Simulao do resfriamento de chapas em laminao a quente · Matéria, 9, 1 (2004) Sanderson L. G. de...
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Matéria, Vol 9, Nº 1 (2004) 43 - 54 http://www.materia.coppe.ufrj.br/sarra/artigos/artigo10306
Simulação do Resfriamento de Chapas
de Aço em Laminação Controlada
Sanderson L. G. de Oliveira, Jorge C. Araújo, Ivan N. Bastos, João Flávio V. de Vasconcellos e Antônio J. Silva Neto
Instituto Politécnico, UERJ, Caixa Postal 97282, CEP 28601-970, Nova Friburgo RJ Brasil.
RESUMO
Neste trabalho é desenvolvida uma solução analítica do resfriamento forçado de uma chapa de aço a diferentes velocidades de laminação. A solução da equação diferencial governante da transferência de calor foi obtida usando o método da variação dos parâmetros, adaptada às condições de contorno de laminação controlada. A solução numérica foi desenvolvida por diferenças finitas, com diferenças centradas para a derivada segunda e diferenças atrasadas para a derivada primeira para a situação de regime permanente. Os resultados obtidos dos dois procedimentos foram comparados entre si, com ótima concordância. Esta formulação pode, em princípio, ser empregado no monitoramento de temperatura durante o processamento de laminação controlada de aços.
Palavras-Chaves: simulação de resfriamento, laminação controlada, solução analítica, solução numérica.
ABSTRACT
In this work an analytical solution of forced cooling of a steel plate at different rolling speeds was obtained. A solution of the governing differential equations of heat transfer employed the method of parameter variations, adapted to control rolling boundary conditions. The numerical solution was obtained by finite differences, with centered differences for the second derivative and backward differences for the first derivative for steady state situation. The results obtained from both procedures were compared, and good agreement was attained. This procedure may be, at first, be employed in the monitoring of temperature during the controlled rolling process of steels.
Key Words: cooling simulation, controlled rolling, analytical solution, numerical solution.
1 INTRODUÇÃO
Durante a fabricação e o processamento dos aços, o controle estrito da temperatura exerce um papel fundamental na garantia das propriedades destes materiais. Os desempenhos mecânico, elétrico, magnético, de resistência à corrosão, dentre outras propriedades, são afetados por este controle, pois a microestrutura depende fortemente das condições termocinéticas existentes durante o processamento. Em geral os resfriamentos forçados de aço objetivam a formação de martensita [1], a precipitação ou não de fases [2], e assegurar propriedades mecânicas satisfatórias. Em aços submetidos à laminação controlada a predição local da temperatura a cada região da placa, torna-se primordial na obtenção da microestrutura desejada [3,4,5].
A solução das equações de transferência de calor governantes envolve a resolução de equações diferenciais [6, 8] adaptada ao caso real. Atualmente, pela facilidade de se empregar soluções numéricas, poucos pesquisadores são motivados a desenvolver a Solução Analítica (SA), que em geral requer um conhecimento mais aprofundado de métodos matemáticos e conseqüentemente demandam mais esforço. Ainda assim, quando é possível encontrá-la, deve-se buscá-la, pois, a solução analítica geralmente descreve melhor o problema. O resultado final pode até mesmo ser simples, o que a torna ainda mais atraente e utilizável. Desta forma, neste trabalho é desenvolvida uma solução analítica da equação diferencial ordinária de transferência de calor por condução e convecção. O resultado analítico para as condições semelhantes à de laminação controlada é comparada com uma Solução Numérica (SN).
Os métodos foram aplicados para obtenção das temperaturas para o problema de condução de calor, em regime permanente, em uma placa unidimensional sem geração de energia e com condições de contorno de 1º (Dirichlet) e 2º (Neumann) tipos [6]
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Lxdx
xdTuTxTkth
dxxTd
<<=−− ∞ 0,)(])([2)(2
2
α (1)
00|)( TxT x == (2)
Lxdx
xdT== ,0)(
(3)
Os símbolos empregados nas Eqs. 1-3 são descritos na Tabela 1. Na Fig. 1 pode-se observar uma representação
esquemática do problema que está sendo resolvido neste trabalho.
2 MATERIAIS E MÉTODOS
A resolução proposta considerou as condições de contorno existentes para uma placa de aço-carbono sob laminação sujeita à troca térmica pelos mecanismos de convecção e condução, quando submetido a um resfriamento forçado de uma cortina d’água com comprimento de 0,7 m. Embora uma chapa real seja contínua, considerou-se aqui que ao final de 6m a temperatura alvo para qualquer velocidade de laminação deveria ser obtida. Na Tabela 1 estão apresentados os parâmetros adotados nas soluções numérica e analítica.
Tabela 1 – Valores dos Parâmetros Empregados na Simulação
Parâmetros do Processo Valores Comprimento da
chapa, L 6 m
Temperatura ambiente, ∞T
35oC, 308 K
Temperatura em
0,0 Tx = 1100oC, 1373 K
Condutividade térmica, k
63,9 W/mK
Espessura da chapa, t 0,01 m Difusividade térmica,
α 18,8.10-6 m2/s
Coeficiente de troca térmica, h1
100 W/m2K
Coeficiente de troca térmica, h2
2500 W/m2K
Coeficiente de troca térmica, h3
25 W/m2K
Velocidade de laminação, u
0; 0,036; 0,1; 0,36; 0,50; 1,0; 3,6; 5,0m/s
Posição dos resfriadores, l1 e l2
0,3 e 1,0 m
Os teoremas matemáticos utilizados na a obtenção da solução analítica da equação diferencial governante do
problema estão referenciados ao longo do desenvolvimento. A solução numérica foi implementada na linguagem de programação C++, empregando o método de diferenças finitas.
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3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA E SOLUÇÕES ANALÍTICA E NUMÉRICA
3.1 Desenvolvimento Analítico da Equação Diferencial Ordinária de Segunda Ordem Não-Homogênea
As Eqs. 1 a 3 formam um problema de valor inicial [7]. A Eq. 1 pode ser escrita conforme a Eq. 4
∞−=− Tkthy
kthy 22'u - 'y'
α, onde y = T(x) (4)
Sendo a Eq. 4 uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes, pode-se escrever uma equação característica para encontrar as raízes linearmente independentes associadas à Eq. 5
0''' =++ cybyay (5)
Onde
,1=a αub −= , h
kthc 13,32
−=−= , conforme Tabela 1. (6a, b, c)
As raízes da equação homogênea são dadas por
2
2*4)( 2
1
hkt
uu
r++
= αα e 2
2*4)( 2
2
hkt
uu
r+−
= αα (7a, b)
A Eq. 1 pode ser transformada em uma equação homogênea empregando
∴−= ∞TTθ 2
2
2
2
dxd
dxTd θ= e
dxd
dxdT θ
= (8a, b, c)
No entanto, a solução analítica foi desenvolvida diretamente, conforme demonstração a seguir. Desta forma, obtém-se
xrecxy 111 )( = (9a)
xrecxy 222 )( = (9b)
)()( 2121 xyececxy p
xrxr ++= (10)
Onde é a solução geral da Eq. 1. )(xyPelo teorema a seguir, encontra-se : Seja uma solução particular de uma equação diferencial
ordinária não homogênea (EDONH) e sejam e soluções linearmente independentes da equação homogênea
associada, então toda solução de uma EDONH é da forma
)(xy p )(xy p
)(1 xy )(2 xy)()()()( 2211 xyxycxycxy p++= [7]. De fato,
é solução da equação diferencial ordinária homogênea e y(x) é solução da EDONH. )()()()( 2211 xycxycxyxy p +=−
Para encontrar foi utilizado o método da variação dos parâmetros [)(xy p 7]
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∫∫ += dxyyWxdx
yyWx
),()(b(x)y(x)y
),()(b(x)y(x)y- (x)y
21
12
21
21p (11)
Onde, é o Wronskiano de e e ),( 21 yyW 1y 2y
hkt
hTxb 546,1092)( −== ∞ (12)
Devido à solução geral de uma equação diferencial ordinária ser feita da combinação linear das suas soluções, o será sempre diferente de 0 (zero) [),( 21 yyW 7]
)(),( 12)(
21)(
121)(
22121212121 rreccerccerccyyW xrrxrrxrr −=−= +++ (13)
Substituindo as Eqs. 12 e 13 na Eq. 11,tem-se:
)11(h
kt2T
)ee(h
kt2T
(x)y12122
r
1
r
12p
2211
rrrrre
re
rr
xrxxrx
−−
=+−−
=
∞−−
∞
(14)
Substituindo a Eq. 14 na Eq. 10, obtemos a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea
κ++= xrxr ececxy 2121)( (15)
Onde:
)11(h
kt2T
1212 rrrr−
−=
∞
κ (16)
A Eq. 15 fornece uma família de soluções para a equação original, porém o que interessa é a solução particular, dada pelas condições de contorno dadas pelas Eqs. 2 e 3 que constituem uma função escada (vide Eq. 17). Assim, não é possível resolvê-las aplicando as condições de contorno dada pela Eq. 15.
{ 100 W/m2K para 0 < x ≤ l1h(x) = { 2500 W/m2K para l1 < x < l2 (17) { 25 W/m2K para l2 ≤ x ≤ L Portanto, devem-se encontrar as constantes e 1c 2c para cada uma das três regiões. Então, têm-se 6 constantes a
serem determinadas, que serão as incógnitas de um sistema linear determinado. Para simplificar a notação, chama-se a função da região anterior à zona de resfriamento como TI(x), para a zona de
resfriamento como TII(x) e a região após a zona de resfriamento como TIII(x)
Iκ ec ec (x)T xrIxrI1I
I2
2
I1 ++= (18a)
IIκ ec ec (x)T xrIIxrII1II
II2
2
II1 ++= (18b)
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IIIκ ec ec (x)T xrIIIxrIII1III
III2
2
III1 ++= (18c)
Os parâmetrosκ (Eq. 16), (Eq. 7a) e (Eq. 7b) dependem de h, e este assume um valor diferente em cada uma
das três regiões. Para a generalização do problema tem-se então que se referem à região anterior à zona de
resfriamento; referentes à zona de resfriamento; e referentes à região após à zona de resfriamento.
1r 2rII
I rr 21 ,,κIIII
II rr 21 ,,κ IIIIIIIII rr 21 ,,κ
Logo, as incógnitas são . IIIIIIIIIIII cccccc 212121 ,,,,,A primeira equação é obtida usando a Eq.(18 a) com a condição de contorno da Eq. 2.
III Tcc κ−=+ 021 (19)
Onde a constante κi é dada pela Eq.16 trocando-se h por hi. A segunda equação é dada pela continuidade de temperaturas, isto é, a temperatura no nó l1 da região anterior à
zona de resfriamento (vide Fig. 1) deve ser igual à temperatura no nó l1 da zona de resfriamento. Das Eqs. 18a-b, tem-se
Ill κ++= 1
I21
I1 rI
2rI
11I ecec )(lT (20)
IIll κ++= 1
II21
II1 rII
2rII
11II ecec )(lT (21)
Igualando as Eqs. 20 e 21, obtém-se
IIIllll κκ −=++ 1
II21
II11
I21
I1 rII
2rII
1rI
2rI
1 ecec-ecec (22)
A terceira equação também é dada pela condição de continuidade de temperaturas, isto é, a temperatura no nó l2 da zona de resfriamento (vide Fig. 1) deve ser igual à temperatura no nó l2 da região após a zona de resfriamento. Da Eq. 18c, tem-se
IIIll κ++= 2
III22
III1 rIII
2rIII
12III ecec )(lT (23)
Igualando as Eqs. 21 e 23, tem-se
IIIIIllll κκ −=−+ ecec- ecec 2
III22
III11
II21
II1 rIII
2rIII
1rII
2rII
1 (24)
A quarta equação é dada pela condição de contorno fornecida pela Eq. 3. Empregando a Eq. 18c,
0)(=
dxLdTIII , ou 0ercerc
III2
III1 rIII
2III2
rIII1
III1 =+ LL
(25)
A quinta equação é dada pela continuidade do fluxo de calor, fornecida pela lei de Fourier [6], aplicada no nó l1
dxldTk
dxldTk III )()( 11 −=− (26)
A constante k da Eq. 26 é a constante de proporcionalidade [6], isto é, a condutividade térmica. Derivando as Eqs. 20e 21 em função de e substituindo-se na Eq. 26, obtém-se x
0ercercercerc 1II21
II11
I21
I1 rII
2II2
rII1
II1
rI2
I2
rI1
I1 =−−+ llll
(27)
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A sexta e última equação também é dada pela condição de continuidade do fluxo de calor, fornecida pela lei de Fourier [6], agora aplicada no nó l2
0ercercercerc 2III22
III12
II22
II1 rIII
2III2
rIII1
III1
rII2
II2
rII1
II1 =−−+ llll
(28)
O conjunto das Eqs. 19, 22, 24, 25, 27 e 28 formam um sistema linear determinado, com seis equações e seis incógnitas, pois o conjunto das linhas da matriz desse sistema é linearmente independente [7].
Levando as Eqs. 7a-b na Eq. 16, obtém-se após algumas manipulações algébricas
∞∞ =
++
= Tktb
ktbT648
)8(82
2
κ (29)
Desse modo foram encontradas as três soluções dadas pelas Eqs. (18a-c), cada uma representando uma das seguintes regiões: zona de resfriamento e as regiões anterior e posterior.
3.2 Condição de Convergência
Uma solução numérica foi desenvolvida para permitir o tratamento de problemas mais gerais, e esta solução foi validada comparando-a com a solução analítica. O método numérico escolhido foi por diferenças finitas [6]. Existem diversas aproximações das derivadas por diferenças finitas, como, por exemplo, pode-se escolher diferenças centradas, com ordem de erro de aproximação O(∆x)2, ainda diferenças atrasadas e diferenças avançadas, com ordem de erro de aproximação O(∆x) (∆x é a distância entre dois nós da malha computacional empregada na discretização do domínio físico). Optou-se inicialmente por escolher diferenças centradas, tanto para a derivada primeira, quanto para a derivada segunda. Isto faz com que resulte no seguinte conjunto de equações:
11,11 −≤≤=++ −+ LiDCTBTAT iii (30a)
Onde L é o número de nós da malha computacional, é a temperatura nestes nós, e iT
kthTD
xu
xC
kth
xB
xxuA ∞=
∆−
∆−=+
∆=
∆−
∆=
2,2)(
1,2)(
2,)(
12 222 αα
(30b, c, d, e)
Onde B é o elemento da diagonal principal e A e são os elementos fora da diagonal principal, na mesma linha de
CB . Utilizando-se a condição de contorno fornecida pela Eq. 2, obtém-se
DBTTCA LL =++ +1)( (30f)
Obtendo-se um sistema linear tridiagonal L x L . Para que o sistema linear tenha uma solução iterativa, ou seja, ao se obter uma matriz de coeficientes de um sistema linear determinado do tipo tridiagonal [6], para que o sistema convirja, deve-se usar o critério de Scarborough, que estipula a seguinte condição suficiente para a convergência do método de Gauss-Seidel [8]
∑ ≤ 1||||
p
nb
AA
e ∑ < 1||||
p
nb
AA
(31a-b)
Onde a Eq. 31a deve ser atendida para todas as linhas e a Eq. 31b para pelo menos uma linha da matriz dos coeficientes.
Isto equivale a afirmar que a matriz do sistema deve ser diagonal dominante. Pode-se provar que o sistema tem uma solução iterativa se:
xh
ukt∆≤
α2 (32a)
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Ou ainda,
kth
xu 2
≤∆α
(32b)
Para a Eq. 30a, pode-se escrever:
xu
xxxu
xu
xxxuCA
∆+
∆+
∆−+
∆=
∆−
∆−+
∆−
∆=+
αααα 2)(1
)(1)1(
22)(1
)(1
2 2222 (33a)
Devido à propriedade da desigualdade triangular
22222 )(2
2)(1
)(1
22)(1
)(1)1(
2 xxu
xu
xxxu
xu
xxxu
∆+
∆=
∆+
∆+
∆+
∆≤
∆+
∆+
∆−+
∆ ααααα (33b)
Das desigualdades 32b e 33b resulta:
Bxkt
hxx
uCA =∆
+≤∆
+∆
=+ 22 )(22
)(2
α (33c)
Portanto tem-se:
1≤+
BCA
(33d)
Para a Eq. 30f
Bkth
xxxCA =+
∆<
∆=
∆=+
2)(
2)(
2)(
2222 (33e)
Da Eq. 33e resulta
1<+
BCA
(33f)
Logo, o método das diferenças centradas, tanto para a derivada primeira, quanto para a derivada segunda é condicionalmente estável e a solução numérica depende do espaçamento ∆x, ou seja, torna-se necessário condicioná-la ao número de Peclet
.2<∆
=∆ αxuP xe (34)
Devido a estas condições, foi implementada a aproximação por diferenças atrasadas na derivada primeira e das diferenças centradas na derivada segunda por ser incondicionalmente estável [6].
3.3 Desenvolvimento Numérico
Utilizando diferenças centradas para a derivada segunda e diferenças atrasadas para a derivada primeira [6], são obtidas as seguintes aproximações em diferenças finitas.
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50
22
112
2
)()(
2)( xOx
TTiTdx
xTd ii ∆+∆
+−= −+ (35)
)(1 xOxTT
dxdT ii ∆+
∆−
= − (36)
Substituindo as Eqs. 35 e 36 na Eq. 1 , obtém-se
21,11 −≤≤=++ +− LiDCTBTAT iii (37)
Onde os coeficientes A, B e C são dados por
kthTD
xC
xu
xkthB
xu
xA ∞=
∆−=
∆+
∆+=
∆−
∆−=
2,)(
1,)(
22,)(
1222 αα
(38)
Na Eq. 37, i = 1 => 021 ATDCTBT −=+ (primeira linha ) (39) As condições de contorno são fornecidas pelas Eqs. 2 e 3. A aproximação em diferenças finitas, usando diferenças
atrasadas para a derivada primeira da Eq. 1 é dada por
0|)( 1 =∆−
= −= x
TTdx
xdT LLLx (40)
Usando a Eq. 37 para o nó i = L-1, obtém-se
DCTBTAT LLL =++ −− 12 (41)
Combinando a Eq.40 com a Eq.41 resulta
DTCBAT LL =++ −− 12 )( (42)
Das Eqs. 37 e 42 , obtém-se um sistema linear (L-1)x(L-1). A matriz dos coeficientes deste sistema linear é tridiagonal, portanto, o algoritmo TDMA [6] pode ser utilizado.
Como para os nós interiores (pela própria definição destes números) e na linha L-1, |B+C| > |A|. Logo, o sistema linear é determinado e incondicionalmente estável (convergente) pelo critério de Scarborough [
∑> |||| nbp AA8].
3.4 Resultados
As soluções implementadas consideram uma chapa submetida a um resfriamento forçado como apresentado na Fig. 1 para oito velocidades de laminação 0,0; 0,036; 0,1; 0,36; 0,5; 1,0; 3,6 e 5,0 (m/s). Para cada velocidade de laminação, é apresentada a comparação dos resultados da solução analítica com a numérica. Na Fig. 2, observa-se que as menores velocidades de laminação apresentam maior decaimento da temperatura (u = 0,0; 0,036 m/s) e assim por diante. As soluções representando o decaimento das temperaturas para as soluções analítica e numérica, para uma mesma velocidade, estão, ou muito próximas, ou superpostas quando a diferença entre ambas é muito pequena.
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Figura 1 – Esquema da chapa num processo de laminação submetido a um resfriamento forçado
As soluções foram testadas e comparadas com uma discretização de 70 nós na malha computacional, sendo 40 nós
na região anterior à zona de resfriamento, 20 nós na zona de resfriamento e 10 nós na região posterior à zona de resfriamento. Como esperado, com uma discretização maior, obtém-se aproximações melhores. Por exemplo, com discretização de 1000 nós para cada uma das três regiões, o erro absoluto ficou muito próximo a 0 (zero), isto é, 10-8. Testes para h (coeficiente de troca térmica) constante deram erro absoluto também próximo a 0 (zero), mesmo com a discretização grosseira de 70 nós. Testes com diferentes temperaturas ambientes (T∞=25oC, 20oC, 5oC) apresentaram os mesmos desempenhos. Isto pode ser mais bem observado para a velocidade de laminação (u=0,0 m/s), pois as temperaturas decaem para T∞.
Observa-se na Fig. 2 que quanto maior a velocidade de laminação mais próximas são as temperaturas obtidas com a solução analítica e com o método numérico. Quando a velocidade de laminação é lenta, a região após a Zona de Resfriamento é a que apresenta maior diferença de temperaturas entre a solução analítica com o método numérico. Mesmo assim, as diferenças não ultrapassam 19o C, o que pode ser considerado desprezível para aplicações de controle em laminação.
Os resultados da Fig. 2 encontram apoio nas seguintes propriedades matemáticas. Se multiplicarmos a Equação por α obteremos (após troca de notação da Eq. 4)
αy’’ – 2hα (y – t) = uy’ (48)
Fazendo α = 18,8 x 10 –6 m2K ≈ 0 , obteremos uma simplificação da equação acima
uy’ = 0 (49)
Cuja solução, considerando–se as condições de contorno dadas pelas Eqs. 1 e 2 resultam em
y(x) = T0 (ºC) (50)
Esta solução matemática limite parece se ajustar parcialmente ao problema físico com as considerações anteriormente feitas, pois um material com valor de difusibilidade térmica igual a zero, significa que a capacidade de armazenamento térmico é elevada enquanto a condutividade térmica é baixa. Deste modo, as temperaturas da chapa no domínio físico em questão, responderiam de forma lenta (ao equilíbrio de temperatura) às mudanças nas condições térmicas que o problema impõe. Este fato parece sugerir a temperatura constante de T0 como uma solução adequada para o problema proposto quando a velocidade é elevada (por exemplo, u >5,0 m/s).
Embora a velocidade de resfriamento (dT/dt) nó a nó da chapa não tenha sido apresentada ela pode ser facilmente obtida de ambas as soluções apresentadas. Esta velocidade tem grande interesse, pois permite avaliar as reações metalúrgicas no estado sólido decorrentes do resfriamento, que determinam a microestrutura final do aço. Além disto, tendo
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sido validada a consistência física da solução, a adaptação para valores de parâmetros operacionais torna-se uma tarefa corriqueira.
0 1 2 3 4 5 60
200
400
600
800
1000
1200
0,36 m/s
0,00 m/s0,036 m/s
0,10 m/s
0,5 m/s1,0 m/s
3,6 m/s5,0 m/s
Tem
pera
tura
(o C)
Espaçamento (m), - analítica, - numérica
Figura 2 – Soluções analítica (SA – curva contínua) e numérica (SN – curva tracejada) com diferentes velocidades (em m/s) de laminação
3.4.1 Discussão sobre o efeito das velocidades de laminação
Para a velocidade de laminação u=0,0 m/s, pode-se visualizar que as soluções analítica e numérica, a partir da zona de resfriamento, tiveram respostas iguais para as temperaturas nos nós da malha computacional. Esse fato pode ser justificado pelo efeito elíptico da difusão, isto é, as temperaturas nos extremos do domínio físico do problema contribuíram igualmente para o perfil das temperaturas na malha computacional. Para a velocidade limite de u=0,0, as temperaturas caem para T∞=35oC já ao final da região anterior à zona de resfriamento.
A Tabela 2 mostra que, mesmo com a discretização grosseira de 10 nós na região posterior à zona de resfriamento, a diferença não ultrapassa 16oC, para u=0,036 m/s, 22oC para u=0,1 m/s, 10oC para u=0,36 m/s, 4oC para u =1,0 m/s, 1,1oC para u=3,6 m/s.
Na velocidade de laminação u=0,5 m/s, observa-se que as temperaturas dominantes (T0) refletem a condução de calor da temperatura fixa da região após a zona de resfriamento. Mesmo a velocidade u=0,5 m/s pode ser considerada elevada para o problema em questão, pois os 6 metros da chapa são percorridos em menos de 10 segundos. Neste caso, o efeito difusivo da temperatura na lâmina no nó extremo x=6,0m não é transmitido de forma intensa no sentido oposto à velocidade u. A Tabela 2 mostra que, mesmo com a discretização grosseira de 10 nós na região posterior à zona de resfriamento, a maior diferença para a velocidade u=0,5 m/s fica em 7,14oC.
As observações da seção 3.4.5 estão de acordo com os resultados obtidos para os testes da velocidade de laminação u=5,0 m/s. Para esta velocidade, as soluções analítica e numérica tiveram resultados com uma diferença máxima menor que 1ºC na região após a zona de resfriamento. Na Fig. 2 é possível notar que com o aumento da velocidade de laminação, o efeito térmico do resfriamento (mesmo com um coeficiente de troca térmica elevado h2) na lâmina foi reduzido. Isto é, os valores de temperaturas caem menos. A Tabela 8 mostra que, mesmo com a discretização grosseira de 10 nós na região posterior à zona de resfriamento, a diferença é de 0,74oC.
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Tabela 2: Comparação entre soluções analítica e numérica para oito velocidades de laminação
(m/s) nó extremo da região so
lução analítica
solução
numérica
diferença analítica - numérica
anterior à zona de resfriamento (0,3m) 40,3oC
36,3oC
4oC
final da zona de resfriamento (1,0m) 35oC
35oC
0oC ,0
final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m)
35oC
35oC
0oC
anterior à zona de resfriamento (0,3m) 1049oC
1049,8oC
-0,8oC
final da zona de resfriamento (1,0m) 102,23oC
113,2oC
-10,97oC ,036
final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m)
83,59oC
98,9oC
-15,31oC
anterior à zona de resfriamento (0,3m) 1081,4oC
1080,1oC
1,3oC
final da zona de resfriamento (1,0m) 428,41oC
434,9oC
-6,49oC ,1
final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m)
384,81oC
406,6oC
-21,79oC
anterior à zona de resfriamento (0,3m) 1094,8oC
1094,7 oC
0,1oC
final da zona de resfriamento (1,0m) 842,61oC
842,5oC
0,11oC ,36
final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m)
816,64oC
826,2oC
-9,56oC
anterior à zona de resfriamento (0,3m) 1096,24oC
1085,4 oC
10,84oC
final da zona de resfriamento (1,0m) 907,66oC
907,2oC
0,46oC ,5
final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m)
887,36oC
894,5oC
-7,14oC
anterior à zona de resfriamento (0,3m) 1098,1oC
1098,1 oC
0,0oC
final da zona de resfriamento (1,0m) 999,04oC
998,6oC
0,44oC ,0
final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m)
987,76oC
991,5oC
-3,74oC
anterior à zona de resfriamento (0,3m) 1099,5oC
1099,5 oC
0,0oC
final da zona de resfriamento (1,0m) 1070,93oC
1070,7oC
0,23oC ,6
final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m)
1067,56oC
1068,6oC
1,04oC
anterior à zona de resfriamento (0,3m) 1099,6oC
1099,6 oC
0,0oC
final da zona de resfriamento (1,0m) 1078,98oC
1078,9oC
0,08oC ,0
final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m)
1076,56oC
1077,3oC
-0,74oC
4 CONCLUSÕES
Foi desenvolvida uma solução analítica da transferência de calor sob condições de laminação controlada de aços de alta resistência mecânica sob regime permanente. A solução analítica para o problema proposto foi resolvida pelo método
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da variação dos parâmetros. Uma solução numérica foi desenvolvida para permitir o tratamento de problemas mais gerais, e esta solução foi validada comparando-a com a solução analítica. O método numérico escolhido foi por diferenças finitas.
No caso da velocidade de laminação u=0,0 m/s, as soluções analítica e numérica tiveram resultados praticamente idênticos em toda a malha computacional. Entretanto, com a velocidade u=0,36 m/s os algoritmos descreveram temperaturas com uma diferença inferior a 10oC (temperaturas desta ordem de grandeza podem ser consideradas negligenciáveis para o processo de laminação). Mesmo para uma discretização grosseira com 70 nós e com L=6 m, isto com relação às temperaturas da solução analítica no nó central da chapa, mostrando ser uma solução robusta para tratar o problema. Desde modo, estes resultados podem ser empregados no monitoramento da temperatura do processo de laminação controlada de aços de alta resistência mecânica permitindo inferir as transformações de fases dependentes do ciclo térmico.
5 AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem ao CNPq e à FAPERJ pelo apoio financeiro.
6 REFERÊNCIAS
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[2] FAULKNER, R. G. Combined Grain Boundary Equilibrium and Non-Equilibrium Segregation in Ferritic/Martensitic Steels, Acta Metall., 12, pp. 2905-2914, 1987.
[3] RICHARDSON, A D.; DORMAND, J. R., The Simulated Cooling of the Hot-Rolled Structural Steel Sections, Computers Math. Applic., 31, N.8, pp. 37-47, 1996.
[4] CUNHA, J. P.; MENEZES, W. M.; SILVA, O M.; NETO, C. M. Análise de Variáveis Termocinéticas na Formação de Martensita em Aços Multifásicos Tipo ARBL, In: 58º CONGRESSO DA ABM, São Paulo, pp. 3297-3306, 2003.
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[6] SILVA NETO, A. J.; VASCONCELLOS, J. F. V. Uma Introdução aos Métodos de Diferenças Finitas e Volumes Finitos com Aplicações em Transferência de Calor e Massa, LEMA, IPRJ, Nova Friburgo, RJ, 2002.
[7] EDWARDS Jr., C.H.; PENNEY, D. E. Equações Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno. 3a. Edição. Rio de Janeiro: Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1995.
[8] MALISKA, C. R. Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Coordenadas Generalizadas. 1a Edição. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1995.