SimuladoGeral 01
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4º Simulado – Comunidade IME/ITA/EN/AFA Estilo IME Questão 1: Determine quantos Zeros há em 1000!. Questão 2: Mostre que o número 3 3 27 125 9 3 27 125 9 3 + + − − + + = x é racional. Questão 3: Prove que ) ( 2 ) )( ( c b a abc c a b a + + ≥ + + para quaisquer números reais positivos a,b,c. Questão 4: Seja uma elipse centrada na origem e com eixo focal coincidente com o eixo Ox. Seja a parábola definida por: : ( ( ,0) d y mx c Fc ⎧ ) = + ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ r . Dado que um dos pontos de intersecção da parábola com a elipse é o ponto e que o outro ponto de intersecção tem ordenada positiva. É dada a excentricidade da elipse como sendo ( ,0) Pa c e a = . Calcule o valor de m em função da excentricidade “e”. Questão 5: 1º parte: Simplifique a expressão 3 5 ... 2005 cos cos 3 cos 5 ... cos 2005 sena sen a sen a sen a a a a a + + + + + + + + . 2º parte: Calcule a soma das soluções da equação cos sec13 13 2cos3 x sen x x + = , com 2 0 π ≤ ≤ x . Questão 6: 1º Parte: Seja N, natural tal que 2005 2005 2005 2005 2005 1 2 3 4 ... 10 N 1 = + + + + + + . Determinar o algarismo das unidades de N. 2º Parte: Sejam C0,C1,C2,C3 números reais. Sabendo que 2 3 1 ... 1! 2! 3! x x x x e = + + + + , calcule S, dado pela expressão: S = ∑ ∞ = + + + 0 n 3 3 2 2 1 0 ! n n C n C n C C . Questão 7: Seja um triângulo acutângulo ABC. Sejam, , e os pés das alturas relativas aos vértices A, B e C respectivamente. Sejam M, N e Q, os pontos médios dos lados A H B H C H AB , BC e CA , respectivamente. Sejam os pontos R, S e T, os pontos médios dos segmentos HA , HB e HC , respectivamente, em que H
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4SimuladoComunidadeIME/ITA/EN/AFAEstiloIMEQuesto1:DeterminequantosZeroshem1000!.
Questo2:Mostrequeonmero 332712593
2712593 ++++=x racional.
Questo 3: Prove que )(2))(( cbaabccaba ++++ para quaisquer nmeros reaispositivosa,b,c.Questo4:Sejaumaelipsecentradanaorigemecomeixofocalcoincidentecom
o eixo Ox. Seja a parbola definida por: : (( ,0)
d y m x cF c )= +
r. Dado que um dos
pontosdeintersecodaparbolacomaelipseoponto equeooutropontodeintersecotemordenadapositiva.dadaaexcentricidadedaelipse
comosendo
( ,0)P a
cea
= .Calculeovalordememfunodaexcentricidadee.Questo5:
1parte:Simplifiqueaexpresso 3 5 ... 2005cos cos3 cos5 ... cos 2005sena sen a sen a sen a
a a a a+ + + ++ + + + .
2parte:Calculeasomadassoluesdaequao
cossec13 13 2cos3x sen x x+ = ,com2
0 x .Questo6:1 Parte: Seja N, natural tal que 2005 2005 2005 2005 20051 2 3 4 ... 10N 1= + + + + + + .DeterminaroalgarismodasunidadesdeN.
2Parte:SejamC0,C1,C2,C3nmerosreais.Sabendoque2 3
1 ...1! 2! 3!
x x x xe = + + + + ,
calculeS,dadopelaexpresso:S==
+++0n
33
2210
!nnCnCnCC .
Questo7:SejaumtringuloacutnguloABC.Sejam, , e ospsdasalturas relativas aos vrticesA, B eC respectivamente. SejamM,N eQ, ospontosmdiosdoslados
AH BH CH
AB , BC eCA ,respectivamente.SejamospontosR,SeT,ospontosmdiosdossegmentosHA ,HB eHC ,respectivamente,emqueH
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oortocentrodo tringuloABC.Proveque , , ,M,N,Q,R,S eTpertencemmesmacircunferncia.
AH BH CH
Questo 8: Uma cnica qualquer tida pela equao genrica
.Quandoumaequaodeumacnicapossuiotermoemxy,essaseencontrarotacionadadeumcertonguloemrelaohorizontal.NoentantoexisteoutropardeeixosOemqueoeixoprincipaldessa cnicaparaleloaumdoseixos,assima suanovaequao (agoraemfunodee)dadapor:
2 2 0Ax By Cxy Dx Ey F+ + + + + =
2 21 1 1 1 1 0A B D E F + + + + = .
a)Encontreasexpressesde 1 1 1 1 1, , , ,A B D E F e emfunodeA,B,C,D,EeF.b)Encontreaequaodacnicarotacionadadeequao 1xy = emfunodee,bemcomooseunguloderotao.
Dado:cos
cosy senx sen
= + =
Questo9:1 parte: Prove que qualquer funopode ser escrita como a somadeumafunoparcomoumafunompar.2 parte: Determinar todos os valores reais que satisfazem a equao
2 3 5 43 12
xx x + + + = .Questo 10: Seja uma pirmide VABCD com faces laterais congruentes s do tetraedroregularVBCE.Determineonmerodefacesdopoliedroformado.
