Captulo 1

Introduo

Julio Cezar Adamowski

Laboratrio de Sensores e Atuadores Departamento de Engenharia Mecatrnica e de Sistemas Mecnicos.

Escola Politcnica da USP Rua Prof. Mello Moraes, 2231, Cidade Universitria SP

jcadamow@usp.br

1.1 INTRODUO

O grau de desenvolvimento de uma sociedade industrializada pode ser avaliado pelo uso

que esta faz de instrumentos de medio, definidos como dispositivos para detectar, medir,

registrar ou controlar a variao de parmetros em um processo. Nos laboratrios e fbricas

em todo o mundo, a demanda para este tipo de equipamento cada vez maior, para que a

fabricao e a qualidade de um produto possa ser adequadamente monitorada.

Acompanhando o avano acelerado dos sistemas computacionais, os sensores tm se

tornado cada vez mais sofisticados para atender as necessidades de interao desses

sistemas com o meio ambiente. Esses sensores incorporam circuitos eletrnicos integrados

que os tornam insensveis s variaes indesejveis do ambiente e de fcil conexo nas

aplicaes. Alm disso, tem havido uma corrida para o desenvolvimento de novos

materiais, visando aumento de sensibilidade, resposta em freqncia adequada, estabilidade

ao longo do tempo, entre outras caractersticas. O desenvolvimento de novos sensores e a

aplicao adequada dos sensores j existentes requerem um profundo conhecimento dos

fundamentos tericos e dos princpios de funcionamento envolvidos.

Considerando a importncia da automao industrial no pas, foi criada a rede de

Automao Industrial no lanamento do programa de redes cooperativas de engenharia

(RECOPE), em meados de 1996, visando colocar em contacto profissionais das

universidades, centros de pesquisa e da indstria. A automao industrial apresenta

diferentes nveis indo desde sensores e atuadores at sistemas de gerenciamento. O nvel de

sensores e atuadores exige um elevado grau de compreenso do fenmeno fsico envolvido

e o nvel de gerenciamento um elevado grau de abstrao. Considerando esse amplo

espectro, foi natural a reorganizao da Rede de Automao Industrial entre grupos de

pesquisa com trabalhos mais afins, dando origem Rede de Sensores, constituda por 12

grupos de pesquisa das seguintes instituies:

Departamento de Engenharia Mecatrnica e de Sistemas Mecnicos da Escola Politcnica da USP (EPUSP-PMR);

Laboratrio de Microeletrnica da Escola Politcnica da USP (EPUSP-LME);

Faculdade de Engenharia Eltrica da UNICAMP (UNICAMP-FEE/DEB); Instituto de Fsica da UNICAMP (UNICAMP-IF); Departamentos de Engenharia Eltrica e de Fsica da Universidade Federal de

Pernambuco (UFPE-DF/DEE);

Laboratrio de Sistemas Integrveis da Escola Politcnica da USP (EPUSP-LSI);

Departamentos de Engenharia Eltrica e Mecnica da Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo (EESC-DEM/DEE);

Instituto de Fsica da Universidade de So Paulo (IFUSP) Departamentos de Fsica e da Universidade Federal de So Carlos (UFSCar-

DF);

COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE-PEMM);

Em linhas gerais, os grupos de pesquisa participantes da Rede de Sensores exploraram

os seguintes aspectos de sensores: caracterizao de materiais; processos de fabricao;

modelagem e simulao; verificao e calibrao; aplicao e integrao.

Grande parte das pesquisas desenvolvidas por esses grupos est relacionada a sensores

piezoeltricos, pticos e sensores de gases. Por esse motivo, neste livro esto destacados

desde os princpios bsicos dos materiais piezoeltricos at a vasta aplicao destes como

sensores. O mesmo se aplicada ptica, aqui so apresentados os fundamentos da ptica e

uma gama de sensores pticos desde os mais tradicionais, como os hologrficos, at os de

ptica integrada. Um dos captulos trata de sensores de gases baseados em tcnicas de

micro-eletrnica.

Os sensores pticos tm se beneficiado das tcnicas de eletrnica e da fsica do estado

slido permitindo o desenvolvimento de dispositivos de ptica integrada, os quais so

sensores sofisticados, como por exemplo, os utilizados em giroscpios pticos, sensores de

posio etc. Alm dos sensores pticos, houve tambm um grande avano das fontes

luminosas de estado slido que teve como precursor o LED e atualmente est na fase do

diodo laser.

As cermicas piezoeltricas surgiram na dcada de cinqenta visando aplicaes em

sonares e atualmente ocupam um grande espao na fabricao de sensores. Um dos grandes

avanos na aplicao de cermicas piezoeltricas est na rea de diagnstico mdico por

ultra-som. Alm disso, os sensores piezoeltricos tambm so muito aplicados a ensaios de

falhas em estruturas, medio de densidade e viscosidade de lquidos, medio de vazo de

fluidos etc.

Os sensores de gases tiveram um grande avano com o desenvolvimento das tcnicas de

micro-eletrnica.

Nos diversos encontros dos grupos, desde a formao da Rede de Sensores, foram

ministrados mini-cursos sobre tpicos das especialidades dos grupos. Parte do material

didtico desenvolvido foi formatado em sete captulos, numerados de 2 ao 8 no volume 1

desse livro, intitulado Sensores - Tecnologias e Aplicaes. Estes captulos esto listados

abaixo, nos quais h um link que permite o acesso direto a cada captulo.

Captulo 2 - Materiais piezoeltricos

Captulo 3 - Transdutores de ultra-som: modelagem, construo e caracterizao

Captulo 4 - Tcnicas de caracterizao de lquidos por ultra-som

Captulo 5 - Sensores a Ondas Acsticas de Superfcie

Captulo 6 - Sensores de gs

Captulo 7 - Sensores pticos integrados e em fibra

Captulo 8 - Holografia: Princpio e Aplicaes

Os assuntos abordados neste livro abrangem parte das tecnologias de sensores e

destinam-se a pesquisadores, alunos de ps-graduao e outros profissionais da rea.

A elaborao desse CD s foi possvel com o apoio da FINEP, atravs do programa

RECOPE, e o esforo dos participantes da Rede de Sensores.

Captulo 2

Materiais Piezoeltricos

Jos Antonio Eiras

Grupo de Cermicas Ferroeltricas Departamento de Fsica - Universidade Federal de So Carlos

CEP: 13.565-905 So Carlos / SP, Brasil eiras@df.ufscar.br

Contedo 2.1. INTRODUO .............................................................................................. 3

2.1.1. Fundamentos de piezoeletricidade.......................................................... 3

2.1.2. Equaes fundamentais........................................................................... 4

2.1.3. Monocristais vs. policristais (cermicas ou filmes finos) ....................... 7

2.2. MATERIAIS PIEZOELTRICOS................................................................. 9

2.2.1. Cristais .................................................................................................... 9

2.2.1.1. Quartzo (SiO2) .................................................................................... 9

2.2.1.2. Niobato de ltio (LiNbO3 - LN) e tantalato de ltio (LiTaO3-LT)..... 10

2.2.2. Semicondutores..................................................................................... 12

2.2.3. Cermicas.............................................................................................. 13

2.2.3.1. Perovskitas ((A1,A2)(B1,B2)O3) ........................................................ 14

2.2.4. Polmeros .............................................................................................. 16

2.2.5. Compsitos ........................................................................................... 18

2.2.6. Filmes finos........................................................................................... 21

2.3. CARACTERIZAO DE PROPRIEDADES DIELTRICAS E

PIEZOELTRICAS.......................................................................................................... 23

2.3.1. Introduo ............................................................................................. 23

2.3.2. Propriedades dieltricas ........................................................................ 23

2.3.3. Propriedades piezoeltricas................................................................... 25

2.3.3.1. O mtodo da ressonncia ................................................................. 26

2.3.3.2. Condies de caracterizao de elementos piezoeltricos................ 28

2.3.3.3. Modos de vibrao em piezoeltricos............................................. 31

2.4. REFERNCIAS............................................................................................ 33

2

2.1. INTRODUO

O efeito piezoeltrico foi descoberto em 1880 em cristais de quartzo pelos irmos

Pierre e Jacques Curie [1]. Desde ento tem motivado inmeras investigaes para o

desenvolvimento de sistemas transdutores eletromecnicos.

O efeito consiste basicamente na converso de energia mecnica em eltrica (do

grego piezo presso). Posteriormente, em 1881, por anlises termodinmicas, Lippman [2] previu a existncia do efeito piezoeltrico inverso, que consiste no

aparecimento de uma deformao do material quando submetido a um campo eltrico.

A primeira aplicao tecnolgica de um elemento piezoeltrico pode ser atribuda a

Langevin (1921) [3], que desenvolveu um sonar utilizando o quartzo como elemento

piezoeltrico. O descobrimento, por Roberts [4], que cermicas ferroelctricas de titanato

de brio (BaTiO3) polarizadas apresentam o efeito piezoeltrico marcou o incio da

gerao das piezocermicas.

Os estudos de solues slidas de PbZrO3- PbTiO3, por Jaffe [5,6] nos anos 50,

resultaram na obteno de cermicas de titanato zirconato de chumbo (PZT), que

passaram a ser objeto de freqentes investigaes para a otimizao de suas propriedades

ou como motivao para o desenvolvimento de novos compostos cermicos.

Na atualidade materiais piezoeltricos so utilizados como elementos sensores e/ou

atuadores em aplicaes tecnolgicas desde baixas (na faixa de Hz) at freqncias da

ordem de 109 Hz. As baixas freqncias so cobertas principalmente pelos materiais

policristalinos (cermicos, polmeros ou compsitos). Cristais e filmes finos, por sua vez,

so os mais utilizados em aplicaes de altas freqncias.

Neste captulo apresentaremos um resumo dos conceitos fundamentais da

piezoeletricidade e dos materiais e formas mais destacadas nas aplicaes de materiais

piezoeltricos.

2.1.1. Fundamentos de piezoeletricidade

De uma forma geral o efeito piezoeltrico pode ser definido como a converso de

energia mecnica em energia eltrica (direto) ou a converso de energia eltrica em

energia mecnica (inverso). Uma representao esquemtica apresentada na Figura 2.1.

3

Figura 2.1- Representao esquemtica da converso de energia no efeito piezoeltrico.

Um sistema piezoeltrico constitudo de dois sistemas fsicos acoplados, o

mecnico e o eltrico.

O efeito piezoeltrico pode ser descrito de forma simplificada, desconsiderando a

simetria do material, pelas seguintes equaes:

Direto

Inverso Energia Eltrica Energia Mecnica

D = dT + E (direto) (2.1) S = sT + d E (inverso) (2.2)

D - vetor deslocamento eltrico T Tenso mecnica

E - campo eltrico S Deformao

permissividade dieltrica s coeficiente elstico d coeficiente piezoeltrico

importante notar que o efeito piezoeltrico representa uma dependncia linear da

deformao com o campo eltrico aplicado. Portanto, se o sentido do campo eltrico

invertido, o sentido da deformao tambm ser invertido.

2.1.2. Equaes fundamentais

As equaes constitutivas para representar o efeito piezoeltrico em geral utilizam a

notao matricial. As equaes e unidades que sero apresentadas neste captulo so as

mesmas que se encontram nos IRE Standards on Piezoelectric Crystals ou Ceramics

[7,8,9].

A ausncia de um centro de simetria uma condio necessria para que um material

possa apresentar o fenmeno da piezoeletricidade, por isso todos os materiais

piezoeltricos so anisotrpicos. Para descrever as propriedades de todas as classes de

materiais anisotrpicos existem 18 coeficientes piezoeltricos, 21 coeficientes elsticos e

4

6 coeficientes dieltricos independentes. Na interao piezoeltrica, que resulta da

interao entre o sistema eltrico e o mecnico, dois conjuntos de coeficientes eltricos,

S ou T, e dois conjuntos de coeficientes elsticos, cE, sE ou cD, sD, so definidos dependendo das condies em que se realizam suas medies, a T (tenso mecnica), S

(deformao mecnica), E (campo eltrico) ou D (vetor deslocamento eltrico)

constantes. Dependendo da simetria que apresente o material o nmero de coeficientes

no nulos pode diminuir. Quanto maior a simetria menor ser o nmero de coeficientes

diferentes de zero. A reduo por simetria do nmero de coeficientes independentes e a

transio da notao tensorial para a notao matricial discutida em detalhes no livro de

Nye [10].

Alguns cristais no centrossimtricos e cermicas ferroelctricas polarizadas

apresentam o efeito piezoeltrico. Considerando que os campos eltricos aplicados e as

temperaturas sejam baixas, comparadas s temperaturas de Curie Tc, as equaes

piezoeltricas lineares (como as Eq. 2.1 e 2.2) podem ser utilizadas para descrev-los.

Para descrever um material piezoeltrico as matrizes adequadas para representar os

coeficientes S ou T, cE, sE ou cD, sD e d, para serem utilizadas nas Eq. (2.1) e (2.2), se obtm considerando sua simetria macroscpica [7-10]. Assim, por exemplo, para cristais

de quartzo tem-se que considerar as matrizes correspondentes simetria trigonal (32),

enquanto que para cermicas polarizadas as matrizes da simetria (6mm ou mm) [11] devem ser utilizadas.

Considerando diferentes formas da energia de Gibbs e desprezando efeitos

magnticos e de variaes de entropia, possvel obter as seguintes relaes para

descrever o efeito piezoeltrico [10,11]:

mTmnimin

mmijEiji

ETdD

EdTsS

+=+=

n

Tmnimim

mmijDiji

DTgE

DgTsS

+=+=

(2.3)

mSmnimin

mmijEiji

ESeD

EeScT

+==

n

Smnimim

mmijDiji

DShE

DhScT

+==

i,j 1,2,...,6

n,m 1,2,3

5

, - coef. dieltricos d,g,e,h - coef. piezoeltricos

dmi coeficiente piezoeltrico

mn permissividade dieltrica Dn vetor deslocamento eltrico

Em campo eltrico

T1, T2, T3 tenses de trao ou compresso

T4, T5, T6 tenses de cisalhamento

S1, S2, S3 deformaes puras

S4, S5, S6 deformaes de cisalhamento

onde,

=

36353433

2625242322

161514131211

,ddddddddddddddd

gd

=

6

5

4

3

2

1

,

SSSSSS

TS

E campo eltrico constante

D polarizao constante

T tenso mecnica constante

S deformao constante

Condies de Medida

(Superescritos)

D EEEE

, =1

2

3

=11 12

22

13

23

33

s c

s s s ss s s

s ss s

s

ssssss

,

s s s

14

24

35

=

11 12 13 15

22 23 25

33 34

44 45

55

16

26

36

46

56

66

so as matrizes gerais, que representam as diferentes propriedades dieltricas,

mecnicas e piezoeltricas dos materiais piezoeltricos.

A escolha de quais equaes utilizar para descrever um determinado sistema depende

de que variveis eltricas, campo eltrico (E) ou vetor deslocamento eltrico (D), ou

6

mecnicas, tenso mecnica (T) ou deformao mecnica (S), devem ser escolhidas

como variveis independentes [9,10].

2.1.3. Monocristais vs. policristais (cermicas ou filmes finos)

Como mencionado anteriormente, embora as primeiras aplicaes de materiais

piezoeltricos tenham sido realizadas utilizando cristais, particularmente o quartzo, o

maior crescimento do nmero de aplicaes ocorreu a partir do descobrimento dos

piezoeltricos cermicos baseados em titanato zirconato de chumbo (PZT) nos anos 50

[5,6]. Desde ento as piezocermicas so utilizadas em inmeras aplicaes.

Entretanto, cristais piezoeltricos seguem sendo os mais utilizados para aplicaes

como osciladores estabilizados e componentes que funcionam com ondas acsticas de

superfcie. Como principais vantagens dos cristais, frente s piezocermicas, pode-se

destacar suas altas temperaturas de Curie, alta estabilidade trmica (pequenas alteraes

de suas propriedades piezoeltricas em funo da temperatura) e alto fator de qualidade

mecnico. Por sua vez, a obteno de cristais de alta qualidade requer processos ou muito

demorados, ou processos de crescimento muito caros, como os mtodos Czochralski ou

Bridgeman, por exemplo. Por serem anisotrpicos os cristais requerem todavia cortes em

orientaes especficas para que se possa utiliz-los de forma adequada.

Materiais cermicos (policristalinos), por sua vez, apresentam as seguintes

vantagens, frente aos cristais: processo de obteno mais barato, a possibilidade de serem

preparados em uma grande variedade de composies, o que permite controlar ou alterar

suas propriedades fsicas, e a possibilidade de serem produzidos numa maior variedade de

geometrias.

Os materiais piezocermicos pertencem classe dos materiais ferroeltricos1 e,

quando recm produzidos, so isotrpicos, no apresentando uma orientao

macroscpica da polarizao espontnea. Por isso requerem que, para que seja possvel

utiliz-los como elementos piezoeltricos, sejam polarizados sob a aplicao de altos

campos eltricos. Assim, durante o processo de polarizao, possvel escolher a direo

1 Materiais ferroeltricos, ou simplesmente ferroeltricos, caracterizam-se por apresentarem, em um

determinado intervalo de temperatura, polarizao espontnea que pode ser reorientada pela aplicao de

um campo eltrico (inferior ao campo de ruptura).

7

da polarizao macroscpica. O estado polarizado , por isso, metaestvel e pode variar

com o tempo, com o aumento da temperatura ou sob a aplicao de altos campos eltricos

(da ordem do campo de polarizao), com sentidos diferentes ao do campo de

polarizao.

Como desvantagens das piezocermicas, em comparao aos cristais, poder-se-ia

destacar a maior dependncia de suas propriedades eletromecnicas com a temperatura, a

formao de fases no desejadas durante sua produo, o que pode alterar suas

propriedades, e a variao de suas propriedades com o tempo (envelhecimento

aging).

Para selecionar um material piezoeltrico para aplicaes tecnolgicas procura-se,

em geral, conhecer suas propriedades dieltricas, elsticas e piezoeltricas, que

determinam sua eficincia como elemento piezoeltrico. Entretanto, para uma aplicao

especfica nem sempre necessrio determinar todas essas propriedades. Inicialmente

necessrio identificar que coeficientes (dieltricos, elsticos e piezoeltricos) ou modos

de vibrao so os mais importantes para a aplicao em que se deseja utiliz-los.

Os parmetros prticos mais importantes dos materiais piezoeltricos so: a

orientao do corte (para cristais) ou da polarizao macroscpica (para cermicas), as

constantes dieltricas T/o, S/o (o permissividade no vcuo), o fator de acoplamento eletromecnico k, os coeficientes piezoeltricos d e g, a constante de freqncia N, a

velocidade do som no meio piezoeltrico v, o fator de qualidade mecnico Qm (para o

modo de vibrao que ser utilizado), a densidade , a impedncia acstica Z (=v) e o coeficiente de temperatura CT (que caracteriza a variao de uma dessas propriedades

com a temperatura).

Buscando intensificar algumas dessas propriedades, para otimizar a performance do

material piezoeltrico numa determinada aplicao, tem-se buscado ainda preparar

materiais piezoeltricos na forma de filmes finos (para aplicaes com ondas de

superfcie ou microatuadores) ou na forma de compsitos (em aplicaes em que se busca

casar impedncia acstica a outro meio ou amplificar a deformao gerada pelo elemento

piezoeltrico, por exemplo).

8

2.2. MATERIAIS PIEZOELTRICOS

Nesta seo so apresentados os materiais piezoeltricos mais utilizados na

atualidade em aplicaes tecnolgicas. Informaes mais detalhadas ou complementares

sobre outros materiais podero ser encontradas nos livros de Cady [12], Mason [13] e

Ikeda [11].

2.2.1. Cristais

2.2.1.1. Quartzo (SiO2)

Cristais de quartzo apresentam a fase em temperaturas inferiores a 573oC, que possui simetria trigonal e pertence ao grupo pontual 32. Os coeficientes piezoeltricos so

d11=-d12, d14=-d25, d26=-2d11, e11=-e12, e14=-e25 e e26=-e11 [7,10,11]. Como se pode

verificar o quartzo possui somente dois coeficientes piezoeltricos d ou e independentes.

Uma anlise da matriz dos coeficientes mostra claramente que no h resposta

piezoeltrica quando aplicamos um campo eltrico ou tenso mecnica na direo z do

cristal.

Em 573oC o quartzo- sofre uma transformao de fase , que pertence ao grupo pontual 622, na qual o coeficiente d14=-d25 praticamente triplica. Para aplicaes

tecnolgicas, em geral, deseja-se ter modos de vibrao puros, alto fator de qualidade

mecnico Qm e baixo (ou nulo) coeficiente de temperatura CT. Visando alcanar essas

condies foram encontrados diversos cortes prticos para os cristais de quartzo,

conforme se apresenta na Figura 2.2.

Cristais de quartzo so encontrados na natureza (minerais de quartzo, que para

crescer naturalmente demoram muitos anos) ou podem ser crescidos artificialmente, por

exemplo, por processos hidrotrmicos. Alguns de seus coeficientes caractersticos so

apresentados na Tabela 2.1.

9

Figura 2.2 Cortes caractersticos de cristais de quartzo para ressonadores [11].

Tabela 2.1 Coeficientes eletromecnicos caractersticos para cristais de quartzo.

Corte Modo c/co k d (p.C.N-1) e (C.m-2) N (Hz.m) Quartzo 0oX TE 4,6 0,10 2,3 0,17 2850 0oX LE 4,6 0,10 -2,3 2750 -18,5oX LE 4,6 0,095 -2,3 2550 0oY TS 4,6 0,14 -4,6 -0,17 1925 AT TS 4,6 0,09 -3,4 -0,095 1660 AC TS 4,6 0,10 -3,7 -0,11 1650

2.2.1.2. Niobato de ltio (LiNbO3 - LN) e tantalato de ltio (LiTaO3-LT)

Niobato e tantalato de ltio so cristais isomorfos que apresentam simetria trigonal e

pertencem ao grupo pontual 3m na fase ferroeltrica, abaixo de suas temperaturas de

Curie Tc (Tc(LiNbO3)~1210oC e Tc(LiTaO3)~660oC). Na fase ferroeltrica apresentam a

polarizao espontnea paralela direo do eixo c. O niobato de ltio (LN) apresenta os

coeficientes piezoeltricos d33= 16 e d15= 74 pC/N. O tantalato de ltio LT, por sua vez,

apresenta menores valores de coeficientes piezoeltricos d33= 8 e d15= 26 pC/N e de

10

coeficiente de temperatura (CT), por isso preferido em aplicaes onde se deseja alta

estabilidade.

Os cortes mais importantes para aplicaes do LN esto apresentados na Figura 2.3.

Os cortes E rodados de 163o para o LN e de 165o para o LT so particularmente

interessantes pois apresentam coeficientes de acoplamento eletromecnico nulos para o

modo longitudinal, enquanto que para o modo transversal podem chegar a 0,60 (LN) e

0,41 (LT) [14].

LN e LT so largamente utilizados em aplicaes com ondas acsticas de superfcie

(SAW surface acoustic waves), como filtros eletromecnicos e detectores de

vibraes.

Cristais de LN ou LT podem ser crescidos do material fundido em composies

contendo entre 46 e 50% ou 44 e 54% atmico de Li para o LN ou LT, respectivamente.

A fuso congruente ocorre para concentrao de aproximadamente 48.6% at. de Li para o

LN e entre 48.8 e 49.2% at. de Li para o LT [15]. Para os dois cristais se observa um

aumento da temperatura de Curie quando se aumenta a concentrao de Li. Cristais

mistos de Li(Nb,Ta)O3 podem ser crescidos e apresentam propriedades intermedirias

entre as do LN e LT.

Figura 2.3 Cortes caractersticos de cristais de niobato ou tantalato de ltio [11].

11

Na Tabela 2.2 so apresentados os coeficientes caractersticos para cristais de

niobato ou tantalato de ltio.

Tabela 2.2 Coeficientes eletromecnicos caractersticos para cristais de LN ou LT.

LiNbO3 LiTaO3 LiNbO3 LiTaO3 [103 kg.m-3] 4,7 5,3 d33[10-12 C.N-1] 6 8 11T/0 84 51 d31 -1 -2 33T/0 30 45 d22 21 7 c11E[1011 N.m-2] 2,03 2,33 d15 68 26 c33E 2,45 2,75 e33[C.m-2] 1,3 1,9 c12E 0,53 0,47 e31 0,2 0,0 c13E 0,75 0,80 e22 2,5 1,6 c14E 0,09 -0,11 e15 3,7 2,6 c55E 0,60 0,94 k33 0,17 0,19 c66E 0,75 0,93 k31 0,03 0,05 kt 0,16 0,18 k15 0,68 0,43

2.2.2. Semicondutores

Materiais semicondutores com estrutura do tipo wurzita, simetria 6mm, apresentam o

efeito piezoeltrico e valores de coeficientes adequados ou suficientes para aplicaes.

Entre esses materiais pode-se destacar o xido de zinco (ZnO), o sulfeto de cdmio (CdS)

e o nitreto de alumnio (AlN).

Para suas aplicaes mais importantes esses materiais tm sido preparados na forma

de filmes finos e servem como geradores ultra-snicos de alta freqncia. Na Tabela 2.3

so apresentados alguns coeficientes dos principais semicondutores piezoeltricos.

O ZnO o mais utilizado para aplicaes que envolvem gerao e/ou deteco de

ondas acsticas de superfcie (SAW). O AlN, em particular, se destaca por apresentar alta

velocidade de propagao do som.

Cristais de ZnO (com grandes dimenses) podem ser crescidos por processos

hidrotrmicos, enquanto que cristais de AlN so muito difceis de crescer.

Filmes finos de ZnO so obtidos por evaporao ou sputtering do material em

substratos de safira, apropriados para obter orientaes adequadas no filme. Embora o

filme seja policristalino possvel obter una orientao preferencial do eixo c

perpendicular superfcie do substrato.

12

Tabela 2.3 Coeficientes dieltricos e piezoeltricos de semicondutores piezoeltricos.

BeO ZnO CdS CdSe AlN [103kg.m-3] 3,009 5,675 4,819 5,684 3,26 11T/0 8,50 9,35 9,70 9,0 33T/0 7,66 10,9 10,3 10,6 10,7 d33[10-12 C.N-1] 0,24 12,4 10,3 7,8 5 d31 -0,12 -5,0 -5,2 -3,9 d15 -8,3 -14,0 -10,5 e33[C.m-2] 1,57 0,44 0,35 1,55 e31 -0,36 -0,24 -0,16 -0,58 e15 -0,36 -0,21 -0,14 -0,48 c33E[1011 N.m-2] 2,11 0,94 0,84 c11E 2,10 0,91 0,74 3,95 c55E 0,43 0,15 0,13 3,45 c33D 2,29 0,96 0,85 1,18 c11D 2,15 0,91 0,74 c55D 0,47 0,16 0,13 v31 [km.s-1] >12 6,40 4,50 3,86 11,35 v1t 2,95 1,80 1,54 k33 0,019 0,48 0,262 0,194 0,31 k31 0,009 0,182 0,119 0,084 0,14 k3t 0,38 0,154 0,124 0,25 k15 0,196 0,188 0,130 0,15

A deposio de filmes finos de AlN feita, mais freqentemente por deposio de

vapor qumico (chemical vapour deposition CVD) ou por sputtering.

2.2.3. Cermicas

Desde o descobrimento, por Roberts [4], de que cermicas de titanato de brio

(BaTiO3) podiam ser polarizadas e apresentar o efeito piezoeltrico, materiais cermicos

so os mais utilizados, at o presente, como elementos piezoeltricos na maioria das

aplicaes tecnolgicas. O descobrimento de Roberts marca assim o incio da era das

piezocermicas. As piezocermicas so materiais ferroeltricos que se obtm atravs de

mtodos de preparao de cermicas avanadas. Em seu estado no polarizado (e no

texturadas) so isotrpicas. Para sua utilizao como elementos piezoeltricos precisam

ser polarizadas sob a aplicao de um campo eltrico dc da ordem de alguns kilovolts por

milmetro (kV/mm). O fato de ser ferroeltricas permite que se reoriente a polarizao

espontnea, na direo do campo de polarizao. Cermicas piezoeltricas (ou

ferroeltricas polarizadas) apresentam simetria 6mm ou mm. No se pretende neste captulo discutir todas as composies estudadas para produzir

piezocermicas, pois so muitas, mas apenas apresentar as mais destacadas. Em geral, as

13

piezocermicas comerciais possuem mais de um elemento dopante em suas composies

bsicas, que so incorporados para controlar ou intensificar determinadas propriedades

fsicas. As cermicas mais utilizadas como elementos piezoeltricos possuem estrutura

do tipo perovskita, por essa razo ser a nica estrutura apresentada neste captulo.

2.2.3.1. Perovskitas ((A1,A2)(B1,B2)O3)

Perovskita o nome originalmente designado estrutura do titanato de clcio

(CaTiO3). A maioria dos materiais piezoeltricos cermicos apresentam a estrutura

perovskita.

Estudos em cermicas da famlia das perovskitas tm sido centrados essencialmente

em algumas composies base como o titanato de brio (BaTiO3), solues slidas de

titanato zirconato de chumbo (Pb(Zr,Ti)O3 - PZT), (Pb(Mg1/3Nb2/3)O3 PMN) [16] e

perovskitas complexas Pb(Mg1/3Nb2/3)O3 PbTiO3 (PMN-PT), Pb(Zn1/3Nb2/3)O3

PbTiO3 (PZN-PT), Pb(Mg1/3Nb2/3)O3 Pb(Zr,TiO3) (PMN-PZT) [17] entre outras. Na

estrutura perovskita, generalizada como ABO3, os stios A so ocupados por ctions

divalentes (Pb2+, Ba2+, Ca2+...) enquanto que os stios B, no centro do octaedro de

oxignio, so ocupados por ction Ti4+, Zr4+, Nb5+, Mg2+ ou Zn2+. Na Figura 2.4

apresenta-se uma representao esquemtica de uma clula unitria de uma estrutura

perovskita.

Figura 2.4 - Representao esquemtica de uma clula unitria com estrutura perovskita.

Os primeiros intentos para otimizar as propriedades eletromecnicas do titanato de

brio (BaTiO3 - BT) se basearam na substituio do Ba por Pb, Sr ou Ca e de Ti por Zr,

14

ou Sn. temperatura ambiente o BT apresenta uma estrutura tetragonal (4mm) e

temperatura de Curie Tc=120oC. Vrias solues slidas de (PbxBa1-x)TiO3 e (CaxBa1-

x)TiO3 foram desenvolvidas com propriedades adequadas para aplicaes tecnolgicas

[6].

Desde que foi constatado por Jaffe et. al [5,6] que solues slidas de (Pb(ZrxTi1-

x)O3 - PZT) apresentam excelentes propriedades piezoeltricas, ao redor do contorno de

fase morfotrpico (0.51 x 0.55), o PZT passou a ser mais utilizado que o BT em transdutores piezoeltricos. O PZT tem estrutura perovskita com os ctions Zr4+ e Ti4+

distribudos de forma aleatria no sitio B.

A substituio progressiva do BT pelo PZT para a produo de piezocermicas

ocorreu porque, quando comparado ao BT, o PZT apresenta: 1) maiores coeficientes

eletromecnicos, 2) temperatura de Curie mais alta para a maioria das composies

prticas (Tc ~ 360oC), 3) mais fcil de ser polarizado e 4) possvel incorporar uma

grande variedade de dopantes, o que permite alterar de forma controlada muitas de suas

propriedades eletromecnicas. Desde o descobrimento do PZT muitos trabalhos de

investigao foram desenvolvidos com o objetivo de otimizar ou controlar suas

propriedades eletromecnicas, atravs da adio de xidos de ctions de bi- a

pentavalentes em substituio ao Pb, Zr ou Ti. Desse tipo de estudos resultou a srie

PZT4, -5, -6, -7 e -8 (patente da Clevite Corporation). Trabalhos de Takahashi et. al

[18,19] por sua vez determinaram a influncia da adio de ctions nas propriedades

ferroeltricas e eletromecnicas do PZT. Um resumo dos resultados mais importantes

[6,18,19] publicados mostram que:

1) Elementos aceitadores. A adio de elementos de menor valncia, elementos

aceitadores (Fe3+, Al3+ em substituio a Zr4+ o Ti4+) compensada pela formao de

vacncias de oxignio, que passam a formar um defeito complexo (com o Zr4+ ou Ti4+)

20. Sua incorporao causa um aumento do campo coercitivo, do fator de qualidade

mecnico e do envelhecimento (variao de suas propriedades com o tempo) e uma

diminuio da constante dieltrica, da polarizao remanente e das perdas dieltricas.

PZTs com essas caractersticas so utilizados como elementos piezoeltricos em

transdutores de alta potncia, como em sonares, soldadores e limpadores ultra-snicos.

2) Elementos doadores. A adio de ctions de maior valncia compensada pela

formao de vacncias de chumbo (para pequenas quantidades do aditivo). Elementos

doadores (Nb5+, W6+ em substituio ao Zr ou Ti, ou La3+ em substituio ao Pb2+) 15

diminuem o campo coercitivo, o fator de qualidade mecnico e o envelhecimento,

enquanto que aumentam a constante dieltrica, a polarizao remanente e o fator de

acoplamento eletromecnico .

Aplicaes tpicas de PZTs com essas caractersticas so os hidrofones, transdutores

ultra-snicos de diagnose (ensaios no destrutivos ou em medicina), em que atuam como

emissores e receptores, e em sensores.

3) Elementos isovalentes. Elementos isovalentes (Ba2+, Sr2+ em substituio ao Pb2+)

diminuem a dissipao dieltrica e aumentam o envelhecimento .

4) Cr3+ e Mn2+. Elementos como o mangans e o cromo atuam como estabilizadores

das propriedades.

Cermicas de titanato de chumbo (PbTiO3 - PT) com alta densidade so difceis de

obter, sem a adio de aditivos, devido alta deformao espontnea na transio de fase

para ferroeltrica (Tc=490OC). Na fase ferroeltrica o PT apresenta simetria tetragonal

com c/a ~1.061 [21]. Ikegami et. al [22] conseguiram sinterizar cermicas densas de PT

dopadas com La e Mn, com alta anisotropia piezoeltrica (kt/ k31 ~ 25) e baixa razo de

Poisson ( ~0.2 0.3), quando comparados a outros materiais (PZT - kt/ k31~1 e ~0.3 0.4). Estas caractersticas so particularmente importantes para aplicaes em

transdutores e filtros eletromecnicos, visto que promovem a supresso de ressonncias

esprias. Trabalhos posteriores [22] mostraram que composies de (Pb1-xMx)TiO3 + 0.2

mol% Mn (com M=La, Sm, Nd...) apresentam baixo coeficiente de temperatura e

propriedades adequadas para dispositivos SAW.

Valores tpicos dos coeficientes eletromecnicos para piezocermicas so mostrados

na Tabela 2.4.

2.2.4. Polmeros

O descobrimento da piezoeletricidade em polmeros se deve a Kawai [23], que

observou que o polyvinylidene fuoride (PVDF o PVF2) tracionado e polarizado em altos

campos eltricos (~300 kVcm-1) apresenta coeficientes piezoeltricos superiores aos do

quartzo.

16

Tabela 2.4 Coeficientes eletromecnicos caractersticos para cermicas piezoeltricas [11].

PVDF um polmero que apresenta una cristalinidade de 40-50% e pode ser obtido

nas fases: I ou (que piezoeltrica) e II ou . Na Tabela 2.5 so apresentados valores tpicos para coeficientes eletromecnicos de

alguns polmeros piezoeltricos.

Tabela 2.5. Valores tpicos para coeficientes eletromecnicos de polmeros piezoeltricos [11].

17

2.2.5. Compsitos

A motivao para o desenvolvimento de materiais piezoeltricos compsitos resultou

da necessidade de alcanar propriedades especficas num material, que no podem ser

encontradas em materiais com uma nica fase. Por exemplo, para aumentar a

sensibilidade piezoeltrica de transdutores eletromecnicos, para obter um melhor

casamento acstico com a gua, se necessita diminuir a densidade do elemento

piezoeltrico ou, por outro lado, para obter elementos mecanicamente flexveis, para

poder acopl-los a superfcies curvas. Essas propriedades podem ser muito difceis de

obter em materiais monofsicos. Logo, um material compsito um material que possui

dois ou mais componentes e que apresenta propriedades fsicas e qumicas que resultam

da soma, de uma combinao ou do produto das propriedades de seus componentes.

As primeiras investigaes com compsitos piezoeltricos foram realizadas para

obter hidrofones, para aplicaes submarinas [24,25,26]. Um hidrofone um transdutor

ou microfone utilizado para detectar ondas acsticas na gua. A sensibilidade de um

hidrofone determinada pela voltagem produzida por uma onda de presso hidrosttica,

que est associada ao coeficiente de voltagem hidrosttico gh. O coeficiente hidrosttico

de deformao dh (dh=gh/o, o-permissividade do vcuo e K- constante dieltrica), que relaciona a voltagem que resulta de uma presso hidrosttica, tambm um coeficiente

utilizado para avaliar um hidrofone. Uma figura de mrito prtica para caracterizar um

hidrofone o produto dhgh.

Cermicas como o PZT so muito utilizadas em transdutores porque possuem altos

coeficientes piezoeltricos. Entretanto, para a utilizao em hidrofones o PZT apresenta

algumas desvantagens, pois possui altos coeficientes d33 e d31 (que tem o sinal contrrio

ao d33, ou seja, negativo, se d33 considerado positivo). Por isso seu coeficiente

hidrosttico dh=(d33+2d31) pequeno ou quase nulo. Alm disso, o PZT tem alta

constante dieltrica K (>1000) e alta densidade (=7,9 kg/m3, comparada da gua), o que resulta num baixo coeficiente gh e maior dificuldade em conseguir um casamento

acstico com a gua.

Polmeros como o PVDF oferecem vrias vantagens, como baixa constante

dieltrica, baixa densidade e flexibilidade, para aplicaes em hidrofones. Por isso,

embora tenham baixos coeficientes d33 e dh, quando comparados ao PZT, seu coeficiente

gh grande devido a sua baixa constante dieltrica. Por outro lado, polmeros apresentam

18

desvantagens, como a dificuldade de serem polarizados e baixa constante dieltrica (e,

em geral, pequena espessura), o que dificulta a construo de circuitos de deteco

(devido sua baixa capacitncia).

Buscando minimizar essas desvantagens apresentadas pelos polmeros e cermicas

foram desenvolvidos os compsitos piezoeltricos.

A maneira em que os materiais componentes se encontram interconectados em um

compsito denomina-se conectividade [27]. Para compsitos compostos de dois

componentes existem 10 conectividades: 0-0, 1-0, 2-0, 3-0, 1-1, 2-1, 3-1, 2-2, 3-2 e 3-3.

Os nmeros 1 a 3 se referem aos trs eixos ortogonais, que indicam as direes em que

cada componente est interconectado ou contnuo. Compsitos piezoeltricos, em geral,

so compostos de cermicas e polmero ou vidro. Por conveno, o primeiro nmero se

refere conectividade da cermica, enquanto que o segundo ao polmero ou vidro. Uma

representao esquemtica das 10 conectividades mostrada na Figura 2.5.

Figura 2.5. Formas de conectividade para compsitos de dois componentes. As setas indicam a direo em que cada componente est conectado [11].

Entre os compsitos piezoeltricos aqueles com conectividade 1-3 (palitos de PZT /

polmero) e 0-3 (partculas de PZT dispersas em polmero), pela maior facilidade de

19

obteno, so os mais estudados para a construo de elementos eletromecnicos. As

principais vantagens desses compsitos so a baixa impedncia acstica (que possibilita

um melhor casamento com meios que tm impedncia acstica menor que a da

cermica), alta flexibilidade mecnica e baixo fator de qualidade mecnico (o que

permite deteco num largo espectro de freqncias). Os compsitos 1-3 possuem alto

fator de acoplamento eletromecnico de espessura (kt), aproximadamente igual ao fator

de acoplamento eletromecnico k33 da cermica. A Figura 2.6 apresenta a variao da

impedncia acstica (Figura 2.6a) e do fator de acoplamento eletromecnico (Figura

2.6b), para compsitos piezoeltricos polmero (poliuretano)-cermica (PZT) 3-1, em

funo da concentrao volumtrica de cermica no elemento.

(a) (b)

Figura 2.6. - Variao da impedncia acstica (a) e do fator de acoplamento eletromecnico (b), para compsitos piezoeltricos polmero (poliuretano)-cermica

(PZT) 3 -1, em funo do volume fracionrio de PZT.

Na Tabela 2.6, a seguir, so apresentados alguns resultados caractersticos obtidos

em compsitos piezoeltricos para diferentes conectividades. Uma descrio detalhada

dos resultados mais importantes obtidos em compsitos piezoeltricos pode ser

encontrada no livro de Levinson [28].

20

Tabela 2.6 Coeficientes dieltrico e piezoeltricos de compsitos piezoeltricos

cermica / polmero com conectividade 1-3.

Compsito

__ (Kg/m3)

__

33K

__

33d (pC/N)

__

33g (10-3Vm/N)

__

hd (pC/N)

__

hd (10-3Vm/N)

______

hh gd (10-15m2/N)

PZT palitos Spurrs epoxy [24]

1370 54 150 313 27 56 1536

PZT palitos Poliuretano [29]

1430 40 170 480 20 56 1120

PZT palitos Poliuretano [29]

930 41 180 495 73 210 15330

2.2.6. Filmes finos

Filmes finos no constituem propriamente uma classe de materiais piezoeltricos,

mas sim uma outra geometria. Entretanto, pela crescente importncia que tm atualmente

os filmes finos para o desenvolvimento de sensores e atuadores, consideramos importante

acrescentar esta seo.

Na realidade filmes finos piezoeltricos so produzidos com os mesmos materiais

que se utilizam na forma de cristais ou cermicas piezoeltricas. Na maioria dos casos

tm sido preparados com as mesmas composies que os elementos cermicos.

Conforme mencionado anteriormente, aplicaes que envolvem ondas acsticas de

superfcie (SAW Surface Acoustic Waves) so as que apresentam maior potencial para

utilizao em filmes finos piezoeltricos. As ondas superficiais so ondas de Rayleigh e,

conseqentemente, o transporte de energia encontra-se confinado prximo superfcie.

As principais aplicaes consistem em ressonadores, filtros ou linhas de atraso. Um

diagrama esquemtico de um transdutor de SAW apresentado na Figura 2.7.

Figura 2.7. Diagrama esquemtico de um transdutor de SAW.

21

Os parmetros mais importantes para a seleo de um material para aplicaes SAW

so a velocidade da onda superficial (Vsup), o coeficiente de temperatura (CT), o

coeficiente de acoplamento eletromecnico (ksup) e a atenuao de onda acstica durante

a propagao.

Cristais de LiNbO3 e LiTaO3 so os mais utilizados em altas freqncias (> 500

MHz).

xido de zinco (ZnO) e nitreto de alumnio (AlN), que possuem estrutura wurzita,

so materiais que podem ser depositados, com orientao c, por sputtering em

substratos (de safira ou vidro, por exemplo). A performance do ZnO limitada por seu

baixo coeficiente de acoplamento eletromecnico .

Filmes finos de materiais cermicos como os PZTs, os titanatos de brio (BT) ou de

chumbo (PT) vm despertando grande interesse para aplicaes como microatuadores.

Para aplicaes como filtros esses materiais apresentam as limitaes de possuir baixo

fator de qualidade mecnico e alto coeficiente de temperatura, quando comparados aos

cristais.

Na Tabela 2.7 so apresentados os coeficientes caractersticos de materiais, cristais

ou cermicos, mais utilizados como componentes baseados em ondas acsticas de

superfcie.

Tabela 2.7. Coeficientes eletromecnicos caractersticos (fator de acoplamento (k), coeficiente de temperatura (TCD), velocidade da onda de superfcie (vo) e constante dieltrica relativa (r) para os

materiais mais usados em dispositivos baseados em ondas acsticas de superfcie).

22

2.3. CARACTERIZAO DE PROPRIEDADES DIELTRICAS E PIEZOELTRICAS

2.3.1. Introduo

A caracterizao completa de um material que se deseja utilizar como transdutor

(atuador ou sensor) requer, na maioria dos casos, a determinao de diferentes

propriedades fsicas. Materiais ferroeltricos por que apresentam propriedades dieltricas

e piezoeltricas destacadas frente a outros materiais, entre outras, so os mais utilizados

e destacados para aplicaes em sensores e atuadores.

A determinao das propriedades dieltricas, em funo da freqncia, temperatura

ou voltagem constitui a primeira e principal caracterizao de um material ferroeltrico .

Por isso deve ser executada antes de se efetuar uma caracterizao mais detalhada das

propriedades piezoeltricas.

As propriedades piezoeltricas de um material so definidas, por sua vez, pelos

coeficientes dieltricos, elsticos e piezoeltricos. Todos esses coeficientes dependem da

amplitude do sinal de medio (de campo eltrico ou tenso mecnica) e, em caso de

materiais ferroeltricos, dependem do estado de polarizao . Em geral a determinao

desses coeficientes feita na regio linear (baixos campos).

Neste capitulo so apresentados os fundamentos de tcnicas dinmicas de

caracterizao que se utilizam para determinar as propriedades dieltricas e piezoeltricas

de materiais ferroeltricos. Para a caracterizao de cristais as tcnicas so exatamente as

mesmas, com a exceo de que o elemento piezoeltrico deve ter seus cortes efetuados

segundo orientaes cristalogrficas definidas, conforme mostrado anteriormente.

2.3.2. Propriedades dieltricas

A permissividade dieltrica geral varia com a freqncia de medida e, por isso, conveniente defini-la como uma funo complexa, * = + i ( parte real e parte imaginria) [30].

A determinao da permissividade dieltrica ou da constante dieltrica (=/o, o a permissividade do vcuo) e do fator de dissipao D (=/o), a baixos campos (

V/mm, regio linear), uma das caracterizaes mais importantes nos materiais

ferroeltricos.

Em geral, esses parmetros so determinados em amostras em forma de discos ou

placas, que possuem eletrodos em suas faces, de forma que possam ser analisadas como

capacitores plano-paralelos preenchidos com um dieltrico (o material que se deseja

caracterizar). Os eletrodos so depositados nas faces por evaporao, sputtering ou

pintura (com prata, grafite ou outro material condutor), de forma que fiquem aderidos ao

material. Dessa maneira, a medio consiste basicamente em uma medida da capacitncia

de um capacitor.

Existem varias tcnicas que podem ser utilizadas para medir a capacitncia de um

capacitor, cada uma com vantagens e desvantagens frente s demais. Consideraes

como intervalo de freqncia, valores de capacitncia, preciso e facilidade de operao

determinam a opo por uma determinada tcnica. Considerando o intervalo de

freqncia como critrio, so recomendados os circuitos ponte (ponte de Shering, por

exemplo), circuitos ressonantes e medidas de I V (I-corrente eltrica e V-voltagem)

desde ~10 Hz at ~100 MHz (analisadores de impedncia); medidas de RF I V entre

100 MHz e ~3 GHz (analisadores de impedncia) e analisadores de rede para freqncias

superiores a 3 GHz. Por conveno, medies standard so realizadas na

freqncia de 1 kHz. Na Figura 2.8 se apresenta um diagrama esquemtico de um

sistema para medir a constante dieltrica de uma amostra.

Figura 2.8. Diagrama esquemtico de um sistema para medir a constante dieltrica de uma amostra em funo da freqncia e/ou temperatura.

24

Uma vez determinada a capacitncia C (=C + iC) do capacitor que representa a

amostra, a constante dieltrica () e o fator de dissipao (D) so calculados com as seguintes relaes :

Ao

dk 'C=

Ao

dD "C= (2.4)

onde d a espessura da amostra e A a rea do eletrodo.

Para materiais isolantes e cermicas ferroelctricas no polarizadas a constante

dieltrica praticamente no varia at ~400 MHz. Em freqncias superiores alguns

materiais ferroeltricos, como o titanato de brio e o titanato zirconato de chumbo podem

apresentar uma relaxao provavelmente associada aos domnios ferroeltricos. Em

baixas freqncias mecanismos de polarizao interfacial e de conduo afetam as

medidas de constante dieltrica em amostras cermicas.

Em cermicas ferroelctricas polarizadas a impedncia de uma amostra, na forma de

um capacitor plano-paralelo, pode apresentar forte dependncia com a freqncia devido

ao efeito piezoeltrico, como ser mostrado a seguir (em propriedades piezoeltricas).

2.3.3. Propriedades piezoeltricas

Conforme mencionado anteriormente a caracterizao completa das propriedades

piezoeltricas ou eletromecnicas de um material requer a determinao de seus

coeficientes elsticos, dieltricos e piezoeltricos. O nmero desses coeficientes, para a

um determinado material, depende da simetria macroscpica do material. Assim, por

exemplo, para cristais de quartzo tem-se que considerar a simetria trigonal (32), enquanto

que para cermicas polarizadas a simetria (mm) [11] deve ser considerada. Muitas vezes no necessria a determinao de todos os coeficientes elsticos,

dieltricos e piezoeltricos, mas somente de alguns deles, para avaliar o potencial de

aplicao do material como elemento piezoeltrico. fundamental, porm, que se saiba

exatamente que coeficiente se est medindo.

Um sistema piezoeltrico constitudo de dois sistemas acoplados, o mecnico e o

eltrico, conforme apresentado anteriormente.

A determinao dos coeficientes piezoeltricos de um material pode ser realizada

atravs de tcnicas estticas ou quasi-estticas e dinmicas (ressonantes).

25

As tcnicas estticas ou quasi-estticas consistem em aplicar uma tenso mecnica

ou uma voltagem (campo eltrico) a uma amostra do material e medir a carga eltrica em

eletrodos, que se depositam nas faces (efeito piezoeltrico direto) ou a deformao do

material (efeito piezoeltrico inverso), respectivamente.

As tcnicas ressonantes consistem em excitar a amostra com uma freqncia em

torno da freqncia fundamental de ressonncia mecnica, de um de seus modos de

vibrao caracterstico. Assim, por exemplo, uma amostra em forma de disco pode ser

excitada para vibrar no modo de vibrao radial ou planar e no modo de espessura.

As tcnicas ressonantes so mais precisas e permitem a determinao de um nmero

maior de coeficientes eletromecnicos e de alguns coeficientes elsticos. Alm disso, as

tcnicas ressonantes fornecem os valores dos coeficientes em regime dinmico, condio

em que os elementos piezoeltricos so mais comumente utilizados.

A seguir apresentado o mtodo da ressonncia, com os coeficientes que podem ser

determinados, dependendo dos modos caractersticos de vibrao de cermicas

polarizadas.

2.3.3.1. O mtodo da ressonncia

O mtodo da ressonncia para caracterizar elementos piezoeltricos, assim como as

equaes e unidades, encontram-se discutidas em detalhes nos IRE Standards on

Piezoelectric Crystals ou Ceramics [31].

Ressonadores piezoeltricos consistem de amostras de um material piezoeltrico, em

forma de disco, barra ou anis, com eletrodos depositados de forma a poder excitar

isoladamente um de seus modos de vibrao. Em geral, se considera que a freqncia de

ressonncia do modo em anlise situa-se distante daquela de outro modo de vibrao do

ressonador.

A representao mais simples do comportamento de um ressonador piezoeltrico,

forado a oscilar em torno de uma ressonncia, dada por um circuito equivalente como

o da Figura 2.9.

As ressonncias mecnicas do ressonador so representadas, na Figura 2.9, pelos

componentes L, C, R1 e R2. A capacitncia Co e a resistncia Ro reapresentam o capacitor

formado pelo material e seus eletrodos.

26

Figura 2.9. Circuito equivalente de um ressonador piezoeltrico .

No mtodo da ressonncia a admitncia do ressonador, o mdulo ou suas partes

real e imaginria, so determinados em funo da freqncia. Um arranjo experimental

para a realizao das medidas pelo mtodo da ressonncia pode ser o mesmo utilizado

para a caracterizao dieltrica (Figura 2.8), desde que o intervalo de freqncias permita

cobrir as freqncias de ressonncia desejadas. Na Figura 2.10 se apresenta como varia a

admitncia com a freqncia de excitao em freqncias prximas de uma ressonncia .

(a) (b)

Figura 2.10. Admitncia, a) modulo y b) partes real e imaginaria, em funo da freqncia de um ressonador piezoeltrico ao redor de uma ressonncia .

Nas Figuras 2.10a e 2.10b FR e FA correspondem s freqncias de ressonncia e

anti-ressonncia do piezoeltrico, respectivamente. Observa-se que na freqncia de

ressonncia FR a admitncia mxima, que corresponde ressonncia do ramo R1R2LC-

srie do circuito da Figura 2.9. Na freqncia de anti-ressonncia FA a admitncia

mnima e corresponde ressonncia do ramo formado pelo ramo R1R2LC-srie em

paralelo com Co.

Caracterizando as freqncias de ressonncia e anti-ressonncia para os diferentes

modos de vibrao de um ressonador piezoeltrico possvel determinar seus

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 1500,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

FA

FR

Md

ulo

da A

dmit

ncia

(mS)

Frequncia (kHz)70 80 90 100 110 120 130

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

f1/2f-1/2

FAFR

FR Real Imaginario

G ,

B (m

S)

Frequncia (kHz)

27

coeficientes eletromecnicos. Para caracterizar completamente um material piezoeltrico

necessrio preparar amostras com diferentes geometrias ou orientaes (no caso de

cristais), de forma a poder excitar diferentes modos puros de vibrao, como veremos

adiante.

Para a determinao das freqncias de ressonncia e anti-ressonncia um ressonador

pode ser forado a vibrar em, essencialmente, duas condies: vibrao (ou acoplamento)

transversal e vibrao (ou acoplamento) longitudinal, que sero apresentadas a seguir.

2.3.3.2. Condies de caracterizao de elementos piezoeltricos

Materiais elsticos podem apresentar um grande nmero de ressonncias mecnicas,

a fundamental e os respectivos harmnicos de cada modo de vibrao. As mais

pronunciadas so aquelas em que a dimenso das amostras, na direo da deformao em

anlise, corresponde aproximadamente metade do comprimento de onda de uma onda

elstica estacionria.

Para caracterizar as propriedades piezoeltricas de um material se utiliza o efeito

piezoeltrico para excitar uma onda estacionria em uma determinada direo da amostra.

Para uma caracterizao precisa de um determinado modo de vibrao procura-se

desacoplar o modo de interesse dos demais, ou seja, isolar a freqncia fundamental de

ressonncia do modo em anlise de qualquer ressonncia de outros modos. A forma

prtica de obter essa condio preparar a amostra com dimenses, comprimento,

dimetro ou espessura, adequados para que se desacoplem os modos, como veremos a

seguir.

Consideremos uma amostra piezoeltrica em forma de uma placa de espessura

t,comprimento L e largura w, com eletrodos nas faces e excitada por uma tenso alternada

V na direo 3, conforme mostra a Figura 2.11.

28

L

w t V

1

3

2

Figura 2.11. Reapresentao esquemtica do arranjo experimental para caracterizao de uma amostra piezoeltrica pelo mtodo da ressonncia .

Conforme mencionado anteriormente, a caracterizao de materiais piezoeltricos

feita essencialmente em duas condies: 1) anlise da deformao ou vibrao em uma

direo perpendicular excitao eltrica aplicada acoplamento transversal ou 2)

anlise da deformao ou vibrao na direo paralela excitao eltrica aplicada

acoplamento longitudinal.

2.3.3.2.1. Acoplamento transversal (vibrao transversal)

Para a anlise do acoplamento transversal, utilizando a Figura 2.11, considera-se a

vibrao da amostra na direo do comprimento L. Para obter o desacoplamento dos

modos de vibrao se requer que as dimenses das amostras satisfaam a seguinte

condio : L > w >> t.

As condies de contorno eltricas e mecnicas so:

Mecnicas Eltricas

Ti 0 exceto T2 Ei = E3T2 = 0 p/ y = L/2 dE/dy = 0 (campo uniforme)

onde Ti so as tenses mecnicas e Ei o campo eltrico (=V/L).

Quando se varia a freqncia da tenso eltrica V na ressonncia a mais baixa

freqncia, na curva de admitncia (Figura 2.10), pela condio L > w >>t, ocorrer em

uma freqncia fR dada por:

29

) (41

112

2ER sL

f = ER sLLf 11 1

21

2 == /2 =L (2.5)

onde v a velocidade da onda mecnica extensional, a densidade do material, a constante elstica a campo eltrico constante e o comprimento de onda.

Es11

Quando se registra a curva da admitncia da amostra em funo da freqncia f da

tenso eltrica externa aplicada, se obtm as curvas como as das Figuras 2.10a ou 2.10b.

A partir das freqncias de ressonncia fR e anti-ressonncia fA, que se obtm das curvas

de admitncia, possvel calcular a constante elstica e o fator de acoplamento

eletromecnico k

Es11

31 para o modo de vibrao transversal com a relao abaixo [8,9]:

kk

ff

tg f ff

A

R

A R

R

312

3121 2 2 =

( ) (2.6)

A notao com o sufixo 31 corresponde utilizada em piezoeltricos cermicos,

onde o sufixo 3 se refere direo de aplicao do campo e o sufixo 1 direo da

deformao.

2.3.3.2.2. Acoplamento Longitudinal (Vibrao de Espessura)

Para a anlise da vibrao de espessura (acoplamento longitudinal) se considera a

deformao na direo do campo eltrico aplicado. As condies de contorno eltricas e

mecnicas so:

Mecnicas Eltricas

Sij 0 exceto S3 Ei = E3dD/dz= 0 (pol. uniforme)

onde Si a deformao relativa (strain) e D o vetor deslocamento eltrico.

A condio L > w >>t implica que as ressonncias do modo de vibrao de

espessura ocorrem em freqncias superiores s dos modos transversais e seus

harmnicos. Na prtica, para isolar a freqncia fundamental do modo de espessura

dos harmnicos dos modos transversais, as dimenses da amostra devem ser tais que L e

w 20-25 t.

30

Para o modo de vibrao de espessura a condio t = /2 ocorre na freqncia de anti-ressonncia fA, dada por:

D

Ac

ttf 33

21

2== 2

33

4tcf

D

A = t = /2 (2.7)

onde v a velocidade da onda mecnica, a densidade do material, a constante elstica stiffness a deslocamento eltrico constante e o comprimento de onda.

Dc33

Determinando as freqncias de ressonncia fR e anti-ressonncia fA das curvas de

admitncia, pode-se calcular o fator de acoplamento para o modo de espessura ou

longitudinal kt com a seguinte equao :

k ff

tg f fft

R

A

A R

R

2

2 2= ( )

(2.8)

2.3.3.3. Modos de vibrao em piezoeltricos

As condies de caracterizao apresentadas anteriormente quando utilizadas para

determinar todos os coeficientes eletromecnicos (elsticos, eltricos e piezoeltricos)

requerem que amostras sejam preparadas com orientaes ou geometrias diferentes, cada

uma adequada para obter determinados coeficientes.

Para o caso de cristais necessrio cort-los segundo orientaes especficas

escolhidas de tal forma a poder excitar modos de vibrao puros. As orientaes dos

cortes dependem da simetria do cristal, como foi mostrado anteriormente para o quartzo,

niobato de ltio e tantalato de ltio.

Para materiais cermicos, por sua vez, tem-se que considerar que no estado

polarizado sua simetria macroscpica sempre mm. Assim, para determinar suas propriedades piezoeltricas necessrio preparar as amostras com geometrias e

diferentes direes de polarizao. A Tabela 2.8, apresenta as geometrias mais comuns

utilizadas em transdutores piezoeltricos, as condies de contorno e quais coeficientes

podem ser determinados nesse tipo de amostra. As letras (T) ou (L) se referem ao

acoplamento transversal ou longitudinal, respectivamente. A flecha () indica a direo da vibrao correspondente ao modo que ser excitado.

31

Tabela 2.8 Modos de vibraes em cermicas piezoeltricas.

Geometria do ressonador

Condio de contorno Fator de Acoplamento (k2)

Constante Elstica

Elstica Eltrica 1 (T)

Transversal

T1=T3 0 0

2

3 =

xE

Es11

1

TEsdk

3311

2312

31 =

2 (L) Longitudinal

T1=T2 0 0

2

3 =

xD

TEs

dk3333

2332

33 = Ds33

1

3 (T)

Radial/Extensional

T3 0 0 3 =

r

E

(a)

3311

2312 )-(1

2 TEp sdk =

(b)

. Eefc

4 (T)

Radial/Dilatacional

S3 0 0 3 =

r

E

Ec11

(c)

33

~

11

2312 ' )'(1

2 TE

p

c

ek+

=

5 (T)

S2 0 T3 0 0

1

3 =

xE

(d)

Eef

2 '312 '

31 T

efcek =

(b)

. Eefc

6 (T)

S3 0 T2 0 0

1

3 =

xE

(e)

"E 'ef

2"'312 "

31 T

efcek =

(ff) '

. E

efc

7 (L) Espessura (1)

S1 0 S2 0 0

3

3 =

xD

SDt c

ek3333

2332

=

Dc33

8 (L)

Espessura (2)

S2 0 S3 0 0

1

3 =

xE

SEte c

ek3311

2312

=

Ec11

9 (L)

Cisalhamento (1)

S4 0 0

1

1 =

xD

SDc

ek1155

2152

15 =

Dc55

10 (T)

Cisalhamento (2)

S6 0 0

1

1 =

xE

SEc

ek1155

2152 '

15 =

Ec55

11

Hidrosttico

(g)

33

22

TE

h

hh s

dk =

32

a) E

E

ss

11

12 - = - razo de Poisson. f) EEEEef cccc 1121211 ' /)( - =

b) . g) EEEEEef cccsc 332

13112

11 /)( - )1(/1 == 33312 dddh += ; c)

E

E

cc

11

12 - = ; ) - 1( ~ 233T33T33 k = . EEEEEh sssss 33131211 4)(2 +++=

d) ; . EE cceee 33133331'31 / - = ) - 1( 231T33Tef k =

e) . )/ - (1 111331"31

EE ccee =

2.4. REFERNCIAS

1. Jacques and Pierre Curie, Comptes Remdus 91, 294 (1880). Jacques and Pierre Curie, Comptes Remdus 93, 1137 (1881). 2. G. Lippman, An. Chim. Phys. 24, 145-178 (1881). 3. P. Langevin, French Patent 505.703 (1920).

P. Langevin, British Patent 145.691 (1921).

4. S. Roberts, Phys. Rev. 71, 890-895 (1947). 5. B. Jaffe, R. S. Roth, and S. Marzullo, J. Appl. Phys. 25, 809 (1954). B. Jaffe, R. S. Roth, and S. Marzullo, J. Res. Nat. Bur. Std. 55, 239-254 (1955). 6. B. Jaffe, W. R. Cook, and H. Jaffe in Piezoelectric Ceramics, Academic Press

London and N. York (1971).

7. IRE Standards on Piezoelectric Crystals, Proc. IRE 46, 764-778 (1958). 8. IRE Standards on Piezoelectric Ceramics, Proc. IRE 49, 1161 (1961). 9. IEEE Standards on Piezoelectricity, IEEE Trans. on Sonics and Ultrasonics SU-31(2)

(1984).

10. J. F. Nye, in Physical Properties of Crystals Claremdon Press Oxford (1957).

11. T. Ikeda, Fundamemtals of Piezoelectricity Oxford University Press Oxford, N. York and Tokio (1990).

12. W. G. Cady, in Piezoelectricity McGraw-Hill Book Company N.York and London (1946).

13. W. P. Mason, in Physical Acoustics Principles and Methods vol. 2, Academic Press London and N. York (1966).

14 A. W. Warner, M. Onoe, and G. A Coquin, J. Acoust. Soc. of Am. 42, 1223 (1967).

33

15. J. M. Herbert, em Ferroelectric Transducers and Sensors, Gordon and Breach Science Publishers, N. York London Paris (1982).

16. G. A Smolemkii, Sov. Phys. Sol. State 1, 150 (1950). 17. H. Ouchi, K. Nagano and S. Hayakawa, J. Am. Cer. Soc. 48, 630 (1965). 18. M. Takahashi, Jap. J. Appl. Phys. 10, 5 (1971). 19. S. Takahashi, FERROELECTRICS 41, 143 (1982). 20. P. V. Lambeck and G. H. Jonker, FERROELECTRICS 22, 729 (1978). 21. T. Yamamoto, H. Igarashi and K. Okazaki, J. Am. Cer. Soc. 66, 363 (1983). 22. S. Ikegami, I. Ueda, and T. Nagata, J. Acoust. Soc. of Am. 50, 1060 (1971). 23. H. Kawai, Jap. J. of Appl. Phys. 8, 975 (1969). 24. K. A Klicker, J. V. Biggers, and R. E. Newnham, J. Am. Cer. Soc. 64, 5 (1981). 25. T. R. Gururaja, W. A Schulze, L. E. Cross, and R. E. Newnham, IEEE Trans. Sonic

and Ultrasonics SU-32, 481 (1985). 26. J. R. Giniewicz, R. E. Newnham, and Safari, Ferroelectrics 66, 135 (19860. 27. R. E. Newnham, D. P. Skinner, and L. E. Cross, Mat. Res. Bull. 13, 525 (1978). 28. L. M. Levinson, em Electronic Ceramics Properties, Devices and Applications

Marcel Dekker, Inc. (1987).

29. K. A Klicker, W. A Shulze, and J. Biggers, J. Am. Cer. Soc. 65, C208 (1982). 30. M. E. Lines, and A M. Glass, em Principles and Applications of Ferroelectric

Materials Clarendon Press Oxford (1977).

31. IEEE Standards Definitions and Methods of Measurement for Piezoelectric Vibrators, IEEE 177 (1970).

34

Captulo 3

Transdutores de Ultra-Som: Modelagem, Construo e

Caracterizao

Eduardo Tavares Costaa Vera Lcia da Silveira Nantes Buttona

Ricardo Grossi Dantasa Hayram Nicacioa

Jorge Andr Giro Albuquerquea Joaquim Miguel Maiab Ricardo Tokio Higutic

aCentro de Engenharia Biomdica Departamento de Engenharia Biomdica

Faculdade de Engenharia Eltrica e de Computao Universidade Estadual de Campinas Unicamp

educosta@ceb.unicamp.br, vera@ceb.unicamp.br

bDepartamento Acadmico de Eletrnica Centro Federal de Educao Tecnolgica do Paran - CEFET-PR

c Laboratrio de Ultra-som

Departamento de Engenharia Eltrica Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira - Unesp

tokio@dee.feis.unesp.br

2

Contedo

3.1. INTRODUO...................................................................................................... 4 3.2. ONDAS ACSTICAS .......................................................................................... 5

3.2.1. Movimento Harmnico Simples ................................................................... 5 3.2.2. Ondas Transversais........................................................................................ 8 3.2.3. Ondas Longitudinais...................................................................................... 9 3.2.4. Velocidade, atenuao e impedncia acstica ........................................... 10

3.3. O CAMPO ACSTICO ...................................................................................... 12 3.3.1. Integral de Superfcie de Rayleigh.............................................................. 14 3.3.2. A Soluo de Zemanek................................................................................ 16

3.3.2.1. Simulao e visualizao do campo acstico de transdutores ultra-

snicos ................................................................................................................... 20 3.3.3. A Soluo de Tupholme .............................................................................. 21 3.3.4. A Soluo de Stepanishen ........................................................................... 23

3.3.4.1. Simulao e visualizao do campo acstico de transdutores ultra-snicos ................................................................................................................... 27

3.3.5. O Espectro de Diretividade ......................................................................... 31 3.3.5.1. Mtodo usando o Espectro de Diretividade ........................................... 33 3.3.5.2. O Mtodo.................................................................................................. 36 3.3.5.3. Hidrofone de Larga rea Ativa .............................................................. 41 3.3.5.4. Mapeamento Angular .............................................................................. 42

3.3.6. Retropropagao de Pulsos Mapeados pelo Espectro de Diretividade..... 44 3.4. CONSTRUO DE TRANSDUTORES DE ULTRA-SOM COM

CERMICAS PIEZOELTRICAS ........................................................................................ 46 3.5. TRANSDUTORES PIEZOCOMPSITOS....................................................... 67

3.5.1. Materiais Piezocompsitos.......................................................................... 67 3.5.2. Nomenclatura ............................................................................................... 68 3.5.3. Mtodos de fabricao................................................................................. 69 3.5.4. Modelagem e Projeto................................................................................... 70 3.5.5. Procedimento de Projeto.............................................................................. 72

3

3.6. MAPEAMENTO DE CAMPO ACSTICO DE TRANSDUTORES PIEZOELTRICOS.................................................................................................................. 76

3.6.1. Hidrofones Pontuais..................................................................................... 76 3.6.2. Tanque de Ensaios Acsticos...................................................................... 77 3.6.3. Posicionamento Tridimensional.................................................................. 79 3.6.4. O Programa de Controle.............................................................................. 81

3.6.5. Mapeamento Pontual de Campo Acstico ................................................. 81 3.6.6. Mapeamento Angular de Campo Acstico ................................................ 82

3.7. PRINCPIO DE FUNCIONAMENTO DOS EQUIPAMENTOS DE ULTRA-SOM ............................................................................................................................... 84

3.7.1. Equipamentos Funcionando no Modo Amplitude (A-mode).................... 86 3.7.2. Equipamentos Funcionando no Modo Brilho (B-Mode) .......................... 88

Aplicaes do modo B.............................................................................................. 93 3.8. REFERNCIAS ................................................................................................... 93

4

3.1. INTRODUO Ultra-som (US) pode ser definido como ondas acsticas imperceptveis ao ouvido

humano, ou seja, aquelas cujas freqncias so superiores a 20kHz. So vibraes mecnicas que se propagam em um determinado meio (ar, gua, sangue, tecido biolgico, materiais slidos etc.), sendo que cada material apresenta propriedades acsticas caractersticas como impedncia, velocidade de propagao e atenuao, por exemplo.

O transdutor o corao de todas as tcnicas baseadas em US. A maioria dos transdutores encontrados nos equipamentos comerciais de US baseada em cermicas

piezoeltricas, sendo elementos singulares (geralmente na forma de discos) ou matrizes com os elementos cermicos consecutivos diminutos (array transducers). A caracterizao destes transdutores importante e o levantamento do campo acstico por eles gerado essencial para o melhor entendimento da informao gerada pela interao do US com os diversos meios e tecidos (no caso de imagens mdicas ou nos ensaios no-destrutivos) [1].

Para entender o ultra-som como ferramenta de trabalho em muitos campos de atuao, neste captulo se far uma reviso sobre ondas acsticas, sua propagao e interao com os diversos meios, como so geradas e detectadas, e como podemos construir e caracterizar os transdutores que as produzem e detectam. Iniciaremos com uma reviso

sobre movimento harmnico simples e descreveremos as ondas acsticas e suas interaes. Mostraremos como construir um transdutor piezoeltrico de US, a instrumentao necessria para a excitao e deteco de ondas acsticas na faixa de ultra-som de 1-10MHz, as solues da Equao de onda e os mtodos para previso do campo acstico

gerado pelos transdutores piezoeltricos, a gerao e mapeamento do campo acstico de transdutores.

5

3.2. ONDAS ACSTICAS Lista de Smbolos: Seo 3.2

m massa

. constante elstica F fora u amplitude do deslocamento da partcula a acelerao da partcula f = 1/ freqncia de oscilao = 1/perodo de oscilao =2pif freqncia angular v, a velocidade e acelerao da partcula Ek, Ep Energia cintica, Energia potencial comprimento de onda c velocidade de propagao da onda

cZ =

impedncia acstica densidade do material

i , r., t. ngulos de incidncia, reflexo e transmisso pi, pr, pt presses de incidncia, refletida e transmitida R coeficiente de reflexo coeficiente de atenuao

3.2.1. Movimento Harmnico Simples

Uma das formas mais simples de oscilao, seja ela mecnica ou no, o movimento harmnico simples. Um sistema massa-mola pode ser utilizado para melhor compreenso do movimento harmnico simples, e sua Equao de onda anloga s oscilaes acsticas (harmnicas). Considere o sistema massa-mola representado na Figura 3.1, o qual pode ser considerado uma aproximao para o modelo de pisto fixado a um

anteparo rgido, que normalmente utilizado para representar um transdutor de ultra-som. Neste sistema, uma partcula de massa m apoiada sobre uma superfcie sem atrito, e

fixada a uma mola de massa desprezvel e constante elstica . Ao deslocar a partcula da sua posio de equilbrio, uma fora F atuar na partcula, sendo que esta fora definida pela lei de Hooke mostrada na Equao 3.1, sendo u a amplitude do deslocamento da partcula:

/F u = (3.1)

6

Esta fora F conhecida como fora de recuperao, pois age no sentido contrrio ao deslocamento, atuando na tentativa de reposicionar a partcula no ponto de equilbrio. A

magnitude desta fora diretamente proporcional amplitude do deslocamento da partcula. Esta relao diretamente proporcional que distingue o movimento harmnico simples se comparado a outras oscilaes mais complexas [2]. Aplicando a segunda lei de Newton Equao 3.1, tem-se a relao da Equao 3.2,

onde a a acelerao da partcula no tempo t. 2

2/d u

u ma mdt

= = (3.2)

Figura 3.1. Sistema Massa-Mola em Movimento Harmnico Simples

A Equao 3.2 pode ser reescrita na forma mostrada na Equao 3.3. 2

21 0d u u

dt m+ = (3.3)

A dimenso de 1/m [T -2]. A partcula completa um ciclo de oscilao em um perodo , que tem dimenso [T]; a freqncia f dada por f = 1/ de modo que 1/m tem a mesma dimenso de f 2. Assim, a Equao 3.3 pode ser escrita como a Equao 3.4, onde (bf)2 = 1/m, sendo b uma constante [2].

22

2 ( ) 0d u bf udt

+ = (3.4)

7

H duas solues possveis para a Equao 3.4:

cos( ) cos( )u A bft A t= = (3.5) sen( ) sen( )u B bft B t= = (3.6)

Estas solues satisfazem a Equao 3.4 porque da Equao 3.5 tem-se que 2

22 cos( )

d u A tdt

= e da Equao 3.6 tem-se que 2

22 sen( )

d u B tdt

= , onde A e B so

constantes de mesma dimenso de u, e = bf = 2pif, onde define a freqncia angular do sistema. Portanto, a soluo geral para a Equao 3.4 dada pela superposio das

equaes 3.5 e 3.6 mostrada na Equao 3.7.

cos( ) sen( )u A t B t = + (3.7) Considerando as constantes A = u0 sen e B = u0 cos, onde u0 = (A2 + B2)1/2, e

tambm constante, a Equao 3.7 pode ser escrita da forma simplificada na Equao 3.8.

0 0

0

sen cos cos sen

sen( )u u t u t

u t

=

= (3.8)

A velocidade e a acelerao da partcula podem ser obtidas por primeira e segunda derivadas da Equao 3.8, respectivamente.

0

20

cos( )

sen( )

duv u t

dtdv

a u tdt

= =

= =

(3.9)

Considerando que a energia armazenada no sistema permanece constante, por no haver, neste caso, perdas por atrito ou outra forma de dissipao, a energia potencial armazenada dada pela Equao 3.10 e a energia cintica pela Equao 3.11.

2

0

/ 2u

puE du u = = (3.10)

2 / 2kE mv= (3.11) A energia total armazenada pode ser obtida pela Equao 3.12.

2 2

2 20 0

/ 2 / 2ou

/ 2 ( ) / 2

p kE E E u mv

E u m u

= + = +

= =

(3.12)

8

Dependendo da direo da propagao em relao vibrao das partculas, as principais formas de oscilaes acsticas podem ser caracterizadas como transversais ou

longitudinais.

3.2.2. Ondas Transversais

A propagao de uma onda acstica, molcula a molcula, ocorre de forma anloga ao do sistema massa-mola apresentado na seo anterior. Para facilitar o entendimento da propagao de ondas transversais, ser utilizado o sistema mais conhecido deste tipo de propagao, que a vibrao de uma corda.

Considere uma corda comprida e fina fixada em uma das extremidades. A outra extremidade acoplada a um oscilador, de modo que esta extremidade se mova em movimento harmnico simples ao longo de uma linha perpendicular ao eixo z mostrado na Figura 3.2. As vibraes se propagam ao longo da corda, e desta forma, a energia transmitida pela corda a uma velocidade finita. A onda que se propaga em uma corda uma

onda transversal, porque as partculas (cada elemento da corda) oscilam em uma direo normal direo de propagao da onda.

Figura 3.2. Onda transversal em uma corda: (a) Distribuio espacial no instante t; (b) Distribuio temporal na posio z.

A Figura 3.2(a) representa a variao do deslocamento no espao em um determinado instante de tempo t. O comprimento de onda corresponde menor distncia no eixo z entre duas partculas cujas amplitudes de deslocamento sejam idnticas. E a

9

Figura 3.2 (b) representa a variao no tempo em uma determinada posio z do espao (no caso unidimensional). O perodo corresponde ao tempo necessrio para a onda percorrer uma distncia , ou seja, a onda completa um ciclo de oscilao, sendo a freqncia f = 1/. A velocidade c de propagao da onda igual distncia percorrida em uma

unidade de tempo, ou seja, c = f. = /.

3.2.3. Ondas Longitudinais

Outro modo de propagao de ondas ocorre nas ondas longitudinais, no qual as partculas do meio oscilam na mesma direo em que a onda se propaga. Neste contexto, uma partcula um elemento de volume grande o suficiente para conter milhes de molculas, de modo que seja contnuo em relao sua periferia, e pequeno o bastante para que grandezas como os deslocamentos de amplitude sejam constantes nesta partcula. A oscilao das partculas determina variaes peridicas na presso no meio na medida em que as partculas interagem entre si, como ilustrado na Figura 3.3.

Figura 3.3. Onda longitudinal em um meio extenso: (a) distribuio espacial da amplitude de deslocamento e do espaamento entre partculas no instante t; (b) distribuio temporal da amplitude de

deslocamento na posio z.

10

3.2.4. Velocidade, atenuao e impedncia acstica De forma semelhante aos efeitos que ocorrem com radiaes eletromagnticas, as ondas sonoras sofrem reflexo, refrao e absoro causadas pelo meio onde se propagam. A velocidade de propagao de uma onda sonora em um determinado meio funo de seu comprimento de onda:

fc = (3.13)

onde: c a velocidade do som no meio (m/s); o comprimento de onda (m); f a freqncia sonora (Hz).

Outro parmetro que caracteriza um determinado material sua impedncia acstica, definida por:

cZ = (3.14)

onde:

Z a impedncia acstica (kgm/ls ou 10-3kg/m2s); a densidade do material (g/ml); c a velocidade do som no meio (m/s).

Estes dois parmetros (velocidade de propagao e impedncia acstica) so importantes no estudo do comportamento de uma onda sonora na interface entre dois meios

compostos por materiais distintos. A Figura 3.4 ilustra uma onda, que se propaga no meio 1, atingindo o meio 2, resultando numa parcela refletida e outra transmitida, ambas sofrendo desvio de direo [2-4].

11

Figura 3.4 Comportamento de uma onda acstica na interface de dois meios distintos.

Pode ser observado que, para uma interface plana, o ngulo de reflexo igual ao

de incidncia: i = r. J o ngulo de transmisso relaciona-se com o de incidncia em funo das velocidades de propagao dos meios 1 e 2 (c1 e c2) pela seguinte frmula:

2

1

sen

sen

c

c

t

i=

(3.15)

A parcela da presso da onda incidente (pi) que refletida (pr) dada pelo coeficiente R, segundo a seguinte relao:

ti

ti

r

i

ZZZZ

ppR

coscos

coscos

12

12

+

== (3.16)

ou para incidncia normal em relao interface (i = r = t = 0):

12

12

ZZZZ

pp

Rr

i

+

== (3.17)

A atenuao outro parmetro importante, pois trata do decaimento exponencial da amplitude de uma onda acstica que se propaga atravs de um material. Vrios fatores contribuem para a atenuao das ondas acsticas, podendo-se citar:

Divergncia do feixe em relao ao eixo central (o que provoca uma diminuio da energia por unidade de rea);

12

Espalhamento devido no homogeneidade do meio (uma parcela da energia se desvia da direo de propagao inicial);

Converso em outros modos de vibrao resultando no compartilhamento da energia com duas ou mais ondas propagando-se com velocidades e sentidos diferentes;

Absoro pelo meio, onde parte da energia convertida em calor, principalmente devido

s foras de atrito que agem em oposio ao movimento das partculas;

O coeficiente de atenuao dado por:

baf=

(3.18) onde:

o coeficiente de atenuao (dB/cm); f a freqncia (MHz); a o coeficiente de atenuao para 1MHz; b o parmetro correspondente dependncia de atenuao com a freqncia.

3.3. O CAMPO ACSTICO Lista de Smbolos: Seo 3.3

a raio do transdutor ngulo de divergncia do feixe na regio de campo distante

z = a2/ limite entre campo prximo e campo distante ( )t,r potencial velocidade ( )trvn ,0 velocidade na face de um pisto plano

),( trp presso r

posio no campo acstico S superfcie do pisto plano R distncia de um elemento do pisto dS at um ponto de observao no

espao r k = / c nmero de onda, constante de propagao

D() fator de diretividade J1(.) funo de Bessel de primeira ordem D(k) espectro de diretividade

( , )Df k L

fator de deslocamento L distncia percorrida pela onda P(x,z) projeo da distribuio espacial de um pulso ultra-snico ( , , , )p x y z t no

instante de tempo t=0 e no plano (x,z)

13

A descrio do campo acstico produzido por um transdutor pode ser feita

considerando-o geralmente dividido em duas regies ao longo do eixo de propagao da onda. Uma fica limitada s vizinhanas do transdutor, denominada regio de campo prximo ("nearfield region") ou regio de difrao de Fresnel. A outra conhecida como regio de campo distante ("farfield region") ou regio de Fraunhofer. A regio de campo prximo caracteriza-se pela ocorrncia de superposio entre as ondas de borda (geradas na periferia do transdutor) e as ondas diretas (geradas a partir de toda a face do transdutor). Como estas ondas podem ter amplitude e fase diferentes h interferncia construtiva e destrutiva provocando mximos e mnimos na intensidade do campo acstico. Nesta regio h pouca divergncia do

feixe ultra-snico. Na regio de campo distante, a diferena de fase entre as ondas de borda e a direta no so to evidentes e a interferncia construtiva de maneira a formar uma frente de onda quase plana que atenua medida que se propaga no meio, distanciando-se da fonte. Nesta regio o campo tende a ser divergente [5, 6]. A Figura 3.5 mostra a propagao de uma onda acstica gerada por um transdutor, onde pode ser observado que, medida que a mesma se distancia da fonte, as ondas de borda tendem a se propagar em fase com a onda direta.

t = 1s t = 10 s t = 35 s Figura 3.5 Propagao de ondas acsticas geradas a partir de um transdutor circular, mostrando a

interao entre as ondas de borda (geradas na periferia do mesmo) e a onda direta. medida que o tempo passa (aumenta a distncia da fonte geradora) as ondas de borda tendem a se propagar em fase com a onda

direta. A Figura 3.6 mostra de maneira esquemtica a separao entre as regies de campo prximo e de campo distante ao longo do eixo axial de um transdutor circular de raio a, onde o

ngulo de divergncia do feixe na regio de campo distante dado aproximadamente por: = sin-1(0,61 /a). A maioria dos autores considera o ponto de separao entre as duas regies

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(ltimo mximo na intensidade da presso) como ocorrendo a uma distncia axial z = a2/, porm Zemanek [7] mostrou que esta transio ocorre a uma distncia menor (z = 0,75a2/).

Figura 3.6 - (a) Seo longitudinal atravs do feixe ultra-snico gerado por um transdutor circular de raio a. (b) Variao da intensidade de presso ao longo do eixo axial do transdutor.

Para se entender a descrio dos campos acsticos como mostrado nas Figuras 3.5 e 3.6, descreve-se a seguir como possvel visualizar-se o campo ultra-snico a partir da integral de Rayleigh e as solues desta integral propostas por Zemaneck (para onda contnua), por Tupholme e por Stepanishen (para campos pulsados ou contnuos). H ainda uma segunda abordagem, que a do mtodo do espectro de diretividade, que permite no s a simulao e visualizao de campos contnuos ou pulsados, como tambm uma forma diferenciada (simulada e experimental) de mapeamento do campo acstico de transdutores usando hidrofones de larga rea ativa (LAH large aperture hydrophone).

3.3.1. Integral de Superfcie de Rayleigh

Uma das primeiras investigaes sobre a perturbao acstica causada pelo movimento de um pisto acoplado a um anteparo rgido, em meio fluido, de extenso semi-infinita, foi conduzida por Rayleigh no sculo XIX. Seus estudos aplicavam-se a

oscilaes harmnicas de um pisto de forma arbitrria. Aps Rayleigh, muitos autores se dedicaram ao estudo do problema do pisto rgido, sendo que a maior parte da literatura

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sobre o assunto dedicada a pistes circulares cujas pequenas oscilaes so harmnicas [8]. A integral de Rayleigh, mostrada na Equao 3.19, define o potencial velocidade como uma funo do tempo e do espao, e conhecida no domnio do tempo e da freqncia, sendo sua transformada de Laplace mostrada na Equao 3.20.

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