Semana 02

Teoria Eletromagnética ‒ Engenharia Elétrica

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Departamento de Engenharia Elétrica

Teoria Eletromagnética

Prof. José Patrocínio da Silva


Energia e Potencial e Potencial Eletrostático

Deslocamento de uma carga do

ponto A para o ponto B na presença

de um campo elétrico

E

rA

rB

r

dl

dlEQdlFdW

EQF

B

A

dlEQW

AB

B

A

VdlEQ

W

Energia potencial por unidade de carga,

também conhecida por diferença de

potencial entre os pontos A e B.

Em 𝑉𝐴𝐵, A é o inicial e B é o ponto final;

𝑉𝐴𝐵 é medido em joules por coulomb, ou

mais comumente em volts (v).

A

B

Em 𝑉𝐴𝐵, A é o ponto inicial e B é o ponto final;

Se 𝑉 𝐴𝐵 é negativo, existe uma perda de energia

potencial ao movimentarmos Q de A até B. Isso

significa que o trabalho é feito pelo campo, se 𝑉𝐴𝐵 é

positivo, existe um ganho em energia potencial no

movimento, isso significa que um agente externo é

o responsável por esse trabalho.


rar

QE ˆ

4 2

0

ABAB

AB

rr

r

r

AB VVVrr

Qadra

r

QV

B

A

11

4ˆˆ

4 0

2

0

Se considerarmos o ponto no infinito como referência e seu potencial como zero,

dessa forma, VA= 0 (voltz) quando rA , o potencial quando rB r, devido a carga

pontual se Q, localizada na origem será dado por:

)(4 0

voltsr

QV

O potencial em qualquer ponto é a diferença de potencial entre esse ponto e um

ponto escolhido no qual o potencial é arbitrado como zero



dlEV

r

Se a carga de prova (carga pontual), não estiver localizada na origem, mas em um

ponto cujo o vetor posição é r’, o potencial V(x, y, z) ou, simplesmente V(r), em r será

dado por:

|'|4)(

0 rr

QrV

O potencial devido a n cargas pontuais, será obtido usando-se o princípio da

superposição, o mesmo aplicado para o caso do campo elétrico. Portanto para n

cargas Q1, Q2, ... Qn localizadas em pontos com vetores posição r1, r2, ..., rn, o

potencial em r será dado por:

||4...

||4||4)(

020

2

10

1

n

n

rr

Q

rr

Q

rr

QrV



L

L

rr

dlrrV

|'|

')'(

4

1)(

0

Linha de carga

S

S

rr

dsrrV

|'|

')'(

4

1)(

0

Superfície de carga

v

v

rr

dvrrV

|'|

')'(

4

1)(

0

Volume de carga

A diferença de potencial VAB pode ser determinada genericamente, a partir da equação a seguir:

B

A

ABABQ

WdlEVVV

Para distribuições contínuas de carga tem-se:


O potencial em um ponto pode ser determinado de duas formas, dependendo do que for

conhecido. Se conhecermos a distribuição de cargas, usamos uma das equações acima. Se o

campo elétrico, 𝐸 for conhecido, usamos a seguinte expressão:

CdlEVAB Onde C é uma constante determinada no ponto de referência adotado. O mesmo raciocínio

se aplica as equações onde a carga ou distribuição é conhecida.


Exemplo:

Duas cargas pontuais –4 C e –5 C estão localizadas em (2, -1, 3) e em (0, 4, -2), respectivamente.

Determine o potencial em (1, 0, 1), considerando potencial zero no infinito.

x

y

z

𝑄1 = −4𝜇𝐶

(2,-1,3)

(0,4,-2)

(1,0,1)

𝑄2 = 5𝜇𝐶

𝑟 1

𝑟 2

𝑟

0

20

2

10

1

||4||4)( C

rr

Q

rr

QrV

Solução:

𝑟 − 𝑟 1 = 1, 0, 1 − (2, −1, 3) = (−1, 1, −2) = (−1)2+12 + (−2)2= 6

𝑟 − 𝑟 2 = 1, 0, 1 − (0, 4, −2) = (1,−4, 3) = (1)2+(−4)2+(3)2= 26

𝑆𝑒 𝑉 ∞ = 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐶0 = 0

0264

105

64

104)1,0,1(

0

6

0

6

V

9806,0633,110926

5

6

4

36

104

10)1,0,1( 3

9

6

V

kVV 872,510872,5)1,0,1( 3


Exemplo:

Uma carga de 5 nC está localizada em (-3, 4, 0), enquanto que uma linha em y = 1 e z =1 está

carregada uniformemente com 2 nC/m.

(a) Se V = 0 V em O(0, 0, 0), termine V em A(5, 0, 1).

(b) Se V = 100 V em B(1, 2, 1), termine V em C(-2, 5, 3).

(c) Se V = -5 V em O, termine VBC.

Solução:

Seja o potencial em um ponto qualquer dado por: 𝑉 = 𝑉𝑄 + 𝑉𝐿, onde 𝑉𝑄 e 𝑉𝐿 são as contribuições ao potencial VI, nesse ponto,

devido à carga pontual e à linha cargas, respectivamente.

Para a carga pontual tem-se:

1

02

02

0 44ˆˆ

4C

r

Qr

r

Qdraa

r

QdEV rrQ

Para a linha de cargas tem-se:

Campo elétrico devido a uma carga pontual.

2

000

ln22

ˆˆ2

Cd

daadEV LLLL

Campo elétrico devido a uma linha de cargas.

21

00

ln24

CCr

QVVV L

LQ

C1 + C2 = Constante; é a distância perpendicular da linha 𝑦1 = 1 𝑒 𝑧1 ao ponto de

interesse; e r é a distância da carga pontual ao ponto de interesse.

VVC 825,49

VVBC 175,50


x

y

z

𝑄 = 5𝑛𝐶 (x = 1, y = 1)

(-3,4,0)

𝜌𝐿 = 2𝑛𝐶/𝑚

VA(5,0,1) = ?

𝑉 0, 0, 0 = 0𝑉

𝑉 1, 2, 1 = 100𝑉

(a) Se V = 0 em O(0, 0, 0) e V em A(5, 0, 1) deve ser calculado, deve-se obter

valores de 𝜌 e 𝑟 em O e em A.

𝑟0 = 0, 0, 0 − (−3, 4, 0) = (3,−4, 0) = 32 + (−4)2+0 = 25 = 5

(0,0,0)

𝑟0

𝑟𝐴

𝑟𝐴 = 5, 0, 1 − (−3, 4, 0) = (8 − 4, 1) = 82 + (−4)2+1 = 81 = 9

Para se obter 𝜌, deve-se considerar que este é a distância perpendicular entre o

ponto a ser considerado e a linha de cargas descrita no problema. Ou seja,

𝜌 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 − (𝑥, 𝑦0, 𝑧0) = (0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑥 − 𝑥0 = (𝑥 − 𝑥0)2+(𝑦 − 𝑦0)2 , já

que a linha, para esse caso, é paralela ao eixo x.

𝜌0 = 0, 0, 0 − (0, 1, 1) = (0,−1, −1) = 02 + (−1)2+(−1)2= 2

𝜌𝐴 = 5, 0, 1 − (5, 1, 1) = (0,−1, 0) = 02 + (−1)2+(0)2= 1 = 1

1

2ln

36

102

102

9

1

5

1

36

104

105ln

2

11

4 9

9

9

9

00

0

AO

L

AO

AAOrr

QVVV

2ln369

1

5

1450

1

2ln

36

102

102

9

1

5

1

36

104

1059

9

9

9

0

AA VVV

voltz477,842ln369

1

5

1452ln36

AAA VVV


Relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico

A diferença de potencial entre dois pontos A e B independem da trajetória percorrida, por essa razão:

BAAB VV

0dlEVV BAAB

0dlE

0)( SdEdlE

0 E

Campo Conservativo

A integral de linha de 𝐸 ao longo de uma trajetória fechada deve ser nulo. Isso

implica que é realizado trabalho ao se movimentar uma carga, ao longo de uma

trajetória fechada, no interior de um campo eletrostático. A plicando o teorema de

Stokes em 𝐸. 𝑑ℓ = 0, tem-se:

Forma integral da equação de Maxwell

para campos eletrostáticos

0 E

Forma diferencial da equação de

Maxwell para campos eletrostáticos


dzz

Vdy

y

Vdx

x

VdV

dzEdyEdxEdV

dlEV

zyx

Comparando as duas últimas equações acima tem-se:

z

VE

y

VE

x

VE zyx

,,

VE

O campo Elétrico E é igual ao gradiente de V. O sinal negativo indica que a direção de 𝐸

é oposta a direção em na qual V aumenta.


Exemplo

Solução

(a) 𝐷 = 𝜀0𝐸

Em coordenadas esféricas 𝐸 = −𝛻𝑉 = −𝜕𝑉

𝜕𝑟𝑎 𝑟 +

1

𝑟

𝜕𝑉

𝜕𝜃𝑎 𝜃 +

1

𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜕𝑉

𝜕∅𝑎 ∅ , portanto, aplicando na

equação dada para o potencial tem-se:

Em (2,𝜋

2, 0) tem-se: 𝐷 = 𝜀0𝐸


Continuação:

(b) O trabalho realizado poderá ser calculado usando 𝐸 ou V.

Método 1:

Em vez de movimentar a carga Q

diretamente de A até B, a carga é

movimentada de 𝐴 → 𝐴′, 𝐴′ → 𝐵′ e

de 𝐵′ → 𝐵 , de forma que somente

uma variável se altera por vez. Este

procedimento torna mais prático o

cálculo da integral


Método 2:

Como V já é conhecido pode-se fazer:

Portanto W = 28,125 μJ, mesmo resultado obtido anteriormente.


Dipolo Elétrico e as Linhas de Fluxo

Quando duas cargas pontuais de igual magnitude e sinais opostos estão separadas por uma pequena

distância, tem-se um dipolo Elétrico.

20

2

10

1

44 r

Q

r

QV

𝑚𝑎𝑠, 𝑄1 = 𝑄2

Mesma magnitude

21

12

0210 4

11

4 rr

rrQ

rr

QV

𝑟1e 𝑟2são as distâncias entre P e + Q e entre P e

–Q, respectivamente. Se 𝑟 ≫ 𝑑, 𝑟2 − 𝑟1 ≅𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 e 𝑟1𝑟2 = 𝑟2, portanto:

20

1 cos

4 r

dQV



Como: 𝑑𝑐𝑜𝑠 = 𝑑 . 𝑎 𝑟, onde 𝑑 = 𝑑𝑎 𝑧, se definirmos 𝑃 = 𝑄𝑑 , como momento de dipolo, podemos

escrever o potencial como:

20

20

1

4

ˆcos

4 r

ap

r

dQV z

𝑃 está orientado de –Q para +Q. Se considerarmos que o centro do dipolo foi deslocado do centro

para um r’ qualquer no sistema, tem-se:

3

0 '4

)'()(

rr

rrprV



O campo elétrico devido ao dipolo na origem, pode ser obtido como

Uma linha de fluxo elétrico é uma trajetória ou uma

linha imaginária desenhada de tal modo que sua

orientação em qualquer ponto é a orientação do

campo elétrico nesse ponto.

z


Densidade de Energia no Campo Eletrostático

0

22

022

1

DEWE

Campos Elétricos em Meio Material

A corrente elétrica (Ampéres): É a quantidade de carga que passa através de uma

área por unidade de tempo

dt

dQI

VdvDWE

2

1

Densidade de energia eletrostática em (J/m3)


Densidade de Corrente

Se uma corrente I atravessa uma superfície s, a densidade de corrente é dada por:

S

IJ

S

SdJI

Para um material condutor a densidade de corrente é dada por:

EJ

m

ne

2

É a condutividade do material, os da condutividade para

os materiais comuns são tabelados.

Forma pontual da lei de

ohm


Três cargas pontuais -1 nC, 4 nC 3 nC estão localizadas em (0, 0, 0), (0, 0, 1) e (1, 0, 0),

respectivamente. Determine a energia do sistema.

Solução: Para se obter a energia armazenada em um

arranjo, deve-se primeiramente, determinar a

quantidade de trabalho necessário para reunir

essas cargas. Portanto, a energia pode ser dada

por 𝑊𝐸 = (1 2 ) 𝑄𝑘𝑉𝑘𝑛𝑘=1 em Joules. Onde 𝑉𝑘

representa os potenciais totais nos pontos. Logo,

para o problema em discussão tem-se

3

132211 3

2

1

2

1

kkk VQVQVQVQW

z

y

x Q3(1,0,0)

Q2(0,0,1)

Q1(0,0,0)

3

1231333212231211

2

1

2

1

kkk VVQVVQVVQVQW

20

2

10

13

30

3

10

12

30

3

20

21

4444442

1

rr

Q

rr

QQ

rr

Q

rr

QQ

rr

Q

rr

QQW

1

1

2


)2(4)1(4)2(4)1(4)1(4)1(42

1

0

2

0

13

0

3

0

12

0

3

0

21

QQQ

QQQ

QQQW

Continuação

)2()2(8

1 213

312321

0

QQQ

QQQQQQW

)2(4

1

)2(

222

8

1 323121

0

323121

0

QQQQQQ

QQQQQQW

2

127109

2

1012103104109

)2(

36

104

1 918

181893231219

QQQQQQW

)2()2(8

1 2313

32123121

0

QQQQ

QQQQQQQQW

nJ 37,13W


Campos Elétricos em Meios materiais

Correntes elétricas de convecção e de condução

A corrente elétrica (Ampères), é a quantidade de carga que passa através de uma área por

unidade de tempo

dt

dQI

Assim, para uma corrente de um ampère, a carga está sendo transferida a uma taxa de um

coulomb por segundo.


Densidade de Corrente

Se uma corrente I atravessa uma superfície s, a densidade de corrente é dada por:

SJIS

IJ nn

ou

S

SdJI

Para um material condutor a densidade de corrente é dada por: EJ

m

ne

2

É a condutividade do material, os da condutividade para os materiais comuns são

tabelados.

𝐽 = 𝜎𝐸 representa a forma pontual da lei de ohm, onde

Considerando que a densidade de corrente 𝐽 é perpendicular à superfície, tem-se:

A densidade de corrente em um dado ponto é a

corrente através de uma área unitária normal aquele

ponto.

yvv ΔSuΔt

ΔΔS

Δt

ΔQΔI


Características dos materiais condutores Os condutores possuem, em abundância, cargas elétricas que estão livres para se movimentarem.

Quando um campo elétrico é aplicado, as cargas livres positivas são empurradas no sentido do

campo aplicado, enquanto que as cargas negativas movem-se no sentido oposto. Estas cargas

elétricas se acumulam as superfície do condutor, formando uma superfície de cargas induzidas

Um condutor perfeito não pode

conter um campo eletrostático em

seu interior e o potencial é o

mesmo em qualquer ponto no

condutor. logo:

0 ,0 ,0 abv VE

No interior do condutor sob

condições estáticas

SR

SR

SI

VV

S

I

S

IE

S

IJ

VE c

ℜ𝑐 =1

𝜎 é resistividade do material


Condutor de seção reta uniforme sob um campo 𝑬

SdE

dE

I

VR

dvJEP

RIP 2

Lei Joule


1 – Exemplo:

Seja a densidade de corrente J dada abaixo. Calcule a corrente que

passa através de;

2

3A/m )ˆˆcos2(

1 asena

rJ r

a) Uma casca hemisférica de raio 20 Cm;

b) Uma casca esférica de raio 10 Cm.

2 – Exercício:

Para uma densidade de corrente J dada abaixo. Determine a corrente

através de uma superfície cilíndrica dada por = 2 e (1 z 5m).

22 A/m )ˆ 10 azcsenJ


1 – Solução (a):

raddsenrSdSdJI ˆ onde 2

AIsen

sendsenr

I

dsenrr

I

r

r

1022,0

4)(2

2

)()cos(21

20

2

2,0

2

0

2,0

2

0

2

0

2

3

1 – Solução (b): Aqui temos 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 e 𝑟 = 0,1 𝑚

AIsen

I 021,0

40

2

Uma outra maneira de resolver este problema seria utilizar 𝐼 = 𝐽 ∙ 𝑑𝑆 = 𝛻 ∙ 𝐽 𝑑𝑣 = 0

uma vez que 𝛻 ∙ 𝐽 = 0.


2 – Exercício:

Para uma densidade de corrente J dada abaixo. Determine a corrente através de

uma superfície cilíndrica dada para = 2 e (1 z 5m). 22 A/m )ˆ 10 azcsenJ

Solução: adzdSd ˆ

dzdzIdzdzsenSdJIz

2

0

5

1

2

0

5

1

2 2cos12

11010

dz

IdzdzI2

0

22

0

5

1

2cos12

1

1

5

2102cos1

2

110

0

222

2

1

2

2

2cos2

12cos1

2

1 2

0

2

0

2

0

sen

ddd

AII 7,75324012)2(102

1

2

2510


3 – Exemplo:

Um exemplo típico de transporte convectivo de cargas, é encontrado no gerador de Van

de Graaff, no qual as cargas são transportadas sobre uma correia que se movimenta da

base até a calota esférica, como mostrado na figura baixo. Se uma densidade de cargas

de 10−7 𝐶

𝑚2 é transportada a uma velocidade de 2 m/s, calcule a carga coletada em 5

segundos. Considere a largura da correia de 10 cm.

nCQQ

Csms

m

m

CtuItQ

t

QI

uI

s

s

10010100

10151,0210

9

7

2

7

Solução: Se 𝜌𝑠 é a densidade superficial de cargas, u é a velocidade

da correia e ℓ a largura da correia, a corrente na calota poderá ser

dada por:

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