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8/17/2019 Slide06.Resumo

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Aviso

Este v́ıdeo é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina.

O material completo a ser estudado encontra-se no livro texto dadisciplina:

• Fundamentos de Cálculo. SBM, em preparação (ColeçãoPROFMAT).• Geraldo Ávila. Cálculo das funções de uma variável, vol. 1. SãoPaulo: LTC, 2003

Colaborou na elaboração desse v́ıdeo o professor Carlos HumbertoSoares Júnior.

PROFMAT - SBM Fundamentos do Cálculo , O Conceito de Continuidade: definição e exemplos slide 1/19


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Fundamentos do Cálculo

O Conceito de Continuidade: definição eexemplos

Liane Mendes Feitosa Soares

PROFMAT - SBM


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Considerações Iniciais

Exemplo

Considere f , g : R −→ R dadas por f (x ) = {x } (função parte fracionária) e g (x ) = x 2.

Após um rápido exame nos sentiŕıamos confortáveis em dizer que ográfico de f é descont́ınuo , pois existem vários saltos e o gráfico de

g é cont́ınuo pois não existem saltos em seu gráfico.



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Questão:

• Obter um critério razoável para identificar a existência ou não de

tais saltos num gráfico, dicernindo entre duas possibilidades, comoas descritas acima.

Para desenvolvermos alguma intuição, restrinjamos o doḿınio da

função f , x −→ {x }, ao intervalo 34 , 12 e continuaremosdenotando-a por f . Veja que

im f =

0,

1

2

∪

3

4, 1

.Considere os valores extremos f

3

4

e f

3

2

. Observe que dado

y = 516

∈ f ( 34

), f ( 32

)

não existe x ∈ 34

, 32

tal que f (x ) = y .



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No caso da função g , x −→ x 2, fixe [a, b ] ⊂ R. Assim:

g ([a, b ]) = {g (x ) ∈ R; x ∈ [a, b ]}.Considere c = max {−a, b }. Teremos:

g ([a, b ]) =

[a2, b 2], 0 ≤ a


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Definição

Definição

Uma função f : X

−→R possui a propriedade do valor

intermediário se, para todo [a, b ] ⊂ X e todo y 0 ∈ (f (a), f (b )),existir x 0 ∈ [a, b ] tal que f (x 0) = y 0.Vimos nos exemplos iniciais que f não tem a propriedade do valorintermediário e g possui tal propriedade.



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De posse dessas análises podeŕıamos dizer que se uma função

f : X −→ R possui a propriedade do valor intermediário então ográfico é cont́ınuo, ou seja, sem saltos.

Exemplo

Considere f : [0, 2]

−→R dada por:

f (x ) =

x , 0 ≤ x ≤ 1x − 1

2, 1


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Função Cont́ınua

A fim de formularmos adequadamente o conceito de funçãocont́ınua, analisaremos a situação sob outro ponto de vista.

Seja f : (a, b ) −→

R. Tome x 0 ∈

(a, b ) fixado eP 0(x 0, f (x 0)) ∈ G f . Para x ∈ (a, b ) \ {x 0} seja aindaP (x , f (x )) ∈ G f .

Intuitivamente: G f é denominado cont́ınuo se para x próximo de

x 0 tivermos P próximo de P 0.


D fi i ˜


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Definição

No que se segue X ⊂ R denota uma união de intervalos e I ⊂ Rdenota um intervalo.

Definição

Uma função f : X

−→R é cont́ınua em um ponto x 0

∈ X se a

seguinte condição é satisfeita:Dado > 0, existir δ > 0 tal que:

x ∈ X , |x − x 0| < δ =⇒ |f (x ) − f (x 0)| < .

Uma função f é dita cont́ınua se for cont́ınua em todo x 0 ∈ X .


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Exemplos

Exemplo1) A função Id : R −→ R é cont́ınua.

De fato, devemos mostrar que Id é cont́ınua em x 0 ∈ R, para todox 0, isto é: dado > 0, existe δ > 0 tal que:

|x − x 0| < =⇒ |Id (x ) − Id (x 0)| < que é equivalente a:

|x − x 0| < =⇒ |x − x 0| < .Tome δ ∈ (0, ].

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Exemplos

Exemplo

2) As funç˜ oes constantes são cont́ınuas.

A fim de darmos mais exemplos de funções cont́ınuas assumiremos

os seguintes fatos, os quais serão demonstrados posteriormente:Sejam f , g : X −→ R funções cont́ınuas em x 0 ∈ X . São cont́ınuasem x 0: f ± g , f .g : X −→ R.Se g (x 0) = 0 então veremos que existe um intervalo aberto I centrado em x 0 tal que g (x )

= 0,

∀x

∈ X

∩I . Neste caso, a função

f g é cont́ınua em x 0.


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Exemplos

Exemplo

3) Toda função do tipo x

→ a.x k (a

∈R e k

∈N) é cont́ınua. E

também f : R −→ R do tipo f (x ) = anx

n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0, n ∈ N e a0, ..., an ∈ R, é

cont́ınua. Essa função é conhecida como função polinomial.


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Exemplos

Exemplo4) As funç˜ oes racionais são cont́ınuas onde estiverem definidas.

De fato: seja f : R −→ R uma função polinomial. x 0 ∈ R é ráız def se f (x 0) = 0.

Sabemos que o conjunto das ráızes de uma função polinomial éfinito.Sejam f , g : R −→ R funções polinomiais eR g = {x 1

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