Simulado bimestral. 2ºAB 1. (Insper 2012) Dado um número real a, com a 1> , define-se a seguinte sequência de matrizes quadradas:

[ ]

3 22

3 22 4

1 2 3 3 22

3

a a a 1a a 1

a 1 0 a a aA 1 , A , A 0 a a , A , ...

0 a 0 0 a a0 0 a

0 0 0 a

= = = =

Representando o determinante de uma matriz quadrada M por det(M), considere agora a sequência numérica

1 2 3 4(det(A ), det(A ), det(A ), det(A ), ...) . Essa sequência numérica a) é uma progressão aritmética de razão 2. b) é uma progressão aritmética de razão 2a . c) é uma progressão geométrica de razão a. d) é uma progressão geométrica de razão 2a . e) não é uma progressão aritmética nem uma progressão geométrica.

2. (Uftm 2011) É dada a matriz a b

Ab a

= −

, onde a e b são números reais. Se

0 1 a 2.

3 5 b 22

=

, então o determinante de A é igual a

a) 3b 4a.+ b) 2b² a².+ c) b² 5.+ d) 5a 2.+ e) 5a. 3. (Ufu 2011) Por causa de hábitos alimentares inadequados, um cardiologista nota que os seus pacientes com hipertensão são cada vez mais jovens e fazem uso de medicamentos cada vez mais cedo. Suponha que Pedro, Márcia e João sejam pacientes, com faixas etárias bem distintas e que utilizam um mesmo hipertensivo em comprimidos. Sabe-se que João utiliza comprimidos de 2 mg, Márcia de 4 mg e Pedro de 10 mg. Além disso, mensalmente, Pedro toma o triplo de comprimidos de Márcia e os três consomem 130 comprimidos, totalizando 780 miligramas da droga. Com base nestas informações, é correto afirmar que Márcia, mensalmente, ingere a) 50 comprimidos b) 20 comprimidos c) 60 comprimidos d) 30 comprimidos

4. (Enem 2ª aplicação 2010) Algumas pesquisas estão sendo desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, para cada 100 g de arroz cozido, o teor de ferro é de 1,5 mg e o de zinco é de 2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 7 mg o teor de ferro e de 3 mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades diárias dos dois micronutrientes para uma pessoa adulta é de aproximadamente 12,25 mg de ferro e 10 mg de zinco. Disponível em: http://www.embrapa.br. Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado). Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva completamente todos os micronutrientes oriundos desses alimentos. Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de arroz e feijão, respectivamente? a) 58 g e 456 g b) 200 g e 200 g c) 350 g e 100 g d) 375 g e 500 g e) 400 g e 89 g 5. (Fgv 2010) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y:

x 3y m

2x py 2

+ = − =

Será impossível quando: a) Nunca b) p ≠ –6 e m = 1 c) p ≠ –6 e m ≠ 1 d) p = –6 e m = 1 e) p = –6 e m ≠ 1 6. (Ibmecrj 2009) Considere os pontos P1, P2 e P3 e a matriz:

onde cada aij é o valor da distância entre o ponto Pi e o ponto Pj. No triângulo formado por esses pontos, a mediana relativa a P2 mede: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

7. (Ufscar 2008) Uma loja vende três tipos de lâmpada (x, y e z). Ana comprou 3 lâmpadas tipo x, 7 tipo y e 1 tipo z, pagando R$ 42,10 pela compra. Beto comprou 4 lâmpadas tipo x, 10 tipo y e 1 tipo z, o que totalizou R$ 47,30. Nas condições dadas, a compra de três lâmpadas, sendo uma de cada tipo, custa nessa loja a) R$ 30,50. b) R$ 31,40. c) R$ 31,70. d) R$ 32,30. e) R$ 33,20. 8. (Ufrrj 2006) Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês.

A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi de a) 170. b) 192. c) 120. d) 218. e) 188. 9. (Fatec 2006) O ponto A pertence à reta r, contida no plano α. A reta s, perpendicular a α, o intercepta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 5 cm de B. Se a projeção

ortogonal de AB em r mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a distância de A a C, em centímetros, é igual a

a) 9 5 b) 9 c) 7 d) 4 e) 3 5

10. (Fuvest 2004) Uma matriz real A é ortogonal se AAt = I, onde I indica a matriz identidade e At indica a transposta de A. Se

é ortogonal, então x2 + y2 é igual a:

a) 14

b) ( )3

4

c) 12

d) ( )3

2

e) 32

11. (Ufes 2004) Se as matrizes A e B a seguir, com k � {-1,0,1}, então o determinante da matriz BAB-1 é

a) - 1 b) 0 c) 1 d) k

e) 1k

12. (Fatec 2003) Seja a matriz

É verdade que a + b é igual a a) 0 b) 1 c) 9 d) - 1 e) - 9 13. (Fgv 2003) A, B e C são matrizes quadradas de ordem 3, e I é a matriz identidade de mesma ordem. Assinale a alternativa correta: a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 b) B . C = C . B c) (A + B) . (A - B) = A2 - B2 d) C . I = C e) I . A = I 14. (Fgv 2003) A matriz mostrada na figura a seguir

admite inversa, se e somente se: a) x ≠ 5 b) x ≠ 2 c) x ≠ 2 e x ≠ 5 d) x ≠ 4 e x ≠ 25 e) x ≠ 4

15. (Mackenzie 2003) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante maior que zero e A-1 a sua inversa. Se 16 . det A-1 = det (2A), então o determinante de A vale: a) 4 b) 6 c) 8 d) 2 e) 16 16. (Pucmg 2003) A matriz A é de quarta ordem, e seu determinante é -8. Na equação det(2A) = 2x -150, o valor de x é: a) 11 b) 16 c) 43 d) 67 17. (Ufrn 2002) Na cadeira representada na figura a seguir, o encosto é perpendicular ao assento e este é paralelo ao chão.

Sendo assim, a) Os planos EFN e FGJ são paralelos. b) HG é um segmento de reta comum aos planos EFN e EFH. c) Os planos HIJ e EGN são paralelos. d) EF é um segmento de reta comum aos planos EFN e EHG. 18. (Fgv 2002) A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det(A)=7. Nessas condições, det(3A) e det(A-1) valem respectivamente: a) 7 e -7 b) 21 e 1/7 c) 21 e -7 d) 63 e -7 e) 63 e 1/7

19. (Unesp 1998) Considere as matrizes reais

a) -1. b) 0. c) 1. d) 2. e) 3. 20. (Puccamp 1996) São dadas as matrizes A e B na figura adiante.

Se A . B-1 = C, o determinante de A - B + C é igual a a) 24 b) 20 c) 18 d) 15 e) 12

Dissertativas: 1) (Unesp 2004) Considere a matriz

a) Determine todos os números reais ë para os quais se tem det (A - λ I) = 0, onde I é a matriz identidade de ordem 3.

b) Tomando λ = - 2, dê todas as soluções do sistema

( )( )( )

6 x 3y 0

3x 6 y 0

x y 2 z 0

λ

λ

λ

− − = − + − = − + − =

2) Considere as retas de equação

: 2 12

: 3

: 2

r x y

s x y

t x y m

+ =− = −+ =

.

a) Determine o valor de m para que as três retas sejam concorrentes no mesmo ponto.

b) Calcule a área do triângulo ABC, onde A é o ponto de intersecção das três retas, B o ponto onde a reta (r) intersecta o eixo y e C o ponto onde a reta (s) intersectam o eixo x.

3) Uma matriz X possui elementos cuja soma vale 1. Se ]1[.11

11. =

−− TXX onde XT é a

transposta de X. Calcule o produto dos elementos de X.

4) Discuta o sistema 1

2 2

kx y

x y k

− = + =

em função do parâmetro k.

5) O cubo abaixo tem aresta medindo 4 cm e M é ponto médio da aresta AF.

a) Calcule a medida do segmento BM.

b) Calcule a tangente do ângulo que o plano (BDM) forma com o plano (ABD).

Gabarito: Resposta da questão 1: [E] det(A1) = 1 det(A2) = a2 det(A3) = a2. a2 .a2 = a6 det(A4) = a3. a3 .a3 .a3 = a12 Portanto, a sequência não representa P.A e nem P.G. Resposta da questão 2: [E] Fazendo o produto de matrizes, temos:

b 2b 2 e a = 4

3a 5b 22

= ⇔ = +

Considerando a 4 e b 2= = , calculamos o determinante de A:

( ) 2 2 2 2det A a b 4 2 20 5.a= + = + = = Resposta da questão 3: [B] Sejam j, m e p, respectivamente, o número de comprimidos que João, Márcia e Pedro tomam mensalmente. Logo, temos:

2j 4m 10p 780 m 20j 17m 390

j m p 130 j 50 .j 4m 130

p 3m p 60

+ + = = + = + + = ⇒ ⇒ = + = = =

Resposta da questão 4: [C] Sejam a e f, respectivamente, os números de porções de 100 gramas de arroz e de feijão que deverão ser ingeridas.

De acordo com o enunciado, obtemos o sistema + = + = =

+ = − − = − = ∼ ∼

1,5a 7f 12,25 6a 28f 49 a 3,5.

2a 3f 10 6a 9f 30 f 1

Portanto, as quantidades de arroz e feijão que deverão ser ingeridas são, respectivamente, ⋅ =3,5 100 350 g e ⋅ =1 100 100 g.

Resposta da questão 5: [E] Se D = 0 ⇔ SPI ou SI

60602

31−=⇔=−−⇔=

−pp

p

Fazendo p = -6, temos:

=+=+

262

3

yx

myx

Resolvendo temos 0 = -2m + 2

Logo, o sistema será SI quando – 2m + 2 for diferente de zero, ou seja, quando m ≠ 1. Resposta da questão 6: [C] Da matriz fornecida obtemos

3223

3113

2112

PP16a

PP20a

PP12a

==

====

Como ,121620 222 += o triângulo 321 PPP é retângulo em .P2

Seja 2M o ponto médio do lado .PP 31

Temos que

.102

202PP

MP 3122 ===

Resposta da questão 7: [C] Resposta da questão 8: [D] Resposta da questão 9: [B] Resposta da questão 10: [E] Resposta da questão 11: [A] Resposta da questão 12: [B] Resposta da questão 13: [D] Resposta da questão 14: [C] Resposta da questão 15: [D] Resposta da questão 16: [A] Resposta da questão 17: [D] Resposta da questão 18: [E] Resposta da questão 19: [B] Resposta da questão 20: [B] Dissertativas: Resposta da questão1: a) λ = 2 ou λ = 3 ou λ = 9 b) S = { (0, 0, 0) } 2) a) m = 9 b) 7,5 3) 0 4) Se 1k ≠ − , então SPD. Se k = -1, então SI.

5) a) 2 5cm b) 2

2