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1
Pesquisa Operacional
Instituto de Engenharia de Produção e Gestão
Universidade Federal de Itajubá
Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi
Exemplo 4.6.4 – Uso de softwares
Resolver os problemas do item 4.5 pelo simplex
Eu não aguento todo aquelealgebrismo!
2
Calma existem softwares para o
problema!
O Lindo é um deles.
Opção para evitar o simplex manualmente
O solver é outra opção
3
Outras opções
Linprog;
QM for windows;
DS for windows;
Matlab;
Etc...
Vejamos alguns destes....
Softwares para auxiliar a solução dos problemas
LINPROG
4
O problema de Giapetto
Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a:
2X1 + X2 ≤ 100 X1 + X2 ≤ 80 X1 ≤ 40 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0
Solução pelo simplex
5
Resolva o problema abaixo usando o linprog
max Z = 5X1 + 2X2 sujeito a:
X1≤ 3 X2 ≤ 4 X1 + 2X2 ≤ 9 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0
Solução pelo linprog
6
Procedimentos para minimizar Z
Item 4.6.5 - Exemplo 1min Z = 2x1 - 3x2sujeito a:x1 + x2 ≤ 4 x1 - x2 ≤ 6x1 ≥ 0x2 ≥ 0
Dá para resolver diretamente pelo Simplex?
7
Converter o problema de PL na forma canônica
min Z = 2x1 - 3x2sujeito a:x1 + x2 + x3 = 4 x1 - x2 + x4 = 6x1 ≥ 0x2 ≥ 0
Trabalhando a FO
min Z = 2x1 - 3x2Z = -2x1 + 3x2Para minimizar a Função (-Z):max (-Z) = -2x1 + 3x2
8
Nova formulação
Max (-Z) = - 2x1 + 3x2
sujeito a:
x1 + x2 + x3 = 4
x1 - x2 + x4 = 6
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Variáveis não básicas: X1 = X2 = 0
Variáveis básicas: X3 = 4 X4 = 6
Solução básica inicialMax (-Z) = - 2x1 + 3x2
sujeito a:
x1 + x2 + x3 = 4
x1 - x2 + x4 = 6
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
9
Pivô
O problema pode ser representado assim:
Z X1 X2 X3 X4 b Razão Base -1 2 -3 0 0 0 X3 0 1 1 1 0 4 X4 0 1 -1 0 1 6
4/1=46/-1
Indica que X2 entra nolugar de X3Solução parcial: (0, 0, 4, 6)
Próximo quadro - Base: X2 e X4
Devem se colocadas na forma canônica
X2 entra na base
solução é ótima
Valor máximo possívelpara a função objetivo
Solução ótima: (0, 4, 0, 10)
Segunda iteração
Z X1 X2 X3 X4 b Razão Base -1 5 0 3 0 12 X2 0 1 1 1 0 4 X4 0 2 0 1 1 10
10
Solução do problema pelo simplex
Solução ótima: (0, 4, 0, 10) Z = 2*0 - 3*4 = -12
min Z = 2x1 - 3x2sujeito a:x1 + x2 ≤ 4 x1 - x2 ≤ 6x1 ≥ 0x2 ≥ 0
ExercícioResolver o problema da 2 do item 4.6.5 da apostila;
Usar o linprog.
11
4.6.5 - Exemplo 2min Z = 4x1 - x2sujeito a:2x1 + x2 ≤ 8 x2 ≤ 5x1 - x2 ≤ 4 x1 ≥ 0x2 ≥ 0
Z X1 X2 X3 X4 X5 b razãoBase -1 4 -1 0 0 0 0
X3 0 2 1 1 0 0 8 8X4 0 0 1 0 1 0 5 5X5 0 1 -1 0 0 1 4 -4
Z X1 X2 X3 X4 X5 b razãoBase -1 4 0 0 1 0 5
X3 0 2 0 1 -1 0 3X2 0 0 1 0 1 0 5X5 0 1 0 0 1 1 9
4.6.5 - Exemplo 2
12
Solução pelo linprog
O método BIG M
13
Item 4.7.2 - Exemplo 1 min Z = 2x1 + 3x2sujeito a:1/2x1 + 1/4x2 ≤ 4 x1 + 3x2 ≥ 20x1 + x2 = 10 x1 ≥ 0x2 ≥ 0
Dá para resolver pelo Simplex?
Solução pelo linprog
14
ExercícioResolver o problema da 2 do item 4.7.2 da apostila;
Usar o linprog.
Item 4.7.2 - Exemplo 2min Z = 2x1 + 3x2sujeito a:2x1 + x2 ≥ 4 x1 - x2 ≥ -1 x1 ≥ 0x2 ≥ 0
15
Solução pelo linprog
Lindo ?
Vamos ver outra opção de software!
O Lindo!
Outro software
16
LINDO (Linear, Interactive and Discrete
Optmizer)Software desenvolvido pela Lindo Systems Inc. de Chicago Illinois, EUA.
Resolve modelos de programação linear, quadrática ou inteira.
No quadro a seguir encontra-se as versões disponíveis.
Site da Web: http://www.lindo.com
LINDO (Linear, Interactive and Discrete
Optmizer) Limites
máximos
Versão Linhas Colunas
Demonstração 150 300
Super 500 1000
Hiper 2000 4000
Industrial 8000 16000
Extended 32000 100000
*
* Versão utilizada no curso
17
Vamos resolver o problema do Giapetto no Lindo
O problema de Giapetto
Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a:
2X1 + X2 ≤ 100 X1 + X2 ≤ 80 X1 ≤ 40 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0
18
Formular no Lindo o problema 4.5.2
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital
Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O fluxo de caixa e o Valor Presente Líquido das alternativas são dadas na tabela a seguir:
Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data 0
11
53
5
5
29
Investimento data 1
3
6
5
1
34
VPL 13
16
16
14
39
19
A empresa tem 40 milhões para investir hoje, e estima que no ano posterior terá 20 milhões. A empresa pode comprar qualquer fração de cada investimento, os investimentos e VPL são ajustados na proporção. Por exemplo, se a empresa compra (1/5) da alternativa 3, então 1 milhão é necessário na data 0 e na data 1.VPL = (1/5)16 = 3,2 milhões.
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital
A empresa quer maximizar o VPL obtido para os investimentos de 1 a 5. Formular o problema.
Assumir que qualquer recurso não usado na data 0, não poderá ser usado na 1.
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital
20
FormulaçãoMax Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5sujeito a:
11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40
3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20
X1 ≤ 1
X2 ≤ 1
X3 ≤ 1
X4 ≤ 1
X5 ≤ 1
Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5
Solução problema 4.5.2
X1 = X3 = X4 = 1X2 = 0,201X5 = 0,288Z = 57,449
21
Problema 4.5.2
Resposta:
X1 = X3 = X4 = 1
X2 = 0,201
X5 = 0,288
Z = 57,449
Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5sujeito a:
11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40
3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20
X1 ≤ 1
X2 ≤ 1
X3 ≤ 1
X4 ≤ 1
X5 ≤ 1
Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5
O QM for windows é outra opção
22
Vamos resolver o problema do Giapetto no QM
O problema de Giapetto
Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a:
2X1 + X2 ≤ 100 X1 + X2 ≤ 80 X1 ≤ 40 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0
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Formular no QM o problema 4.5.2
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital
Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O fluxo de caixa e o Valor Presente Líquido das alternativas são dadas na tabela a seguir:
Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data 0
11
53
5
5
29
Investimento data 1
3
6
5
1
34
VPL 13
16
16
14
39
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A empresa tem 40 milhões para investir hoje, e estima que no ano posterior terá 20 milhões. A empresa pode comprar qualquer fração de cada investimento, os investimentos e VPL são ajustados na proporção. Por exemplo, se a empresa compra (1/5) da alternativa 3, então 1 milhão é necessário na data 0 e na data 1.VPL = (1/5)16 = 3,2 milhões.
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital
A empresa quer maximizar o VPL obtido para os investimentos de 1 a 5. Formular o problema.
Assumir que qualquer recurso não usado na data 0, não poderá ser usado na 1.
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital
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FormulaçãoMax Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5sujeito a:
11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40
3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20
X1 ≤ 1
X2 ≤ 1
X3 ≤ 1
X4 ≤ 1
X5 ≤ 1
Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5
Solução problema 4.5.2
X1 = X3 = X4 = 1X2 = 0,201X5 = 0,288Z = 57,449
26
Problema 4.5.2
Resposta:
X1 = X3 = X4 = 1
X2 = 0,201
X5 = 0,288
Z = 57,449
Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5sujeito a:
11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40
3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20
X1 ≤ 1
X2 ≤ 1
X3 ≤ 1
X4 ≤ 1
X5 ≤ 1
Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5
O solver do excel também é uma boa opção
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Solver do Excel
O Microsoft Excel Solver usa o código de otimização não linear GeneralizedReduced Gradient (GRG2), desenvolvido por Leon Lasdon, da University of Texas em Austin, e Allan Waren, da Cleveland State University.
Os problemas lineares e de inteiros usam o método
simplex com limites sobre as variáveis e o método de
desvio e limite, implementado por John Watson e
Dan Fylstra, da Frontline Systems, Inc.
Site da Web: http://www.frontsys.com
Planilhas com exemplos: arquivos de
programas\microsoft
office\office\exemplos\solver\exemsolv.xls
Solver do Excel
28
Solver do Excel
Exemplos da planilha:• Guia rápido
• Combinação de produtos
• Rotas de transporte
• Planejamento de pessoal
• Maximizar a renda
• Carteira de ações
• Design de engenharia
Vamos resolver o problema do Giapetto no Solver do
Excel
29
O problema de Giapetto
Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a:
2X1 + X2 ≤ 100 X1 + X2 ≤ 80 X1 ≤ 40 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0
Formular no solver o problema 4.5.2
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4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital
Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O fluxo de caixa e o Valor Presente Líquido das alternativas são dadas na tabela a seguir:
Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5 Investimento data 0
11
53
5
5
29
Investimento data 1
3
6
5
1
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VPL 13
16
16
14
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A empresa tem 40 milhões para investir hoje, e estima que no ano posterior terá 20 milhões. A empresa pode comprar qualquer fração de cada investimento, os investimentos e VPL são ajustados na proporção. Por exemplo, se a empresa compra (1/5) da alternativa 3, então 1 milhão é necessário na data 0 e na data 1.VPL = (1/5)16 = 3,2 milhões.
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital
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A empresa quer maximizar o VPL obtido para os investimentos de 1 a 5. Formular o problema.
Assumir que qualquer recurso não usado na data 0, não poderá ser usado na 1.
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de orçamento de capital
FormulaçãoMax Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5sujeito a:
11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40
3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20
X1 ≤ 1
X2 ≤ 1
X3 ≤ 1
X4 ≤ 1
X5 ≤ 1
Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5
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Solução problema 4.5.2
X1 = X3 = X4 = 1X2 = 0,201X5 = 0,288Z = 57,449
Problema 4.5.2
Resposta:
X1 = X3 = X4 = 1
X2 = 0,201
X5 = 0,288
Z = 57,449
Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5sujeito a:
11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40
3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20
X1 ≤ 1
X2 ≤ 1
X3 ≤ 1
X4 ≤ 1
X5 ≤ 1
Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5
33
Formular no Lindo, QM e no solver o problema 4.5.1
4.5.1 - Exemplo 1: Problema de programação do trabalho
Uma empresa de entregas necessita de diferentes números de funcionários durante os diferentes dias da semana. Os números de funcionários necessários é mostrado na tabela a seguir.
34
4.5.1 - Exemplo 1: Problema de programação do trabalho
Número de funcionários necessários
Dia 1 = Segunda-feira 17
Dia 2 = Terça-feira 13 Dia 3 = Quarta-feira 15 Dia 4 = Quinta-feira 19 Dia 5 = Sexta-feira 14 Dia 6 = Sábado 16 Dia 7 = Domingo 11
4.5.1 - Exemplo 1: Problema de programação do trabalho
As leis do sindicado asseguram que os funcionários devem trabalhar 5 dias consecutivos e 2 de folga. Por exemplo, um funcionário que trabalhou de Segunda a Sexta folga Sábado e Domingo.
O escritório quer funcionar apenas com funcionários de tempo integral.
Formular o problema de tal modo que a empresa possa minimizar o número de empregados de tempo integral que precisam ser contratados.
35
Formulação
min Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7
sujeito a:X1 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 17 (SEG)
X1 + X2 + X5 + X6 + X7 ≥ 13 (TER)
X1 + X2 + X3 + X6 + X7 ≥ 15 (QUAR)
X1 + X2 + X3 + X4 + X7 ≥ 19 (QUIN)
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≥ 14 (SEX)
X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≥ 16 (SAB)
X3 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 11 (DOM)
Xi ≥ 0 (i = 1; 2;....; 7)
Solução problema 4.5.1
X1 = 4/3X2 = 10/3X3 = 2X4 = 22/3X5 = 0X6 = 10/3X7 = 5Z = 67/3
X1 = 2X2 = 4X3 = 2X4 = 8X5 = 0X6 = 4X7 = 5Z = 25
Exemplo típico para programação inteira! Será visto oportunamente.
36
Problema 4.5.1min Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7
sujeito a:X1 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 17 (SEG)
X1 + X2 + X5 + X6 + X7 ≥ 13 (TER)
X1 + X2 + X3 + X6 + X7 ≥ 15 (QUAR)
X1 + X2 + X3 + X4 + X7 ≥ 19 (QUIN)
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≥ 14 (SEX)
X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≥ 16 (SAB)
X3 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 11 (DOM)
Xi ≥ 0 (i = 1; 2;....; 7)
X1 = 4/3X2 = 10/3X3 = 2X4 = 22/3X5 = 0X6 = 10/3X7 = 5Z = 67/3