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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

Centro de Ciências Físicas e Matemáticas - CFM PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA - PPGF

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Gabarito processo seletivo 2012/2

1A – Uma partícula de massa m parte do repouso em x0 ( > 0) sob a ação de um campo de

força atrativo da forma F = – k/x3, onde k é uma constante positiva. Calcule quanto tempo a

partícula levará para atingir a origem (x = 0) e assinale a alternativa correta.

(X) mx04 /k

(b) mx04 /k

(c) mx02 /k

(d) mx02 /k

(e) Nenhuma das alternativas anteriores

Solução

A equação de movimento é

m dvdt

kx 3

usando a transformação de variável dvdt

dxdt

dvdx

v dvdx

,

obtemos

mv dv kx 3 dx,

integrando nos limites correspondentes e resolvendo para v(x), temos

v(x) dxdt

k

mx02

x02 x 2

x.

O sinal negativo foi escolhido pois estamos considerando o movimento na direção negativa de x, de forma que v(x) ≤ 0. Integrando em função do tempo t, temos

x dxx0

2 x2x0

x( t )

k

mx02 dt.

0

t

E obtemos a trajetória da partícula

x(t) x0 1 kmx0

4 t 2 , que se anula para t0 mx04 /k .

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1B – Uma barra uniforme rígida e fina de massa M está suportada por dois rolos idênticos que

giram rapidamente e cujos eixos estão separados por uma distância fixa a. A barra é

inicialmente colocada em repouso numa posição assimétrica, como mostra a figura abaixo.

Assuma que os rolos giram em sentidos opostos como mostrado na figura. O coeficiente de

atrito cinético entre a barra e os rolos é . Determine a equação de movimento da barra,

resolvendo-a para x(t), onde x é a distância do rolo 1 ao centro C da barra, x(0) x0 e

Ý x (0) 0. Assinale a resposta correta justificando com os cálculos.

(a) x(t) x0 cos2g

at

a2

(b) x(t) x0 cos 2ga t a2

(X) x(t) x0 a2

cos

2ga

t

a2

(d) x(t) x0 a2

cos 2ga t a

2


Solução

Assumindo que a coordenada x é positiva para a direita. As equações para as forças e torques em relação ao centro de massa C da barra são: N1 N2 Mg; N1x N2(a x); M Ý Ý x f1 f2 (1) onde N1 e N2 são as forças normal e f1 e f2 são forças de atrito no primeiro e segundo rolos, respectivamente f1 N1; f2 N2 Das duas primeiras relações obtemos: N1 Mg(1 x /a); N2 Mg(x /a)

Combinando em (1), temos: Ý Ý x 2x g 0, onde 2 2g

a. A solução desta equação é

x Acos(t ) a2

, onde é uma constante de fase arbitrária. Tomando em conta as

condições iniciais x(0) x0 e Ý x (0) 0 temos a solução final

1 2

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x(t) x0 a2

cos

2ga

t

a2 , que corresponde a um movimento harmônico simples.

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2A – Um satélite de massa m move-se em uma órbita circular de raio R com velocidade v ao

redor da Terra. Abruptamente ele absorve uma pequena quantidade de massa m que estava

em repouso antes da colisão. Calcule a variação de energia total do satélite e o raio R da nova

órbita (considerando-a circular). Assinale a resposta correta.

(a) E 12

m2v 2

m m; R

m mm

2

R

(b) E 12

m2v 2

m m; R

m mm

R

(c) E m2 v2m

2(m m); R

m mm

R

(X) E mv2m

2(m m); R

m mm

2

R


Solução

Antes da absorção da pequena quantidade de massa, o satélite move-se em uma órbita circular onde mv2

R

GMmR2 Rv2 GM , onde M é a massa da Terra. Sua energia total é

E 12

mv 2 GMm

R

12

mv 2 .

Após a absorção da quantidade de matéria, a velocidade do satélite muda para

v mv

m m e a energia total será E

12

m2v 2

m m. Logo a energia perdida pelo satélite

devido à colisão será E E E 12

mv 2 mm m

.

O raio da nova órbita (circular) será dado por R v 2 GM Rv

R m m

m

2

R

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2B – Um asteróide de dimensão desprezível e massa m está movendo-se na direção de um

planeta de massa M e raio R, desde uma longa distância, com velocidade inicial v0 e parâmetro

de impacto d (ver figura abaixo). Determine o valor mínimo de v0 para que o asteróide não

atinja o planeta. Assinale a alternativa correta justificando com os cálculos.

(a) v0 GMR

d2 R2

(X) v0 2GMRd2 R2

(c) v0 2GMRd 2 R2

(d) v0 GMR

d 2 R2


Solução

O momento angular inicial do asteróide em torno do centro do planeta é L=mv0d. Para o asteróide não colidir com o planeta ele deve passar rente à superfície do mesmo. Neste ponto v será perpendicular à direção radial do planeta, e o momento angular será L’ = mvR. Por conservação de momento angular L = L’ e temos

mvR mv0d v v0dR

Por conservação de energia temos 12

mv02

12

mv GMmR

v 2 v02

2GMR

e portanto

v0 2GMRd2 R2

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3A – No arranjo mostrado na figura abaixo, o raio da polia é r, seu momento de inércia sobre

o eixo de rotação é I e k é a constante da mola. Assuma que não há atrito entre o fio e a polia e

que as massas do fio e da mola são desprezíveis. Neste caso, a frequência angular de pequenas

oscilações deste sistema será dada por uma das alternativas abaixo. Assinale a alternativa

correta e justifique com os cálculos.

(a) kx 2

mr2 I

(b) mr2 I

kr2

(c) kr2

mr2 I

(X) kr2

mr2 I


Solução

A energia cinética total do sistema é K 12

mÝ x 2 12

I Ý 2.

Substituindo x por r e Ý x por r Ý , temos

K 12

mr2 Ý 2 12

I Ý 2 12

(mr2 I) Ý 2

A energia potencial da mola é U 12

kx 2 12

kr2 2.

Energia total: E K U 12

(mr2 I) Ý 2 12

kr 2 2 constante

Derivando em função do tempo: dEdt

(mr2 I) Ý Ý Ý kr2 Ý 0

Que dá uma equação para um movimento harmônico simples: Ý Ý kr2

mr2 I 0 , com frequência

angular

kr2

mr2 I

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3B – Uma massa m1, com velocidade inicial v0, colide com um sistema massa-mola com

massa m2, inicialmente em repouso. A mola tem massa desprezível e constante k. Não há

atrito. Calcule a máxima compressão que a mola sofrerá e assinale a alternativa correta.

(a) v0 m1m2

k (m1 m2)

(b) m1 m2

k m1m2

v0

(X) m1m2

(m1 m2)kv0

(d) v0(m1 m2)

k m1m2


Solução

A máxima compressão ocorre quando as duas massas m1 e m2 possuem a mesma velocidade.

m1v0 (m1 m2)v12

m1v02

12

(m1 m2)v 2 12

kA2

onde A é a máxima compressão da mola. Resolvendo a primeira equação para v, temos

v m1

m1 m2

v0

Substituindo na segunda, encontramos A:

A m1m2

(m1 m2)kv0

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d

i

a

b

4A- Uma espira condutora retangular com dois lados paralelos de comprimentos a e b é

colocada próxima a um fio que conduz uma corrente constante i, como representado no

desenho. O lado mais próximo está a uma distância d do fio. Assinale a resposta que indique o

fluxo magnético através da bobina. Justifique a resposta com os cálculos.

A ( )

aadib

ln2

0

B ( )

dabid

ln2

0

C ( )

badib

ln4

0

D ( )

bbdia

ln4

0

E (X) nenhuma das respostas anteriores. Resolução:

0ildB

, 00cos iBdl , 02 irB

ri

rB2

)( 0 , dadbri

d2

0 ,

dadbidr

rdri bad

d

ln22

0

0

´´0

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4B- Fluxo magnético Um condutor cilíndrico longo de raio R é percorrido por uma corrente i distribuída

uniformemente em sua seção reta. Determine o fluxo magnético por unidade de comprimento

do fio através da superfície definida no interior do fio, como representado no desenho.

Assinale a alternativa correta justificando a resposta com os cálculos.

A (X) 4

iL

o

B ( ) Ri

Lo

4

C ( )

4

2iRL

o

D ( )

2

2 RiL

o

E ( ) Nenhuma das respostas anteriores Solução Usando a lei de Ampère sem o termo de correntes de deslocamento

ildB 0

, 2

2

0)(RridlrB , 2

2

02)(RrirrB , i

Rr

rB 20

2)(

0

L R

r

idrRrdbadB

0 02

0

2

,

R

r

rdrRiL

02

0

2

,

40iL

i

L

R i

L

R

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5A- Uma barra condutora de comprimento l se desloca com velocidade v ao lado de um fio

por onde circula uma corrente de intensidade i, como representado no desenho. Calcule a

tensão induzida na extremidade da barra e assinale a resposta correta.

a ( X ) riLv

2

0

b ( ) Lirv

2

0

c ( ) rilv

2

0

d ( ) riLv

2

02

e ( ) nenhuma das respostas anteriores Solução Força de Lorentz.

BvqEqF

, No equilíbrio F=0, BvE

vri

vrBE2

)( 0

riLvdlv

rildE

L

22

0

0

0

, caminho de integração ao longo da haste metálica.

i

r

vL

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5B- Determine a expressão do módulo do campo magnético entre as placas de um capacitor de

placas paralelas circulares de raio R no vácuo, em um ponto a uma distância r da linha que liga

os centros das placas, para um valor de corrente i, que entra na placa positiva. Assinale a

alternativa correta justificando com os cálculos.

A ( X ) iRr

rB 20

2)(

B ( ) idRrrB

2)(

20

C ( ) iR

rrB 2

04)(

D ( ) idR

rrB 2

00

4)(

E ( ) Nenhuma das respostas anteriores Solução: Lei de Ampère generalizada:

dt

dildB E000

No interior do capacitor, onde a linha da integração está definida, não há corrente.

dt

dldB E00

dtErdrB

2

002 , o campo elétrico para um capacitor de placas paralelas

0

E

dt

drB 000 /

2

, dtdQ

Rr

B 20

2

iRr

B 20

2

i rR

d

i rR

d

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6A- Em 1832 Faraday propôs um aparato que poderia ser usado para medir a vazão de um rio

e atualmente o conceito é usado em diversas aplicações práticas. Duas placas metálicas

retangulares de lados a e b são colocadas nas margens de um rio, separadas por uma distância

d e conectadas em série com um amperímento e uma resistência R, como mostrado na figura.

O campo geomagnético local tem componente perpendicular B , em relação à velocidade de

escoamento v e o vetor d

, ambos horizontais. A resistividade da água do rio é .

Qual a expressão da corrente medida no amperímetro em termos dos parâmetros geométricos

das placas, da velocidade de escoamento v e da resistividade ? Assinale a resposta correta,

justificando com os cálculos.

A) (*)

dRbaabvBi

B) ( )

dR

vBi

C) ( )

baRdabvBi

D) ( ) RdabvB

i

E) ( ) dR

dvBi

/

Solução Admitindo força de Lorentz resultante nula:

0 BvqEqFL

O campo elétrico resultante entre as placas devido ao acúmulo de portadores de carga da água

é vBBvE

. Este campo elétrico gera uma diferença de potencial entre as placas

a

bv

AR

Bda

bvv

AAR

Bd

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definida por EdldE

ou dE / . A diferença de potencial em termos da

velocidade e do campo magnético: dvB .

A corrente é definida por 1RR

i

, onde

badR 1

Logo

dRbaabvB

badR

dvBi

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6B- Uma placa semicondutora de largura w, comprimento L e espessura t é conectada

eletricamente e colocada numa região com campo magnético uniforme como representada na

figura. A direção do campo magnético é perpendicular ao plano da placa. Entre os dois

contatos longitudinais é mantida uma corrente constante i. Nos contatos transversais à corrente

é conectado um voltímetro.

Entre as afirmações abaixo assinale as verdadeiras justificando a escolha.

1) A tensão estabelecida entre os terminais transversais permite caracterizar o tipo e a

densidade dos portadores de carga majoritários do semicondutor (lacunas ou elétrons).

2) O campo elétrico transversal surge devido à força magnética que desloca as cargas

para a lateral do dispositivo. Entretanto este campo fica tão intenso pelo acúmulo de

cargas que destrói o dispositivo num processo de ruptura de dielétrico e avalanche.

3) Nestas condições não aparece tensão alguma entre os terminais transversais. Só

aparece tensão nos terminais transversais enquanto houver variação da corrente.

4) O dispositivo pode ser usado como um sensor de campo magnético.

5) Se o semicondutor fosse substituído por um metal a tensão transversal resultante seria

muito maior.

A ) ( ) 1, 3 e 5 são afirmativas corretas. B ) ( ) 2 e 3 são afirmativas corretas. C ) ( ) 1 , 3 e 4 são afirmativas corretas D) (X) 2, 3 e 5 são afirmativas falsas E) ( ) 4 e 5 são corretas. Solução A força de Lorentz atuando sobre os portadores de carga:

BvqEqFL

Na condição de regime estacionário a força elétrica compensa a magnética e FL=0.

t

i

V

w

z

yx

Bz

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BvE

, zxy BvE é a componente do campo elétrico entre os contatos transversais. A

diferença de potencial associada ao campo elétrico, wBvwEV zxyH

A velocidade vx dos portadores de carga ( elétrons ou lacunas ) esta associada a densidade de corrente J e da densidade de portadores n com carga e:

xenvJ , logo a partir da tensão Hall estabelecida entre os terminais transversais,

wBenJV zH , pode-se encontrar a densidade de portadores em função do potencial medido,

uma vez que wti

AiJ

zH

BteV

in

Logo a afirmativa A é verdadeira, uma vez que a tensão Hall estabelecida entre os terminais é dependente da densidade de portadores e de sua carga. O sinal da tensão detectada depende da carga do portador elétrons (-) ou lacunas (+). A afirmativa B é falsa. O campo não aumenta indefinidamente pois a força elétrica gerada pelo acúmulo de cargas opõe-se a força magnética e atinge-se uma condição de equilíbrio, o que estabelece um campo elétrico estável e finito entre as placas. A afirmativa C esta errada. O efeito hall aparece tanto para corrente constante quanto para corrente alternada. A afirmativa D esta correta. O efeito Hall produz uma tensão que depende linearmente do campo magnético se os parâmetros do semicondutor usado forem estáveis com o campo ou temperatura. A afirmativa E esta errada. Se o número de portadores de carga aumenta a tensão hall diminui. Num metal a densidade de elétrons é da ordem de ~1022 eletrons/cm^3 e num semicondutor típico n~1014 /cm^3.

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7A- Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. (Você deve escrever uma

justificativa para cada item. Itens sem justificativa serão desconsiderados.)

a) ( F ) Uma partícula livre com energia cinética E e comprimento de onda de Broglie entra em uma região com energia potencial V. Nesse caso, seu novo comprimento de onda será VE /1 .

Em uma região com potencial V, a energia da partícula seria Vm

pE 2

2

, como

ph

, teremos 21

1´

EV .

b) ( F ) Uma máquina com eficiência de 100% violaria a primeira lei da termodinâmica.

Viola a segunda lei, não a primeira.

c) ( F ) Um buraco negro é um objeto cujo campo gravitacional é tão forte que nem mesmo a luz consegue escapar. Se a Terra tivesse um raio de aproximadamente 30 cm, ela se tornaria um buraco negro. (dica: por simplicidade, considere o movimento de partículas de massas diferentes de zero).

Considerando a velocidade de escape igual à velocidade da luz, temos

rGmMmc 2

21 , o que fornece um raio da ordem de 1 cm.

d) (V) Um próton se move na direção z após ser acelerado a partir do repouso por uma

diferença de potencial V. O próton passa através de uma região com campo elétrico E na direção x e campo magnético B na direção y , mas sua trajetória não é afetada. Se a experiência fosse repetida, agora com uma diferença de potencial 2V, o desvio seria na direção x .

Efetuando o cálculo da força de Lorentz com os campos dados verifica-se que o desvio será na direção x .

e) ( F ) O muon decai com tempo característico de 610 segundos, em um elétron, neutrino de muon e anti-neutrino de elétron. O decaimento de um muon em um elétron e um só neutrino é proibido pela conservação da energia e do momento. A reação não ocorre devida à conservação do número leptônico.

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7B- Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. (Você deve escrever uma

justificativa para cada item. Itens sem justificativa serão desconsiderados.)

a) ( F ) O comutador zyx LLL , vale 22

yx LLi . Calculando o comutador, teremos 22

yx LLi .

b) ( F ) Na expansão adiabática de um gás ideal, de um estado inicial i até um estado final f, a

variação de sua energia interna é dada por f

iPdV .

Nesse caso a variação da energia interna é negativa, - f

iPdV

.

c) ( V ) Quando partículas são direcionadas a átomos em uma folha de metal fina, algumas fazem colisões muito próximas dos núcleos e são espalhadas a ângulos grandes. Se uma partícula de energia cinética de 5 MeV for espalhada a um ângulo de o180 , sua distância de maior aproximação com o núcleo será aproximadamente 14109,2 m. (suponha que a folha é feita de prata, com Z=50). Nesse caso, quando tivemos a energia cinética igual à energia potencial elétrica:

rqqE 21

041

teremos 141098,2 r .

d) (F) Pelo príncipio de Mach, se não houvesse matéria no Universo, um corpo esférico, de massa m e raio R apresentaria maior inércia que um corpo de mesma forma e massa m/2 nesse Universo. Pelo princípio de Mach, se não existe massa, não existe inércia. e) ( F ) A energia de ligação do U238 é aproximadamente 7.6 MeV por nucleon. Se o núcleo se fissionar em dois fragmentos iguais, cada um terá energia cinética de aproximadamente 100 MeV. Desse modo, pode se concluir que núcleos com A = 120 devem ter energia de ligação próxima de 6.7 MeV/nucleon. Calculando teremos -8,37 MeV/nucleon.

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8A- O elétron no átomo de hidrogênio ocupa o estado de posição e spin dado por

21

11

21

0121 3

231 YYR

onde mlY são os harmônicos esféricos e

21

as autofunções da projeção do momento angular

de spin zS . Os valores esperados de 2L e zJ são respectivamente:

e) Nenhuma das anteriores

Calculando

222 2 LL

e

65

zzz SLJ .

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8B- Uma partícula sujeita a um poço quadrado infinito é representada pela função de onda

xaAxx 0, , com ax 0 ,

onde a e A são constantes. Os valores de x e H são respectivamente:

e) Nenhuma das anteriores A normalização é dada por:

5

2

0

301a

Adxa

.

Temos então:

a adxxx0

*

2

e

H2

25ma

.

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9A- Determine o valor esperado da energia de uma partícula de massa m com hamiltoniana

eExxmm

pH 222

21

2

onde e, E e são constantes, sabendo que a partícula é descrita pela função de onda

xxx 31 3

231

,

onde n são as autofunções dessa hamiltoniana.

e) Nenhuma das anteriores Podemos reescrever a hamiltoniana como

102

222

22

2

221

2HH

mwEe

mweExmw

mpH

onde 0H ainda é uma hamiltoniana de oscilador harmônico (fornecendo os autovalores usuais) e 1H , uma constante. Desse modo,

2

22

21

21

mwEenwEn

,

2

22

21

617

mwEewE .

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9B- Considere o estado de spin 1/2 representado pelo espinor

12

51 . Qual é a

probabilidade de uma medida de 5/43 yx SS resultar em 2/ ?

a) 26%

O operador possui autovalores 2

e autovetores dados por

543

1

22 i .

Assim 250652

.

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10A- Considere um nêutron em uma caixa esférica

0

00)(

rrrr

rV

onde 140 10r m. Efetue o desenvolvimento da equação em coordenadas esféricas. Nesse

caso, a energia do estado fundamental (considere l = 0) será: (dica: na equação radial utilize rrRru nlmnlm . Depois resolva a equação para runlm )

a) 2 MeV

A equação radial para l = 0 possui a mesma forma que a equação de Schrödinger em uma dimensão. Para a partícula na caixa, os níveis de energia terão a mesma forma. Calculando obtemos b).

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10B- Um cone tem ângulo de abertura α e área de superfície lateral S em seu referencial

próprio. Determine a área de superfície lateral em um sistema que se move com velocidade

v=(4/5)c com relação ao sistema de repouso do cone na direção do seu eixo. (área da

superfície lateral = πrL, r = raio da base, L = geratriz do cone).

c) 2cos25161S

Temos v=(4/5)c, assim =5/3. Haverá contração de comprimento na direção de movimento (eixo do cone), sua altura será reduzida para

senSh

2cos53´ . Calculando a área com essa altura vem a resposta c.

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