Semântica de uma fórmula da lógicada 1a ordem via modelo de Herbrand

Notação:Notação: const(F), func(F), pred(F), var(F) conjuntos de símbolos de constantes,

funções, predicados e variáveis (respectivamente) de uma fórmula F da lógica da 1a ordem

Universo de Herbrand de F:Universo de Herbrand de F: Uh(F) = const(F) {f(...,c,...) | f func(F) c const(F)}.

Base de Herband de F:Base de Herband de F: Bh(F) = Uh(F) {p(…,g,…) | p pred(F) g Uh(F)}.

Modelo de Herbrand de F:Modelo de Herbrand de F: Mh(F) = {q Bh(F) | F |= q}.

Modelo de Herbrand mínimo mínimo de F: mh é mínimo sse: mi Mh(F) mi mh

Menor Menor modelo mínimo de Herbrand de F: mm é o menor modelo mínimo sse: mi mi Mh(F) mm mi

Conjunto de proposicionalizações de F: groundground(F) = {F | substituição de var(F) por Uh(F)}

Negação por falha, raciocínio não monotônico e

semântica declarativa de programas lógicos

Jacques RobinCIn-UFPE

Modelo de Herbrand: exemplo

F:F: (maria = mae(joao) (X anc2(pai(X),X)) (Y anc2(mae(Y),Y)) (A,D anc2(A,pai(D)) anc2(A,D)) (E,F anc2(A,pai(D)) anc2(A,D))

Universo de Herbrand UUniverso de Herbrand Uhh(F):(F):

{maria, joao, mae(maria), mae(joao), mae(mae(maria)), mae(mae(joao)), ... }

Base de Herband BBase de Herband Bhh(F):(F):

{maria = joao, maria = mae(maria), maria = mae(joao), joao = mae(maria),

joao = mae(joao), ... anc(maria, maria), anc(maria,joao), anc(joao,maria), anc(joao,joao), anc(maria,mae(maria)), anc(mae(maria),maria)),

anc(maria,mae(joao)), ... } Modelo de Herbrand mínimo mModelo de Herbrand mínimo mhh(F): (F):

{maria = mae(joao), anc(maria,joao)}

Semântica declarativa de um programa lógico via formula da lógica da 1a ordem

Programa P:ancestor(A,D) :- parent(A,D).ancestor(A,D) :- parent(P,D), ancestor(A,P).

Semântica ingênua semIng(P): (A,D parent(A,D) ancestor(A,D))

(A,D,P parent(P,D) ancestor(A,P) ancestor(A,D))

Consultas C:?- ancestor(jacques,jacques)no

No entanto, em lógica clássica da 1a ordem: semIng(P) | C semIng não reflete semântica sobre hipótese do mundo fechadohipótese do mundo fechado Complementação de Clark comp(P): fórmula da lógica clássica da

1a ordem capturando semântica de P sobre hipótese do mundo fechado

Modelo de P = mh(comp(P))

Semântica declarativa de um programa lógico sobre hipótese do mundo fechado

Construção de comp(P):1.1. Para cada predicado definido por n regras C:- PPara cada predicado definido por n regras C:- P11. ,..., C:-P. ,..., C:-Pnn. substituir conjunção de implicações de semIng(P) por equivalência entre C, nas quais as variáveis U11,...,Ukk foram substituídas por novas variáveis V11,...Vkk,

e uma disjunção de n conjunções, cada uma da forma

...,Uii,... ... Vii = Uii ... Pmm(...,Uii,...).

2.2. Para cada predicado q(...,WPara cada predicado q(...,Wll,...) sem definição,...) sem definição como conclusão de nenhuma cláusula mas aparecendo em premissa de regra(s) definindo outro predicados

acrescentar fórmula Wl q(...,Wl,...)

Exemplo: P = {ancestor(A,D) :- parent(A,D). ancestor(A,D) :- parent(P,D), ancestor(A,P).} comp(P) = (Va,Vd ancestor(Va,Vd)

((A,D Va = A Vd = D parent(A,D)) (A,D,P Va = A Vd = D Vp = P parent(P,D) ancestor(A,P)))) P,C parent(P.C)

Em lógica da 1a ordem: comp(P) |= ancestor(jacques,jacques)

Negação por falha em programação em lógica

Programas lógicos normais ou geraisnormais ou gerais autorizam operador notnot de negação por falhanegação por falha nas premissaspremissas das regras e nas consultasconsultas.

Crucial notar que: not não é autorizado nem em fatos, nem em conclusão de regras Semanticamente, not é distinto da negação clássica negação clássica da lógica Enquanto uma premissa ou consulta S de uma BC em lógica é verdade sse: BC |= S

Uma premissa ou consulta not S de um programa lógico normal P é verdade sse: P | S

Negação por falha funciona com hipótese do mundo fechado Resolução SLD de Prolog estendida na resolução SLDNF

Raciocínio com negação por falha: inerentemente não monotônico

Adição de novos fatos em uma BC em Prolog com negação por falha pode diminuir, no lugar de aumentar, o número de fatos deriváveis

BC1:woman(X) :- human(X), not man(X).female(X) :- woman(X).human(roberta).?- female(roberta).yes. BC2 = BC1 + man(roberta).?- female(roberta).no.

Negação por falha e raciocínio por default

A não monotonicidade da negação por falha permite usá-la para implementar raciocínio por default

ave(piupiu). papaLeguas(bipbip). ave(X) :- papaLeguas(X). voa1(X) :- ave(X), not papaLeguas(X). voa2(X) :- not papaLeguas(X), ave(X). ?- voa1(X). X = piupiu. yes ; no ?- voa2(X). no. No entanto, Prolog ISO não segue uma semântica lógica

declarativa para a negação por falha

Negação por falhae terminação

man(X) :- human(X), not woman(X).

woman(X) :- human(X), not man(X). female(X) :- woman(X). human(roberta). ?- man(roberta). .......... Problema devido a recursão através da negação O conhecimento acima é fácil modelar pela re-introdução das restrições de integridade:false :- man(X), woman(X).woman(X) :- human(X).man(X) :- man(X).female(X) :- woman(X).human(roberta).

Limitações da semânticade complementação

P:P: edge(a,b). edge(c,d). edge(d,c). reachable(a).reachable(X) :- edge(Y,X), reachable(Y).sink(X) :- not edge(X,Y).?- reachable(c)...............?- sink(b).yes?- sink(X).no comp(P):comp(P): edge(a,b) edge(c,d) edge(d,c) (Vx reachable(Vx) (Vx = a Vx = X Y (edge(Y,X) reachable(Y)))) ((Vu sink(Vu) (Vu = U V

edge(V,U)))

Limitação 1:Limitação 1:comp(P) | reachable(c).comp(P) | reachable(d).

reachable(c)

(c=a Y(edge(Y,c) reachable(Y))

Y edge(Y,c) reachable(Y)

reachable(d) Limitação 2:Limitação 2:comp(P) | sink(b)

sink(b) (b=U V edge(V,U))

V edge(V,U) b=U

a

b

c

d

Semânticas declarativas para programas lógicos normais

Semântica de complementação de Clark válida apenas para programas lógicos definidosdefinidos, sem negação

Programa lógico estratificadoestratificado: sem ciclo de dependências entre predicados através de negação

Programa lógico consistenteconsistente: sem ciclo com número par de dependências entre predicados através de negação

Apenas programas lógicos normais estratificados possuem um único modelo mínimo de Herbrand definindo sua semântica

Programas lógicos normais mais gerais requerem outras semânticas

Extensões de Prolog ISO usam principalmente duas de tais semânticas: Semântica de modelos estáveismodelos estáveis (ou de conjunto de respostas)

Semântica bem fundamentadabem fundamentada

manhuman

woman

female

+

+ -

-

Semântica de programas lógicos normaisvia modelos estáveis

Objetivo de um modelo estável: definir conjunto de crenças consistentes para um agente racional

Rd(P,M) redução definida Rd de um programa lógico normal P com respeito a um modelo (ou hipótese) M: proposicionalização ground(P) menos:

as regras de P tendo como premissa a negação de um elemento de M as premissas negadas das regras restantes

Justificativa da redução: Na hipótese que L é verdadeverdade, regrasregras com not L em premissa não mudam o que pode ser deduzido e pode ser tirada sem mudar semântica de P

Na hipótese que L é falsofalso, premissaspremissas com not L não mudam o que pode ser deduzido e pode ser tirada sem mudar semântica de P

Resulta em um programa lógico definidodefinido pelo quais podem ser usada as semânticas de Herbrand e de Clark

M é um modelo estávelmodelo estável de um programa lógico normal P sse: M = mm(Rd(P,M)) Se é o menor modelo de Herbrand da redução de P com respeito a ele mesmo

Modelos estáveis de programas lógicos normais: exemplo

Programa P:man(X) :- human(X), not woman(X).woman(X) :- human(X), not man(X).female(X) :- woman(X).human(roberta). Proposicionalização ground(P).man(roberta) :- human(roberta), not woman(roberta).woman(roberta) :- human(roberta), not man(roberta).female(roberta) :- woman(roberta).human(roberta). Redução Rd(P, {human(roberta),man(roberta)}): man(roberta) :- human(roberta).female(roberta) :- woman(roberta).human(roberta). P tem 2 modelos estáveis mínimos:M1 = {human(roberta),man(roberta)}M2 = {human(roberta),woman(roberta),female(roberta)}

Modelos estáveis de programas lógicos normais: propriedades e limitações

Um programa lógico normal P é: CategóricoCategórico se possui um único modelo estável Inconsistente Inconsistente se possui nenhum

P é consistente e sem ciclos de dependência inteiramente positivo P tem pelo menos um modelo estável

Limitações dos modelos estáveis: dedução exponencial no tamanho da base fato alguns programas normais sem nenhum modelo estável

Exemplo: P= {a., b :- a. c :- not c}. Rd(P,{a,b}) = P que não tem menor modelo mínimo de Herbrand já que não é estratificado

Programação por conjuntos de respostas

Máquinas de inferência que usam: Programação em lógica, freqüentemente com várias extensões, como linguagem de representação do conhecimento

Proposicionalização e provadores de teoremas proposicionais para derivar modelos estáveis

Respostas as consultas diretamente lidas destes modelos

Interpretações ternárias de Herbrand

Lógica ternária: Interpretação ternária de Herbrand de uma fórmula F da lógica da 1a ordem I(F) = (I+,I-) onde I+: fatos supostos verdades da base de Herbrand de F, Bh(F)

I-: fatos supostos falsos da base de Herbrand de F, Bh(F)

I(F) total se I+ I- = Bh(F)

I(F) consistente se I+ I- = Ordem informacional entre

interpretações ternárias: I J sse I+ J+ e I- J-

Modelo de Herbrand ternário: M3(F) = ({q Bh(F) | F |= q}, {r Bh(F) | F |= r}).

P Q P Q PQ PQ PQ PQ

T

T F F T T T T

F F T F T F F

U F U U T F U

F

T T F F T T T

F T T F F T T

U T U F U T T

U

T U F U T T T

F U T F U F U

U U U U U T U

Semântica bem fundamentada de programas lógicos normais

R3(P,I) redução ternária R3 de um programa lógico normal P com respeito a uma interpretação de Herbrand ternária I: proposicionalização de P com cada premissa negada substituída pelo seu valor em I

M = WFM(P) é um modelo bem fundamentado de P sse: M = M3(R3(P,M))

Semântica bem fundamentada de programas lógicos normais: exemplo

Programa P:man(X) :- human(X), not woman(X).woman(X) :- human(X), not man(X).female(X) :- woman(X).human(roberta). Proposicionalização ground(P):man(roberta) :- human(roberta), not woman(roberta).woman(roberta) :- human(roberta), not man(roberta).female(roberta) :- woman(roberta).human(roberta). Redução R3(P, ({human(roberta)}, {})):

man(roberta) :- human(roberta), u.woman(roberta) :- human(roberta), u.female(roberta) :- woman(roberta).human(roberta). M = ({human(roberto)},{}) = M3(R3(P, M)) = WFM(P)

Semântica bem fundada: vantagens e limitações

Vantagens do modelo bem fundado: Dedução linear no tamanho da base de fato Todo programa normal tem um modelo bem fundado Exemplo:

P= {a., b :- a. c :- not c}. R3(P,({a,b},{})) = {a., b:- c., u :- not u}.

M3(R3(P,({a,b},{}))) = ({a,b},{}) = WFM(P).

Limitações do modelo bem fundado: Em alguns casos, deixa indefinidas valores que são deduzíveis a partir dos modelos estáveis

Exemplo: P: {p :- not q., q :- not p., r :- p., r :- q}. SM1(P) = {p, r}, SM2(P) = {q, r} WFM(P) = {{},{}}

Relações entre as várias semânticasde um programa lógico normal

Se P possui um único modelo estável SM(P) então: seu modelo bem fundado WFM(P) é total, e WFM(P) = SM(P)

Se P é estratificado então: S possui um único modelo estável SM(P) S possui um modelo bem fundado total WFM(P) SM(P) = WFM(P) = mm(comp(P)).