SESION Nº08

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    ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

    Mgtc. Ing. Carlos Adolfo Loayza Rivas 1 Mecnica de Fluidos 1

    CINEMTICA DE LOS FLUIDOS

    Definicin.- Estudia los Fluidos en movimiento, es decir del movimiento de sus

    partculas, sin considerar la masa ni las fuerzas que actan, en base al conocimiento

    de las magnitudes cinemticas: velocidad, aceleracin y rotacin.

    Campo de flujo.- Es cualquier regin ocupada por el fluido en movimiento, donde sus

    magnitudes fsicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales (presin, densidad,

    temperatura, velocidad, aceleracin, etc.) del fluido en movimiento, puede variar de un

    punto a otro y en un mismo punto de un instante a otro (funcin de la posicin y

    tiempo).

    Caractersticas del campo de flujo

    Campo escalar: Se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la cantidad

    fsica a la cual corresponde; ejemplos: presin, densidad y temperatura.

    Campo Vectorial: En un campo vectorial adems de la magnitud, se necesita definir

    una direccin y un sentido para la cantidad fsica a la cual corresponde esto es tres

    valores escalares definen la cantidad fsica; ejemplos: la velocidad, la aceleracin y la

    rotacin.

    Campo tensorial: Para definir un campo tensorial se requieren nueve o ms

    componentes escalares; ejemplos: esfuerzo, deformacin unitaria, y momento de

    inercia.

    1.- Campo vectorial de velocidades.-

    El anlisis del movimiento de una partcula del fluido que recorre una lnea

    usualmente curva que se llama trayectoria se puede hacer de dos maneras distintas:

    a) Por el conocimiento del vector de posicin(r ) , de la partcula, como una funcin

    vectorial del tiempo (t).

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    r xi yj zk r r(t)

    Si es funcin del tiempo entonces sus componentes son tambin funciones del

    tiempo; es decir:

    )(txx ; )(tyy ; )(tzz .

    b) Por el conocimiento de la curva que recorre la partcula y la funcin camino

    recorrido-tiempo.

    En este caso la posicin de la partcula se determina por la longitud del camino

    recorrido, siguiendo la curva (a partir de un punto de origen A), como una funcin

    escalar del tiempo; esto es: s s t

    Definicin de Velocidad.- El Vector velocidad de una partcula fluida se define como

    la rapidez (magnitud de la velocidad) temporal del cambio en su posicin.

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    .

    drV (1)

    dt

    Donde dr representa el vector diferencial de arco, sobre la curva C, que recorre la

    partcula en el tiempo dt.

    La velocidad es, entonces, un campo vectorial dentro de un flujo y, al desplazarse la

    partcula segn la curva C, es un vector tangente en cada punto a la misma que, en

    general, depende de la posicin de la partcula y del tiempo.

    V V(r,t)..........(2)

    V V(x,y,z,t).........(3)

    dx dy dzV i j kdt dt dt

    Haciendo:xV

    dt

    dx;

    yVdt

    dyy

    zVdt

    dz

    Luego, x y zV V i V j V k Expresin vectorial de la

    velocidad.

    Donde:

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    x x

    dxV V (x,y,z,t)

    dt

    y y

    dyV V (x,y,z,t)

    dt

    z z

    dzV V (x,y,z,t)

    dt

    Mdulo de la Velocidad:

    2 2 2

    x y zV V (V ) (V ) (V )

    2.- Campo vectorial de aceleraciones.- Es un campo vectorial que se deriva del

    campo de velocidades.

    Definicin de aceleracin.- El vector aceleracin de una partcula en un punto se

    define como la variacin temporal de la velocidad en ese punto; esto es:

    2

    2

    dv d r a

    dt dt

    En cuanto a su direccin la aceleracin no tiene una orientacin coincidente con la

    trayectoria de la partcula; siendo la aceleracin tambin una funcin de la posicin y

    tiempo.

    a a(x,y,z,t)

    yx zdVdV dV dV

    a i j k

    dt dt dt dt

    Haciendo:x

    x adt

    dV;

    y

    ya

    dt

    dVy

    zz a

    dt

    dV

    Resulta:

    x y za a i a j a k Expresin vectorial de la aceleracin

    A veces es conveniente expresar la aceleracin a en funcin de sus componentes

    normal y tangencial.

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    t na a a

    2

    t n

    dV Va e e

    dt R

    Mdulo de aceleracin:

    La aceleracin deriva del campo de velocidades, donde: V V x, y,z,t

    a a(v,t)

    x y za a(v ,v ,v , t)

    Tomemos un diferencial total de velocidad (dv) :

    V V V VdV dx dy dz dtx y z t

    dt

    dV V dx V dy V dz V dt

    dt x dt y dt z dt t dt

    x y z

    dV V V V Va V V V

    dt x y z t

    Ordenando:

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    x y z

    V V V Va V V V

    t x y z

    x y z

    Va ( V V V )V

    t x y z..(1)

    Sabemos que: i j kx y z

    Y adems: x y zV V i V j V k

    Luego: x y z.V V V Vx y z

    (2)

    (2)(1):V

    a ( .V)Vt

    .(3)

    Donde la Expresin (3) representa el Campo Vectorial de Aceleraciones en funcin del

    producto escalar( .V) , denominado divergencia de V .

    V

    t= aceleracin local (depende del tiempo)

    ( .V)V = aceleracin convectiva (depende de la posicin)

    Comentario: Si el flujo es permanente:V

    0t

    y

    a ( .V)V

    Es decir el campo de aceleraciones se reduce solo a la componente convectiva.

    Desarrollemos ahora la componente convectiva, para representarla en trmino del

    producto vectorial ( xV) , conocido como rotacional de )( VrotV .

    ( .V)V ( Vx Vy Vz)(Vxi Vyj Vzk)x y z

    Apliquemos la propiedad distributiva de la multiplicacin.

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    ( .V)V ( Vx Vy Vz)Vxi ( Vx Vy Vz)Vyjx y z x y z

    ( Vx Vy Vz)Vzkx y z

    Hagamos:

    (I) ( Vx Vy Vz)Vx ix y z

    (II)=( Vx Vy Vz)Vy jx y z

    (III) = ( Vx Vy Vz)Vz kx y z

    Trabajando con (I):

    (I) ( Vx Vy Vz)Vx ix y z

    x y z(V V V )Vx ix y z

    x x xx y z

    V V V(V V V ) i

    x y z

    Sumando y restandoy z

    V VVy Vz

    x x; a la expresin anterior, resulta:

    X Y Z X Y X Z V V V V V V V I (Vx Vy Vz )i Vy Vz i x x x y x z x

    ().

    Del primer trmino de (); observamos:

    iVzx

    VzVyx

    VyVzx

    VzVyx

    VyVxz

    VzVxy

    VyVxx

    Vx )(

    x

    VxVx

    x

    VxVx2

    2

    1

    x

    Vx

    2

    1 2

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    Tomando los extremos:

    x

    VxVx

    x

    Vx2

    2

    1..()

    Anlogamente:x

    VyVy

    x

    Vy2

    2

    1..()

    ()

    () ()

    2 2 21 Vx 1 Vy 1 Vz Vx Vy Vx Vz

    I ( ) i Vy( ) Vz( ) i2 x 2 x 2 x y x z x

    Factor comn:x2

    1

    2 2 21 Vx Vy Vx VzI (Vx Vy Vz )i Vy( ) Vz( ) i2 x y x z x

    21 Vx Vy Vx VzI V i Vy( ) Vz( ) i

    2 x y x z x

    .()

    Adems conocemos que:

    , cuyo desarrollo es:

    VyV i( Vz ) j( Vz Vx) k( Vy Vx)

    y z x z x y

    Ahora, el desarrollo de:( V) V :

    x

    VzVz

    x

    Vz2

    2

    1

    VzVyVx

    zyx

    kji

    V

    VzVyVx

    Vxy

    Vyx

    Vxz

    Vzx

    Vyz

    Vzy

    kji

    VV )()()()(

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    i ( Vz Vx)Vz ( Vy Vx)Vy

    x z x y

    j ( Vz Vy)Vz ( Vy Vx)Vxy z x y

    k ( Vz Vy)Vy ( Vz Vx)Vxy z x z

    Trabajando ahora slo con la componente en la direccin i dei

    ( V) V

    x( V) V i Vz( Vx Vz) Vy( Vx Vy) ( )z x y x

    ( )():21 V

    I i ( V) V i2 x

    Anlogamente:

    21 VII j ( V) V j

    2 y

    21 VIII k ( V) V k

    2 z

    .V V I II III

    Aceleracin convectiva( ca ):

    c c x c y c za a a a

    2

    c1a ( .V)V (V ) ( xV)xV2

    ;

    Por lo tanto, la aceleracin total t(a ) de la partcula ser:

    2

    t

    V 1a (V ) ( V ) V

    t 2

    3.- El campo rotacional.

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    Es un campo vectorial, que se deriva del campo de velocidades, y que evala la

    rotacin local de una partcula y se define matemticamente por el producto vectorial

    de por V .

    Rotacional de V xV

    rot V xV

    Cuyo desarrollo es:

    Z Y Z X Y XV V V V V Vrot V ( )i ( )j ( )ky z x z x y

    Como deriva del campo de velocidades, tambin es funcin tanto del punto como de

    tiempo y es una medida de la rotacin o vorticidad de la partcula dentro del flujo, por

    esta razn se le conoce tambin como campo vorticoso.

    Significado fsico del vector rotacional:

    Como el cuerpo rgido, adems de la traslacin una partcula puede experimentar una

    rotacin, intentemos una representacin fsica del vector rotacional.

    Generalidades para la interpretacin fsica:

    a) Consideremos la rotacin pura de una partcula (prescindimos de la traslacin de

    la partcula)

    b) Al encontrarse la partcula en rotacin pura, a travs del movimiento de giro

    alrededor de un eje instantneo, que pasa por el centro de gravedad de la

    partcula P0 (cuya direccin lo da el vector unitario ( e ), normal al plano formado

    por dos lneas ortogonales contenidas en la partcula.

    VzVyVxzyx

    kji

    Vrot

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    c) Para poder entender la rotacin, consideramos que el punto Po, ha tenido una

    traslacin pura al punto P, desplazndose un infinitsimo 0(r r ) dr , en un

    instante dt; adquiriendo una velocidad tangencialdr

    Vdt

    .

    Descripcin de la rotacin pura.-

    1.- Definida la posicin del punto P coincidente con el extremo de una de las lneas

    ortogonales, esta la tomamos como posicin inicial de la rotacin pura,

    (prescindiendo de la traslacin de la partcula).

    2.- En un instante dt el punto P ha rotado a una posicin P habindose

    desplazado un d , con un radio de giro dr.

    3.- Al producirse la rotacin la velocidad angular "" vale:

    dt

    d

    Variacin del ngulo de rotacin con el tiempo t. El vector velocidad angular ser:

    x y zi j k

    La velocidad tangencial " V " puede definirse como: V dr

    Donde:

    dr dxi dy j dzk

    x y z

    i j k

    V d r

    dx dy dz

    y z x z x yV dr i( dz dy) j( dz dx) k( dy dx)

    dydzVx zy

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    dxdzyV zx

    dxdyzV yx

    Calculamos el rotacional de V : V , es decir:

    )()()( dxwdydxdzddz

    zyx

    kji

    VVrot

    yxzxyzy

    x y x z x y x zrotV V ( dy dx) ( dz dx) i ( dy dx) ( dz dy) jy z x z

    kdydzy

    dxdzx

    zyzx )()(

    x x y y z zrotV V i j k

    x y zrotV V (2 )i 2 j 2 k

    x y zrotV V 2( i j k) rotV 2

    Por lo tanto el significado fsico del vector rotacional en un movimiento de

    rotacin alrededor de un eje es igual al doble del vector velocidad angular:

    rotV V 2

    De la expresin ()

    2V 1a (V ) ( V) Vt 2

    La aceleracin en un punto est formada por las componentes:

    )(2

    1 2V = Corresponde al movimiento de traslacin pura.

    rotVxV = Correspondiente al movimiento de rotacin, llamada

    aceleracin de Coriolis.

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    y

    Vt

    = Aceleracin local.

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    Clasificacin de los Flujos

    Existen diferentes criterios para clasificar un flujo. Este puede ser: permanente o no

    permanente; uniforme o no uniforme; laminar o turbulento; supercrtico, crtico o

    subcrtico; tridimensional, bidimensional o unidimensional; rotacional o irrotacional,

    incompresible o compresible, etc. aunque no los nicos, si son los flujos ms

    importantes que clasifica la ingeniera.

    Es de inters particular de la ingeniera las conducciones por tubera y por canal.

    Flujo permanente y no permanente

    Esta clasificacin obedece a la utilizacin del tiempo como variable. El flujo es

    permanente si las caractersticas hidrulicas del flujo en una seccin (velocidad,

    presin, densidad, etc.) no cambian con respecto al tiempo; o bien, si las variaciones

    en ella son muy pequeas con respecto a sus valores medios y stos no varan con el

    tiempo.

    Matemticamente se puede representar:

    0; 0; 0 ; .v p

    etct t t

    Flujo permanente.

    Si las caractersticas hidrulicas cambian con respecto al tiempo, tendremos un flujo

    no permanente, matemticamente se representa:

    0; 0; 0v p

    t t t

    ; etc. Flujo no permanente.

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    Flujo Uniforme y no uniforme

    Esta clasificacin obedece a la utilizacin del espacio como variable. El flujo es

    uniforme si las variables hidrulicas del flujo en una longitud de su desarrollo

    (velocidad, presin, densidad, etc.) no cambian con respecto al espacio.

    Matemticamente se puede representar:

    0 ; 0 ; 0v p

    L L L

    Si las caractersticas hidrulicas cambian con respecto al espacio, tendremos un flujo

    no uniforme o variable. Matemticamente se representa.

    0 ; 0 ; 0v p

    L L L

    Considrese un flujo permanente en dos situaciones distintas: una con tubera de

    dimetro constante y la otra con tubera de dimetro decreciente.

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    Flujo Unidimensinal, Bidimensional y Tridimensional.

    Estrictamente hablando el flujo es siempre tridimensional, es decir cuando sus

    caractersticas hidrulicas o variables hidrulicas, cambian en el espacio, o sea que

    los gradientes del flujo existen en las tres direcciones.

    El flujo es bidimensional, cuando sus caractersticas son idnticas sobre una familia

    de planos paralelos, no habiendo componentes en direccin perpendicular a dicho

    plano, o bien ellas permanecen constantes; es decir, que el flujo tiene gradiente de

    velocidad o de presin (o tiene ambos) en dos direcciones exclusivamente.

    El flujo es unidimensional, Cuando sus caractersticas varan como funciones del

    tiempo y de una coordenada curvilnea en el espacio usualmente la distancia medida a

    lo largo del eje de la conduccin.

    El flujo de un fluido real no puede ser completamente unidimensional, debido al efecto

    de la viscosidad, ya que la velocidad en una frontera slida es igual a cero, pero en

    otro punto es distinto de cero; sin embargo bajo la consideracin de valores medios de

    las caractersticas en cada seccin se puede considerar unidimensional. Esta hiptesis

    es la ms importante en hidrulica, por las simplificaciones que trae consigo.

    En resumen un flujo es siempre tridimensional. Sin embargo cuando en el flujo

    prevalece una direccin es considerada unidimensional, como ocurre con las tuberas

    y los canales. En el caso de los canales hay circunstancias en las cuales no se puede

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    prescindir de una segunda dimensin para describir al flujo, debiendo hacerse el

    estudio del flujo plano o bidimensional.

    Laminar y Turbulento

    Clasificacin de los flujos de acuerdo al predominio de las fuerzas viscosas y de las

    fuerzas de inercia.

    Flujo Laminar.- Flujo caracterstico de velocidades bajas, de trayectorias ordenado,

    rectilneas y paralelas.

    Flujo turbulento: Flujo caracterstico de velocidades ordinarias (altas), de trayectoria

    errticas o desordenadas. Existen pequeas componentes de velocidad en

    direcciones transversales a la del movimiento general, las cuales no son constantes, si

    no que fluctan con el tiempo; de acuerdo con una ley aleatoria, an cuando el flujo en

    general sea permanente.

    Las componentes transversales de la velocidad en cada punto originan un mezclado

    intenso de las partculas que consume parte de la energa del movimiento por efecto

    de la friccin interna y que tambin en cierto modo, es resultado de los efectos

    viscosos del fluido.

    No existe mezcla macroscpica

    o intercambio transversal entre

    partculas.

    Existe mezclado intenso de las

    partculas.

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    Existe un parmetro que es funcinVD

    , y cuyo valor permite diferenciar el flujo, es

    decir, si es laminar o turbulento, denominado Nmero de Reynolds ( ).

    Flujo Rotacional e Irrotacional.-

    Un flujo es rotacional, si en su seno el campo rot V adquiere valores distintos de

    cero para cualquier instante y es Irrotacional, por el contrario, si en su seno del campo

    de flujo, el vector rotacional de V es igual a cero para cualquier punto e instante.

    Si se excepta la presencia de singularidades vorticosas, en el caso general, el

    movimiento de un fluido ideal se puede suponer Irrotacional. Los efectos de la

    viscosidad de fluido constituyen la causa principal de dichas singularidades

    (vorticosas). Sin embargo, el flujo Irrotacional ocurre con bastante frecuencia en los

    problemas de la prctica.

    3 2

    2

    2 2 2

    2

    2 2

    2 2

    2 2

    ( )

    I

    I

    I

    T

    V

    I

    mF ma a L LT

    LF L L V

    T

    F L V

    dV VF A L L VL

    dy L

    F uVL

    F L V VL

    F VL

    VD VD

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    Si bien el trmino rotacin implica un giro de partculas, esto no significa que es

    rotacional todo movimiento efectuado de acuerdo a una trayectoria curva o bien que

    todo movimiento rectilneo es Irrotacional.

    Ciertos escurrimientos se pueden considerar macroscpicamente como irrotacionales.

    En otros casos, a pesar de existir trayectorias curvas, la distribucin de velocidades

    puede ser de forma tal que las lneas medianas o las diagonales de una partcula, de

    forma rectangular, no modifican su orientacin durante el movimiento, el flujo es

    obviamente Irrotacional. Esto se representa esquemticamente en las figuras

    siguientes en las cuales el vector rot V sera normal al plano del papel.

    El movimiento a bajas velocidades de un fluido viscoso, es generalmente rotacional.

    Flujo Lineal Irrotacional Flujo LinealRotacional

    Flujo Curvilneo Irrotacional Flujo Curvilneo Rotacional(Esquema Ideal) (Esquema Real)

    Descripcin del Movimiento

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    El movimiento de un fluido queda descrito cuando se est en condiciones de conocer:

    El cambio de posicin de una partcula

    La variacin de la velocidad en un punto.

    Hay dos formas clsicas de describir el movimiento de un fluido:

    Mtodo de Euler: Tambin conocido como local, consiste en elegir un punto y

    determinar las variables cinemticas en ese punto, en cada instante sin considerar el

    camino que despus siga cada partcula individual (trayectoria). Elegida la posicin de

    una partcula en el espacio, sus caractersticas cinemticas son funciones del tiempo,

    a saber:

    v v(r, t )

    x y zV V (x,y,z,t)i V (x,y,z,t) j V (x,y,z,t)k

    Las variables dependientes son: Vx, Vy y Vz

    Las variables independientes son: x, y, z, t.

    Mtodo de Lagrange: Consiste en elegir una partcula y determinar las variables

    cinemtica de esa partcula, en cada instante, siguiendo su recorrido. Identificada una

    partcula por su posicin inicial or (xo, yo, zo), en el instante t = to , en otro instante

    cualquiera t, la misma partcula se encuentra en la posicin r(x,y,z) . Entonces la

    posicin de la partcula se tiene conocida en cualquier instante si el vector de posicin

    rse determina como funcin del tiempo t y la posicin inicial or ; o sea:

    0( , )r r r t

    0

    ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

    r ai b j ck

    r x a b c t i y a b c t j z a b c t k

    Las variables dependientes son: x, y, z.

    Las variables independientes son: a, b, c, t.

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    De los dos mtodos se prefiere el primero por qu su manejo analtico es ms simple.

    Es el que normalmente se emplea en los libros de mecnica de fluidos.

    Lnea de corriente, trayectoria y tubo de corriente

    Se supone que en un instante t0 se conoce el campo de velocidad V de un flujo.

    Lnea de Corriente.- se define lnea de corriente toda lnea trazada idealmente en

    el seno lquido de modo que la tangente en cada uno de sus puntos proporcione la

    direccin del vector velocidad correspondiente. No existe posibilidad de que dos lneas

    de corriente tengan un punto comn, pues ello significara que en el punto de

    interseccin existieran dos vectores V distintos.

    ( )Lc t

    Si el flujo es no permanente para otro instante t la configuracin de las lneas de

    corriente es otra. Si el flujo es permanente la configuracin de dos lneas de corriente

    es la misma en cualquier momento.

    Lnea de corriente para un instante t

    Ecuaciones de la lnea de corriente

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    En la lnea de corriente de la figura, para un instante t, donde el punto 1 est

    infinitamente prximo a 2, de manera que se puede considerar que1 2

    V V V .

    Como V y dr son vectores paralelos (tienden a ser colineales), luego:

    0V dr

    ;V dr v dr sen u

    Donde u = Vector unitario perpendicular al plano 0, 1 y 2

    Como son paralelos 0 0V dr

    0x y z

    i j k

    V dr V V V

    dx dy dz

    0y z x z x y i V dz V dy j V dz V dx k V dy V dx

    y zV dz V dy

    ..............(1)y z

    V V

    dy dz

    ...............(2)x zV V

    dx dz

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    ...............(3)yx

    VV

    dx dy

    Sistema de tres ecuaciones diferenciales, obtenida de (1), (2) y (3):

    yx zVV V

    dx dy dz

    La ltima expresin constituye la ecuacin analtica de la lnea de corriente para un

    instante t. Donde, recordamos que: , , , ,x y zV V y V x y z t

    Trayectoria: Se define trayectoria la curva que marca el camino que sigue una

    partcula con el transcurrir del tiempo.

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    dr

    V dt

    ...........(1)d r Vdt

    ............ 2x y z

    dr dxi dy j dzk

    V V i V j V k

    Luego (2)(1)

    x y zdxi dy j dzk V i V j V k dt

    .............(3)xx

    dxdx V dt dt

    V

    .............(4)yy

    dydy V dt dt

    V

    .............(5)zz

    dzdz V dt dt

    V

    Comparando (3), (4), (5) y acomodando:

    yx zVV V

    dx dy dz

    La expresin anterior constituye la ecuacin analtica de la trayectoria.

    , , , ,x y zV V y V x y z t

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    Si el flujo es no permanente la lnea de corriente y trayectoria son lneas distintas,

    pero si el flujo es permanente significa lo mismo.

    La razn est en que el flujo permanente el campo de velocidad no cambia con el

    tiempo.

    - Toda partcula que pase por a0 sigue la misma trayectoria.

    - En cada punto a0, a1, an el vector velocidad permanece igual

    Todas las partculas que pasen por 0 0a V

    Todas las partculas que pasen por1 1a V

    Todas las partculas que pasen porn na V

    Tubo de flujo:Si se considera dentro del flujo una curva cerrada c y las lneas de

    corriente que pasan por cada uno de sus puntos, la totalidad de stas lneas de

    corriente definen una superficie que se denomina tubo de flujo tubo de corrientey

    que no puede ser atravesada por el fluido. El volumen encerrado se conoce como

    vena lquida o vena fluida.

    Cuando el tubo de corriente es de pequea seccin se le denomina filete hidrulico.