Solução de Modelos Descritos por

Equações Diferenciais

José Paulo Mota

Requimte/CQFB, Departamento de Química, Faculdade de Ciências e

Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa, 2829-516 Caparica, Portugal

e-mail: pmota@dq.fct.unl.pt

Conteúdo

1 Classi�cação dos modelos processuais em Engenharia Química 2

1.1 Relativamente à dependência temporal das variáveis: . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Relativamente ao número de variáveis independentes ou coordenadas: . . . 2

1.2.1 Classi�cação e caracterização das PDE's . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Métodos numéricos para resolução de PDE's 3

2.1 Método das diferenças �nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Método dos volumes �nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Método dos resíduos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1 Método de colocação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2 Método de sub-domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.3 Método de mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.4 Método dos momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.5 Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.6 Método de colocação ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Solução de sistemas mistos de equações diferenciais ordinárias e algé-

bricas 26

1

1 Classi�cação dos modelos processuais em Engenharia

Química

1.1 Relativamente à dependência temporal das variáveis:

• Modelos estacionários ; se nenhuma das variáveis dependentes do modelo varia

com o tempo. Neste caso, modelo é composto por um sistema de equações algébricas,

que podem ser lineares, não lineares, ou mistas.

• Modelos instacionários (ou de estado transiente); se uma ou mais variáveis

dependentes do modelo variam com o tempo. Este tipo de modelo é constituído por

um sistema de equações diferenciais ordinárias (ODE's)�lineares, não lineares, ou

mistas�que pode ser complementado por um conjunto de equações algébricas.

1.2 Relativamente ao número de variáveis independentes ou co-

ordenadas:

• Modelos de parâmetros agregados; se as variáveis do modelo são constantes ou

se só dependem da coordenada temporal. Neste caso, o modelo é descrito por um

sistema de equações algébricas, por um sistema de equações diferenciais ordinárias

(ODE's), ou por um sistema misto.

• Modelos com parâmetros distribuídos; se as equações envolvem uma ou mais

variáveis independentes ou coordenadas (normalmente espaciais) para além da co-

ordenada temporal. Um modelo deste tipo é regido por um sistema de equações

diferenciais às derivadas parciais (PDE's).

1.2.1 Classi�cação e caracterização das PDE's

A forma genérica de uma PDE linear de segunda ordem pode ser escrita da seguinte

forma:

P∂2z

∂x2+Q

∂2z

∂x∂y+R

∂2z

∂y2= S. (1)

Na eq. (1), a variável dependente é z = z(x, y); as variáveis independentes (ou

coordenadas) são x e y; os coe�cientes P , Q e R só podem depender de x e y,

2

enquanto que S pode depender de x, y, z, ∂z/∂x e ∂z/∂y.

A PDE pode ser classi�cada de acordo com o sinal do seu determinante,

∆ = Q2 − 4PR. (2)

A PDE é elíptica se ∆ < 0; parabólica se ∆ = 0; e hiperbólica se ∆ > 0.

Seguem-se alguns exemplos típicos de diferentes tipos de PDE's que podem ocorrer

em problemas de Engenharia Química.

Segunda lei de Fick:∂C

∂t= D

∂2C

∂x2, (3)

em que C(t, x) é a concentração de um soluto (no instante t e posição x) e D é a

sua difusividade molecular; esta PDE é parabólica porque P = D, Q = 0 e R = 0.

Lei de Newton para movimento ondulatório:

∂2u

∂t2= ρ

∂2u

∂x2, (4)

em que u(t, x) é a velocidade do �uído (no instante t e posição x) e ρ é a sua

densidade; esta PDE é hiperbólica porque P = 1, Q = 0 e R = −ρ.

Equação de Laplace para condução de calor:

∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2= 0, (5)

em que T (x, y) é um campo bidimensional de temperatura (x e y são duas coorde-

nadas cartesianas); esta PDE é elíptica porque P = 1, Q = 0 e R = 1.

2 Métodos numéricos para resolução de PDE's

Os métodos apresentados em seguida serão ilustrados com a resolução numérica do pro-

blema estacionário de difusão e reacção química de primeira ordem numa partícula de

catalisador com forma de placa plana; a geometria do sistema está ilustrada na Fig. 1.

O balanço material diferencial ao reagente, em estado estacionário, origina

Ded2C

dr2− kC = 0, (6)

3

em que C(r) é a concentração do reagente ao longo da placa de catalisador, De a difusi-

vidade efectiva do reagente na partícula de catalisador, e k a constante cinética (kC é a

velocidade de reacção por unidade de volume do catalisador). O domínio do problema é

{r : 0 ≤ r ≤ R}; r = 0 corresponde ao centro da placa e r = R corresponde à superfície

externa da placa que está em contacto com o �uído externo; a concentração do reagente

no seio do �uído externo é C0.

A eq. (6) é uma PDE de segunda ordem, estando por isso sujeita a duas condições

fronteira, cada uma delas aplicável num dos extremo do domínio. As duas condições

fronteira são as seguintes:

dC

dr= 0 para r = 0; (7)

C = C0 para r = R. (8)

A primeira condição é uma condição de simetria, porque C(−r) = C(r), que impõe a

ausência de �uxo material no centro da placa de catalisador (como o reagente se desloca

por difusão, o seu �uxo é J = −D∂C/∂r); a segunda condição corresponde a uma situação

de �uxo convectivo elevado junto à superfície da partícula de catalisador, o que faz com

que a concentração do reagente nesse ponto seja sempre igual à concentração C0 no seio

do �uído em torno da partícula.

Por uma questão de conveniência, procede-se à adimensionalização da equação. Para

Figura 1: Difusão e reacção química numa placa plana de catalisador.

4

isso, introduz-se as seguintes variáveis adimensionais:

y = C/C0; x = r/R.

A variável y passa a ser a variável dependente adimensional e x passa a ser a variável

independente (ou coordenada) adimensional; o domínio do problema passa a ser {x : 0 ≤

x ≤ 1}.

Fazendo estas substituições no balanço diferencial e nas condições fronteira obtém-se

d2y

dx2− ϕ2y = 0, (9)

dy

dx= 0 para x = 0; (10)

y = 1 para x = 1. (11)

Na eq. (9), o parâmetro ϕ = (kR2/De)1/2 é denominado módulo de Thiele; este parâmetro

mede a razão entre a velocidade da reacção e o �uxo difusional. Quando ϕ é grande

(k ≫ De/R2), a conversão do reagente é controlada pelo �uxo difusional do reagente

junto à parede do catalisador; quando ϕ é pequeno (k ≪ De/R2), a conversão do reagente

é controlada pela cinética da reacção química.

A quantidade que nos interessa é a velocidade aparente, ou efectiva, da reacção:

(kC)eff =1

V

∫VkC dV =

k

R

∫ R

0C(r) dr = kC0

∫ 1

0y(x) dx, (12)

O integral adimensional,

η =∫ 1

0y(x) dx, (13)

é denominado factor de e�ciência; introduzindo este factor na expressão da velocidade

aparente da reacção obtém-se

(kC)eff = kC0 · η ou η =(kC)effkC0

. (14)

Convém lembrar que existe uma expressão alternativa para o cálculo de η; Da de�nição

deste parâmetro e da eq. (9) obtém-se

η =∫ 1

0y(x) dx =

1

ϕ2

∫ 1

0ϕ2y(x) dx =

1

ϕ2

∫ 1

0

d2y

dx2dx =

1

ϕ2

∫ x=1

x=0d

(dy

dx

)

=1

ϕ2

[dy

dx

]x=1

x=0

=1

ϕ2

(dy

dx

)x=1

. (15)

5

A solução analítica da eq. (9), sujeita às condições fronteira das eqs. (10) e (11), é

y(x) =cosh(ϕx)

cosh(ϕ), (16)

o que permite calcular o factor de e�ciência:

η =∫ 1

0y(x) dx =

1

ϕ2

(dy

dx

)x=1

=tanh(ϕ)

ϕ. (17)

2.1 Método das diferenças �nitas

Este método consiste na substituição das variáveis dependentes, que são contínuas, por

variáveis discretas; em vez de se determinar uma solução contínua em todo o domínio

do problema, determina-se uma solução discreta, que consiste nos valores das variáveis

dependentes em determinados pontos do domínio.

Considere-se a expansão em série de Taylor de uma função y(x + ∆x) em torno do

ponto x:

y(x+∆x) = y(x) +dy(x)

dx∆x+

1

2

d2y(x)

dx2(∆x)2 +O(∆x3). (18)

A notação O(∆x3) signi�ca que a série contínua inde�nidamente, mas que a soma dos

termos não explicitados é proporcionl a (∆x)3 [para ser mais preciso, e se se lembrarem

de AM I, o termo correcto é (1/6)(∆x)3(d3y/dx3)x=ξ; ξ é desconhecido, mas sabe-se que

ξ ∈ (x, x+∆x)].

Se os termos de ordem 2 e superior forem ignorados, obtém-se

dy(x)

dx=

y(x+∆x)− y(x)

∆x+O(∆x) ≈ y(x+∆x)− y(x)

∆x. (19)

De forma semelhante, a expansão da função y(x−∆x) em torno de x origina

y(x−∆x) = y(x)− dy(x)

dx∆x+

1

2

d2y(x)

dx2(∆x)2 +O(∆x3). (20)

Desta formula, obtém-se a seguinte aproximação:

dy(x)

dx=

y(x)− y(x−∆x)

∆x+O(∆x) ≈ y(x)− y(x−∆x)

∆x. (21)

Subtraindo as eqs. (18) e (20) obtém-se uma aproximação alternativa da primeira

derivada:

dy(x)

dx=

y(x+∆x)− y(x−∆x)

2∆x+O(∆x2) ≈ y(x+∆x)− y(x−∆x)

2∆x. (22)

6

Esta aproximação é mais precisa do que as aproximações expressas nas eqs. (19) e (21),

porque na eq. (22) o erro da aproximação é proporcional a (∆x)2 enquanto que nas

eqs. (19) e (21) ele é proporcional a ∆x.

Para obter uma aproximação da segunda derivada, adicionam-se as eqs. (19) e (21) e

desprezam-se os termos de ordem superior a 2. A expressão assim obtida é

d2y(x)

dx2=

y(x−∆x)− 2y(x) + y(x+∆x)

(∆x)2+O(∆x2). (23)

Na prática divide-se o domínio do problema, {x : xL ≤ x ≤ xU} , em N intervalos

uniformes, sendo o comprimento de cada um deles dado por

∆x =xU − xL

N. (24)

Indexam-se os pontos em função do valor da coordenada x; isto é, de�ne-se o ponto i

como sendo o ponto com coordenada xL + i(∆x) e chama-se a esse ponto xi; o conjunto

de pontos assim obtido é

xi = xL + i(∆x) para i = 0, 1, 2, . . . , N. (25)

Desta forma, x0 = xL, xN = xU, xi+1 = xL + (i+ 1)∆x, xi−1 = xL + (i− 1)∆x, etc.

A variável dependente y correspondente ao ponto xi denota-se yi, isto é, y(xi) = yi.

Recorrendo às formulas anteriores, pode substituir-se, em cada ponto xi, as derivadas de

primeira e segunda ordem pelas seguintes aproximações:(dy

dx

)i

≈ yi+1 − yi∆x

ou≈ yi − yi−1

∆x

ou≈ yi+1 − yi−1

2∆x; (26)

(d2y

dx2

)i

≈ yi−1 − 2yi + yi+1

(∆x)2. (27)

Com estas substituições, transforma-se a equação diferencial original num sistema de N

equações algébricas. Tem que se ter, no entanto, atenção com o tratamento das condições

fronteira.

Exempli�quemos o método com a sua aplicação à resolução numérica do problema de

difusão e reacção química na pellet de catalisador. O domínio do problema é {x : 0 ≤

x ≤ 1}; portanto xL = 0 e xU = 1. O conjunto de pontos de discretização é

xi = i(∆x) para i = 0, 1, 2, . . . , N ; ∆x = 1/N. (28)

7

−2(∆x)2

+ ϕ2 2(∆x)2

1(∆x)2

−2(∆x)2

+ ϕ2 1(∆x)2

1(∆x)2

−2(∆x)2

+ ϕ2 1(∆x)2

. . . . . . . . .1

(∆x)2−2

(∆x)2+ ϕ2 1

(∆x)2

1

y0y1y2...

yN−1

yN

=

000...01

Figura 2: Discretização do modelo de difusão e reacção química por diferenças �nitascentradas de 2a ordem.

Desta forma, x0 = 0, x1 = ∆x, x1 = 2∆x, . . . , xN = 1. A variável dependente y(x)

correspondente ao ponto xi é y(xi) = yi. A substituição da segunda derivada na eq. (9)

pela diferença �nita correspondente origina a seguinte equação algébrica linear:

yi−1 − 2yi + yi+1

(∆x)2− ϕ2yi = 0, i = 1, 2, . . . , N − 1. (29)

Esta equação não é válida para os pontos fronteira. Para o ponto xN = 1 a condição

fronteira é yN = 1. Por outro lado, aplicando a eq. (29) no ponto x0 obtém-se

y−1 − 2y0 + y1(∆x)2

− ϕ2y0 = 0. (30)

Esta expressão contém y−1 ≡ y(x−1) que não pertence ao domínio do problema. No

entanto, aproximando a condição fronteira no ponto x0 por uma diferença �nita de 2a

ordem (para ser consistente com a aproximação à 2a derivada usada na eq. (29)) obtém-se

y1 − y−1

2∆x= 0 → y−1 = y1, (31)

o que permite eliminar y−1 da eq. (30) obtendo-se

2(y1 − y0)

(∆x)2− ϕ2y0 = 0. (32)

Resumindo: aproximando as derivadas parciais por diferenças �nitas, a PDE e respec-

tivas condições fronteira são substituídas por um sistema de equações algébricas; no caso

presente as equações são lineares, mas nem sempre é o caso. O sistema de equações está

indicado na Fig. 2.

O factor de e�ciência pode ser calculado de duas formas. Suponha-se que se calcula

através do integral dado na eq. (13). Este integral tem que necessariamente ser aproximado

por uma fórmula de quadratura. Por exemplo, se se utilizar a regra dos trapézios obtém-se

η =(y02

+ y1 + . . .+ yN−1 +YN

2

)∆x+O(∆x2). (33)

8

Em alternativa pode discretizar-se a eq. (15) usando uma diferença �nita consistente a

solução numérica de 2a ordem:

η =1

ϕ2

yN+1 − yN−1

2∆x+ (∆x2). (34)

Mas esta expressão contém yN+1 que não pertence ao domínio do problema. No entanto,

aplicando a PDE no ponto xN obtém-se

yN−1 − 2yN + yN+1

(∆x)2− ϕ2yN = 0 → yN+1 = (∆x)2ϕ2yN + 2yN − yN−1. (35)

Finalmente,

η =1

ϕ2

yN − yN−1

∆x+

∆x

2yN . (36)

O modelo pode ser facilmente implementado em matlab, GAMS, ampl, ou até em Excel.

Eu pre�ro a linguagem de programação matemática ampl que é equivalente ao GAMS mas

que eu considero ser mais intuitiva. O modelo ampl está listado na Fig. 3.

Para correr o programa abre-se uma consola Windows executando sw.exe; este cria

uma consola com um prompt �sw:�; nesta consola arranqua-se o ampl escrevendo ampl; o

prompt anterior é substituído por �ampl:�. Agora inclui-se o modelo em ampl; para isso

escreve-se

include eta.ampl; [ENTER]

No modelo ainda não foram atribuídos valores aos parâmetros phi e N; suponha-se que

se pretende resolver o problema para ϕ = 10 com 10 pontos de discretização; para isso

escreve-se

let phi := 10.0; let N := 10; [ENTER]

Para resolver o problema, basta agora escrever

solve; [ENTER]

O ampl responde com a seguinte informação:

Presolve eliminates 1 constraint and 1 variable.

Substitution eliminates 2 variables.

Adjusted problem:

10 variables, all linear

10 constraints, all linear; 28 nonzeros

0 objectives.

9

option substout 1 ;

option show_stats 1 ;

option solver "lpsolve" ;

param N integer > 1 ;

param dx = 1/N ;

param phi >= 0 ;

set PTS = 0..N ordered ;

param x { i in PTS } = dx * i ;

param w { i in PTS } = cosh( phi * x[i] ) / cosh( phi ) ;

param eta = tanh( phi ) / phi ;

var y { PTS } ;

s.t. LinSys { i in PTS } :

( if i = 0 then

2*(y[1] - y[0])/dx^2 - phi^2 * y[0]

else if i < N then

(y[i-1] - 2*y[i] + y[i+1])/dx^2 - phi^2 * y[i]

else

y[N] - 1 ) = 0 ;

var eta1 = dx * ( sum { i in PTS } y[i] - (y[0] + y[N])/2 ) ;

var eta2 = (y[N] - y[N-1])/dx / phi^2 + dx * y[N] / 2 ;

Figura 3: modelo ampl para a resolução por diferenças �nitas do problema de difusãoe reacção química numa pellet de catalisador; supõe-se que o modelo �ca gravado num�cheiro chamado eta.ampl.

LP_SOLVE 4.0.1.0: optimal, objective 0

10 simplex iterations

Para comparar a solução numérica com a solução analítica pode escrever-se:

display x, w, y; [ENTER]

o que faz a listagem dos valores de xi, wi (solução analítica) e yi. Para comparar os valor

analítico de η com a solução numérica, escreve-se

display eta, eta1, eta2; [ENTER]

obtendo-se

eta = 0.1

eta1 = 0.111803

10

eta2 = 0.111803

Para calcular η para ϕ = 100 com N = 10, pode escrever-se o seguinte:

let phi := 100.0; solve; display eta, eta1, eta2; [ENTER]

(Nota: N já era igual a 10 da simulação anterior.) A nova solução seria: eta = 0.01, eta1

= eta2 = 0.0509902. Neste caso o erro é apreciável. Para melhorar a solução é necessário

aumentar o número de pontos de discretização, e.g.,

let N := 50; solve; display eta, eta1, eta2; [ENTER]

o que origina: eta = 0.01, eta1 = eta2 = 0.0141421; melhorou bastante. Para N = 200:

let N := 200; solve; display eta, eta1, eta2; [ENTER]

obtém-se eta = 0.01, eta1 = eta2 = 0.0103078.

2.2 Método dos volumes �nitos

Este método á parecido com o método das diferenças �nitas, mas é particularmente apli-

cável às equações gerais de conservação (matéria, energia, ou quantidade de movimento),

que podem ser escritas na seguinte forma genérica:

∂

∂t(ρϕ) +∇ · (ρuϕ) = ∇ · (Γ∇ϕ) + S, (37)

em que ρ é a densidade do �uido, ϕ é a variável dependente a ser conservada (massa

total, quantidade de um componente, energia total, quantidade de movimento), Γ é um

coe�ciente de difusão, u = (u, v, w) é o vector velocidade, e S é um termo fonte; S é

positivo se gerar ϕ e negativo se consumir ϕ.

Por exemplo, a equação de conservação aplicada a um reagente A sujeito a uma reacção

de primeira ordem para escoamento unidimensional num tubo é

∂

∂t(ρwA) +

∂

∂x(ρuwA) =

∂

∂x

(ρDA

∂wA

∂x

)− kρwA, (38)

em que wA é a fracção mássica de A, u á a velocidade do �uido ao longo do tubo, DA

é a difusividade molecular, e k é a constante cinética da reacção. Em alternativa pode

substituir-se ρwA pela concentração mássica (ou molar), CA.

O método dos volumes �nitos consiste em dividir o domínio em N volumes de controlo,

i = 1, 2, . . . , N (que podem ser todos iguais ou não):

11

e integrar a equação de conservação ao longo de cada volume de controlo. Por exemplo,

a integração de∂ϕ

∂t+

∂

∂x(uϕ) =

∂

∂x

(Γ∂ϕ

∂x

)+ S(x, ϕ), (39)

origina ∫ xi+1/2

xi−1/2

∂ϕ

∂tdx+ Ji+1/2 − Ji−1/2 =

∫ xi+1/2

xi−1/2

S(x, ϕ) dx, (40)

em que J = uϕ−Γ(∂ϕ/∂x) é o �uxo de transporte de ϕ. Supondo que ϕ(x) ≈ ϕi em todo

o volume de controlo, a equação anterior pode ser simpli�cada originando

dϕi

dt+

Ji+1/2 − Ji−1/2

∆xi

= S(xi, ϕi). (41)

Os �uxos de transporte de ϕ nas fronteiras do volume de controlo podem ser discretizados

através de diferenças �nitas:

Ji−1/2 =

(uϕ− Γ

∂ϕ

∂x

)i−1/2

≈ ui−1/2ϕi−1 + ϕi

2− Γ

ϕi − ϕi−1

xi − xi−1

, (42)

Ji+1/2 =

(uϕ− Γ

∂ϕ

∂x

)i+1/2

≈ ui+1/2ϕi + ϕi+1

2− Γ

ϕi+1 − ϕi

xi+1 − xi

. (43)

(44)

Introduzindo estas expressões na eq. (41) origina uma equação diferencial ordinária para

cada volume de controlo. Aparentemente, o método dos volumes �nitos é muito parecido

com o método das diferenças �nitas.

O método dos volumes de �nitos tem a vantagem de conservar globalmente a quanti-

dade ϕ. Somando as equações para todos os volumes de controlo, obtém-se:N∑i=1

∆xidϕi

dt+ (JN+1/2 − J1/2) =

N∑i=1

∆xiS(xi, ϕi), (45)

em que J1/2 = JxLé o �uxo na fronteira inferior do domínio e JN+1/2 = JxU

é o �uxo na

fronteira superior do domínio. Esta equação é equivalente à discretização da equação de

conservação global:

d

dt

∫ xU

xL

ϕ dx+

(uϕ− Γ

∂ϕ

∂x

)xU

−(uϕ− Γ

∂ϕ

∂x

)xL

=∫ xU

xL

S(x, ϕ) dx. (46)

12

Uma outra vantagem do método é a facilidade com que se aplicam métodos especí�cos

de discretização dos termos convectivos, (uϕ)i−1/2 e (uϕ)i+1/2, nas faces dos volumes de

controlo.

Para dar um pequeno exemplo das potencialidades do método, considere-se a resolução

numérica da equação estacionária de convecção-difusão da concentração de um soluto:

vdc

dz−D

d2c

dz2= 0, c|z=0 = C0, c|z=L = C1, (47)

em que c(z) é o per�l de concentração ao longo de uma coordenada espacial z, v é a

velocidade do �uído e D é o coe�ciente de difusão. Convém adimensionalizar a equação;

para isso introduz-se as seguintes adimensionalizações:

x = z/L, y = (c− C1)/(C0 − C1). (48)

A modelo adimensional é

dy

dx− 1

Pe

d2y

dx2= 0, y|x=0 = 1, y|x=1 = 0, (49)

em que Pe = vL/D é o número de Péclet: quando Pe é grande, o transporte do soluto

é essencialmente convectivo, podendo-se desprezar o efeito de dispersão devido à difusão

do soluto; quando Pe é pequeno o transporte do soluto é tem uma componente difusiva

não negligenciável.

A eq. (49) tem uma solução analítica simples:

y(x) =exp(Pe)− exp(Pe · x)

exp(Pe)− 1. (50)

A resolução da eq. (49) por diferenças �nitas centradas(dy

dx

)xi

=yi+1 − yi−1

2∆x,

(d2y

dx2

)xi

=yi−1 − 2yi + yi+1

(∆x)2,

origina o seguinte sistema de equações lineares:

y0 = 1,yi+1 − yi−1

2∆x− yi−1 − 2yi + yi+1

(∆x)2Pe= 0 (i = 1, . . . , N − 1), yN = 1. (51)

A Fig. 4 lista o programa ampl para resolver este sistema de equações. Se o problema

para Pe = 100 for resolvido com N = 20 obtêm-se os resultados reproduzidos na Fig. 5.

Como se pode observar, a solução numérica é oscilante na frente de concentração.

13

option substout 1 ;

option show_stats 1 ;

option solver "/amplcml/lpsolve" ;

param N integer > 0 ;

param dx = 1/N ;

param Pe >= 0 ;

set PTS = 0..N ordered ;

param x { i in PTS } = dx * i ;

param ya { i in PTS } = ( exp(Pe) - exp(Pe*x[i]) ) / ( exp(Pe) - 1 ) ;

var y { PTS } ;

s.t. LinSys { i in PTS } :

( if i = 0 then

y[0] - 1

else if i < N then

(y[i+1] - y[i-1])/(2*dx) - (y[i-1] - 2*y[i] + y[i+1])/(Pe*dx^2)

else

y[N] ) = 0 ;

Figura 4: modelo ampl para a resolução do problema de convecção-difusão por diferenças�nitas centradas de 2a ordem.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

Figura 5: linha = Eq. (50), simbolos a cheio = solução da Eq. (51) para N = 20; simbolosocos = solução com diferença �nita de 1a ordem e N = 20.

14

O problema reside na discretização do termo convectivo, dy/dx. Uma forma de elimi-

nar a oscilação na solução numérica é substituir a diferença �nita centrada de 2a ordem

pela diferença �nita de primeira ordem desviada à esquerda:(dy

dx

)xi

=yi − yi−1

∆x. (52)

Resolvendo o problema com esta diferença �nita de 1a ordem obtém-se a solução represen-

tada pelos circulos ocos; a solução numérica deixou de ser oscilatória mas é mais dispersiva

do que a solução analítica. Vejamos porquê:(dy

dx

)i

=yi − yi−1

∆x+O(∆x) =

yi+1 − yi−1

2∆x− ∆x

2

yi−1 − 2yi + yi+1

(∆x)2. (53)

O primeiro termo na segunda igualdade é discretização de dy/dx com uma diferença �nita

centrada de 2a ordem e o segundo termo é a discretização de d2y/dx2 com uma diferença

�nita centrada de 2a ordem. Consequentemente, discretizar dy/dx com a diferença �nita

da Eq. (53) é equivalente a resolver a PDE

dy

dx−(∆x

2+

1

Pe

)d2y

dx2= 0, y|x=0 = 1, y|x=1 = 0, (54)

com diferenças �nitas centradas de 2a ordem, ou seja, a resolver o problema com um

coe�ciente de difusão aparente

D′ = D +vL

2∆x. (55)

Isto explica porque é que a solução numérica é mais difusiva do que a solução analítica.

Considermos agora a formulação de volumes �nitos. A integração num volume de

controlo genérico, e.g., o volume i, origina:

Ji+1/2 − Ji−1/2 = 0, Ji+1/2 =

(y − 1

Pe

dy

dx

)i+1/2

. (56)

Já vimos que o termo dispersivo é pací�co; portanto podemos discretizá-lo com uma

diferença �nita centrada:(1

Pe

dy

dx

)i−1/2

=1

Pe

yi − yi−1

∆x,

(1

Pe

dy

dx

)i+1/2

=1

Pe

yi+1 − yi∆x

. (57)

Os termos complicados são yi−1/2 e yi+1/2. Já vimos que não podemos usar as aproxi-

mações yi−1/2 = (yi−1 + yi)/2 e yi+1/2 = (yi + yi+1)/2 porque elas dão origem a expressão

15

idênticas às diferenças �nitas centradas de 2a ordem. A utilização de diferenças �nitas

descentrada de 1a ordem é equivalente a considerar

yi−1/2 = yi−1 e yi+1/2 = yi. (58)

Isto faz sentido para transporte fortemente convectivo porque nestas condições o valor da

variável numa face do volume de controlo é bem aproximado pelo valor da variável no

seio do volume de controlo que se encontra a montante. No entanto, já vimos que esta

abordagem introduz dispersão numérica excessiva.

Para resolver o problema temos que utilizar métodos mais complicados. Uma hipó-

tese é utilizar uma interpolação descentrada de ordem mais elevada. Por exemplo, para

determinar yi+1/2 usa-se o polinómio que interpola yi−1, yi e yi+1. A fórmula assim obtida

é

yi+1/2 =3yi+1 + 6yi − yi−1

8=

yi + yi+1

2− yi−1 − 6yi + yi+1

8. (59)

Para determinar yi−1/2 usa-se o polinómio que interpola yi−2, yi−1 e yi. A fórmula é

yi−1/2 =3yi + 6yi−1 − yi−2

8=

yi−1 + yi2

− yi−2 − 6yi−1 + yi8

. (60)

Este esquema de discretização é conhecido como o esquema Quick ; o método corresponde

a uma discretização desviada a montante de 3a ordem do termo dy/dx.

Outra alternativa é utilizar-se um método de discretização não linear; estes métodos

são denominados limitadores de �uxo. Por exemplo, o esquema harmónico de van Leer é

yi−1/2 = yi−1 +max

{0,

(yi−1 − yi−2)(yi − yi−1)

yi − yi−2

}, (61)

yi+1/2 = yi +max

{0,

(yi − yi−1)(yi+1 − yi)

yi+1 − yi−1

}. (62)

2.3 Método dos resíduos ponderados

Considere-se o problema de difusão e reacção química numa pellet de catalisador, regido

pelas eqs. (9)�(11), re-escrito na seguinte forma compacta:

L(y) ≡ ∂2y

∂x2− ϕ2y = 0, M(y) ≡

∂y(0)

∂x

y(1)− 1

= 0. (63)

A ideia principal do método de resíduos ponderados é a construção de uma solução apro-

ximada y que satisfaça a eq. (63) segundo um determinado critério de minimização do

16

erro de aproximação. Porque a solução y é aproximada, em geral ela não satisfaz a PDE

nem as condições fronteira, isto é,

L(y) = R = 0 e M(y) = Rb = 0. (64)

Nesta equação, R e Rb são os resíduos da aproximação. Se y for construída de forma

a que a equação diferencial seja satisfeita exactamente (isto é, R = 0) então o método

chama-se método de fronteira; se y for construída de forma a que as condições fronteira

sejam satisfeitas exactamente, então o método chama-se método interior ; �nalmente, se

nem a equação diferencial nem as condições fronteira forem satisfeitas exactamente, o

método diz-se misto.

O método dos resíduos ponderados requer dois tipos de funções: uma é denominada

função de aproximação; a outra é denominada função de ponderação. A função de aproxi-

mação é usada para construir a solução numérica y; a outra função é utilizada como base

de critério para minimizar o resíduo da solução aproximada (um resíduo pequeno implica

que a solução numérica aproxima a solução real com um erro pequeno).

Para minimizar o resíduo, que normalmente é uma função da variável independente

x, é necessário converter R num escalar para que se possa proceder a uma optimização

do valor do resíduo. Isto faz-se através de uma forma de ponderação média do resíduo

em todo o domínio do problema, o que no caso presente equivale a um produto interno

de funções. Este último pode ser visto como uma medida de distância média entre duas

funções num determinado domínio da variável independente; no caso do método dos

resíduos ponderados, a distância média medida é calculada entre a função residual e as

funções de ponderação.

Consideremos o método interior. A aproximação numérica da PDE pode ser escrita

como uma expansão polinomial, por exemplo,

y = y0 +n∑

i=1

aiϕi(x). (65)

em que y0 e as funções de aproximação ϕi(x) têm que ser escolhidas por forma a satisfaze-

rem as condições fronteira, isto é, M(y) = 0. Os n coe�cientes ai são desconhecidos e são

determinados pelo método dos resíduos ponderados forçando a solução y(x; a1, . . . , an) a

satisfazer o melhor possível a PDE.

17

Substituindo y na PDE obtém-se a equação residual:

R(x) = L(y) = L

[n∑

i=1

aiϕi(x)

]. (66)

Dado que o resíduo é geralmente uma função de x, é necessário minimizá-lo em todo o

domínio de interesse. No método dos resíduos ponderados utiliza-se o seguinte integral

como medida média do resíduo: ∫VR(x)wk(x) dx, (67)

onde V é o domínio de interesse e wk(x) é uma k-gésima função de ponderação seleccionada

de um conjunto (k = 1, 2, . . . , n) de funções independentes, denominadas funções de

ponderação. Este integral denomina-se produto interno das funções no domínio V e é

normalmente escrito na seguinte forma compacta:

(R,wk)V . (68)

Dado que a solução numérica tem n coe�cientes desconhecidos ai, para determinar

or seus valores força-se a que o produto interno do resíduo com as primeiras n funções

de ponderação seja igual a zero. Isto origina n equações algébricas, normalmente não

lineares,

(R,wk)V = 0 para k = 1, 2, . . . , n, (69)

que podem ser resolvidas para obter os valores dos n coe�cientes ai.

Retomemos o exemplo do problema de difusão e reacção química. É evidente que é

mais fácil escrever uma função de aproximação que satisfaça as condições fronteira do que

uma que satisfaça a PDE em todo o domínio do problema. Por exemplo, suponha-se que

se opta por escrever a função de aproximação como a soma de n polinómios. Dado que

a solução é simétrica, isto é, y(−x) = y(x), os polinómios seleccionados têm que envolver

potências pares de x. Para além disso, a soma dos polinómios tem que ser igual a 1 para

x = 1 e a primeira derivada tem que ser nula para x = 0. É fácil concluir que a função

de aproximação será

y(x) = 1 +n∑

i=1

ai(1− x2i), (70)

porque y(1) = 1 e (dy/dx)x=0 = 0. O resíduo da aproximação é

R(x) = L(y) =d2y

dx2− ϕ2y. (71)

18

Conhecendo-se os valores de ai pode calcular-se o factor de e�ciência:

η =∫ 1

0y(x) dx = 1 +

n∑i=1

ai

(1− 1

2i+ 1

)(72)

=1

ϕ2

(dy

dx

)x=1

= − 2

ϕ2

n∑i=1

aii. (73)

Nos exemplos desenvolvidos em seguida vai-se considerar a aproximação mais simples,

isto é, a aproximação para n = 1:

y(x) = 1 + a1(1− x2), η = 1 +2a13

= −2a1ϕ2

. (74)

O resíduo para esta aproximação é

R(x) = −2a1 − ϕ2[1 + a1(1− x2)]. (75)

Para efeitos de cálculo, o módulo de Thiele vai ser �xado a ϕ = 1; o factor de e�ciência

para estas condições é η = tanh(1)/1 = 0.7616.

A escolha do tipo de funções teste origina diferentes variações do método dos resíduos

ponderados:

1. Método de colocação;

2. Método de sub-domínio;

3. Método de mínimos quadrados;

4. Método de momentos;

5. Método de Galerkin;

6. Método de colocação ortogonal.

2.3.1 Método de colocação

Neste método a função de teste é um delta de Dirac em n pontos interiores (chamados

pontos de colocação) do domínio de interesse:

wk = δ(x− xk). (76)

Uma das propriedades da função delta de Dirac é a seguinte:∫ xk+b

xk−af(x)δ(x− xk) dx = f(xk) (a > 0, b > 0). (77)

19

Se os n pontos interiores forem raízes de um polinómio ortogonal de Jacobi de ordem

n, então o método de colocação diz-se ser de colocação ortogonal. Aplicando a eq. (77)

em (69), obtém-se

R(xk) = 0 para k = 1, 2, . . . , n, (78)

ou seja: força-se o resíduo a ser nulo nos pontos interiores de colocação x1, . . . , xn.

Por exemplo, suponha-se que se escolhe x1 = 0.5 como ponto de colocação para o

problema de difusão-reacção; x1 = 0.5 corresponde ao ponto localizado a meio do domínio.

Anulando o resíduo neste ponto obtém-se

R(x1) = −2a1 − ϕ2[1 + a1(1− x21)] = 0 → a1 = − ϕ2

2 + ϕ2(1− x21)

= −0.3636. (79)

A estimativa do factor de e�ciência é

η = 1 +2a13

= 0.7576 (80)

= −2a1ϕ2

= 0.7273. (81)

Estes valores indicam que a solução obtida pelo método de colocação concorda razoavel-

mente bem com a solução analítica.

2.3.2 Método de sub-domínio

Neste caso o domínio é dividido em n sub-domínios Vi e as funções de ponderação esco-

lhidas são

wk =

1, no interior do sub-domínio Vk

0, no exterior do sub-domínio Vk

. (82)

Ou seja, anula-se o integral do resíduo sobre cada um dos sub-domínios.

Para n = 1 o sub-domínio coincide com o domínio completo do problema. Logo,

(R,w1)V =∫ 1

0R(x)w1 dx =

∫ 1

0{−2a1 − ϕ2[1 + a1(1− x2

1)]}(1) dx (83)

Forçando o produto interno a ser nulo obtém-se

(R,w1)V = 0 → a1 = −3

8, (84)

o que permite o cálculo do factor de e�ciência:

η = 1 +2a13

= 0.75 (85)

= −2a1ϕ2

= 0.75. (86)

20

Estes valores indicam que a solução obtida pelo método do sub-domínio também concorda

razoavelmente bem com a solução analítica.

2.3.3 Método de mínimos quadrados

Neste método a função de ponderação é

wk =∂R

∂ak. (87)

Com esta de�nição, o integral que de�ne o resíduo pode ser escrito da seguinte forma:∫VR∂R

∂akdx =

1

2

∂

∂ak

∫VR2 dx. (88)

A equação anterior mostra que os coe�cientes ak são determinados através da minimização

de (R,R).

No caso do problema em estudo,

(R,w1)V =1

2

∂

∂a1

∫ 1

0{−2a1 − ϕ2[1 + a1(1− x2

1)]}2 dx = 0. (89)

Integrando esta equação para ϕ = 1 e depois diferenciando em ordem a a1, obtém-se

(R,w1)V =1

2

(216

15a1 +

16

3

)= 0 → a1 = −10

27. (90)

As estimativas do factor de e�ciência são

η = 1 +2a13

= 0.7531 (91)

= −2a1ϕ2

= 0.7407. (92)

Novamente, estes valores comparam bem com a solução analítica.

2.3.4 Método dos momentos

Neste método as funções de ponderação são

wk = xk−1 para k = 1, 2, . . . , n. (93)

Portanto, anulam-se os seguintes produtos internos para calcular os coe�cientes ai:

(R, 1)V = 0, (R, x)V = 0, , (R, x2)V = 0, . . . , (R, xn−1)V = 0. (94)

Como temos estado a considerar soluções para n = 1, observa-se que para n = 1 o

método dos momentos é idêntico ao método dosub-domínio, porque o produto interno a

anular é simplesmente

(R, 1)V = 0. (95)

21

2.3.5 Método de Galerkin

Neste método as funções de ponderação são escolhidas da mesma família das funções de

aproximação:

wk = ϕk(x). (96)

Portanto, no método de Galerkin anulam-se os seguintes produtos internos:

(R, ϕ1)V = 0, (R, ϕ2)V = 0, , (R, ϕ2)V = 0, . . . , (R, ϕ2)V = 0. (97)

A solução do problema de difusão/reacção pelo Método de Galerkin com n = 1 equivale

a anular o seguinte produto interno:

(R,w1)V = 0, w1(x) = 1− x2 (98)

(R,w1)V =∫ 1

0{−2a1 − ϕ2[1 + a1(1− x2

1)]}(1− x2) dx = 0 (99)

(R,w1)V = −2

3(1 + 2a1)−

8

15a1 = 0. (100)

Resolvendo em ordem a a1 obtém-se

a1 = −10

28→

η = 1 +

2a13

= 0.7619

= −2a1ϕ2

= 0.7143. (101)

Este resultado parece mostrar que o método de Galerkin é o método mais preciso para o

problema em análise.

2.3.6 Método de colocação ortogonal

Apesar do método de Galerkin ser o mais preciso na resolução do problema de difu-

são/reacção com n = 1, quando se aumenta o número de funções de aproximação (n > 1)

observa-se que o método de Galerkin apresenta muito mais di�culdades analíticas do que

o método de colocação. De facto, com excepção do método de colocação, todos os outros

métodos de resíduos ponderados requerem uma integração da forma

∫VR(x)w(x) dx, (102)

que pode exigir a integração numérica se a integração analítica for impossível ou difícil

de determinar.

22

A precisão do método de colocação pode ser melhorada se os pontos de colocação

forem judiciosamente escolhidos. No caso do problema de difusão/reacção, observemos o

integral que de�ne a variável macroscópica que nos interessa:

η =∫ 1

0y(x) dx,

(dy

dx

)x=0

= 0, y(1) = 1. (103)

Suponha-se que se utiliza uma fórmula de quadratura para calcular este integral numeri-

camente; uma fórmula de quadratura não é mais do que a média ponderada dos valores da

função a integrar em determinados pontos do intervalo de integração. No caso presente,

podemos escrever a quadratura da seguinte forma:

η =∫ 1

0y(x) dx ≈

m∑k=1

αky(xk) + αm+1y(1); 0 ≤ x1 < x2 < . . . < xm < 1. (104)

Quantos mais pontos foram incluídos na fórmula mais precisa ela será. É por este motivo

que incluí o ponto x = 1 no conjunto de pontos de quadratura; para x = 1 conhece-se

o valor analítico da solução, por isso é um ponto extra que se obtém de borla: seria um

desperdício não o incluir.

O problema que se coloca agora é: quais deverão ser os valores dos coe�cientes αk e

dos pontos de quadratura xk para que a fórmula seja o mais precisa possível. Considere-se

a fórmula de quadratura mais simples, com um único ponto interno de quadratura:

η = α1y(x1) + α2y(1). (105)

Esta fórmula de quadratura tem 3 incógnitas: α1, α2 e x1; são, portanto, necessárias três

equações para as determinar. Se a solução fosse constante em todo o domínio, isto é,

y(x) = 1, a aplicação da fórmula de quadratura originaria:

η = (α1)(1) + (α2)(1) = 1 → α1 + α2 = 1. (106)

Já temos a primeira equação. Suponha-se aqora que o per�l de concentração é um poli-

nómio de segundo grau:

y(x) = 1 + a1(1− x2). (107)

Se a fórmula de quadratura for válida para y(x) = 1 e y(x) = 1 − x2 então ela será

necessariamente válida para y(x) = 1 + a1(1 − x2) por ser uma combinação linear dos

polinómios anteriores. Por uma questão de simplicidade usar-se-á então y(x) = 1 − x2.

23

Aplicando a fórmula de quadratura ao integral obtém-se

∫ 1

0y(x) dx = 2/3 = (α1)(1− x2

1) + α2(1− 12) (108)

2/3 = (α1)(1− x21) (109)

Já temos a segunda equação.

Para obter a terceira equação considere-se y(x) = 1− x4; se a fórmula de quadratura

for válida para y(x) = 1, y(x) = 1−x2 e y(x) = 1−x4, então ela será válida para qualquer

polinómio do tipo y(x) = 1 + a1(1− x2) + a2(1− x4). Para y(x) = 1− x4, obtém-se

∫ 1

0y(x) dx = 4/5 = (α1)(1− x4

1) + (α2)(1− 14) (110)

4/5 = (α1)(1− x41) (111)

Agora já temos o conjunto de equações necessárias para a determinação de α1, α2 e x1:

α1 + α2 = 1 (112)

(1− x21)α1 = 2/3 (113)

(1− x41)α1 = 4/5 (114)

A solução deste sistema de equações é:

x1 = 0.44721, α1 = 0.83333, α2 = 0.16667. (115)

Voltemos, agora, a resolver o problema de difusão/reacção pelo método de colocação

com n = 1 e x1 = 0.44721 em vez de x1 = 0.5. Anulando o resíduo neste ponto obtém-se

R(x1) = −2a1 − ϕ2[1 + a1(1− x21)] = 0 → a1 = − ϕ2

2 + ϕ2(1− x21)

= −0.35714. (116)

Magia da magias, −0.35714 = −10/28 que é precisamente o valor obtido pelo método de

Galerkin!!! (Conseguem perceber porquê?) Conseguimos melhorar a precisão do método

de colocação ortogonal através da escolha judiciosa do ponto de colocação.

O ponto x1 = 0.44721 funcionou bem porque ele é um zero de um polinómio de Jacobi

especí�co que está relacionado com o problema em questão. O polinómio de Jacobi de

grau N tem um seguinte representação em série de potências:

J(α,β)N (x) =

N∑i=0

(−1)N−iγN,ixi, (117)

24

com γN,0 = 1. Os coe�cientes γN,i são constantes e α e β caracterizam o tipo de polinómio.

Os polinómios de Jacobi pertencem a uma classe de polinómios ortogonais porque

satisfazem a seguinte condição de ortogonalidade no domínio [0, 1]:

∫ 1

0[xβ(1− x)α]J

(α,β)j (x)J

(α,β)N (x) dx = 0 (118)

para j = 0, 1, 2, . . . , (N − 1), isto é, todos os polinómios de Jacobi são ortogonais a todos

os outros exceptuando a eles próprios (isto é, quando j = N).

Pode demonstrar-se que o polinómio J (α,β)N (x) tem exactamente N zeros distintos todos

eles localizados no intervalo [0, 1]. Se o domínio do sistema PDE a resolver, por exemplo

x ∈ [a, b], for convertido no domínio [0, 1] através da mudança de variável

x′ = (x− a)/(b− a), (119)

então pode demonstrar-se que os zeros do polinómio J(α,β)N (x) são excelentes pontos de

colocaçãoo para resolução da PDE pelo métodos dos resíduos ponderados. Em apêndice

lista-se vários tipos de polinómios ortogonais.

Para ver como surge o ponto x1 = 0.44721, note-se primeiro que os polinómios de

Jacobi são séries de polinómios com potências impares e potências pares de x. No en-

tanto, no problema que temos usado como exemplo, a função de aproximação é a soma

de polinómios com potências pares de x. Para poder utilizar-se uma função de aproxima-

ção envolvendo polinómios com potências impares e pares de x pode fazer-se a seguinte

substituição de variável: z = x2. Obtém-se:

dy

dx=

dz

dx

dy

dz= 2

√zdy

dz,

d2y

dx2=

dz

dx

d

dz

(dy

dx

)= 4z

d2y

dz2+ 2

dy

dz. (120)

Aplicando estas transformações nas eqs. (9)�(11), obtém-se

4zd2y

dz2+ 2

dy

dz− ϕ2y = 0, (121)

y = 1 para x = 1. (122)

A condição fronteira (dy/dx)x=0 = 0 é automaticamente satisfeita pela transformação de

variável, z = x2, pelo não necessita de ser incluída. O factor de e�ciência é

η =∫ 1

0y(x) dx = 2

∫ 1

0y(z)z1/2 dz. (123)

25

Comparando este integral com a condição de ortogonalidade, dada pela eq. (118), conclui-

se que factor de ponderação comum a ambos os integrais é obtido para α = 0 e β = 1/2.

Se utilizarmos um ponto interior de colocação, o integral é dado por uma fórmula de

quadratura idêntica à da eq. (104):

η = 2∫ 1

0y(z)z1/2 dz ≈ 2

m∑k=1

z1/2k αky(zk) + 11/2αm+1y(1); 0 ≤ z1 < z2 < . . . < zm < 1.

(124)

Um quadratura que inclui um dos pontos da fronteira do domínio de integração,

denomina-se quadratura de Radau (ver apêndice E.6); os pontos óptimos de quadra-

tura são os zeros do polinómio de Jacobi J (Nα, β + 1)(x) (ver tabela 12.2 no apêndice).

No caso presente, estamos interessados no zero do polinômio J(10, 3/2)(x). Procurando

em Tabelas desses polinómios, obtém-se z1 = 0.2, α1 = 0.83333 e α2 = 0.16667. Como

z = x2, o ponto de colocação equivalente na coordenada x será x1 =√(z) = 0.44721; este

ponto é idêntico ao que tinhamos obtido anteriormente.

3 Solução de sistemas mistos de equações diferenciais

ordinárias e algébricas

Um sistema misto de equações diferenciais ordinárias e algébricas pode ser escrito na

seguinte forma genérica:

F(x,y,y′, t) = 0 (125)

G(x,y, t) = 0, (126)

em que y = (y1, . . . , yn) é um conjunto de variáveis diferenciais, y′ é uma notação con-

densada para dy/dt, e x = (x1, . . . , xm) é um conjunto de m variáveis algébricas. Este

sistema diferencial necessita de n equações iniciais:

H(x0,y0,y′0) = 0 para t = 0. (127)

Em muitos casos o sistema é puramente diferencial, isto é, m = 0, e para além disso

F(y,y′, t) = 0 pode ser reescrita numa forma explicita em ordem a y′:

y′(t) = f(t,y(t)), y(0) = y0. (128)

26

Certamente devem ter aprendido métodos de Runge-Kutta explícitos para a resolução

da Eq. (128). Por exemplo, o método de Runge-Kutta-Gill corresponde ao seguinte es-

quema de integração, em que conhecido o valor de y para o instante tn, isto é yn = y(tn),

se pretende avançar a solução para o instante de tempo tn+1 = tn + h.

yn+1 = yn +1

6(k1 + k4) +

1

3( bk2 + dk3), (129)

em que

k1 = h f(tn,yn) (130)

k2 = h f

(tn +

h

2,yn +

1

2k1

)(131)

k3 = h f

(tn +

h

2,yn + ak1 + bk2

)(132)

k4 = h f(tn + h,yn + ck2 + dk3) (133)

com

a =

√2− 1

2, b =

2−√2

2, c = −

√2

2, d = 1 +

√2

2. (134)

Os métodos explícitos não são frequentemente utilizados na integração de modelos

diferenciais em Engenharia Química porque os métodos explícitos não são incondicional-

mente estáveis. Por esta razão, vou-me concentrar na resolução do sistema DAE dado na

Eq. (125). O método mais simples é o método implícito de Euler. Este método decorre

directamente da aproximação de dy/dt em série de Taylor dada na Eq. (20) e que se

reproduz em seguida:

y(x−∆x) = y(x)− dy(x)

dx∆x+O(∆x2). (135)

Desta expressão decorre imediatamente que

y′n+1 =

yn+1 − yn

h+O(h). (136)

Portanto, para determinar xn+1 e yn+1 em tn+1 = tn + h, conhecidos xn e yn, resolve-se

o sistema algébrico

F(xn+1,yn+1,

yn+1 − yn

h, tn+1

)= 0 (137)

G(xn+1,yn+1, tn+1) = 0. (138)

27

Este método é incondicionalmente estável, mas exige a resolução de um sistema de equa-

ções algébricas que em muitos casos são não lineares. A desvantagem do método é ser um

método de 1a ordem.

Um método de 2a ordem estável, muito utilizado, é o método dos trapézios também

conhecido por método de Crank-Nicholson. Das várias diferenças �nitas apresentadas

anteriormente, é fácil deduzir a seguinte fórmula:

y′n+1/2 =

(dy

dt

)tn+1/2

=yn+1 − yn

h+O(h2). (139)

Esta equação é idêntica à eq. (136) mas há uma diferença fundamental: a eq. (136)

aproxima dy/dt para tn+1 = tn + h; a eq. (139) aproxima dy/dt para tn+1/2 = tn + h/2.

Por isso é que a eq. (136) é uma aproximação de 1a ordem, enquanto que a eq. (139) é

uma aproximação de 2a ordem. Para resolver o sistema (125) em tn+1/2 é necessário ter

expressões para xn+1/2 e yn+1/2. É fácil deduzir que as seguintes fórmulas:

xn+1/2 =xn + xn+1

2+O(h2), yn+1/2 =

yn + yn+1

2+O(h2). (140)

Estas fórmulas são consistentes com a aproximação de 2a ordem dada na eq. (139). Resu-

mindo, para se calcular a solução no instante de tempo tn+1 usando o método de Crank-

Nicholson resolve-se o seguinte sistema de equações algébricas:

F(xn + xn+1

2,yn + yn+1

2,yn+1 − yn

h, tn+1/2

)= 0 (141)

G(xn + xn+1

2,yn + yn+1

2, tn+1/2

)= 0. (142)

Actualmente, os métodos de integração mais usados são os métodos implícitos de

ordem variável e passo variável baseados nas fórmulas BDF de diferenciação de Gear.

Sucintamente, y′n+1 é aproximado pela diferenciação do polinómio que interpola yn+1 e os

valores da solução nos k passos de integração anteriores. Por exemplo, o polinómio que

interpola yn+1 e yn é

p1(t) = yn +yn+1 − yn

h(t− tn). (143)

A diferenciação dá directamente a fórmula implícita de Euler:

y′n+1 =

yn+1 − yn

h. (144)

Portanto a fórmula BDF de primeira ordem é equivalente ao método implícito de Euler.

28

Para deduzir uma fórmula de 2a ordem, determina-se o polinómio que interpola yn+1,

yn e yn−1. O resultado é

p2(t) = yn +yn+1 − yn

h(t− tn) +

yn−1 − 2yn + yn+1

2h2(t− tn)(t− tn+1) (145)

Diferenciando este polinómio em tn+1 obtém-se

y′n+1 =

yn+1 − yn

h+

yn−1 − 2yn + yn+1

2h. (146)

Em qualquer caso, o sistema algébrico que é necessário resolver para calcular a solução

no instante tn+1 é do tipo

F(xn+1,yn+1, αyn+1 +w, tn+1) = 0 (147)

G(xn+1,yn+1, tn+1) = 0, (148)

em que α e w são constantes que variam de passo para passo.

29