Solução Da Equação de Adensamento
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Solução da Equação de adensamento Professor Manoel Porfírio
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Solução da Equação de adensamento
Professor Manoel Porfírio
Método da separação de variáveis
2
2
y
ucv
t
u
E.D.P.
•Equação do calor•Equação parabólica•Problema linear homogêneo (???)•Solução pode ser expressa como:
1
),(n
nnuAtxu
Método da separação de variáveis
2
2
y
uCv
t
u
E.D.P.
•Assumindo que: )()(),( tGyFtxu
Então: e)(')( tGyFt
u
)()(''
2
2
tGyFy
u
)()('')(')( tGyCvFtGyF
)(
)('1
)(
)(''
tG
tG
CvyF
yF
Método da separação de variáveis•Pode-se dizer que:
2
)(
)('1
)(
)(''B
tG
tG
CvyF
yF
Então: e)()('' 2 yFByF )()(' 2 tGCvBtG
)sin()cos()( 21 ByAByAyF )exp()( 23 CvtBAtG
)exp()sin()cos(),( 2321 CvtBAByAByAtyu
É necessário determinar A4, A5 e B
)exp()sin()cos(),( 254 CvtBByAByAtyu
Método da separação de variáveis•Condições de contorno:1. Para o tempo t=0 a função u(y,t)=ui que
corresponde ao excesso de poropressão inicial em qualquer profundidade;
2. Para y=0 a função u=0 para qualquer tempo;
3. Para y=Ht=2H u=0 para qualquer tempo.
Método da separação de variáveis•Condições de contorno:2. Para y=0 a função u=0 para qualquer tempo;
A equação acima só se torna zero se A4=0.
0)exp()0sin()0cos()0,( 254 CvtBBABAyu
0)exp()0cos()0,( 24 CvtBBAyu
Método da separação de variáveis•Condições de contorno:3. Para y=Ht=2H u=0 para qualquer tempo.
0)exp()2sin()2,( 25 CvtBHBAHyu
A equação acima se torna zero sempre quenBH 2
Então
H
nB
2
)4
exp()2
sin(),(22
5 Tn
yH
nAtyu
2
.
H
tCvT
1
22
)4
exp()2
sin(),(n
n Tn
yH
nAtyu
Solução geral
Método da separação de variáveis•Condições de contorno:1. Para o tempo t=0 a função u(y,t)=ui que
corresponde ao excesso de poropressão inicial em qualquer profundidade;
in
n uyH
nAtyu
1
)2
sin(),(
1
)sin()(n
n yc
nbfSFS
Série de Fourier
dxc
xnxf
cb
c
n )sin()(2
0
Hc 2 iuxf )(
Método da separação de variáveis•Condições de contorno:1. Para o tempo t=0 a função u(y,t)=ui que
corresponde ao excesso de poropressão inicial em qualquer profundidade;
in
n uyH
nAtyu
1
)2
sin(),(
Série de Fourier dyyH
nu
HAn
H
i
2
0 2sin
2
2
Se ui = cte
nn
uAn i cos1
Método da separação de variáveis•Então:
4exp.
2sin.cos1
2),(
22
1
0 Tny
H
nn
n
utyu
n
Se n for par então: 0cos1 nPara evitar isso faz-se: 12 mn
4
12exp.
2
12sin.12cos1
12
2),(
22
0
0 Tmy
H
mm
m
utyu
m
TMyH
M
M
utyu
m
2
0
0 exp.sin.2
),(
Ou mais bonito...
2
12
mMOnde
Método da separação de variáveis
Planilha do Excel
Método da separação de variáveis
Se ui não for constante
