1

Faculdade de Engenharia

Sinais e Sistemas

SS – MIEIC 2007/2008

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-34

-32

-30

-28

-26

-24

-22

-20

-18

-16

-14

Frequency (kHz)

Pow

er/fr

eque

ncy

(dB

/Hz)

Power Spectral Density

Hamming

kaiserChebyshev

Double PendulumTwo coupled planar pendulums withgravity and sine wave forcing in the

upper Revolute joint.

Sine Wave

BF

Revolute1

B F

Revolute

Env

Joint Sensor1

Joint Sensor

Joint Actuator

Ground

CS1

Body1

CS1 CS2

Body

Angle

Revolute1

Revolute

SS 0708SinSist 2

Faculdade de EngenhariaPrograma de SS

Sinais e Sistemas à 5 aulas

Sistemas Lineares e Invariantes à 4 aulas

Análise de Fourier (tempo contínuo) à 8 aulas

Análise de Fourier (tempo discreto) à 6 aulas

Amostragem de Sinais Contínuos à 2 aulas

2

SS 0708SinSist 3

Faculdade de EngenhariaSinais e Sistemas – aula de hoje

Sinais em tempo contínuo e em tempo discreto

Operações elementares com sinais

Transformação de variável independente

Decomposição de sinais

Características de sinais

Sinais fundamentais

Sistemas e sua interligação

Propriedades de sistemas

SS 0708SinSist 4

Faculdade de EngenhariaSinais pares

Um sinal x(t) em tempo contínuo diz-se par se ttxtx ∀=− )()(

t0

x(t)

Um sinal x[n] em tempo discreto diz-se par se nnxnx ∀=− ][][

n0 1 2 3-1-2-3

x[n]

Nota: O gráfico de um sinal par é simétrico relativamente à recta t=0 (n=0)

3

SS 0708SinSist 5

Faculdade de EngenhariaSinais ímpares

Um sinal x(t) em tempo contínuo diz-se ímpar se ttxtx ∀−=− )()(

Um sinal x[n] em tempo discreto diz-se ímpar se nnxnx ∀−=− ][][

t0

x(t)

n0 1 2 3-1-2-3

x[n]

Notas: O gráfico de um sinal ímpar é simétrico relativamente à origem

O valor de um sinal ímpar em 0 é nulo (ou não está aí definido)

SS 0708SinSist 6

Faculdade de EngenhariaDecomposição em parte par e parte ímpar

Um sinal em tempo contínuo x(t) pode sem decompostona soma de um sinal par com um sinal ímpar

)()()( txtxtx ip +=)(tx p

)(txi

é e parte par de x(t)

é a parte ímpar de x(t) )()( txtx ii −=−

)()( txtx pp =−

)(2)()( txtxtx p=−+

)(2)()( txtxtx i=−−

2)()(

)(txtx

txp−+

=

2)()(

)(txtx

txi−−

=

)()()( txtxtx ip −+−=− )()( txtx ip −=

4

SS 0708SinSist 7

Faculdade de EngenhariaDecomposição em parte par e parte ímpar

Um sinal em tempo discreto x[n] pode sem decompostona soma de um sinal par com um sinal ímpar

][][][ nxnxnx ip +=][nx p

][nxi

é e parte par de x[n]

é a parte ímpar de x[n] ][][ nxnx ii −=−

][][ nxnx pp =−

][2][][ nxnxnx p=−+

][2][][ nxnxnx i=−−

2][][

][nxnx

nx p−+

=

2][][

][nxnx

nxi−−

=

][][][ nxnxnx ip −+−=− ][][ nxnx ip −=

SS 0708SinSist 8

Faculdade de EngenhariaDeterminação de parte par e parte ímpar

n0 1 2 3-1-2-3

x[n]

n0 1 2 3-1-2-3

x[–n]

n0 1 2 3-1-2-3

][nx p

n0 1 2 3-1-2-3

][nxi

t0

x(t)

t0

x(–t)

)(tx p

t0

t0

)(txi

5

SS 0708SinSist 9

Faculdade de EngenhariaPotência instantânea

A potência instantânea do sinal x(t) é2)(tx

é um valor sempre não negativo

apenas é nula nos instantes em que x(t) é nulo

se x(t) é real então a potência instantânea é dada por )(2 tx

Para sinais em tempo discreto, a potência instantânea do sinal é dada por2][nx

sendo também válidas as afirmações acima

SS 0708SinSist 10

Faculdade de Engenharia

Um sinal apenas definido num intervalo diz-se de duração limitada

Energia

{ } ∫=2

1

21

2],[ )()(

t

t

tt dttxtxE

],[ 21 tt

Energia do sinal x(t) no intervalo

Quando x(t) está definido para todos os números reais a sua energia é { } ∫+∞

∞−

= dttxtxE 2)()(

se a energia de um sinal num intervalo é nula, então o sinal é nulo nesse intervalo

Notas:

Um sinal x(t) de duração limitada pode estender-se a todo o domínio real, fazendo

],[ 21 tt

0)( =tx

para 21 tttt >∨< de modo a manter a sua energia

6

SS 0708SinSist 11

Faculdade de Engenharia

Um sinal apenas definido num intervalo diz-se de duração limitada

Energia

{ } ∑=

=2

1

21

2],[ ][][

n

nnnn nxnxE

],[ 21 nn

Energia do sinal x[n] no intervalo

Quando x[n] está definido para todos os números inteiros a sua energia é

se a energia de um sinal num intervalo é nula, então o sinal é nulo nesse intervalo

Notas:

Um sinal x[n] de duração limitada pode estender-se a todo o domínio inteiro, fazendo

],[ 21 nn

0][ =nx

para 21 nnnn >∨< de modo a manter a sua energia

{ } ∑+∞

−∞=

=n

nxnxE 2][][

SS 0708SinSist 12

Faculdade de EngenhariaEnergia – exemplos

t0

x(t)

1

1 2-1-2

{ })(]0,2[ txE − ∫−

=0

2

2)( dttx ∫∫−

−

−

++=0

1

1

2

2)2( dtdtt34

=

{ })(txE ∫∞

∞−

= dttx 2)( ∫∫∫ −+++=−

−

−

2

0

20

1

1

2

2 )1()2( dttdtdtt

[ ] 01

1

2

3

3)2(

−

−

−

+

+= t

t

[ ]2

0

30

1

1

2

3

3)1(

3)2(

−−++

+= −

−

−

tt

t 2=

7

SS 0708SinSist 13

Faculdade de EngenhariaPotência média

{ } ∫−=

2

1

21

2

12],[ )(

1)(

t

t

tt dttxtt

txPPotência média do sinal x(t) no intervalo

Caso os sinais estejam definidos em de –∞ a + ∞ a potência média é definida por

],[ 21 tt

{ } ∑=+−

=2

1

21

2

12],[ ][

11

][n

nnnn nx

nnnxPPotência média do sinal x[n] no intervalo ],[ 21 nn

Nota: O intervalo de inteiros contém pontos!],[ 21 nn 112 +− nn

{ } ∫−

+∞→=

C

CC

dttxC

txP 2)(21

lim)( ou { } ∑−=

+∞→ +=

D

DnD

nxD

nxP 2][12

1lim][

SS 0708SinSist 14

Faculdade de EngenhariaPotência média – exemplos

∑−=+−−

=2

1

2][1)1(2

1

n

nx

∑−=

+∞→ +=

D

DnD

nyD

2][12

1lim

n0 1 2 3-1-2-3

x[n]

1

2

-1

{ }][]2,1[ nxP− ( )2222 )1(21141

−+++=47

=

n0 1 2 3-1-2-3

][ny

{ }][nyP ∑=

+∞→ +=

D

nD D 0

112

1lim

121

lim+

+=

+∞→ DD

D 21

=

8

SS 0708SinSist 15

Faculdade de EngenhariaSinais de duração ilimitada – sinais de energia e sinais de potência

Os sinais com energia finita (E{x}<∞) são designados sinais de energia.Estes sinais têm potência média nula!

Os sinais com potência média não nula e finita (0<P{x}<∞) são designados sinais de potência.Estes sinais têm energia infinita (E{x}=∞)!

Exemplos: <<−

=t

tttx

outros,011,

)(

<<−

=n

nnnx

outros,035,

][3

Exemplos:

<≥

=0,00,1

)(tt

tx nnx )1(][ −=

Há ainda sinais que têm energia infinita (E{x}=∞) e potência média infinita (P{x}=∞)!

Exemplos:

<≥

=0,00,

)(ttt

tx nnx =][

SS 0708SinSist 16

Faculdade de EngenhariaValor médio

∫−=

2

1

21)(

1)(

12],[

t

ttt

dttxtt

txValor médio do sinal x(t) no intervalo

Caso os sinais estejam definidos em de –∞ a + ∞ o valor médio é definido por

],[ 21 tt

∑=+−

=2

121

][1

1][

12],[

n

nnnn

nxnn

nxValor médio do sinal x[n] no intervalo ],[ 21 nn

ou∫−

+∞→=

C

CC

dttxC

tx )(21

lim)( ∑−=

+∞→ +=

D

DnD

nxD

nx ][12

1lim][

9

SS 0708SinSist 17

Faculdade de EngenhariaValor médio – exemplos

∑−=

+∞→ +=

D

DnD

nyD

][12

1lim

n0 1 2 3-1-2-3

][ny

][ny ∑=

+∞→ +=

D

nD D 0

112

1lim

121

lim+

+=

+∞→ DD

D 21

=

t0

x(t)

1

1 2-1-2

]0,2[)(

−tx ∫

−−−

=0

2

)()2(0

1dttx

++⋅= ∫∫

−

−

−

0

1

1

2

)2(21

dtdtt43

=[ ]

+

+⋅= −

−

−

01

1

2

2

2)2(

21

tt

SS 0708SinSist 18

Faculdade de EngenhariaSinais periódicos – tempo contínuo

O sinal x(t) diz-se periódico se existir T>0 tal que tTtxtx ∀+= )()(

se m é inteiro então tmTtxtx ∀+= )()(

o menor T não negativo que satisfaz tTtxtx ∀+= )()( é designado período fundamental

t0

x(t)

T 2T–T–2T

10

SS 0708SinSist 19

Faculdade de EngenhariaSinais periódicos – tempo discreto

O sinal x[n] diz-se periódico se existir N>0 tal que nNnxnx ∀+= ][][

se m é inteiro então nmNnxnx ∀+= ][][

o menor N não negativo que satisfaz é designado período fundamentalnNnxnx ∀+= ][][

n0 N

][nx

2N–N–2N

SS 0708SinSist 20

Faculdade de EngenhariaSinais periódicos – valor médio, potência média e valor eficaz

x(t) de período T

∫+

=Tt

t

dttxT

tx0

0

)(1

)(

{ } ∫+

==Tt

t

dttxT

txtxP0

0

22 )(1

)()(

Nota: Integrações realizadas ao longode qualquer intervalo de largura T

valor médio

potência média

valor eficaz { })(txPxx RMSef == ∫+

=Tt

t

dttxT

0

0

2)(1

(root mean square)

11

SS 0708SinSist 21

Faculdade de EngenhariaSinais periódicos – valor médio, potência média e valor eficaz

x[n] de período N

∑−+

=

=10

0

][1

][Nn

nn

nxN

nx

Nota: Somatórios realizados ao longo de qualquer intervalo de N pontos consecutivos

valor médio

potência média

valor eficaz { }][nxPxx RMSef ==

(root mean square)

{ } ∑−+

=

==1

220

0

][1

][][Nn

nn

nxN

nxnxP

∑−+

=

=1

20

0

][1

Nn

nn

nxN

SS 0708SinSist 22

Faculdade de EngenhariaValor médio, potência média e valor eficaz – exemplo

t0

x(t)

T/2 T

A

)(tx

{ })(txP

∫=T

dttxT

0

)(1

∫=2/

0

21T

dtTAt

T

2/

0

21T

TAt

T

=

4A

=

∫=T

dttxT

0

2)(1 ∫

=

2/

0

221T

dtTAt

T ∫=2/

02

2241T

dtT

tAT

2/

0

3

3

2

34

Tt

T

A

=

6

2A=

{ })(txPxRMS =6

A=

12

SS 0708SinSist 23

Faculdade de EngenhariaSinais pediódicos – componentes contínua e alternada

x(t) de período T )()()( txtxtx AC+=

componente contínua de x(t)

componente alternada de x(t) 0)( =txAC

x[n] de período N ][][][ nxnxnx AC+=

componente contínua de x[n]

componente alternada de x[n] 0][ =nxAC

SS 0708SinSist 24

Faculdade de EngenhariaComponentes contínua e alternada – exemplo

∫=T

dttxT

tx0

)(1

)(

t0

x(t)

T

A

Tt

T

A

0

2

2 2

=

2A

=

)()()( txtxtxAC −=2

)(A

tx −=

t0

xAC(t)

T

A/2

–A/2

∫=T

dtTAt

T0

1

13

SS 0708SinSist 25

Faculdade de EngenhariaExercício

Considere o sinal x(t) com energia E{x(t)} finita. Determine:

a) { })( btxE −

b) { })(atxE

c) { })( batxE −

SS 0708SinSist 26

Faculdade de EngenhariaExercício

Relativamente ao sinal da figura determine

a) o valor médio

b) a potência média

c) o valor eficaz

t0

x(t)

T

A

–T

d) a componente alternada