SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS - UEPA

44
El número maldito

Transcript of SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS - UEPA

Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação Curso de Licenciatura Plena em Matemática Núcleo de Paragominas - Campus VI

Gilson Valle Moreira Marcelo Guedes Lima

Sistemas de Amortização de Empréstimos

Paragominas 2013

Gilson Valle Moreira Marcelo Guedes Lima

Sistemas de Amortização de Empréstimos

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade do Estado do Pará. Orientador: Prof. Pablo Alves Gatinho.

Paragominas 2013

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação

Biblioteca do Campus da UEPA de Paragominas - PA

LIMA, Marcelo Guedes. MOREIRA, Gilson Valle.

Sistemas de Amortização de Empréstimos. Marcelo Guedes

Lima e Gilson Valle Moreira – Paragominas, 2013. Orientador: Prof. Pablo Alves Gatinho.

97f.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação Licenciatura Plena em Matemática.) – Universidade do Estado do Pará, Paragominas, 2013.

1. Estudos Preliminares. 2. Os Principais Conceitos dos Regimes de Capitalização. 3. Sistemas de Amortização. 4. O Efeito da Capitalização de Juros nos Sistemas de Amortização.

CDD: 531

Gilson Valle Moreira Marcelo Guedes Lima

Sistemas de Amortização de Empréstimos

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade do Estado do Pará. Orientador: Prof. Pablo Alves Gatinho. .

Data de aprovação: 07/02/2013

Banca Examinadora

___________________________________________ - Orientador

Prof. Esp. Pablo Alves Gatinho. Universidade do Estado do Pará.

___________________________________________ - Examinador

Prof. Esp. Iran Abib Valente da Silva Universidade do Estado do Pará.

___________________________________________ - Examinador

Prof. Marcio Farias de Moura Universidade do Estado do Pará.

"Sempre me pareceu estranho que

todos aqueles que estudam seriamente

esta ciência acabam tomados de uma

espécie de paixão pela mesma. Em

verdade, o que proporciona o máximo

de prazer não é o conhecimento e sim

a aprendizagem, não é a posse, mas a

aquisição, não é a presença, mas o ato

de atingir a meta."

Carl Friedrich Gauss

AGRADECIMENTOS

Ao Pai Celestial, por facultar luz em momentos de dúvida, coragem para

enfrentar os obstáculos e pelas pessoas colocadas em meu caminho, apoio

indispensável para concretizar esta conquista.

Aos membros da Banca Examinadora, a crítica e o respaldo acadêmico-

científico.

Ao Meu orientador Prof. Pablo Alves Gatinho, que desempenhou tão

importante papel como peça fundamental da construção até a finalização deste

trabalho, contribuindo decisivamente no enriquecimento deste conteúdo.

A Universidade do Estado do Pará juntamente com o coordenador e

assessora pedagógica do Campus da UEPA em Paragominas, Prof. Samuel

Campos e Prof. Rosi Gatinho, sempre atentos e presentes em nossos pleitos junto à

instituição.

A minha esposa Danila, cujo afeto, dedicação e incentivo tornaram

possível a realização desta graduação. Aos meus filhos Gilson Jr., Talitha e Davi,

dádivas divinas.

A todos os professores que dedicaram seu tempo compartilhando seus

conhecimentos para que esta formação acadêmica também fosse um aprendizado

de vida, especialmente: Pablo Gatinho, Iran Abib, Sandra Neves e Weber Motta.

As amizades oriundas do decurso desta academia. Em particular, Iales

Oliveira, Roque Lira, Marcelo Guedes e Victor Matheus, dentre outros, que não

pouparam esforços para que este objetivo se concretizasse.

Aos colegas de turma, o convívio e o ambiente de diversidade intelectual

e filosófica no decorrer deste curso.

Gilson Valle Moreira

“Ninguém ignora tudo. Ninguém sabe

tudo. Todos nós sabemos alguma

coisa. Todos nós ignoramos alguma

coisa. Por isso aprendemos sempre.”

Paulo Freire

AGRADECIMENTOS

A Deus, por ter me dado a oportunidade de ter chego até aqui neste

momento, e continuar caminhando com minhas próprias pernas.

Aos meus pais pelo amor, carinho, compreensão, respeito e confiança em

mim creditados.

A minha esposa Maria Aparecida, por ter me compreendido e me aturado

durante todos os nossos dias que já passamos juntos.

Ao meu orientador Prof. Pablo Gatinho pela paciência e incentivo, sempre

transmitindo conhecimentos valiosos e dando apoio e motivação que tornaram

possível a conclusão desta monografia.

A todos os professores com os quais tive a oportunidade e o prazer de

aprender e que contribuíram, decisivamente, para a minha formação acadêmica.

Aos colegas de graduação por terem colaborado todos os dias, e de todas

as formas, para a conclusão de nossos trabalhos.

Pelas risadas, discussões, conselhos, enfim, pelos diversos momentos

vividos e pelo importantíssimo elo de amizade formado durante toda minha

Graduação.

Aos meus amigos Alexandre Dinis, Romário, Gilson e muitos mais aqui não

citados, por me ajudarem a esclarecer dúvidas surgidas durante a concretização do

presente trabalho.

A todos que, de alguma forma, contribuíram para a realização desta

monografia, Fico muito grato a todos.

Marcelo Guedes Lima

RESUMO

LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos. 2013. 97f. Trabalho de Conclusão de Curso – Universidade do

Estado do Pará, Paragominas, 2013.

O seguinte trabalho apresenta os principais conceitos de matemática financeira,

desde a introdução da utilização dos juros pelos povos antigos até a elucidação

quanto a forma de capitalização de juros nas séries uniformes de pagamento.

Abordando assim conceitos básicos desta área da matemática, como juros, capital e

tempo. Conduzindo-nos a conhecer melhor a metodologia aplicada na composição

dos principais sistemas de amortização utilizados pelas instituições financeiras, que,

dentre outros, destacamos a Tabela Price, Sistema de Amortização Constante,

Sistema de Amortização Crescente, Sistema de Amortização Misto e Sistema de

Amortização Americano. Qual é o sistema de amortização mais viável para um

financiamento a médio ou logo prazo como o financiamento imobiliário.

Demonstrando através dos algoritmos e tabelas utilizadas para formação dos

sistemas de amortização, além de fornecer subsídios para a escolha do sistema

mais apropriado às possibilidades e necessidades de cada um.

Palavras-chave: Juros, Prestação, Amortização, Capitalização e Saldo devedor.

ABSTRACT

LIMA, Marcelo Guedes; SMITH, Gilson Valle. Systems Repayment of Loans. 2013. 97f. Working End of Course - University of Pará, Paragominas, 2013.

The following paper presents the key concepts of financial mathematics, since the

introduction of the use of interest by ancient people as to elucidate the form of

interest capitalization in uniform series of payments. Addressing this area so basic

concepts of mathematics, such as interest, capital and time. Leading us to better

understand the methodology applied in the composition of the principal amortization

systems used by financial institutions, which, among others, highlight the Price Table,

Constant Amortization System, System Increasing Amortization, Amortization System

Joint American and Amortization System . What is the depreciation system more

viable for funding in the medium term or as soon as the mortgage. Demonstrating

through algorithms and tables used for training systems amortization, and provides

subsidies for choosing the most appropriate system to the needs and possibilities of

each.

Keywords: Interest payment, amortization, capitalization and Balance Due.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Tábua Babilônica Plimpton. 22

Figura 2 - Página do Livro Aritmética de Treviso. 23

Figura 3 - Tabela do livro Observations on Reversionary Paiments. 28

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 – Comparativo da evolução de um capital de R$ 20.000,00 aplicado a

uma taxa de 12% a. a. por um período de 2 anos entre diferentes

intervalos de capitalização. 49

Gráfico 2 – Comparativo do capital de R$ 1.000,00 aplicado durante 120 meses

a uma taxa de 2,5% a.m nos sistemas composto (exponencial) e

simples (linear). 55

Gráfico 3 – Cálculo da prestação no sistema PRICE através de um empréstimo

de R$ 50.000,00 durante 240 meses a uma taxa de 1,2% a.m. 79

Gráfico 4 – Cálculo da prestação no sistema PRICE através de um empréstimo

de R$ 50.000,00 durante 240 meses a uma taxa de 1,2% a.m. 81

Gráfico 5 – Cálculo da prestação no sistema SACRE através de um empréstimo

de R$ 50.000,00 durante 240 meses a uma taxa de 1,2% a.m. 83

Gráfico 6 – Comparação quanto ao somatório de juros pagos entre os sistemas

de amortização PRICE / SAC e SACRE ao longo de 240 meses sob

um capital de R$ 50.000,00 a uma taxa mensal de 1,2%. 84

Gráfico 7 – Comparação em relação a evolução das quotas de amortização

entre os sistemas de amortização PRICE / SAC e SACRE ao longo de

240 meses sob um capital de R$ 50.000,00 a uma taxa mensal de

1,2%. 85

Gráfico 8 – Comparação em relação a evolução das prestações entre os

sistemas de amortização PRICE / SAC e SACRE ao longo de 240

meses sob um capital de R$ 50.000,00 a uma taxa mensal de 1,2%. 86

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Linha do Tempo na Matemática Financeira. 32

Tabela 2 – Tabela (exemplo capitalização contínua). 48

Tabela 3 – Exemplo simplificado de série de pagamentos. 63

Tabela 4 – Exemplo de financiamento pelo modelo tabela PRICE. 65

Tabela 5 – Exemplo de financiamento através do sistema SAC. 68

Tabela 6 – Exemplo de financiamento através do modelo SAM. 70

Tabela 7 – Exemplo de financiamento através do sistema SACRE. 73

Tabela 8 – Exemplo de financiamento através do sistema SAM. 75

Tabela 9 – Planilha de amortização através do sistema PRICE. 78

Tabela 10 – Planilha de amortização através do sistema SAC. 80

Tabela 11 – Planilha de amortização através do sistema SACRE. 82

Tabela 12 – Resumo dos sistemas de amortização. 90

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 15

1.1 OBJETIVO GERAL ......................................................................................... 16

1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS............................................................................ 16

2 CAPÍTULO I - ESTUDOS PRELIMINARES ....................................................... 18

2.1 A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ...................................... 19

2.2 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA .............................................. 21

2.3 A ORIGEM DA COBRANÇA DE JUROS ........................................................ 34

2.4 A ORIGEM DA MOEDA................................................................................... 36

2.5 A ORIGEM DOS BANCOS .............................................................................. 39

3 CAPÍTULO II – PRINCIPAIS CONCEITOS DOS REGIMES DE

CAPITALIZAÇÃO .................................................................................................. 43

3.1 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS .............................................. 43

3.1.1 Capitalização contínua ............................................................................... 45

3.1.2 Capitalização descontínua ......................................................................... 49

3.1.2.1 Capitalização Simples ou método de Gauss ......................................... 50

3.1.2.2 Capitalização composta .......................................................................... 52

4 CAPÍTULO III – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO .............................................. 56

4.1 FLUXOS DE CAIXA ........................................................................................ 57

4.1.1 Série de pagamento postecipado - modelo padrão (básico) ................... 58

4.1.2 Série de pagamento antecipado ................................................................ 60

4.2 CARACTERÍSTISCAS COMUNS DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ...... 62

4.3 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – TABELA PRICE ....................... 64

4.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC ..................................... 66

4.5 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO – SAM ............................................... 68

4.6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE – SACRE ................................ 70

4.7 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO – SAA .................................... 74

5 CAPÍTULO IV – O EFEITO DAS CAPITALIZAÇÕES DOS JUROS NOS

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO. .......................................................................... 76

5.1 O COMPORTAMENTO DOS JUROS, AMORTIZAÇÃO E SALDO DEVEDOR

NA TABELA PRICE SAC E SACRE ..................................................................... 77

5.1.1 Tabela Price ................................................................................................ 77

5.1.2 SAC – Sistema de Amortização Constante .............................................. 79

5.1.3 SACRE – Sistema de Amortização Crescente. ....................................... 81

5.2 CONSIDERAÇÕES ADICIONAIS ACERCA DOS SISTEMAS PRICE, SAC E

SACRE .................................................................................................................. 84

5.2.1 Quota de juros ............................................................................................. 84

5.2.2 Quota de amortização ................................................................................. 85

5.2.1 Evolução do valor da prestação ................................................................ 86

5.3 CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE OS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

ESTUDADOS......................................................................................................... 87

5.4 CONCLUSÕES FUNDAMENTAIS DO COTEJO ENTRE OS SISTEMAS DE

AMORTIZAÇÃO .................................................................................................... 87

6 CONCLUSÃO ..................................................................................................... 91

REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 93

15 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

1 INTRODUÇÃO

Em todas as economias de mercado, os fatores relacionados à produção

industrial, acesso a moradia, bens de consumo e a atividade comercial estão ligados

diretamente à oferta de crédito. O crédito é a mola propulsora através do qual o

consumo imediato é viabilizado em pagamentos diluídos através do tempo.

A concessão do crédito possibilita tornar efetiva uma demanda por um

bem de valor elevado em detrimento do comprometimento de parte da renda futura

do tomador por um longo período. À medida que a renda diminui, torna-se ainda

maior a necessidade e a dependência pelo crédito para aquisição de bens móveis e

imóveis. O crédito determina o nível da demanda imobiliária, principalmente nas

famílias com baixa renda.

Na análise pela demanda do crédito, alem do valor do bem que se

pretende adquirir, é importante ser observar as condições em que o crédito é

oferecido – taxa de juros, prazo e, fundamentalmente, sistema de amortização, que

resultará no pagamento periódico a ser assumido pelo tomador.

Verifica-se que em muitos casos o proponente a um financiamento para

aquisição de um imóvel ou outro bem de consumo, nem sempre possui ou tem

acesso a informações imprescindíveis à tomada de decisão quanto à incidência da

taxa de juros, assim como o prazo que mais se adéqua às suas possibilidades.

Será melhor optar por uma série com taxas PÓS-fixadas, que na

conjuntura econômica atual, com indexadores de juros em declínio, SAC - Sistema

de Amortização Constante no financiamento; ou por uma taxa PRÉ-fixada, com

maior valor nominal, que, todavia não é afetado pelos indexadores monetários

contratuais nem por eventuais agitações do cenário macroeconômico?

E quanto ao prazo, qual será a melhor opção, levando sempre em

consideração a capacidade crédito e de pagamento pelo tomador?

Todos estes questionamentos devem ser ponderados antes de se efetivar

um contrato de empréstimo, para não correr o risco de provocar o desequilíbrio

16 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

financeiro, tanto pelo ponto de vista do tomador, gerando insolvência durante a

evolução do contrato; como pela ótica do financiador que terá o seu fluxo de caixa

comprometido a médio e longo prazo provocando conforme a concepção de Ferreira

Neto (2012, p. 8) spread1 no sistema bancário:

Nos empréstimos e/ou financiamentos, a taxa de juros resulta da soma da taxa de captação – remuneração oferecida ao poupador – ao spread cobrado pelo agente financeiro (27,5%) para intermediar a operação. (...) Assim o spread brasileiro em relação a outros países, elevando enormemente o custo do crédito. Para efeito comparativo, estudos apontam o país emergente com mais alto spread seguido do Brasil, que corresponde a apenas 5%.

1.1 OBJETIVO GERAL

Analisar os modelos e métodos matemáticos utilizados nos sistemas de

amortização que geralmente são utilizados pelo mercado financeiro, contribuindo

para a educação financeira e proporcionando subsídios na tomada de decisão

daqueles recorrem ao crédito junto às instituições financeiras.

1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

- Analisar o desenvolvimento da matemática financeira e da origem da

cobrança de juros ao longo da história;

- Estudar os regimes de capitalização de juros concomitantemente aos

fundamentos básicos que constituem os principais sistemas de

amortização e modelos matemáticos para elaboração das planilhas de

cálculos;

1 O spread bancário é a distância entre a taxa de empréstimo e a taxa de captação do agente

financeiro, sendo que, estudos do Banco Central do Brasil demonstram que a inadimplência é responsável por uma parcela significativa deste spread.

17 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

- Comparar e analisar a evolução das quotas de amortização, juros e

prestações nos sistemas de amortização ora estudados.

No capítulo II será apresentado um estudo preliminar acerca da

importância da matemática financeira para a sociedade, além de abordar os

principais fatos históricos que contribuíram significativamente para o

desenvolvimento desta área do conhecimento.

No capítulo III são estudados os principais conceitos acerca da

capitalização de juros.

No capítulo IV apresentam-se os principais conceitos das séries

uniformes de pagamento em conjunto com os sistemas de amortização mais usuais

no mercado financeiro.

No capítulo V faz-se uma análise comparativa das opções de

financiamento através dos sistemas de amortização estudados através de tabelas e

gráficos de evolução teórica dos financiamentos, assim como as considerações

finais deste trabalho.

18 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

2 CAPÍTULO I - ESTUDOS PRELIMINARES

Matemática Financeira é uma disciplina que tem como objetivo estudar

uma grande quantidade de fenômenos da atividade econômica conhecida como

comercial e financeira. Para Assaf Neto (1998, p.13) matemática financeira é o

"estudo do dinheiro no tempo ao longo do tempo".

Segundo Moreira et al. (2010,p. 1), “a compreensão da matemática é

essencial para o cidadão agir como consumidor prudente ou tomar decisões em sua

vida pessoal e profissional”.

De acordo com Padoveze, Giuliane e Francischetti (2004) na atualidade o

estudo a aplicação da Matemática Financeira foi facilitado pela utilização fórmulas e

calculadoras:

Na verdade, hoje em dia, isso tudo é muito simples, pois as fórmulas já estão prontas e também através do uso das calculadoras, tudo fica muito fácil. Encontramos um período histórico entre os anos de 1450 e 1650, onde os termos depositum, do latim ponere (por), juro (jurar) e credere (acreditar), começam a aparecer com freqüência e serem usados no cotidiano das pessoas, surgindo, então a matemática financeira como uma ferramenta essencial para a vida de todo comerciante, banqueiro e homem de negócios (PADOVEZE; GIULIANI; FRANCISCHETTI. 2004, p. 3).

Este ramo da Matemática nos fornece técnicas e métodos para resolver

problemas na área da economia e finanças, além disto, o estudo da disciplina

fornece-nos subsídios para tomar decisões corretas no ponto de vista financeiro,

pois cada vez que fazemos uma tomada decisão nesta área estamos usando

indiretamente ferramentas da matemática, mas nem sempre nos damos conta disso.

Segundo Zentgraf (2003, p. 2) apud Rosetti Junior e Schimiguel (2009, p.

4), “além de se preocupar com os aspectos temporais do dinheiro, tais estudos

objetivam estabelecer relações entre quantias monetárias registradas em tempos

distintos”.

A matemática financeira é definida por Gitman (2003, p.82) como “a

ciência que estuda a dinheiro no tempo”. Analisa a forma de aplicação do dinheiro

19 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

no objetivo da maximização dos resultados, os quais se esperam como positivos.

Através de mecanismos adequados podem ser avaliadas e confrontadas duas ou

mais alternativas, para subsidiar a tomada de decisão quanto a que mais benefício

trará ou menos prejuízo acarretará.

Com o advento globalização na economia, não é concebível em nenhum

projeto, independente da área que em for, em que a característica financeira não

seja a mais relevante para a sua concretização. Podemos citar um exemplo do

cotidiano no qual uma pessoa tenha que tomar a decisão entre comprar um

eletrodoméstico em 10 vezes “sem juros” ou amealhar o dinheiro viabilizando a sua

compra a vista. Com relação à primeira proposição é interessante advertir que

quando um estabelecimento opina por aplicar vendas pagamentos a prazo sempre

objetiva auferir maior vantagem na transação comercial, uma vez que obtém ganhos

com os juros pagos pelo cliente no financiamento da mercadoria.

2.1 A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

O ensino da Matemática Financeira possui um papel relevante na

formação da cidadania e concepção da economia na sociedade objetivando o

posicionamento pessoal do indivíduo nas questões financeiras, além de ser

instrumento de referência no tempo das operações matemáticas.

A matemática financeira possui diversas aplicações práticas. Tais aplicações são pertinentes às mais variadas pessoas e profissões, desde aquelas interessadas em benefício próprio, como aquelas com finalidades profissionais específicas. Não obstante, tal campo estimula a capacidade de tomar decisões e a consequente necessidade de fundamentação teórica para que se decida com correção (COSÉR FILHO, 2008, p.12).

Percebe-se que os investimentos e custos dependidos pela sociedade em

geral são financiados a partir de escassos recursos financeiros; podemos afirmar

que os recursos financeiros (dinheiro) existentes não são capazes de suprir todas as

necessidades da sociedade. Os sistemas financeiros, por intermédio das suas

instituições, promovem a locação dos recursos econômicos dos agentes que os

20 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

detêm para outros que deles tenham necessidade. Existe um perceptível mecanismo

de oferta e procura que atribui um preço ao custo do dinheiro de maneira que

constitua um equilíbrio entre a oferta de recursos e a sua procura.

Matemática Financeira é um ramo da matemática aplicada que estuda o valor de dinheiro ao longo do tempo, combinando o capital, a taxa e o tempo para o desempenho ou interesse através de métodos de avaliação que permitem que as decisões de investimento. [...]. Portanto, matemática financeira é de aplicação eminentemente prática, o seu estudo esta intimamente ligada à resolução de problemas e exercícios muito semelhantes aos da vida cotidiana no mundo dos negócios. Dinheiro e finanças são inseparáveis (GUZMÁN, 2006, p. 15, tradução nossa).

Logo, a matemática financeira se propõe a estudar e fornecer subsídios

que propiciem decisões adequadas e seguras. Observamos que as decisões

financeiras que fazemos em nossa vida pessoal são factíveis de produzir efeitos

duradouros, sob o ponto de vista empresarial, por sua vez, uma decisão equivocada

trará consequências nefastas, haja vista que o seu faturamento é, geralmente,

superior à renda familiar. Ressaltamos que ambas as decisões são,

fundamentalmente, as mesmas, todavia, distinguem-se pelos efeitos e grau de

precisão que os cálculos são efetuados. Deste modo, os bancos, seguradoras,

fundos de investimentos, dentre outros, apresentam a cada dia maior intenção no

aprofundamento dos estudos sobre a matemática financeira no intuito de ensejar

maiores lucros através desta ferramenta. Vejamos um exemplo da variação do

dinheiro no tempo:

O valor do dinheiro no tempo não é certamente um conceito novo. Benjamim Franklin teve um entendimento bom de como ele funciona quando deixou para cada uma das cidades, Boston e Filadélfia nos U.S.A, a importância de $1.000. Com o seu presente, deixou instruções de que as cidades emprestassem o dinheiro, carregado com a taxa de juros em vigor, para os aprendizes merecedores. Então, depois que o dinheiro tivesse sido investido deste modo durante 100 anos, que eles usassem uma porção do investimento para construir algo de benefício para a cidade e guardar alguma parte para o futuro. Nos 213 anos em que isto foi feito, o presente de Benjamim Frankin para Boston resultou na construção do Franklin Union, ajudou incontáveis estudantes de medicina com empréstimos, e ainda tem mais que $3 milhões na conta. A cidade de Filadélfia, igualmente, colheu recompensas significantes. Tenha em mente que tudo isto veio de um presente combinado de $2.000 e um pouco de ajuda séria do valor do dinheiro no tempo. (BERTOLO, 2012, p. 8).

São irrefutáveis as transformações da sociedade humana no decorrer dos

tempos. Não se pode negar, também, que essas mudanças introduziram novos

padrões, e, que estas transferiram a vida das pessoas com atividades de elevado

21 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

grau de complexidade. Impondo à sociedade o desafio de devolver conhecimentos e

ferramentas capazes de oferecerem soluções a tais complexidades.

Segundo Matemática... (2012) no que tange ao aspecto financeiro não foi

diferente, pois,

(...) à medida que a sociedade evoluía, nasciam novos padrões e comportamentos financeiros. Esses por sua vez, geravam situações-problema, com as quais o homem precisava interagir, a fim de solucioná-las. Nasceu então, a necessidade dos registros e dos cálculos matemáticos. Diante disso, ele precisou desenvolver algoritmos e ferramentas de cálculo, objetivando encontrar e facilitar a solução dessas situações.

A sociedade se evolui e está em constante transformação, logo, os

problemas do passado não são os mesmos de hoje, e certamente não serão os

mesmos do futuro. Sendo assim, é necessário um aperfeiçoamento constante dos

conhecimentos matemáticos e das ferramentas de cálculo, para solucionarem com

eficiência e rapidez cálculos financeiros envolvendo situações cotidianas.

2.2 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

A atividade financeira surge paralelamente à economia monetária

em que o dinheiro é a unidade padrão utilizada como forma de pagamento ou meio

de troca, reserva de valor ou ativo financeiro, e em que bens econômicos são

expressos em termos de duas quantidades, capital financeiro, medido em unidades

monetárias e de tempo ou tempo em que pode dispor do mesmo, desta forma, a

troca de bens econômicos é assim compreendida e tem como resultados o

surgimento de fenômenos e operações financeiras. Com relação a esta temática

D’Ambrósio (1972) faz a seguinte afirmação:

“No princípio, o homem produzia para o seu consumo. Com o progresso e multiplicando-se suas necessidades, paras satisfazê-las, viu-se ele na contingência de fazer circular sua produção. Viu-se a necessidade de trocar o que lhe sobrava pelo que lhe faltava. E, assim, começa o comércio, primitivamente muito complicado. Consistia, pura e simplesmente, na troca de mercadorias”. (D’AMBRÓSIO, 1972, p.85).

22 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Na antiguidade os processos matemáticos eram efetuados com a ajuda

de tábuas, havendo tábuas de multiplicação, inversos multiplicativos, quadrados e

cubos e até mesmo tábuas exponenciais, que se acredita, terem sido utilizadas,

juntamente com a interpelação, em problemas que envolvem juros compostos.

De Acordo com Cynthera (2011, p. 1) “o termo ‘tabuada’ tem sua origem

nas tábuas de cálculos, que mais serviam como gabaritos para dinamizar a

contagem para transações comerciais”.

Figura 1 - Tábua Babilônica Plimpton.

Como resultados do crescimento da atividade comercial e do interesse

pela educação clássica no período do Renascimento, surgiram muitos textos

populares de aritmética. Aproximadamente trezentos destes livros foram impressos

na Europa antes do século XVII. Estas obras, inicialmente, foram escritas em latim

por intelectuais que possuíam formação clássica, que geralmente estavam ligados

às escolas de propriedade da Igreja; além destas obras haviam outras que foram

editadas em língua pátria por professores práticos cujo interesse seria o de instruir

jovens para as carreiras comerciais (GONÇALVES, 2005, p. 8).

A primeira publicação de matemática impressa no Ocidente que é hoje

muito rara, pois foi impressa no ano de 1.478 na cidade italiana de Treviso. Este

livro, denominado Aritmética de Treviso, continha uma aritmética puramente

23 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

comercial, cujo objetivo era ensinar a escrita e os processos de cálculos numéricos,

além disso, possuía também aplicações envolvendo sociedades e escambos.

Segundo Eguerato (2009) esta obra tem amplo destaque na História da

Matemática Financeira pelos fatores elencados a seguir: Foi publicada em 1478 na

cidade de Treviso, próximo a Veneza, é a mais antiga aritmética impressa; trata-se

de uma aritmética amplamente comercial, dedicada a explicar a escrita dos

números, a efetuar cálculos com eles e que contém aplicações envolvendo

sociedades e escambo; Inclui também questões recreativas; Foi o primeiro livro de

matemática a ser impresso no mundo ocidental.

Em 1478, surgiu Aritmética de Treviso, um livro de autor anónimo. Foi elaborado para ensinar mais às pessoas do comércio sobre números e cálculos. O autor ensinava ao leitor não meramente como somar e subtrair, operações que já eram muito bem compreendidas naquela época, mas também a multiplicar, dividir e lidar com frações e progressões geométricas e aritméticas, que eram importantes para o cálculo de juros (TRUMAN, 2000, p. 58).

Figura 2 - Página do Livro Aritmética de Treviso.

Com maior destaque na Itália que a Aritmética de Treviso, foi o livro

Aritmética Comercial, publicado por Piero Borghi em 1484 em Veneza, onde

alcançou dezessete edições, sendo a última no ano de 1557. Filippo Calandri

24 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

publicou em 1491 uma aritmética de menor importância, porém a mesma se

destacou para nós por conter o primeiro exemplo do processo de divisão moderno,

além dos primeiros problemas ilustrados (GONÇALVES, 2009).

As primeiras operações financeiras datam da época do Império

Babilônico, em que já era conhecida a regra de juros simples, que por muitos

séculos predominou nas operações financeiras, mas adquiriu destaque no advento

da Renascença2 e com o surgimento de mercantilismo3 entre o XV e XVI.

Truman (2000) observou a seguinte característica do período

renascentista correlacionada a Matemática Financeira:

A Renascença começou não como um movimento nas artes e letras, mas como um restabelecimento matemático prático para ajudar os banqueiros e comerciantes a realizar as tarefas cada vez mais difíceis de converter

dinheiro, calcular juros e determinar lucros e perdas [TRUMAN, 2000, p.57].

Mais tarde, nos séculos XVII e XVIII, a revolução científica 4 ,

acompanhada dos progressos da matemática e o crescimento das atividades

comerciais, principalmente marítimas, consolidadas por inúmeras invenções abriram

uma era de profundas transformações sociais, políticas e econômicas. Ao longo do

século XX, ocorreu o desenvolvimento de várias teorias de gestão financeira, no

qual as técnicas matemáticas emergiram como o instrumento mais adequado,

impulsionada, principalmente, pelos estudos relacionados a solvência, liquidez,

crescimento e rentabilidade no âmbito corporativo (DIAZ, DOMINGUEZ, LOPERA.

2012).

O surgimento da atividade econômica está intimamente ligado à

necessidade de educação financeira e, em particular, Matemática Financeira. O

Referência a um movimento intelectual e artístico surgido na Itália, entre os séculos XIV e XVI, e daí difundido por toda a Europa. À concepção medieval do mundo se contrapõe uma nova visão, empírica e científica, do homem e da natureza. A ideia de um 'renascimento' ocorrido nas artes e na cultura relaciona-se à revalorização do pensamento e da arte da Antiguidade clássica e à formação de uma cultura humanista. 3 Corresponde a uma doutrina econômica se afirmou na Europa colonial dos séculos XVI e XVII e que

se baseava na convicção de que a riqueza e o poder de um país dependiam da quantidade de metais preciosos que esse mesmo país conseguia acumular. 4 Período que começou no século XVI e prolongou-se até o século XVIII. A partir desse período, a

Ciência, que até então estava atrelada à Filosofia, separa-se desta e passa a ser um conhecimento mais estruturado e prático. As causas principais da revolução podem ser resumidas em: renascimento cultural, a imprensa, a reforma protestante e o hermetismo. A expressão "revolução científica" foi criada por Alexandre Koyré, em 1939.

25 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

ensino desta disciplina sempre esteve ligado à educação comercial e negócios

(GUZMAN,2006).

A origem da matemática financeira pode ser atribuída ao início da

civilização humana. Notamos que, ao longo do tempo, o desenvolvimento de novas

ferramentas matemáticas obteve uma estreita relação com o surgimento de

operações financeiras cada vez mais sofisticadas. Do ponto de vista histórico,

observamos que o conceito de juros está presente em toda sociedade que

desenvolveu-se, mesmo minimamente, o comércio.

A civilização suméria se estabeleceu na parte sul da antiga Mesopotâmia,

sendo considerada a civilização mais antiga e do mundo. Observamos que já no

terceiro milênio A.C possuía um avançado processo comercial com realização de

negócios importantes com outros povos. Ao mesmo tempo desenvolveu um sistema

avançado de numeração: a base de posicionamento sexagesimal, que continua em

evidência na atualidade na medição de ângulos. Este sistema permitiu que os

sumérios realizassem operações aritméticas com velocidade necessária para o

comércio, tais como troca de moeda, que foi baseado nas porcentagens de ligas de

ouro e prata que cada um possuía (OLIVERO, 2007, p. 24).

Na Babilônia de quatro mil anos atrás, já havia a prática da cobrança de

juros. No Código de Hamurabi (por volta de 1850 A.C) foi esculpida em pedra a

seguinte lei: "se um comerciante fizer um empréstimo de grãos5 ou prata, restituirá

uma Panu grãos e quatro suturas por kur. Se tomar um empréstimo de prata

(dinheiro) pagará 1/6 de shekel 6 e seis grãos para cada shekel” (KISBYE;

LEVSTEIN, 2009, p. 11).

Embora esses termos sejam para nós tanto estranho quanto o tempo que

eles foram escritos, podemos desvendar seu significado. De acordo com historiador

Cecil Roth (Apud KISBYE; LEVSTEIN, 2009), isto corresponde a uma taxa de 33%

no primeiro caso e 20% no segundo. Note que a noção de tempo não estava

explícita na lei. Esta falha foi explorada, por vezes, a usura, e eles poderiam cobrar

5 O grão (grain) é uma unidade de medida de massa equivalente a um sétimo do milésimo (1/7000)

da Libra e equivale a aproximadamente 64,8 miligramas ou 0,0648 gramas. 6

Moeda corrente na Mesopotâmia, cerca de 3.000 a.C. Um shekel possuía cerca de 180 grãos (11,4 gramas).

26 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

uma taxa de juros baixa e depois reclamar a devolução do empréstimo em um curto

espaço de tempo.

Na Bíblia, livro sagrado para religião cristã, existe relatos em que os

israelitas eram proibidos de emprestar dinheiro aplicando a cobrança de juros, fato

que mais tarde, foi assumido pelo cristianismo. São Tomas de Aquino, um dos pais

da igreja cristão, argumentou contra a cobrança de juros, afirmando que "somente

Deus tem o tempo” (KISBYE; LEVSTEIN, 2009, p. 11, tradução nossa).

O jornalista e sociólogo norte-americano Leo Huberman (1981) em sua

obra "A História da Riqueza do Homem" afirma que:

(...) Houve época em que se considerava crime grave cobrar juros pelo uso do dinheiro. No principio da Idade Média o empréstimo de dinheiro a juros era proibido por uma Potência, cuja palavra constituía a lei para toda a Cristandade. Essa potência era a Igreja. Emprestar a juros, dizia ela, era usura, e a usura era pecado (HUBERMAN, 1981, p. 36).

A partir deste argumento, nota-se que introduz a noção de tempo no

cálculo dos juros. Na civilização grega, a maioria dos grandes pensadores

consideram impróprias as aplicações da matemática para os problemas diários

(comercial). Aristóteles em sua obra "A Política" tem uma posição contrária ao

comércio, porque ele considera uma atividade em que se obtém ganhos às custa de

outros:

O que há de mais odioso, sobretudo, do que o tráfico de dinheiro, que consiste em dar para ter mais e com isso desvia a moeda de sua destinação primitiva? Ela foi inventada para facilitar as trocas; a usura, pelo contrário, faz com que o dinheiro sirva para aumentar-se a si mesmo; assim, em grego, lhe demos o nome de tokos, que significa progenitura, porque as coisas geradas se parecem com as que as geraram. Ora, neste caso, é a moeda que torna a trazer moeda, gênero de ganho totalmente contrário à natureza (ARISTÓTELES. [300 A.C], p. 25).

A posição contrária à cobrança de juros existia inicialmente, porque

parecia uma aberração o fato de que o dinheiro gerar sozinho novos dividendos.

Coerentes com isso, hebreus, romanos e gregos desenvolveram um sistema

numérico que era muito difícil realizar a multiplicação, que se tornou muito

complicado de fazer, por exemplo, uma conversão de moedas ou de um cálculo de

juros.

27 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Assim, no século XIII, ocorre o desenvolvimento da matemática

financeira, estagnado há mais de mil anos desde os tempos romanos. Durante este

período, surgiram as tabelas para o cálculo de juros compostos.

No ano 1202 o matemático Leonardo de Pisa, também conhecido como

Fibonacci, publicou uma das suas obras de maior destaque, o Liber Abaci (1202), na

qual Fibonacci apresenta o chamado modus Indorum (método dos hindus), hoje

conhecido como algarismos arábicos. O livro defendia a numeração com os dígitos

0-9 e a notação posicional, esclarecendo o sistema de posição árabe dos números,

incluindo o número zero.

Truman (2000, p. 12) enfatiza que este sistema simplificado de

representação numérica “oferecia grande vantagem sobre os desajeitados

algarismos romanos, que eram complicados para se realizar adição e subtração e

que praticamente desafiavam a multiplicação e a divisão”. O livro mostrou a

importância prática do novo sistema numeral, aplicando-o à contabilidade comercial,

conversão de pesos e medidas, o cálculo de juros, taxas de câmbio e outras

aplicações. O livro foi bem recebido em toda Europa educada e teve um impacto

profundo no pensamento europeu. Esse elegante sistema de sinais numéricos, em

breve, substituiria o descabido sistema de algarismos romanos.

O próximo avanço foi a concepção dos logaritmos no começo do século

XVII por John Napier que publicou uma tábua de logaritmos em 1614, denominados

neperianos (de base ...) com oito decimais, que viria provocar

consideráveis progressos nas formas de calcular. O avanço e a rapidez de cálculo

de tal novidade foram espetaculares. Poucos anos depois, em 1624, o inglês Henry

Briggs publicou a primeira tábua de logaritmos de base 10, com 14 decimais para os

inteiros compreendidos entre e e entre e (PADOVEZE;

GIULIANI; FRANCISCHETTI, 2004).

De acordo com Tábuas Numéricas (2000) “desta maneira surgiram as

tábuas logarítmicas adaptadas ao cálculo aritmético, à contagem financeira e à

solução dos mais variados problemas, desde o custo do dinheiro, às técnicas de

navegação oceânica”. Estas técnicas constituíram-se numa tendência de uso que

28 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

viria a acentuar-se como progresso e desenvolvimento científico revelado no século

XVII.

Com o advento do desenvolvimento das tabelas de logaritmos se tornou

possível cálculos de maior exatidão para uma raiz enésima ou dividir números com

muitas casas decimais. Além da sua aplicação nas outras ciências, teve um

destaque especial na Matemática Financeira, particularmente na resolução de

equações de juros compostos numa época que não estavam disponíveis mesmo no

pensamento de que seria uma calculadora. Conforme Ricieri (2002):

Os logaritmos eram não só um artifício que simplificava de maneira considerável a aritmética, mas também um incremento aos princípios fundamentais da análise matemática. A partir deles sentiu-se necessidade de criar uma nova estrutura filosófica para comportar e interpretar tal instrumento de cálculo (RICIERI, 2002, p. 57).

No ano de 1771 o economista Richard Price apresentou um método

utilizado ainda na atualidade para amortização de empréstimos em parcelas iguais

que ficou conhecido como “sistema francês de amortização” ou tabela price aqui no

Brasil. Este método foi originalmente utilizado pelo autor para cálculo de pensões e

aposentadorias, todavia após a segunda revolução industrial esta metodologia de

cálculo foi aproveitada para cálculo de amortização e empréstimos (MOTTA, 2012).

‘ Figura 3 - Tabela do livro Observations on Reversionary Paiments.

29 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

O consultor financeiro Marcelo Segredo (2004) evidencia através de um

pequeno trecho de clássica obra de Richard Price, uma ilustração que é utilizada

pelo autor para definir a dinâmica dos juros compostos em suas tabelas:

Um centavo de libra emprestado na data de nascimento de nosso Salvador a um juro composto de cinco por cento teria, no presente ano de 1781, resultado em um montante maior do que o contido em DUZENTOS MILHÕES de Terras, todas de ouro maciço. Porém, caso ele tivesse sido emprestado a juro simples ele teria, no mesmo período, totalizado não mais do que SETE XELINS E SEIS CENTAVOS.(PRICE apud SEGREDO, 2004, p. 1 ).

Com o advento do cálculo infinitesimal, no século XVII foi possível

capitalização contínua. Aí então Bernoulli descobriu o número que represente o valor

que se deve receber no final de um ano se aplicarmos um determinado capital a

uma taxa de 100% anual e este se capitalizar continuamente.

Também no século XVII começou a surgir a estatística. Com ela,

aparecem as taxas de mortalidade que possibilitam o desenvolvimento de

companhias de seguros. A ideia é simples: quando se tem conhecimento que 5%

das mercadorias são extraviadas durante o transporte não chegando ao seu destino

final, pode ser instituída a criação de uma taxa, onde cada comerciante pagaria o

equivalente a 5% das mercadorias transportadas, criando desta forma um fundo

comum para indenizar os que eventualmente sofressem a perda.

A primeira tentativa para se tirar conclusões a partir de dados numéricos foi feita somente no século 17, na Inglaterra, com o que foi denominado Aritmética Política, que evoluiu para o que se chama hoje de demografia. [...]. A tentativa acima referida foi feita por John Graunt (1620 – 1674), um próspero negociante londrino de tecidos que em 1662, publicou um pequeno livro intitulado Natural and Political Observations Mentioned in a Following Index and Made upon the Bills of Mortality. Sua análise foi baseada sobre razões e proporções de fatos vitais, nos quais ele observou uma regularidade estatística num grande número de dados (POMPEU, 2004, p.12).

O primeiro livro que trata da aplicação da matemática à economia foi

escrito pelo engenheiro italiano Giovanni Ceva em 1711 intitulado De Re

Nummeraria [sobre questões financeiras] em 1711, que foi um dos primeiros livros

em economia matemática.

30 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

O matemático e filósofo francês Antoine Augustin Cournot (1811-

1877), foi o propulsor das teorias marginalistas, conhecido por seus estudos sobre a

oferta e a demanda nos termos da competição monopolística. Cournot é

considerado como o matemático que começou a sistematização formal da

economia. Foi o primeiro a usar funções matemáticas para descrever conceitos

econômicos, tais como demanda, oferta e preço. Ao analisar os mercados em

monopólio, estabeleceu o ponto de equilíbrio de monopólio, chamado de ponto de

Cournot. Ele também estudou o duopólio e oligopólio, estabelecendo o conhecido

modelo de Cournot (ENCYCLOPAEDIA BRITANNICA, 2012).

O cálculo das probabilidades está também inserido nas bases da

matemática financeira moderna. O ano de 1900 é considerado o marco inicial, pois

foi quando o matemático francês Louis Bachelier que é considerado um precursor da

teoria moderna das probabilidades e fundador da matemática financeira. Em sua

tese Theórie de la spéculation (sobre a especulação financeira), defendida em 29 de

março de 1900, ele introduziu a utilização em finanças do movimento browniano,

que é a base da maioria dos modelos matemáticos utilizados em finanças, por

exemplo a fórmula de Black-Scholes (1973). Neste trabalho tratou sobre a

especulação financeira, que mostra um modelo matemático para a listagem de

ações na bolsa de valores, analisando a semelhança entre Movimentos do preço

das ações e uma partícula de pólen flutuando no ar, ou outro meio, um fenômeno

que foi observado pelo botânico Robert Brown. Isso é chamado movimento

browniano em sua honra, e foi trazido para a fama em 1905 por Albert Einstein em

sua tese de doutorado para a Universidade de Zurique (KISBYE; LEVSTEIN, 2009).

Em 1945, o matemático japonês Kiyoshi Ito desenvolveu um análogo

do cálculo diferencial aplicável às funções que só conhece a probabilidade de que

assumem valores diferentes. Esta área é chamada de cálculo estocástico, e em

2006 ganhou o prêmio de Gauss para o seu desenvolvimento. Esta é uma

ferramenta essencial para tomada de decisões em um ambiente incerto, onde os

dados é apenas a probabilidade de algo acontecer (GROETSCHEL, 2012).

O próximo grande passo ocorre durante a década de setenta, quando

Fisher Black, Myron Scholes e Robert Merton desenvolveram uma fórmula capaz de

estimar o valor futuro das ações no mercado acionário que ainda é utilizada por

31 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

operadores do mercado financeiro de todo o mundo. Por este trabalho, os dois

últimos receberam o Prêmio Nobel de Economia em 1997, quando Fisher Black

havia morrido. Seu desenvolvimento permitiu a multiplicação das operações

realizadas. Isto causou uma explosão nos mercados de valores mobiliários (KISBYE;

LEVSTEIN, 2009).

Na segunda metade do século XX temos assistido a uma evolução

notável da economia financeira, que só foi possível através sistematização constante

do pensamento matemático. Novamente, a matemática permitiu-nos formular

rigorosamente os princípios de outras ciências, e proporcionou um método de

análise que conduz à criação de propriedades e relações que, longe do senso

comum, incorporou um elevado nível de complexidade, que são fáceis de comparar

a partir do ponto de vista empírico e de aplicação prática imediata.

Em um mundo com constante evolução, também se faz necessário que

a matemática financeira acompanhe todo este processo evolutivo em todos os seus

graus de complexidade. Hoje somos confrontados com questões que têm um alto

teor de matemática e de grande interesse para as instituições financeiras, que estão

enfrentando uma competição muito intensa, um mercado com margens de

encolhimento e de um mundo sem fronteiras.

Questões como a gestão e avaliação do risco, risco de crédito, avaliação

de novos ativos ou a valorização de novos derivados com subjacentes não

negociáveis (temperaturas, as catástrofes naturais, secas), não armazenáveis

(eletricidade) ou pelo menos não financeiros (bens) apresenta a matemática cada

vez mais dificuldades para dar respostas a um mercado econômico tão globalizado.

Finalmente, a teoria dos mercados financeiros está impulsionando o

desenvolvimento de outras partes da economia financeira (finanças corporativas,

gestão de tesouraria, mercados emergentes etc.) onde também existe um alto grau

de complexidade na formulação de raciocínios matemáticos. Portanto, todos os

ramos da matemática têm desempenhado um papel essencial na orientação

processo de desenvolvimento da economia financeira.

32 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Tomando como base esta pesquisa acerca da história matemática

financeira ao longo do tempo, elaboramos uma linha do tempo onde destacamos os

principais eventos ocorridos para a construção desta disciplina:

Tabela 1 – Linha do Tempo na Matemática Financeira.

LINHA DO TEMPO NA MATEMÁTICA FINANCEIRA

±4.700 A.C Provável início do calendário Babilônico.

±4.200 A.C Origem do calendário Egípcio.

±3.500 A.C Uso regular da escrita.

±3.000 A.C Os babilônicos começam a utilizar um sistema de numeração

sexagesimal para registrar transações financeiras. É um sistema posicional,

porém sem uma posição de valor zero.

±1.800 A.C Babilônicos usam tabelas (tábuas) de multiplicação.

1.760 a.C . A civilização suméria produz o Código de Hamurabi.

± 1.000 A.C Os chineses usam tabelas de contagem para seus cálculos.

± 650 A.C Provável origem dos numerais hindus.

± 400 A.C Os babilônios usam um símbolo para indicar uma casa vazia nos seus

números registrados na escrita cuneiforme. Não existem indicações de que

este símbolo tenha sido considerado um número, ou seja, não pode ser

considerado como o "nascimento" do zero.

± 360 A.C O matemático grego Eudoxo de Cnidus desenvolve a teoria da proporção e

o método da exaustão, que permitia aproximar duas quantidades desiguais,

tanto quanto se desejasse, pelo esgotamento de suas diferenças.

± 300 A.C Aristóteles escreve sua obra Politika.

± 1 d.C. - O matemático chinês Liu Hsin usa frações decimais.

1.202- d.C

O matemático italiano Leonardo de Pisa, também conhecido como

Fibonacci, publicou uma das suas obras de maior destaque, o Liber

Abaci (1202), na qual Fibonacci apresenta o chamado modus

Indorum (método dos hindus), hoje conhecido como algarismos arábicos.

1.478 d.C.

Publicação na Itália do livro Aritmética de Treviso que continha uma

aritmética puramente comercial, cujo objetivo era ensinar a escrita e os

processos de cálculos numéricos, além disso, possuía também aplicações

envolvendo sociedades e escambos.

1.484 d.C. É publicado em Veneza o livro Aritmética Comercial pelo matemático Piero

Borghi.

1.614 d.C. Introdução do conceito sobre logaritmos pelo matemático John Napier,

Continua

33 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

inventor dos logaritmos através da publicação da sua obra intitulada Mirifici

Logarithmorum Canonis Descriptio, possibilitando o desenvolvimento das

tabelas de logaritmos, o que permitiu maior rapidez e cálculos mais

precisos para uma raiz enésima ou dividir números com muitas casas

decimais.

1.662 d.C.

John Graunt publica Natural and Political Observations upon the Bills of

Mortality, que lança as bases para a demografia e torna-se uma das obras

pioneiras no estudo atuarial de mortalidade. Esta obra continha um

rudimento de tábua de vida, obtida através de dados sobre enterros

em Londres;

1.687 d.C. O cientista e matemático inglês Isaac Newton publica Principia

Mathematica.

1.699 d.C. O matemático suíço Jacques Bernoulli desenvolve o Cálculo Infinitesimal

possibilitando o cálculo com capitalização contínua.

1711 d.C. O engenheiro italiano Giovanni Ceva publica De Re Nummeraria (Sobre

Assuntos Monetários), o primeiro trabalho de matemática na economia;

1718 d.C.

O matemático francês Abraham de Moivre publica A Doutrina das Chances.

A definição de independência estatística aparece neste livro juntamente

com muitos problemas com dados e outros jogos. Ele também investigou

estatísticas de mortalidade e os fundamentos da teoria das anuidades;

1.771 d.C.

O economista Richard Price apresentou um método utilizado ainda na

atualidade para amortização de empréstimos em parcelas iguais que ficou

conhecido como “sistema francês de amortização” ou tabela price.

1.805 d.C.

Surgimento da estatística através da teoria das probabilidades concebidas

por Pascal e Fermat, a partir daí aparecem as taxas de mortalidade que

possibilitam o desenvolvimento de companhias de seguros.

1.854 d.C.

O matemático e filósofo francês Antoine Augustin Cournot, começou a

usar funções matemáticas para descrever conceitos econômicos, tais como

demanda, oferta e preço.

1.900 d.C.

O matemático francês Louis Bachelier introduziu através da sua tese

Theorie de La Spéculation, a utilização em finanças do movimento

browniano, que é a base da maioria dos modelos matemáticos utilizados

em finanças.

1.945 d.C.

O matemático japonês Kiyoshi Ito desenvolveu um análogo do cálculo

diferencial aplicável às funções que só conhece a probabilidade de que

assumem valores diferentes. Esta área é chamada de cálculo estocástico,

esta é uma ferramenta essencial para tomada de decisões em um ambiente

Conclusão

Continuação

34 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

incerto, onde os dados é apenas a probabilidade de algo acontecer.

1.970 d.C.

Os economistas e matemáticos Fisher Black, Myron Scholes e Robert

Merton desenvolveram uma fórmula capaz de estimar o valor futuro das

ações no mercado acionário que ainda é utilizada por operadores do

mercado financeiro de todo o mundo.

Fonte: Elaborado pelo autor.

2.3 A ORIGEM DA COBRANÇA DE JUROS

A definição do conceito de juros se estende aos tempos mais remotos da

civilização humana e se difundiu no transcurso dos tempos , fato este que teve

amplo destaque quando o homem enxergou que o dinheiro possui um estreito

vínculo com o tempo. De acordo Giovanni e Giovanni Junior:

“Existem diversas teorias que tentam explicar porque os juros existem. Uma delas é a teoria da escola austríaca, primeiramente desenvolvida por Eugen Von Boehm-Bawerk. Ela afirma que os juros existem por causa da manifestação das preferências temporais dos consumidores, já que as pessoas preferem consumir mais no presente do que no futuro. A origem de empréstimos com juro é remota. Na Idade Média, os juros cobrados eram de até 43% ao ano para empréstimos pessoais, e variavam de 12% a 24% ao ano nas transações comerciais. Quando o primeiro banco – a Casa di San Giorgio – foi fundado em 1586, em Gênova, na Itália, os juros cobrados giravam em torno de 10% ao ano.”(GIOVANNI & GOVANNI JUNIOR, 2005).

Segundo Gonçalves (2005, p. 1), “os processos de acumulação de capital e

a desvalorização da moeda levariam normalmente a ideia de juros, pois se

realizavam basicamente devido ao valor temporal do dinheiro”. Os escritos antigos

demonstram um elevado grau de habilidade nos cálculos e através deles podemos

perceber que o sistema sexagesimal posicional estava estabelecido desde os

primórdios da civilização dos povos sumérios.

Existem diversos textos dos tempos antigos que discorrem acerca da

distribuição de produtos oriundos da agricultura e de operações aritméticas

baseadas nestas transações. Estes escritos demonstram segundo Moreira et al.

(2010, p. 2) que “os povos sumérios estavam habituados com praticamente todas as

35 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

modalidades de documentos legais e usuais, tais como recibos, notas promissórias,

juros simples e compostos, hipotecas, escritura de venda e endossos, faturas, etc”.

Consoante enfatiza D’Ambrosio (1972, p. 82),

(...) os juros e os impostos existem desde a época dos primeiros registros de civilizações existentes na Terra. Nas citações mais antigas, os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras conveniências emprestadas; os juros eram pagos sob a forma de sementes, prata ou de outros bens. Muitas das práticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas.

Através da História são fica evidente a que a ideia da cobrança de juros já

estava tão bem consolidada que já havia uma empresa de banqueiros internacionais

em 575 A.C, com a matriz estabelecida na Babilônia, que cobravam altas taxas de

juros por empréstimo de dinheiro utilizado no comércio internacional. Deste fato

podemos deduzir que a cobrança de juros não é apenas uma das mais antigas

aplicações da Matemática Financeira, mas a sua utilização e os métodos sofreram

poucas alterações através dos tempos (D’AMBROSIO, 1972).

Apesar dos métodos para cálculo dos juros já existirem por milhares de

anos, muitas formas tem sido alteradas para atenderem necessidades da atualidade.

Todavia, devemos ter sempre em mente que toda metodologia antiga que ainda

vigora foi totalmente lógica no tempo em que se originou. Para exemplificar,

podemos lembrar que quando ocorria empréstimo de sementes para a semeadura

de uma determinada área, era óbvio aguardar o pagamento na próxima colheita que

se dava no período de um ano. Logo, seria razoável que o cálculo dos juros fosse

efetuado na base anual; assim também a aplicação do sistema de juros compostos,

para quando havia o custeio das antigas e longas viagens comerciais, que

necessariamente jamais eram concluídas no período de um ano. A partir daí em

cada era começaram a surgir novas maneiras de trabalhar com referência a relação

tempo e juros: semestral, bimestral, mensal, diário, etc. (D’AMBROSIO, 1972).

A aplicação de cobrança de juros remonta a períodos anteriores a era

cristã. A própria Bíblia Sagrada nos traz referências à cobrança de juros e também

de aplicações financeiras conforme demonstrado pelos autores Rosetti Junior e

Schimiguel:

36 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

“Nos livros do Velho Testamento, dentre as várias referências sobre juros nos textos sagrados, podemos citar em Êxodo, capítulo 22, versículo 25, ‘Se emprestares dinheiro ao meu povo, ao pobre que está contigo, não te haverás com ele como credor; não lhe imporás juros’. Em Levítico, capítulo 25, versículo 37, ‘Não lhe darás teu dinheiro a juros, nem os teus víveres por lucro’. Nos livros do Novo Testamento também encontramos referências a aplicações financeiras, como em Mateus, capítulo 25, versículo 27, ‘Devias então entregar o meu dinheiro aos banqueiros e, vindo eu, tê-lo-ia recebido com juros’ (ROSETTI JUNIOR, SCHIMIGUEL, 2011, p. 5).

Nos museus de Berlin, Yale e Louvre existem coleções de tábuas

matemáticas antigas que contem problemas acerca de juros compostos; enquanto

no museu de Istambul existem algumas tábuas que aparentam ter sido originalmente

tábuas de para de 1 a e para , , e . A partir destas tábuas

podem se resolver equações exponenciais do tipo . Em uma das tábuas do

Louvre datada de cerca 1700 A.C, há o seguinte problema: “Por quanto tempo deve-

se aplicar uma certa soma de dinheiro a juros compostos anuais de 20% para que

ela dobre?” (GONÇALVES, 2005).

O Desembargador Heraldo de Oliveira Silva nos outorga uma coerente

conceituação jurídica contemporânea acerca do juro como sendo:

(...) o fruto civil produzido pelo uso do dinheiro, ou seja, é o preço pelo uso do capital, pois remunera o credor por ficar privado de seu dinheiro, além de pagar pelo risco de não recebê-lo de volta. Juro constitui uma obrigação acessória, que decorre de uma obrigação principal (SILVA, 2012).

2.4 A ORIGEM DA MOEDA

Segundo Lima (2004, p. 26) a origem e a evolução da moeda podem ser

elencadas em seis períodos ao longo da história:

Era da Troca de mercadorias;

Era da Mercadoria Moeda;

Era da Moeda Metálica;

Era da Moeda Papel;

Moeda Fiduciária (ou Papel moeda);

Moeda Bancária (ou Escritural).

37 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Nos primórdios da humanidade, as sociedades existiam através de

comunidades pequenas, as quais extraiam da natureza os componentes

necessários a sua subsistência, de onde inferimos que existia muito pouca

comunicação entre estas. A partir deste momento ocorreu o desenvolvimento de

produtos de forma artesanal em virtude da desigualdade existente na utilização dos

recursos naturais, surgindo então aos poucos o sistema de trocas comerciais dos

produtos entre si, inicialmente denominado escambo7.

Segundo Parkin (apud GUZMÁN, 2006, p. 15, tradução nossa),

"Dinheiro, o fogo e a roda, têm estado conosco por muitos anos. Ninguém sabe ao

certo quanto tempo o dinheiro lá, ou qual a sua origem”. Da mesma forma a

matemática financeira, cujas origens estão no processo de transformação da

mercadoria em dinheiro. O sistema financeiro está essencialmente ligado à

matemática financeira. O papel moeda conversível surgiu inicialmente na China no

ano de 1.368 – 1.399 D.C. e mais tarde na Europa medieval, onde foi amplamente

utilizado pelos ourives e seus clientes.

Há relatos que Grécia pré-helênica o boi foi a primeira unidade de

escambo aceita. Daí o termo latino pecunia que significa “fortuna”, dinheiro, moeda é

oriundo do termo pecus, que tem como significado “gado, rebanho”; do mesmo

modo, a palavra pecunia expressa precisamente “ter em bois” (GONÇALVES, 2005).

Nas ilhas do Oceano Pacífico os colares de pérolas ou de conchas foram

utilizados como padrão para troca de mercadorias, sendo a seguir também utilizado

tiras de tecidos na troca por animais ou outros objetos. No caso do tecido, podemos

afirmar que este era a moeda e a unidade era o palmo desta tira. Em todos os

métodos havia dificuldades na sua aplicação. A partir daí, de acordo com o

desenvolvimento do comércio, os metais tiveram uma representação cada vez maior

nas operações do comércio, convertendo-se finalmente na “moeda de troca”

predileta pelos vendedores e compradores (GONÇALVES, 2005).

7 Troca direta de mercadorias, sem interveniência da moeda (HOLANDA, 2001).

38 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Assim as avaliações das mercadorias diferentes começaram a ser

realizadas de forma quantitativa em relação ao peso de cada uma delas, tomando

como referência uma designação de peso-padrão relacionado a um ou a outro

metal. Existem evidências arqueológicas que demonstram que no Egito dos faraós,

os mercadores utilizavam com frequência os metais (cobre, bronze e ouro) para

pagamento dos produtos com valores estimados de maneira proporcional através da

pesagem de cada um dos metais utilizados, que eram inicialmente divididos em

pepitas e palhetas.

A partir deste momento está agora em evidência não apenas um simples

escambo, todavia começa a despontar um autêntico sistema econômico. Graças ao

sistema padrão de metal, os produtos começaram a serem valorizados não mais por

critérios próprios e arbitrados pelos contratantes, porém pelo seu “preço justo”.

Naquela ocasião, objetiva-se apenas a introdução nas operações

comerciais e procedimentos jurídicos uma forma de peso-padrão ou unidade de

valor que balizava o preço das mercadorias e serviços. A começar deste princípio, o

metal utilizado como peso–padrão, poderia ser aplicado de diversas formas como,

salário, multa, tributos, etc.

Adquirindo o conhecimento abstrato na contagem e agrupamento dos

mais variados gêneros de elementos obedecendo a regra da base, o homem

aprendeu desta forma a valorizar, calcular e mensurar as mais diversas grandezas

matemáticas, tais como, comprimentos, áreas, pesos, volumes, etc. Desta forma

também passa a ter entendimento na concepção de números cada vez maiores,

mesmo antes de ter a noção do sentido e significado da ideia do infinito. Aos poucos

a humanidade começava medir o mundo, entendê-lo melhor, dispondo de alguns

segredos e artifícios aritméticos e algébricos propiciando através destes o

desenvolvimento da economia.

Sendo assim, tivemos a percepção que a moeda não é apenas uma

simples cédula que nos acompanha e que satisfaz as nossas múltiplas

necessidades. Ela está em um universo maior, que atende ao complexo sistema de

trocas da humanidade, e que, a cada momento também se evolui, pois é modificada

39 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

conforme as exigências das circunstâncias e é utilizada em todas as transações

econômicas e comerciais nas mais diversas formas.

2.5 A ORIGEM DOS BANCOS

O aparecimento das instituições financeiras (bancos) está intimamente

vinculado ao sistema de cálculo de juros compostos e da aplicação da Matemática

Comercial e Financeira em forma ampla. No apogeu das atividades comerciais, uma

das atividades dos negociantes foi a realização do comercio através do dinheiro:

difusão das moedas confeccionadas com ouro e prata.

O economista Max Weber em sua célebre obra A Ética Protestante e o

Espírito do Capitalismo, publicada na Alemanha no ano de 1904, demonstra de

forma clara a sua concepção acerca do papel desempenhado pelas instituições

bancárias ao longo da história conforme texto abaixo:

Têm sido feitos empréstimos de todo tipo e tem havido bancos com as mais diversas funções (...). Por onde existiram financiamentos monetários de corporações, apareceram os agiotas, como na Babilônia, na Grécia, na índia, na China, e em Roma. Financiaram guerras e piratarias, contratos e operações de construção de todo tipo. (...) Financiaram líderes partidários em eleições e condottieri em guerras civis. E finalmente, tem sido especuladores das oportunidades de ganho monetário de todos os tipos. (...) assim como das transações bancárias, eram de caráter predominantemente irracional e especulativo, ou direcionado para a aquisição pela força, sobretudo a aquisição do botim, tanto na guerra como na exploração fiscal contínua das pessoas a eles sujeitas. (WEBER, 1904, p. 6).

Com a evolução das atividades comerciais, do mesmo modo que nos

tempos dos conflitos provenientes das conquistas territoriais, as moedas eram

trocadas entre diferentes países, contudo o pagamento apenas poderia se dar

através do dinheiro do próprio país. Diante disso, nos limites territoriais de um país,

as moedas estrangeiras teriam que ser trocadas por dinheiro deste país. Da mesma

forma, mercadores e outros elementos detentores de muito dinheiro, que

regularmente viajavam ao estrangeiro, necessitavam da moeda de outros países,

que adquiriam com moeda nacional.

40 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Com o decorrer do tempo, tais comerciantes se familiarizaram bastante

em relação às moedas estrangeiras de maneira que começaram a acumulá-las em

grandes quantidades; iniciando assim o sistema de câmbio monetário, isso é o

comércio de dinheiro. A partir daí, ocorreu uma segmentação do espaço comercial:

simultaneamente aos mercadores que se detinham com a troca de artigos comuns,

apareceram os cambistas, ou seja, comerciantes aplicados à permuta de um artigo

específico: o dinheiro.

Os ourives [cambistas] estavam cansados de tanto dar recibos pelas mesmas moedas. Tiveram, então, uma grande ideia: em vez de ficarem entregando e guardando o ouro e a prata, era melhor que o comprador pagasse o vendedor com o recibo, que era, no final das contas, a prova de que o comprador tinha depósitos na casa do ourives. Essas foram as primeiras cédulas: recibos de papel que representavam uma quantidade de ouro e de prata.Além de guardar o dinheiro, os ourives começaram a emprestá-lo a reis, governantes e outras pessoas em troca de algum benefício ou favor. Assim, muitos ourives se tornaram os primeiros banqueiros. Durante muito tempo, os recibos dos ourives foram usados como cédulas, trocados pelo ouro e prata depositados nas arcas dos banqueiros. Hoje, continuamos usando cédulas, mas já não as trocamos por ouro e prata, como se fazia antes. Com elas, compramos as coisas de que precisamos ou que queremos (O QUE É DINHEIRO, 2002, p.14).

Em um pequeno espaço de tempo os cambistas acumularam

excepcionais somas de dinheiro através de suas operações financeiras. A partir daí,

passaram a exercer uma nova atividade: guardar e emprestar dinheiro. Naquele

tempo a ausência da figura estatal como guardião da segurança social e do

indivíduo, não era aconselhável que o cidadão conservasse em sua residência

muitas moedas de ouro e prata. As pessoas então confiavam seu dinheiro aos

cuidados de um cambista rico, que diligentemente o conservava e efetuava a

devolução ao respectivo proprietário quando solicitado pelo mesmo. Suponhamos

algum cambista que tenha juntado, desta maneira, em seu tesouro, enorme

quantidade de dinheiro.

Era obvio que ocorresse a seguinte ideia: “Porque guardarei tão grande

importância de dinheiro sem obter nenhum lucro?” – Logo pode se deduzir que a

palavra “lucro” está intimamente ligada ao conceito de finanças – É improvável que

todos os depositários, em um mesmo momento, façam o resgate ou saque imediato

do seu numerário. Foi então concebido pelos cambistas que emprestariam o

dinheiro a quem pedisse, com a obrigação de que o capital fosse pago em um prazo

41 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

pré-determinado com uma soma adicional. Percebemos assim, que a ideia de lucro

reaparece com maior força.

Desta forma surgiram as operações de crédito. Todos que, por algum

motivo estivem com necessidade de dinheiro – senhores feudais, comerciante e às

vezes o próprio monarca ou o erário público, lançavam mão ao cambista que lhes

socorria emprestando numerosas quantias de dinheiro a juros regulares.

É bastante antigo o conceito de juros, tendo sido amplamente divulgado e utilizado ao longo da História. Esse conceito surgiu naturalmente quando o homem percebeu existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo. Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda levariam normalmente a idéia de juros, pois se realizavam basicamente devido ao valor temporal do dinheiro (BERCELI, 2011).

A remuneração pelo empréstimo do dinheiro, ou juros, se referia ao

usufruto do dinheiro recebido. Em outras palavras era a compensação pela

exposição ao risco pela perda do capital por quem o emprestava. Todavia os juros

chegaram, em muitos casos, proporções inacreditáveis: Na Roma antiga os

cambistas exigiam de 50 a 100 por cento e na Idade Média de 100 a 200 por cento,

por vezes até mais, conforme a necessidade do solicitante ou do quantitativo

pleiteado. Neste caso, os juros foram denominados de usurário e o credor, de

usureiro. A atividade cambial era exercida pelo negociante de dinheiro sentado em

um bando de madeira em algum local do mercado. Deste modo surgiram os termos

“banqueiro” e “banco” (KILHIAN,2012).

No decorrer da história os sacerdotes foram os criadores dos primeiros

bancos que se tem conhecimento. Na antiguidade, entre os povos egípcios,

babilônios e posteriormente entre os gregos e romanos, era disseminado um hábito

em que os cidadãos mais afortunados deviam confiar a guarda de seu ouro aos

sacerdotes. A igreja cristã deu continuidade as práticas das operações financeiras

dos antigos sacerdotes, aos quais eram denominados “pagãos”, além de tê-la

desenvolvido em maior escala. Foi criado o “Banco do Espírito Santo” pela Igreja

Católica com um grande capital inicial. Segundo Gonçalves (2005) seu verdadeiro

propósito era tornar mais expedita a exação, aos fiéis, dos chamados "denários de

São Pedro" destinados a satisfazer as necessidades corte papal e para facilitar o

pagamento de dízimos e indulgências, assim como para a realização de transações

relacionadas com os empréstimos, em outras palavras, com a usura.

42 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Controversamente, na Idade Média, a Igreja promulgou um anátema8 e

através da “santa” inquisição sentenciou às masmorras os indivíduos cobrassem

juros pelo empréstimo do dinheiro, ainda que estes fossem inferiores aos juros

praticados pela Igreja. Esta mesma Igreja invocava a autoridade da Escritura

Sagrada no sentido de proibir a cobrança de juros por seus fieis. Por trás de tal

proibição havia um sentimento mundano e econômico apenas, pois esta instituição

religiosa pleiteava para si a exclusividade na cobrança de juros. Não obstante aos

prenúncios de castigo eterno, a Igreja ficou impossibilitada de reprimir a avidez por

ganhos e lucros pelas pessoas, até porque com a evolução do comercio fazia-se

necessário o progresso da rede bancária que se desenvolveu originalmente nas

principais cidades italianas que possuíam laços comerciais com locais mais distantes

do mundo conhecido até então.

A condenação à usura tornou-se especialmente disseminada na Europa durante a Idade Média, período no qual a Igreja Católica Romana exerceu uma influência política e cultural sem contestação. E a posição da Igreja Católica Romana, prevalente no período medieval até o final do século XIX, foi de condenação veemente ao que considerava ser o “pecado da usura” (F. FERREIRA, [2010] p.1).

Segundo Silva (2007) o primeiro banco privado foi fundado pelo Duque

Vitali em 1157, e os bancos foram um dos grandes propulsores práticos para o

avanço da economia e vida financeira da civilização moderna. Nos séculos

imediatamente seguintes, uma ampla rede bancária foi criada na Europa.

Diante disso, podemos sugerir que os bancos estão entre os baluartes

que propiciaram o desenvolvimento e avanço da Matemática Comercial e Financeira

e da Economia durante todos os tempos, uma vez que sem esta motivação para o

aperfeiçoamento dos cálculos, provavelmente, essa área da Matemática não teria

avançado tanto nos dias atuais.

8 Reprovação enérgica; condenação, repreensão, maldição, execração.

43 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

3 CAPÍTULO II – PRINCIPAIS CONCEITOS DOS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

Ao apanharmos emprestado um determinado capital ou ao realizarmos

um financiamento temos a possibilidade de efetuar o pagamento ou devolução do

capital tomado no empréstimo através de um único pagamento ou em parcelas. Em

ambas as situações, amortização tem sentido de devolução do capital a que se

constitui o referido empréstimo.

Normalmente os empréstimos à curto prazo são quitados através de uma

parcela única que agrupa ambos encargos financeiros (juros) e amortização

(capital). Para o pagamento de financiamentos à longo prazo são utilizados os

sistemas de amortização, com uma estruturação bem mais elaborada, possibilitando

o seu pagamento através de uma série de prestações (pagamentos) iguais ou não,

que via de regra são periódicas, cuja composição também constitui-se de encargos

financeiros (juros) e capital.

As prestações podem ser constantes ou não, antecipadas, postecipadas ou diferidas, sob uma taxa efetiva de juros. Cada uma das possibilidades de combinação de periodicidade, prestações e formas de cálculo de juro, caracteriza os diferentes Sistemas de Amortização (SANDRINI, 2007, p. 14).

No Brasil, devido às altas taxas de juros aplicadas, torna-se

extremamente importante um acurado cotejo entre as diversas formas de

capitalização; sendo este fato irrelevante para o fluxo de caixa do tomador e/ou

credor quando se tem baixos patamares de juros no mercado financeiro. No caso

das economias dos países desenvolvidos a taxa de juros anual é muitas vezes

menor do que a taxa mensal de países subdesenvolvidos ou em desenvolvimento

como é o caso do Brasil.

3.1 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS

44 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

De acordo com Silva (2012) “A palavra juro deriva de jus e juris, que

originariamente é empregado na acepção de direito. Aplicado no plural exprime o

ganho, o lucro que o detentor do capital aufere”. De forma bastante simples

podemos afirmar ainda que o juro é a remuneração ensejada pelo devedor ao credor

pela tomada do capital.

Na Idade Média, havia distinção entre empréstimo para produção – para o qual era admitida uma certa remuneração – e o empréstimo para o consumo – sobre o qual o juro era considerado, pela igreja, contrário ao interesse público. Devido a essa restrição, o Direito Romano estabeleceu uma regra interessante para a remuneração de empréstimos: o devedor não pagava juro se quitasse o empréstimo em dia, mas, se atrasasse, tinha de compensar o credor com base na diferença ou aquilo que está entre (em latim, “id quod interest”) a posição deste último com o que teria – e o que efetivamente tinha nessa data. É provável que, no século XIII, essa regra tenha sido disciplinada com a fixação de uma certa porcentagem acordada preliminarmente (KILHIAN, 2012, p. 2).

Segundo Vieira (2010, p. 42) “Os juros são uma espécie de compensação

por usar o dinheiro alheio. Os bancos pagam para ter o nosso dinheiro usado por

eles (poupança), e nós pagamos quando usamos o dinheiro deles (financiamento e

empréstimos)”.

No contexto da matemática financeira e necessário que se entenda com

clareza o diferencial entre juros e correção monetária; uma vez que enquanto o juro

é a remuneração sobre o capital emprestado, a correção monetária é o mecanismo

utilizado para corrigir eventuais distorções sobre o valor da moeda, par obtenção do

seu valor real (WIERZCHÓN, 2007, p. 1).

Na matemática financeira existem duas formas básicas utilizadas para

remuneração do capital aplicado: juro simples e juro composto, que também são

intitulados como regimes de capitalização. Neste trabalho faz-se necessário também

distinguir as formas como os juros são sucessivamente incorporados ao capital no

decorrer do tempo.

A capitalização do capital é o instante em que se aplica a taxa de juros

( )9 em cima do montante devedor. Esta capitalização pode ocorrer em tempos

específicos (ao dia, ao mês, ano) ou ocorrer continuamente ao longo do tempo.

9 Taxa unitária (do inglês, interest = juro),

45 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Segue abaixo breve demonstração dos modelos de capitalização usuais que são

utilizados na Matemática Financeira.

3.1.1 Capitalização contínua

Na capitalização contínua, a variável tempo ( ) é considerada como

infinitesimal. Nesta fração de tempo infinitamente pequena, a taxa de juros é

considerada uma taxa instantânea.

O conceito de capitalização continua perde muito do seu significado nas aplicações praticas, e por isto raramente e usado. Porem, existem ocasiões em que se admite que os fluxos monetários não são devidos ou recebidos em dado instante, mas que se encontram distribuídos no tempo. E o caso, por exemplo, da geração de lucro na operação de uma empresa, que ocorre ao longo do ano e que pode ser associado a um fluxo uniforme. O mesmo se da com o desgaste dos equipamentos (depreciação) e, como as entradas de caixa são constituídas de lucros gerados mais depreciação, podemos dizer que este e um fluxo que pode ser considerado uniformemente distribuído no tempo. Neste caso, e no tratamento matemático de certos modelos decisórios, o conceito de capitalização continua e muito útil (MATHIAS e GOMES, 2008, p. e).

Neste regime a capitalização se dá em intervalos de tempo extremamente

reduzidos, caracterizando um sistema infinitesimal de intervalos, produzindo

constante processo de capitalização com a taxa de juros considerada instantânea.

Segundo Sandrini (apud NEVES, 1982, p.26) o regime de capitalização contínua

“nada mais é que uma forma composta, sendo que a incorporação dos juros ao

capital se realiza a intervalos infinitesimais de tempo (grifo nosso)”.

Um capital inicial aplicado a uma taxa de juros anuais por um período

de anos capitalizado vezes ano. O montante após períodos de capitalização

pode ser obtido através da expressão:

46 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Para uma melhor compreensão da expressão utilizada para o cálculo da

capitalização em intervalos de tempo infinitesimais (contínua), temos abaixo o

teorema através do qual se deduz a equação anterior:

Teorema:

O montante sobre o capital inicial capitalizado continuamente ao

longo do tempo a uma taxa ao longo do tempo é dado pela função que

expressa a capitalização contínua, que pode ser descrita como:

Onde:

Montante;

Capital inicial;

Algarismo neperiano ( ...) 10;

Período de capitalização;

Taxa (em fração decimal).

Seja:

10

Número irracional base dos logaritmos neperianos, podendo ser definido como

.

Pode também ser calculado através da série de Taylor

.

47 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Fazendo:

Temos:

Se:

Então:

Através de estudos de cálculo demostra-se que:

Note na expressão acima que quando obtemos a capitalização de

juros composto em que a taxa de juros está na mesma frequência da capitalização.

Verifique que quanto maior for o , maior o montante capitalizado. Temos que ,

48 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

; se fizermos , e fizermos teremos uma capitalização instantânea

do capital para uma taxa .

Exemplo:

Um valor de poderá ser aplicado por dois anos a uma taxa

de a.a nos seguintes modelos de capitalização:

- Anual;

- Semestral;

- Trimestral;

- Mensal;

- Diário...

Analisemos agora a evolução do montante obtido sob cada um dos

fatores de capitalização:

Tabela 2 – Tabela (exemplo capitalização contínua).

Capitalização Fator de capitalização: Montante (R$)

Anual 1,2544000 R$ 25.088,00

Semestral 1,2624769 R$ 25.249,53

Trimestral 1,2667700 R$ 25.335,40

Bimestral 1,2682417 R$ 25.364,83

Mensal 1,2697346 R$ 25.394,69

Diário 1,2711983 R$ 25.423,96

Horária 1,2712470 R$ 25.424,94

1,2712491 R$ 25.424,98

Fonte: Elaborado pelo autor.

Para uma melhor percepção do regime de capitalização contínua, temos

abaixo o gráfico referente exemplo anterior, no qual podemos observar a evolução

49 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

do capital em função do tempo, em que o capital é calculado do intervalo anual até o

intervalo infinitesimal:

Gráfico 1 – Comparativo da evolução de um capital de R$ 20.000,00 aplicado a uma taxa de 12% a. a. por um período de 2 anos entre diferentes intervalos de capitalização.

De acordo com a tabela anterior podemos verificar por dedução que o

valor do montante não aumenta indefinidamente com a frequência da capitalização,

mas tende para um limite.

3.1.2 Capitalização descontínua

Segundo Sandrini (2007, p. 21), no sistema de capitalização descontínua

“os rendimentos ocorrem mensalmente; porém, somente num único momento do

prazo da taxa (dia de abertura da poupança) e não distribuidamente pelo mês”. A

capitalização descontínua pode ser classificada em simples e composta.

No modelo de capitalização descontínua, se convenciona, que os juros

são formados no final de cada período a que refere-se a taxa de juros. Se a taxa de

juros é de 5% ao mês, por exemplo, considera-se que o juro é formado não a cada

dia, ou semana, mas no final de cada período mensal.

50 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

3.1.2.1 Capitalização Simples ou método de Gauss11

Este modelo de capitalização é denominado simples em razão de que a

base da incidência da taxa de juros é simples, ou seja, é constituída por um único

valor que é denominado capital inicial. Este sistema demanda um único período de

capitalização e não admite fracionamento do prazo.

De acordo com os métodos tradicionais já convencionados de longas

datas, no modelo de capitalização simples o juro de cada período é igual ao produto

de por , perfazendo um montante final que é obtido pela conhecida fórmula:

Os juros gerados em cada um dos períodos são registrados, mas só serão pagos ao final da operação financeira; ou seja, somente ao final da operação financeira os juros devidos são agregados ao capital inicial para nova operação ou para pagamento e liquidação da operação atual (PUCCINI, 2007, p.27).

De acordo com Sandrini (2007) quando há mais de um período, o juro

simples oriundo em cada período é constante e proporcional ao capital que, quando

aplicado a uma taxa unitária ao fim de períodos promoverá um juro simples ( )

que será equivalente ao produto do capital ( ) pela taxa unitária ( ) e pelo número de

períodos de capitalização ( ), e um montante ( ) que será igual ao somatório do

juro com o capital inicial.

11 A base teórica do Sistema de Capitalização Simples (SCS), leva em consideração os estudos e teorias de Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matemático alemão, considerado por muitos como maior gênio da história da matemática; logo o Sistema de Capitalização Simples (SCS) é conhecido também por método de Gauss.

51 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Vejamos a seguir expressões matemáticas modeladas para utilização em

cálculos de juros com capitalização simples:

Juro resultante ao final de períodos (expressão genérica),

Como o montante é igual à soma do capital e os seus respectivos juros

simples,

Da igualdade anterior tem-se:

Colocando o (capital ou valor presente - VP) em evidência, temos,

Isolando o C, obtemos:

52 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Ainda neste contexto de capitalização simples se faz necessário também

uma abordagem acerca da conceituação e classificação das taxas aplicadas, dando

ênfase concernente aos prazos e aos juros produzidos.

As taxas são denominadas proporcionais quando se tem duas taxas

independentes e , que são vinculadas aos períodos e , com ambas

variáveis relacionadas sob a mesma unidade de tempo, sendo estas taxas

denominadas proporcionais quando houver equivalência entre os quocientes das

taxas com o quociente dos respectivos períodos (SANDRINI, 2007, p. 23).

Exemplo: Determinar a taxa mensal proporcional à taxa de 9% ao

trimestre.

ao mês.

3.1.2.2 Capitalização composta

Neste sistema de capitalização os juros oriundos ao fim de cada período

são adicionados ao capital para o cálculo do juro do período seguinte de maneira

sucessiva. Uma característica deste sistema de capitalização é a existência de mais

de um período de capitalização, ou seja, o fracionamento do prazo.

No regime de Capitalização Composta, os juros de cada período incidem sobre o capital inicial ( ) acrescido do montante de juros dos períodos anteriores, e não somente sobre o em cada período, como na capitalização simples. Dessa forma, o crescimento do valor futuro passa a ser exponencial e não mais linear, como no regime de capitalização simples (BM&FBOVESPA, 2012, p. 12).

Segundo Neto (2012, p.19) “ao contrário do que ocorre no Regime de

Capitalização Simples, no qual temos sempre o mesmo principal, neste regime o

53 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

principal muda a cada período de capitalização”. O principal é sempre o Montante ou

Valor Futuro ( ) do período anterior.

Quando há mais de um período, o juro obtido será integrado ao capital ( )

que, quando investido a uma taxa unitária ( ) ao longo de períodos, comporá um

montante ( ) que será igual ao produto do capital pelo fator de capitalização

composta , sendo que o juro ( ) será igual à diferença entre o montante e o

capital inicial.

Para o primeiro período não temos montante do período anterior. Assim,

os juros compostos do primeiro período são iguais aos juros simples, se usarmos a

mesma taxa e o mesmo capital e, obviamente, o montante também é o mesmo. Na

expressão verificamos que o juro ao fim do primeiro período é igual ao juro obtido no

regime da capitalização simples.

O montante ( ) é igual a adição do capital e os juros, logo:

Decompondo o capital através da igualdade anterior temos:

Ao fim de dois períodos, teremos o seguinte montante:

54 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Logo podemos definir matematicamente a expressão genérica da

capitalização composta para um número de períodos como:

ou

Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado por 12 meses a uma

taxa de 2,5% a.m. Ao final do período, temos um saldo de R$ 1.300,00 com a

capitalização simples, o que representa uma rentabilidade de 30% a.a., enquanto

que com a capitalização composta, chegamos ao montante de R$ 1.344,88,

equivalente a 34,48% a.a.

Vejamos agora o gráfico a seguir, elaborado com os mesmos dados do

exemplo acima, todavia com um período de 10 anos (120 meses):

55 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Gráfico 2 – Comparativo do capital de R$ 1.000,00 aplicado durante 120 meses a uma taxa de 2,5% a.m nos sistemas composto (exponencial) e simples (linear).

No gráfico acima podemos observar que o montante obtido através do

sistema de capitalização composta se evolui no gráfico através de uma curva com

característica exponencial, enquanto que no sistema de capitalização simples se

evolui de maneira análoga a uma reta.

56 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

4 CAPÍTULO III – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

No bojo deste capítulo procuraremos abordar e reiterar o entendimento

acerca das diversas metodologias dos sistemas de amortização de empréstimos e

financiamentos para fins de cálculo de prestações.

(...) A sucessão de depósitos ou de pagamentos (ou de recebimentos), em épocas diferentes, destinados a formar um capital ou a pagar (ou receber) uma dívida, é denominada renda ou série uniforme. (...) Essa sucessão de pagamentos pode se destinar ao pagamento de uma dívida, o que caracteriza uma amortização (CASTANHEIRA e MACEDO, 2006, p. 92).

Um sistema de amortização é um método pelo qual o capital emprestado

retorna ao credor através de uma sucessão de pagamentos. Essas parcelas são

uma renda12 cujo valor atual deve ser igual ao valor do empréstimo, e deve ser por

sua vez uma obrigação cujo valor final é equivalente à capitalização do empréstimo

após esses períodos.

Sandrini (2007, p. 53) destaca o seguinte, referente aos sistemas de

amortização:

“uma das aplicações mais importantes dos juros compostos envolve empréstimos que são liquidados em prestações com o passar do tempo. (...) Se um empréstimo deve ser restituído em quantias periódicas iguais (mensal, trimestral ou anualmente), ele é chamado de empréstimo amortizado, (...), a palavra amortizado vem do latim mors, que significa “morte”. Portanto, conclui-se que um empréstimo amortizado é aquele empréstimo liquidado com o tempo”.

Quando tomarmos um determinado capital emprestado ou ao realizarmos

um financiamento, teremos como possibilidade a restituição do capital ou o valor do

financiamento em parcelas ou em um pagamento único. Nos dois casos, amortizar

significa devolver o capital que se tomou emprestado (KISBYE; LEVSTEIN. 2009, p.

83).

Vejamos a definição de amortização por Sandroni (1999, p. 24) em sua

exaustiva obra DICIONÁRIO DE ECONOMIA:

12 Denomina um fluxo de unidade monetária por unidade de tempo.

57 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Redução gradual de uma dívida por meio de pagamentos periódicos combinados entre o credor e o devedor. Os empréstimos e hipotecas bancários são, em geral, pagos dessa forma. No caso de empréstimos a longo prazo, a amortização se faz mediante tabelas especiais nas quais se incluem os juros relativos ao capital a reembolsar.

Sobre o contexto deste capítulo buscamos confrontar os diversos

sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos, juntamente com os

principais métodos para o cálculo de prestações não uniformes (que se modificam a

cada período do empréstimo ou do financiamento). Seguem abaixo os sistemas de

amortização que são objeto de estudo neste trabalho:

Sistema Francês de Amortização (SF);

Sistema de Amortização Constante (SAC);

Sistema de Amortização Misto (SAM);

Sistema de Amortização Crescente (SACRE);

Sistema de Amortização Americano (SAA).

4.1 FLUXOS DE CAIXA

Castanheira e Macedo (2006, p. 92) define fluxo de caixa como uma

“sucessão de depósitos e/ou saques ou, ainda, de recebimentos e/ou pagamentos,

em dinheiro (caixa), previstos para determinado tempo, é denominada FLUXO DE

CAIXA”.

A análise dos sistemas de amortização faz conexão com o raciocínio

financeiro acerca da equivalência do capital envolvido na transação financeira.

Segundo Sandrini (apud PUCCINI, 2004, p. 44), “dois ou mais fluxos de caixa são

equivalentes, a uma determinada taxa de juros, se seus valores presentes (PV),

calculados com essa mesma taxa de juros, forem iguais”.

Os modelos fluxo de caixa se classificam em homogêneos (uniformes) e

heterogêneos (não uniformes), sendo que aqui procuraremos estudar apenas o

primeiro em virtude da estreita conexão existente entre este e a temática deste

trabalho.

58 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Conforme Castanheira e Macedo (2006, p. 92) “A sucessão de depósitos

ou de pagamentos (ou de recebimentos), em épocas diferentes, destinados a formar

um capital ou a pagar (ou receber) uma dívida, é denominada RENDA ou SÉRIE

UNIFORME”.

Sempre que um financiamento ou empréstimo sofre amortização

periódica, é preferível, tanto pela ótica do credor como do devedor, que as parcelas

sejam constantes para que possibilite de uma melhor administração do fluxo de

caixa. Este modal de pagamentos tem como ênfase os seguintes destaques:

Número de pagamentos finitos, uma vez que se tem conhecimento

prévio do prazo total do fluxo de caixa;

Os valores das prestações são iguais;

O lapso de tempo entre um pagamento e outro são iguais e constantes

podendo ser classificados como periódicos.

Quando o primeiro pagamento ocorrer no final do primeiro período, o

segundo pagamento no final do segundo e assim sucessivamente, esta

série de pagamentos é denominada postecipada (modelo padrão).

Quando o primeiro pagamento ou prestação da série ocorrer no

momento “zero”, ou seja, na data da contratação do empréstimo, esta

série é denominada antecipada.

4.1.1 Série de pagamento postecipado - modelo padrão (básico)

O fluxo de caixa postecipado pode ser representado através do seguinte

padrão gráfico:

59 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

O valor presente (VP) do fluxo de caixa acima (PGTO), a uma taxa ( )

efetiva definida a um período igual ao período do fluxo, é expresso através do

somatório dos valores presentes (data focal zero) de cada um de seus valores:

Podemos simplificar a expressão acima colocando e evidência a variável

, ficando então:

A soma das parcelas constitui a soma dos termos de uma progressão

geométrica limitada em que o primeiro termo e a razão são iguais a .

Como a soma da PG é

, obtém:

Fatorando a expressão acima, chega-se a expressão básica utilizada para

cálculo do valor presente do fluxo de caixa modelo padrão (básico):

Na expressão acima isolamos a variável PGTO, tendo então:

Podemos também representar o fluxo de caixa na forma padrão ou básica

em função do valor futuro conforme o padrão gráfico abaixo:

60 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

O valor futuro ( ) do fluxo de caixa ( ), para uma taxa efetiva ( )

definida a um período igual ao período do fluxo, poderá ser determinado pelo

somatório dos valores futuros (data focal ) de cada um dos seus valores. Tomando

como base a igualdade [ ], temos a expressão para o cálculo do valor futuro do

fluxo de caixa modelo padrão, que ocorrerá em data que coincide com a data da

última parcela ou prestação:

Simplificando a expressão acima, temos a expressão para o cálculo do

valor futuro de uma série postecipada:

4.1.2 Série de pagamento antecipado

Tomando como base o modelo-padrão, se a primeira parcela for paga na

ocasião como entrada, a série de pagamentos e chamada antecipada, pelo fato do

pagamento da primeira parcela estar sendo antecipado em um período (SANDRINI,

2007).

O fluxo de caixa de uma série antecipada pode ser representado

conforme o gráfico abaixo:

61 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Neste modelo todos os problemas de séries de pagamentos ou

recebimentos antecipados poderão ser equacionados a partir dos fatores tabelados

ou calculados para série de pagamentos postecipados (ou com termos vencidos),

bastando multiplicá-los ou dividi-los por .

Para obter o valor presente da série antecipada na data zero, temos que

multiplicar o fator do modelo postecipado (padrão) por :

Através de simplificação, podemos representar a expressão para cálculo

do valor presente em uma série antecipada:

Da expressão anterior podermos isolar a variável , tendo:

O fluxo de caixa de uma série antecipada também pode ser representado

em função do valor futuro conforme o gráfico abaixo:

62 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Abaixo temos a expressão para o cálculo do valor futuro (montante) do

fluxo de caixa com termos antecipados que ocorrerá um período após o último

depósito pagamento:

Logo temos também a expressão através da variável em função do

valor futuro:

4.2 CARACTERÍSTISCAS COMUNS DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Em todo sistema de amortização existe um empréstimo ( ) que deverá ser

liquidado através de prestações (quotas) equidistantes no tempo: , ,..., .

Cada uma das prestações se compõe de duas partes distintas:

,

onde se denomina parcela de amortização sobre o capital e a parcela juros. A

soma destas duas partes compõe o valor total da prestação ou parcela do sistema

de amortização:

A fração correspondente aos juros é calculada sobre o saldo devedor:

63 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Isso significa que a cada prestação o devedor quita uma parte do capital

emprestado e paga juros sobre o saldo devedor.

Após o devedor quitar a enésima prestação, o valor atual que resta pagar

é igual a:

Exemplo:

Suponha-se um empréstimo de R$ 1.000,00 que se amortiza em 3

prestações a cada 30 dias, e, cujas parcelas de amortização são de R$ 300,00, R$

300,00 e R$ 400,00 respectivamente. A taxa de juros mensal é de 2%.

Tabela 3 – Exemplo simplificado de série de pagamentos.

Prestação

Amortização

Juros

Valor da

prestação

Saldo

devedor

Fonte: Elaborado pelo autor:

No exemplo exposto através da tabela acima, onde temos a linha dois

que corresponde a segunda prestação, pode ser lido da seguinte forma: na segunda

prestação paga-se R$ 300,00 de amortização mais R$14,00 de juros, perfazendo

um valor total de R$314,00 resultando um saldo devedor correspondente a R$

400,00.

O valor atual do saldo devedor é:

64 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

O valor atual do saldo devedor calculado imediatamente após o

pagamento da primeira prestação é:

ou seja, o saldo devedor na época.

Neste contexto é de suma importância enfatizar que em qualquer sistema

de amortização é recomendável que se demonstre na composição da prestação ou

parcela o valor relativo aos juros e à amortização para atender às necessidades

fiscais e contábeis em razão dos juros serem dedutíveis para efeitos tributáveis.

4.3 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – TABELA PRICE

Este sistema é bastante utilizado no mercado de capitais e instituições

bancárias e comerciais no Brasil. É amplamente conhecido também como Tabela

Price em referência ao nome do matemático, filósofo e teólogo inglês Richard Price

que introduziu a teoria dos juros compostos às amortização de empréstimos. Quanto

a denominação “sistema francês”, deve-se ao fato deste sistema ter sido

efetivamente na França no século XIX (SANDRINI, 2007).

Segundo Ferreira Neto (2012, p. 46):

Este tipo de sistema é comumente utilizado nas aplicações financeiras afetas: a) empréstimos ou financiamentos imobiliários (Sistema Financeiro de Habitação); b) Crédito Direto ao Consumidor, isto é, chamados CDC: empréstimos por consignação em folha de pagamento – desconto direto pelo empregador, financiamentos de veículos ou eletrodomésticos, CDC salário, CDC construção, entre outros.

Ainda neste contexto destacamos que:

65 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

“(...) nesse sistema, é adotado o critério de rendas imediatas, ou seja, a amortização ocorre em parcelas periódicas, iguais e sucessivas (grifo nosso), com o primeiro pagamento ao fim do primeiro período contratado. Trata-se do sistema mais adotado pelas instituições financeiras e pelas construtoras no financiamento imobiliário“ (CASTANHEIRA e MACEDO, 2006, p. 166).

Como verificamos anteriormente, o sistema francês de amortização se

constitui em sistema de série uniforme de pagamentos, logo todas as prestações

são iguais, logo

Para determinarmos o valor das parcelas no sistema price utilizamos a

fórmula do modelo básico de renda:

Exemplo:

Demonstre através de uma planilha o valor das parcelas (amortização,

juros e saldo devedor) referente financiamento de um imóvel no valor de R$

100.000,00 através do sistema francês de amortização, sem correção monetária,

sob as seguintes condições:

- Entrada: R$ 10.000,00;

- 10 parcelas iguais e sucessivas, vencendo a primeira um mês após a

assinatura do contrato;

- taxa de juros composto 1,8% ao mês.

Tabela 4 – Exemplo de financiamento pelo modelo tabela PRICE.

Saldo devedor Amortização Juros Prestação

R$ 90.000,00 - - -

R$ 81.705,17 R$ 8.294,83 R$ 1.620,00 R$ 9.914,83

R$ 73.261,03 R$ 8.444,14 R$ 1.470,69 R$ 9.914,83

R$ 64.664,90 R$ 8.596,13 R$ 1.318,70 R$ 9.914,83

66 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

R$ 55.914,04 R$ 8.750,86 R$ 1.163,97 R$ 9.914,83

R$ 47.005,66 R$ 8.908,38 R$ 1.006,45 R$ 9.914,83

R$ 37.936,93 R$ 9.068,73 R$ 846,10 R$ 9.914,83

R$ 28.704,97 R$ 9.231,97 R$ 682,86 R$ 9.914,83

R$ 19.306,83 R$ 9.398,14 R$ 516,69 R$ 9.914,83

R$ 9.739,52 R$ 9.567,31 R$ 347,52 R$ 9.914,83

R$ 0,00 R$ 9.739,52 R$ 175,31 R$ 9.914,83

- ∑ = 90.000,00

Fonte: Elaborado pelo autor:

Podemos resumir de forma sucinta a proposta para elaboração da

tabela em um financiamento pelo Sistema Price através da coerente exposição de

Ferreira Neto (2012, p. 42) transcrita a seguir:

Na prática, primeiramente se calcula o valor da prestação, através de uma das equações matemáticas existentes, envolvendo Valor Presente (valor emprestado ou financiado), coeficiente de empréstimo ou financiamento, taxa de juros e o prazo (períodos). Depois se calcula o valor dos juros do período sobre o valor emprestado ou financiado, no primeiro período, através da aplicação da taxa estabelecida no contrato, posteriormente estes juros são calculados sobre o Saldo Devedor (valor emprestado ou financiado remanescente) no início de cada período. Por fim, se calcula o valor da amortização, a qual é subtraída do Saldo Devedor, pois a amortização é a diferença entre o valor da prestação e os juros do período. Por isso, os juros decrescem enquanto as amortizações crescem, ao longo dos períodos.

4.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC

Como está explicito na própria nomenclatura deste sistema, temos

parcelas de amortização constante ao longo do período da dívida.

Sandrini (2007, p. 148) observa que:

“(...) a denominação SAC origina-se de sua principal característica, que é amortizar o valor do empréstimo de forma constante e periódica, fazendo com que a taxa efetiva de juros incida sobre um saldo devedor decrescente a essa constante. Por consequência, os juros e as prestações também decrescem a um valor constante, caracterizando uma progressão aritmética, cuja razão é o resultado da multiplicação do valor dessa amortização constante pela taxa efetiva periódica”.

67 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Para elaboração da planilha de amortização através do sistema SAC

temos que efetuar a divisão do capital ou principal pelo número de períodos do

empréstimo ou financiamento. Logo:

Lembramos que:

Como os juros são calculados sempre tomando como base o saldo

devedor, temos:

Castanheira e Macedo (2006, p. 176) faz a seguinte ressalva:

“(...) no SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE, as prestações diminuem ao longo do período contratado, uma vez que, sendo a parcela de amortização constante e sendo o juro calculado sobre o saldo devedor, a cada parcela paga, o saldo devedor diminui, diminuindo, assim, o juro da parcela seguinte”.

Vemos o exemplo abaixo de como ficaria o seguinte financiamento

através do sistema SAC:

Um imóvel no valor de R$ 100.000, 00 foi negociado através do sistema

de amortização constante – SAC, sob as seguintes condições:

- entrada de R$ 10.000,00

- dez parcelas mensais, vencendo a primeira um mês após a assinatura

do contrato;

- taxa de juros composto a 1,8 % ao mês.

Vejamos abaixo como fica a planilha do financiamento demonstrando o

valor das parcelas, as amortizações, juro e saldo devedor ao longo do tempo:

68 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Tabela 5 – Exemplo de financiamento através do sistema SAC.

Nº da Parcela PARCELA Amortização: Juro da parcela Saldo devedor

0 R$ 90.000,00

1 R$ 10.620,00 R$ 9.000,00 R$ 1.620,00 R$ 81.000,00

2 R$ 10.458,00 R$ 9.000,00 R$ 1.458,00 R$ 72.000,00

3 R$ 10.296,00 R$ 9.000,00 R$ 1.296,00 R$ 63.000,00

4 R$ 10.134,00 R$ 9.000,00 R$ 1.134,00 R$ 54.000,00

5 R$ 9.972,00 R$ 9.000,00 R$ 972,00 R$ 45.000,00

6 R$ 9.810,00 R$ 9.000,00 R$ 810,00 R$ 36.000,00

7 R$ 9.648,00 R$ 9.000,00 R$ 648,00 R$ 27.000,00

8 R$ 9.486,00 R$ 9.000,00 R$ 486,00 R$ 18.000,00

9 R$ 9.324,00 R$ 9.000,00 R$ 324,00 R$ 9.000,00

10 R$ 9.162,00 R$ 9.000,00 R$ 162,00 R$ 0,00

∑ = 90.000,00

Fonte: Elaborado pelo autor:

4.5 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO – SAM

Esse sistema foi criado pelo extinto BNH - Banco Nacional de habitação

buscando conciliar os ganhos e percas da tabela Price e SAC, introduzindo assim

um Sistema de Amortização Misto – SAM. Sendo que este sistema é muito utilizado

pelo governo na compra da casa própria e tem como técnica, há média aritmética

entre o sistema Price e SAC.

Quanto a esta modalidade de pagamento, ainda destacamos que:

(...) esse sistema foi criado pelo Banco Nacional da Habitação - BNH e constitui-se num misto entre o Price e o SAC, originando-se daí a sua denominação, e complementa que “o SAM é um plano de pagamentos composto por prestações cujos valores são resultantes da média aritmética dos valores das prestações dos planos SAC e Price, correspondentes aos respectivos prazos; os valores das parcelas de amortização e juros resultam da mesma regra” (SANDRINI apud VIEIRA SOBRINHO, 2000, p. 239).

Para determinarmos o valor das parcelas no sistema misto utilizaremos o

seguinte modelo matemático:

69 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Onde:

PSAM – Parcela Sistema de Amortização Misto;

ASAM – Amortização Sistema de amortização Misto;

JSAM – Juros Sistema de Amortização Misto.

Exemplo:

Demonstre através de uma planilha o valor das parcelas (amortização,

juros e saldo devedor) referente financiamento de um imóvel no valor de R$

110.000,00 através do sistema Misto de amortização, sem correção monetária, sob

as seguintes condições:

- entrada: R$ 20.000,00;

- 10 parcelas iguais e sucessivas, vencendo à primeira um mês após a

assinatura do contrato;

- taxa de juros composto 1,8% ao mês.

70 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Tabela 6 – Exemplo de financiamento através do modelo SAM.

Saldo

devedor Amortização Juros Prestação

R$ 90.000,00

R$ 81.352,58 R$ 8.647,42 R$ 1.620,00 R$ 10.267,42

R$ 72.630,52 R$ 8.722,07 R$ 1.464,35 R$ 10.186,42

R$ 63.832,45 R$ 8.798,07 R$ 1.307,35 R$ 10.105,42

R$ 54.957,02 R$ 8.875,43 R$ 1.148,98 R$ 10.024,42

R$ 46.002,83 R$ 8.954,19 R$ 989,23 R$ 9.943,42

R$ 36.968,47 R$ 9.034,36 R$ 828,05 R$ 9.862,42

R$ 27.852,48 R$ 9.115,98 R$ 665,43 R$ 9.781,42

R$ 18.653,41 R$ 9.199,07 R$ 501,34 R$ 9.700,42

R$ 9.369,76 R$ 9.283,65 R$ 335,76 R$ 9.619,42

R$ 0,00 R$ 9.369,76 R$ 168,66 R$ 9.538,42 Fonte: Elaborado pelo autor.

4.6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE – SACRE

O sistema SACRE foi criado pela Caixa Econômica Federal para

aquisição da casa própria, através de financiamento, tendo sua origem do Sistema

Financeiro de Habitação. Neste método o cálculo da primeira prestação é calculada

de forma idêntica à prestação no sistema SAC.

A denominação SACRE origina-se de sua principal característica, que é amortizar o valor do empréstimo de forma crescente, em progressão geométrica, cuja razão é o resultado do quociente entre uma amortização e a amortização anterior, exceto quando do recálculo do valor das prestações a cada doze meses e a última (SANDRINI, 2007, p. 200).

O valor da prestação mensal inicial, a qual se mantém constante por 12

meses, é determinado de forma muito parecida ao sistema SAC, ou seja, o valor da

amortização constante mais o juro do primeiro período. Esse cálculo se repete a

cada um ano, 12 meses, em que se faz uso do saldo devedor.

Ainda neste contexto destacamos que:

“(...) o sistema SACRE foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização do valor emprestado, reduzindo-se, simultaneamente, a parcela de juros sobre o saldo devedor, e as prestações mensais são calculadas com base no saldo devedor existente no início de cada período

71 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

de 12 meses, da mesma forma como se obtém o valor da prestação do SAC. O autor alerta sobre a possibilidade de haver saldo remanescente no final do contrato, lembrando que o mutuário terá direito à devolução quando o saldo residual for negativo e, caso contrário, para a liquidação total da dívida, deverá efetuar o pagamento desse valor” (BRANCO, 2002, p. 175).

Exemplo:

Um imóvel no valor de R$ 120.000,00 foi financiado em 1° de dezembro

de 2002 pelo Sistema de Amortização crescente nas seguintes condições:

- Entrada de R$ 20.000,00;

- Vinte e Quatro (24) parcelas mensais, vencendo a primeira um mês após a

assinatura do contrato;

- Taxa nominal de juro composto de 10,6% ao ano;

- Tendo correção monetária mensal conforme variação da TR.

Com base nesses dados, preencha uma planilha demonstrando, ao longo do

tempo, o valor das parcelas, as amortizações, o juro e o saldo devedor.

Sendo:

72 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Sendo assim, as 12 primeiras parcelas são iguais a R$ 5.049,67. Logo

após um ano, um cálculo identico será efetuado novamente, para determinar o valor

das próximas 12 parcelas. Para fazer o calculo, considera-se o saldo devedor

naquele instante, já corrigido monetariamente conforme valor da TR.

Após o pagamento da 12ª prestação, o saldo devedor era de R$ 51.535,22.

Sobre esse saldo foi calculado o valor das 12 prestações seguintes.

73 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Tabela 7 – Exemplo de financiamento através do sistema SACRE.

VENC. PRESTAÇÃO AMORTIZAÇÃO JUROS SALDO

DEVEDOR TR (%)

SALDO

DEVEDOR + TR

- 0 0 0 R$ 100.000,00 0,003609 R$ 100.360,90

1°/01/2003 5.049,67 4.163,48 886,19 96.197,42 0,004878 R$ 96.666,67

1°/02/2003 5.049,67 4.196,10 853,57 92.470,57 0,004116 R$ 92.851,18

1°/03/2003 5.049,67 4.229,79 819,88 88.621,39 0,003782 R$ 88.956,56

1°/04/2003 5.049,67 4.264,18 785,49 84.692,38 0,004184 R$ 85.046,73

1°/05/2003 5.049,67 4.298,70 750,96 80.748,02 0,004650 R$ 81.123,50

1°/06/2003 5.049,67 4.333,35 716,32 76.790,16 0,004166 R$ 77.110,06

1°/07/2003 5.049,67 4.368,78 680,88 72.741,28 0,005464 R$ 73.138,74

1°/08/2003 5.049,67 4.403,85 645,82 68.734,89 0,004038 R$ 69.012,44

1°/09/2003 5.049,67 4.440,29 609,38 64.572,15 0,003364 R$ 64.789,37

1°/10/2003 5.049,67 4.477,58 572,09 60.311,79 0,003213 R$ 60.505,58

1°/11/2003 5.049,67 4.515,40 534,26 55.990,17 0,001776 R$ 56.089,61

1°/12/2003 5.049,67 4.554,40 495,27 51.535,22 0,001899 R$ 51.633,08

2°/01/2004 4.749,66 4.293,74 455,92 47.339,35 0,001280 R$ 47.399,94

2°/02/2004 4.749,66 4.331,12 418,54 43.068,82 0,000458 R$ 43.088,55

2°/03/2004 4.749,66 4.369,19 380,47 38.719,36 0,001778 R$ 38.788,21

2°/04/2004 4.749,66 4.407,16 342,50 34.381,05 0,000874 R$ 34.411,10

2°/05/2004 4.749,66 4.445,81 303,85 29.965,29 0,001546 R$ 30.011,62

2°/06/2004 4.749,66 4.484,65 265,00 25.526,96 0,001761 R$ 25.571,92

2°/07/2004 4.749,66 4.523,86 225,80 21.048,06 0,001952 R$ 21.089,14

2°/08/2004 4.749,66 4.563,44 186,22 16.525,70 0,002005 R$ 16.558,84

2°/09/2004 4.749,66 4.603,44 146,21 11.955,39 0,001728 R$ 11.976,05

2°/10/2004 4.749,66 4.643,91 105,75 7.332,14 0,001108 R$ 7.340,27

2°/11/2004 4.749,66 4.684,84 64,81 2.655,43 0,001146 R$ 2.658,47

2°/12/2004 4.749,66 4.726,18 23,47 -2.067,71 0,002400 R$ 0,00

Fonte: Elaborado pelo autor.

74 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Obs. Verifique que neste exemplo, após o pagamento da ultima parcela o saldo

devedor é negativo, isso significa que o mutuário tem direito a devolução do valor.

Ressaltamos a divergência de autores na literatura pesquisada quanto à

classificação do sistema SACRE como um autêntico sistema de amortização, como

Sandrini (2007, p. 201) que o desqualifica, “uma vez que, quando do pagamento

da última prestação deve ser realizado um encontro de contas para o

zeramento do saldo, o que descaracteriza o SACRE como sistema de

amortização” (grifo do autor).

4.7 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO – SAA

O sistema de amortização Americano tem como fundamento o pagamento

periódico apenas dos juros do financiamento e a devolução do valor emprestado

somente no final do prazo acordado (no final do contrato). Este é motivo de vários

autores o classificarem como “Sistema de Juros Constantes”. No sistema de

Amortização Americano existe muitos casos em que os juros não são pagos

periodicamente, sendo assim, o saldo devedor deve ser capitalizado, pois, como se

pode perceber no sistema americano não há amortização durante o período

estipulado do empréstimo e sim a quitação do mesmo, no final do prazo.

Ainda neste contexto destacamos que:

(...) Quem toma empréstimo nesse sistema deve normalmente formar um fundo para amortizar o principal; se a taxa do fundo for igual à taxa do empréstimo, tudo se passará como no sistema francês, pois o desembolso total será igual à prestação desse sistema” (SANDRINI apud CASAROTO FILHO e KOPITTKE, 2007, p. 76)

Exemplo:

Foi feito um empréstimo de R$ 18.000,00 pelo sistema americano e

ficando acertado que, durante certo período de carência, que será cobrado juros

compostos a uma taxa de 3% ao mês. Estabeleça como foi efetuado esse

75 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

pagamento, supondo que a amortização do capital emprestado ocorreu no décimo

mês depois de ser tomado o empréstimo.

Nos nove primeiros meses foi pago foram pagos os juros, referente ao

valor emprestado.

Tabela 8 – Exemplo de financiamento através do sistema SAM.

VENCIMENTO CAPITAL (TAXA) JUROS PARCELA

- R$ 18.000,00 3% -

01/01/2012 R$ 18.000,00 3% R$ 540,00 R$ 540,00

01/02/2012 R$ 18.000,00 3% R$ 540,00 R$ 540,00

01/03/2012 R$ 18.000,00 3% R$ 540,00 R$ 540,00

01/04/2012 R$ 18.000,00 3% R$ 540,00 R$ 540,00

01/05/2012 R$ 18.000,00 3% R$ 540,00 R$ 540,00

01/06/2012 R$ 18.000,00 3% R$ 540,00 R$ 540,00

01/07/2012 R$ 18.000,00 3% R$ 540,00 R$ 540,00

01/08/2012 R$ 18.000,00 3% R$ 540,00 R$ 540,00

01/09/2012 R$ 18.000,00 3% R$ 540,00 R$ 540,00

01/10/2012 R$ 18.000,00 3% R$ 540,00 R$18.540,00

Fonte: O próprio autor.

Desta forma foi pago no décimo mês o valor emprestado mais os juros,

R$18.540,00. Totalizando assim um total de R$ 23.400,00, sendo que deste

montante, houve pagamento de R$ 5.400,00, somente de juros.

76 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

5 CAPÍTULO IV – O EFEITO DAS CAPITALIZAÇÕES DOS JUROS NOS

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO.

Conforme ampla demonstração dos diversos sistemas de amortização de

empréstimos existentes no campo da matemática financeira, faremos agora

comparações através de simulação de empréstimos e financiamentos tendo como

objetivo sempre proporcionar subsídios à tomada de decisão de maior viabilidade no

campo financeiro, além de servir de fundamento para instrução didático e prática ao

técnico ou estudante, ensejando exemplo de sistemas de amortizações em

operações financeiras.

Segundo Ferreira Neto [2012, p. 2],

Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos ou financiamentos de médio ou longo prazo que acarreta a devolução, através de períodos mensais, semestrais, anuais ou outras grandezas de tempo, do valor financiado (capital principal ou Valor Presente) juntamente com os acréscimos financeiros contratados (correção monetária, juros remuneratórios, juros moratórios e multa moratória), cujos encargos surgem da avença contratual expressa em uma de suas cláusulas do empréstimo ou do financiamento.

Um atributo importante nos métodos de amortização é a aplicação do

critério de juros compostos no que tange a capitalização, ou seja, a prática da

cobrança de juros sobre juros que a legislação denomina anatocismo13.

Em continuidade ao nosso trabalho, faremos uma abordagem peculiar

apenas em relação aos sistemas de amortização Tabela Price, SAC e SACRE por

termos chegado à conclusão que estes são os modelos de sistemas de amortização

que realmente estão em evidência no mercado financeiro, principalmente sob o

ponto de vista do financiamento imobiliário, além de que, são preconizados pela

legislação brasileira através do § 3o do Art.15-B da Lei 4.380 (21/08/1964):

Nas operações de empréstimo ou financiamento de que dispõe o caput é obrigatório o oferecimento ao mutuário do Sistema de Amortização Constante - SAC e de, no mínimo, outro sistema de amortização que atenda

13 Anatocismo é um acréscimo monetário que se denomina de juro, tornando-se base de cálculo de

um novo acréscimo monetário, incorporando aquele juro a outro juro em uma mesma operação financeira, isto é, capitalização do juro sobre juro. Anatocismo é à capitalização do juro multiplicada pela taxa de juro (juros sobre juros).

77 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

o disposto nos §§ 1o e 2

o, entre eles o Sistema de Amortização Crescente -

SACRE e o Sistema Francês de Amortização - Tabela Price (BRASIL. Lei 4.380, de 21/08/1964).

5.1 O COMPORTAMENTO DOS JUROS, AMORTIZAÇÃO E SALDO DEVEDOR

NA TABELA PRICE SAC E SACRE

Segue-se então a análise dos principais sistemas de amortização,

verificando suas características quanto aos pagamentos das prestações, quotas de

juros e amortização, que tem como objetivo analisar de forma mais detalhada, a

planilha de cálculo de cada sistema. Poderá ser verificado qual dentre os sistemas

de amortização melhor se adequaria como opção de amortização de dívida oriundas

de empréstimos e financiamentos, onde esta análise deve ser verificada tanto sob a

ótica do mutuário e também do agente financiador.

5.1.1 Tabela Price

Para fins de análise comparativa vejamos o valor da prestação referente

um capital no valor de R$ 50.000,00, emprestado a uma taxa nominal de 1,2% ao

mês durante vinte anos, onde também podemos observar a evolução do montante e

juros pagos ao final deste empréstimo. Lembramos que para determinarmos o valor

das parcelas no sistema price utilizaremos sempre a fórmula do modelo básico de

renda:

78 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Tabela 9 – Planilha de amortização através do sistema PRICE.

n JUROS AMORTIZAÇÃO PAGAMENTO SALDO DEVEDOR

0

R$ 50.000,00

1 R$ 600,00 R$ 36,34 R$ 636,34 R$ 49.963,66

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

12 R$ 594,90 R$ 41,43 R$ 636,34 R$ 49.533,98

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

24 R$ 588,53 R$ 47,81 R$ 636,34 R$ 48.996,24

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

36 R$ 581,17 R$ 55,17 R$ 636,34 R$ 48.375,74

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

48 R$ 572,68 R$ 63,66 R$ 636,34 R$ 47.659,75

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

60 R$ 562,88 R$ 73,45 R$ 636,34 R$ 46.833,58

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

72 R$ 551,58 R$ 84,76 R$ 636,34 R$ 45.880,26

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

84 R$ 538,54 R$ 97,80 R$ 636,34 R$ 44.780,23

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

96 R$ 523,49 R$ 112,85 R$ 636,34 R$ 43.510,91

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

108 R$ 506,12 R$ 130,22 R$ 636,34 R$ 42.046,25

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

120 R$ 486,08 R$ 150,26 R$ 636,34 R$ 40.356,19

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

132 R$ 462,95 R$ 173,39 R$ 636,34 R$ 38.406,04

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

144 R$ 436,27 R$ 200,07 R$ 636,34 R$ 36.155,76

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

156 R$ 405,48 R$ 230,86 R$ 636,34 R$ 33.559,19

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

180 R$ 328,96 R$ 307,38 R$ 636,34 R$ 27.105,74

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

204 R$ 227,07 R$ 409,27 R$ 636,34 R$ 18.513,15

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

216 R$ 164,08 R$ 472,25 R$ 636,34 R$ 13.201,47

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

228 R$ 91,41 R$ 544,93 R$ 636,34 R$ 7.072,36

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

240 R$ 7,55 R$ 628,79 R$ 636,34 R$ 0,00

R$ 102.721,20 R$ 50.000,00 R$ 152.721,20

Fonte: Elaborado pelo autor.

79 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Como subsídio adicional para um melhor entendimento, poderemos

demonstrar o comportamento do juro e amortização no Sistema Price, em relação ao

valor periódico das prestações através do gráfico abaixo:

Gráfico 3 – Cálculo da prestação no sistema PRICE através de um empréstimo de R$ 50.000,00 durante 240 meses a uma taxa de 1,2% a.m.

Verificamos que enquanto o valor da prestação se mantém constante, a

amortização aumenta em detrimento dos juros que seguem em constante queda.

5.1.2 SAC – Sistema de Amortização Constante

Agora o mesmo exemplo do sistema anterior, cuja prestação agora é

calculada através do sistema de amortização constante (SAC), onde neste caso

podemos visualizar ao final do empréstimo o somatório de juros e prestações, além

de observarmos que a quota de amortização permaneceu constante durante o

decorrer do tempo:

80 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Tabela 10 – Planilha de amortização através do sistema SAC.

n JUROS AMORTIZAÇÃO PAGAMENTO SALDO DEVEDOR

0

R$ 50.000,00

1 R$ 600,00 R$ 208,33 R$ 808,33 R$ 49.791,67

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 12 R$ 572,50 R$ 208,33 R$ 780,83 R$ 47.500,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 24 R$ 542,50 R$ 208,33 R$ 750,83 R$ 45.000,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 36 R$ 512,50 R$ 208,33 R$ 720,83 R$ 42.500,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 48 R$ 482,50 R$ 208,33 R$ 690,83 R$ 40.000,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 60 R$ 452,50 R$ 208,33 R$ 660,83 R$ 37.500,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 72 R$ 422,50 R$ 208,33 R$ 630,83 R$ 35.000,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 84 R$ 392,50 R$ 208,33 R$ 600,83 R$ 32.500,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 96 R$ 362,50 R$ 208,33 R$ 570,83 R$ 30.000,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 108 R$ 332,50 R$ 208,33 R$ 540,83 R$ 27.500,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 120 R$ 302,50 R$ 208,33 R$ 510,83 R$ 25.000,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 132 R$ 272,50 R$ 208,33 R$ 480,83 R$ 22.500,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 144 R$ 242,50 R$ 208,33 R$ 450,83 R$ 20.000,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 156 R$ 212,50 R$ 208,33 R$ 420,83 R$ 17.500,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 180 R$ 152,50 R$ 208,33 R$ 360,83 R$ 12.500,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 204 R$ 92,50 R$ 208,33 R$ 300,83 R$ 7.500,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 216 R$ 62,50 R$ 208,33 R$ 270,83 R$ 5.000,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 228 R$ 32,50 R$ 208,33 R$ 240,83 R$ 2.500,00

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 240 R$ 2,50 R$ 208,33 R$ 210,83 R$ 0,00

R$ 72.300,00 R$ 50.000,00 R$ 122.300,00

Fonte: Elaborado pelo autor

81 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Para um melhor entendimento, podemos demonstrar no Sistema de

Amortização Constante – SAC, o comportamento do juro e amortização em relação

ao valor periódico das prestações através do gráfico abaixo:

Gráfico 4 – Cálculo da prestação no sistema PRICE através de um empréstimo de R$ 50.000,00 durante 240 meses a uma taxa de 1,2% a.m.

De maneira análoga ao gráfico 2, temos acima a demonstração do

comportamento do juro e amortização em relação ao valor periódico das prestações

no sistema de Amortização Constante (SAC). Agora, porém, obervamos que o valor

dos juros e da prestação segue em queda constante enquanto a amortização

permanece no mesmo valor durante todo o período do financiamento.

5.1.3 SACRE – Sistema de Amortização Crescente.

Agora utilizaremos também o mesmo exemplo já apresentado nos

sistemas anteriores, porém com a diferença de que agora a prestação é calculada

através do Sistema de Amortização Crescente (SACRE):

82 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Tabela 11 – Planilha de amortização através do sistema SACRE.

(n) VENC. PREST. AMORT. JUROS SALDO DEV. SALDO DEV. CORRIGIDO

0

R$ 50.000,00 R$ 50.000,00

1 - 1º /01/1996 R$ 808,33 R$ 208,33 R$ 600,00 R$ 49.791,67 R$ 49.791,67

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 13 - 2º /01/1997 R$ 775,52 R$ 207,58 R$ 567,94 R$ 47.120,64 R$ 47.120,64

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 25 - 3º /01/1998 R$ 742,78 R$ 206,79 R$ 535,99 R$ 44.459,31 R$ 44.459,31

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 37 - 4º /01/1999 R$ 710,12 R$ 205,95 R$ 504,17 R$ 41.808,19 R$ 41.808,19

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 49 - 5º /01/2000 R$ 677,54 R$ 205,07 R$ 472,47 R$ 39.167,84 R$ 39.167,84

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 61 - 6º /01/2001 R$ 645,04 R$ 204,13 R$ 440,92 R$ 36.538,88 R$ 36.538,88

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 73 - 7º /01/2002 R$ 612,63 R$ 203,13 R$ 409,50 R$ 33.922,04 R$ 33.922,04

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 85 - 8º /01/2003 R$ 580,29 R$ 202,05 R$ 378,24 R$ 31.318,11 R$ 31.318,11

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 97 - 9º /01/2004 R$ 548,04 R$ 200,90 R$ 347,15 R$ 28.728,04 R$ 28.728,04

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 109 - 10º /01/2005 R$ 515,87 R$ 199,64 R$ 316,23 R$ 26.152,90 R$ 26.152,90

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 121 - 11º /01/2006 R$ 483,78 R$ 198,27 R$ 285,51 R$ 23.593,97 R$ 23.593,97

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 133 - 12º /01/2007 R$ 451,75 R$ 196,75 R$ 254,99 R$ 21.052,78 R$ 21.052,78

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 145 - 13º /01/2008 R$ 419,78 R$ 195,06 R$ 224,71 R$ 18.531,17 R$ 18.531,17

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 157 - 14º /01/2009 R$ 387,85 R$ 193,15 R$ 194,70 R$ 16.031,47 R$ 16.031,47

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 181 - 16º /01/2011 R$ 323,90 R$ 188,31 R$ 135,59 R$ 11.110,54 R$ 11.110,54

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 205 - 18º /01/2013 R$ 258,96 R$ 180,84 R$ 78,12 R$ 6.329,41 R$ 6.329,41

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 217 - 19º /01/2014 R$ 224,92 R$ 174,63 R$ 50,29 R$ 4.016,43 R$ 4.016,43

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 229 - 20º /01/2015 R$ 186,05 R$ 162,63 R$ 23,42 R$ 1.788,91 R$ 1.788,91

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 240 - 20º /12/2015 R$ 186,05 R$ 185,43 R$ 0,62 -R$ 134,10 -R$ 0,00

R$ 120.009,00 R$ 50.134,10 R$ 69.874,90

Fonte: Elaborado pelo Autor.

83 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Para uma melhor compreensão deste método podemos demonstrar que

no Sistema de Amortização Crescente - SACRE, o comportamento do juro e

amortização em relação ao valor periódico das prestações através do gráfico abaixo:

Gráfico 5 – Cálculo da prestação no sistema SACRE através de um empréstimo de R$ 50.000,00 durante 240 meses a uma taxa de 1,2% a.m.

De maneira análoga aos gráficos 2 e 3, temos acima uma demonstração

do comportamento do juro e amortização em relação ao valor periódico das

prestações no sistema de Amortização Crescente (SACRE). Agora obervamos que o

valor da prestação permanece constante durante o subperíodo 14 de 12 meses,

quando ocorre uma queda brusca ocasionada pelo recálculo do valor da prestação

com base no saldo devedor; quanto à amortização segue em linha crescente

durante o subperíodo de 12 meses quando ocorre uma queda ocasionada também

pelo recálculo da prestação; em relação aos juros, a exemplo dos sistemas

anteriormente comentados, também segue em constante queda até o valor final.

Vale ressaltar que ao final do contrato ocorrerá um saldo remanescente que deverá

ser ressarcido ao mutuário.

14 Obviamente, nos contratos de financiamento de imóveis, temos subperíodos de um ano, mas em

princípio, o sistema pode ser adaptado a outros subperíodos (por exemplo, semestres, trimestres ou quadrimestres) para contemplar outras finalidades.

84 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

5.2 CONSIDERAÇÕES ADICIONAIS ACERCA DOS SISTEMAS PRICE, SAC E

SACRE

Segue abaixo algumas considerações que julgamos ser de fundamental

importância quanto a análise financeira acerca dos sistemas de amortização que são

objeto deste estudo.

5.2.1 Quota de juros

Como em todas as tabelas já apresentadas anteriormente, foi

exaustivamente demonstrado o comportamento dos juros em todos os sistemas de

amortização, que foram claramente visualizados através de planilhas e gráficos, nos

quais identifica-se que os juros são decrescentes e não se somam ao saldo devedor.

Gráfico 6 – Comparação quanto ao somatório de juros pagos entre os sistemas de amortização PRICE / SAC e SACRE ao longo de 240 meses sob um capital de R$ 50.000,00 a uma taxa mensal de 1,2%.

Também podemos observar com base no somatório dos juros pagos ao

longo do financiamento ou empréstimo o Sistema Price produz um montante maior

de juros pagos, enquanto no sistema SACRE o montante de juros é menor, ficando

o sistema SAC em um nível intermediário entre os demais.

85 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

5.2.2 Quota de amortização

Concernente às quotas de amortização, enquanto no SAC – Sistema de

Amortização Constante, por definição, as quotas de amortização são pré-fixadas; na

tabela Price elas iniciam-se com um valor moderado bem inferior ao SAC, todavia se

mantém em constante crescimento; no sistema de Amortização Crescente - SACRE,

também por definição, as quotas de amortização se evoluem de forma crescente

durante o subperíodo (12 meses no exemplo apresentado) quando ocorre o

recálculo da prestação com base no saldo devedor do período anterior motivando

uma queda brusca valor da amortização, situação que se repete até o final dos

subperíodos do financiamento.

Gráfico 7 – Comparação em relação a evolução das quotas de amortização entre os sistemas de amortização PRICE / SAC e SACRE ao longo de 240 meses sob um capital de R$ 50.000,00 a uma taxa mensal de 1,2%.

86 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

5.2.1 Evolução do valor da prestação

No gráfico abaixo, verificamos que no SAC – Sistema de Amortização

constante, o valor inicial da prestação é consideravelmente maior ao valor da

prestação no sistema Price, fato este que se justifica devido o devedor pagar menos

juros no SAC quando comparado à tabela Price. Esta situação não poderá suscitar

nenhuma divergência quanto ao modo do cálculo de juros, uma vez que o devedor

optou por amortizar através de quotas de maior valor, e, consequentemente diminui

o tempo de utilização do capital emprestado. Em relação ao sistema SACRE cabe

dizer que esta sucessão de pagamentos se evolui de forma crescente, a exemplo

também das quotas de amortização, durante o subperíodo (12 meses no exemplo

apresentado), quando ocorre o recálculo da prestação com base no saldo devedor

do período anterior motivando a queda do valor, situação que se repete até o final

dos subperíodos do financiamento.

Gráfico 8 – Comparação em relação a evolução das prestações entre os sistemas de amortização PRICE / SAC e SACRE ao longo de 240 meses sob um capital de R$ 50.000,00 a uma taxa mensal de 1,2%.

87 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

5.3 CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE OS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

ESTUDADOS

Na parte conclusiva deste trabalho gostaríamos de pontuar alguns prós e

contras acerca dos sistemas de amortização ora estudados, uma vez que a tomada

de decisão quanto à escolha deste ou aquele sistema é algo extremamente relativo

e intimamente relacionado às diversas variáveis envolvidas neste processo, seja sob

a ótica do mutuário ou da instituição financeira.

Salientamos que todos os sistemas de amortização estudados admitem a

inclusão de fator de correção monetária sobre o saldo devedor, assim como

encargos bancários, despesas administrativas sobre operações de crédito, seguros,

dentre outros, contudo tais ônus não se constituem na principal premissa deste

trabalho tem por finalidade apenas mostrar os modelos matemáticos apropriados

pelos operadores de crédito.

5.4 CONCLUSÕES FUNDAMENTAIS DO COTEJO ENTRE OS SISTEMAS DE

AMORTIZAÇÃO

Quando verificamos o comportamento dos recursos envolvidos entre as

séries de amortização PRICE, SAC e SACRE verificamos que em todos os sistemas

os juros decrescem, existindo assim um impacto mais significativo no início do

empréstimo em relação às quotas de amortização dos sistemas SAC e SACRE,

ressaltando que:

- Tanto no SAC como no SACRE, o valor da parcela inicial é maior que no

PRICE, e, consequentemente, a prestação permanece superior aos outros sistemas

estudados, ocorrendo o mesmo com a quota de amortização;

- à proporção em que a prestação no SAC vai sendo reduzida, diminui a

distância entre a quota de amortização analisada neste sistema concernente ao

sistema PRICE;

88 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

- Como no SAC a prestação no início da dívida é maior que no sistema

PRICE, o somatório pago a título de juros, no decorrer do contrato, é menor se

comparado ao sistema Price;

- A integração das quotas de amortização, seja em qualquer sistema de

amortização, é equivalente, logo é o valor do capital tomado;

- No sistema PRICE, devido as prestações terem valor pré-fixado e

inferiores logo no início do financiamento, quando confrontado aos demais sistemas

de amortização, chega a se considerado um ponto positivo deste método, todavia,

no começo os juros pagos são elevados e o valor de amortização é bastante

reduzido. O elevado pagamento de juros no primeiro momento ocasiona o

pagamento do empréstimo durante um longo período tornando este sistema

dispendioso em relação aos demais modelos de financiamento;

- O Sistema SAC tem como principal atrativo o valor decrescente das

prestações, e, como ponto a ser ponderado, a necessidade do mutuário efetuar um

maior desembolso no início do contrato, quando comparado aos demais modais de

pagamento de dívidas com amortização escalonada;

- A totalidade de juros pagos através do sistema PRICE suscita

constantes críticas a este sistema, em particular quando os dados do mesmo são

cruzados com o SAC, contudo é necessário salientar que esta situação não é

ocasionada por nenhuma incoerência deste método, mas apenas e tão somente,

devido o mutuário do SAC ter um maior abatimento da sua dívida através da quota

de amortização (mais elevada) no pagamento da prestação, logo existe uma

amortização maior do capital tomado, e, por conseguinte, menor pagamento de juros

no decorrer da evolução do financiamento.

- O fato da expressão matemática utilizada para cálculo da prestação na

tabela PRICE estar na forma exponencial, não enseja a capitalização de juros,

contudo apenas se define com a estrutura ou algoritmo matemático que possibilita

apurar o valor constante das prestações (REZENDE, 2003).

- Quando existe coerência em um sistema de amortização, o mesmo se

constitui num modelo matemático em que o valor presente (VP) do fluxo de caixa

89 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

(PGTO), a uma taxa ( ) efetiva definida a um período igual ao período do fluxo, é

expresso através do somatório dos valores presentes (data focal zero) de cada um

de seus valores:

Assim, podemos concluir reiterando que todos estes sistemas de

amortização foram projetados no objetivo de se estabelecer uma série programada

de pagamentos (principal + juros), possibilitando ao mutuário o seu pagamento

gradual até a quitação total do empréstimo, que se conclui ao fim do prazo

programado. Além disso, possibilitam às partes acordarem o ritmo de pagamento da

dívida no escopo de propiciar a segurança do credor e favorecer o planejamento

financeiro do tomador.

Tendo como base tudo que foi apresentado durante este trabalho,

elaboramos em forma de tabela (na próxima página), um resumo, mostrando assim

os prós e os contras em cada sistema de amortização.

90 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

Tabela 12 – Resumo dos sistemas de amortização.

Comparativos Tabela PRICE SACRE - Sistema de

Amortização Crescente SAC - Sistema de

Amortização Constante

Juros

Composto por amortização de juros;

Amortização é mais rápida diminuindo o valor dos juros;

Os juros são calculados sobre o residual, como é amortizado, os juros caem assim como a mensalidade final;

Juros maiores que no SACRE e SAC;

Prestação durante todo período de empréstimo

Financiamento em parcelas iguais;

Prestações fixas durante 12 meses;

A quota de amortização permanece constante enquanto perdurar o contrato.

Pela Tabela PRICE, o comprador começa a pagar seu imóvel com prestações mensais mais baixas que às do SACRE. Ao longo do contrato, no entanto, as prestações sobem progressivamente, superando, e muito, às do SACRE.

Prestações mensais mantêm-se próximas da estabilidade e no decorrer do financiamento, seus valores tendem a decrescer;

As prestações são periódicas e mais altas no inicio, contudo vão diminuindo no decorrer do tempo;

A prestação inicial é menor

A prestação inicial é maior, mas decresce com o tempo;

Sistema decrescente, já que desde o começo há a amortização;

Saldos Residuais

Sem residual reajuste feito durante o financiamento

Sim. È recomendável se puder, desembolsar mais no começo;

Não existe ocorrência de saldo residual;

Correção do saldo devedor

(TR)

Atualmente, o saldo devedor é corrigido pela TR (Taxa Referencial), agravando ainda mais essa diferença e, dependendo de como é feita a correção da prestação, pode ficar maior em todas as tabelas, crescendo mais no Sistema de Amortização Francês (tabela PRICE).

Conforme contrato celebrado entre as partes.

Conforme contrato celebrado entre as partes.

Fonte: Elaborado pelos autores.

91 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

6 CONCLUSÃO

Podemos afirmar que geralmente o estudo da Matemática Financeira tem

como objetivo apreciar as taxas de juros seja nas aplicações ou nos empréstimos

(REZENDE apud SIMONSEN & EWALD, 2003), sendo esta afirmativa de grande

relevância e extrema relação com o cerne deste trabalho, no que se refere à

demonstração de que no sistema SACRE, Tabela PRICE, SAC, ou mesmo qualquer

outro sistema matemático de amortização, desde que haja consistência, o ônus do

dinheiro, para o mutuário, é rigorosamente igual à taxa de juros anuída no contrato

de financiamento.

No que concerne à procura do melhor sistema de amortização, é mister

destacar que, sob o ponto de vista matemático, haverá equivalência entre todos os

sistemas de amortização que forem adotados em uma operação creditícia, desde

que haja consistência nos mesmos, e, todavia, quando for trazido a valor presente

os fluxos de caixa que se espera para qualquer um deles, o resultado será

precisamente o mesmo, ou seja, a importância que está sendo concedida no

momento “zero” e, o dispêndio do capital também será equivalente à taxa de juros

contratada.

A disponibilidade do acesso a bens de consumo, produção e moradia não

são variáveis que dependem exclusivamente dos sistemas de amortização, todavia

está relacionada também às políticas de rendas e/ou subsídios. Lembrando sempre

que, em face inflação, elevadas taxas de juros e defasagem salarial, nenhum

sistema de amortização será capaz de atender, mesmo minimamente, os anelos,

quer seja dos mutuários ou dos agentes financiadores, os primeiros pela

incapacidade de solvência do débito e os segundos no que se refere liquidez dos

contratos negociados.

Somos sabedores que se vivêssemos em um país, historicamente sem

inflação, provavelmente não seria factível o questionamento se este ou aquele

sistema de amortização possui maior ou menor viabilidade econômica, ou se a quota

deveria ser deduzida antes da correção do saldo devedor; pois acreditamos que, sob

o ponto de vista do tomador, o melhor sistema de amortização é aquele que atenda

92 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

suas necessidades de rotina, ou seja, que dado seu estado financeiro, subtraído das

demais despesas que ocorrerão durante o período em que perdurar o empréstimo,

lhe possibilite solver os pagamentos, com o menor custo possível compatível com

seus recursos econômicos.

Destarte, seja do lado do agente financeiro ou do mutuário, podem surgir

paradoxos em que em determinada circunstância deseja-se uma prestação de maior

valor com a redução do tempo de pagamento e em outras situações, poderá

também ser desejável que se tenha uma prestação de menor valor, ficando ambos

os casos sujeito à diversas variáveis, principalmente da capacidade de pagamento

do tomador e do comportamento das taxas de juros no mercado financeiro.

Finalmente, concluímos que foi alcançado o objetivo maior deste trabalho:

conceber um estudo de caráter técnico acerca deste tema; minorar nossas dúvidas,

ao menos, na ampla seara do saber matemático; evidenciar através de cálculos,

tabelas e gráficos a controvérsia em relação a capitalização de juros nos sistemas

estudados, todavia sem jamais ter a pretensão de esgotar este assunto, antes

propondo contribuir para aprofundar e atender o interesse acadêmico e do público

em geral nesta área da Matemática Financeira.

93 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

REFERÊNCIAS

ARISTÓTELES. A Política. [S.l.: s.n., 300 a.C].

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 4. ed. São Paulo:Atlas, 1998.

BERCELI, Claudemir Sidney. A História da Matemática Financeira. Disponível em:

<http://www.administradores.com.br/informe-se/artigos/a-historia-da-matematicafinanceira/30965/>. Acesso em 11/08/2012.

BERTOLO, Luiz Antonio. O VALOR do dinheiro no tempo. Disponível em: <http://www.bertolo.pro.br/matfin/Apostila.pdf>. Acesso em 10 Jul. 2012.

BM&FBOVESPA, Instituto Educacional. Matemática Financeira. Capítulo I. 598 p.

2012.

BRANCO, Anísio Costa Castelo. Parecer ao MP/SP sobre Programa Minha Casa, Minha Vida. São Paulo. 2009. CRA/SP 66.199.

BRASIL. Lei 4.380, de 21 de agosto de 1964. Disponível em: < http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/L4380.htm >. Acesso em 30/12/2012.

CASTANHEIRA, Nelson; MACEDO, Luiz Roberto Dias. MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA. 20. Ed. Curitiba: IBPEX, 2006. 276 p.

COSÉR FILHO, Marcelo Salvador. Aprendizagem da matemática financeira no Ensino Médio: uma proposta de trabalho a partir das planilhas eletrônicas. 2008.

152 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) – Universidade Federal do Rio grande do Sul, Porto Alegre, 2008.

Cynthera, Óphis De. As Tábuas BABILÔNICAS. Disponível em:< http://showthemagic.blogspot.com.br/2011/04/as-tabuas-babilonicas.html>. Acesso em 05/09/2012.

DIAZ, Beatriz Rodríguez; DOMINGUEZ, Eugenio J. Luque; LOPERA, Francisca M.ª García. La enseñanza de las Matemáticas Financieras. Disponível em:<

http://www.extoikos.es/n4/pdf/18.pdf>. Acessado em 20/10/2012.

D’AMBROSIO, Nicolau. D’AMBROSIO, Ubiratan. Matemática Comercial e Financeira e Complementos de Matemática para os cursos do 2º grau. 20.ª

edição. Companhia Editorial Nacional. São Paulo, 1972., EGUERATO, Elizabete. A Matemática do Renascimento ao Século XVII. Disponível em:< http://www.cefetsp.br/edu/guerato/mathist/apresentacoes/do_renascimento_ao_seculo_xvii.pdf >. Acesso em 05/09/2012.

94 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

ENCYCLOPAEDIA BRITANNICA. Antoine-Augustin Cournot. Disponível em:

<http://www.britannica.com/EBchecked/topic/140586/Antoine-Augustin-Cournot >. Acesso em 12/12/2012. F. FERREIRA, Ricardo. O dilema ancestral dos juros [2010]. Disponível em:

<http://www3.mg.senac.br/NR/rdonlyres/efne6ckfy7ojkg5zka63yesapv3d2gvarqehsbzeczj2r7icxe6wuk4h3dndmd2ygqrforyrknwxqe/O%2BDilema%2BAncestral%2Bdos%2BJuros.pdf>. Acesso em 20/12/2012. FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Dicionário Aurélio – Século XXI. Versão eletrônica. Rio de Janeiro: Nova Fronteira. 2006. FERREIRA NETO, Mário. Estudo dos métodos ou sistemas de amortização.

Disponível em < http://www.slideshare.net/marioferreiraneto/estudo-dos-mtodos-ou-sistemas-de-amortizaes-matemtica-financeira >. Acesso em 25/12/2012. GIOVANNI, José Ruy. JÚNIOR, José Ruy Giovanni. Matemática: pensar &

descobrir. Nova edição. São Paulo. FTD, 2005.

GITMAN, Lawrence Jeffrey. Princípios de administração financeira. 10.ed. New

York: Prentice Hall, 2003.

GONÇALVES, Jean Piton. Breve História da Matemática Comercial e Financeira. 2005. Disponível em: < http://www.somatematica.com.br/historia/matfinanceira.php > GROETSCHEL, Martin. Kiyoshi Itô, premio Carl Friedrich Gauss. 2012.

Disponível em: < http://www.icm2006.org/dailynews/gauss_ito_info.pdf>. Acessado em 20/11/2012.

GUZMÁN, Céssar Aching. Matemáticas Financieras para toma de decisiones empresariales. [S.l: Sn., 2006]. 306 p.

HUBERMAN, Leo. História da riqueza do homem. Zahar Editores, 1981[S.l.].

KISBYE, Patricia; LEVSTEIN, Fernando. Todo lo que usted quiere saber sobre MATEMÁTICA FINANCIERA pero no se anima a perguntar. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación. Instituto Nacional de Educación Tecnológica, 2009. 188 p. LIMA, ANTONIO CARLOS. Economia de Empresas. São Paulo, UVB, 2004. MATEMÁTICA Financeira. Disponível em: < http://sucessopleno.blogspot.com.br/p/matematica-financeira_21.html >. Acesso em 05/09-2012. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática Financeira. 5 ed. São Paulo: Editora Atlas, 2008. 22 p. (Material de apoio).

95 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

MOTTA, Luzmar Vieira. TABELA PRICE – as duas realidades da capitalização dos

juros. Disponível em: http://www.uberlandia.net/new/empresas/imagens/236561610320010542310310610160410410237/ARQ_4773_60.pdf. Acesso em 12/12/2012.

MOREIRA, Fernando Ricardo et al. Juros: Conceitos e Aplicações. Disponível em:<

http://www.conhecer.org.br/enciclop/2010/juros.pdf>. Acesso em 19/08/2012.

NETO, João Cândido Pereira de Castro. Curso de Matemática Financeira. 2012.

Curitiba (PR). [s.n]. O QUE É O DINHEIRO? Banco Central do Brasil, 12/2002. Cadernos BC (Série

Educativa). OLIVERO, Mário. História da matemática através de problemas. Rio de Janeiro : UFF / CEP – EB, 2007. 160p. – (Curso de Instrumentação para o Ensino de Matemática).

PADOVEZE, Clóvis Luiz; GIULIANI, Antônio Carlos; FRANCISCHETTI, Carlos Eduardo. Resgate histórico da relação exponencial sobre os juros compostos,

[S.l.: s.n., 2004], Paginação irregular.

POMPEU, José Maria. Breve história da estatística. Brasília (DF). Embrapa. 2004. 111 p. PUCCINI, Ernesto Coutinho. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva: 1999.

208 p. REZENDE, Teotônio Costa. Os Sistemas de Amortização nas Operações de Crédito Imobiliário: A Falácia da Capitalização de Juros e da Inversão do Momento

de Deduzir a Quota de Amortização. 2003. 166 p. Dissertação (Mestrado em gestão estratética) - Universidade Federal do Rio de Janeiro.

RICIERI, Aguinaldo Prandini. Matemática: Ensino e Aplicação. São Paulo: Prandiano, 2002.

ROSETTI JUNIOR, Hélio; SCHIMIGUEL, Juliano. Matemática Financeira:

Educação Matemática e a História monetária. 2011. Disponível em: < http://www.conhecer.org.br/enciclop/2011b/ciencias%20exatas%20e%20da%20terra/matematica%20financeira.pdf >. Acesso em: 10/08/2012.

ROSETTI JUNIOR, Hélio; SCHIMIGUEL, Juliano. Educação matemática financeira: conhecimentos financeiros para a cidadania e inclusão. Inter Science

Place.. Revista Científica Internacional. Ano 2, Nº 9. 2009. [S.l.] SANDRINI, Jackson Ciro. Sistemas de Amortização de Empréstimos e a Capitalização de Juros: Análise dos impactos financeiros e patrimoniais. 2007, 289

f. Dissertação (Mestrado em Contabilidade) – Universidade Federal do Paraná. Curitiba, 2007.

96 LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos.

SANDRONI, Paulo. Novíssimo Dicionário de Economia. São Paulo. Best Seller.

1999. 650 p. SIDINEY, Claudemir. A história da Matemática Financeira. 2009. Disponível em: < http://www.administradores.com.br/artigos/economia-e-financas/a-historia-da-matematica-financeira/30965/ > SEGREDO, Marcelo Fernando. O Anatocismo com os dias Contados. 2004. Disponível em: <http:// www.ongabc.org.br>. Acessado em 10/11/2012. SILVA, Heraldo de Oliveira. Os juros moratórios sob a égide do Novo Código Civil. EPM – Escola Paulista da Magistratura. Disponível em: < http://www.epm.tjsp.jus.br/Sociedade/ArtigosView.aspx?ID=3091>. Acesso em 20/10/2012. Tábuas numéricas e gráficos de Cálculo. Disponível em: < http://www.prof2000.pt/users/amma/wwwmat/descobrimentos/a%20matem%C3%A1tica%20nos%20descobrimentos.html#Tábuas numéricas >. Acesso em 05/09/2012.

TRUMAN, Harry. A História do Dinheiro [S.l.: s.n., 2000.].

VIEIRA, Leandro Carvalho. A matemática financeira no ensino médio e sua articulação com a cidadania. 2010. 94 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade Severino Sombra. WEBER, Max. A ética protestante e o espírito do capitalismo. 2ª edição.

Tübinger. 1904. 87 p.

WIERZCHÓN, Silvana. Aparecida. Diferenciação entre Juros e Correção Monetária. Disponível em:< http://artigos.netsaber.com.br/resumo_artigo_25564/artigo_sobre_diferencia%C3%87%C3%83o_entre_juros_e_corre%C3%87%C3%83o_monet%C3%81ria>.

ZENTGRAF, Roberto. Matemática Financeira Objetiva. 4. ed. Rio de Janeiro:

Editoração Ed. E ZTG Ed.. 2003.

LIMA, Marcelo Guedes; MOREIRA, Gilson Valle. Sistemas de Amortização de Empréstimos. 2012. 90f. Trabalho de Conclusão de Curso – Universidade do Estado do Pará, Paragominas, 2012.

Centro de Ciências Sociais da Educação Curso de Matemática Rodovia PA-125 S/N

68625-000 Paragominas-PA www.uepa.br