SME0301 – MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA IPROFESSORESMARCOS ARENALESMARISTELA SANTOS (ALGUMAS AULAS)

Fevereiro 2012

SME0301 – Métodos Num éricos Para Engenharia I

Ementa:1) Representação de números no computador. Erros em métodos numéricos. 2) Soluções de equações: método iterativo linear, Newton, Secantes. 3) Soluções de equações e sistemas de equações não-lineares: método iterativo linear, método de Newton. 4) Soluções de equações polinomiais: Briot-Ruffini-Horner e Newton-Barstow. 5) Soluções de sistemas lineares: métodos exatos - LU, eliminação de Gausse Cholesky.6) Soluções de Sistemas linerares: Métodos iterativos - Gauss-Seidel, Jacobi-Richardson, gradientes e gradientes conjugados. 7) Determinação numérica de auto-valores e auto-vetores: métodos das potências e Francis (QR).

Informações Importantes

Bibliografia Indicada� FRANCO, N.B. Cálculo Numérico, Editora Pearson Educa tion (2006).

� Bibliografica complementar:

� RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico: A spectos Teóricos e Computacionais, Makron Books, 2a. Edição, 1997.

� Cálculo Numérico - Aprendizagem com Apoio de Softwar e - Arenales , Selma; Darezzo, Artur

AVALIAÇÕES

Prof. Arenales

Média Semestral

Prof. Arenales

Por que técnicas numéricas ?

� Nem sempre (quase nunca ?) sabemos resolver os problemas reais de maneira exata.

� ax2 + bx + c = 0� solução analítica ? Sim: fórmula de Bashkara.

� x6 - 20x5 -110x4 + 50x3 - 5x2 + 70x -100 =0

Por que técnicas numéricas ?

� “O Cálculo Numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos por intermédio de um computador”.

Aplicações em Matemática:� Obtenção de soluções numéricas;� Solução numérica para problemas sem

solução analítica;

Resolução de um problema real

Problemas reais:-Produção (corte de peças, tamanho do lote e etc)-Escoamento de fluídos e etc

Métodos numéricos (disciplina) para:1) Determinar uma raiz de uma equação;2) Resolver um sistema linear3) Aproximar uma função4) Etc.

Resolução de um problema real

Solução do modelo matemático pode ser diferente da real. Fontes de erros:1) Simplificações do modelo matemático;2) Erro de truncamento3) Erro de arredondamento4) Erros nos dados.5) ...

Fontes de erro

� Simplificações (Idealizações)

� Exemplos: Em um modelo que deseja saber o tempo de queda de um objeto, desconsideramos a força de resistência do ar.

� Erro nos dados

� Implica erros nos parâmetros dos modelos, ocasionando erros na saída.

Fontes de erro

� Erros de truncamento

� Quando o modelo matemático envolve a avaliação, por exemplo, de uma série infinita, cometemos um erro de truncamento.

� Ex.: Aproximação Erro

Fontes de erro

� Erros de arredondamento

� Geralmente trabalhamos com uma aritmética de precisão finita (exemplo maior: computadores)

� Ex.:� 1/3 = 0.333333... : 0.3334.� π = 3.141592653....

Medida do erro (introdução)

� É importante termos uma idéia do erro.

Valor obtido por uma técnica numérica:Valor real: x

Erro absoluto:Erro relativo: Obviamente: se soubéssemos x, não

precisaríamos de mais nada... Mesmo sem saber x, conseguimos estimar EAx e

ERx?

x

Medida do erro (introdução)

� Em geral apenas é conhecido.� Na prática, obtém-se um limitante superior

para o erro absoluto ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto

Exemplo: Sabendo que toma para o valor de um valor dentro do intervalo:

x

( )15.3,14.3∈ππ

01.0|||| <−= πππEA

Medida do erro (introdução)

� Exemplo: Seja x tal que:

� Exemplo: Seja y tal que:

Ambos os números estão representados com a mesma precisão? (Limitantes dos erros absolutos são os mesmos)

( ))2113,8.2112(1.0||9.2112 ∈<= xEAex x

( ))4.5,2.5(1.0||3.5 ∈<= yEAey y

Medida do erro (introdução)

� Exemplo: Seja x tal que:

� Exemplo: Seja y tal que:

( )5107.4

9.2112

01.0||

)2113,8.2112(1.0||9.2112

−≅<=

∈<=

xx

EAER

xEAex

xx

x

( )

02.03.5

1.0

)4.5,2.5(1.0||3.5

≅<

∈<=

y

y

ER

yEAey

x é representado com maior precisão do que y

Efetuando somatórios na calculadora e no computador

11.05.0,30000

1=== ∑

=ii

ii xexxS

15000

15000

5.0,30000

1

=→=→

== ∑=

SComputador

SaCalculador

xxS ii

i

99691.3299

3300

11.0,30000

1

=→=→

== ∑=

SComputador

SaCalculador

xxS ii

i

Por que a diferença?

Depende da representação na máquina utilizada

Representação de Números

� Representação do número depende da base escolhida ou disponível na máquina em uso e do número máximo de dígitos usados na sua representação.

� O número π não pode ser representado por meio de um número finito de dígitos decimais.

� Número que não tem representação finita não fornecerácomo resultado um valor exato. Quanto maior o número de dígitos utilizados, maior a precisão obtida.

� Um número pode ter representação finita em uma base e não-finita em outras bases.

� Na interação usuário computador: Os dados de entrada são enviados ao computador pelo usuário no sistema decimal; as informações são convertidas para o sistema binário e as operações são efetuadas neste sistema. Os resultados finais serão convertidos para o sistema decimal e transmitidos para o usuário.

Computadores são "binários"

� Por que 0 ou 1 ?

� 0 ou 1 - "fácil" de obter um sistema físico� Transistores tem duas posições estáveis: ligado ou desligado

� Expansão binária de um número

�

� Representação

Base Binária

� Exemplo (binário somente tem parte inteira):

{ }1,0,2 ∈=∑=

i

m

ni

ii aaN

1,0,1,1

21202121)1011(

3210

32102

====+++=

aaaa

xxxx

Exemplo (binário tem parte inteira e fracionaria):

)22(1,1,1,0,1

2121212021)01.111(

21012

210122

=−======++++=

−−

−−

menaaaaa

xxxxx

Conversões entre base 10 e base 2� Da base 2 para a base 10

� (100011) = 1∗25 + 0 ∗ 24 + 0 ∗ 23 + 0 ∗ 22 + 1 ∗ 21

+ 1 ∗ 20 = 35� Da base 10 para a base 2

35 2

2

2

2

2

10

20

40

81

171

100011

09:16

Mudança de base

� Da base 2 para a base 10

� N2 = 1010.1110

N10 = 1 x23+ 0 x 22 + 1 x 21 + 0 xx 20 + 1 x 2-1 + 1 x 2-2 + 1 x 2-3 + 0 x 2-4

= 10.875

Mudança de base

� Da base 10 para a base 2

� N10 = 13.75

13 2

2

2

11

30

61

1101

0.75

0.75 x 2 = 1.500.50 x 2 = 1.000.00 x 2 = 0.00

(13.75)10 = (1101.110)2

09:16

E para outras bases ?

� 12.20 da base 4 para a base 3

6 3

20

20

0.50

0.50 x 3 = 1.500.50 x 3 = 1.500.50 x 3 = 1.50...

(12.20)4 = (6.5)10 = (20.111...)3

(12.20)4 = (1x 41 + 2 x 40 + 2 x 4-1 + 0 x 4-2)10 = (6.5)10

Fim da Aula 1

Alguns exercícios – Mudança de base

Material utilizado

� Notas de aula – Prof. Alysson Machado Costa – ICMC/USP

� Livros Cálculo Numérico