UNIVERSIDADE DO VALE DO ITAJA

ANDR BENEDITO DA COSTA GUSTAVO TEIXEIRA DA SILVA

SISTEMAS ESTRUTURAIS DE FORMA ATIVA

2 ITAJA 2011 ANDR BENEDITO DA COSTA GUSTAVO TEIXEIRA DA SILVA

SISTEMAS ESTRUTURAIS DE FORMA ATIVA

Trabalho acadmico apresentado como requisito parcial para obteno da mdia 3 na disciplina de Teoria das Estruturas I ministrada pelo Dr. MSc. Eng. Andriei Jos Beber na Universidade do Vale do Itaja UNIVALI.

3 ITAJA 2011 INTRODUO Os sistemas estruturais de forma ativa so compostos por arcos ou cabos. a forma estrutural vai coincidir com o fluxo dos esforos, sendo assim o trajeto natural das foras. Nessas condies, a linha natural dos esforos em um sistema de compresso a linha funicular de presso e a do sistema de trao ser a linha funicular de trao. Os cabos so estruturas flexveis, suportadas por extremidades fixas e capazes de suprir um grande vo. A transmisso das cargas at aos apoios ocorre atravs de esforo normal de trao. Em sistemas de cabo de suspenso, a variao da carga ao longo do cabo (exemplo: um peso, dois pesos ou 3 pesos) ou ento das condies de apoio ir afetar a forma da curva funicular, e origina uma nova forma de estrutura. Os arcos so elementos estruturais que sustentam as cargas desenvolvendo apenas tenses de compresso. So empregados materiais rgidos capazes de suportar bem as tenses solicitadas por este tipo de estrutura, tem o comportamento semelhante ao sistema em cabos e inverte o polgono funicular simetricamente em relao ao eixo horizontal. Para ambos os tipos de estruturas, as reaes de empuxo e inversamente proporcional ao tamanho da flecha, quanto menor a flecha maior ser a reao de empuxo nos apoios, e a intensidade do esforo de compresso e diretamente proporcional ao empuxo, ou seja, quanto maior a flecha, menor a solicitao do arco.

4 O CABO O cabo uma barra cujo comprimento to predominante em relao sua seo transversal que se torna flexvel, ou seja, no apresenta rigidez nem compresso nem flexo. (REBELLO, 2003) Logo se pode dizer que o cabo uma opo apenas em situaes em que no necessrio que o mesmo suporte esforos de compresso j que os cabos sofrem com o efeito de flambagem se submetidos a estes esforos. Os cabos costumam ser uma tima opo, pois conseguem vencer grandes vo com pouco consumo de material, fazendo assim com que o custo seja diminudo drasticamente em muitas situaes. Para compreender o mecanismo por meio do qual um cabo sustenta cargas verticais, devemos considerar primeiramente um cabo entre dois pontos fixos, com somente uma carga aplicada em seu ponto mdio. Sob a ao da carga, o cabo adota uma forma simtrica, triangular, e cada apoio recebe metade da carga, por trao simples ao longo de ambas as metades. (SOUTO; SILVA, 2000) Chamaremos de flecha do cabo a altura do tringulo formado. A flecha pode ser calculada a partir da distncia entre a horizontal que passa pelos apoios dos cabos e o seu ponto mais afastado (Fig. 1).

Flecha CargaFigura 1 Flecha em um sistema estrutural pnsil.

medida que mais esforos so atribudos em pontos diferentes deste sistema, o mesmo adota novas formas de equilbrio. Se as cargas forem iguais e igualmente espaadas em relao a horizontal, o cabo apresentar, quando totalmente carregado, a forma de uma parbola de segundo grau. (REBELLO, 2003)

5 Em outras palavras podemos dizer que se tivermos uma carga uniformemente distribuda ao longo do vo, teremos a forma geomtrica de uma parbola. No estudo esttico, assume-se a hiptese que os cabos so perfeitamente flexveis, isto , possuem momento fletor e esforo cortante nulos ao longo do comprimento. Dessa forma, os cabos ficam submetidos apenas a esforos normais de trao. A geometria da configurao deformada do cabo, para um dado carregamento, denominada forma funicular (do latim, funis = corda) do cabo. O momento fletor ao longo do cabo nulo devido sua flexibilidade. importante ressaltar que os cabos no so usados necessariamente no formato descrito acima, j que podem tambm ser utilizados para susteno com o esforo atravs de seu corpo como o caso de estruturas estaiadas. A diferena consiste basicamente no fato de que em estruturas pnseis a carga suportada pendurada no cabo, j em estruturas estaiadas a carga suportada pelo prprio cabo diretamente assim eliminando a flecha (Fig. 2).

CabosFigura 2 Exemplo de ponte estaiada.

REAES DE APOIO PARA CABOS Cabo com duas foras concentradas aplicadas em seu tero mdio L/3 L/3 L/3 A H=Ax

B

H=Bx

Ay

By C

D

Flecha (f)

P

P

6 Embora a figura esteja levemente assimtrica, consideraremos iguais as distncias AC, CD e DB. Como os sistemas estruturais do tipo cabo possuem empuxo horizontal (H), os apoios A e B precisam ser de 2 grau para que a estrutura seja isosttica. Quando falamos em cabos, por se tratar de um sistema estrutural plano, as equaes de equilbrio sero:

Fx = 0;

Fy = 0;

Mz = 0. Relativo ao ponto C

Fx = 0 MA = 0 Fy = 0

Ax Bx = 0, logo Ax = Bc = H; PL/3 + P(2L/3) By.L = 0, logo By = P; Ay + By = 2P, assim sendo Ay = 2P-By = P.

Relativo ao ponto D

Para se calcular o empuxo horizontal faz-se necessrio o uso de uma quarta equao de equilbrio. Adotamos a hiptese do momento fletor nulo (M = 0) para qualquer ponto ao longo do cabo. Escolhendo-se o ponto C: Mc = 0. Corta-se uma seo exatamente no ponto escolhido e trabalha-se com um dos lados. importante cuidar com o lado escolhido, pois h pequenas mudanas nos clculos que podem passar despercebidas induzindo ento ao erro. Neste caso analisaremos a seo olhando para a esquerda (Fig. 3). A L/3 f NCD

H

C Ay= P

P Mc = 0

Figura 3 Anlise da seo observando-se o lado esquerdo.

- H.f + (P.L)/3 = 0, logo H= (P.L)/3f.

7 Pode-se observar que quando menor a flecha f, maior o empuxo H. Vale ressaltar inclusive que se o valor da flecha f se aproximar de zero, o empuxo ter um valor de propores astronmicas para manter o sistema em equilbrio. Podemos fazer uma comparao com os sistemas estruturais j estudados a fim de facilitar o entendimento. A geometria da figura estudada a mesma do grfico do momento fletor em uma barra bi apoiada com dois esforos aplicados equidistantes entre si e o apoio. Assim sendo podemos afirmar que: Mmax = PL/3, logo H= PL/ 3f = Mmax/f. A lgica se aplica tambm para outras condies de carregamento. Para o calculo de esforos normais de trao, seguimos aplicando as equaes de equilbrio. A y P NACy NACx

NAC

Fx = 0 NACx = P L / 3 f; Fy = 0 NACy = P, logo NAC2 = (NACx) 2 + (NACy) 2 ; NAC = [ (P L / 3 f) 2 + P 2 ] Aplica-se o mesmo procedimento para as demais sees. Cabos com fora distribuda uniformemente ao longo do seu comprimento. q

L H=Ax

H=Bx

Ay

By

f

8

Como no diagrama mostrado anteriormente, podemos tratar tambm como um sistema no plano, tendo como equaes de equilbrio: Fx = 0; Fx = 0 MA = 0 Fy = 0 Mf = 0 Fy = 0; Mz = 0.

Ax Bx = 0, logo Ax = Bc = H; -qL.L/2 +By.L = 0, logo By = qL/2; Ay + By = q.L, assim sendo Ay = q.L-q.L/2 = q.L/2. -Ay.L/2 + Ax.f q.L.L/2 = 0 como Ay = q.L/2 temos, -qL/2.L/2 +Ax.f q.L.L/2 = 0 -qL/8 + Ax.f = 0 Ax= q.L/8f = Bx

Cortando o cabo em uma seo genrica de coordenadas (x,y): x q

NACx NACy NAC

Aplicando-se as equaes de equilbrio: Fx 0 NSx = H; Fy = 0 NSy q L / 2 + q x = 0 NSy = q L / 2 - q x, sendo para x = 0, NSy = q L / 2 ; para x = L/2, NSy = 0. Com esta aplicao podemos perceber que onde a flecha mxima no ocorre esforo normal de trao no cabo, variando assim ao longe do comprimento do cabo seguindo a seguinte equao: Para x=0 NS = [ (NSx)2 + (NSy)2 ] ^ Substituindo os valores NS = [ (H)2 + (q L /2)2 ]^ Equao que determina o valor mximo de esforo normal

9 Para x=L/2 NS = [ (NSx)2 + (NSy)2 ] ^ Substituindo os valores NS = [ (H)2 + (0)2 ]^ , Logo NS = H valor mnimo do esforo normal, que seria a prpria reao de apoio. Pode-se comparar essa situao com a de uma viga bi apoaida contendo o mesmo carregamento onde o esforo cortante aumenta medida que vai se aproximando dos apoios e nulo bem no centro da viga. APLICAO Uma passarela, que liga duas edificaes afastadas em 25m, possui 3m de largura e deve suportar uma sobrecarga de 5kN/m alm de seu peso prprio, tambm estimado em 5kN/m. A passarela ser suspensa por dois cabos com flecha de 5m. Determinar as reaes de apoio e a fora normal mxima que tracionar o cabo.

5m

Tendo a nossa ponte dividindo o carregamento para dois cabos, calculamos o peso da metade da ponte para um cabo, usando 1,5m de largura ao invs de 3m, ento para termos o carregamento ao longe dos 25m de cabo basta multiplicar o carregamento

10 por m, no caso 10kN/m(5 peso prprio e 5 sobrecarga), pela largura da ponde que aquele cabo sustenta, 1,5m tendo ento, 15kN/m de carregamento ao longe do cabo, agora basta aplicarmos as equaes obtidas no exemplo de Cabos com fora distribuda uniformemente ao longo do seu comprimento para obtermos os resultados requeridos usando os valores descritos nos exerccios. L= 25m q= 15kN/m f= 5m Reaes no ponto A e B(H) Ax= q.L/8f = Bx Ax e Bx = 15.25/8.5 Ax = Bx = 234,38kN Ay = qL/2 (15.25)/2 = 187,5kN By = qL/2 (15.25)/2 = 187,5kN Esforo normal mximo que tracionar o cabo

Basta aplicar a formula para se obter o esforo normal mximo em Cabos com fora distribuda uniformemente ao longo do seu comprimento esta sendo: NS = [ (H)2 + (q L /2)2 ]^ , substituindo os valores, NS = [ (234,38) + (15.25/2) ]^ , NS = 300,15kN Depois de finalizados os clculos das sees, pode-se perceber que o mximo esforo de trao se dar nos trechos adjacentes aos apoios das extremidades. Est uma caracterstica dos cabos, os esforos normais mximos ocorrem nas sees dos cabos prximas aos vnculos externos, pois aonde a componente vertical do esforo normal Ny, de maior valor. (VALLE, ROVERE, PILLAR et al)

O ARCO Assim como o Cabo, o Arco um sistema estrutural de forma ativa. Sendo assim a transmisso das cargas at os apoios acontece atravs de esforos normais e a

11 estrutura, porm ao contrrio do cabo onde estes esforos geram trao, no arco estes esforos causam compresso. Invertendo-se a forma parablica que toma um cabo sobre o qual atuam cargas uniformemente distribudas, obtm-se a forma ideal de um arco submetido a tenses de compresso. Os arcos so utilizados para cobrir grandes vos, e so utilizados h muitos sculos. A forma ideal de um arco uma curva funicular invertida. Esteticamente a semicircunferncia a forma ideal para resistir a cargas radiais. A forma parablica a mais usada, devido a sua economia e esttica. (SOUTO; SILVA, 2000) Por ser uma soluo simples, os arcos so utilizados h muito tempo. O imprio romano j dominava o uso de arcos, que foram muito utilizados inclusive para a construo dos aquedutos de Roma. Na construo destes arcos eram utilizadas formas para encaixar as peas, uma vez posicionadas as foras se anulavam uma de encontro outra (compresso) mantendo assim a estrutura estvel j que o sistema estava em equilbrio. Assim como nos cabos, existe uma relao ideal entre flecha e vo que nos permite obter o menos volume tendo assim um arco mais leve e econmico. Esta relao dada por: 1/10 < F/L < 1/5 Onde: F= Flecha do arco L= Vo do arco A fora horizontal aplicada no Arco inversamente proporcional flecha, logo se pode afirmar que quanto maior a flecha menor a solicitao no arco. Outra caracterstica interessante do arco que ele pode ter articulaes tanto ao longo da barra quanto em suas extremidades. Existem vrias formas geomtricas em que os Arcos podem se apresentar, e cada uma tem uma peculiaridade que oferece alguma vantagem. Sendo assim a forma a ser escolhida deve ser muito bem avaliada pelo engenheiro a fim de satisfazer as necessidades do sistema estrutural pelo menor custo e maior eficincia. Semi Circular: No aconselhado para grandes vos.

12 Elptico: Pode ter dois ou mais apoios, aconselhado tanto para pequenos como para grandes vos. Parablico: Do ponto de vista estrutural um dos mais adequados j que sua forma a mesma do diagrama de momentos fletores, eliminando assim as tenses de flexo. Hiperblico: De difcil construo, sendo assim no aconselhado. Moorish: Pode ser considerado um arco tridimensional composto por grandes arcos de vrios crculos. Gtico: So arcos em forma de ponta bastante comuns nas catedrais europias. A razo desse arco essencialmente religiosa, pois se acreditava que houvesse algo apontando para Deus. (ANDRIEI) Podemos exemplificar uma situao em arco bi apoiado com a questo abaixo: Considere o arco bi apoiado apresentado abaixo. Demonstre as expresses que conduzem determinao das reaes de apoio e de que forma pode-se garantir que o mesmo funcione como linha de presso.

Fx = 0 Ax e Bx = 0, devido ao ponto b ser um apoio rotulado livre. Fy = 0 Ay + By = P MA = 0 PL/2 + By.L = 0, logo By = P/2; Ay = P/2 Para garantir que esta estrutura funcione como linha de presso, temos que nos certificar que a estrutura recebera somente esforo normal em qualquer parte que for seccionada.

13 Referncias: BEBER, Andriei Jos. Sistemas Estruturais de Forma Ativa. (Material didtico da disciplina de Teoria das Estruturas I, Curso de Engenharia Civil, Universidade do Vale do Itaja). PILLAR, Nora M de P; ROVERE, Henriette Lebre; VALLE, ngela; et al. FORMA ATIVA. Disponvel em < http://www.fec.unicamp.br/~fam/novaes/public_html/iniciacao/sistemas/forma.htm > Acesso em 05/07/2011. (Apostila da disciplina de Anlise Estrutural II, Curso de Engenharia Civil, Universidade Federal de Santa Catarina). REBELLO, Yopanan Conrado Pereira. A concepo estrutural e a arquitetura. 3 ed. So Paulo : Zigurate, 2003. SOUTO, Andr Kraemer; SILVA, Daion Maciel. ESTRUTURAS: Uma abordagem arquitetnica. 2 ed. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 2000.