Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 – Transformadas de Fourier Carlos Cardeira Diapositivos...
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Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 – Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 – Transformadas de FourierTransformadas de FourierCarlos CardeiraCarlos CardeiraDiapositivos para acompanhamento da bibliografia de base Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base ((Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na informação pública disponível em informação pública disponível em http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.htmlhttp://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.html
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Sinais e Transformadas de Sinais e Transformadas de FourierFourier
SinaisContínuos->CTFT (Transformada de SinaisContínuos->CTFT (Transformada de Fourier para tempo contínuo a definir)Fourier para tempo contínuo a definir)
SinaisContínuosPeriodicos -> Série de Fourier SinaisContínuosPeriodicos -> Série de Fourier (que é um sinal discreto)(que é um sinal discreto)
SinaisDiscretos = [Inteiros->Complexos] -> SinaisDiscretos = [Inteiros->Complexos] -> DTFT (tranformada de Fourier para tempo DTFT (tranformada de Fourier para tempo discreto a definir)discreto a definir)
SinaisDiscretosPeriódicos -> Série de Fourier SinaisDiscretosPeriódicos -> Série de Fourier (que é um sinal discreto)(que é um sinal discreto)
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CTFTCTFT
( )
1, ( ) ( )
2
, ( ) ( )
jwt
jwt
x SinaisContínuos tempo C
CTFT x X SinaisContínuos frequência C
t tempo x t X w e dw
w frequências X w x t e dt
O domínio do sinal x(t) é o tempo que se mede em segundosO domíno da CTFT é a frequência que se mede em rad/s
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Sinais periódicosSinais periódicos
0
0
2( ) ( ),
( ) jkw tk
x t p x t wp
x t X e
Já conhecíamos este resultado do desenvolvimento em série de Fourier
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Se o período tender para Se o período tender para infinitoinfinito
0
0
2, 0
( ) ( )jkw t jwtk
p wp
x t X e X w e dw
-2p -p 0 p 2p
-2w0 -w0 0 w0 2w0
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Se p tender para infinito, a Se p tender para infinito, a série de Fourier tende para a série de Fourier tende para a
CTFTCTFT
-2p -p 0 p 2p
-2w0 -w0 0 w0 2w0
-p 0 p
-4w0 -3w0 -2w0 -w0 0 w0 -2w0 -3w0 -4w0
00
2, 0, ( ) ( )jkw t jwt
kp w x t X e X w e dwp
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Se p tender para infinito, a Se p tender para infinito, a série de Fourier tende para a série de Fourier tende para a
CTFTCTFT Na CTFT todas as frequências estão representadas.Na CTFT todas as frequências estão representadas. Os sinais normais terão um espectro da frequência.Os sinais normais terão um espectro da frequência. Se o sinal for aproximadamente uma sinusoide, o Se o sinal for aproximadamente uma sinusoide, o
espectro terá amplitude máxima na frequência da espectro terá amplitude máxima na frequência da sinusoide.sinusoide.
Em torno desta frequência, a amplitude da CTFT cai.Em torno desta frequência, a amplitude da CTFT cai. Se fosse verdadeiramente uma sinousoide pura, a Se fosse verdadeiramente uma sinousoide pura, a
CTFT seria apenas um delta de Dirac nessa CTFT seria apenas um delta de Dirac nessa frequência.frequência.
De um modo geral, o área definida pela CTFT entre De um modo geral, o área definida pela CTFT entre duas frequências está relacionada com a quantidade duas frequências está relacionada com a quantidade de energia do sinal nessa gama de frequências.de energia do sinal nessa gama de frequências.
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Exemplo: CTFT de uma Exemplo: CTFT de uma exponencialexponencial
0
0
0
, ( )
1( ) ( )
2
( ) 2 ( )
jw t
jw tjwt
t tempo x t e
x t X w e dw e
X w w w
w0
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Exemplo: CTFT de um Exemplo: CTFT de um cosenocoseno
0 0
0
0
0 0
, ( ) cos( )
1( ) ( ) cos( )
2 2
( ) ( ) ( )
jw t jw tjwt
t tempo x t w t
e ex t X w e dw w t
X w w w w w
w0-w0
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Exemplo: CTFT de um senoExemplo: CTFT de um seno
0 0
0
0
0 0
, ( ) sin( )
1( ) ( ) sin( )
2 2
( ) ( ) ( )
jw t jw tjwt
t tempo x t w t
e ex t X w e dw w t
j
X w w w w wj
w0-w0
/ j)
/j)
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CTFT de sinais reaisCTFT de sinais reais
Se o sinal é real :Se o sinal é real :
*
*
* *
* *
*
*
*
( ) ( )
1 1( ) ( ) ( )
2 2
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
jwt jwt
jwt j t
j t
jwt jwt
x t x t
x t X w e dw X w e dw w
X w e dw X e d
X e d w
X w e dw X w e dw
X w X w
Já era um resultado conhecido das séries de Fourier
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Mudança de escalaMudança de escala
2
2
2
2
2
( ) (2 )
1 1( ) ( ) 2
2 2
1
2 2
1
2 2
1( )
2 2
jwt jw t
j t
jwt
y t x t
Y w e dw X w e dw w
X e d w
wX e dw
wY W X
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LinearidadeLinearidade
1 2
1 2( ) ( ) ( )
y ax bx
Y w aX w bX w
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Reverse …Reverse …
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
jwt jwt
jwt jut jut
y t x t
y t x t X w e dw Y w e dw
u w
Y w e dw X u e du X u e du
Y w X w
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Delta no domínio do tempoDelta no domínio do tempo
00( ) ( ) ( )
e se ( ) ( )?
( ) ( ) 1
jw t
jwt
x t e X w w w
x t t
X w x t e dt
O delta de Dirac tem todas as frequências. Se pegarmos em todas as sinusoides do mundo (ejwt)e as somarmos, obtemos um delta de Dirac.
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Delta de Dirac como Delta de Dirac como entradaentrada
Como o delta de Dirac representa Como o delta de Dirac representa todas as frequências, quando se todas as frequências, quando se excita um sistema com um delta de excita um sistema com um delta de Dirac obtem-se toda a informação Dirac obtem-se toda a informação sobre o sistema uma vez que o sobre o sistema uma vez que o excitámos com todas as excitámos com todas as frequências.frequências.
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Sinais PeriódicosSinais Periódicos
Relação entre a transformada de Fourier Relação entre a transformada de Fourier e a Série de Fouriere a Série de Fourier
00
0
( ) ( ) 2 ( )
( ) 2
jkw tk k
k k
k
x t X e X w X w kw
X kw X
pt
w0w2w0 3w00-w0
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ExemploExemplo
(1 )
0 0
(1 )
0
0 0( )
1 0
( ) ( )
( ) ( )
1 1
(1 ) 1
t
t jwt t jwt jw t
jw t
tu t
t
y t e u t
Y w e u t e dt e e dt e dt
ejw jw
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ExemploExemplo
( ) ( ) ( )
1( ) ( )
1
tz t y t e u t
Z w Y wjw
Se fizermos “reverse”, não é necessário recalcular a Transformada, basta aplicarmos a regra y(t)=x(-t), Y(w)=X(-w)
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Soma das duas …Soma das duas …
'
'
2
( ) ( ) ( )
1 1 (1 ) (1 )( ) ( ) ( )
1 1 (1 )(1 )
2
1
tz t e y t y t
jw jwZ w Y w Y w
jw jw jw jw
w
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Resposta Impulsiva e Resposta Impulsiva e Resposta em FrequênciaResposta em Frequência
( ) ( ) ?
( ) ( * )( ) ( ) ( )
( )
( )
jwt
jwt
h t H w
y t h x t h s x t s ds
x t e
H w e
( )( ) jw t sh s e ds
A Resposta em Frequência é a A Resposta em Frequência é a Tranformada de Fourier da Tranformada de Fourier da Resposta Impulsiva.Resposta Impulsiva.
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ExemploExemplo
Calcular a resposta impulsiva de
( ) ( ) ( )
sabendo que a resposta em frequência é
1( )
1
Resposta:
1Como já vimos a transformada de Fourier Inversa de ( )
1
é ( ) ( )t
y t y t x t
H wjw
H wjw
h t e u t
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ExemploExemplo
Calcular a resposta impulsiva de
( ) 3 ( ) 2 ( ) ( )y t y t y t x t
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Calculando a RFCalculando a RF
2
Resposta:
( ) ?
( )( ) jwt
H w
H w jw e
3 ( ) jwtH w jw e 2 ( ) jwtH w e jwte
2
1 1( )
( ) 3 2 (2 )(1 )H w
jw jw jw jw
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Factorizando …Factorizando …
(um polinómio do 2º grau pode sempre ser factorizado
em dois termos (ver apêndice B)).
1( )
2 1 (2 )(1 )
(1 ) (2 ) 1 2 1
2 1 0 1; 1
1 1( )
1 2
A BH w
jw jw jw jw
A jw B jw A Ajw B Bjw
A B A B A B B A
H wjw jw
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TF inversa …TF inversa …
2
Como já vimos a transformada de Fourier Inversa de
1 1( )
1 2
é
( ) ( )t t
H wjw jw
h t e e u t
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NotaNota
Quando se resolvem equações Quando se resolvem equações diferenciais sabemos que somos diferenciais sabemos que somos conduzidos a uma resposta livre, a conduzidos a uma resposta livre, a uma resposta forçada, etc.uma resposta forçada, etc.
Este método permite resolver Este método permite resolver qualquer equação diferencial desde qualquer equação diferencial desde que se saibam factorizar que se saibam factorizar polinómios, decompor em fracções polinómios, decompor em fracções parciais e fazer a convoluçãoparciais e fazer a convolução
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Mais simetriaMais simetria
1( ) ( ) 2 ( ) ( )
2
Mudanças de variável:
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
2 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2 ( )
jwt jwt
jsu jsw
jwt
x t X w e dw x t X w e dw
x u X s e ds x w X s e ds
x w X t e dt
x t X w X t x w
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ExemplosExemplos
-a a
/ax(t)
X(w)=?
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ExemploExemplo
( ) ( ) ( )
1 1 2 2sin( )
2
a ajwt jwt jwt
a a
a
jwa jwaajwt jwa jwa
a
X w x t e dt x t e dt e dta
e ee e e aw
a jw a jw aw j aw
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ExemploExemplo
sin( )( ) 2
awX w
aw
2
waw= w= /a
aw= 2w= 2/a
aw= -w= -/a
aw= -2w= 2/a
w= 0
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ExemploExemplo
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2
0
2
4
6
8
>> a=10;>> w=-pi:pi/1000:pi;>> X=2*pi/a./w.*(sin(a*w));Warning: Divide by zero.>> plot (w,X)
sin( )( ) 2 2 sinc
sin( )Nota: sinc( )
aw aX w w
aw
xx
x
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Função sincFunção sinc
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2
0
2
4
6
8
>> %% a função sinc(x) retorna (sin(pi*x))/pi*x pelo que o mesmo gráfico pode ser obtido por:>>>> plot (w,2*pi*sinc(a/pi*w))
sin( )( ) 2 2 sinc
sin( )Nota: sinc( )
aw aX w w
aw
xx
x
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AnalogamenteAnalogamente
-a a
/ax(t)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2
0
2
4
6
8
X(w)
Se considerarmos que um sistema tem como resposta impulsiva X(t) então a sua resposta em frequência seriax(w) (a menos uma simetria e um factor 2pi), pelo que um filtro passa-baixo ideal é não causal (em tempo real É impossível realizar um filtro passa-baixo ideal (sobre os dados de um ficheiro já seria possível)
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Aproximação usando DelayAproximação usando Delay
-a a
/ax(w) X(w)
Se considerarmos atrasarmos o sinal em 3pi/4, e truncarmos o valor da resposta impulsiva para t<0, obtemos uma aproximação melhor.Mas há casos em que não se pode fazer um delay, por exemplo, sempreque há feedback.
-1 0 1 2 3 4 5 6-2
0
2
4
6
8
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ExemploExemplo
1 3
( )1 1 2
jwH w
jw jw
Qual a amplitude e fase ?
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Amplitude e faseAmplitude e fase
2
2 2
1 3( )
1 1 2
1 9( )
1 1 4( ) (3 ) ( ) (2 )
jwH w
jw jw
wH w
w wH w arctg w arctg w arctg w
0 2 4 6 8 10 12 14 160
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16-1.5
-1
-0.5
0
![Page 38: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 – Transformadas de Fourier Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and.](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022062512/552fc130497959413d8d4ec1/html5/thumbnails/38.jpg)
Qual a equação diferencial Qual a equação diferencial que descreve o sistema ?que descreve o sistema ?
2
1 3 1 3( )
1 1 2 1 3 2
2 ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( )
jw jwH w
jw jw jw w
y t y t y t x t x t
![Page 39: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 – Transformadas de Fourier Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and.](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022062512/552fc130497959413d8d4ec1/html5/thumbnails/39.jpg)
E a resposta impulsiva ?E a resposta impulsiva ?
2
1 3( )
1 1 2 1 1 2
1 2 1 1 3
2 1 3
1 1
2 3 2 1 3 2; 1
1( )
1( ) 2 ( )
2
tt
jw A BH w
jw jw jw jw
A jw B jw jw
A B A B jw jw
A B B A
A B A A A B
wcomo x at X
a a
h t e e u t
![Page 40: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 – Transformadas de Fourier Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and.](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022062512/552fc130497959413d8d4ec1/html5/thumbnails/40.jpg)
E a resposta a um degrau ?E a resposta a um degrau ?
2
0
1 0( )
0 0
1( ) 2 ( )
2
( ) ( ) ( ) ( )
tt
t
tx t
t
h t e e u t
y t h s x t s ds h s ds
Como era de esperar uma vez que o degraucorresponde ao integral de um impulso. Aplicando o integral da entrada obtemos o integral da saída, umavez que o sistema é linear.
![Page 41: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 – Transformadas de Fourier Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and.](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022062512/552fc130497959413d8d4ec1/html5/thumbnails/41.jpg)
Exemplo simetriaExemplo simetria
Cálculo de Cálculo de integrais que não integrais que não se saberia calcularse saberia calcular
( ) ( )
1( )
1
1( )
1
( ) 2 ( )
12 ( )
1
t
w
jwt w
x t e u t
X wjw
se
x tjt
X w e u w
e dt e u wjt
![Page 42: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 – Transformadas de Fourier Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and.](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022062512/552fc130497959413d8d4ec1/html5/thumbnails/42.jpg)
Mais exemplos de simetriaMais exemplos de simetria
Produto de sinaisProduto de sinais
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( )
x y t X w Y w
x t y t X Y w
![Page 43: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 – Transformadas de Fourier Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and.](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022062512/552fc130497959413d8d4ec1/html5/thumbnails/43.jpg)
DTFTDTFT
2
2
2
0
: SinaisDiscretos SinaisContínuosPeriódicos
: SinaisContínuosPeriódicos SinaisDiscretos
( ) ( )
R, ( ) ( )
1, ( ) ( )
2
jwn
jwn
DTFT
InvDTFT
n x n w X w
w X w x n e
t N x n X w e dw
![Page 44: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 – Transformadas de Fourier Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and.](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022062512/552fc130497959413d8d4ec1/html5/thumbnails/44.jpg)
ExemploExemplo
43
0
1( ) ( )
1
jwjwn jwn
jwn n
eX w x n e e
e
0
1x(n)
![Page 45: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 – Transformadas de Fourier Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and.](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022062512/552fc130497959413d8d4ec1/html5/thumbnails/45.jpg)
MóduloMódulo
81( )
1
jw
jw
eX w
e
0
1x(n)
-6 -4 -2 0 2 4 60
2
4
6
w
|X(w
)|
A DTFT tem periodicidade 2pi
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DTFT e Série de FourierDTFT e Série de Fourier
0
0
( 2 )
( ) ( )
( 2 ) ( ) ( )
A DTFT é portanto periódica. Se é periódica
pode ser representada por uma série de Fourier:
( )
( )
jwn
n
j w n
n
jkw tk
k
jkw w jkwk k
k k
X w x n e
X w x n e X w
x t X e
X w e e
( )
Por isso, se calcularmos os coeficientes da série
de Fourier da DTFT e recuperarmos esse sinal
pela serie de Fourier obtemos o sinal que deu origem
à DTFT a menos de uma inversão no tempo.
k x k
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DFTDFT
0
0
2
2
1'
0
1'
0
: SinaisDiscretosPeriódicos SinaisDiscretosPeriódicos
: SinaisDiscretosPeriódicos SinaisDiscretos
, ( )
1, ( )
pjnw k
nk
pjkw n
kk
DFT
InvDFT
n X x k e
n x n X ep
![Page 48: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 – Transformadas de Fourier Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and.](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022062512/552fc130497959413d8d4ec1/html5/thumbnails/48.jpg)
ExemploExemplo
43
0
1( ) ( )
1
jwjwn jwn
jwn n
eX w x n e e
e
0
1x(n) periódico8
p
![Page 49: Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 – Transformadas de Fourier Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and.](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022062512/552fc130497959413d8d4ec1/html5/thumbnails/49.jpg)