SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO “A elegância, a riqueza, a complexidade e a diversidade dos...

SEMICONDUTORES FORA

DO EQUILÍBRIO

“A elegância, a riqueza, a complexidade e a diversidade dos fenômenos naturais que decorrem de um conjunto simples de leis universais é parte integrante do que os cientistas querem dizer quando empregam o termo beleza” – E. Schrödinger

Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

José Fernando FragalliDepartamento de Física – Udesc/Joinville

FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA

http://pion.sbfisica.org.br/pdc/var/eznewsletter_site/storage/images/multimidia/imagens/fisica_moderna_e_contemporanea/densidade_de_probabilidade/28811-1-por-BR/densidade_de_probabilidade.jpg

SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO

1. Introdução

3. Decaimento de Portadores Minoritários no Tempo

2. Recombinação Direta e Indireta

4. Difusão de Portadores

6. A Equação da Continuidade

5. A Relação de Einstein

7. Decaimento de Portadores Minoritários no Espaço

8. Exemplos de Aplicação


Os semicondutores são caracterizados por terem a banda de valência BV totalmente preenchida.

Bandas de energia

1. INTRODUÇÃO

Voltemos nossa atenção agora para a estrutura de bandas de um semicondutor.

Além disso, a 0 K a banda de condução BC está totalmente vazia.

Por sua vez, o gap de energia não é muito grande (Eg 1 eV ), tal que elétrons podem ocupar a BC em T > 0.



A figura abaixo descreve este comportamento de ocupação de estados por elétrons na BC e simultânea desocupação de estados na BV.

Condução por elétrons e buracos

Precisamente devido a ocupação de estados por elétrons na BC para T > 0, ocorre a desocupação simultânea de estados na BV.



1. INTRODUÇÃO

Devemos ter mente que, do ponto de vista da Mecânica Quântica condutividade elétrica está associada a ocupação de estados eletrônicos.

Buracos = estados desocupados na BV

Estados desocupados (por elétrons) na BV também podem dar origem a processos de condução de portadores.

Assim, estados desocupados na BV podem ser ocupados por outros elétrons que ocupam níveis abaixo deles.



1. INTRODUÇÃO

Elétrons livres na BC e buracos na BV

A figura abaixo mostra este processo de ocupação e desocupação de estados na BV e na BC.



1. INTRODUÇÃO


1. Introdução









Definição e exemplos de equilíbrio

2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA

Na natureza existem dois tipos de equilíbrio:a) equilíbrio estático, no qual os objetos permanecem

indefinidamente na mesma posição, a menos que sejam perturbados;


- como exemplo sejam moléculas evaporando de uma superfície líquida em equilíbrio com moléculas condensando do vapor.


b) equilíbrio dinâmico, no qual uma condição constante é mantida pelo balanceamento de movimento de entrada e saída de partículas.

- como exemplo, seja um tijolo repousando sobre uma superfície plana;

Elétrons e buracos em equilíbrio dinâmico

Elétrons na BC e buracos na BV estão em equilíbrio dinâmico.

Um par elétron-buraco é gerado por cada elétron que “salta” (ganha energia) e vai para a BC, deixando um buraco (estado desocupado) na BV.




Por sua vez, um par elétron-buraco é aniquilado quando um elétron na BC perde energia e retorna para a BV.

Geração e recombinação de portadores

Desta forma, existem dois processos distintos ocorrendo quando semicondutores são expostos à temperatura ou excitação luminosa.

a) Geração de portadores: trata-se da criação de um par elétron-buraco devido à agitação térmica, e pode ser acelerado com aumento da temperatura ou exposição do semicondutor à radiação eletromagnética (luz).




b) Recombinação de portadores: trata-se do processo inverso, isto é, a aniquilação de um par elétron-buraco, e ocorre quando elétrons voltam a ocupar o estado (energia) anteriormente ocupado por um buraco.

Recombinação direta

O processo de recombinação de portadores pode ocorrer de duas formas distintas, conhecidas como recombinação direta e recombinação indireta.

a) Recombinação direta: neste caso um elétron livre decai espontaneamente para um sítio (energia) originalmente “ocupado” por um buraco, como mostra a figura ao lado.




Detalhes do processo de recombinação direta

Como se vê pela figura abaixo, a energia do gap Eg é devolvida ao meio em forma de um pulso de energia eletromagnética na forma de um fóton de luz.




hEgRecombinação direta é

o processo inverso da geração de um par elétron-buraco pela absorção de luz.

Recombinação indireta

a) Recombinação indireta: neste caso um elétron da BC inicialmente decai para um estado intermediário, conhecido como armadilha ou centro de recombinação, como mostra a figura ao lado.




As armadilhas podem ser tanto átomos de impurezas quanto defeitos na rede cristalina.

A seguir, ele pode decair em um buraco inicialmente desocupado, como mostrado na figura abaixo.

Detalhes do processo de recombinação indireta

Admitindo que tal nível de energia esteja inicialmente vazio, um elétron pode ficar “detido” neste estado por um curto intervalo de tempo, como mostra a figura abaixo.




Estas armadilhas introduzem níveis de energia localizados dentro do gap de energia.

Emissão de fónons no processo de recombinação indireta




Enquanto estiver mantido na armadilha, o elétron interage fortemente com as vibrações térmicas da rede cristalina.

O resultado desta interação é a emissão de energia térmica.

Esta energia térmica é liberada em forma de um pacote de onda denominada fónon.

Semicondutores de gap direto e de gap indireto




Materiais semicondutores comuns tendem a revelar ou um outro tipo de comportamento quanto à recombinação.

Silício (Si) e germânio (Ge) são chamados de semicondutores de gap indireto.

Por outro lado, arseneto de gálio (GaAs) e suas ligas são semicondutores de gap direto.

Do ponto de vista prático a importância do tipo de recombinação que cada material semicondutor executa está no fato que dispositivos semicondutores emissores de luz (LED’s e lasers de diodo) só podem ser fabricados com semicondutores de gap direto.

Taxa de geração de portadores

Definimos a grandeza taxa de geração de portadores G como a concentração de pares elétron-buraco criados por unidade de tempo.

TGG A razão para isto é que a

temperatura regula a excitação dos elétrons, controlando a ocupação dos estados na BC e a consequente desocupação de estados na BV.




Como as concentrações de estados ocupados na BV e de estados desocupados na BC são praticamente constantes, a única dependência da taxa de geração G é com a temperatura T.

Taxa de recombinação de portadores

Definimos a grandeza taxa de recombinação de portadores R como a concentração de pares elétron-buraco aniquilados por unidade de tempo.

Por outro lado, em um semicondutor de gap direto R não depende da temperatura, pois a recombinação é um processo exotérmico (necessita de energia para ocorrer).




O processo de recombinação de portadores tem relação direta com as concentrações de estados ocupados na BC (n) e concentração de estado desocupados na BV (p).

Expressão matemática para R

pnrR Nesta equação r é uma constante conhecida como coeficiente de recombinação.




Numa primeira aproximação R deve depender do produto np.

A equação acima é uma boa aproximação pois a chance de um elétron “encontrar” um buraco deve ser proporcional ao número de buracos.

Além disso, a taxa de perda de todos os elétrons também deve depender do número de elétrons presentes.

Taxa líquida de recombinação de portadores

Definimos a grandeza taxa líquida de recombinação de portadores U como a diferença entre a taxa de recombinação e a taxa de geração de pares elétron-buraco.

No equilíbrio a taxa líquida de recombinação é nula, e portanto as taxas de recombinação e de geração são iguais.




TGRTU )(

TGR eqeq

Uma expressão para Req

Usamos então a dependência de R com as concentrações n e p, que deve valer também para a situação de equilíbrio.

Lembremos que, no equilíbrio o produto np define a já conhecida Lei de Ação das Massas.




eqeqeq pnrR

Tnpn ieqeq2 2

ieq nrTR

Uma expressão para Geq e para G(T)

Voltamos então à condição de equilíbrio para obter uma expressão para Geq.

Usamos esta expressão para obter uma equação melhorada para U(T).




TnrG ieq2 Lembremos que G depende

apenas da temperatura, e assim temos que G(T) = Geq.

2inrTG

2inpnrTU

Uma expressão para U(T)

Assim, para um semicondutor em equilíbrio vale n = neq e p = peq, e portanto temos U(T) = 0.

Logo, temos que




Ao excitarmos a amostra haverá geração de elétrons livres.

'nnn eq

0'' 2 ieqeq nppnnrTU

'ppp eq '' pn

Uma melhor definição para U(T)

A recombinação líquida positiva (U(T) > 0) indica que mais pares elétron-buraco estão se recombinando do que aqueles que estão sendo gerados.

Obtemos então a taxa de recombinação líquida como




De fato, para cada evento de recombinação o número de elétrons (ou de buracos) diminui de uma unidade.

t

p

t

nTU

pn

t

p

t

n

Uma equação diferencial para a recombinação

Assim, após a excitação ser eliminada, a tendência do sistema será reduzir o número de portadores n e p até que U(T) seja novamente nula.

Obtemos então a seguinte equação diferencial que descreve a situação fora de equilíbrio.




Nesta situação n = neq e p = peq, que é a situação de equilíbrio.

2inpnrt

p

t

n


1. Introdução









Portadores majoritários e minoritários



3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO

Definimos portadores majoritários como sendo aquele que é maioria em um semicondutor.

Assim, para um semicondutor do tipo n, elétrons são os portadores majoritários (nn), enquanto que os buracos são os portadores minoritários (pn).

Por sua vez, definimos portadores minoritários como sendo aquele que é minoria em um semicondutor.

Por outro lado, para um semicondutor do tipo p, buracos são os portadores majoritários (pp), enquanto que os elétrons são os portadores minoritários (np).

Efeito da excitação em semicondutores do tipo n




A partir destas definições, vamos aplicar a equação desenvolvida acima.

É fácil observar que quando provocamos algum tipo de excitação sobre o semicondutor dopado com impurezas doadoras, a população de elétrons pouco se altera, ao passo que a de buracos é fortemente influenciada pela excitação.

Seja inicialmente um semicondutor do tipo n, no qual vimos que os portadores majoritários são os elétrons e os portadores minoritários são os buracos.

Deqneq Nnn Deq

ieqneq N

n

npp

2

Neutralidade da carga em semicondutor do tipo n




Após a excitação, temos uma nova situação.

Como continuamos a ter n(t) >> p(t), então podemos concluir que a concentração de portadores majoritários (neste caso, os elétrons) praticamente não sofrerá alteração.

'nnn n 'ppp n

DNtptn

A neutralidade da carga a qualquer tempo implica que a seguinte equação seja válida.

Por outro lado, temos que o transiente será todo ele devido aos portadores minoritários (neste caso, os buracos).

Equação diferencial da “descarga” de buracos




Assim, temos que

A manipulação desta segunda equação nos conduz à equação diferencial mostrada abaixo.

Dn Ntn 2iD npNrdt

dp

Nesta equação peq é a concentração de equilíbrio dos buracos (portadores minoritários).

eqD ppNrdt

dp

Condições de contorno para a descarga de buracos




Esta equação diferencial é de fácil solução.

Impomos as seguintes condições de contorno para esta situação:

a) para t = 0 admitimos que a excitação está “ligada” e que portanto a concentração de portadores minoritários é igual a um valor p0 que depende de como a excitação é conduzida.

b) para um tempo t > 0 qualquer temos que p = p(t).

Solução da descarga de buracos




Resolvemos então a equação diferencial com as condições de contorno descritas acima.

p

t

eqeq eppptp

0

DNtn

Dp Nr

1Na equação ao lado p é tempo de vida médio dos buracos (portadores minoritários.

p é uma constante que depende do material (a constante r) e da concentração de impurezas doadoras (ND).

Gráfico da “descarga” de buracos




Apresentamos abaixo um gráfico que representa o comportamento dos portadores majoritários e minoritários ao longo do tempo durante o processo de recombinação.

p

t

eqeq eppptp

0

DNtn

Equação diferencial da “carga” de buracos




Podemos estudar também a situação da excitação de buracos em semicondutor do tipo n.

Neste caso, impomos que a taxa de criação de buracos é igual à taxa de geração menos a taxa de recombinação.


RGdt

dp

eqp

ptpGdt

dp

1

Nesta equação G é a taxa de geração de buracos, que depende da forma como o semicondutor é excitado.

Condições de contorno para a “carga”a de buracos




Esta equação diferencial também é de fácil solução.


a) para t = 0 admitimos que a excitação está “desligada” e que portanto a concentração de portadores minoritários é igual a peq.

b) para um tempo t > 0 qualquer temos que p = p(t).

Solução da “carga” de buracos





p

t

peq eGptp 1 DNtn

Dp Nr



Gráfico da “carga” de buracos




Apresentamos abaixo um gráfico que representa o comportamento dos portadores majoritários e minoritários ao longo do tempo durante o processo de excitação.

DNtn

p

t

peq eGptp 1

Gráfico da “carga” e “descarga” de buracos




Apresentamos abaixo um gráfico que representa o comportamento dos portadores majoritários e minoritários ao longo do tempo durante o processo de excitação e de recombinação.

DNtn

p

t

peq eGptp 1

p

t

eqeq eppptp

0

pGp 0




Podemos aplicar os mesmos conceitos desenvolvidos acima para um semicondutor do tipo p.

Analogamente ao caso anterior, temos que quando provocamos algum tipo de excitação sobre o semicondutor dopado com impurezas aceitadoras, a população de buracos pouco se altera, ao passo que a de elétrons é fortemente influenciada pela excitação.

Neste caso, os portadores majoritários são os buracos enquanto que os portadores minoritários são os elétrons.

Aeqneq Npp Aeq

ieqneq N

p

nnn

2

Efeito da excitação em semicondutores do tipo p




Após a excitação, temos uma nova situação.

Como continuamos a ter p(t) >> n(t) , então podemos concluir que a concentração de portadores majoritários (neste caso, os buracos) praticamente não sofrerá alteração.

'ppp p 'nnn p

ANtntp

A neutralidade da carga a qualquer tempo implica que a seguinte equação seja válida.

Por outro lado, temos que o transiente será todo ele devido aos portadores minoritários (neste caso, os elétrons).

Neutralidade de carga em semicondutor do tipo p




Assim, temos que

A manipulação desta segunda equação nos conduz à equação diferencial mostrada abaixo.

Ap Ntp 2iA nnNrdt

dn

Nesta equação neq é a concentração de equilíbrio dos elétrons (portadores minoritários).

eqA nnNrdt

dn

Equação diferencial da “descarga” de elétrons




A solução desta equação diferencial é obtida de forma análoga ao caso anterior.

Impomos agora as seguintes condições de contorno para esta situação:

a) para t = 0 admitimos que a excitação está “ligada” e que portanto a concentração de portadores minoritários é igual a um valor n0 que depende de como a excitação é conduzida.

b) para um tempo t > 0 qualquer temos que n = n(t).

Condições de contorno





n

t

eqeq ennntn

0

ANtp

An Nr

1Na equação ao lado n é tempo de vida médio dos elétrons (portadores minoritários.

n é uma constante que depende do material (a constante r) e da concentração de impurezas aceitadoras (NA).

Solução da descarga de elétrons




Apresentamos abaixo um gráfico que representa o comportamento dos portadores majoritários e minoritários ao longo do tempo durante o processo de recombinação.

n

t

eqeq ennntn

0

ANtp

Gráfico da “descarga” de elétrons

Equação diferencial da “carga” de elétrons




Podemos estudar também a situação da excitação de buracos em semicondutor do tipo p.

Neste caso, impomos que a taxa de criação de buracos é igual à taxa de geração menos a taxa de recombinação.


RGdt

dp

eqp

ptpGdt

dp

1

Nesta equação G é a taxa de geração de buracos, que depende da forma como o semicondutor é excitado.

Condições de contorno para a “carga”a de buracos




Esta equação diferencial também é de fácil solução.


a) para t = 0 admitimos que a excitação está “desligada” e que portanto a concentração de portadores minoritários é igual a neq.

b) para um tempo t > 0 qualquer temos que n = n(t).

Solução da “carga” de buracos





n

t

neq eGntn 1 ANtp

An Nr



Gráfico da “carga” de buracos




Apresentamos abaixo um gráfico que representa o comportamento dos portadores majoritários e minoritários ao longo do tempo durante o processo de excitação.

ANtp

n

t

neq eGntn 1

Gráfico da “carga” e “descarga” de buracos




Apresentamos abaixo um gráfico que representa o comportamento dos portadores majoritários e minoritários ao longo do tempo durante o processo de excitação e de recombinação.

ANtp

n

t

neq eGntn 1

n

t

eqeq ennntn

0

nGn 0


1. Introdução









Efeitos do transiente sobre o deslocamento de portadores

Vamos discutir agora o efeito de situações fora do equilíbrio sobre o processo de deslocamento de cargas em semicondutores.

Estudaremos então a existência de correntes elétricas em situações fora do equilíbrio.



4. DIFUSÃO DE PORTADORES

Em situações de equilíbrio já analisamos o efeito de campos elétricos externos sobre o deslocamento de portadores de cargas em semicondutores.

Neste caso ocorre o que denominamos correntes de deslocamento (ou de deriva – drift), que é diretamente proporcional ao campo elétrico aplicado.

Correntes de deslocamento

A relação entre densidade de corrente elétrica de deslocamento e campo elétrico já foi vista anteriormente e as suas expressões são dadas abaixo.

EneJ ndesn




EpeJ pdesp

Além destas correntes de deslocamento existe outro tipo de corrente elétrica.

Neste outro tipo de movimento os portadores de carga se movem em função da agitação térmica, deslocando-se de regiões de alta concentração para as de baixa concentração.

Correntes de difusão

Assim, o “motor” desta nova modalidade de corrente elétrica é a eventual diferença de concentração de portadores que pode existir em um semicondutor.




Tecnicamente esta diferença de concentração é denominada gradiente de concentração.

A esta nova modalidade de corrente elétrica denominamos corrente de difusão.

O nome corrente de difusão alude ao fato que este movimento de portadores ocorre de forma difusa no sentido de diminuir o gradiente de concentração existente no semicondutor.

O processo de difusão

Assim, o processo de difusão de portadores ocorrerá em qualquer meio desde que:




dx

dNDdif

O fluxo de partículas no processo de difusão, isto é, o número de partículas que atravessa uma dada seção por unidade de área e por unidade de tempo é dada pela Lei de Fick, mostrada ao lado.

a) tais portadores se movam em movimento aleatório;

b) exista no meio um gradiente de concentração.

O coeficiente de difusão

Na Lei de Fick, D é uma constante denominada coeficiente de difusão, que depende do tipo de partícula envolvida no processo e do material onde ele ocorre.




O sinal negativo presente na Lei de Fick indica que o fluxo de partículas se dá no sentido de diminuir o gradiente de concentração existente no meio.

O fluxo de partículas é transformado em densidade de corrente elétrica multiplicando dif pela carga elétrica do portador e substituindo dN/dx pelo gradiente de concentração.

No Sistema Internacional o coeficiente de difusão D tem a unidade m2/s.

A densidade de corrente de difusão

Desta forma obtemos uma expressão geral para a densidade de corrente elétrica de um portador de carga q a uma dada concentração C, a qual é expressa abaixo.




Vamos agora adaptar este resultado para o caso de um semicondutor no qual sabemos que temos dois tipos de portadores envolvidos no processo de transporte de cargas.

CDqJ difq

Densidade de corrente de difusão para elétrons e buracos

No caso dos estados ocupados na BC (elétrons) temos que q = -e e C = n.




nDeJ ndifn

Já no caso dos estados desocupados na BV (buracos) temos que q = +e e C = p.

pDeJ pdifp

Densidade de corrente total para elétrons

No caso geral, os portadores de carga em um semicondutor estão sujeitos aos dois tipos de processos, tanto o deslocamento (deriva – drift), quanto a difusão.




difn

desnn JJJ

Assim, no caso geral escrevemos a densidade total de corrente para cada tipo de portador.

nDEneJ nnn

Para elétrons temos então as equações mostradas ao lado.

Densidade de corrente total para buracos




difp

despp JJJ

pDEpeJ ppp

Já para o caso dos buracos, temos então as equações mostradas abaixo.

A importância do processo de difusão de portadores

O processo de difusão de portadores é particularmente importante quando provocamos deliberadamente um gradiente de concentração ao longo de um semicondutor.




Isto ocorre quando, por exemplo, criamos uma região de junção onde de um lado temos um semicondutor do tipo n (com excesso de elétrons) e de outro um semicondutor do tipo p (com excesso de buracos).

É o caso da formação de um diodo, onde temos uma separação espacial de elétrons e buracos, e do transistor, onde temos duas junções.

Estes casos serão estudados em detalhes mais adiante.


1. Introdução









Semicondutores intrínsecos



5. A RELAÇÃO DE EINSTEIN

e

TkD B

nB

n e

TkD

pB

p e

TkD

É possível mostrar que existe uma relação direta entre o coeficiente de difusão e a mobilidade dos portadores de carga.

Esta relação é mostrada abaixo.

Abaixo mostramos esta equação aplicada a elétrons e buracos.

Valores do coeficiente de difusão para alguns materiais

Ao lado mostramos um esquema do deslocamento de cargas devido ao processo de difusão.

Abaixo mostramos uma tabela com valores dos coeficientes de difusão para alguns semicondutores a 300 K.

Material Dn (m2/Vs) Dp (m2/Vs) Material Dn (m2/Vs) Dp (m2/Vs)

Si InSb

Ge GaP

GaAs InP





1. Introdução









No caso mais geral possível as concentrações de elétrons e buracos variam tanto no tempo como no espaço.

trnn ,

Dependência espacial e temporal dos portadores de carga



6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE

trpp ,

Os mecanismos que determinam tal dependência são

listados abaixo.

a) processos de geração e recombinação;

b) correntes de deslocamento devido a aplicação de campo elétrico externo;

c) correntes de difusão devido a existência de gradientes de concentração.

O nosso objetivo passa a ser obter uma equação diferencial que envolva estes fatores citados acima.

A Conservação da Carga Elétrica




Uma equação diferencial que leve em conta todos estes fenômenos permite que obtenhamos as concentrações de portadores em qualquer situação.

O método para obtenção desta equação diferencial baseia-se no Princípio da Conservação da Carga Elétrica.





Considere a variação da quantidade de carga existente em um volume diferencial dV ocorrendo em um intervalo infinitesimal de tempo dt.

Considere que tal variação ocorra pelas cargas livres criadas pelo processo de geração de portadores e destruídas pelo processo de recombinação de portadores.

Considere ainda que esta variação promova o fluxo de portadores (correntes elétricas) que entram e saem das fronteiras do elemento de volume dV.

Efeito em um semicondutor do tipo n




Como fizemos em casos anteriores, vamos analisar um tipo específico de semicondutor, com as respectivas variações nas concentrações dos portadores.

Seja então um elemento de volume dV de um semicondutor do tipo n, no qual tenhamos elevada dopagem de impurezas doadoras.

Como já foi visto, as variações de concentração, tanto espaciais quanto temporais são relevantes apenas para os portadores minoritários..

No caso de um semicondutor do tipo n, os portadores minoritários são os buracos.

Balanço de cargas em um elemento de volume




Vamos então fazer um balanço da quantidade de cargas existentes neste elemento de volume dV.

A taxa de variação do número de buracos com o tempo em dV ocorre devido aos processos de geração e recombinação.

dVnpnrdVRTGdVt

pi

recger

2

,

Hipótese para os processos de geração e recombinação




Adotamos aqui a mesma hipótese feita anteriormente que n ND >> p = peq – p’.

Neste caso, já obtivemos a equação diferencial para o transiente dos portadores minoritários.

dVptxpNrdVt

peqD

recger

,,

Participação da corrente de deslocamento




Vamos agora calcular o número de buracos que entram por unidade de tempo no elemento dV no ponto x, devido à corrente de deslocamento, com campo elétrico constante.

AExpe

AExpe

e

AxJ

e

xi

t

Np

pdesIN

desININ

Analogamente, calculamos o número de buracos que saem por unidade de tempo no elemento dV no ponto x + x.

AEdxxpe

AEdxxpe

e

xi

t

Np

pdesOUTOUT

Resultado da corrente de deslocamento




Com estes dois resultados, calculamos a taxa de variação no número de buracos no elemento dV devido à corrente de deslocamento.

e

dxxixi

t

p desIN

desIN

des

Com o uso do conceito de diferencial, obtemos a equação mostrada abaixo.

dV

dx

xdpE

t

pp

des

Participação da corrente de difusão




Vamos agora calcular o número de buracos que entram por unidade de tempo no elemento dV no ponto x, devido à corrente de difusão.

A

dx

xdpDe

ee

AxJ

e

xi

t

Nxp

difIN

difININ

1

Analogamente, calculamos o número de buracos que saem por unidade de tempo no elemento dV no ponto x + x.

A

dx

xdpDe

ee

AxJ

e

xi

t

Ndxxp

difOUT

difOUTOUT

1

Resultado da corrente de difusão




Com estes dois resultados, calculamos a taxa de variação no número de buracos no elemento dV devido à corrente de difusão.

e

dxxixi

t

p difIN

difIN

dif

Com o uso do conceito de diferencial, obtemos então a equação mostrada abaixo.

dV

dx

xpdD

t

pp

dif

2

2

Resultado da soma de todos os efeitos




A taxa de variação do número total de buracos no elemento dV é igual à soma das três taxas calculadas anteriormente.

difdesrecger

t

p

t

pdV

t

pdV

t

p

,

Após uma simples manipulação, chegamos à seguinte equação diferencial.

2

2

,,

dx

xpdD

dx

xdpEptxpNr

t

txpppeqD

A corrente total de buracos




A última equação obtida pode ser condensada e expressa em termos da densidade de corrente total de buracos.

dx

xdpDeExpexJ ppp

Assim, obtemos a Equação da Continuidade para os portadores minoritários (buracos) em um semicondutor do tipo n.

x

xJ

eptxpNr

t

txp peqD

1

,,

A Equação da Continuidade para buracos




A Equação da Continuidade obtida acima pode ser expressa em termos mais gerais, considerando o movimento tridimensional dos portadores de carga.

Neste caso, tratamos a densidade de cargas em sua forma vetorial.

peqD Je

ptrpNrt

trp

1,

,





Seja agora um elemento de volume dV de um semicondutor do tipo p, no qual tenhamos elevada dopagem de impurezas aceitadoras.

Insistimos mais uma vez que as variações de concentração, tanto espaciais quanto temporais são relevantes apenas para os portadores minoritários..

No caso de um semicondutor do tipo p, os portadores minoritários são os elétrons.





Vamos então fazer um balanço da quantidade de cargas existentes neste elemento de volume dV.

A taxa de variação do número de elétrons com o tempo em dV ocorre devido aos processos de geração e recombinação.

dVnpnrdVRTGdVt

ni

recger

2

,





Adotamos aqui a mesma hipótese feita anteriormente que p NA >> n = neq – n’.

Neste caso, já obtivemos a equação diferencial para o transiente dos portadores minoritários.

dVntxnNrdVt

neqA

recger

,,





Vamos agora calcular o número de elétrons que entram por unidade de tempo no elemento dV no ponto x, devido à corrente de deslocamento, com campo elétrico constante.

AExne

AExne

e

AxJ

e

xi

t

Nn

ndesIN

desININ

Analogamente, calculamos o número de elétrons que saem por unidade de tempo no elemento dV no ponto x + x.

AEdxxne

AEdxxne

e

xi

t

Nn

ndesOUTOUT





Com estes dois resultados, calculamos a taxa de variação no número de elétrons no elemento dV devido à corrente de deslocamento.

e

dxxixi

t

n desIN

desIN

des

Com o uso do conceito de diferencial, obtemos então

dV

dx

xdnE

t

nn

des





Vamos agora calcular o número de elétrons que entram por unidade de tempo no elemento dV no ponto x, devido à corrente de difusão.

A

dx

xdnDe

ee

AxJ

e

xi

t

Nxn

difIN

difININ

1

Analogamente, calculamos o número de elétrons que saem por unidade de tempo no elemento dV no ponto x + x.

A

dx

xdnDe

ee

AxJ

e

xi

t

Ndxxn

difOUT

difOUTOUT

1





Com estes dois resultados, calculamos a taxa de variação no número de elétrons no elemento dV devido à corrente de difusão.

e

dxxixi

t

n difIN

difIN

dif

Com o uso do conceito de diferencial, obtemos então

dV

dx

xndD

t

nn

dif

2

2





A taxa de variação do número total de elétrons no elemento dV é igual à soma das três taxas calculadas anteriormente.

difdesrecger

t

n

t

ndV

t

ndV

t

n

,

Após uma simples manipulação, chegamos à seguinte equação diferencial.

2

2

,,

dx

xndD

dx

xdnEntxnNr

t

txnnneqA





A última equação obtida pode ser condensada e expressa em termos da densidade de corrente total de elétrons.

dx

xdnDeExnexJ nnn

Assim, obtemos a Equação da Continuidade para os portadores minoritários.

x

xJ

entxnNr

t

txn neqA

1

,,





A Equação da Continuidade obtida acima pode ser expressa em termos mais gerais, considerando o movimento tridimensional dos portadores de carga.

Neste caso, tratamos a densidade de cargas em sua forma vetorial.

neqA Je

ntrnNrt

trn

1,

,


1. Introdução









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