PROBLEMAS QUE DEIXAM

A MATEMÁTICA MAIS INTERESSANTE

Prof. Humberto Silveira Gonçalves Filho

Pós Graduando em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática – LANTE - UFF

Problema da Moeda falsa

João possui um conjunto de 09 moedas idênticas. Neste se encontra uma moeda FALSA. Esta moeda falsa possui a característica de ser mais leve.

Para pesar as moedas e descobrir qual delas é falsa a única balança disponível era um modelo de 2 pratos de uma farmácia que cobrava R$1,00 por pesagem. E agora, como é que João pode descobrir a moeda falsa gastando o mínimo possível?

Solução: 

Dividir em três grupos com três moedas e após isso efetuar apenas 2 pesagens. O que corresponde a R$2,00 de gasto para João.

Problema dos soldados em fila

Colocar 10 soldados em 5 filas,

tendo cada fila 4 soldados.

Muitos pensam: Não é possível

resolver este problema!!!

Mas a solução está simplesmente

esboçada a seguir:

Problema das Urnas com etiquetas trocadas

Uma Urna contém apenas bolas BRANCAS e nela possui

uma etiqueta com a letra “B”.

Outra urna de mesmo formato contém somente bolas

PRETAS e nessa urna também possui uma etiqueta, porém

esta etiqueta tem a letra “P”.

Uma terceira urna, idênticas às outras duas possui bolas

BRANCAS E PRETAS, e sua etiqueta está com a letra “M”

(Misturadas).

De brincadeira, uma pessoa, para provocar confusão

trocou as etiquetas das três urnas. Trocou tudo. Não havia

uma que estivesse com a etiqueta certa.

Deste modo, será necessário ter que abrir novamente as

três urnas e verificar, uma por uma, quais as bolas nelas

contidas ou possui um jeito mais simples?

Solução:

É necessário retirar uma bola só! — e o problema das três

urnas estará totalmente resolvido.

Acreditam?

Pegue a urna “M”, onde deveriam estar às bolas misturadas.

Retire uma bola desta urna e está resolvido o problema.

Problema das pontas de cigarro

Um mendigo tem 25 pontas de

cigarro e necessita de 05 para formar um

cigarro inteiro.

Quantos cigarros ele poderá fumar?

Solução:A resposta é 06...

Problema do Cofre com moedas de 01 centavo

Uma pessoa deposita em seu cofre

apenas moedas de 01 centavo. No primeiro

dia ele deposita 01 centavo. No segundo dia

ele deposita 02 centavos. No terceiro dia,

04 centavos, e assim por diante, sempre

dobrado o valor depositado no dia anterior.

Nesta situação, em 01 mês (31 dias),

quantos reais esta pessoa terá em seu

cofre?

 

O que sua intuição diz?

Resolução:

Este problema possui a seguinte sequência:(1, 2, 4, 8, 16 ...).

Esta sequência é uma Progressão Geométrica (PG). 

Queremos saber a soma dos 31 primeiros termos desta sequência. Pela fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG de razão q temos que:

Nesse caso temos:n=31a1=0,01q=2Então:

Problema da soma dos números (1, 2, 3, ... ,

100) resolvido por Gauss.

Johann Carl Friedrich Gauss foi um matemático, astrônomo e físico alemão. Conhecido como o príncipe dos matemáticos, muitos o consideram o maior gênio da história da matemática. Seu QI foi estimado por psicólogos de cognição em cerca de 240.

  

É folclórica a história de como Gauss, ainda um garoto de dez anos, impressionou seu professor da escola primária. O professor, aparentemente, pretendia manter os alunos ocupados por algum tempo e mandou-os somar os números inteiros de 01 até 100.

Mal havia enunciado o problema e o jovem Gauss colocou sua lousa sobre a mesa. O professor, evidentemente, não podia crer que Gauss tivesse a resposta correta, mas para a sua surpresa, lá estava: 5050.

Observe a simples e incrível solução de Gauss.

 Ele notou que a soma de

elementos em posições simétricas é constante:

1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 etc.

Observe a tabela:  

Assim: 

1 2 3 ... 98 99 100+

100+ 99 + 98 ... + 3 + 2 + 1

101 101 101 ... 101 101 101

Problema das bicicletas

Depois de haver comprado duas

bicicletas, uma pessoa resolveu vendê-

las. E o fez por R$ 600,00 cada uma.

Numa das vendas teve um prejuízo de

20% e na outra obteve um lucro de

20%. Sendo assim, ele não ganhou nem

perdeu com a venda.

Correto?Não!!!

Observe a solução: Venda com lucro de 20%

Ganhou 100 reais!!! 

Venda com prejuízo de 20%

Perdeu 150 reais!!!Com essas duas situações conclui-

se que a pessoa teve prejuízo ao fim das duas vendas.

Problemas da Travessia do Rio

Três homens querem atravessar um rio. O barco que possuem suporta no máximo 130 quilogramas. Eles "pesam" 60, 65 e 80 quilogramas. Como devem proceder para atravessar o rio, sem afundar o barco?

Vão os de 60 e 65 kg 

Volta qualquer um deles sozinho e passa o barco para o de 80 kg que

atravessa sozinho. 

Volta o que já estava na outra margem. 

Atravessa agora o de 65 kg e o de 60 kg.

Problema das 3 garrafas

Te dou 3 garrafas, com 800ml, 500ml e 300ml. Apenas a de 800ml está cheia. Peço que me devolva 400ml, o que você faz?

Solução:

Problemas dos Caçadores e suas

ampulhetasDois caçadores estão perdidos numa mata e estão passando fome. E só existe uma planta que podem comer. Mas para comê-la deverá ser fervida durante exatos 30 segundos senão ela os matará.

Mas para marcar o tempo eles só tem 2 ampulhetas, uma que marca 22 e outra de 14 segundos. Como é que eles conseguirão marcar o tempo?

Solução:

Problema das duas cordas

Considere uma corda de 2000 km de comprimento. Esta corda está presa em suas extremidades e completamente esticada. Outra corda possui 2000 km + 2 cm de comprimento. Esta corda possui suas extremidades presas nos mesmos lugares que foram presas as extremidades da primeira corda.

Esta nova corda é esticada para cima (exatamente no ponto médio da outra corda) de modo a formar um triângulo isósceles.

Sendo assim, qual será a altura deste novo triângulo?

Solução:Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:

Desconsiderando

Problema da partilha dos Camelos

Três irmãos haviam recebido uma herança de 35 camelos do pai, sendo a metade para o mais velho, a terça parte para o irmão do meio e a nona parte para o irmão mais moço.

O motivo da discussão era a dificuldade em dividir a herança.

 

Cada irmão receberia uma quantidade de camelos inteiros e mais parte de outro.

 Naturalmente, cortar camelos em

partes para repartir a herança seria destruí-la. Ao mesmo tempo, nenhum irmão queria ceder à fração de camelos ao outro.

 Nessas condições, todos os irmãos

estavam tristes porque não estavam conseguindo solucionar o problema...

 Acompanhe a solução:e...

Problema do desaparecimento de um real

Três amigos foram para um bar para se divertir. Ao final de toda aquela alegria entorno da mesa, um dos rapazes disse ao garçom:

- Quanto gastamos aqui nesta mesa? 

Respondeu o garçom:

- A despesa total foi de trinta reais! 

Com isso, cada um deu dez reais ao garçom.

Momentos depois, o garçom voltou para a mesa com um recado de seu chefe.

O patrão enganou-se. A despesa foi apenas de 25 reais. Ele mandou devolver estes cinco reais!

Daí, um dos amigos decidiu: dos cinco reais, cada um de nós ficaremos com um real e o garçom ficará com o restante (dois reais).

  

Nesta simples história percebe-se um problema. Acompanhe as interpretações a seguir:

1ª Interpretação: 

Cada um dos amigos pagou 10 reais e recebeu um real de volta. Logo, cada um de nós pagou, na verdade, 9 reais. Somos três. É claro que o total pago foi de 27 reais.

 Somando-se esses 27 reais com

os 02 reais dados ao garçom, obtemos 29 reais. Dos 30 que foram entregues ao garçom, só 29 apareceram.

 2ª Interpretação: 

Há um engano no cálculo anterior! A conta não deve ser feita desse modo.

 Dos 30 reais pagos, temos:

 25 ficaram com o dono do bar;03 foram devolvidos;02 dados ao garçom.

Problema de Monty HallO problema de Monty Hall ou paradoxo

de Monty Hall surgiu a partir de um concurso televisivo dos Estados Unidos da América chamado Let’s Make a Deal, exibido na década de 1970.

Num programa de TV de prêmios, o apresentador mostra três portas fechadas ao concorrente. Uma delas esconde um carro. As outras duas escondem cabras. O concorrente escolhe uma porta (que ainda não é aberta). Daí o apresentador, que já sabe qual porta tem o carro, e para fazer suspense, abre outra porta para revelar uma cabra.

Agora o apresentador pergunta se o concorrente quer ficar com a porta original ou trocar pela outra que permaneceu fechada. A pergunta é: vale a pena trocar de porta, continuar com a mesma, ou tanto faz?

  

A princípio a resposta certa parece ser “tanto faz, as chances das portas restantes são iguais”, mas esta resposta está errada. A resposta certa é que vale a pena trocar, pois a “outra” porta, aquela que o concorrente não escolheu, tem agora o dobro de chances de ter o carro.

 

Agradecimentos:

Primeiramente à Deus.

Ao Luiz Sergio, em nome do Pólo CEDERJ, que me convidou para proferir este minicurso.

À minha namorada RAFAELA, que organizou e animou esta apresentação.

À minha Mãe, pelo apoio.