Sequências NuméricasProgressão Aritmética

• Prof.: Joni Fusinato• joni.fusinato@ifsc.edu.br• jfusinato@gmail.com

Pode ser um padrão de:• Objetos• Cores• Letras• Números...

SequênciasA sequência é um padrão.

• Leonardo Fibonacci (1170 — 1250), matemático italiano, conhecido pela descoberta da sequência de Fibonacci e pelo seu papel na introdução dos algarismos árabes na Europa.• Os números de Fibonacci aparecem com frequência na Natureza.• Cada número da série é resultado da soma dos dois anteriores.

Sequência de Fibonacci

https://www.youtube.com/watch?v=TncA5tVsxqI

https://www.youtube.com/watch?v=TBUe3LCBknI

Aqui está uma sequência de animais

Correto! Será o coelho.

Qual o animal que deverá aparecer a seguir?

Agora temos uma sequência de letras.

Que letra vai aparecer a

seguir? Observe atentamente as

letras.

a a b c a a b c a a b c a

Correto! É a letra a.

Agora uma sequência de números

Que número irá aparecer?

4 7 10 13 16 19 22 25 …

Exatamente é o nº 28

• São compostas por números que estão dispostos em uma ordem preestabelecida.

Sequências Numéricas

• Alguns exemplos:

• (2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) sequência de números pares positivos.

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) sequência de números naturais.

• (10, 20, 30, 40, 50...) sequência de números múltiplos de 10.• (10, 15, 20, 25, 30) sequência de números múltiplos de 5, maiores

que cinco e menores que 35.

PROGRESSÃOSequência lógica de informações que possuem um critério específico e uma ordem estabelecida para o surgimento de seus valores. Uma progressão pode ser crescente ou decrescente.

ARITMÉTICAIndica uma relação numérica que seráorientada sobre forma de soma. A aritmética consiste em realizar operações utilizando o sistema de contagem na forma de adição.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA - PA

PROGRESSÃO ARITMÉTICA - PA

• Sequência em que cada termo, a partir do segundo, é a soma doanterior com uma constante r. Essa constante r chama-se razão daprogressão.

• Sequência em que cada termo, a partir do segundo, é a soma doanterior com uma constante r. Essa constante r chama-se razão daprogressão.

Sabendo que uma P.A. tem a1 = 8 e sua razão é igual a 5, determine a13.

5575525

869581705

n

n

n

n

aaaa

Exemplo 1: Determine o 70º elemento de uma P.A. onde o primeiro termo é 5 e a razão é 8.

Dados:

a1= 5n = 70r = 8an = ?

1

1

1

1

1

94476570

4765704119570

41120570

aa

aaa

Exemplo 2: Determine o 1º elemento de uma P.A. com 120 números onde o último termo é 570 e a razão é 4.

Dados:

an= 570n = 120r = 4a1 = ?

Exemplo 3: Considere a sequência (8, 11, 14,...). Determine o termo geral dessa sequência sabendo que a mesma forma uma P.A

n

n 1

n

n

a

a a (n 1).ra 8 (n 1).3

3a 3n 3

58n

Dados:

a1= 8r = 3an = ?

Soma dos termos de uma PA Finita

• A sequência deve ter um número n finito de termos.

• Deve-se conhecer o 1o e o último termo da PA.

Exemplo 1: Determine a soma dos 100 primeiros números naturais a partir do número 1.

Dados:

a1= 1n = 100r = 1an = 100Sn = ?

n

n

n

(1 100).100S2

101.100S2

10.100S 5.0502

Exemplo 2: Determine a soma dos 50 primeiros elementos de uma P.A. onde o primeiro elemento é 8 e o último 102.

Dados:

a1 = 8an = 102n = 50Sn = ?

27502

55002

501102

501028

n

n

n

n

S

S

S

S

Exemplo 3: Determine a soma dos 38 primeiros elementos de uma P.A.onde a razão é 3 e o primeiro elemento 5.

Dados:

a1 = 5n = 38r = 3an = ?Sn = ?

1161115

337531385

n

n

n

n

aaaa

22992

45982

381212

381165

n

n

n

n

S

S

S

S

rnaan 11

Meses Saldo Devedor

Amortização Juros Prestação (Amort. + Juros)

0 40.000,00 - -1 39.000,00 1.000,00 40.000.2% = 800 1.8002 38.000,00 1.000,00 39.000.2% = 780 1.7803 37.000,00 1.000,00 38.000.2% = 760 1.760

No Sistema de Amortização Constante – SAC, as prestações e os juros sãodecrescentes e formam uma P.A. Considere um empréstimo deR$ 40.000,00 que foi concedido no regime de amortizações constantes edeverá ser quitado em 40 prestações mensais, com uma taxa de juros de2,0% a.m. A planilha mostra a formação do sistema:

Calcule:a) A amortização acumulada em 32 meses. (R: R$ 32.000,00).b) O valor dos juros no 32º mês; (R: R$ 180,00)c) O valor da prestação no 32º mês; (R: R$ 1.180,00)d) O valor pago em Juros no final do empréstimo; (R: R$ 16.400,00)

a) Como a amortização é constante basta multiplicar a amortização pelo número de parcelas: 32 x 1000 = 32.000. R: R$ 32.000,00

b) Os juros no 32º mês pode ser calculado pela fórmula que permite encontrar o termo de uma PA:

rnaan 11Onde:a1 = 800n = 32r = -20 (a2 – a1) 32

32

32

32

a 800 (32 1).( 20)a 800 (31).( 20)a 800 620a 180

c) A prestação no 32º mês pode ser calculado pela fórmula que permite encontrar o termo de uma PA:

rnaan 11

Onde:a1 = 1.800 – 1º Prestaçãon = 32r = -20 (a2 – a1)

32

32

32

32

a 1.800 (32 1).( 20)a 1.800 (31).( 20)a 1.800 620a 1.180

d) O valor pago em Juros no final do empréstimo é a somade todos os juros pagos nas 40 prestações.

a1= 800n = 40r = -20an = ?Sn = ?

rnaan 11

40

40

40

40

a 800 (40 1).( 20)a 800 (39).( 20)a 800 780a 20

1

n

n

nn

(800 20).40S2

820.40S

(a a ).nS

16.4002

2

Fórmulas da Progressão Aritmética

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA -- P.G.P.G.

OBSERVE AS SEQUÊNCIAS:

2 4 8 16 ....

-2 -6 -18 ...

-72 24 -8 ...

5 5 5 5 ...

Essas sequências foram construídas de forma que cada termo, apartir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por umaconstante.

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS – PG.

São todas as sequências numéricas em que cada termo, a partirdo segundo, é igual ao produto do termo anterior por umaconstante q.

O número q é chamado de razão da progressão geométrica.

As progressões geométricas podem representar o crescimento depopulações, cálculo de juros compostos e tudo o que aumente oudiminua segundo a multiplicação de um número não nulo por umaconstante.

Assim na progressão geométrica:

(2, 4, 8, 16,....) temos q = 2 e a P.G. é crescente.

(-2, -6, -18,....) temos q = 3 e a P.G. é decrescente.

(-72, 24, -8,...) temos q = -1/3 e a P.G é alternante.

(5, 5, 5, 5,....) temos q = 1 e a P.G. é constante.

Críticas a Teoria de Malthus

Ideias centrais da Teoria de Malthus

Esquema de pirâmide financeira (Esquema Ponzi)

O Pai de todos esses esquemas de pirâmide financeira foi Carlos Ponzi e, em sua "homenagem" esquemas de pirâmide financeira também são conhecidos como esquema Ponzi.

Em 1919, nos Estados Unidos, Carlos Ponzi conseguiu convencer investidores a comprar notas promissórias que renderiam em curtíssimo prazo um retorno de 50%. No começo, ele pagava seus investidores com o dinheiro que entrava de novos adeptos. Até que, em apenas 7 meses, esse esquema exigia a entrada de 20.000 novos investidores para se pagar os existentes.

Como esse tipo de esquema de pirâmide exige que cada vez mais adeptos entrem no esquema ele se torna insustentável.

Carlos Ponzi acabou sendo condenado a cinco anos de cadeia.

Esquema de pirâmide financeira (Esquema Ponzi)

Alguns casos no Brasil:

• Telexfree, em 2013, • Avestruz Master, em 2004, • Fazendas Reunidas Boi Gordo, em 1998.

Nos Estados Unidos um dos casos mais famosos foi de Bernard Madoff, ex-chairman da Nasdaq, descoberto em 2008. Enganou bancos, empresas especializadas em aplicações financeiras e muitos milionários. Esta famosa fraude teria alcançado os 65 bilhões de dólares, o maior golpe financeiro conduzido por somente um indivíduo. Em 2009, Madoff foi condenado a 130 anos de prisão por um tribunal de Nova York.

Razão e Termo Geral de uma P.G

Exemplos:Determine o décimo termo da P.G. (1, 3, 9, ...)

a1 = 1

q = 3.

Substituindo na fórmula temos:

a10 = 1.310 - 1

a10 = 1.39

a10 = 19.683

an = a1 .q(n - 1)

Numa P.G. o 40 termo é igual 64 e o 10 termo é igual a 1.

Determine a razão da P.G. e descubra seu 80 termo.

64 = 1.q3

q3 = 64

q = 4.

Usando a fórmula do termo geral, vamos determinar o 80 termo:

a8 = a1 . q7 a8 = 1. 47 a8 = 16.384

an = a1 .q(n - 1)

a4 = a1 .q(4 - 1)

Soma dos termos de uma P.G. finita

S = Soma dos termos da P.Ga1 = 1º termoq = razão da P.Gn = número de termos

Exemplo 1:

Calcule a soma dos 5 primeiros termos da P.G (2, 4, 8, 16, 32).

Soma dos termos de uma P.G. finita

Exemplo 2:

Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.G (3, 6, 12, ...).

12)13.(2S

50

50

S50 = 3.(250 – 1)

Exemplo 3:

Quantos termos da P.G. (2,6,18,...) devem ser considerados para que a soma resulte em 19.682?

39 = 3n Logo, n = 9

Soma dos termos de uma P.G. infinita

S = Soma dos termos da P.Ga1 = 1º termoq = razão da P.G