TÓPICOS EM GEOMETRIA

TAREFA DA SEMANA 3

NOME: KELLY CRSTINA SANTOS ALEXANDRE DE LIMA

ATIVIDADES DE SEMELHANÇA

(Critério AA de semelhança de triângulos) Se dois triângulos têm dois ângulos internos

correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes.

1. Construa dois triângulos ABC e DEF no Régua e Compasso, tais que 𝐴 ≡ 𝐷 e 𝐵 ≡ 𝐸 ;

2. Transporte o triângulo DEF para o triângulo ABC, fazendo o vértice E coincidir com o

vértice B e 𝐷 ≡ 𝐷′ , 𝐸𝐷 ≡ 𝐵𝐷′ .

3. O que podemos verificar em relação aos triângulos DEF e BD’F’?

4. E entre os triângulos BD’F’ e ABC? (Observe que D´F’ e AC são paralelos – use o

Régua e Compasso para traçar uma paralela a D´F´que passe por AC e confirmar este

fato)

5. Pelo que você concluiu nos itens 3 e 4, o que podemos dizer dos triângulos ABC e

DEF?

(Critério LAL de semelhança de triângulos) Se dois lados de um triângulo são proporcionais

aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os

triângulos são semelhantes.

1. Construa dois triângulos ABC e DEF no Régua e Compasso, tais que 𝐵 ≡ 𝐸 e 𝐴𝐵

𝐷𝐸=

𝐵𝐶

𝐸𝐹;

2. Construa o triângulo BD’F’ da seguinte maneira: transporte o segmento DE para o

segmento BA obtendo BD’ e a mesma coisa para o segmento EF obtendo então BF’.

3. O que podemos dizer dos triângulos BD’F’ e DEF?

4. Utilize o fato de 𝐴𝐵

𝐷𝐸=

𝐵𝐶

𝐸𝐹 e o que concluiu no item anterior para verificar que

𝐴𝐵

𝐵𝐷′=

𝐵𝐶

𝐵𝐹′;

5. O que podemos dizer dos triângulos BD’F’ e ABC?

6. Pelo que você concluiu nos itens 3 e 5, o que podemos dizer dos triângulos ABC e

DEF?

PLANO CARTESIANO

O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano Cartesiano, foi criado

por René Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. Ele é determinado

por duas retas reais perpendiculares (horizontal e vertical), que se cruzam na origem das

coordenadas. O eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). Os

eixos são enumerados compreendendo o conjunto dos números reais.

As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados (x, y), os elementos do

par ordenado constituem as coordenadas do ponto no plano cartesiano e o par de eixos tem o

nome de eixos coordenados.

Pontos sobre o eixo horizontal apresentam ordenada nula. Reciprocamente, pontos sobre o

eixo vertical apresentam abscissa nula. Qualquer ponto que não se encontrar sobre os eixos,

estará localizado nos quadrantes, veja:

O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções, onde os valores

relacionados à x constituem o domínio e os valores de y, a imagem da função. As telas dos

nossos computadores são modelos da estrutura do plano cartesiano com um número finito de

pontos, aumentando o número de pontos, melhoramos a qualidade da imagem do monitor ou

da impressão dessa imagem. Nas muitas utilizações de recursos de imagens, como na

tomografia ou na localização por satélite, essa organização é fundamental para uma

interpretação precisa dos resultados obtidos.

Marcando o ponto A(x,y):

Primeiro: localiza-se o ponto x no eixo das abscissas

Segundo: localiza-se o ponto y no eixo das ordenadas

Terceiro: Traçar a reta perpendicular aos eixos, o encontro delas será o local do ponto.

1º quadrante = x > 0 e y > 0

2º quadrante = x < 0 e y > 0

3º quadrante = x < 0 e y < 0

4º quadrante = x > 0 e y < 0

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, A (xA,yA) e B (xB, yB)chama-se distância

(dAB) entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos distintos por

extremidades. Podemos calcular esta distância através da equação:

𝑑𝐴𝐵 = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2

Vamos entender porque usamos esta equação:

Dados os pontos A=(xA,yA) e B=(xB,yB), tracemos as projeções destes pontos sobre os eixos

coordenados:

Observemos que a menor distância entre os pontos A e B é a reta AB e que as retas traçadas

pelas projeções definem um triângulo retângulo, podemos então utilizar o Teorema de

Pitágoras. O segmento AB será a hipotenusa do triângulo retângulo ABC; o segmento AC

será um cateto e o segmento BC será o outro cateto, logo:

𝑑𝐴𝐵2 = 𝑑𝐴𝐶

2 + 𝑑𝐵𝐶2

Mas, 𝑑𝐴𝐶 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 e 𝑑𝐵𝐶 = 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴, então:

𝑑𝐴𝐵2 = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)

2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2

Temos a equação para a distância entre os pontos A e B:

𝒅𝑨𝑩 = 𝒙𝑩 − 𝒙𝑨 𝟐 + 𝒚𝑩 − 𝒚𝑨 𝟐

Atividade (utilizando o software Régua e Compasso):

1. Crie dois pontos livres com o Régua e Compasso;

2. Construa um segmento de reta com extremidades nos pontos criados;

3. Verifique o comprimento do segmento através do software Régua e Compasso;

4. Identifique as coordenadas dos pontos que você criou;

5. Utilize a equação da distância entre dois pontos para calcular a distância entre os

pontos criados por você;

6. Compare o valor encontrado na equação com o comprimento do segmento AB.