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Seminários de Ensino de
Matemática – SEMA
Faculdade de Educação – USP
30 setembro 2008
Prof. Luiz Márcio P. Imenes
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Proporcionalidade: um
tratamento funcional
(para ser desenvolvido ao longo de muitos anos de
escolaridade!)
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Sumário
1. Proporcionalidade: relevância do tema
2. O tratamento clássico
3. Crítica ao tratamento clássico
4. Um tratamento alternativo
5. Bibliografia
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1. Proporcionalidade: relevância
do tema
“A proporcionalidade é, provavelmente, a
noção matemática mais difundida na
cultura de todos os povos e seu uso
universal data de milênios.”
(A Matemática do Ensino Médio, v.1, p. 92)
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A) São comuns as situações da vida cotidiana nas quais proporcionalidade (ou sua ausência!), tem presença.
• Compra e consumo (desconto na compra de várias unidades; consumo de água; embalagem mais vantajosa; economia de escala)
• Cálculo mental
• Porcentagens
• Estimativas (altura de edifício; número de parafusos)
• Preparo de receita
• Diluição: pó para gelatina (1 pacotinho para 2 copos de água); leite em pó (2 colheres de sopa para 1 copo de água)
• Quantidade de carne para o churrasco (250g/pessoa)
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• Escala (mapas, plantas e maquetes)
• Consumo de combustível (km/L)
• Quantidade de ração animal (ou de remédio) por quilograma de massa
• Idade de cães (1ano deles corresponde a 8 nossos)
• Troca de óleo do câmbio (1 volta da manivela corresponde a x litros)
• Produtividade por hectare plantado
• Densidade demográfica
• Número de pessoas em aglomerações
• Divisão (de lucro) em partes proporcionais
• Declividade (rampas, estradas, telhados)
• Juro (aplicações financeiras; empréstimos bancários; multas)
• Cálculo do 13º salário
• Tempo dos partidos políticos na propaganda eleitoral via televisão
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B) Há inúmeros conceitos, tópicos e idéias da Matemática relacionados com
proporcionalidade:
• Multiplicação e divisão
• Equivalência de frações
• Porcentagem
• Média ponderada
• Relações entre unidades de medida
• Semelhança geométrica e homotetia
• Teorema de Tales; divisão em partes proporcionais
• Divisão áurea
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• Perímetro da circunferência
• Razões trigonométricas
• Relação entre arco de circunferência e ângulo central correspondente
• Relação entre corda de circunferência e ângulo central correspondente
• Função linear (modelo matemático para os problemas de proporcionalidade)
• Funções (taxa de variação; interpolação linear; sen2a ≠ 2sena)
• Estatística (análise de tabelas; construção de gráficos; noção de amostra)
• Probabilidade
• Volume de cilindros e de cones
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C) Proporcionalidade é noção fundamental
em muitos outros campos.
• Física
Densidade; vazão; empuxo de Arquimedes;
engrenagens; alavancas; velocidade e
aceleração; lei da gravitação universal; lei de
Hook; leis relativas à dilatação térmica; leis de
óptica; leis de eletricidade
• Artes
Ampliação e redução de figuras; deformações
intencionais (El Greco, Portinari)
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• Biologia
Controle do número de exemplares de espécies
ameaçadas; proporções no corpo humano;
porque não existem gigantes
• Química
Estudo dos gases; balanceamento de reações
• Geografia
Escala; densidade demográfica; declividade de
encostas
• Engenharia, Economia, Arquitetura,
Medicina, ...
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2. O tratamento clássico
• As proporções são apresentadas aos
alunos por volta da 6ª série (7º ano).
• Dedicam-se um ou dois meses a esse
estudo.
• Os diversos tópicos são apresentados de
uma só vez, num só momento.
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• Em essência, são tratados, nesta ordem,
os seguintes tópicos:
Definição de razão
Definição de proporção como igualdade de
razões
Propriedades das proporções
Grandezas diretamente proporcionais
Grandezas inversamente proporcionais
Regra de três simples
Regra de três composta
Juro simples
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3. Crítica ao tratamento clássico
• A experiência docente e investigações em
Educação Matemática mostram que os
alunos encontram obstáculos significativos
na aprendizagem de proporcionalidade por
meio da abordagem clássica.
• Estudos da professora Luciene S. Botta
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• Pesquisa realizada por equipe do Projeto
Fundão (IM/UFRJ) sob a coordenação da
professora Lúcia A. de A. Tinoco: “(...) não se
deve impor a solução dos problemas de
proporcionalidade direta pela igualdade de duas
razões (...)”
• O ensino de proporcionalidade foi debatido em
uma série de artigos dos professores Geraldo
Ávila e Elon Lages Lima publicados na Revista
do Professor de Matemática. Dessa discussão
se depreende o arcaísmo da abordagem
tradicional.
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• A caracterização da proporcionalidade por meio da igualdade de razões deriva da teoria das proporções de Eudoxo (cerca de 408-355 a.C.), que figura no livro V do Elementos de Euclides. A teoria original se destinava a contornar o problema de expressar a razão entre segmentos incomensuráveis. Essa razão é um número irracional, mas os matemáticos gregos da época não aceitavam a existência de números desse tipo. Dessa dificuldade surge uma teoria muito elaborada e cheia de sutilezas, a qual, ainda que constitua uma notável conquista do espírito matemático dos gregos, perdeu sua função quando Dedekind, no final do século XIX, elaborou uma teoria dos números reais.
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4. Um tratamento alternativo
Proporcionalidade é idéia unificadora.Une e relaciona conteúdos individuais; revela princípios gerais.Portanto, não é assunto para ser tratado num instante particular. É tema para ser estudado continuamente, promovendo a integração de diferentes conteúdos presentes em campos variados.
(Ver BOTTA, p. 112/113)
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• Deve-se pensar proporcionalidade como
tema de estudo ao longo de toda a escola
básica (12 anos versus 1 bimestre)
• Desde as séries iniciais podem ser
exploradas relações multiplicativas
presentes em situações variadas, no
cálculo mental, na geometria e nas
medidas.
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Detalhamento da proposta
Como referência aproximada, serão
consideradas as seguintes fases de
trabalho:
• 1º, 2º e 3º anos do ensino fundamental
• 4º e 5º anos
• 6º e 7º anos
• 8º e 9º anos
• 1º, 2º e 3º anos do ensino médio
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1º, 2º e 3º anos do fundamental
Exemplos de atividades e problemas:
• Explorar vocabulário: metade; dobro; triplo; uma vez, duas vezes, três vezes ...
• Repartir 10 balas igualmente entre duas pessoas (repartir ao meio)
• André a Ana colecionam chaveiros. André possui 7 chaveiros. Ana tem o dobro de André. Quantos chaveiros ela tem?
• Desenhe 4 flores. Faça isso 3 vezes.
• Três vezes 4 flores, quantas flores são?
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• Uma garrafa de água enche 5 copos
iguais. Duas dessas garrafas, quantos
desses copos encherão? E três garrafas?
• Na padaria, 3 balas custam 25 centavos.
Quanto custam 6 balas? E 9 balas?
(organizar tabela)
• Cálculo mental:
“Uma pista: 3 vezes 8 dá 24. Quanto dá 6
vezes 8?”
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4º e 5º anos
Exploram-se situações variadas “com e sem proporcionalidade”. Exemplos:
• Ampliação e redução de figuras em malha quadriculada
• O pedreiro prepara a argamassa. Para cada lata de cimento, ele mistura 7 latas de areia. Se puser 2 latas de cimento, quantas serão as de areia? E se puser 5 latas de cimento? (organizar tabela)
• Mercado de trocas
• Preparo do leite em pó
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• Capacidade e forma dos recipientes
• Perímetros e áreas
• Problemas variados
• Um metro tem 100 cm. Dois metros têm .... cm;
três metros têm ... cm.
• Um quadrado com lado de 1 m contém 10000
cm2. Um quadrado com lado de 2 m contém
20000 cm2?
• Cálculo mental de porcentagem
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6º e 7º anosProssegue a exploração de situações “com e sem proporcionalidade”.
• Malha quadriculada: deformações; ampliação e redução de figuras
• Um automóvel estaciona em um posto de gasolina com o tanque praticamente vazio. Depois de ser abastecido com 42 L de combustível, o marcador indica que ¾ do tanque estão cheios. Qual é a capacidade do tanque?
• Carlos recebia um salário de R$ 800,00 e conquistou um aumento de 12%. Qual passou a ser seu salário?
• Equivalência de frações
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São explicitadas as relações de
proporcionalidade direta e de
proporcionalidade inversa.
Considere-se uma situação em que a variação da
grandeza A acarreta a variação da grandeza B.
Suponhamos que essa variação ocorra deste modo: se a
grandeza A dobra, a grandeza B também dobra; se A
triplica, B também triplica e assim por diante. Assim,
temos um padrão que relaciona as duas grandezas: se a
grandeza A é multiplicada por um número, a grandeza B
é multiplicada pelo mesmo número.
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Tabela como recurso na resolução de
problemas: relações multiplicativas entre
linhas e entre colunas• Para fazer 6 pães, gastam-se 1800 g de farinha. Quanto
se gasta para fazer 5 pães?
• Análise de situações variadas
Regra de três como equação de 1º grau • A pé, de casa até a escola, eu percorro 840 m em 11
minutos. Vou mudar de casa e a distância de minha nova
casa à escola passará a ser de 1800 m. Quanto tempo
vou levar para fazer o trajeto?
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8º e 9º anos
Exploram-se relações e temas mais
complexos• Relação entre ângulo e cateto oposto a ele num
triângulo retângulo
• Relação entre arco de circunferência e ângulo
central correspondente
• Relação entre corda e ângulo central
correspondente
• Semelhança e proporcionalidade
• Trigonometria no triangulo retângulo
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• Teorema de Tales
• Divisão em partes proporcionais
• Perímetro da circunferência
• Comprimento de arco de circunferência
• Área de setor circular
• Volume de prismas e cilindros
• Proporcionalidade envolvendo três ou mais
variáveis (“regra de três composta”)
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1º, 2º e 3º anos do ensino médio
A função linear, y = kx, consolida-se como
modelo matemático para
proporcionalidade direta e a função y = k/x
como modelo para a proporcionalidade
inversa.
Presença em variados temas da
Matemática, Física, Química, Biologia etc.
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5. BibliografiaÁVILA, G. Grandezas incomensuráveis e números irracionais. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, n. 5, p.6-11, 1984.
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______. Razões, proporções e regra de três. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, n. 8, p.1-8, 1986a.
______. Ainda sobre a regra de três. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, n. 9, p.1-10, 1986b.
BOTTA, L. S. Números racionais e raciocínio proporcional: considerações sobre o ensino-aprendizagem. 1997. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 1997.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: SEF/MEC, 1998.
FERREIRA, M.C.C.; GOMES, M. L. M. O raciocínio proporcional no contexto da avaliação das habilidades matemáticas pelo 2º INAF (in Letramanto no Brasil – Habilidades matemáticas) São Paulo: Global, 2004.
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IMENES L. M.; LELLIS, M.; MILANI E. Matemática para conhecer o mundo (1º ao 5º anos). São Paulo: Moderna, 2008.
IMENES L. M.; LELLIS, M. Matemática Paratodos (6º ao 9º anos). São Paulo: Scipione, 2001.
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JAKUBOVIC, J.; IMENES L. M.; LELLIS, M. Proporções. Coleção Pra que serve Matemática? São Paulo: Atual, 1992.
LIMA, E. L. Que são grandezas proporcionais? Revista do Professor de Matemática, São Paulo, n. 9, p. 21-29, 1986.
______. Novamente a proporcionalidade. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, n. 12, p. 8-12, 1988.
______ (e outros). A Matemática do Ensino Médio, v.1.
TINOCO, L. A. de A. Como e quando os alunos utilizam o conceito de proporcionalidade. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, n. 14, p. 8-16, 1989.