Sistema Binario

SIMR – Vlad,Alberto,Fresneda

¿Qué símbolos crees que se utilizan?

Binario (2): 0,1 = Base 2

Trinario(3): 0,1,2 = Base 3

Octal(8): 0,1,23,4,5,6,7 = Base 8

Decimal(10): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 = Base 10

Ejemplo de conversión: Aunque lo veremos más adelante, vamos a ver un pequeño ejemplo

Conversión de trinario (B3) a decimal (B10)

Con la tabla de la derecha, tenemos que hacer potencias de 3 (base 3 – trinario

Ejemplo: 210121 (B3)

= 2^5 + 1^4 + 0^3 + 1^2 + 2^1 + 1^0 = 37 (B10)

Los ordenadores representan los valores numéricos mediante grupos de bits agrupados en bytes

Ejemplo:

Número 3 = 00000011

Se cuenta de derecha a izquierda

Tiene activos los bits primero y segundo

El sistema binario es de base 2.

El que utilizamos normalmente es el Decimal, como su nombre indica: de base 10.

En este sistema se cuenta del 0 al 9.

Ejemplo: 22 en decimal = dos 10 y dos 1

NOTAS sobre el binario:

El valor 0, ya que significa OFF, no lo contamos.

El valor 1, si se cuenta, sumando sus resultados según la posición en la que se encuentre situado.

Posición BIT Valor Decimal Valor Binario

1 1 1

2 2 10

3 3 11

4 4 100

5 5 101

6 6 110

7 7 111

8 8 1000

Recordando las bases…

Binario: Base 2

Decimal: Base 10

Equivalente de decimal en binario:

128 64 32 16 8 4 2 1

Sin olvidar la tabla mágica …

¿Qué significa 10000000 en Decimal?

Seguimos la tabla de arriba y…

De IZQ a Derecha

1(128)+0(64)+0(32)+0(16)+0(8)+0(4)+0(2)+0(1) = 128

128 64 32 16 8 4 2 1

Sin olvidar la tabla mágica …

¿Qué significa 11001000 en Decimal?

Seguimos la tabla de arriba y…

De IZQ a Derecha

1(128)+1(64)+0(32)+0(16)+1(8)+0(4)+0(2)+0(1)=200

128 64 32 16 8 4 2 1

Refrescamos la tabla mágica…

Unas reglas básicas

Hay que ir restando según la posición y el valor de la tabla

Cuando nos de Cero paramos

128 64 32 16 8 4 2 1

¿Qué significa 200 en Binario?

200(128) = 1 Restamos: 200 – 128 = 72

72(64) = 1 Restamos: 72 – 64 = 8

8(32) = 0 No podemos restar nada


8(8) = 1 Restamos: 8 – 1 = 0




128 64 32 16 8 4 2 1

11001000

¿Qué significa 178 en Binario?

178(128) = 1 Restamos: 178 – 128 = 50


50(32) = 0 Restamos: 50 – 32 = 18

18(16) = 1 Restamos: 18 – 16 = 2



2(2) = 1 Restamos: 2 – 1 = 1


128 64 32 16 8 4 2 1

10110010

Los sistemas de numeración posicionales disponen los numerales de un número (cachos de número) de forma horizontal

Las posiciones de cada numeral y ordenes se consideran de derecha a izquierda

Los números que se utilizan son los primeros números naturales (El cero incluido), en orden sucesivo, y la cantidad total es igual a la base del sistema

Ejemplos:

Base 2: 0,1 Base 3: 0,1,2 Base 4: 0,1,2,3 Base 5: 0,1,2,3,4 Base 8: 0,1,2,3,4,5,6,7 Base 10: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Base 20: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J

Por lo tanto… recordemos:

La base de un sistema de numeración es el número en el que se fundamenta la agrupación de sus elementos

Sistema Binario:

Símbolos utilizados (Dígitos binarios ó Bits): 0 y 1

A continuación veremos como realizar diferentes conversiones entre BASES

Objetivo: Convertir un número de base 10 a base 2

Primer Procedimiento:

Pasar el número 6 a binario:610 = 1102

Explicación:

Dividimos 6 entre 2, el resto lo escribimos en la primera posición/orden

El cociente del inciso se divide entre 2, y escribimos el resto en la segunda posición/orden

Continuamos de la misma forma hasta que el cociente sea 0, el último resto es la primera cifra de la izquierda en base 2

Objetivo: Convertir un número de base X a base Y

Segundo Procedimiento:

Pasar el número 1102 (Resultado anterior) , al Sistema Decimal:

1102 = (0x2º)+(1x2¹)+(1x2²)=0+2+4= 6

NOTA: Para utilizar este procedimiento es necesario conocer e identificar algunas potencias de dos. En la siguiente diapositiva las mostramos en un cuadro.

Objetivo: Convertir un número de

base X a base Y

Potencias numeral

20 1

21 2

22 4

23 8

24 16

25 32

26 64

27 128

28 256

29 512

210 1024

Objetivo: Determinar el numeral de base2 que representa al número 98

Se encuentra la potencia máxima de 2 que sea menor que o igual a 98 y se resta de 98. 98-64=34

Se encuentra la mayor potencia de 2 que sea menor que o igual a 34 y se resta. 34-32=4

Como la diferencia obtenida en el paso anterior es d, entonces podemos escribir 98 como una suma de potencias de 2.98=26+25+2¹=(1x26)+(1x25)+(0x24)+(0x2³)+(0x2²)+(1x2¹)+(0x2)º=64+32+2=98

Para escribir el numeral de base dos, se muestran únicamente los dígitos 1 y 0 que corresponden a cada potencia de dos.26 25 24 2³ 2² 2¹ 2º 1 1 0 0 0 1 0

Por lo que podemos decir que: 9810= 11000102

20 1

21 2

22 4

23 8

24 16

25 32

26 64

27 128

28 256

29 512

210 1024

Ejemplo:

Conversión de Base 2 a Base 10

Número en Base 2: 111012

Operaciones:

(1*24)+(1*2³)+(1*2²)+(1*2¹) = 16+8+4+0+1 = 29

20 1

21 2

22 4

23 8

24 16

25 32

26 64

27 128

28 256

29 512

210 1024

Ejemplo: Conversión de Base 10 a Base 3


Operaciones:

80/32; 26/32; 8/32; 2/3

22223

20 1

21 2

22 4

23 8

24 16

25 32

26 64

27 128

28 256

29 512

210 1024



Operaciones:

(2x3³)+(2x3²)+(2x3¹)+(2x3º)=54+18+6+2=80

80

20 1

21 2

22 4

23 8

24 16

25 32

26 64

27 128

28 256

29 512

210 1024



Operaciones:

2428 / 208; 121/201; 661820

61820

20 1

21 2

22 4

23 8

24 16

25 32

26 64

27 128

28 256

29 512

210 1024



Operaciones:

(8x20º)+(1x20¹)+(6x20²)= +20+2400

24248

20 1

21 2

22 4

23 8

24 16

25 32

26 64

27 128

28 256

29 512

210 1024


Está formado por 8 dígitos: 0,1,2,34,5,6,7

Tiene el mismo valor que el sistema de numeración decimal

Usa la notación posicional, de derecha a izquierda en potencias de 8

Peso: 8483828180

Ejemplo:

3452.32q

2*(80)+5*(81)+4*(82)+3*(81)+2*(82)=2+40+4*64+64+3*512+3*025+2*0.015625=2+40+256+1536+0.375+0.03125=1834+40625d entonces, 3452.32q= 1834.40625d

El subíndice “q” indica número octal, se usa la letra "q" para evitar confusión entre la letra o y el número 0.


Lo usa la mayor parte de los equipos de cómputo

Está formado por 16 dígitos

10 númericos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 6 alfabéticos: A,B,C,D,E,F

Se usa como forma simplificada de representación de los números binarios

Nota: Como 16 es una potencia de 2(24=16), es muy sencilla la conversión a binario y viceversa

Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada digito a la izquierda del punto hexadecimal representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16

Ejemplo: El número 123416 es igual a:

1*163+2*162+3*161+4*160

4096+512+48+4 = 466010 (Hexadecimal)

El sistema de numeración binario u un sistema de posición donde cada dígito binario (bit) tiene un valor basado en su posición relativa al LSB.

Cualquier número binario puede convenirse a su equivalente decimal, simplemente sumando en el número binario las diversas posiciones que contenga un 1.

Por ejemplo: 1 1 1 0 1 12 de binario a decimal1 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 2 + 1 = 6910

Existen dos maneras de convenir un número decimal entero a su representación equivalente en el sistema binario.

El primer método es inverso al proceso descrito anteriormente.

El número decimal se expresa simplemente como una suma de potencias de 2 y luego los unos y los ceros se escriben en las posiciones adecuadas de los bits. Por ejemplo:

45 = 32 + 8 + 4 + l = 25 + 0 + 23 +2 2 + 0 + 20 entonces es igual a 1 0 1 1 0 12

Pasar a decimal el binario 101011102 1 0 1 0 1 1 1 0

Entonces el número se forma tomando los residuos pero en forma inversa, es decir el primer digito será el último residuo y así sucesivamente. El número quedaría como sigue: 1 0 0 0 0 0 1 02

La ventaja principal del sistema de numeración octal es la facilidad con que se puede realizar la conversión entre números binarios y octales.

La conversión de octal a binario se lleva a cabo conviniendo cada dígito octal en su equivalente binario de 3 bits.

Por medio de estas conversiones, cualquier número octal se conviene a binario, convirtiéndolo de manera individual.

Por ejemplo, podemos convertir 516, a binario de la siguiente manera:

5 1 6 001 110 entonces: 5168 = 1010011102

La conversión de enteros binarios a octales es simplemente la operación inversa del proceso anterior.

Los bits del número binario se agrupan en conjuntos de tres comenzando por el LSB.

Luego, cada grupo se convierte a su equivalente octal.

Por ejemplo: 111 001 101 110 7 1 5 6 entonces: 1110011011102 = 71568

Recuerda que resolvimos la conversión de decimal a binario por medio de la división repetida entre 2 y de decimal a octal por medio de la división repetida entre 8.

De igual manera, la conversión de decimal a hexadecimal se puede efectuar por medio de la división repetida entre 16. Por ejemplo:

con residuo 7 con residuo 010 con residuo 1 entonces: 42310 = 1A716

Al igual que el sistema de numeración octal, el sistema hexadecimal se usa principalmente como método ‘taquigráfico” en la representación de números binarios.

Es una tarea relativamente simple la de convertir un número hexadecimal en binario.

Cada dígito hexadecimal se convierte en su equivalente binario de 4 bits. Por ejemplo:

6 D 2 3 1101 0010 0011 entonces: 6D2316 = 1101101001000112

Esta conversión es exactamente la operación inversa del proceso anterior.

El número binario se agrupa en conjuntos de cuatro bits y cada grupo se convierte a su dígito hexadecimal equivalente.

Cuando es necesario se añaden ceros para completar un grupo de cuatro bits.

11101001102 = 0011 1010 0110 3 A 6 11101001102 = 3A616

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