Sistemas Dinâmicos Não-Lineares aplicados ao Design Sonoro Bolsista: Marcelo A. Hoffmann (IC do...
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Sistemas Dinâmicos Não-Lineares aplicados ao Design Sonoro
Bolsista: Marcelo A. Hoffmann (IC do período de Agosto de 2004 à Julho de 2005 (SAE/Unicamp))Orientador: Jonatas Manzolli (NICS)
Premissas do método FracWaveNa metodologia do Caos visualiza-se um espaço abstrato (espaço-fase). As coordenadas são os graus de liberdade do sistema.Cada ponto no espaço-fase representa um estado do sistema dinâmico em um certo momento do tempo. Um mapa não-linear, no caso discreto, gera órbitas, simples pontos limitados por ciclos, osciladores simples ou caóticos no espaço-fase. Essas estruturas são chamadas atratores, limites assintóticos da solução do sistema com aproximação de tempo infinita
Mapas NLD’s utilizadosUtiliza-se os dois sistemas dinâmicos não-lineares (NLD) abaixo:
MAPA NLD 1:
X(k+1) = Y(k) - sin(abs(B*X(k)-C))) Y(k+1) = A - X(k)
MAPA NLD 2:
X(k+1) = Y(k) – sign(X(k))*((abs(B-C*X(k)))^0.5)Y(k+1) = A - X(k)
Primeiro teste: mapa 2A = -1.4B = -3.9C = 1.410.000 iterações no mapa 24096 pontos interpolados no mapa, ou seja, DW de 4096 pontos.Frequência de 440HzDuração de 0,5 segundos, ganho igual a 0,5
Análises de um sinal periódicoPara um som de 440Hz (tendo uma DW de 4096 pontos) devemos ter então um vetor de leitura (indice) dos pontos interpolados, que armazena um ponto a cada 41 pontos do mapa. Ver a relação a baixo:
indice = (compvetor * fsom) / Fs Tendo, por exemplo, 44100 pontos e uma Fs (freq. Amostragem) igual
a 44,1kHz, teríamos que o vetor de leitura no buffer armazenaria 1 ponto a cada 440 pontos presentes no mapa.
Em um sinal periódico a informação seria irrelevante, porém, em um sinal não-linear, poderíamos perder informações ao ter um vetor de leitura
Mapa Espaço-fase
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
x(k)
y(k)
Espaço-fase, mapa NLD
Dynamic WaveTable (DW)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Numero de iteraçoes
Com
porta
men
to d
o N
LD
Dynamic Wavetable, Comportamento da funçao x(k) em funçao do numero de iteraçoes apos interpolaçao
EspectroGramaprimeiroteste.wav
Segundo teste: mapa 1A= -2,6541B= 3,5412 C= -2,4561625 iterações no mapa 11024 amostras na DW Freqüência de 267 Hz, (indice = 6)Duração de 0,5 segundos, ganho igual a 0,5
Mapa Espaço-fase
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
x(k)
y(k)
Espaço-fase, mapa NLD
Dynamic WaveTable
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Numero de iteraçoes
Com
porta
men
to d
o N
LDDynamic Wavetable, Comportamento da funçao x(k) em funçao do numero de iteraçoes apos interpolaçao
EspectrogramaSegundoteste.wav
Terceiro teste : Amostra diretamente do mapa 1
Agora faz-se um teste diretamente do mapa, considerando agora uma região com forte atrator.O comportamento tende a ser periódico, já que na determinada região o mapa espaço-fase é regular.Circunferências caracterizam sons que provavelmente venham a ser periódicos. Nesse teste, não foi controlada a frequência do somVerificar a distribuição de energia no sonograma (espectrograma)
Parâmetros iniciaisA = 2,84885714285714B = -0,401857142857143C = 4,27142857142857500 iterações no mapa512 pontos interpolados na DWDuração de 0,5 segundos e ganho igual a 0,5
Mapa Espaço-fase
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x(k)
y(k)
Espaço-fase, mapa NLD
Dynamic WaveTable
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Numero de iteraçoes
Com
porta
men
to d
o N
LD
Dynamic Wavetable, Comportamento da funçao x(k) em funçao do numero de iteraçoes apos interpolaçao
Espectrogramaterceiroteste.wav
Novos testes, A = -2,6541, B = 3,5412, C = -2,456 e 1625 iterações
quartoteste.wav Sintetizado através do mapa 1, s/ controle de frequência, 2048 iterações
quintoteste.wav Sintetizado através do mapa 1, s/ controle de frequência, 4096 iterações
sextoteste.wav Sintetizado através do mapa 1, s/ controle de frequência, 8192 iterações