ 1. (5.5.14)

No lado direito da igualdade acima somamos “1”, devido à condiçãoh(0) = 1.

Na equação (5.5.14), na primeira integral, podemos inverter a ordem de integração de modo a

obter

h(x) = − 1

π

∫ 1

0

(F (ξ, h(ξ))

√ξ(1− ξ)

∫ x

0

ds

(ξ − s)√s(1− s)

)dξ+

2

π

∫ 1

0

√ξ(1− ξ)F (ξ, h(ξ))

ξdξ(√x(1− x))+

2C3

(√x(1− x) +

1

2arcsin(2x− 1) +

π

4

)+ 1. (5.5.15)

Calculando a integral exata

√ξ(1− ξ)

∫ x

0

ds

(ξ − s)√s(1− s)

dξ = ln

(∣∣∣∣∣−ξ − x+ 2ξx− 2√ξ(1− ξ)

√x(1− x)

ξ − x

∣∣∣∣∣).


Portanto, (5.5.15) transforma-se em

h(x) = − 1

π

∫ 1

0

F (ξ, h(ξ)) ln

(∣∣∣∣∣−ξ − x+ 2ξx− 2√ξ(1− ξ)

√x(1− x)

ξ − x

∣∣∣∣∣)

dξ+

2

π

∫ 1

0

√ξ(1− ξ)F (ξ, h(ξ))

ξdξ(√x(1− x))+

2C3

(−√x(1− x) +

1

2arcsin(2x− 1) +

π

4

)+ 1. (5.5.16)

Podemos agora eliminar a última constanteC3 impondo a condição de fronteira que restou, ou

seja,h(1) = 0. Na substituição obtemosC3 = − 1π. Então a equação (5.5.16) resulta em

h(x) = − 1

π

∫ 1

0

F (ξ, h(ξ)) ln

(∣∣∣∣∣−ξ − x+ 2ξx− 2√ξ(1− ξ)

√x(1− x)

ξ − x

∣∣∣∣∣)

dξ+

2

π

∫ 1

0

√ξ(1− ξ)F (ξ, h(ξ))

ξdξ(√x(1− x))+

2

π

√x(1− x)− 1

πarcsin(2x− 1) +

1

2. (5.5.17)

5.5.2 Análise Assintótica

Embora a equação (5.5.17) nos dê uma expressão explícita em termos deh, antes de se propor

qualquer método numérico é importante que se faça uma análise do comportamento da solução.

Primeiramente, considerando a equação inicial(θh3

3

(1

π

∫ 1

0

− hξ(ξ)

ξ − xdξ

)x

− h2τ

2

)x

=η

h,

fica claro que o termoηh

no lado direito da igualdade deve balancear com o termo no lado esquerdo.

Baseando-se na condiçãoh(1) = 0, vamos considerarh(x) ∼ A(1− x)p quandox→ 1, sendoA

uma constante positiva e0 < p < 1. Note que, na definição da funçãoF em (5.5.9), p não pode

ser igual a 1, pois isso afetaria a integrabilidade, ou seja,h não pode ser linear numa vizinhança de

1. Temos então que

η

A(1− x)p∼(θA3(1− x)3p

3π

(∫ 1

0

− hξ(ξ)

ξ − xdξ

)x

)x

(x ∼ 1). (5.5.18)


Consideremos

I =

∫ 1

0

− hξ(ξ)

ξ − xdξ ∼

∫ R

0

hξ(ξ)

ξ − xdξ +

∫ 1

R

− −pA(1− ξ)p−1

ξ − xdξ

sendoR uma constante escolhida de modo que1 − R seja positivo e bem menor do que 1. Rees-

crevendo, obtemos

I ∼∫ R

0

hξ + Ap(1− ξ)p−1

ξ − xdξ −

∫ 1

0

− Ap(1− ξ)p−1

ξ − xdξ.

Efetuando a mudança1− ξ = (1− x)u no valor principal emI, obtemos

I ∼∫ R

0

hξ + Ap(1− ξ)p−1

ξ − xdξ − Ap(1− x)p−1

[∫ ∞

0

− up−1

1− udu−

∫ ∞

11−x

up−1

1− udu

].

Agora usando o resultado∫ ∞

0

− up−1

1− udu = π cot(pπ) (0 < p < 1)

e, contanto quehξ seja suave numa vizinhança dex = 1 concluímos que

I ∼ −Apπ cot(pπ)(1− x)p−1 (x ∼ 1).

Esse resultado juntamente com a equação (5.5.18) fornecep = 35, próximo ao ponto de saída

x = 1. Portanto,

h ∼ A(1− x)35 (x ∼ 1) (5.5.19)

onde

A =

(−125 tan(3π/5)η

4θ

) 15

∼ 2.49( ηθ

) 15

é o valor constante determinada pela aproximação.

Baseados na análise acima, o problema pode então ser regularizado. Ou seja, colocamos

h(x) = H(y), onde y53 = 1− x. (5.5.20)


Substituindo na equação (5.5.17) e efetuando as simplificações obtemos

H(y) = − 5

3π

∫ 1

0

ξ23 F (ξ, H(ξ))

ln

∣∣∣∣∣∣ξ53 + y

53 − 2ξ

53 y

53 + 2

√(1− ξ

53 )ξ

53

√(1− y

53 )y

53

ξ53 − y

53

∣∣∣∣∣∣ dξ+

10

3π

∫ 1

0

ξ23 F (ξ, H(ξ))

√ξ

53 (1− ξ

53 )

(1− ξ53 )

dξ

√y

53 (1− y

53 ) +

2

π

√y

53 (1− y

53 )− 1

πarcsin(1− 2y

53 ) +

1

2(5.5.21)

sendo

F (y, H(y)) =5τ

2θ

∫ 1

y

ξ2/3

H(ξ)dξ − 25η

3θ

∫ 1

y

ξ2/3

H3(ξ)

∫ ξ

0

s2/3

H(s)ds dξ.


A equação (5.5.21), nos dá um fórmula explícita para o cálculo deH, a partir de uma aproxi-

mação inicial.

Iniciamos dividindo o intervalo[0, 1] em n subintervalos igualmente espaçados da forma

[yi, yi+1], para1 ≤ i ≤ n e y1 = 0, yn+1 = 1. Os pontosyi são denominados pontos de co-

locação.

Escrevendo a equação (5.5.21) nos pontos de colocação, obtemos

H(yi) = − 5

3π

n∑j=1

∫ yj+1

yj

ξ2/3F (ξ, H(ξ))

ln

∣∣∣∣∣∣∣ξ5/3 + y

5/3i − 2ξ5/3y

5/3i + 2

√(1− ξ

53 )ξ

53

√(1− y

53i )y

53i

ξ5/3 − y5/3i

∣∣∣∣∣∣∣ dξ+

10

3π

n∑j=1

∫ yj+1

yj

ξ2/3F (ξ, H(ξ))

√ξ

53 (1− ξ

53 )

(1− ξ5/3)dξ

√yi

53 (1− yi

53 ) +

2

π

√yi

53 (1− yi

53 )− 1

πarcsin(1− 2yi) +

1

2. (5.6.1)


Para a discretização da funçãoF , omitiremos as barras para simplificar a notação. Sendo

F (ξ,H(ξ)) =5τ

2θ

∫ 1

ξ

s2/3

H(s)ds+

25η

3θ

∫ 1

ξ

s2/3

H3(s)

(∫ s

0

t2/3

H(t)dt

)ds

=Cτ

∫ 1

ξ

s2/3

H(s)ds+ Cη

∫ 1

ξ

s2/3

H3(s)

(∫ s

0

t2/3

H(t)dt

)ds (5.6.2)

ondeCτ = 5τ2θ

eCη = 25η3θ

.

Tomando uma aproximação linear por partes deH da formaH(ξ) ' aiξ + bi, ondeai =Hi+1−Hi

dξ, bi = Hi − xiai eHi ' H(xi), ξ ∈ [xi, xi+1].

Denotamos a primeira integral em (5.6.2) por M(ξ) e a segunda porN(ξ). Supondo que

ξ ∈ [xi, xi+1],M é aproximada por

M(ξ) '∫ xj+1

ξ

s2/3

ajs+ bjds+

n∑k=j+1

∫ xk+1

xk

s2/3

aks+ bkds

= [Ψ(xj+1, aj, bj)−Ψ(ξ, aj, bj)] +∑n

k=j+1(Ψ(xk+1, ak, bk)−Ψ(xk, ak, bk)),

onde as funçõesΨ eΦ são definidas por:

Ψ(x, a, b) =

∫x2/3

ax+ bdx Φ(x, a, b) =

∫x2/3

(ax+ b)3dx.

Estas integrais podem ser calculadas analiticamente.

Da mesma forma a funçãoN é aproximada por

N(ξ) '∫ xj+1

ξ

s2/3

(ajs+ bj)3

(∫ s

0

t2/3

h(t)dt

)ds+

n∑k=j+1

∫ xk+1

xk

s2/3

(aks+ bk)3

(∫ s

0

t2/3

h(t)dt

)

=

∫ xj+1

ξ

s2/3

(ajs+ bj)3

[j−1∑k=1

∫ xk+1

xk

t2/3

akt+ bkdt+

∫ s

xj

t2/3

ajt+ bjdt

]ds+

n∑k=j+1

∫ xk+1

xk

s2/3

(aks+ bk)3

[k−1∑l=1

∫ xl+1

xl

t2/3

alt+ bldt+

∫ s

xk

t2/3

akt+ bkdt

]ds

=

∫ xj+1

ξ

s2/3

(ajs+ bj)3

[j−1∑k=1

(Ψ(xk+1, ak, bk)−Ψ(xk, ak, bk)) + Ψ(s, aj, bj)−Ψ(xj, aj, bj)

]ds+

n∑k=j+1

∫ xk+1

xk

s2/3

(aks+ bk)3

[k−1∑l=1

(Ψ(xl+1, al, bl)−Ψ(xl, al, bl)) + Ψ(s, ak, bk)−Ψ(xk, ak, bk)

]ds

92 5.7. RESULTADOS NUMÉRICOS

=

(j−1∑k=1

Ψ(xk+1, ak, bk)−Ψ(xk, ak, bk)

)(Φ(xj+1, aj, bj)− Φ(ξ, aj, bj)) +∫ xj+1

ξ

s2/3

(ajs+ bj)3(Ψ(s, aj, bj)−Ψ(xj, aj, bj)) ds+

n∑k=j+1

(k−1∑l=1

Ψ(xl+1, al, bl)−Ψ(xl, al, bl)

)(Φ(xk+1, ak, bk)− Φ(xk, ak, bk)) +

n∑k=j+1

∫ xk+1

xk

s2/3

(aks+ bk)3(Ψ(s, ak, bk)−Ψ(xk, ak, bk))ds.

A partir daí, para a obtenção da solução numérica as funções acima foram implementadas

no programa Matlab, para a aproximação das integrais envolvidas foram utilizadas as respectivas

rotinas inerentes ao programa. Para o valor inicial dos pontosHi consideramos uma aproximação

dada porH = y(2 − y). Essa aproximação é baseada na solução do problema modelo discutido

na Seção5.5.

5.7 Resultados Numéricos

A equação (5.6.1) é um problema de ponto fixo para a soluçãoH(y). Com isso, a partir de uma

aproximação linear por partes deH, pelo processo iterativo de Picard geramos uma sequência de

pontos que pode ser convergente para solução exata. Não foi provado que isso ocorre, no entanto,

verifica-se numericamente que o processo de Picard é convergente, no sentido de que a norma da

diferença entre uma iteração e outra tende a zero a medida quen → ∞. Devido à natureza não

linear do problema, não se conhece até o momento resultados que garantam a convergência.

No entanto, as propriedades físicas do problema nos permitem inferir sobre o comportamento

da solução de um modo geral. Isso possibilita a verificação dos resultados numéricos obtidos.

De acordo com a equação (5.6.2), a solução numérica depende dos parâmetrosCτ eCη. Deve-

se observar (ver Tabela5.2) que nem sempre é possível obter uma solução numérica com signifi-

cado físico para todos os valores dos parâmetros.

A figura abaixo mostra como varia a solução numérica com a respectiva variação nos parâme-

trosCτ eCη.

Os gráficos da Figura5.3 utilizam o parâmetroCη = 0.5 (apenas para efeito de compara-

ção). Como podemos observar, um acréscimo (decréscimo) emCτ resulta em uma diminuição

(aumento) na espessura da camada líquida. Lembrando queCτ = 5τ2θ

, então mantendo o parâmetro

θ constante, podemos observar que um acréscimo (decréscimo) emCτ resulta de um acréscimo


Figura 5.3: Gráfico da solução numérica variando o parâmetroCτ .

(decréscimo) emτ . Lembrando queτ denota a pressão que o gás exerce sobre a camada líquida

h(x), a variação na espessura deh demonstrada na Figura5.3condiz com o que se espera na teoria.

Figura 5.4: Gráfico da solução numérica variando o parâmetroCη.

Os gráficos apresentados na Figura5.4utilizam o parâmetroCτ = 0.5. Como se pode observar,

um acréscimo (decréscimo) emCη, resulta em um aumento (diminuição) na espessura da camada

líquida. Esse comportamento também está de acordo com o que se espera teoricamente. De


fato, sendoCη = 25η3θ

, mantendoθ constante, observa-se que um acréscimo (decréscimo) emCη

provém de um acréscimo (decréscimo) emη e, fisicamente,η representa a transferência de massa

na mudança do estado líquido para o gasoso.

A partir da análise feita acima, podemos concluir que a espessura da camada líquida ou o

comportamento da solução numéricah depende fortemente dos parâmetrosτ e η. Esta mesma

dependência, como se espera, também deve ocorrer na determinação deL.

5.7.1 Determinação do Comprimento L

Neste parágrafo discutiremos como obter numericamente a determinação do comprimentoL

que é o maior objetivo do problema apresentado neste capítulo. Além disso, também será mostrada

a dependência deL em relação aos parâmetrosCτ eCη.

Para a determinação deL usaremos o mesmo procedimento apresentado em5.5. Estaremos

assumindo, da mesma forma, que a pressão, denotada porpg0, é conhecida no início da região

anularx = 0. Assim, emx = 0, temos

pg0 = p∞ +ερ∞U

2∞

π

∫ 1

0

− hξ(ξ)

ξdξ. (5.7.1)

Comoε = h0

L, obtemosL

L = − h0ρ∞U2∞

(p∞ − pg0)π

∫ 1

0

− hξ(ξ)

ξdξ. (5.7.2)

Na equação (5.7.2) estamos supondox = 0, h0 = h(0) e que os outros parâmetros são co-

nhecidos. Portanto, a determinação deL fica condicionada à determinação da integral em (5.7.2).

Para isso, usamos a equação (5.5.10). Nessa equação, considerandox = 0, obtemos

1

π

∫ 1

0

− hξ(ξ)

ξdξ = C2 (5.7.3)

poisF anula-se emx = 0. Portanto,

L = − h0ρ∞U2∞

(p∞ − pg0)× C2. (5.7.4)


Agora, pelos procedimentos apresentados nas páginas87-88, efetuamos o cálculo deC2, de

onde obtemos

L =− h0ρ∞U2∞

(p∞ − pg0)

(− 2

π

(1 +

∫ 1

0

−√ξ(1− ξ)F (ξ, h(ξ))

ξdξ

))

=h0ρ∞U

2∞

(p∞ − pg0)

(2

π+

2

π

∫ 1

0

−√ξ(1− ξ)F (ξ, h(ξ))

ξdξ

). (5.7.5)

Após as mudanças de variáveis apresentadas em (5.5.20), a equação (5.7.5) se torna

L =H1ρ∞U

2∞

(p∞ − pg0)

(2

π+

10

3π

∫ 1

0

− ξ2/3√ξ5/3(1− ξ5/3)F (ξ, H(ξ))

ξdξ

)(5.7.6)

ondeH1 = H(1).

A equação (5.7.6) pode ser introduzida no procedimento numérico para o cálculo deH e,

com isso, o cálculo deL é feito simultaneamente com o cálculo deH. Deve-se salientar que a

dependência deL em relação aos parâmetrosCτ eCη está implícita na definição da funçãoF .

Apresentaremos a seguir os resultados numéricos para a determinação deL. DeterminamosL

usando os valores descritos no ApêndiceA.2 para as constantes envolvidas, isto é

ρ∞ =171

U∞ =12

H1 =1

p∞ =200× 105

pg0 =199.9× 105.

(5.7.7)

Como já comentado, estamos supondo que a pressãopg0 é conhecida no início do regime anular

x = 0, e seu valor foi definido de forma que a magnitude do valor deL seja de ordem 1.

A Tabela5.1 mostra a relação existente entre o comprimentoL e o parâmetroCτ , fixado o

parâmetroCη.

Tabela 5.1: Variação deCτ

Cτ Cη L

0.0001 1 1.24221725319810

0.0005 1 1.24238899463271

0.001 1 1.24280740950595

0.005 1 1.24380434304390


0.01 1 1.24542381003607

0.1 1 1.27457702465748

1 1 1.56543389341665

2 1 1.88364015115792

4 1 2.49291635143018

10 1 4.06864164961089

20 1 6.04004605968313

30 1 7.67132900248398

Como vimos na Figura5.3 um acréscimo emCτ resulta em uma diminuição na espessura da

camada líquida. Como consequência, espera-se que um acréscimo no parâmetroτ tende lenta-

mente, mas de forma gradual, a estirar a camada líquida e, portanto, a posição do ponto de saída.

Essa tendência é confirmada na Tabela5.1.

A Tabela5.2 mostra a relação entre o comprimentoL e o parâmetroCη no caso em queCτ é

mantido fixo.

Tabela 5.2: Variação deCη

Cτ Cη L

1 0.0001 2.00458670785789

1 0.0005 2.00425238238868

1 0.001 2.00383535288377

1 0.005 2.00053322293736

1 0.01 1.99648635391642

1 0.1 1.93383862577603

1 1 1.56483863377969

1 2 1.29297752094541

1 4 0.88245959003051

1 10 0.02512145936117

1 20 -1.02655620024510

1 30 -1.76301377258652

Pelo que mostra a Tabela5.2, como era de se esperar, paraCη << 1 a transferência de massa

η é pequena e com isso o ponto de saída se distancia. Por outro lado, paraCη >> 1 a transferência

de massa é tão grande que a camada líquida pode não ser formada e com isso o ponto de saída

ocorre imediatamente. Esta é a interpretação para os valores negativos deL.

CAPÍTULO

6Considerações Finais

Nos Capítulos2 e 3 foram apresentados alguns aspectos da já difundida teoria de equações

integrais singulares bem como um método numérico para a resolução de tais equações incluindo,

nesse caso, toda a teoria para a prova da convergência.

No Capítulo4, propomos a utilização dos conceitos apresentados anteriormente na resolução

numérica de equações integro-diferenciais lineares. A abordagem nesse caso consiste na trans-

formação da equação integro-diferencial em uma equação integral singular que deve ser resolvida

juntamente com uma condição adicional. Uma vez obtida a equação integral utiliza-se parte da

teoria desenvolvida anteriormente para propor um método numérico, a saber o Método de Colo-

cação Polinomial, e obtenção dos resultados de convergência. No entanto, esse procedimento está

longe de ser uma mera adaptação da teoria anterior, haja visto que a equação integral proveniente

da equação integro-diferencial possui algumas características que necessitam de uma abordagem

especial, abordagem esta não contemplada nos Capítulos2 e3.

Essa técnica de redução da equação integro-diferencial a uma equação integral não é algo

inédito na literatura. No entanto, da forma como foi apresentada no Capítulo4, com resultados

de convergência diretamente na norma uniforme e com a generalidade apresentada constitui-se em

uma contribuição original. Um outro aspecto a ser considerado, nesse sentido, que também é uma

contribuição original é o fato de o método numérico poder ser utilizado em situações ligeiramente

distintas da apresentada, como é o caso da equação da vela.

97

98

Os exemplos numéricos apresentados no Capítulo4 têm como objetivo mostrar que os resul-

tados teóricos sobre a convergência do método se confirmam na prática e reciprocamente. Além

disso, a comparação com os outros métodos da literatura tem como propósito a verificação de que

o método de Colocação de fato por ser usado na resolução dos problemas propostos, ou seja, na

verdade tem-se uma garantia da veracidade dos resultados obtidos.

No Capítulo5 apresentamos o estudo de uma equação integro-diferencial não linear prove-

niente da modelagem do comportamento de um fluido (água/vapor) em tubulações de um reator

nuclear do tipo “LMFBR”. Embora o método numérico para a resolução de tal equação seja di-

ferente do apresentado nos capítulos anteriores a abordagem se baseia em aspectos da teoria de

equações integrais devido a presença da parte singular, ou seja, o núcleo de Cauchy. O principal

objetivo, a determinação do comprimentoL, pôde ser atingindo através de um processo de regu-

larização e análise assintótica do comportamento da solução e, consequentemente, pela aplicação

do método numérico na equação integro-diferencial não linear.

Equações integro-diferenciais tais como (5.4.1) ainda se constituem em um grande desafio,

haja visto que devido ao seu caráter não-linear ainda não se tem uma teoria completa tratando do

assunto, além disso, do ponto de vista numérico ainda são poucos os trabalhos nesse sentido. Os

resultados obtidos no Capítulo5 indicam um caminho, no que tange ao aspecto numérico, a ser

seguido para a abordagem de problemas desse tipo, onde destacamos como fundamental a análise

assintótica do comportamento da solução (pag.88) e o processo de regularização (pgs.85-88).

Do ponto de vista prático, é claro que o modelo apresentado possui algumas simplificações,

de modo que fica aberta a possibilidade de um estudo mais detalhado do modelo. No entanto,

os estudos realizados fornecem informações esclarecedoras sobre como as diversas fases sofri-

das pelo fluido no interior da tubulação influenciam na determinação do comprimento deste. O

mesmo ocorre no estudo da variação dos parâmetros físicos do problema, onde se verificou serem

determinantes no comportamento do fluido.

Uma análise dos resultados numéricos obtidos sugerem que os resultados acerca do compri-

mentoL são fisicamente coerentes. Um dos aspectos que chamam a atenção é a semelhança entre

o comportamento da solução da equação (5.4.1) com o comportamento da solução dada no pro-

blema modelo (5.5.1) que é muito mais simples de ser resolvido (possui solução analítica) mais

fisicamente incoerente.

APÊNDICE

AAnexos

A.1 Análise da derivada

Consideremos a funçãof(x) dada por> f:=x->2/Pi*(1+x^2/sqrt(1-x^2)*ln(abs((sqrt(1-x^2)-x+1)/

(sqrt(1-x^2)+x-1))));

f := x → 2π

1 +

x2 ln(

∣∣∣∣∣√

1− x2 − x + 1√1− x2 + x− 1

∣∣∣∣∣)√

1− x2

Primeiramente calculamos a derivada primeira def(x).

> f_linha:=unapply(diff(f(x),x),x);

99

f _linha :=2π

2 x ln(

∣∣∣∣%2%1

∣∣∣∣)√

1− x2+

x3 ln(∣∣∣∣%2%1

∣∣∣∣)(1− x2)(3/2)

+

x2 abs(1,%2%1

)

−x√

1− x2− 1

%1−

%2 (− x√1− x2

+ 1)

%12

√

1− x2

∣∣∣∣%2%1

∣∣∣∣

%1 :=

√1− x2 + x− 1

%2 :=√

1− x2 − x + 1

Graficamente, vejamos como se comporta a derivada def no intervalo[−1, 1]

> plot(f_linha,x=-1..1,thickness=3,color=blue);

Verificaremos agora quef ′ ∈ Hσ[−1, 1], onde0 < σ ≈ 1. De acordo com o gráfico def ′ podemos

perceber que a análise para a verificação da condição de Hölder deve ser feita em uma vizinhança da

origem. Nos demais pontos a condição é satisfeita. Então vamos considerara = 0 e definir a seguinte

função:

> H:=x->abs(f_linha(x)-(f_linha(a)))/abs(x-x1)^sigma

H := x 7→ |f _linha (x)− f _linha (a)|(|x− a|)σ

Calculamos agora o limite deH quandox tende a zero para valores de sigma próximos de 1.

> sigma:=0.9;

> Limit(’H(x)’,x=0)=limit(H(x),x=0.);

σ := 0.9

limx→0 H (x) = 0.0

> sigma:=0.99;


σ := 0.99

limx→0 H (x) = 0.0

Mas paraσ = 1

> sigma:=1;


σ := 1

limx→0 H (x) = Float(∞)

Os cálculos acima indicam quef ′ é Hölder com índiceσ ≈ 1.

Vejamos o que ocorre nos extremos do intervalo

> Limit(f_linha,x=1,left)=limit(f_linha,x=1,left);

limx→1−

2π

2 x ln(

∣∣∣∣%2%1

∣∣∣∣)√

1− x2+

x3 ln(∣∣∣∣%2%1

∣∣∣∣)(1− x2)(3/2)

+

x2 abs(1,%2%1

)

−x√

1− x2− 1

%1−

%2 (− x√1− x2

+ 1)

%12

√

1− x2

∣∣∣∣%2%1

∣∣∣∣

=

83 π

%1 :=√

1− x2 + x− 1%2 :=

√1− x2 − x + 1

> Limit(f_linha,x=-1,right)=limit(f_linha,x=-1,right);

limx→(−1)+

2π

2 x ln(

∣∣∣∣%2%1

∣∣∣∣)√

1− x2+

x3 ln(∣∣∣∣%2%1

∣∣∣∣)(1− x2)(3/2)

+

x2 abs(1,%2%1

)

−x√

1− x2− 1

%1−

%2 (− x√1− x2

+ 1)

%12

√

1− x2

∣∣∣∣%2%1

∣∣∣∣

= − 8

3 π

%1 :=√

1− x2 + x− 1%2 :=

√1− x2 − x + 1

A.2 Nomenclatura e Valores Típicos

Os valores abaixo referem-se às condições usuais de operação em um LMFBR e foram obtidos em

Mphaka (2000)-“Mp", Irvine e Hartnett (1976)-“IH"e Schmidt (1969)-“Sc".

a Raio da tubulação (∼ 7 mm)(Mp)

h0 Espessura da camada líquida na parede (∼ 0.1− 1 mm)(Mp)

L Distância até o ponto de saída (∼5 m)(Mp)

Lt Comprimento da parte aquecida da tubulação (∼ 6.1 m)(Mp)

g Aceleração da gravidade (∼ 9.8 m/s2)

ε Parâmetroh0/L(∼ 10−4)

cp Calor específico do líquido (∼ 15.646 kJ/Kg/K a 180 bar, 633 K)(Sc)

k Condutividade térmica do líquido (∼ 0.412 W/m/K a 200 bar, 633 K)(Sc)

λ Calor latente de vaporização da água (∼607 kJ/Kg a 198 bar, 638 K)(IH)

q Fluxo de calor proveniente do metal líquido (∼595 W/m2)(Mp)

µ Viscosidade dinâmica do líquido (∼ 6.68× 10−5N sec/m2 a 200 bar, 633 K)(Sc)

µg Viscosidade dinâmica do vapor (∼ 2.96× 10−5N sec/m2 a 200 bar, 633 K)(Sc)

ρ Densidade da água (∼498 Kg/m3 a 198 bar, 638 K)(IH)

ρ∞ Densidade do fluxo de vapor em direção ao ponto de saída (∼171 Kg/m3 a 200 bar)(Sc)

σ Tensão de superfície (∼0.002 N/m a 633 K)(Sc)

M Fluxo de massa dimensional do líquido para o gasoso (Kg/s/m2)

m Fluxo de massa não-dimensional do líquido para o gasoso

p∞ Pressão no fluxo de vapor após o ponto de saída (∼ 200 bar)(Mp)

U∞ Velocidade do fluxo de vapor (∼ 12 m/s)(Mp)

U Velocidade do fluxo líquido (∼ 0.01 m/s)(Mp)

Ts Temperatura de saturação (∼638.86 K a 200 bar)(IH)

Tw Temperatura na parede da tubulação (∼ 640 K)(Mp)

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