Seminário de Física Relatório final · Embora se atribua a formulação desta teoria a este...

Seminário de Física 2007/2008________________________________Relatividade: Dilatação do tempo

Alexandra Sofia Moreira (E.F.Q.) _____________________________________________________

1

Seminário de Física

Relatório final

“Relatividade – Dilatação do tempo”

Trabalho realizado por:

Alexandra Sofia Moreira (E.F.Q.)



2

Índice:

1. Introdução..................................................................................................................... 1

2. A era pré-Einstein......................................................................................................... 1

2.1 A transformação de Galileu.................................................................................... 1

2.1.1 A invariância da distância ............................................................................... 2

2.1.2 A invariância do tempo ................................................................................... 3

2.1.3 A transformação da velocidade ....................................................................... 3

2.1.4 A invariância da aceleração............................................................................. 4

3. O que é a Teoria da Relatividade Restrita? .................................................................. 5

3.1 De onde provém a Teoria da Relatividade ............................................................. 5

3.2 A velocidade da luz, c............................................................................................. 5

3.2.1 A experiência de Michelson-Morley ............................................................... 6

3.2.2 Montagem experimental .................................................................................. 6

3.2.3 Implicações da experiência: postulados de Einstein e a Relatividade Restrita 8

4. A transformação de Lorentz ......................................................................................... 9

4.1 Consequências da transformação de Lorentz ....................................................... 13

4.1.1 Simultaneidade .............................................................................................. 13

4.1.2 Dilatação do tempo........................................................................................ 14

4.1.3 Contracção do espaço .................................................................................... 15

5. Explicação da dilatação do tempo usando diagramas espaço-tempo ......................... 16

5.1 Como construir um diagrama de Minkowski? ..................................................... 17

5.2 Intervalo de tempo próprio ................................................................................... 19

5.3 O paradoxo dos gémeos........................................................................................ 20

6. Explicação da dilatação do tempo em contexto de sala de aula ................................. 24

6.1 A dedução da dilatação do tempo usando raios de luz ......................................... 24

6.2 A dilatação do tempo e a desintegração do muão ................................................ 26

6.2 O descanso dos astronautas numa nave espacial .................................................. 28

7. Bibliografia................................................................................................................. 30



1

1. Introdução Este relatório de Seminário de Física é referente ao tema da relatividade restrita,

nomeadamente da dilatação do tempo e suas aplicações pedagógicas adequadas à última

unidade curricular do 12º ano da disciplina Física.

Relacionadas com este tema temos aplicações práticas da teoria da relatividade restrita

e, no caso particular da dilatação do tempo, podem-se referir, por exemplo, o paradoxo

dos gémeos, o trajecto da luz num comboio em movimento e as viagens espaciais.

É, assim, importante que os alunos tenham conhecimento da aplicabilidade desta, e de

outras teorias físicas, de modo a terem a percepção da ligação intrínseca entre

conhecimento científico académico e o que acontece no mundo que os rodeia,

nomeadamente no muito útil GPS.

2. A era pré-Einstein

2.1 A transformação de Galileu

A relatividade de Galileu aplica-se bastante bem à maioria dos fenómenos que ocorrem

no nosso dia-a-dia e, como tal, uma grande parte da mecânica assenta nestes princípios.

Por esse motivo, Newton baseou-se nos fundamentos da física da relatividade de

Galileu para elaborar as suas três leis do movimento, que são supostas válidas quando

observadas de um referencial inercial qualquer, satisfazendo, portanto, o princípio de

Galileu, de que nenhum referencial inercial é privilegiado.

Assim sendo, suponha-se que um acontecimento A ocorre num instante de tempo t no

ponto de coordenadas (x,y,z), relativas a um referencial de inércia R. Suponhamos que

se pretende determinar as coordenadas (t’,x’,y’,z’) de A, relativas a um outro referencial

de inércia R’, que se move com velocidade v, relativamente a R. Por simplicidade,

supõe-se que o movimento relativo se faz segundo a direcção do eixo dos xx e que os

eixos se mantêm sempre paralelos.



2

Figura 1 – Esquema de dois referenciais: R e R’

Tal como a figura mostra, temos:

vtxx −='

yy ='

zz ='

E onde se deve juntar o facto que traduz o carácter absoluto do tempo na relatividade de

Galileu:

tt ='

2.1.1 A invariância da distância

Considerem-se os pontos P1 e P2 cujas coordenas num referencial de inércia R onde se

tem que ax =1 , 011 == zy e bx =2 , 022 == zy , respectivamente, sendo a distância

entre os dois pontos é igual a ab − .

Seja R’ um outro referencial de inércia, movendo-se relativamente a R segundo a

direcção do eixo dos xx com velocidade v, mantendo-se os eixos sempre paralelos.

Relativamente a este referencial os pontos P1 e P2 movem-se de acordo com as

equações seguintes obtidas usando as transformações 2.1 e 2.2

''1 vtax −=

''2 vtbx −=

(2.1)

(2.2)



3

Suponha-se que os observadores em R’ medem a posição do ponto P1 no instante '1t e a

do ponto P2 no instante '2t . A diferença das duas leituras é dada por:

)( '1

'2

'1

'2 ttvabxx −−−=−

Assim, se tivermos '

1'2 tt = vemos que abxx −=− '

1'2 , ou seja, a separação espacial

entre dois acontecimentos que ocorrem no mesmo instante (são simultâneos) é

invariante. Porém, na relatividade de Einstein verificar-se-á que isto, de facto, não é

verdadeiro.

2.1.2 A invariância do tempo

Considere-se, agora, que os observadores de ambos os referenciais sincronizam os seus

relógios, de modo a serem capazes de medir os respectivos intervalos de tempo para

dois acontecimentos diferentes. Supondo que os observadores em R medem a posição

do ponto P1 no instante 1t e a do ponto P2 no instante t2, e que os observadores em R’

medem a posição do ponto P1 no instante '1t e a do ponto P2 no instante '

2t , tem-se, pela

teoria de Galileu que:

tt ∆=∆ '

Assim, se se considerar que a distância entre os pontos P1 e P2 é constante, tem-se que o

intervalo de tempo entre dois acontecimentos é um invariante, ou seja, dois referenciais

diferentes medem, entre os mesmos acontecimentos, o mesmo intervalo de tempo.

2.1.3 A transformação da velocidade

Suponha-se que um ponto se move numa recta com velocidade uniforme ),,( zyx vvvv = ,

medida num referencial de inércia R. Se o ponto partir da origem no instante t, as

equações do movimento são dadas por:

tvz

tvy

tvx

z

y

x

=

=

=



4

Seja agora R’ um outro referencial de inércia, que se move com velocidade v,

relativamente a R, mantendo-se os eixos sempre paralelos. Usando as equações 2.1 e 2.2

para obtermos '''' ,,, tzyx em função de tzyx ,,, , surge:

''

''

'''

tvz

tvy

tvvtx

z

y

x

=

=

=+

Que, resolvendo em ordem às coordenadas do referencial R’, fica:

''

''

')('

tvz

tvy

tvvx

z

y

x

=

=

−=

Assim sendo, estas equações descrevem um movimento rectilíneo uniforme com

velocidade constante ),,(' '''zyx vvvv = , onde temos:

zz

yy

xx

vv

vv

vvv

=

=

−=

'

'

'

Sendo este conjunto de equações conhecido como a lei da adição das velocidades.

2.1.4 A invariância da aceleração

De acordo com as equações 2.3, as velocidades do movimento do ponto diferem de uma

constante v. Portanto, as acelerações são as mesmas em ambos os referenciais, ou seja,

aa ='

A aceleração e consequentemente a força exercida num corpo, de acordo com a 2ª lei de

Newton, são universais para referenciais inerciais.

(2.3)



5

3. O que é a Teoria da Relatividade Restrita?

3.1 De onde provém a Teoria da Relatividade

A Teoria da Relatividade Restrita proposta em 1905 e a Teoria da Relatividade Geral

formulada em 1915 por Einstein1 deram origem a uma revolução científica,

modificando os conceitos de espaço e tempo, matéria e energia. Ambas as teorias foram

determinantes para explicar fenómenos físicos que ocorrem a altas energias e

fenómenos que envolvem a interacção gravítica, no caso da Relatividade Geral.

Embora se atribua a formulação desta teoria a este génio da física, parte do seu trabalho

foi precedido na última década do século XIX pelos estudos de Lorentz2 e Poicaré, entre

outros cientistas não menos importantes. Esta teoria tem como base a teoria

electromagnética de Maxwell e a mecânica clássica de Newton, sendo que o termo

“relatividade” advém do facto de que esta trata das relações existentes entre observações

feitas por observadores em movimento relativo e suas implicações ao nível da

cinemática e da dinâmica.

3.2 A velocidade da luz, c

Desde a Grécia antiga que se acreditava que no Universo existia um material que

ocupava o espaço vazio que nos rodeava, o éter. Até ao final do século XIX os físicos

afirmavam que este éter hipotético vibrava e estas vibrações eram semelhantes às que

ocorriam no ar aquando da propagação do som.

Medidas efectuadas rigorosamente determinaram que a velocidade da luz no vazio, c, é

2, 9979 x 108 m/s e admitindo a existência do tal éter estacionário, a luz movia-se em

relação a este com essa mesma velocidade. Contudo, se a Terra se movesse através do

éter com velocidade v, então a velocidade de propagação da luz relativamente à Terra

teria valores diferentes consoante o sentido em que estas se movimentassem uma em

relação à outra. No caso simples da Terra e da luz se moverem na mesma direcção e no

1 Albert Einstein (1879 – 1955). Físico alemão radicado nos Estados Unidos mais conhecido por desenvolver a teoria da relatividade. Ganhou o Prémio Nobel da Física de 1921 pela correcta explicação do efeito fotoeléctrico, no entanto, o prémio só foi anunciado em 1922. 2 Hendrik Antoon Lorentz (1853 – 1928). Físico holandês que derivou as conhecidas transformações de Lorentz que Albert Einstein interpretou como sendo capazes de descrever a verdadeira natureza do espaço e do tempo na Teoria da Relatividade Restrita.



6

mesmo sentido, e usando as transformações de Galileu, a velocidade da luz em relação à

Terra seria dada pela expressão vc − . Pelo contrário, se os movimentos relativos

fossem efectuados na mesma direcção mas sentidos opostos, a luz teria velocidade dada

pela expressão vc + . Na verdade, isto não acontece e a luz tem sempre a mesma

velocidade em qualquer referencial que se escolha e isto foi provado através de

experiências realizadas em 1881 por Albert Michelson e Edward Morley.

3.2.1 A experiência de Michelson-Morley

As experiências de Michelson-Morley tinham como intuito de verificar se a velocidade

da luz variava com o movimento da Terra, usando uma espécie de interferómetro capaz

de observar a interferência da luz. Com isto pretenderam medir a velocidade da Terra

em relação ao hipotético éter e chegaram à conclusão que, independentemente das

várias condições impostas, a velocidade da luz tinha sempre o mesmo valor,

contrariando, assim, as suposições de Galileu que dizia que era impossível um corpo ter

a mesma velocidade relativamente a dois observadores em movimento relativo e

uniforme. Os resultados desta experiência foram bastante importantes uma vez que

conduziram Einstein a refutar a ideia da existência do tal éter e a propor a lei universal

da natureza que afirma que “a velocidade da luz é uma constante física que,

consequentemente, tem o mesmo valor para todos os observadores em movimento

rectilíneo e uniforme”.

3.2.2 Montagem experimental

A montagem da experiência efectuada por Michelson e Morley encontra-se

esquematizada na figura 2, onde S representa uma fonte de luz monocromática, M1 e M2

são dois espelhos colocados à mesma distância L’ de uma lâmina de vidro P, medida

por um observador da Terra, ou seja, '21 LPMPM == . Deste modo, a luz proveniente

da fonte S, quando atinge P onde é parcialmente transmitida para M1 e parcialmente

reflectida para M2, modificando a sua trajectória, acabando, eventualmente, por chegar

aos olhos do observador situado em O’. Há a salientar o facto de que a trajectória de luz

que se encontra esquematizada na figura 2 é referente ao sistema X’Y’Z’ que se move

em conjunto com a Terra e em relação à qual o interferómetro se encontra em repouso.



7

Figura 2 – Trajectórias da luz na experiência de Michelson-Morley

Consideremos que o éter existe de facto e c é a velocidade da luz que um observador O,

em repouso relativamente ao éter, situado na Terra, e v a velocidade da Terra

relativamente ao dito éter. Orientemos, agora, o interferómetro de modo a que a linha

PM1 seja paralela ao movimento da Terra de modo a podermos usar as transformações

de Galileu de forma a determinar a velocidade da luz com várias trajectórias

relativamente à Terra. No caso da luz se deslocar de P para M1, obtém-se uma

velocidade relativa dada pela expressão vc − , ao passo que se esta se deslocar de M1

para P a velocidade relativa já tem uma expressão diferente, ou seja, vc + . Por fim,

caso a luz siga de P para M2, ou vice-versa, a expressão torna-se 2

122 )( vc − . Com estes

dados podemos, então, calcular o tempo que a luz demora a percorrer os trajectos de P

para M1 e de M1 para P e que é medido pelo observador que se encontra na Terra, O’.

Sendo assim, o tempo medido pelo observador O’ é dado pela expressão:

2

2221 1

'2'2''

c

vc

L

vc

cL

vc

L

vc

Lt

−=

−=

++

−=

Contudo, o tempo, medido pelo observador O’, que o raio de luz demora a percorrer a

distância de P para M2 e voltar novamente a P é:



8

21

2

22122

2

1

'2

)(

'2

−

=−

=

c

v

c

L

vc

Lt

Tal como se pode verificar pelas equações anteriores, t1 é maior que t2, o que leva a

dizer que os raios que chegam ao observador O’ possuem trajectórias diferentes e

seriam o resultado de um padrão de interferência que, na verdade não foi observado.

Deste modo, pode-se concluir que tempos medidos são iguais.

De modo a aumentar a precisão das medidas efectuadas pelo aparelho e numa tentativa

de observar o dito padrão de interferência, Michelson rodou o interferómetro 90º

relativamente à posição original. Contudo, esta mudança não veio alterar em nada os

resultados obtidos anteriormente, embora a teoria baseada nas transformações de

Galileu fosse capaz de prever a alteração do padrão de interferência por rotação do

aparelho.

A explicação para o resultado negativo desta experiência foi dada por Einstein que

afirmou a invariância da velocidade da luz para quaisquer observadores em movimento

rectilíneo e uniforme. Deste modo, as transformações de Galileu deixaram de ser

aplicáveis. Ao nível da experiência de Michelson-Morley, este facto foi muito

importante, uma vez que o observador O’ passa a usar o valor de c, para quaisquer

trajectórias do raio de luz, obtendo-se assim:

c

Ltt

'221 ==

tal como o observador O.

3.2.3 Implicações da experiência: postulados de Einstein e a Relatividade

Restrita

Esta experiência tornou-se muito importante no domínio da Física, uma vez que veio

contrariar muitos dos princípios que, até à data da formulação da Teoria da

Relatividade, eram dados como inquestionáveis. Assim, Einstein formulou um

postulado que deu origem à Teoria da Relatividade Restrita.

O postulado é comummente designado de Princípio da Relatividade e onde se afirma

que “as leis da Física, incluindo as do Electromagnetismo, são as mesmas em dois



9

referenciais em movimento rectilíneo (velocidade constante)”. Devido ao facto de não

haverem provas de que este não se aplique ao Electromagnetismo, Einstein assumiu este

princípio como sendo universal.

Um caso particular deste postulado assegura que “existe uma classe de referenciais,

ditos inerciais, com movimento relativo uniforme e rectilíneo, e nos quais a luz tem a

mesma velocidade, c: isto é a velocidade da luz é um invariante nesta classe de

referenciais”, tornando válidas, por exemplo, as equações de Maxwell numa classe de

referenciais que possuam este tipo de movimento.

A Relatividade Restrita resume-se, então, a este princípio fundamental e a designação

Restrita provém do facto de apenas se abordar um tipo de referenciais, que se movem

uns em relação aos outros com uma determinada velocidade uniforme. Em particular, no

caso do Electromagnetismo, a velocidade da luz é igual em todos os referenciais

inerciais onde são válidas as equações de Maxwell, em particular no vazio:

t

BE

B

t

EB

E

∂

∂−=×∇

=⋅∇

∂

∂=×∇

=⋅∇

0

0

00εµ

4. A transformação de Lorentz

O facto da velocidade da luz ser um invariante para quaisquer utilizadores em

movimento relativo uniforme tem uma grande implicação no que concerne às

transformações de Galileu, visto que estas implicam a lei de adição de velocidades.

Como consequência foi necessário reformular as transformações de Galileu segundo as

transformações de Lorentz.

Assim sendo, considerem-se dois observadores O e O’ movendo-se com velocidade

relativa v, cuja direcção dos eixos X e X’ é a mesma do movimento relativo dos

observadores e os planos YZ e Y’Z’ são paralelos entre si, tal como se pode verificar na

figura 3. Quando O e O’ são coincidentes os observadores acertam os seus relógios de

maneira a que se tenha 0'== tt .



10

Figura 3 – Sistemas de referência no movimento relativo uniforme de translação

Imagine-se que no instante 0=t um raio de luz é emitido na origem comum dos dois

referenciais com movimento uniforme relativo v. Passado um certo tempo t, O verifica

que a luz atingiu o ponto A de coordenadas (x,y,z,t) e então tem-se ctr = , onde c

representa a velocidade da luz. Considerando que:

2222 rzyx =++

Vem:

22222 tczyx =++

Para o observador O’ o raciocínio é semelhante, e como a velocidade da luz se mantém

constante ao longo de todo o trajecto, este mede um tempo t’ de chegada da luz ao

mesmo ponto A. Deste modo, tem-se '' ctr = e, portanto,

22222 '''' tczyx =++

Posto isto, pretende-se encontrar uma transformação que relacione as equações 4.1 e

4.2. Por questões de simetria verifica-se que:

'yy =

'zz =

E também que, para o observador O:

vtOO ='

Portanto, a posição de O’ é dada por:

(4.1)

(4.2)



11

vtx = , quando 0'=x

Para simplificar os cálculos admite-se que a transformação é linear, ou seja:

)(' vtxx −= γ

)(' bxtat −=

Onde γ, a e b são constantes a serem determinadas e, para a transformação de Galileu se

tem que 1== aγ e 0=b . Deste modo, introduzem-se estas simplificações na equação

4.2 que fica:

)2()2( 22222222222 xbbxttaczytvvxrx +−=+++−γ

Ou seja,

222

2222222222222 )(2)( tc

c

vazyxtcbavxcab

−=++−−− γγγ

Como este resultado deve ser semelhante ao apresentado em 4.1, tem-se:

12222 =− cabγ

0222 =− cbavγ

12

222 =−

c

va γ

Resolvendo estas três equações em ordem a γ, a e b vem:

21

21

1

−

==

c

vaγ

2c

vb =

Substituindo os valores anteriores nas equações 4.3 e 4.4 obtém-se a transformação de

Lorentz:

21

2

2

1

'

−

−=

c

v

vtxx

(4.4)

(4.3)



12

zz

yy

=

=

'

'

21

2

2

2

1

'

−

−

=

c

v

c

xvt

t

Este conjunto de equações foi estudado pela primeira vez por Lorentz sendo aplicada ao

campo electromagnético a uma carga em movimento porém, em 1905, Einstein deu-lhe

a forma que hoje conhecemos, mas manteve o nome do seu autor ao designá-las por

transformação de Lorentz.

Como a maioria dos fenómenos ocorrem à nossa volta a uma velocidade muito inferior

à velocidade da luz, os valores de cv / são muito baixos e, consequentemente, os termos

22 / cv e 2/ cvx são desprezáveis. Assim, vem:

21

2

2

1

1

−

=

c

vγ

Que, quando se tem v<<c, assume um valor praticamente igual à unidade. Deste modo,

as transformações de Lorentz e de Galileu são muito semelhantes no que concerne a

eventos realizados na Terra, podendo usá-las na grande maioria dos problemas que nos

são colocados. No caso de termos velocidades muito próximas da velocidade da luz,

como por exemplo no caso dos raios cósmicos, dos decaimentos radioactivos, existe a

necessidade de usar a teoria relativista de Lorentz.

Por outro lado, há salientar que, embora as transformações de Galileu e de Loretz sejam

semelhantes, ao nível conceptual a diferença é enorme, principalmente no que toca à

relação ao espaço e ao tempo, que agora aparecem relacionados.

(4.5)



13

4.1 Consequências da transformação de Lorentz

O factor que surge na transformação de Lorentz é muito importante na medida em que,

se temos a velocidade da luz constante, uma das grandezas físicas que relacionam as

observações de dois observadores deve diferir de um caso para o outro. No presente

caso, o que varia para os observadores em movimento relativo é o comprimento dos

corpos e os intervalos de tempo entre os acontecimentos presenciados. Assim sendo,

pode-se definir um acontecimento como sendo “uma ocorrência específica que

acontece num dado ponto do espaço num determinado instante de tempo”. Por outro

lado define-se um intervalo de tempo como sendo o “tempo que decorre entre dois

acontecimentos, medidos por um observado”.

4.1.1 Simultaneidade

Considerere-se a equação de transformação de Lorentz para pares de eventos a seguir

apresentada:

∆+∆=∆

2

''

c

xvtt γ

Note-se que, se dois eventos ocorrem em locais diferentes em R’, então ∆x’, nesta

equação, tem um valor diferente de zero. Assim, no caso dos eventos serem simultâneos

em R’, de modo a que se tenha 0'=∆t , esses acontecimentos já não serão simultâneos

em R. Deste modo, o tempo que separa os dois eventos, medido em R e simultâneos em

R’, é dado por:

2

'

c

xvt

∆⋅=∆ γ

De onde se conclui que os intervalos de tempo que separam dois acontecimentos,

medidos em referenciais diferentes, são, também, diferentes.

Assim sendo, dois observadores em movimento relativo não concordam, em geral,

quanto à simultaneidade de dois eventos. Isto é, se um observador concluir que dois

eventos, ocorrendo em locais distintos, são simultâneos, o outro concluirá que não são



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simultâneos e vice-versa. Sendo assim, a simultaneidade não é um conceito absoluto,

mas um conceito relativo, uma vez que depende do observador. Esta conclusão é, assim,

uma consequência directa da constância da velocidade da luz.

4.1.2 Dilatação do tempo

Considerem-se dois eventos que ocorrem nos instantes 'at e '

bt no mesmo local x’

relativamente a um observador O’ a mover-se em relação ao observador O, para o qual

os acontecimentos ocorrem em lugares diferentes e nos instantes at e bt ,

respectivamente.

Aplicando a transformação de Lorentz e resolvendo-a em ordem ao tempo, obtemos a

transformação inversa de Lorentz. Para os instantes considerados obtém-se as seguintes

equações, onde x é o mesmo em ambas:

21

2

2

2'

1

'

−

+

=

c

v

c

xvt

ta

a

21

2

2

2'

1

'

−

+

=

c

v

c

xvt

tb

b

Fazendo a subtracção entre os instantes de tempo considerados, obtém-se:

21

2

2

''

1

−

−=−

c

v

tttt ab

ab

E simplificando de modo a poder usar ab ttT −= e ''' ab ttT −= , vem:

21

2

2

'

1

−

=

c

v

TT (4.6)



15

Onde T’ é o intervalo de tempo medido por um observador O’ em repouso

relativamente ao ponto x’ em que os acontecimentos ocorrem. Por sua vez, T é o

intervalo de tempo medido por um observador O, relativamente ao qual o ponto em que

os acontecimentos ocorrem, está em movimento. Como temos que o valor da expressão

dada por ( ) 21

2

21

cv− é maior que 1, a partir da equação 4.6 sabe-se que T é maior que

T’. Deste modo, “os processos que ocorrem num corpo em movimento em relação ao

observador parecem ter uma duração maior do que quando ocorrem num corpo em

repouso em relação ao observador, isto é, repousomovimento TT f ”

Assim sendo, ao intervalo de tempo entre dois acontecimentos que ocorrem em pontos

em repouso em relação a um observador, chama-se intervalo de tempo próprio, que, na

equação 4.5, se encontra representado por T’.

4.1.3 Contracção do espaço

Considerando que o comprimento de um objecto pode ser definido como sendo a

distância entre os seus pontos extremos, designados A e B, quando este se está a mover

relativamente a um observador que pretende medir o comprimento, as posições dos seus

extremos devem ser medidas simultaneamente.

Considere-se uma barra em repouso em relação ao observador O’ e paralela ao eixo dos

xx’. O comprimento da barra é dado por:

''' ab xxL −=

E, como no seu referencial esta encontra-se em repouso, a simultaneidade não é um

factor importante. Contudo, o observador O, em movimento relativamente à barra, deve

registar as posições de xa e xb simultaneamente, ou seja, no mesmo instante de tempo t,

obtendo o comprimento da barra:

ab xxL −=

Aplicando o conjunto de equações 4.5, que definem a transformação de Lorentz, obtêm-

se as seguintes relações, entre as posições relativas dos extremos da barra, para ambos

os observadores:



16

21

2

2

'

21

2

2

'

1

1

−

−=

−

−=

c

v

vtxx

c

v

vtxx

bb

aa

Dado que o t é o mesmo para ambas as equações, obtém-se que:

21

2

2

''

1

−

−=−

c

v

xxxx ab

ab

E uma vez que já se sabe que ab xxL −= e que ''' ab xxL −= , a expressão anterior pode

tomar uma forma mais simples, ou seja:

'12

1

2

2

Lc

vL

−=

Como temos que o valor da expressão dada por ( ) 21

2

21

cv− é menor que 1, a partir da

equação 4.7 sabe-se que L é maior que L’. Deste modo, “o comprimento de um corpo,

quando este está em movimento em relação ao observador, parece mais curto do que

quando o corpo está em repouso em relação ao observador, isto é, repousomovimento LL p ”

Ao comprimento de um corpo em repouso em relação a um observador chama-se

comprimento próprio do corpo que, na equação 4.7, se encontra representado por L’.

5. Explicação da dilatação do tempo usando diagramas espaço-tempo Os diagramas espaço-tempo, também conhecidos como diagramas de Minkowski, em

homenagem ao cientista que os desenvolveu em 1908, são uma ferramenta muito útil,

pois fornecem uma ilustração das propriedades do espaço e do tempo na teoria da

(4.7)



17

relatividade restrita. Além disso, permitem uma compreensão quantitativa de

fenómenos, como sejam a dilatação do tempo ou a contracção do espaço, sem recorrer a

equações matemáticas.

O diagrama de Minkowski usa, normalmente, apenas uma dimensão espacial e trata-se

de uma sobreposição de sistemas coordenados de dois observadores movendo-se um

relativamente ao outro com velocidade constante. Estes diagramas têm como principal

objectivo permitir que as coordenadas de espaço e tempo, x e t, usadas por um

observador, tenham o seu valor correspondente x’ e t’ usados por outro e vice-versa. A

partir desta correspondência directa entre as coordenadas, de um e outro observador, a

ausência de contradições em muitos paradoxos aparentes da teoria da relatividade,

tornam-se, assim, óbvias. Além disso, o papel da impossibilidade de se atingir a

velocidade da luz resulta graficamente das propriedades do espaço e do tempo. A forma

do diagrama obtém-se imediatamente e sem nenhum cálculo auxiliar, a partir dos

postulados da relatividade restrita e demonstra a relação intrínseca entre o espaço e o

tempo com a teoria da relatividade.

5.1 Como construir um diagrama de Minkowski?

Considere-se uma partícula movendo-se ao longo do eixo dos xx com velocidade dada

por c

v=β constante. A sua linha do universo, num sistema de eixos do tipo ( )ctx, , é

dada pela expressão:

( ) βctctc

vvtx ===

que, neste caso, se trata duma recta.



18

Considerem-se, agora, dois referenciais distintos, R e R’, em que R’ se move

relativamente a R com velocidade constante v.

No caso da figura 4, tem-se que a recta )(ctx β= representa a linha do universo do

relógio do observador em R’. Considera-se que todos os acontecimentos nesta linha

ocorrem para 0'=x sendo, portanto, esta linha considerada como o eixo ct’.

De modo a calibrar este eixo, desenha-se um ramo da hipérbole definida por

1222 =− xtc , tendo os pontos presentes nesta que satisfazer, também, a equação

1'' 222 =−xtc , devido à invariância do intervalo. Da intersecção desta hipérbole com o

eixo ct’, ao longo do qual se tem que 0'=x , resulta o ponto 0'=x , 1'=ct , dando origem

à unidade de medida ao longo do eixo ct’. Para traçar o eixo x’ fazem-se os pontos onde

os acontecimentos têm 0'=t . Substituindo na equação seguinte (uma simplificação da

equação 4.5)

−⋅= x

c

vtt

2' γ

tem-se:

0)(022

=−⇒−⋅= xc

vtx

c

vtγ

Ou seja,

xct β=

Figura 4 – Diagrama de Minkowski para dois referenciais

x’

t’



19

Que é a equação do eixo dos x’. Traçando a hipérbole com a equação:

1222 −=− xtc calibra-se o eixo dos x’ exactamente com a mesma unidade do eixo dos ct’. 5.2 Intervalo de tempo próprio

O intervalo de tempo próprio entre dois acontecimentos, medido relativamente a um

referencial R’, é definido como sendo a separação temporal dos dois acontecimentos,

medida num relógio em repouso relativamente a esses mesmos acontecimentos. Assim

sendo, os dois acontecimentos têm lugar no mesmo local, de acordo com o observador

que transporta o referido relógio.

Considere-se, então, um sistema em repouso relativamente a um observador R, cujo

tempo de vida é finito:

O tempo próprio deste sistema consiste na separação temporal, ∆t, entre os

acontecimentos N (nascimento) e M (morte), medida por um relógio em repouso

reativamente ao sistema referido. Como se pode verificar pela figura 5, a separação

temporal relativamente a um observador R’ é dado pela expressão:

tt ∆⋅=∆ γ'

Figura 5 – Diagrama de Minkowski para a dilatação do tempo



20

Onde se pode verificar que o tempo próprio é menor que o tempo medido pelo

observador que se encontra em movimento, relativamente ao outro.

5.3 O paradoxo dos gémeos

A figura 6 mostra as linhas do universo de duas naves espaciais, a nave N1 que parte da

Terra com velocidade dada por 8,0==c

vβ , e a nave N2 que regressa

à Terra com a mesma velocidade.

Considere-se que a linha do universo da Terra é o eixo t’ e que as marcas representam

intervalos de um ano. Entre a partida de N1 e a chegada de N2 passam-se 10 anos. As

marcas presentes nas linhas do universo de cada nave representam intervalos de um ano,

de acordo com o relógio de cada nave.

Após 3 anos de viagem pelo Espaço, desde que partiu da Terra, e de acordo com o seu

relógio, N1 encontra N2. Por outro lado, N2 demora mais 3 anos a chegar à Terra. Assim

sendo, um astronauta que viaje na nave N1 e regresse na nave N2 envelhece apenas 6

anos, ao passo que os habitantes da Terra envelhecem 10. No caso de ter deixado um

Figura 6 – Diagrama de Minkowski para a dilatação do tempo em naves espaciais



21

irmão gémeo, o astronauta que viajou pelo espaço nas naves N1 e N2, é 4 anos mais

novo do que o gémeo que ficou na Terra.

Deste modo, esta diferença de idades é consistente com o facto de que, do ponto de vista

dos habitantes da Terra, o relógio dos astronautas anda mais devagar de acordo com a

expressão:

6,0)8,0(1 21 =−=−γ

Na figura 7 encontra-se ilustrado o facto de que, do ponto de vista do astronauta, os

relógios da Terra, andam mais devagar durante a sua viagem pelo Espaço. No momento

em que o astronauta abandona o referencial de N1, efectua uma leitura nos relógios

presentes na Terra e traça a linha do universo de N1, onde ocorre a simultaneidade que

passa na linha de universo de N1, no instante em que o relógio desta nave marca 3 anos.

Como se pode verificar na figura 7, a linha do universo de N1 intersecta o eixo de ct no

ponto 1,8 anos. Depois de mudar de nave para regressar à Terra, o astronauta lê

novamente o tempo medido nos relógios da Terra, traçando a linha do universo de N2,

onde se verifica a simultaneidade que passa no ponto de mudança. Esta linha intersecta

o eixo de t no ponto 2,88,110 =− anos. Esta diferença é varrida pela linha de

simultaneidade quando o astronauta efectua a mudança de N1 para N2.

Figura 7 – Diagrama de Minkowski para a dilatação do tempo em naves espaciais



22

Na figura 8 encontra-se esquematizado a análise do ponto de vista do astronauta:

As linhas pretas representadas na figura anterior representam as trajectórias de sinais

luminosos emitidos pela Terra, por cada ano terrestre. No caso de termos 8,0==c

vβ a

taxa à qual estes sinais são recebidos por N1 é dada pela seguinte expressão:

anos31

1=

−

+

β

β

Ao passo que os mesmos sinais são recebido por N2 à taxa de:

anos31

1

1=

−

+

β

β

Assim sendo, e de acordo com os cálculos efectuados, em N1 observa-se um flash de luz

a cada 3 anos, enquanto que em N2 observam-se 3 flashes por ano. Por seu turno, e

como ser encontra exemplificado na figura 9, as linhas pretas representam as

trajectórias luminosas dos feixes emitidos pelo astronauta à taxa de um por ano. Na

Terra, os feixes luminosos são, então, observados com a mesma frequência que nos

Figura 8 – Diagrama de Minkowski para a dilatação do tempo – ponto de vista do astronauta



23

casos anteriores. Assim, a cada 3 anos é observado um flash emitido por N1 e a cada

31 de ano quando estes são emitidos por N2. Deste modo, os habitantes da Terra levam

9 anos para observarem 3 flashes luminosos emitidos por N1 e apenas 1 ano para

observar o mesmo número de flashes emitidos por N2.

E agora por que razão dirá que existe um paradoxo? Como é que se pode resolver

este caso?

Há aqui dois aspectos diferentes a serem considerados. O primeiro é que, no contexto da

mecânica clássica, a dilatação temporal não existe, o que levaria o gémeo que viajou na

nave estranhar a disparidade dos tempos decorridos experimentados por ele e pelo

gémeo que ficara na Terra. Porém, o real paradoxo aqui é o facto de que, mesmo que se

aceite a dilatação temporal, o gémeo que viajou pelo Universo a bordo da nave, com

velocidade muito próxima à velocidade da luz, tem todo o direito de alegar, de acordo

com a Teoria da Relatividade Restrita, que a Terra se movia com velocidade próxima à

da luz. Assim, o gémeo que viajou na nave acha que a Terra é que deveria ter tido o seu

fluxo de tempo alterado.

No entanto, o entendimento perfeito deste efeito só ocorre se se recordar que a nave

percorreu uma trajectória maior (considerando-se esta trajectória no espaço-tempo).

Além disso, há que chamar a atenção que ambos os referenciais considerados, Terra e

Figura 9 – Diagrama de Minkowski para a dilatação do tempo – ponto de vista do observador na Terra

● ●

8



24

nave espacial, sofreram algum tipo de aceleração durante o processo em causa. Deste

modo, o enquadramento perfeito deste problema só ocorrer quando se recorre à Teoria

da Relatividade Geral.

6. Explicação da dilatação do tempo em contexto de sala de aula 6.1 A dedução da dilatação do tempo usando raios de luz

Considere-se um comboio parado com um observador O’ parado dentro do comboio

que emite um feixe de luz à distância d de um espelho posicionado no centro do

comboio.

O observador mede, então, o tempo de ida e volta do feixe de luz, sendo este dado pela

expressão:

c

dt 2'=∆

onde c é a velocidade da luz e tem o mesmo valor em todas as direcções e em todos os

referenciais inerciais. Para este observador, o feixe de luz sai de um lugar e volta ao

mesmo ponto, usando apenas um relógio para medir o intervalo de tempo 't∆ .

Um segundo observador, O, coloca-se fora do comboio com um relógio semelhante ao

do outro observador para medir o mesmo intervalo de tempo 't∆ .

Figura 10 – O observador O’ dentro do comboio



25

Imaginando que o comboio adquire um movimento rectilíneo e uniforme, o observador

O’ repete a sua medida de tempo, encontrando o mesmo valor para 't∆ . Por outro lado,

o observador que se encontra fora do comboio observa um percurso diferente para o

feixe de luz, num intervalo de tempo também diferente:

O caminho percorrido pelo feixe de luz, para O é dado por:

caminho2

2

22

∆+×=

tvd

E, como o feixe de luz tem velocidade c, vem:

22

2

2

∆+=∆

tvd

ct

E sabendo que:

caminhoc

ttc =∆⇔∆×=

Fica, após algumas transformações matemáticas:

2

1

2

−

=∆

c

v

c

d

t

Ou seja,

d

2

tv

∆

2

tv

∆

22

2

∆+

tvd

Figura 11 – Trajecto do feixe de luz para o observador O

't∆

caminho

c



26

'tt ∆⋅=∆ γ

(uma vez que γ=

−

2

1

1

c

v, 1≥γ e 'tt ∆≥∆ )

No caso de termos a velocidade de movimento do comboio, v, muito menor que a

velocidade da luz, c, obtém-se o resultado clássico, ou seja:

'tt ∆=∆

Deste modo, a relatividade restrita deve estar de acordo com a mecânica clássica no

limite de baixas velocidades.

O facto do observador que se encontra fora do comboio medir um intervalo de tempo

maior deve-se ao trajecto da luz precisar de percorrer um maior caminho, com a mesma

velocidade c. O observador O’, por sua vez, mediu um intervalo de tempo entre eventos

ocorrendo no mesmo lugar, ou seja, só é necessário um relógio para medir este intervalo

de tempo 't∆ . A este intervalo de tempo medido pelo observador O’ dá-se o nome de

intervalo de tempo próprio. Pelo contrário, o observador O necessitou de usar 2 relógios

sincronizados para medir o intervalo de tempo, uma vez que, para este, o feixe saiu de

um lugar e voltou a outro após ser reflectido pelo espelho.

Deste modo, conclui-se que, observadores em movimento medem intervalos de tempo

t∆ maiores do que o intervalo de tempo próprio, 'tt p ∆≡∆ , medido pelo observador

em repouso em relação ao fenómeno, tem-se ptt ∆⋅=∆ γ , ou seja, ocorre a dilatação do

tempo!

6.2 A dilatação do tempo e a desintegração do muão

Uma das mais famosas experiências de medição de dilatação do tempo diz respeito a

uma partícula instável, o muão ou mesão-µ. A massa deste é cerca de 207 vezes maior

que a do electrão e o seu tempo de semi-vida, τ ou t1/2, é de cerca de 1,56 µs, ou seja,

um feixe de muões, ao fim deste tempo de semi-vida, fica reduzido a metade das

partículas.



27

As colisões de raios cósmicos com os átomos da atmosfera, a uma altitude de cerca de

60 km produzem muões que têm uma velocidade relativa à Terra próxima da velocidade

da luz. Ainda assim, numa semi-vida, esta partícula não anda mais do que

md 4681031056,1 86

21 =×××= −

Portanto, em menos de 468 m, o fluxo do feixe de muões deve ficar reduzido a menos

de metade.

Por outro lado, para um observador ligado à Terra, temos que a velocidades muito

próximas da velocidade da luz, por exemplo a smcv /109949,2999,0 8×== , os muões

demoram o seguinte intervalo de tempo t∆ a atingir a superfície terrestre, numa distância

de 60 km:

sms

mt 4

18

4

102109949,2

106 −

−×≈

×

×=∆

Este tempo equivale a cerca de 133 vidas médias do muão e, como tal, e para o

observador da Terra, apenas uma ínfima parte do número dos muões iniciais alcançam a

superfície da Terra. Porém, ao nível do mar, verifica-se que o número de muões é

significativamente maior, ocorrendo este facto devido à dilatação do tempo. Assim, o

intervalo de tempo t∆ necessário para que os muões atravessem toda a atmosfera,

medida por um observador terrestre, é muito maior do que o intervalo de tempo 't∆

medido por um observador em repouso relativamente aos muões. Considerando que

temos 999,0=cv , vem que:

22

1

2

2

105,41 −×=

−

c

v

Então, usando a equação 4.6, verificamos que o intervalo de tempo 't∆ no sistema de

referência dos muões, ou seja, o tempo próprio destes, necessário para alcançar a

superfície terrestre é:

sc

vtt 6

21

2

2

1091' −×≈

−×∆=∆

O equivalente a 6 vidas médias.



28

O problema pode ser analisado por outra perspectiva. Em relação ao sistema de

referência dos muões, a Terra move-se para o muão com velocidade cv 999,0= . Assim

sendo, relativamente ao muão, a distância entre a parte superior da atmosfera e a

superfície da Terra é encurtada pelo factor 22

1

2

2

105,41 −×=

−

c

v. Consequentemente,

o tempo que a Terra demora a alcançar o muão também é encurtado pelo mesmo factor,

resultando num intervalo de tempo de s6109 −× .

Resultados semelhantes foram obtidos com partículas produzidas em laboratório,

usando-se máquinas que aceleram partículas a velocidades muito elevadas. A

observação do modo como o número de partículas diminui ao longo do feixe confirma a

dilatação do tempo. Nos aceleradores de partículas actuais os fenómenos relativistas são

necessariamente incorporados uma vez que a velocidade das partículas produzidas é

muito próxima da velocidade da luz.

6.2 O descanso dos astronautas numa nave espacial

Considere-se um grupo de astronautas numa nave espacial que se afasta da Terra com

velocidade cv 6,0= . A dada altura, o grupo envia um sinal à estação de controlo

informando que irão fazer uma pausa de 1 hora para descanso, para depois retomarem

as suas funções na nave. Qual será o tempo que é medido na estação de controlo situada

na Terra?

Em virtude de os astronautas iniciarem e terminarem o descanso no mesmo local, ou

seja, a nave, o intervalo de 1 hora por eles medido é o seu tempo próprio. Por seu turno,

no caso da estação de controlo situada na Terra, são necessários 2 relógios distintos para

medir o tempo correspondente ao início e ao fim do descanso, uma vez que a nave

espacial se encontra em 2 locais diferentes na altura desses acontecimentos. Assim, o

intervalo de tempo medido pela estação terrestre é dilatado pelo factor dado por:

( )25,1

6,01

12

=−

=γ

Deste modo, o tempo medido na Terra é:



29

horat

t

tt

25,1'

125,1'

'

=∆

⇔×=∆

⇔∆×=∆ γ

Por outro lado pode-se, porém, modificar o enunciado e fazer o inverso.

Considere-se um grupo de astronautas numa nave espacial que se afasta da Terra com

velocidade cv 6,0= . A dada altura, o grupo da estação de controlo terrestre envia um

sinal para a nave informando que irá fazer uma pausa de uma hora para descanso, para

depois retomarem as suas funções. Qual será o tempo que é medido na própria nave?

Neste caso, a estação de controlo situada na Terra usa apenas 1 relógio para fazer a

medição entre o início e o fim do descanso dos astronautas. O tempo próprio é, então,

agora medido pelo relógio da estação na Terra. Do ponto de vista da nave, são

necessários 2 relógios para medir este tempo: um no ponto do espaço onde o pessoal da

estação activou o seu relógio e outro no ponto do espaço onde este parou o seu relógio,

considerando que a estação de controlo se encontra em movimento relativamente à nave

espacial. Deste modo, o tempo é novamente dilatado pelo mesmo factor:

( )25,1

6,01

12

=−

=γ

Assim, o tempo de descanso medido na nave é de:

horat

t

tt

25,1'

125,1'

'

=∆

⇔×=∆

⇔∆×=∆ γ

Uma vez que, neste caso, o tempo próprio é medido na Terra.

Este exemplo é muito importante na medida em que chama a atenção para o facto de

haver dilatação do tempo, não havendo dilatação num caso e contracção no outro, e para

o facto de haver simetria na medição dos tempos, ou seja, se a estação mede um tempo

maior 1,25 hora para um tempo de 1 hora medido na nave, a nave também mede um

tempo de 1,25 hora para um tempo de 1 hora medido na estação.



30

7. Bibliografia Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl. Fundamentos de Física 4 – Óptica e

física moderna. 4ª Edição. LTC editora. 1995.

D’Iverno, Ray. Introducing Einstein’s Relativity. Clarendon Press. Oxford.

Schutz, Bernard F.. A first course in general relativity. Cambridge University Press.

Cambridge.

Lopes dos Santos, J. M. B., e outros. Projecto Faraday Texto 12º ano. Departamento de

Física da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Porto.

http://cmup.fc.up.pt/cmup/relatividade/RR/node1.html (Março de 2008)

http://cmup.fc.up.pt/cmup/relatividade/RR/node2.html (Março de 2008)

http://cmup.fc.up.pt/cmup/relatividade/RR/node11.html (Abril de 2008)

http://by104w.bay104.mail.live.com/mail/EditMessageLight.aspx?n=967454801

(Março de 2008)

Seminário de Física Relatório final · Embora se atribua a formulação desta teoria a este...

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