Série de Taylor Trabalho
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Série de Taylor Em matemática , uma série de Taylor é uma série de funções da seguinte forma: Dito de outra maneira, uma série de Taylor é uma expansão de uma função analítica na vizinhança de um ponto . Uma série de Taylor de uma dimensão é uma expansão de uma função real ao redor do ponto em que x assume um valor qualquer (digamos, "a"). Neste caso, escrevemos a série da seguinte maneira: A constante é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a = 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin (de Colin Maclaurin ). Sendo... Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em x = a é: ∑ k=0 ∞ f ( k) ( a ) k! ( x−a ) k =f ( a )+ f´ ( a )( x− a )+ f ´´ ( a ) 2 ! ( x−a ) 2 +...+ f ( n) ( a ) n! ( x−a ) n +... A série de Maclaurin gerada por f é
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Série de Taylor
Em matemática, uma série de Taylor é uma série de funções da seguinte forma:
Dito de outra maneira, uma série de Taylor é uma expansão de uma função
analítica na vizinhança de um ponto . Uma série de Taylor de uma
dimensão é uma expansão de uma função real ao redor do ponto em que x assume um valor qualquer (digamos, "a"). Neste caso, escrevemos a série da seguinte maneira:
A constante é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a = 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin (de Colin Maclaurin).
Sendo...
Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em
x = a é:
∑k=0
∞ f (k )(a )k !
( x−a)k=f (a )+f ´ (a)( x−a)+f ´´(a )2!
( x−a)2+.. .+f (n)(a )n !
( x−a )n+. ..
A série de Maclaurin gerada por f é
∑k=0
∞ f (k )(0 )k !
xk=f (0 )+f ´ (0) x+f ´´(0 )2 !
x2+. ..+f (n)(0)n!
xn+.. . ,
A série de Taylor gerada por f em x = 0.
Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n
Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0 a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio
Pn ( x )=f (a )+ f ´ ( a)( x−a)+f ´´(a )2!
( x−a)2+ .. .+f (k )(a )k !
( x−a )k+. ..+f (n)(a )n!
( x−a)n .
Resto de um Polinômio de Taylor
Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um resto Rn(x) definido por
f ( x )=Pn ( x )+Rn ( x )
O valor absoluto |Rn( x )|=|f ( x )−Pn ( x )| é chamado de erro associado à aproximação.
Teorema de Taylor
Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a, então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que
f ( x )=f (a )+f ´ ( a)( x−a)+f ´´(a )2!
( x−a)2+ .. .+f (n )(a )n !
(x−a )(n)+Rn( x ),
Onde:
Rn ( x )=f (n+1)( c )(n+1)
( x−a)n+1 .
Séries de Fourier
f ( x )=a02
+∑n=1
∞
(ancos nπxL +bnsennπxL ).
(1)
Observe que no intervalo – L < x < L é simétrico em relação à origem. A equação (1) é chamada de série de Fourier de f no intervalo (-L, L).
Coeficientes na Expansão em Série de Fourier
1) ∫−L
Lcos
nπxLdx=0
2) ∫−L
Lsen
nπxLdx=0
3) ∫−L
Lcos
nπxLcos
mπxLdx={0 ,m≠n
L ,m=n
4)∫−L
Lsen
nπxLcos
mπxLdx=0
5) ∫−L
lsen
nπxLsen
mπxLdx={0 ,m≠n
L ,m=n
Definição – Séries de Fourier
A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo –L < x < L é
f ( x )=a02
+∑n=1
∞
(ancos nπxL +bnsennπxL ).
a0=1L∫−L
Lf ( x )dx .
an=1L∫−L
Lf ( x )cos nπx
Ldx .
bn=1L∫−L
Lf (x )sen nπx
Ldx .
Lista de série de Taylor de algumas funções comuns
Função exponencial e logaritmo natural:
Série geométrica:
Funções trigonométricas:
onde Bs são números de Bernoulli.
Funções hiperbólicas:
Série de Taylor em Várias Variáveis
A série de Taylor pode também ser definida para funções de .
Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de em torno do
ponto é dada por:
Progressão Geométrica
