UNOCHAPEC CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 2012/1 DOCENTE: GRAZIELLI VASSOLER DISCIPLINA DE CLCULO NUMRICO

SISTEMAS DE EQUAES LINEARES Estudaremos mtodos diretos e mtodos iterativos para resoluo de sistemas lineares. Mtodos Diretos

J foram estudados no Ensino Fundamental e Mdio, como por exemplo, a regra de Cramer. Os mtodos diretos que estudaremos so bem mais eficientes e so teis para resolver problemas de grande porte. Mtodo de Eliminao de Gauss Consistem em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular superior, pois estes so de resoluo imediata. Descrio do Mtodo de Eliminao de Gauss Supondo 0)det( A , a eliminao efetuada por colunas e chamaremos de etapa k do processo a fase em que se elimina a varivel kx das equaes nkk ,...,2,1 ++

=)(k

ija coeficiente da linha i e da coluna j; =)(k

ib i-simo elemento do vetor constante Etapa 1:

)0(11

)0(1

1a

am ii = so os multiplicadores e )0(11a denominado piv da etapa 1

Ao final desta etapa os elementos da primeira coluna abaixo do piv estaro zerados Etapa 2:

)1(22

)1(2

2a

am ii = so os multiplicadores e

)1(22a denominado piv da etapa 2

Ao final desta etapa os elementos da primeira e segunda colunas abaixo dos pivs

estaro zerados Exemplo 1: Utilize o mtodo de Eliminao de Gauss para resolver o sistema

=+

=++

=++

323422

1423

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Estratgias de Pivoteamento

Vimos que o algoritmo para o mtodo da Eliminao de Gauss requer o clculo dos multiplicadores em cada etapa k do processo. O que acontece se o piv for nulo? E se o piv estiver prximo de zero?

Trabalhar com o piv nulo impossvel e trabalhar com piv prximo de zero pode conduzir a resultados totalmente imprecisos, por estes motivos preciso se adotar uma estratgia de pivoteamento.

Estratgia de Pivoteamento Parcial: Consiste em na primeira etapa escolher para piv o maior dos elementos em mdulo que esto na primeira coluna; Na etapa 2 escolher o maior dos elementos em mdulo que esto na segunda coluna e que ainda participam da eliminao.

Estratgia de Pivoteamento Completo: Consiste em escolher o maior de todos os elementos em mdulo, que ainda participam do processo de eliminao. CUIDADO: Nesta estratgia possvel trocar colunas, porm preciso entender o que acontece quando h esta

troca de coluna com as variveis nxxx ,...,, 21

Fatorao LU Consiste em decompor a matriz A dos coeficientes em um produto de dois ou mais fatores e, em seguida, resolver uma seqncia de sistemas lineares que nos conduzir soluo do sistema linear original. um dos processos mais empregados, a matriz L triangular inferior com diagonal unitria e a matriz U triangular superior.

LUa

aa

aaa

mm

mA =

=

)2(33

)2(23

)2(22

)2(13

)2(12

)2(11

3231

21

000

101001

A resoluo de um sistema linear bAx = atravs da fatorao LU consiste em resolver dois sistemas lineares triangulares.

bLyi =) yUxii =)

Exemplo 2: Utilize a fatorao LU para resolver o sistema

=+

=++

=++

323422

1423

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Lista de Exerccios Sistemas de Equaes 1. Resolver os sistemas abaixo pelo mtodo de eliminao de Gauss a)

=+

=+

=+

=+++

3,1065,212,130,810,218,800,115,230,843,52

7,491,455,118,85,244,160,113,90,37,8

wzyxwzyx

wzyxwzyx

S=(0,97 1,98 -0.97 1,00)

b)

=+

=+++

=++

=++

30,1225420,10

60,6490,632

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

S=(0,9 2,1 3,0 4,2)

c)

=+++

=+++

=+++

=+++

52346223732210432

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

S=(0 1 0 2)

d)

=+++

=+++

=+++

=+++

72,2026490,14252

02,126512,742

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

S=(1,2 2,12 1,5 0,2)

2. Resolver, pelo mtodo de pivotao parcial.

=+

=++

=+

2784,112121,15122,24598,35263,69878,02500,10831,56728,62345,14567,20234,1

321

321

321

xxx

xxx

xxx

S=(1,84087 -2,07195 -0,24405)

3. Resolver pelo mtodo iterativo de Gauss-Jabobi com no mximo 10 iteraes:

x(0)=[0 0 0 0] e 210