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1Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
• Para o computador, tudo são números.
• Números são números, letras são números e sinais de pontuação , símbolos e até mesmo as instruções do próprio computador são números.
• O método ao qual estamos acostumados usa um sistema de numeração posicional.
• Valor total do número soma dos valores relativos de cada algarismo;
• Valor relativo de cada algarismo multiplicação do algarismo pelapotência da base, cujo expoente é zero na posição mais à direita, 1 na posiçãoseguinte, e assim sucessivamente.
2Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
• Bases - Forma Geral
N10 = D.b0 + D.b1 + D.b2 + ..... + D.bN
D dígito ( esquerda direita )
b baseN posição
3Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
Cada algarismo em um número altera seu valor de uma potência de 10 (na base 10) para cada casa à esquerda.
Exemplo: 125 = 1 representa 100 (uma centena ou 102)
2 representa 20 (duas dezenas ou 2x101)5 representa 5 (cinco unidades ou 5x100).
125 = 1x 102 + 2x101 + 5x100
4Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
A representação 125,3810 (base 10) significa:1x102 + 2x101 + 5x100 + 3x10-1 + 8x10-2 :
Generalizando, representamos uma quantidade N qualquer, numa dada base b, com um número tal como segue:
Nb = an.bn + .... + a 2.b2 + a 1.b1 + a 0.b0 + a 1.b -1 + a2.b-2 + .... + an.b-n
parte fracionáriaparte inteira
5Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
• Bases - Sistema Binário
Conjunto de 0 e 1Correspondência do binário com decimal :
N = D.20 + D.21 + D.22 + ..... + D.2N
Peso de cada dígito 2N-1 ( N posição que o dígito ocupa )
Exemplo :
1011 ( sistema binário) 11 ( sistema decimal)10112 = 1.20 + 1.21 + 0.22 + 1.23
= 1 + 2 + 0 + 8 = 1110logo (1011)2 = (11)10
6Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
• Bases - Sistema Octal
Conjunto de 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7Correspondência do octal com decimal :
N = D.80 + D.81 + D.82 + ..... + D.8N
Peso de cada dígito 8N-1 ( N posição que o dígito ocupa )Exemplo :
506 ( sistema octal) 326 ( sistema decimal)5068 = 6.80 + 0.81 + 5.82
= 6 + 0 + 320 = 32610logo (506)8 = (326)10
7Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
• Bases - Sistema Hexadecimal
Conjunto de 0 ,1, 2, 3, 4,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,A, B, C, D, E, FCorrespondência do hexa com decimal :
N = D.160 + D.161 + D.162 + ..... + D.16N
Peso de cada dígito 16N-1 ( N posição que o dígito ocupa )Exemplo :
2AF ( sistema hexadecimal) 687 ( sistema decimal)2AF16 = 15.160 + 10.161 + 2.162
= 15 + 160 + 512 = 68710logo (2AF)16 = (687)10
8Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
F1111
E1110
D1101
C1100
B1011
A1010
991001
881000
7770111
6660110
5550101
4440100
3330011
2220010
1110001
0000000
HEXADECIMALOCTALBINÁRIO
9Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
(100010000)2(272)10
(1)(0)22(0)
24(0)28(1)(0)
21714(0)
2348(0)(0)2681612
2136072272
Converter um Número Decimal para Binário
10Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
• Converter um Número Decimal para outro Sistema
Dividir sucessivamente o número no sistema decimal pela base , atéobter quociente 0, tomando-se os restos na ordem inversa a que tiverem sido obtidos
Ex. : (220)10 = ( 334 ) 8
(3)(3)(4)
82760
8220
11Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
• Mudanças entre duas Representações Diferentes da Decimal1. Converter o número em decimal2. Converter o resultado obtido no sistema desejado
Ex. (420)8 = ( )2
(420) 8 = 0.8 0 + 2.81 + 4.82 = 0 + 16 + 256 = (272)10 (272)10 = ( )2
12Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
(100010000)2(420)8
(1)(0)22(0)
24(0)28(1)(0)
21714(0)
2348(0)(0)2681612
2136072272
13Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
• ou simplesmenteoctal binário
1. separar cada dígito do número octal substituí-lo pelo seu valorcorrespondente de binário.
2. cada dígito octal é representado por 3 dígitos binários.(420) 8 = ( 100 010 000)2
(420) 8 = ( 100010000)2
14Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
• binário octal
1. processo inverso ao anterior: 2. agrupar os dígitos binários de 3 em 3, da direita para a equerda;3. substituir cada três dígitos binários pelo equivalente octal;
( 100010000)2 = (420) 8 100 010 000
000 = 0010 = 2100 = 4
15Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
• binário Hexadecimal
1. Converter o número em decimal2. Converter o resultado obtido no sistema desejado;
( 100010000)2 = ( )16
0.2 0 + 0.21 + 0.22 + 0. 23 + 1.24 + 0.25 + 0.26 + 0. 27 + 1. 28 = 0 + 0 + 0 + 0 + 16 + 0 + 0 + 0 + 256 = (272)10
17Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
• ou simplesmentebinário Hexadecimal
1. agrupar os dígitos binários de 4 em 4, da direita para a esquerda;2. substituir cada 4 dígitos binários pelo equivalente hexadecimal;
( 100010000)2 = (110) 16 0001 0001 0000
0000 = 0 0001 = 10001 = 1
18Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
Conversão: Octal – Hexadecimal
1. converter o número octal em binário;2. depois converter o binário para o sistema hexadecimal,
agrupando-se os dígitos de 4 em 4 e fazendo cada grupocorresponder a um dígito hexadecimal.
− (1057)8 --> (x)16
1. (1057)8 = (001 000 101 111)2
2. (001000101111)2 0010 0010 1111 2 2 F
3. (1057)8 --> (22F)16
19Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
Conversão: Hexadecimal – Octal
1. converter o número hexa em binário;2. depois converter o binário para o sistema octal;
− (1F4)16 --> (x)8
1. (1F4)16 = (0001 1111 0100)2
2. (000111110100)2 000 111 110 100 (0)8 (7)8 (6)8 (4)8
3. (1F4)16 = (764)8
20Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
• Números fracionários
•De uma base qualquer para base 10A parte inteira é convertida, como foi visto.A parte fracionária é convertida de forma análoga à parte
inteira, com os expoentes crescendo negativamente.
• Exemplos:Base 2 - 111,011x22 + 1x21 + 1x20 | 0x2-1 + 1x2-2 =4 + 2 + 1 | 0 + 0,25 = 7,25
21Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
• Números fracionários
•De uma base 10 para outras basesA parte inteira é convertida, como foi visto.A parte fracionária é multiplicada pela base de destino tantas
vezes quantas casas decimais se desejar; a cada multiplicação, pega-se o dígito que passa para a esquerda da vírgula, volta-se a pegar apenas as casas decimais restantes e prossegue-se até zerar o resultado ou atingir a aproximação desejada.
• Exemplos:5,25 para base 2 101,012parte inteira = 5 = 1012parte fracionária 0,25x2 = 0,50 00,50x2 = 1,00 1
22Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
• Números fracionários
Exemplos: 15,33 para base 2, usando 10 dígitos fracionários
parte inteira = 15 = 11112
parte fracionária 0,33x2 = 0,66 0 0,66x2 = 1,32 10,32x2 = 0,64 0 0,64x2 = 1,28 10,28x2 = 0,56 0 0,56x2 = 1,12 10,12x2 = 0,24 0 0,24x2 = 0,48 00,48x2 = 0,96 0 0,96x2 = 1,92 1
(15,33)10 (1111,0101010001)2
23Profa. Maria Auxiliadora
Sistema de Numeração
• Aritmética dos Sistemas de Numeração
ADIÇÃO
0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 1 1 + 1 = 0 (e “vai 1” para o dígito de ordem superior)1 + 1 + 1 = 1 (e “vai 1” para o dígito de ordem superior)
Ex. 1010 100111 7
10001 17