SIMULACAO NUMERICA DE UM ROTOR DE JEFFCOTT COM CONTATO

ROTOR-ESTATOR

Lucas Collares Favaron Galvao

Projeto de Graduacao apresentado ao Curso de

Engenharia Mecanica da Escola Politecnica, da

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessarios a obtencao do

tıtulo de Engenheiro.

Orientador: Thiago Gamboa Ritto D.Sc.

Rio de Janeiro

Agosto de 2017

SIMULACAO NUMERICA DE UM ROTOR DE JEFFCOTT COM CONTATO

ROTOR-ESTATOR

Lucas Collares Favaron Galvao

PROJETO DE GRADUACAO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO

CURSO DE ENGENHARIA MECANICA DA ESCOLA POLITECNICA

DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECANICO.

Examinado por:

Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.

Prof. Fernando Pereira Duda, D.Sc.

Prof. Jose Luis Lopes da Silveira, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

AGOSTO DE 2017

, Lucas Collares Favaron Galvao

Simulacao numerica de um rotor de Jeffcott com contato

rotor-estator/Lucas Collares Favaron Galvao . – Rio de

Janeiro: UFRJ/Escola Politecnica, 2017.

XI, 48 p.: il.; 29, 7cm.

Orientador: Thiago Gamboa Ritto D.Sc.

Projeto de Graduacao – UFRJ/Escola

Politecnica/Curso de Engenharia Mecanica, 2017.

Referencias Bibliograficas: p. 47 – 48.

1. Rotordinamica. 2. Metodos numericos. 3.

Vibracoes. 4. Ciencia computacional. I. D.Sc., Thiago

Gamboa Ritto. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,

Escola Politecnica, Curso de Engenharia Mecanica. III.

Tıtulo.

iii

Agradecimentos

Dedico este trabalho a minha vo, Susana Collares Galvao, que sempre valorizou

muito minha educacao, mas que infelizmente nao esta aqui para presenciar este

momento.

Gostaria de agradecer minha mae, Monica Collares Galvao, que sempre traba-

lhou muito para me sustentar, e sempre me apoiou em tudo que fiz, sem voce eu

nao teria chego ate aqui, e eu nao poderia ter esperado uma mae melhor. Gostaria

de agradecer minha tia, Marcia Collares Galvao, que sempre esteve ao nosso lado, e

sempre me tratou como um filho. Minha tia, Ana Luiza, e meus primos, Fernanda,

Gustavo e Andre.

Meu amigo de longa data, Michael Mitzuck, e todos amigos que me acompanha-

ram nesta vida.

Aos amigos que fiz aqui, Gabriel Guibu, Felipe Delano, Fernando Leitao, Stephan

Kulina, Pedro Caetano, Marcos Carnevale, Marcus Vinicius, Rafael Cardoso, Ga-

briel Guibu e aos demais amigos da engenharia mecanica, pelas horas divididas em

momentos de dificuldade e descontracao. A faculdade teria sido mais custosa sem a

companhia de voces.

O Professor Thiago Ritto, pela orientacao, conhecimento e compreensao, sem os

quais este trabalho nao seria realizado.

E por ultimo, gostaria de agradecer aos meus amigos mais recentes, mas que cuja

convivencia durante este ultimo ano foi um grande suporte, obrigado Marco, Diego,

Natalia, Jubini, Raphael, Paula, Vini e Sergio e todos que conheci com este novo

Hobby.

iv

”Educai as criancas e nao sera

preciso punir os homens.”

– Pitagoras

v

Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como

parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico.

SIMULACAO NUMERICA DE UM ROTOR DE JEFFCOTT COM CONTATO

ROTOR-ESTATOR

Lucas Collares Favaron Galvao

Agosto/2017

Orientador: Thiago Gamboa Ritto D.Sc.

Curso: Engenharia Mecanica

Eixos rotativos estao presentes em diversas maquinas na industria, como bom-

bas, turbinas e motores eletricos. A eficiencia destas maquinas pode ser melhorada

diminuindo a distancia entre o rotor e o estator ou voluto. Porem, na presenca de

desbalanceamentos no disco do rotor, surgem vibracoes que podem causar o con-

tato do disco com o envolutorio. Neste projeto, foi utilizado o modelo de Jeffcott

com 2 graus de liberdade e velocidade angular variada para simular numericamente

as vibracoes ocorridas durante a operacao, desde a partida, de um impelidor des-

balanceado. Os resultados numericos foram analisados para tentar compreender a

dinamica nao linear do sistema quando ha impacto com a parede. Tambem foi ex-

plorada a utilizacao de animacao computacional a fim de auxiliar na visualizacao

dos fenomenos que ocorrem neste sistema.

Palavras-chave: Rotordinamica, Metodos numericos, Vibracoes

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment

of the requirements for the degree of Engineer.

NUMERICAL SIMULATION OF A JEFFCOTT ROTOR WITH

ROTOR-STATOR CONTACT

Lucas Collares Favaron Galvao

August/2017

Advisor: Thiago Gamboa Ritto D.Sc.

Department: Mechanical Engineering

Rotating shafts can be found on the most diverse industrial machinery, such

as pumps, turbines and electric motors. The efficiency of this machines can be

improved by reducing the clearance between stator. However, any mass unbalance

of the rotor will cause vibrations which could cause contact between the rotor and

stator. This work utilizes the Jeffcott rotor model with two degrees of freedom

and an accelerating shaft to numerically simulate the vibrations that occur during

the operation, since it’s start, of an unbalanced rotor. The numerical results were

analyzed in order to better comprehend the non-linear dynamics of the rub-impact.

There’s also an effort to animate the results in a programming environment in order

to better visualize the phenomenon of interest.

Palavras-chave: Rotor dynamicas, Numeric Methods, Vibrations

vii

Sumario

Lista de Figuras x

1 Introducao 1

1.1 Motivacao e Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Organizacao do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Modelo teorico 3

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Equacoes cinematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Vibracao livre nao-amortecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Vibracao livre amortecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Constantes K e C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 Impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Modelagem do sistema 10

3.1 Massa do disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Massa do disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Constantes do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Modelagem numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.5 Animacao em Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Resultados 18

4.1 Analise sem impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1.1 Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1.2 Diferenca de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Visualizacao da diferenca de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Analise com impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3.1 Sem atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3.2 Com atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Conclusao 37

5.1 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

viii

A Codigos em Matlab 38

A.1 Funcao principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

A.2 Funcao auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

B Codigos em VPython 43

Referencias Bibliograficas 47

ix

Lista de Figuras

2.1 Rotor de Jeffcott com um disco central [YOON, 2013] . . . . . . . . . 4

2.2 Visao do disco desbalanceado [YOON, 2013] . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Folga entre o disco e a parede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Impacto com a parede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 Frame do video [KOFFLERELECTRICAL, 2012] . . . . . . . . . . . 10

3.2 Desenho aproximado do impelidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Propiedades do aco AISI 316L [AZOM, 2001] . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Evolucao da velocidade no periodo analisado . . . . . . . . . . . . . . 13

3.5 Jupyter Notebook e o loop responsavel pela animacao. . . . . . . . . 16

3.6 Visualizacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1 Posicao x durante o tempo com ζ = 0.2 e velocidade final = 3.6wn . . 19

4.2 Posicoes x e y durante 10−2s no regime permanente . . . . . . . . . . 19

4.3 Amplitudes para sistema subamortecidos . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 Amplitudes Para ζ pequeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.5 Angulos de interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.6 Diferenca de fase Para diferentes ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.7 Trajetoria do centro geometrico no primeiro segundo de movimento ζ 24

4.8 rotacoes sub e super crıticas[TIWARI, 2006] . . . . . . . . . . . . . . 25

4.9 Posicao relativa do centro de massa para diferentes modos de operacao. 26

4.10 Sistema com Ks = 100K,ζ = 0, 2,µ = 0 e d = 2 . . . . . . . . . . . . . 27

4.11 Sistema com Ks = 100K,ζ = 0, 2,µ = 0 e d = 1, 5 . . . . . . . . . . . 27

4.12 Sistema com Ks = 100K,ζ = 0, 2,µ = 0 e d = 2 extendido . . . . . . . 28

4.13 oscilacao pos amplitude maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.14 Folga d = 2e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.15 Folga d = 1e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.16 Amplitude em funcao da velocidade relativa . . . . . . . . . . . . . . 32

4.17 Coordenadas x e y para ω = 1, 6ωn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.18 Evolucao da velocidade com o tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.19 Comparacao de amplitude em funcao do tempo . . . . . . . . . . . . 33

x

4.20 Orbitas do centro geometrico do disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.21 Orbita para ω = 2, 32ωn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.22 Orbita para ω = 2, 32ωn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.23 impacto com µ = 0, 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

xi

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Motivacao e Objetivo

Eixos rotativos podem ser encontrados nas mais diversas maquinas com diferentes

finalidades, como turbinas a gas, turbo geradores, bombas centrıfugas, propulsores

e outros maquinarios comuns a industria [JOHN VANCE, 2010]. Porem, ao mesmo

tempo que cumprem funcoes importante, rotores sao tambem fonte de frequentes

interrupcoes e pertubacoes na operacao normativa dessas maquinas, e uma causa

comum desses problemas sao as vibracoes que o eixo e sujeito durante a operacao.

Estas vibracoes se tornam especialmente problematicas na presenca de um estator

ou voluto ao redor do rotor.

Impactos e arrastos entre o rotor e a parede destas carcacas sao as principais

causas de defeitos em maquinas rotatorias de grande porte [JUNGUO WANG e

HUANG, 2013]. Para o aumento da eficiencia dessas maquinas, e nescessario operar

em regimes super-crıticos, e diminuir o espaco entre o rotor e a carcaca externa

[JANG-DER JENG, 2014]. Para isso, ve se nescessaria formas de se prever as

vibracoes que surgem durante a operacao e seus pontos crıticos de velocidade, e

como observar desbalanceamentos em maquinas em operacao.

Durante as ultimas decadas, muitos pesquisadores exploraram diferentes modelos

para explorar a dinamica nao linear do impacto de rotores com estatores. Choy

e Padovan investigaram analiticamente o sistema a fim de observar of efeitos da

rigidez, coeficiente de atrito e amortecimento do sistema sobre a resposta transiente

to rotor [F. K. CHOY, 1987]. Chu e Zhang abordaram o problema numericamente e

observaram orbitas periodicas, quasi-periodicas e caoticas[F. CHU, 1998]. Diversos

outros pesquisadores exploraram esse fenomeno com uma variedade de modelos e

abordagens [M.A. ABUZIAD, 2009] [S. ROQUES, 2010] [W. LI, 2011].

1

Este trabalho tem dois objetivos. O primeiro e modelar e simular numericamente

as vibracoes que ocorrem durante a operacao de um rotor desbalanceado, e o que

ocorre quando ha contato do rotor e estator, sem a nescessidade de resolver sistemas

complexos de equacoes. Para isto foi utilizado o modelo simples de um eixo bi-

apoiado, com um disco desbalanceado engastado em seu mediano, porem, apesar

de sua simplicidade, os fenomenos de vibracao discutidos aqui sao frequentemente

observados em aplicacoes reais.

O segundo objetivo e a criacao de uma animacao destes resultados, o que pode

auxiliar na visualizacao e didatica deste assunto, proporcionando algo mais concreto

a uma base teorica, sem a nescessidade de uma bancada de testes.

1.2 Organizacao do trabalho

No proximo capitulo, serao explicados os fundamentos teoricos que servirao de

base para este trabalho, assim como serao deduzidos algumas constantes relevantes.

No capitulo 3 e apresentada nossa modelagem numerica, o metodo utilizado para

soluciona-la, e a animacao dos resultados. No capitulo 4 serao apresentados os

resultados, e sera discutido as conclusoes que podemos tirar. Finalmente, no capıtulo

5 sera analisado se este trabalho alcancou os objetivos iniciais.

2

Capıtulo 2

Modelo teorico

2.1 Introducao

Nesta analise irei me basear nos conceitos desenvolvidos pelo estudo da roto-

dinamica. Esta area da mecanica aplicada procura desenvolver ferramentas para

que possamos prever e prescrever o comportamento de estruturas rotatorias.

Enquanto sistemas rotordinamicos reais sao complexos demais para uma solucao

analıtica completa, com o desenvolvimento de modelos simplificados e o avanco do

poder computacional, solucoes numericas tornaram-se uma importante ferramenta

para lidar com rotordinamica [YOON, 2013].

O modelo fısico utilizado neste trabalho foi inicialmente desenvolvido por August

Foppl, em 1895, porem ficou mais conhecido apos os trabalhos de Henry Jeffcott, em

1919, que incluiu a acao da viscosidade, e foi publicado na lingua inglesa [NELSON,

2007].

Este modelo consiste de um disco desbalanceado, localizado no mediano de um

eixo de massa desprezıvel, que gira ao redor de seu eixo axial apoiado em suas

extremidades por mancais. Apesar da simplicidade do modelo, ele nos permite

observar e melhor entender muitos fenomenos corriqueiros da rotordinamica, como

as velocidades crıticas e a inflencia das resistencias viscosas sobre a estabilidade

[ADMAS, 2001].

3

Figura 2.1: Rotor de Jeffcott com um disco central [YOON, 2013]

A vibracao deste sistema e causada por um desbalanceamento do disco central.

Isso faz com que seu centro de massa e seu centro geometrico sejam diferentes, o

que leva a forcas radiais durante a rotacao da maquina.

Figura 2.2: Visao do disco desbalanceado [YOON, 2013]

2.2 Equacoes cinematicas

Considerando o centro de massa do disco G (xG, yG), as equacoes da dinamica

do rotor de Jeffcott sao derivadas atravez da aplicacao da segunda lei de Newton

md2Gt2

= ΣFr . Considerando a massa do eixo desprezivel, as principais forcas

atuando no disco sao as forcas de rigidez geradas pela deformacao lateral do disco,

e os efeitos de amortecimento, que dependem da posicao e velocidade do centro

geometrico do disco C (x, y).

mx′′G = −Kx− Cx′ (2.1a)

my′′G = −Ky − Cy′ (2.1b)

4

Onde as coordenadas do centro de massa e do centro geometrico do disco podem ser

relacionadas pela seguinte relacao:

xG = x+ ecos(φ) (2.2a)

yG = y + esen(φ) (2.2b)

Sendo e a excentricidade do desbalancemaneto, e φ o angulo relativo do centro

de massa com o centro geometrico. Derivando duas vezes em funcao do tempo,

considerando a velocidade angular do rotor ω nao constante temos as relacoes:

x′′G = x′′ − eω2cos(φ)− eω′sen(φ) (2.3a)

y′′G = y′′ − eω2sen(φ) + eω′cos(φ) (2.3b)

Substituindo as Eqs. 2.3 nas Eqs. 2.1, chegamos nas equacoes de movimento

para o rotor de Foppl/Jeffcott.

mx′′ +Kx+ Cx′ = meω2cos(φ) +meω′sen(φ) (2.4a)

my′′ +Ky + Cy′ = meω2sen(φ)−meω′cos(φ) (2.4b)

Estamos considerando que os apoios sao rigidos o suficiente para evitar um desali-

nhamento do disco, evitando assim efeitos giroscopicos, e nao estamos considerando

efeitos gravitacionais. Antes de buscar a solucao das eqs.(2.4), analisaremos algumas

situacoes especificas mais simples.

2.3 Vibracao livre nao-amortecida

Considerando o caso de uma excentricidade e viscosidade negligenciaveis, nos

temos as EDOs:

mx′′ +Kx = 0 (2.5a)

my′′ +Ky = 0 (2.5b)

A solucao dessas EDOs homogenias tem a forma

y = c1cos(rt) + c2sen(rt) = c3est (2.6)

5

Onde s = i.r e uma constante complexa qualquer e os valores de c sao defini-

dos pela condicao inicial do sistema. Substituindo a solucao nas equacoes 2.5, nos

chegamos na seguinte igualdade:

(ms2 + k)cest = 0 (2.7)

Essa equacao e satisfeita para qualquer costante c para os autovalores

s = ±j√

Km

. O valor√

Km

e conhecido como a frequencia natural do sistema e

sera designado como ωn neste trabalho.

2.4 Vibracao livre amortecida

Analisando agora o caso em que a viscosidade nao e desprezivel, nos temos as

seguintes equacoes:

mx′′ +Kx+ Cx′ = 0 (2.8a)

my′′ +Ky + Cy′ = 0 (2.8b)

A solucao destas equacoes homogenea sao semelhantes a eq.2.7:

(ms2 + Cs+K)cest = 0 (2.9)

E seus autovalores sao as raizes do polinomio ms2 + Cs+K:

s = − C

2m±√

(C

2m)2 − K

m(2.10)

Descriminando ωn nesta equacao, temos:

s = − Cωn2mωn

±√

(Cωn

2mωn)2 − ω2

n) (2.11)

s = ωn(− C

2mωn±

√(

C

2mωn)2 − 1 (2.12)

A razao C2mωn

e chamada de razao de amortecimento ζ. quando ζ < 1, o sistema

e dito subamortecido, e caso ζ > 1, sobreamortecido. ζ tambem pode ser definido

como CCcritico

, onde Ccritico = 2mωn e o valor de C quando o sistema se encontra

criticalmente amortecido,

6

2.5 Constantes K e C

Considerando que o disco nao altera a rigidez do eixo, a rigidez de deflexao lateral

no centro de uma viga bi apoiada e dada por:

48EI

L3(2.13)

Onde E e o modulo de elasticidade do material do eixo, L o comprimento entre

os apoios e I seu momento de inercia, que e dado por:

π.D4

64(2.14)

Sendo D o diametro do eixo.

As forcas de amortecimento C sao uma combinacao de um amortecimento es-

trutural do eixo e dos mancais, e de efeitos viscosos do fluxo de fluidos ao redor da

maquina. Essas forcas sao complexas de se calcular, ou de se medir experimental-

mente,e em geral sao pequenas se comparadas com as forcas geradas pela rigidez.

Em meu trabalho, irei analisar valores diferentes de C para diferentes razoes de

amortecimento.

2.6 Impacto

Muitas vezes, maquinas rotatorias estao envolvidas por algum tipo de carcaca

que limita a amplitude aceitavel do sistema. Estas carcacas possuem diferentes

propositos para cada tipo de maquina, como os estatores em motores eletricos

[LI G.X., 1994], que sao utilizados para gerar o campo magnetico que induzira a

corrente eletrica, ou como as volutas nas bombas centrıfugas, que restringem o fluxo

do liquido a fim de transformar a energia cinetica adquirida no impelidor em energia

potencial de pressao.

Em nosso modelo, trabalharemos com uma carcaca cilındrica coaxial com o sis-

tema em repouso. Definiremos uma distancia d, em funcao da excentricidade e, tal

que, para amplitudes > d, havera impacto do disco com a carcaca.

7

Figura 2.3: Folga entre o disco e a parede

A componente radial da forca resultante devido ao impacto sera resumida a forca

elastica de deformacao da carcaca exterior. Ela sera proporcional a penetracao

do rotor, e devido a geometria do sistema sua resultante sempre sera radial. A

componente tangencial corresponde ao atrito, e e diretamente proporcional a forca

radial.

Figura 2.4: Impacto com a parede

8

Onde:

δ =√x2 + y2 − d (2.15)

Fn = −Ksδ para δ > 0

Fn = 0 para δ <= 0

Fa = µFn

(2.16)

Onde Ks e a rigidez elastica da carcaca externa e µ o coeficiente de atrito de

contato entre o disco e o voluto. As componentes de Fn e Fa podem entao ser

divididas em funcao de θ:

Fnx = Fncos(θ) (2.17a)

Fny = Fnsen(θ) (2.17b)

Fax = −Fasen(θ) (2.18a)

Fay = Facos(θ) (2.18b)

Substituindo, temos as seguintes equacoes de movimento:

mx′′+Kx+Cx′+H(δ)Fn(cos(θ)−µsen(θ)) = meω2cos(ωt)+meω′cos(ωt) (2.19a)

my′′+Ky+Cy′+H(δ)Fn(sen(θ)+µcos(θ)) = meω2cos(ωt)+meω′cos(ωt) (2.19b)

Onde:

H(δ > 0) = 1 (2.20a)

H(δ <= 0) = 0 (2.20b)

Temos entao um sistema de EDOs de segunda ordem nao lineares e nao continuas.

9

Capıtulo 3

Modelagem do sistema

3.1 Massa do disco

A fim de aproximar este trabalho a aplicacoes reais de engenharia, eu basearei

as propiedades do meu sistema em um impelidor real. Em um video [KOFFLE-

RELECTRICAL, 2012], uma empresa especializada em balanceamento de rotores

demonstra o trabalho realizado em um impelidor de larga escala. No video e possi-

vel observar bem os fenomenos tratados neste trabalho, e por isso decidi usa-lo de

inspiracao.

Figura 3.1: Frame do video [KOFFLERELECTRICAL, 2012]

O impelidor em questao pertence a uma bomba utilizada em um dique seco, isso

implica que ele foi projetado para trabalhar com agua do mar. Algumas das princi-

pais preocupacoes na escolha do material de uma bomba que deve funcionar em agua

salgada, sao com a corrosao e erosao, que e ainda maior durante a operacao de uma

10

bomba devido as altas velocidades e elevacao da temperatura. Tambem e preciso

tomar cuidado quando trabalhando com acoplamento de acos diferentes, pois a agua

salgada, por ser uma otima condutora, acelera qualquer processo de corrocao eletro-

quimica[MORROW, 2010]. Por isso considerei os acos AISI 316L (UNS S31603) e

ACI CF8M para o eixo e impelidor respectivamente, essa combinacao de materiais e

muito utilizada na industria naval, pois apresentam boa resistencia em operacoes ma-

ritimas, e sua proximidade na serie galvanica evita a corrocao galvanica[MORROW,

2010].

3.2 Massa do disco

Para estimar a massa do impelidor, desenhei um modelo aproximado em Auto-

cad, e atravez da funcao propmass, foi possıvel estimar seu volume:

Figura 3.2: Desenho aproximado do impelidor

Sabendo que o peso especıfico do ACI CF3M e 7900kg/m3[J. SHIGLEY, 2004]

e possivel entao estimar a massa do impelidor:

mI = 0.83575× 7900kg ≈ 6602kg (3.1)

11

3.3 Constantes do sistema

Das propriedades do aco AISI 316L, temos que seu modulo de elasticidade E =

193 GPa [AZOM, 2001] e com e equacoes 2.13 e 2.14 podemos estimar um K para

o nosso modelo:

I =π(0, 6)4

64= 6, 36e−3 (3.2)

K =48× 193e9 × 6, 36e−3

2, 63= 3, 35e9 (3.3)

Figura 3.3: Propiedades do aco AISI 316L [AZOM, 2001]

Os valores de C foram escolhidos em funcao da razao de amortecimento ζ. Ire-

mos analisar diferentes valores de ζ, desde um sistema onde o amortecimento e

negligenciavel, ate o caso onde o sistema se encontra sobreamortecido.

Para a excentricidade e, iremos considerar o valor unitario de 1m, porem os

resultados serao apresentados em funcao da razao adimensional |U |/e, sendo assim

possivel extrapolar os resultados para qualquer valor de e.

3.4 Modelagem numerica

Para a resolucao numerica deste sistema utilizei a plataforma Matlab e a lingua-

gem de programacao Python. A resolucao em ambas ferramentas foi semelhante,

onde foi discretizado o espaco de interesse e entao resolvido um sistema de EDOs.

12

1 phi=wf ∗( t+20∗exp(−t /20) ) ;

2 w=wf∗(1−exp(−t /20) ) ;

3 a=(wf∗exp(−t /20) ) /20 ;

4 dz=[z (3 ) ;

5 z (4 ) ;

6 (−c∗z (3 )− ks ∗( d e l t a )∗z (1 ) /amp + Mi∗ks ∗( d e l t a )∗z (2 ) /amp +

m∗u∗wˆ2∗ cos ( phi ) + m∗a∗u∗ s i n ( phi ) ) /m;

7 (−c∗z (4 )− ks ∗( d e l t a )∗z (2 ) /amp − Mi∗ks ∗( d e l t a )∗z (1 ) /amp +

m∗u∗wˆ2∗ s i n ( phi ) − m∗a∗u∗ cos ( phi ) ) /m] ;

Onde a,w e phi sao os valores do angulo φ de rotacao do rotor e suas derivadas

em funcao do tempo. Escolhi trabalhar com uma velocidade angular final prescrita,

que e definida por wf, e utilizar uma funcao exponencial onde limt→∞w(t) = wf

para definir a velocidade angular.

w = wf ∗ (1− exp(−t/20));

Figura 3.4: Evolucao da velocidade no periodo analisado

O valor 20 utilizado na formulacao de w foi escolhido empiricamente, de forma

a providenciar uma curva de aceleracao propıcia, e foi alterado em certas analises

onde se nescessitava uma convercao para velocidade final mais rapida ou lenta. A

funcao auxiliar, tem como entrada a matriz t, que e a matriz de tempo discretizado,

e a matriz z:

13

z =

x

y

x′

y′

E retorna a matriz dz:

z′ =

x′

y′

x′′

y′′

Utilizando esta funcao auxiliar, nossa EDO de segunda ordem foi transformada

em um sistema de EDOs de primeira ordem, e assim podemos utilizar as funcoes

ode45 (Matlab) e odeint (Python) para definir os arrays z e t. Ambas funcoes

resolvem iterativamente o sistema utilizando um dos metodos de Runge-Kutta, co-

nhecido como ODE45. Este metodo em sua forma atual foi introduzido no anos 90,

e se baseia no metodo Runge-Kutta-Fehlberg [MOLER, 2014].

Para a analise com impacto, foi preciso tambem tomar cuidado com a integracao

proximo ao ponto de contato, pois e um ponto onde nossa equacao nao e completa-

mente suave, e isso poderia acarretar em erros do metodo ode45. Foi utilizado entao

o objeto events das funcoes ode do Matlab. Este objeto permite criar condicoes nas

quais e interrompida a integracao:

1

2 opt ions = odeset ( ’ Events ’ , @events ) ;

3

4 f unc t i on [ po s i t i on , i s t e rm ina l , d i r e c t i o n ] = events ( t , z )

5 p o s i t i o n = s q r t ( z (1 ) ˆ2 + z (2 ) ˆ2) − d ;

6 i s t e r m i n a l = 1 ;

7 d i r e c t i o n = 0 ;

8 end

Quando a funcao events, que foi definida como a diferenca entre a amplitude e

a folga inicial entre o disco e o voluto, chega a 0, a funcao ode e interrompida.

14

E, para garantir a integracao no periodo desejavel, foi utilizado um loop:

1 whi le t s t a r t < t f i n a l − . 0001

2

3 [ t , z , te , ze , i e ] = ode45 ( @sub eq3 , t s t a r t : . 0 0 0 1 : t f i n a l ,

z0 , opt ions ) ;

4 nt = length ( t ) ;

5 tout = [ tout ; t ( 2 : nt ) ] ;

6 zout = [ zout ; z ( 2 : nt , : ) ] ;

7 teout = [ teout ; te ] ;

8 zeout = [ zeout ; ze ] ;

9 i e ou t = [ i e ou t ; i e ] ;

10 z0 (1 ) = z ( nt , 1 ) ;

11 z0 (2 ) = z ( nt , 2 ) ;

12 z0 (3 ) = z ( nt , 3 ) ;

13 z0 (4 ) = z ( nt , 4 ) ;

14 t s t a r t = t ( nt ) ;

15 end

Enquanto o ultimo t analisado for menor que o t final, este loop retoma a integracao

utilizando como condicoes iniciais os ultimos pontos.

3.5 Animacao em Python

A resolucao da equacoes diferenciais foi feita de forma semelhante ao Matlab,

com o auxilio dos modulos Math e Scipy.

Para a visualizacao dos resultados em 3D, utilizei o modulo VPython, um pro-

jeto open source criado em 2000 por David Scherer, cujo principal proposito era

auxiliar na educacao ao permitir a facil visualizacao de simulacoes de fenomenos

fısicos[python.org].

Para se utilizar VPython atualmente e nescessario um ambiente de IPython, e

para este proposito, utilizei o tambem open sourced Jupyter Notebook. O Jupyter

Notebook emula um Cerne virtual, apropiado para aplicacoes IPython, que nos

permite rodar codigos que utilizam o modulo VPython.

Para a animacao, utilizei um loop, que a cada interacao atualiza a posicao e os

valores dos objetos em display. Dentre os objetos, temos:

15

1. Um cilindro, que representa o disco, e cuja posicao e atualizada de acordo com

os resultados da integracao.

2. Uma curva, definida por 21 pontos, que representa o eixo. O ponto central e

definido com as coordenadas do centro do disco para aquele instante, enquanto

os demais pontos sao fracoes da posicao central, aproximando o formato do

eixo a uma parabola.

3. Um outro cilindro, que representa o centro de massa. Para a sua posicao,

defini uma matriz phi que, baseado na aceleracao da rotacao, define um phi

para cada instante t de integracao. Utilizei entao as funcoes cosseno e seno do

modulo Math para definir a posicao do centro de massa em funcao das solucoes

das EDOs.

4. Tres labels, que foram utilizadas para expor a velocidade de rotacao do cilin-

dro, em Hz e em funcao da frequencia natural, e o instante t reespectivo de

integracao.

Note.png

Figura 3.5: Jupyter Notebook e o loop responsavel pela animacao.

16

A fim de melhorar a visualizacao, utilizei a propiedade rate do VPython, que

limita a quantidade de iteracoes que um loop pode fazer por segundo, e, com o auxılio

da variavel FatorT, e possivel definir com certa precisao a velocidade da animacao.

Tambem inclui a variavel FatorL, que exacerba a amplitude de deformacao.

Figura 3.6: Visualizacao.

17

Capıtulo 4

Resultados

Iremos analisar fenomenos que ocorrem quando um sistema deste tipo e acelerado

desde o repouso ate a operacao supercrıtica. Para facilitar a visualizacao destes

fenomenos foram plotados graficos em Matlab e desenvolvido uma animacao grafica

em Python. Todas equacoes foram resolvidas numericamente em funcao do tempo,

porem, devido as propriedades do sistema, os graficos serao plotados em funcao da

razao de velocidade de rotacao do disco. Como predeterminamos nossa velocidade

atravez de uma funcao, podemos associar a cada instante de tempo da matriz t a

uma velocidade relativa:

1 w=wf∗(1−exp(−t /20) ) ;

2 wr = (w/wn) ;

Isto foi feito pois grande parte dos fenomenos de interesse ocorrem em funcao da

proximidade da rotacao de operacao com a frequencia natural do sistema.

4.1 Analise sem impacto

4.1.1 Amplitude

18

Figura 4.1: Posicao x durante o tempo com ζ = 0.2 e velocidade final = 3.6wn

Figura 4.2: Posicoes x e y durante 10−2s no regime permanente

Como a excentricidade e e uma variavel independente propia de cada sistema, ao

analisar a amplitude iremos considerar a razao de amplitude adimensional |U |e

, onde

|U | =√x2 + y2. Desta forma sera mais facil observar caracteristicas gerais deste

tipo de sistema.

Na figura 4.3 e 4.4 podemos observar o que ocorre com alguns sitemas subamor-

tecidos. Para razoes de frequencias muito pequenas, as amplitudes sao proximas de

19

0, pois as forcas de desbalanceamento ainda sao muito pequenas. O comportamento

do sistema quando a operacao se aproxima da frequencia natural depende muito do

fator de amortecimento ζ. Para ζ < 0.5, pode-se observar um pico consideravel de

amplitude proximo ao ponto fr = 1, e que este pico e aproximadamente 12ζ

.

Figura 4.3: Amplitudes para sistema subamortecidos

20

Figura 4.4: Amplitudes Para ζ pequeno

Para sistemas superamortecidos ζ > 1, ainda e possivel observar a mesma relacao

entre ζ e a razao de amplitude, e nao e possivel observar o mesmo pico para amor-

tecimentos pequenos. Em ambos os casos, quando fr >> 1, a razao de amplitude

da vibracao tende a 1.

Efeitos viscosos, apesar de inevitaveis, sao geralmente indesejaveis, pois implicam

em perda de energia durante a operacao da maquina. Porem e importante que

se garanta um mınimo de amortecimento ao sistema, pois para ζ proximos de 0,

mesmo pequenos desbalanceamentos podem causar enormes amplitudes de vibracoes

proximas a frequencia natural. Tambem e recomendado manter uma margem segura

entre o intervalo de operacao da maquina e sua frequencia natural.

21

4.1.2 Diferenca de fase

Podemos utilizar os resultados numericos para tambem observar o que ocorre

com a diferenca de fase entre o angulo do centro de massa em relacao ao centro do

disco φ e o angulo do centro do disco em relacao ao eixo axial θ.

Figura 4.5: Angulos de interesse

Analisando o triangulo OSG, sabemos que o lado SG e a constante e, OS = r =√y2 + x2, e podemos encontrar OG =

√(y + esen(φ))2 + (x+ ecos(φ))2. Com os

3 lados do triangulo, podemos encontrar o angulo OSG com a lei dos cossenos, e e

facil demonstrar que φ− θ = 180−OSG.

Podemos observar na figura 4.6 que independente se o sistema se encontra sub

ou sobre-amortecido, para frequencias pequenas,apos os primeiros instantes do inicio

do movimento, a diferenca de fase e proxima de 0, e o centro de massa esta alinhado

com o centro geometrico, na parte de fora da orbita de rotacao do disco.

22

Figura 4.6: Diferenca de fase Para diferentes ζ

A diferenca de fase nos instantes iniciais do movimento e proxima de 90, isto

ocorre pois no inicio do movimento nao ha deslocamento do centro geometrico do

rotor, logo as unicas forcas presentes sao as inerciais, o que leva ao movimento que

pode ser observado na figura 4.7.

23

Figura 4.7: Trajetoria do centro geometrico no primeiro segundo de movimento ζ

Na medida que nos aproximamos da frequencia natural, a diferenca de fase

comeca a aumentar, porem a forma como se da esse aumento depende muito de quao

amortecido esta o sistema. Para razoes de amortecimento maiores, esse crescimento

na diferenca de fase e mais gradual, e se inicia distante da frequencia natural. Para

amortecimentos menores porem, so quando nos aproximamos muito da frequencia

natural e que notamos um aumento significativo. Interessnte perceber, que indepen-

dente da taxa de amortecimento, todos os casos convergem para φ− θ = 90 quando

a Fr = 1. Isso nos permite, atraves da medicao da diferenca de fase de um sistema

deste tipo, determinar facilmente sua frequencia natural experimentalmente. Na

operacao super-crıtica, a diferenca de fase de todos os casos tende a 180, onde o

centro de massa esta novamente alinhado com o centro geometrico, porem agora

na parte interna da orbita de rotacao do disco, e as forcas de desbalanceamento

trabalham na direcao oposta as forcas inerciais do rotora.

24

Figura 4.8: rotacoes sub e super crıticas[TIWARI, 2006]

4.2 Visualizacao da diferenca de fase

Aqui e possivel demonstrar como a visualizacao pode auxıliar na compreensao

dos fenomenos que ocorrem neste sistema. A posicao do centro de massa foi definida

de forma completamente independente da velocidade relativa de rotacao, porem, e

possıvel observar claramente os estagios discutidos na secao anterior.

Para uma melhor visualizacao, defini parametros do sistema a fim que a

frequencia natural fosse relativamente baixa, porem, como vimos anteriormente,

todos os fenomenos discutidos neste trabalho podem ser expressos em funcao da

razao adimensional de velocidade.

25

Figura 4.9: Posicao relativa do centro de massa para diferentes modos de operacao.

4.3 Analise com impacto

4.3.1 Sem atrito

Primeiro, vamos observar os resultados obtidos para µ = 0. Analisaremos dife-

rentes valores de rigidez do voluto e para diferentes folgas entre o disco e as paredes.

Para sermos mais generalistas, a rigidez sera definida em funcao da rigidez do eixo,

enquanto a folga sera definida em funcao da excentricidade, pois, como vimos ante-

riormente, a amplitude de vibracao e diretamente proporcional a excentricidade do

desbalanceamento.

Primeiro, para uma parede rigida (rigidez 100 vezes maior que a rigidez do eixo),

e para gaps iniciais de 2 e 1,5 vezes a excentricidade:

26

Figura 4.10: Sistema com Ks = 100K,ζ = 0, 2,µ = 0 e d = 2

Figura 4.11: Sistema com Ks = 100K,ζ = 0, 2,µ = 0 e d = 1, 5

Esses resultados nao condizem com o que se espera intuitamente. E de se esperar,

que uma parede suficientemente rigida, serveria como um limitador da amplitude

27

proximo a regiao de ressonancia. Porem, podemos observar que apesar de a ampli-

tude maxima realmente permanecer menor no periodo observado, nao ha a quebra

de contato com a parede pos o periodo de ressonancia, e tambem, a derivada da

amplitude permanece positiva, o que indica que nao chegamos ao ponto de maximo.

Estendendo o periodo de analise para as mesmas condicoes, temos:

Figura 4.12: Sistema com Ks = 100K,ζ = 0, 2,µ = 0 e d = 2 extendido

Aqui podemos observar que nao so o periodo de contato se extende, como tambem

a amplitude maxima e maior. Tambem podemos observar que logo apos a maxima

amplitude, temos uma diminuicao quase que imediata da amplitude, assim como

uma breve oscilacao de amplitude maxima (fig 4.13), apos a qual o sistema segue

na amplitude esperada para o regime permanente, que e proximo ao valor da ex-

centricidade ( |U |e

= 1) quando a velocidade de operacao e afastada o suficiente da

frequencia natural.

O que esta acontecendo e, ao introduzir a resistencia da parede, nos temos a

seguinte equacao dinamica:

mx′′G + Cx′C +KxC +Ki.δ.xCamp

= meω2cos(ωt) +meω′cos(ωt) (4.1)

Que pode ser reescrita da seguinte forma:

mx′′G + Cx′C + (K +Ki.δ

amp)xC = meω2cos(ωt) +meω′cos(ωt) (4.2)

28

Figura 4.13: oscilacao pos amplitude maxima

Matematicamente, estamos simplesmente aumentando o K efetivo do sistema.

De novo, intuitivamente isso nos levaria a esperar uma amplitude menor, ja que K

e a rigidez, porem, como estamos lidando com ressonancia, precisamos avaliar como

isto afeta os outros fatores relevantes. Um dos fatores alterados por esta mudanca

e a frequencia natural, pois, como vimos anteriormente:

ωn =

√K

m(4.3)

29

O aumento da frequencia desloca o ponto de maior amplitude para a direita, e ex-

plica o porque o contato com a parede se extende muito alem da regiao de ressonancia

do sistema original. Outra caracteristica importante deste modelo matematico e a

razao de amortecimento. Como observado anteriormente nos resultados anteriores,

a amplitude maxima e inversamente proporcional a razao de amortecimento:

|U |e ωn

=1

2ζ(4.4a)

ζ =C

Ccritico(4.4b)

Ccritico = 2mωn (4.4c)

Com o aumento da frequencia natural, o Ccritico do tambem aumenta, porem,

como o amortecimento efetico C nao muda, o que ocorre e que a razao de amor-

tecimento efetiva do sistema e menor, e por consequencia, a amplitude maxima e

maior.

Este comportamento fica mais claro quando analisamos sistemas onde Ks e me-

nor. Nas seguintes simulacoes, onde Ks = K, foram plotadas 3 situacoes, uma em

que ha impacto quando a amplitude e maior que uma distancia d, outra em que

nao ha impacto, porem o K inicial e o dobrado, sem alterar as outras variaveis do

sistema, e por ultimo o caso em que nao ha impacto. Em todos os casos ζ = 0, 2.

Figura 4.14: Folga d = 2e

30

Figura 4.15: Folga d = 1e

Pode-se perceber que na amplitude de impacto, nossa simulacao diverge do caso

sem impacto, e se aproxima do sistema com maior K inicial, e tambem, quanto

menor o d inicial, mais proximo ela do caso em que o K inicial e a soma de K e Ks.

Isto tudo tambem explica o comportamento estranho observado na figura 4.9. Com

as eqs.4.2 e 4.3, temos:

ωn =

√K +Ki. δ

amp

m(4.5)

Logo, enquanto δ aumenta, a frequencia natural tambem aumenta, e assim,

o ponto de maxima amplitude e deslocado para a direita. Apos este maximo, a

diminuicao da amplitude, e por consequencia, do δ, reduz novamente a frequencia

natural do sistema, o que por sua vez desloca o ponto teorico de maior amplitude

para esquerda, e acelera o decaımento da amplitude. Por causa disto, este e um

ponto instavel do modelo matematico.

4.3.2 Com atrito

Quando consideramos um coeficiente de atrito nao nulo e relativamente alto,

a vibracao do sistema deixa de ser periodica, e assume um novo comportamento

aparentemente caotico. As simulacoes a seguir foram feitas com um sistema onde

ζ = 0.2, Ks = 100K e µ = 0.2.

31

Figura 4.16: Amplitude em funcao da velocidade relativa

Figura 4.17: Coordenadas x e y para ω = 1, 6ωn

32

Enquanto antes a amplitude do sistema era unica para cada valor de razao de

velocidade, agora temos uma banda de amplitudes. Para se comprovar que este

novo comportamento e realmente caotico, seria nescessario um aprofundamento com

outras ferramentas matematicas, como por exemplo, o expoente de Lyapunov [SAVI,

2006]. Esta mudanca de comportamente pode ser observado quando o sistema se

encontra no estado permanente, por exemplo, para velocidade de operacao de 2ωn:

Figura 4.18: Evolucao da velocidade com o tempo

Figura 4.19: Comparacao de amplitude em funcao do tempo

33

Esse novo comportamento tambem pode ser observado se tracadas as orbitas

de movimento do centro geometrico para cada fracao de velocidade. Os graficos a

seguir tracam o movimento do centro geometrico no espaco de um decimo de segundo

quando o sistema se encontra no estado permanente, para diferentes velocidades

relativas finais. Novamente, as constante dos sistemas sao ζ = 0.2, Ks = 100K e

µ = 0.2.

Figura 4.20: Orbitas do centro geometrico do disco

34

Como podemos ver, a orbita descrita pelo centro do disco nesta regiao nao e mais

circular, e a distancia dele com o centro dos eixos de coordenadas nao e mais cons-

tante para uma mesma velocidade relativa. Encontramos diversas orbitas peculiares

nesta regiao, por exemplo, podemos observar na figura 4.21 uma regiao proxima a

t = 80s temos uma regiao onde o maximo de y e menor que o de x.

Figura 4.21: Orbita para ω = 2, 32ωn

tracando a orbita neste periodo, observamos melhor este comportamento.

Figura 4.22: Orbita para ω = 2, 32ωn

Logo apos o periodo observado o sistema ficou instavel, e a amplitude cresceu

indefinidamente. O grafico a seguir foi feito do mesmo sistema, porem com um

coeficiente de atrito µ = 0, 05:

35

Figura 4.23: impacto com µ = 0, 05

Neste sistema, a oscilacao na amplitude maxima demorou a se manifestar, porem

apos este periodo a vibracao tambem se tornou instavel.

36

Capıtulo 5

Conclusao

Atravez da analise numerica do sistema sem impacto, foi possıvel observar

fenomenos importantes encontrados em sistemas rotordinamicos, e identificar si-

nais que ajudam a identicar as velocidades crıticas de um sistema rotordinamico,

assim como avaliar o nıvel de desbalanceamento de um rotor. Atraves da animacao

em VPython conseguimos ter uma visualizacao mais concreta destes fenomenos, sem

a nescessidade de um aparato experimental, muito mais custoso, e isto e algo que

pode ter um valor especial em um ambiente didatico.

Para a analise com impacto sem atrito, foi possıvel observar alguns comporta-

mentos matematicos interessantes, porem o modelo matematico e insatisfatorio para

tracar paralelos relevantes com o fenomeno fısico que ele visa representar. Quando

incluıdo o atrito, as vibracoes se tornaram muito mais complexas, apresentando

comportamentos nao periodicos e caoticos, e apresentaram auto-excitacoes que se

tornavam instavel apos certas velocidades, porem seriam nescessarias outras analises

matematicas para entender melhor o que ocorre com estes sistemas.

5.1 Trabalhos Futuros

E valido explorar mais o uso de visualizacoes em computador para o ensino de

rotordinamica, e outras areas da engenharia aplicada, dentro dos cursos de engenha-

ria. A ciencia computacional possui um vasto valor que ainda e pouco explorado na

area da didatica.

Em relacao ao sistema com impacto e arrasto, seria interessante trazer novas

ferramentas matematicas para tirar-se conclusoes mais aprofundadas, e poder prever

como um sistema real deste tipo se comportaria.

37

Apendice A

Codigos em Matlab

A.1 Funcao principal

1 f unc t i on j e f f c o t t

2 c l o s e a l l

3 c l e a r a l l

4 c l c

5

6 %dec la racao de v a r i a v e i s g l o b a i s

7 g l o b a l m c k u w wf phi d ks

8

9

10 %entradas

11 m=6602;

12 k =3.35∗10ˆ9;

13 wn=s q r t ( k/m) ;

14 c c r i t =2∗m∗wn;

15 u=1;

16 wf = 6.6∗wn; %ve loc idade f i n a l

17 ks = 100∗k ; %K de impacto

18 d = 2∗u ; %tamanho do gap

19

20 opt ions = odeset ( ’ Events ’ , @events ) ;

21 fatorC = 0 . 2 ;

22 c=c c r i t ∗ fatorC ;

23

24 %cond icoe s i n i c i a i s

25

38

26 x0=0;

27 y0=0;

28 dx0=0;

29 dy0=0;

30

31 t s t a r t = 0 ;

32 t f i n a l = 100 ;

33 tout = t s t a r t ;

34 zout = [ 0 0 0 0 ] ;

35 teout = [ ] ;

36 zeout = [ ] ;

37 i e ou t = [ ] ;

38 z0=[x0 ; y0 ; dx0 ; dy0 ; ] ;

39

40 whi le t s t a r t < t f i n a l − 0 .0001

41 % Loop que interrompe e r e i n i c i a a in t eg ra cao em todos os

pontos em que

42 % a amplitude chega a d . I s s o e f e i t o para se t e r

i n t e r v a l o s de

43 % integ racao com funcoes ” suaves ”

44 [ t , z , te , ze , i e ] = ode45 ( @sub eq4 , t s t a r t : . 0 0 0 1 : t f i n a l , z0 ,

opt ions ) ;

45

46

47 nt = length ( t ) ;

48 tout = [ tout ; t ( 2 : nt ) ] ;

49 zout = [ zout ; z ( 2 : nt , : ) ] ;

50 teout = [ teout ; te ] ;

51 zeout = [ zeout ; ze ] ;

52 i e ou t = [ i e ou t ; i e ] ;

53

54 % R e i n i c i a a in t eg ra cao a p a r t i r do ponto onde houve

in t e r rupcao

55 z0 (1 ) = z ( nt , 1 ) ;

56 z0 (2 ) = z ( nt , 2 ) ;

57 z0 (3 ) = z ( nt , 3 ) ;

58 z0 (4 ) = z ( nt , 4 ) ;

59

60

39

61

62 t s t a r t = t ( nt ) ;

63 end

64

65 x=zout ( : , 1 ) ;

66 y=zout ( : , 2 ) ;

67 dx=zout ( : , 3 ) ;

68 dy=zout ( : , 4 ) ;

69

70

71 phi=wf ∗( tout+20∗exp(− tout /20) ) ;

72 w=wf∗(1−exp(− tout /20) ) ;

73

74 wot = (w/wn) ;

75

76

77

78 f i g u r e

79 axes ( ’ f o n t s i z e ’ ,14)

80 p lo t ( tout , x , tout , y , ’ l i n ew id th ’ , 0 . 0 1 )

81 y l a b e l ( ’ amplitude [m] ’ , ’ f o n t s i z e ’ , 16)

82 x l a b e l ( ’ tempo [ s ] ’ , ’ f o n t s i z e ’ , 16)

83 l egend ( ’ x ’ , ’ y ’ )

84 g r id on

85

86 f i g u r e

87 axes ( ’ f o n t s i z e ’ ,14)

88 p lo t ( wot , x , wot , y , ’ l i n ew id th ’ , 0 . 0 1 )

89 y l a b e l ( ’ amplitude [m] ’ , ’ f o n t s i z e ’ , 16)

90 x l a b e l ( ’\omega/\omega n ’ , ’ f o n t s i z e ’ , 16)

91 l egend ( ’ x ’ , ’ y ’ )

92 g r id on

93

94

95 f i g u r e

96 axes ( ’ f o n t s i z e ’ ,14)

97 p lo t ( wot , s q r t ( x.ˆ2+y . ˆ 2 ) , ’ l i n ew id th ’ , 1 )

98 x l a b e l ( ’\omega/\omega n ’ , ’ f o n t s i z e ’ , 16)

99 y l a b e l ( ’ | u |/ e ’ , ’ f o n t s i z e ’ , 16)

40

100 l egend ( ’ 0 . 2 ’ )

101 g r id on

102

103 f i g u r e

104 axes ( ’ f o n t s i z e ’ ,14)

105 p lo t ( tout , s q r t ( x.ˆ2+y . ˆ 2 ) , ’ l i n ew id th ’ , 1 )

106 x l a b e l ( ’ tempo [ s ] ’ , ’ f o n t s i z e ’ , 16)

107 y l a b e l ( ’ | u |/ e ’ , ’ f o n t s i z e ’ , 16)

108 l egend ( ’ 0 . 2 ’ )

109 g r id on

110

111 f i g u r e

112 axes ( ’ f o n t s i z e ’ ,14)

113 p lo t ( tout ,w/wn, ’ l i n ew id th ’ , 1 )

114 x l a b e l ( ’ tempo [ s ] ’ , ’ f o n t s i z e ’ , 16)

115 y l a b e l ( ’\omega/\omega n ’ , ’ f o n t s i z e ’ , 16)

116 g r id on

117

118

119 f unc t i on [ po s i t i on , i s t e rm ina l , d i r e c t i o n ] = events ( t , z )

120 p o s i t i o n = s q r t ( z (1 ) ˆ2 + z (2 ) ˆ2) − d ;

121 i s t e r m i n a l = 1 ;

122 d i r e c t i o n = 0 ;

123 end

124 end

41

A.2 Funcao auxiliar

1 f unc t i on dz=sub eq4 ( t , z )

2 g l o b a l m c k u a w wf phi d ks amp de l t a

3

4 amp = s q r t ( z (1 ) ˆ2 + z (2 ) ˆ2) ;

5 de l t a = amp − d ;

6 phi=wf ∗( t+20∗exp(−t /20) ) ;

7 w=wf∗(1−exp(−t /20) ) ;

8 a=(wf∗exp(−t /20) ) /20 ;

9 Mi = 0 . 0 5 ;

10

11

12 i f d e l t a > 0

13 dz=[z (3 ) ;

14 z (4 ) ;

15 (−c∗z (3 ) − k∗z (1 ) − ks ∗( d e l t a )∗z (1 ) /amp + Mi∗ks ∗(

d e l t a )∗z (2 ) /amp + m∗u∗wˆ2∗ cos ( phi ) + m∗a∗u∗ s i n (

phi ) ) /m

16 (−c∗z (4 ) − k∗z (2 ) − ks ∗( d e l t a )∗z (2 ) /amp − Mi∗ks ∗(

d e l t a )∗z (1 ) /amp + m∗u∗wˆ2∗ s i n ( phi ) − m∗a∗u∗ cos (

phi ) ) /m] ;

17 e l s e

18 dz=[z (3 ) ;

19 z (4 ) ;

20 (−c∗z (3 ) − k∗z (1 ) + m∗u∗wˆ2∗ cos ( phi ) + m∗a∗u∗ s i n ( phi

) ) /m

21 (−c∗z (4 ) − k∗z (2 ) + m∗u∗wˆ2∗ s i n ( phi ) − m∗a∗u∗ cos ( phi

) ) /m] ;

22 end

42

Apendice B

Codigos em VPython

1 #importando os modulos

2 import numpy as np

3 import s c ipy . i n t e g r a t e as i n t e g r a t e

4 import math

5 from vpython import ∗6 import ipywidgets as wd

7

8

9 #EDO

10 de f sub edoRoto rJ e f f c o t tSe l o ( z , t ) :

11 dz=[z [ 2 ] ,

12 z [ 3 ] ,

13 (−c∗z [2]−k∗z [0 ]+ m∗( a∗ t ) ∗∗2∗u∗math . cos ( a∗ t ∗∗2/2) + m∗a∗u∗ s i n ( a∗ t ∗∗2/2) ) /m,

14 (−c∗z [3]−k∗z [1 ]+ m∗( a∗ t ) ∗∗2∗u∗math . s i n ( a∗ t ∗∗2/2) − m∗a∗u∗ cos ( a∗ t ∗∗2/2) ) /m]

15 r e turn dz

16

17

18 #Janela de v i s u a l i z a c a o

19 scene . width = 800

20 scene . he ight = 600

21 scene . background = c o l o r . white

22 scene . c en t e r =vec (−10 ,−10 ,0)

23 scene . forward = vecto r (−1,−1,−3)

24

25 #Butoes

43

26 on = True

27 BP = wd. Button ( d e s c r i p t i o n=’ Pausar ’ )

28 BR = wd. Button ( d e s c r i p t i o n=’ Resetar ’ )

29 FatorL = wd . F l o a t S l i d e r ( d e s c r i p t i o n=’ Fator deformacao ’ , min

=1, max=10, s tep =1, va lue =10)

30 FatorT = wd. F l o a t S l i d e r ( d e s c r i p t i o n=’ Fator tempo ’ , min=0.01 ,

max=1, s tep =0.01 , va lue =0.1)

31 conta ine r = wd . HBox( c h i l d r e n =[BP,BR, FatorL , FatorT ] )

32 d i sp l ay ( conta ine r )

33 l a b e l 1 = l a b e l ( pos=vec (25 ,25 ,0 ) , t ex t=’ ’ )

34 l a b e l 2 = l a b e l ( pos=vec (25 ,30 ,0 ) , t ex t=’ ’ )

35 l a b e l 3 = l a b e l ( pos=vec (25 ,35 ,0 ) , t ex t=’ ’ )

36 de f P handler ( s ) :

37 g l o b a l on

38 on = not on

39 i f s . d e s c r i p t i o n == ’ Continuar ’ : s . d e s c r i p t i o n = ’ Pausar

’

40 e l s e : s . d e s c r i p t i o n = ’ Continuar ’

41 BP. o n c l i c k ( P handler )

42

43 de f R handler ( s ) :

44 g l o b a l j

45 j = 0

46 BR. o n c l i c k ( R handler )

47

48

49

50

51 # Valores do s i s tema

52 m=1

53 L=1.6

54 k=400

55 wn=(k/m) ∗∗(1/2)

56 c c r i t =2∗m∗wn

57 c=c c r i t ∗0 .2

58 u=.01

59 Hz=10

60 w=0

61 a = wn/3

44

62 #Condicoes i n i c i a i s

63 x0=0

64 y0=0

65 dx0=0

66 dy0=0

67 i =[x0 , y0 , dx0 , dy0 ]

68

69 #Espaco de tempo a s e r in teg rado

70 tspan=np . l i n s p a c e (0 ,10 ,10001)

71

72

73

74

75 #Integracao

76 z=i n t e g r a t e . ode int ( sub edoRoto rJe f f co t tSe l o , i , tspan )

77

78

79

80

81 #animacao

82 Vel=tspan∗a/wn

83 phi = np . power ( tspan , 2 ) ∗a/2

84 ve labs = tspan∗a /(2∗math . p i )

85 za =(0 ,40 ,80)

86 j = [ [ 0 . 0 , 0 . 0 , 0 . 0 ] , [ 0 . 0 , 0 . 0 , 8 0 . 0 ] ]

87 e ixo = curve ( pos=( j ) , r ad iu s =0.3)

88 r o t o r = c y l i n d e r ( pos=vec to r (0 , 0 , 40 ) , a x i s=vec to r ( 0 , 0 , 1 ) ,

r ad iu s =10)

89 CM = c y l i n d e r ( pos=vec to r (1 , 0 , 40 ) , a x i s=vecto r ( 0 , 0 , 1 ) , r ad iu s

=−0.2, l ength =1.5)

90 EixoX = arrow ( pos=vecto r (−30 ,0 ,41) , a x i s=vec to r (60 , 0 , 0 )

, sha f twidth =0.1 , headwidth = 1 , headlength = 1)

91 EixoY = arrow ( pos=vecto r (0 ,−30 ,41) , a x i s=vecto r (0 , 60 , 0 )

, sha f twidth =0.1 , headwidth = 1 , headlength = 1)

92 CM. c o l o r = vec to r ( 0 , 0 , 0 )

93 EixoX . c o l o r = vec to r ( 0 , 1 , 1 )

94 EixoY . c o l o r = vec to r ( 0 , 1 , 1 )

95 j=0

96 whi le True :

45

97 r a t e (10)

98 i f on and j <10001:

99 l a b e l 1 . t ex t = ’ Veloc idade = %1.5 f da f r e q u e n c i a

natura l ’%Vel [ j ]

100 l a b e l 2 . t ex t = ’ tempo = %1.5 f s ’%tspan [ j ]

101 l a b e l 3 . t ex t = ’ Veloc idade = %1.5 f Hz ’%ve labs [ j ]

102 xa=(0 , FatorL . va lue ∗100∗ z [ j , 0 ] , 0 )

103 ya=(0 , FatorL . va lue ∗100∗ z [ j , 1 ] , 0 )

104 po=(xa , ya , 5 0 )

105 jn =[( xa [ 0 ] , ya [ 0 ] , za [ 0 ] ) , ( 0 . 19∗ xa [ 1 ] , 0 . 1 9 ∗ ya [ 1 ] , 0 . 0 5 ∗za [ 2 ] ) , ( 0 . 36∗ xa [ 1 ] , 0 . 3 6 ∗ ya [ 1 ] , 0 . 1 ∗ za [ 2 ] ) , ( 0 . 51∗ xa

[ 1 ] , 0 . 5 1 ∗ ya [ 1 ] , 0 . 1 5 ∗ za [ 2 ] ) , ( 0 . 64∗ xa [ 1 ] , 0 . 6 4 ∗ ya

[ 1 ] , 0 . 2 ∗ za [ 2 ] ) , ( 0 . 75∗ xa [ 1 ] , 0 . 7 5 ∗ ya [ 1 ] , 0 . 2 5 ∗ za [ 2 ] )

, ( 0 . 84∗ xa [ 1 ] , 0 . 8 4 ∗ ya [ 1 ] , 0 . 3 ∗ za [ 2 ] ) , ( 0 . 91∗ xa

[ 1 ] , 0 . 9 1 ∗ ya [ 1 ] , 0 . 3 5 ∗ za [ 2 ] ) , ( 0 . 96∗ xa [ 1 ] , 0 . 9 6 ∗ ya

[ 1 ] , 0 . 4 ∗ za [ 2 ] ) , ( 0 . 99∗ xa [ 1 ] , 0 . 9 9 ∗ ya [ 1 ] , 0 . 4 5 ∗ za [ 2 ] )

, ( xa [ 1 ] , ya [ 1 ] , 0 . 5 ∗ za [ 2 ] ) , ( 0 . 99∗ xa [ 1 ] , 0 . 9 9 ∗ ya

[ 1 ] , 0 . 5 5 ∗ za [ 2 ] ) , ( 0 . 96∗ xa [ 1 ] , 0 . 9 6 ∗ ya [ 1 ] , 0 . 6 ∗ za [ 2 ] )

, ( 0 . 91∗ xa [ 1 ] , 0 . 9 1 ∗ ya [ 1 ] , 0 . 6 5 ∗ za [ 2 ] ) , ( 0 . 84∗ xa

[ 1 ] , 0 . 8 4 ∗ ya [ 1 ] , 0 . 7 ∗ za [ 2 ] ) , ( 0 . 75∗ xa [ 1 ] , 0 . 7 5 ∗ ya

[ 1 ] , 0 . 7 5 ∗ za [ 2 ] ) , ( 0 . 64∗ xa [ 1 ] , 0 . 6 4 ∗ ya [ 1 ] , 0 . 8 ∗ za [ 2 ] )

, ( 0 . 51∗ xa [ 1 ] , 0 . 5 1 ∗ ya [ 1 ] , 0 . 8 5 ∗ za [ 2 ] ) , ( 0 . 36∗ xa

[ 1 ] , 0 . 3 6 ∗ ya [ 1 ] , 0 . 9 ∗ za [ 2 ] ) , ( 0 . 19∗ xa [ 1 ] , 0 . 1 9 ∗ ya

[ 1 ] , 0 . 9 5 ∗ za [ 2 ] ) , ( xa [ 2 ] , ya [ 2 ] , za [ 2 ] ) ]

106 e ixo . v i s i b l e=False

107 e ixo = curve ( pos=( jn ) , r ad iu s =0.3)

108 r o t o r . pos=vec to r ( xa [ 1 ] , ya [ 1 ] , 4 0 )

109 CM. pos=vecto r ( xa [1 ]+2∗math . cos ( phi [ j ] ) , ya [1 ]+2∗math .

s i n ( phi [ j ] ) ,40)

110 j+=i n t ( FatorT . va lue ∗100)

46

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