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PARANÁ GOVERNO DO ESTADO
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
FICHA CATALOGRÁFICA
PRODUÇÃO DIDÁTICO - PEDAGÓGICA :UNIDADE DIDÁTICA
Título: UMA PROPOSTA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL ENVOLVENDO
POLÍGONOS E MEIO AMBIENTE EM UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Autor Clarice Barga Rosa
Escola de Atuação Escola Estadual de Paraíso do Sul - EF
Município da escola Barbosa Ferraz
Núcleo Regional de Educação Campo Mourão
Orientador Luciano Ferreira
Instituição de Ensino Superior FECILCAM
Disciplina/Área (entrada no
PDE)
Matemática
Produção Didático-pedagógica Ensino Fundamental
Relação Interdisciplinar
(indicar, caso haja, as
diferentes disciplinas
compreendidas no trabalho)
Público Alvo
(indicar o grupo com o qual o
professor PDE desenvolveu o
trabalho: professores, alunos,
comunidade...)
Alunos: 7ª/8ª séries (8º e 9º anos)
2
Localização
(identificar nome e endereço da
escola de implementação)
Escola Estadual de Paraíso do Sul – EF
Avenida A-222
Apresentação:
(descrever a justificativa,
objetivos e metodologia
utilizada. A informação deverá
conter no máximo 1300
caracteres, ou 200 palavras,
fonte Arial ou Times New
Roman,tamanho 12 e
espaçamento simples)
Tendo como referência uma Escola da zona rural, Ensino
Fundamental, Bairro Paraíso do Sul, foi possível perceber a
dificuldade no ensino e aprendizagem de Geometria.
Nossa realidade é de alunos que estudam o Ensino Básico
em uma Escola da rede Municipal, onde o ensino é
multiseriado (oferta de pré-escola ao 5º ano), uma
professora atende até três séries ao mesmo tempo.
Provavelmente as dificuldades destes alunos, são bem
maiores.
Diante deste cenário, foram desenvolvidos vários projetos,
entre eles o Projeto Paraíso Ecológico (PPE), na tentativa de
superar as dificuldades, não somente no Ensino de
Matemática, mas também proporcionar aos alunos
participantes, uma visão voltada ao bem – estar comum.
Com esse objetivo utilizaremos parte do Projeto de Ecologia
(PPE), onde tentaremos entrelaçar a proposta de nossa
pesquisa, enfatizando os Conceitos Geométricos Poligonais
e o respeito ao Meio Ambiente, com o intuito de amenizar
as dificuldades no Ensino de Geometria. Tendo como
objetivo geral utilizar Metodologia “Engenharia Didática”,
em uma sequência didática de atividades, proporcionando
um ambiente propício de aprendizagem significativa e um
material didático relevante na tentativa de contribuir para
um Ensino Público de qualidade no Estado do Paraná.
Palavras-chave (3 a 5 palavras) Polígonos; Meio Ambiente; Sequência Didática.
3
CLARICE BARGA ROSA
UMA PROPOSTA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL ENVOLVENDO
POLÍGONOS E MEIO AMBIENTE EM UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Material Didático (Unidade Didática), para
Intervenção Pedagógica na escola, apresentado
à Secretaria Estadual do Paraná, como
requisito parcial à obtenção do título de
Professor PDE, sob a responsabilidade da
Faculdade Estadual de Ciências e Letras de
Campo Mourão (FECILCAM), sob a
orientação do Professor Me. Luciano Ferreira
BARBOSA FERRAZ
2011
4
“Vivemos em um universo de padrões.
Todas as noites as estrelas se movem em
círculos no céu. As estações se sucedem
em intervalos anuais. Dois flocos de neve
nunca são exatamente iguais, mas todos
têm uma simetria hexagonal.
(...) A mente e a cultura humanas
desenvolveram um sistema formal de
pensamento para reconhecer, classificar e
explorar padrões. Nós o chamamos de
Matemática”.
IAN STEWART
5
Sumário
TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE .................................................................................... 6
TÍTULO .............................................................................................................................................. 6
1. APRESENTAÇÃO ..................................................................................................................... 6
2. JUSTIFICATIVA DO TEMA DE ESTUDO .............................................................................. 7
3. PROBLEMA/PROBLEMATIZAÇÃO ....................................................................................... 8
4. OBJETIVOS ............................................................................................................................... 9
4.1. Objetivo Geral ......................................................................................................................... 9
4.2. Objetivos Específicos .............................................................................................................. 9
5. FUNDAMENTAÇÃIO TEÓRICA / REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ....................................... 10
5.1. GEOMETRIA EUCLIDIANA ................................................................................................... 10
5.2. O ABANDONO DA GEOMETRIA .......................................................................................... 12
5.3. ENGENHARIA DIDÁTICA: UMA METODOLOGIA DE ENSINO E PESQUISA .............. 15
PRIMEIRA FASE – ANÁLISES PRELIMINARES .......................................................................................... 16
SEGUNDA FASE – DA CONCEPÇÃO E DA ANÁLISE A PRIORI ................................................................... 17
TERCEIRA FASE – EXPERIMENTAÇÃO ................................................................................................... 17
QUARTA FASE – ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO ....................................................................... 18
5.4. DIRETRIZES CURRICULARES DA EDUCAÇÃO ................................................................ 18
6. ESTRATÉGIAS DE AÇÃO ..................................................................................................... 20
REFERÊNCIAS ................................................................................................................................ 48
APÊNDICES ............................................................................................................................................. 50
ANEXOS....................................................................................................................................................66
6
TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE
O ENSINO E APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA, VALORIZANDO AS FORMAS
POLIGONAIS NO MEIO AMBIENTE
TÍTULO
UMA PROPOSTA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL ENVOLVENDO POLÍGONOS
E MEIO AMBIENTE EM UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
1. APRESENTAÇÃO
O presente material integra resultados do Programa de Desenvolvimento Educacional -
PDE, enquanto política de formação continuada e de valorização dos Professores da Rede
Pública Estadual de Ensino do Estado do Paraná, em parceria com o Ensino Superior. A
Unidade Didática aqui apresentada foi elaborada em consonância com o objeto de estudo sobre
o tema “O Ensino e aprendizagem de Geometria, valorizando as formas poligonais no Meio
Ambiente”, tendo como metodologia de pesquisa e ensino a Engenharia Didática, que tem por
objetivo elaborar atividades em uma sequência didática e organizar coleta de dados para
validação da pesquisa.
As atividades do Programa foram realizadas na Faculdade Estadual de Ciências e Letras
de Campo Mourão – FECILCAM, sob a orientação do Professor Me. Luciano Ferreira.
Esta produção será implementada no 2º semestre de 2011, na Escola Estadual de Paraíso
do Sul - Ensino Fundamental, no Município de Barbosa Ferraz-PR, Núcleo Regional de Ensino
de Campo Mourão, para alunos do Ensino Fundamental.
Conforme as Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do
Paraná (DCE) traz como conteúdo estruturante a geometria, que se desdobra em conteúdos
7
específicos, entre eles o estudo de polígonos, ter como ponto de partida problemas e situações
vivenciadas pelos alunos, o mesmo é exposto a situações em que precisa olhar, avaliar e
interpretar a realidade; discutir, questionar e compreender limites e valores estabelecidos, e
vivenciar a riqueza das experiências de flexibilidade e reversibilidade de pensamentos e atitudes
(DCE, 2006)
Assim, a matemática tem como função desenvolver a consciência crítica, a cada
conteúdo estudado, provocando alterações de concepções e atitudes, permitindo a interpretação
do mundo em que vive e a compreensão das relações sociais.
Encontra-se, entre os Conteúdos Estruturantes1 de matemática da Educação Básica, a
Geometria. Neste conteúdo espera-se o reconhecimento de figuras geométricas planas e
espaciais por meio de suas definições e da identificação de algumas propriedades.
Contudo, a proposta desta pesquisa é contribuir para um ensino público de qualidade,
proporcionando aos alunos uma reflexão sobre sua condição de aprendiz e interação com o seu
meio, sendo um agente transformador, se não, pelo menos fazer a diferença.
2. JUSTIFICATIVA DO TEMA DE ESTUDO
Em uma trajetória de vinte e quatro anos como professora da Rede Estadual, trabalhando
desde o Ensino Fundamental até o Pós Médio (profissionalizante), e tendo como referência uma
escola da zona rural, Ensino Fundamental, do Bairro de Paraíso do Sul, Município de Barbosa
Ferraz, Estado do Paraná, foi possível perceber a dificuldade no ensino e aprendizado de
Geometria.
Nossa realidade é de alunos que estudam o Ensino Básico em uma Escola da Rede
Municipal, onde o ensino é multiseriado (oferta de pré-escola ao 5º ano), e uma professora
atende até três séries ao mesmo tempo. Provavelmente as dificuldades destes alunos, são bem
maiores.
Neste cenário, foram desenvolvidos vários projetos na tentativa de superar as
dificuldades, não somente no ensino de Matemática, mas também proporcionar aos alunos
1 Entende-se por conteúdos estruturantes os conhecimentos de grande amplitude, conceitos ou práticas que
identificam e organizam os campos de estudos de uma disciplina escolar, considerados fundamentais para a
compreensão de seu objeto de ensino. Constituem-se historicamente e são legitimados nas relações sociais (
Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica - SEED )
8
participantes uma visão de agente transformador do mundo em que vive a questão da
responsabilidade voltada ao bem-estar comum.
Em uma das tentativas, tendo como objetivo propiciar o bem estar dos alunos, foi criado
o Projeto Paraíso Ecológico (PPE) 2, que tem como slogan: Pensar globalmente e agir
localmente, lançamos na época (1996) o seguinte desafio: “Se você não está contente com o
lugar que mora, mude-se ou transforme-o”. Há 14 anos desenvolvemos trabalhos de
conscientização sobre a conservação dos bens públicos, conquistas necessárias junto ao poder
público de sustentabilidade do Bairro como: trevos, terrenos arborizados, jardinagens, pracinha
local, recolhimento de lixo, confraternização do dia das crianças3 (parte social), conscientização
sobre doenças que estão relacionadas com a falta de higiene, entre outras conquistas.
Contudo e embasados no PPE como referencial, pretendemos com esta pesquisa
aprimorar o ensino de Geometria e o respeito ao Meio Ambiente, como sendo essenciais na
formação do educando, buscando novas metodologias para superação das dificuldades.
Com esse objetivo utilizaremos partes do Projeto de Ecologia (PPE) 4 para melhorar o
ensino de Geometria, com o intuito de fazer com que os alunos deixem de pensar a Matemática
só como fórmulas e nomenclaturas, conseguindo assim, definir os conceitos geométricos de
forma significativa.
Passamos agora para nossos problemas, onde tentaremos entrelaçar propostas,
questionamentos, atividades, teorias e estudos dentro de uma pesquisa.
3. PROBLEMA/PROBLEMATIZAÇÃO
Toda produção científica inicia-se com uma situação que gera dúvida ou que nos intriga,
a qual denominamos “situação problema”. Em nosso caso, propomos estudar e discutir o ensino
de Geometria no Campo5. Pois como coloca PAVANELLO:
2 PPE - Projeto Paraíso Ecológico (1996), foi uma necessidade de sustentabilidade do Bairro local, o
mesmo teve início na Escola Estadual de Paraíso do Sul- EF, Município de Barbosa Ferraz-Paraná, passando a
fazer parte do PPP (Projeto Político Pedagógico) da escola, devido às dificuldades encontradas pela escola e
comunidade com falta de algumas prioridades, por ser um povoado de difícil acesso e distante da sede (Clarice
Barga Rosa -Orientadora – 1996/2011). 3 Dia das crianças - comemora o aniversário do PPE com uma festa de confraternização com toda a
comunidade local e patrocinadores do evento. Cada ano trazemos como convidados especiais uma comunidade
vizinha para confraternizar conosco (orientadora do Projeto). 4 Projeto Paraíso Ecológico
5 Usaremos Campo para tratar de uma escola da zona rural do interior do Paraná.
9
O fato de que nem todo ensino de geometria produz o desenvolvimento de um
pensamento crítico e autônomo não justifica seu abandono. Implica isto sim, a
necessidade de investimentos em pesquisas sobre metodologias mais
apropriadas para a abordagem desse conceito e em ações destinadas a
proporcionar aos professores condições para a melhoria da qualidade desse
ensino. (PAVANELLO, 1993, p. 16).
Sendo assim, e tendo em vista o cenário que estamos atravessando na Educação do
Campo e a necessidade de uma aprendizagem significativa no ensino de Geometria, surgiu à
necessidade de trabalhar uma metodologia diferenciada. Partindo deste pressuposto, alçamos a
seguinte problemática: Será que os alunos aprendem o conteúdo de Geometria, especificamente
conceitos geométricos poligonais, se utilizar a metodologia da Engenharia Didática6?
4. OBJETIVOS
4.1. Objetivo Geral
Utilizar a metodologia “Engenharia Didática”, para elaboração de uma sequência didática,
acerca do ensino de Geometria na qual utilizaremos o PPE em situações reais nas atividades,
enfatizando os polígonos e o respeito ao Meio Ambiente, com intuito de amenizar as
dificuldades no Ensino da Geometria e contribuir para a melhoria da educação das escolas
públicas paranaenses.
4.2. Objetivos Específicos
Propor uma sequência didática com atividades envolvendo os conceitos geométricos
poligonais;
Proporcionar um ambiente de aprendizagem propício e material didático apropriado,
para o desenvolvimento das atividades;
6 Engenharia Didática: vista como metodologia de pesquisa, é caracterizada, em primeiro lugar, por um
esquema experimental com base em “realizações didáticas” em sala de aula, isto é, na construção, realização,
observação e análise de sessões de ensino. (Saddo Ag Almouloud ,2007, p.171).
10
Conscientizar o educando, proporcionando ações coletivas de mudanças de atitudes,
no decorrer do ensino-aprendizagem, o respeito ao Meio Ambiente em prol da
comunidade, enfim de uma sociedade melhor;
Construir um Material Didático-Pedagógico diferenciado, em uma sequência didática,
contribuindo assim para a melhoria da qualidade do ensino público.
5. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA / REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
5.1. GEOMETRIA EUCLIDIANA
Devemos ao matemático grego Euclides (330a.C. - 260 a.C.) que nasceu na Síria e
estudou em Atenas, reconhecido como um dos matemáticos mais importantes da Grécia
Clássica de todos os tempos pela forma organizada e lógica de ver a Geometria. Ele reuniu
numa obra de 13 volumes, o que são chamados de: Os Elementos.
Na matemática, Geometria Euclidiana é a geometria sobre planos ou objetos em três
dimensões, baseados nos postulados7 de Euclides de Alexandria, em seu texto “Os Elementos”.
“Os Elementos” tornou-se a primeira discussão sistemática sobre geometria e o primeiro
texto a falar sobre teoria dos números. Foi também um dos livros mais influentes na história,
tanto pelo seu método quanto pelo seu conteúdo matemático. O método consiste em assumir um
pequeno conjunto de axiomas8 intuitivos, e então provar várias outras proposições (teoremas) a
partir desses axiomas. Muitos dos resultados de Euclides, já haviam sido afirmados por
matemáticos gregos anteriores, porém ele foi o primeiro a demonstrar como essas preposições
poderiam ser reunidas juntas em um abrangente sistema dedutivo.
No livro I da obra Os Elementos de Euclides, encontramos 23 (vinte e três) definições, 5
(cinco) Postulados, 9 (nove) Noções comuns e 48 (quarenta e oito) Proposições demonstradas.
A seguir, enunciamos as nove noções comuns e os cinco axiomas que aparecem no livro
I. Estas afirmações foram extraídas do livro Elementos traduzido para o português por Irineu
Bicudo (EUCLIDES, 2009), o tradutor foi o mais fiel possível, por isso algumas citações devem
7 Postulados: se as afirmações foram aceitas sem demonstração
8 Axiomas: Noções gerais
11
ser interpretadas como os gregos redigiam na época (330 a.C.), sem adaptações para nossa atual
maneira de redigi-los.
Noções comuns:
1. As coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si.
2. E, caso sejam adicionados coisas iguais a coisas iguais, os todos são iguais.
3. E, caso iguais sejam subtraída iguais, a restante são iguais.
4. E, caso iguais sejam adicionadas a desiguais, os todos são desiguais.
5. E os dobros da mesma coisa são iguais entre si.
6. E as metades das mesmas coisas são iguais entre si.
7. E as coisas que se ajustam uma a outra são iguais entre si.
8. E o todo [é] maior que a parte.
9. E duas retas não contêm uma área. (EUCLIDES, 2009, p. 99)
Postulados:
1. Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto.
2. Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta.
3. E, como todo centro e distância, descrever um círculo.
4. E serem iguais entre si todos os ângulos retos.
5. E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça os ângulos interiores e do mesmo lado
menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas retas, ilimitadamente, encontrarem-se no
lado no qual estão os menores de que dois retos. (EUCLIDES, 2009, p. 98).
Uma maneira mais atual de se escrever este quinto postulado é a seguinte:
5. Se uma reta r corta duas outras retas s e t (no mesmo plano) de modo que a soma dos
ângulos interiores (α e β) de um mesmo lado de r é menor que dois retos, então s e t, quando
prolongadas suficientemente, se cortam daquele lado de r..
A figura 1 ilustra o quinto postulado, mas ela não aparece no livro Elementos.
Figura 1: Postulado das Paralelas
Barbosa (1995, p. 17) afirma que a demora de Euclides em utilizar o quinto postulado,
fez com que os matemáticos, da Antiguidade, suspeitassem de que estavam diante de uma
α
β
r
s
t
12
proposição disfarçada em postulado. Tal suspeita fundamenta-se, também, no fato de,
tecnicamente, o postulado das paralelas ser recíproco da proposição dezessete.
Na construção da Geometria apresentada no livro I, Euclides utiliza o quinto postulado
pela primeira vez apenas a partir da vigésima nona proposição. Acredita-se que Euclides
retardou o uso do quinto postulado devido à sua não evidência, já que ele poderia tê-lo utilizado
antes da proposição 29. Talvez Euclides não estivesse satisfeito com a condição de “postulado”
de tal afirmação, mas isso é apenas especulação.
Segundo Bkouche (1982) referindo-se à natureza do quinto postulado:
Ele não deriva nem das propriedades gerais das grandezas enunciadas pelos
axiomas, nem da possibilidade de construção expressas pelos três primeiros
postulados [...] e nem tem a característica de evidência que possui o quarto
postulado (BKOUCHE, 1982, apud BRITO, 1995, p. 54)
Os professores devem resgatar os fatos históricos da Geometria Euclidiana e procurar se
informar da não euclidiana, para aprimorar o vocabulário cotidiano sobre os conceitos
geométricos.
Nossa pesquisa é fundamentada na Geometria Euclidiana. 9
5.2. O ABANDONO DA GEOMETRIA
Na maioria das vezes, os professores apontam a carga horária como um dos fatores que
tem interferido no ensino da matemática como um todo, mas a Geometria deveria estar
entrelaçada com diversos conteúdos, não deixando os alunos apenas com o conhecimento de
senso comum, sendo de grande relevância quando se trata em trabalhar a formação do
educando.
A este respeito, Pavanello vem nos relatar um breve histórico do ensino de geometria:
O grande abandono do ensino da geometria, verificado nestas últimas décadas,
no Brasil, é um fato que tem preocupado bastante os educadores matemáticos
brasileiros e que, embora reflita uma tendência geral, é mais evidente nas escolas
públicas, principalmente após a promulgação da Lei 5692/71. Liberdade que
9 Muitas obras de Euclides podem ser obtidas na internet, em particicular, no sítio www.euclides.org.
13
essa lei concedia às escolas quanto à decisão sobre os das diferentes disciplinas
possibilitou que muitos professores de matemática, sentindo-se inseguros para
trabalhar com a geometria, deixassem de incluí-la em sua programação, por
outro lado, mesmo dentre aqueles que continuaram a ensiná-la, muitos
reservaram o final do ano letivo para sua abordagem em sala de aula - talvez
numa tentativa inconsciente, de utilizar a falta de tempo como desculpa pela não
realização do trabalho programado com o tópico em questão (PAVANELLO,
1993, p.7).
A carga horária de Matemática no Estado do Paraná vem diminuindo ano após ano,
impossibilitando assim um trabalho significativo acerca dos conteúdos básicos.
Segundo Pavanello, no início da década de 60, generalizou, também no Brasil, a
influência do Movimento da Matemática Moderna, cuja ideia central é adaptar o ensino da
matemática às novas concepções surgidas com a evolução deste ramo do conhecimento. São
lançados os primeiros livros didáticos de matemática, escritos de acordo com a nova orientação.
Neles, como nos demais que serão publicados a partir daí, estão presentes a preocupação com as
estruturas algébricas e com a utilização da linguagem simbólica da teoria dos conjuntos.
O abandono da educação em busca de um ensino público de qualidade deve ser revisto
pelos órgãos governamentais. Pavanello cita o abandono de geometria da seguinte forma:
O abandono do ensino da geometria deve, portanto, ser caracterizado como
uma decisão equivalente às medidas governamentais, em seus vários níveis,
com relação à educação. Podem-se questionar as verdadeiras intenções e
compromissos que elas revelam em relação ao oferecimento de condições que
impliquem em reais oportunidades educacionais a todos os segmentos da
população brasileira (PAVANELLO, p.16, 1993) .
A geometria oferece diversas oportunidades de desenvolver a criatividade do aluno.
Vejamos o texto abaixo, segundo Pavanello:
Não se pode negar que a geometria oferece um maior número de situações na
qual o aluno pode exercitar sua criatividade ao interar com as propriedades
dos objetos, ao manipular e construir figuras, ao observar suas características,
compará-las, associá-las de diferentes modos, ao conceber maneiras de
representar (PAVANELLO, 1995, p.14).
14
Para Pais (2001) não devemos utilizar apenas um único conceito, mais sim, termos a
preocupação de que o saber do cotidiano do aluno deve ser ampliado, por meio de uma didática
que desenvolve diversas situações:
Como o saber escolar localiza-se entre o saber cotidiano e o saber científico, a
teoria dos campos conceituais permite atribuir aos conceitos um significado de
natureza educacional, servindo de parâmetro orientador para que a educação
escolar não permaneça na dimensão empírica do cotidiano nem se perca no
isolamento da ciência pura. Nesse sentido, é inadequado isolar o contexto de
elaboração de uma noção, cabendo à didática desenvolver situações em que
intervenha não apenas um único conceito, mas uma diversidade deles (PAIS,
2001, p.52).
Para Proença, a identificação de atributos definidores de polígono, depois de analisar
vários livros didáticos encontra alguns autores que são divergentes:
No entanto, podem-se encontrar definições diferentes, em alguns aspectos,
sobre determinados conceitos. Proença constatou que autores que escreveram
sobre geometria plana apresentavam uma variação na definição de polígonos.
Nesse caso, o cruzamento entre dois lados não consecutivos (figuras
entrelaçadas) foi à característica considerada por um, e não por outro autor
(PROENÇA, 2008, p.16).
Quem leva o aluno a entender estas definições é o professor. Por isso a formação do
professor se torna fundamental, pois ele quem deve garantir uma aprendizagem com
significados, permitindo ao educando analisar e tirar suas próprias conclusões.
Proença cita Klausmeier e Goodwin10
ao definir atributo:
Um atributo é uma característica discriminável de um objeto ou evento que
pode assumir valores diferentes, por exemplo, cor forma, etc. (1977, p.52) Em
um conceito, temos os atributos definidores e atributos irrelevantes. Primeiro
diz respeito aos atributos que definem o conceito. Por exemplo, alguns
atributos definidores de polígonos são: segmentos de reta, figura simples,
figura fechada e figura plana. O segundo, são atributos que não interferem na
10
Klausmeier, H. J.; & Goodwin, W. (1977). Manual de Psicologia Educacional:
aprendizagem e capacidades humanas (M. C. T. A. Abreu, Trad.). São Paulo: Harper
& Row.
15
formação de um conceito, por exemplo: cor, hachuras, bordas espessas e finas,
tamanho, etc (KLAUSMEIER E GOODWIN apud PROENÇA, 2008).
Em nossa pesquisa serão analisadas as propriedades poligonais relevantes por meio de
exemplos e contra-exemplos, como: Figura geométrica plana, linha poligonal fechada e linhas
simples.
Percebemos a importância de demonstrar para o educando, que muitas vezes o que lemos
pode ter divergências e elas fazem parte do ensino, uma vez que a História da Matemática é
construída no decorrer dos tempos, levando pesquisadores a refletir e comprovar novas teorias
por meio de pesquisas científicas.
Para dar significado ao que o aluno aprende, apresentaremos uma metodologia
diferenciada, nos preocupando principalmente com o aprendizado do aluno. A definição de uma
propriedade geométrica é o ponto de chegada e não de partida, como muitas vezes apresentam
os livros didáticos.
5.3. ENGENHARIA DIDÁTICA: UMA METODOLOGIA DE ENSINO E PESQUISA
A Engenharia Didática é uma metodologia que surgiu no início da década de 80 do século
passado e emergiu a partir dos estudos realizados na Didática da Matemática, que segundo
Almouloud (2007) é o enfoque da Didática Francesa.
No trabalho com a Engenharia Didática o professor faz da sua ação pedagógica um objeto
de investigação no qual estabelece uma dependência entre saber teórico e saber prático na busca
da construção de conhecimento conforme afirma Pais:
“A engenharia didática possibilita uma sistematização metodológica para a
realização da pesquisa, levando em consideração as relações de dependência
entre teoria e prática. Esse é um dos argumentos que valoriza sua escolha na
conduta de investigação do fenômeno didático, pois sem articulação entre
pesquisa e a ação pedagógica, cada uma destas dimensões tem seu significado
reduzido” (PAIS, 2006, p.99).
16
Na mesma perspectiva, ARTIGUE (1990) determina as características da Engenharia
Didática como metodologia de pesquisa. A Engenharia Didática é um esquema experimental
baseado sobre realizações didáticas em sala de aula. Essa validação da pesquisa é feita,
sobretudo internamente, pois ela se baseia na confrontação entre a análise a priori (baseada no
quadro teórico) e a análise a posteriori.
O processo experimental da engenharia didática compõe-se de quatro fases:
Fase 1: análise preliminar;
Fase 2: concepção e análise a priori das situações didáticas;
Fase 3: experimentação;
Fase 4: análise a posteriori e validação.
Almouloud (2007), Artigue (1996) fundamentam tais fases:
Primeira fase – análises preliminares
A primeira fase é aquela na qual se realizam as análises preliminares, que pode
comportar as seguintes vertentes:
Do ensino usual e seus efeitos;
Das concepções dos alunos, das dificuldades e dos obstáculos que marcam sua
evolução:
Das condições e fatores de que depende a construção didática efetiva;
A consideração dos objetivos específicos da pesquisa;
Segundo Artigue (1998), cada uma dessas fases é retomada e aprofundada no decorrer
do trabalho de pesquisa, em função das necessidades emergentes. Estas análises preliminares
devem permitir ao pesquisador a identificação das variáveis didáticas potenciais que serão
explicitadas e manipuladas nas fases que se seguem: a análise a priori e a construção da
sequência de ensino.
O objetivo da análise a priori é determinar como as escolhas efetuadas permitem
controlar os comportamento dos alunos e explicar seu sentido. Dessa forma, em uma análise a
priori devemos:
Descrever as escolhas das variáveis locais e as características da situação didática
desenvolvida.
17
Em nosso caso escolhemos como variáveis o Ensino de Geometria, respeito ao meio
ambiente voltado ao cotidiano do aluno.
Analisar a importância dessa situação para o aluno e, em particular, em função
das possibilidades de ações e escolhas para a construção de estratégias, tomada
de decisões, controle e validação que o aluno terá. As ações do aluno são vistas
no funcionamento quase isolado do professor, que, sendo o mediador no
processo, organiza a situação de aprendizagem de forma a tornar o aluno
responsável por sua aprendizagem;
Ou seja, tentaremos ao elaborar as atividades, prevendo as possíveis soluções para o
melhor entendimento dos alunos.
Prever comportamentos possíveis e tentar mostrar como a análise feita permite
controlar seu sentido, assegurando que os comportamentos esperados, se é
quando eles intervêm, resultam no desenvolvimento do conhecimento visado
pela aprendizagem.
Segunda fase – da concepção e da análise a priori
Considerando os dados adquiridos e as conclusões das análises preliminares, nesta segunda
fase cabe ao pesquisador a organização, análise e planejamento da engenharia, servindo de
subsídio para a esquematização de uma rota a ser seguida. Nesta análise, devemos:
Analisar quais são os desafios para os alunos, descrevendo as possibilidades de ação, de
escolha, de decisão, de controle e validação que o aluno disporá durante a
experimentação.
Prever possíveis comportamentos e buscar alternativas para lidar com esses
comportamentos, resultantes de uma situação de aprendizagem.
Terceira fase – Experimentação
A fase da experimentação é o momento de colocar em funcionamento todo o dispositivo
construído, corrigindo-o se necessário, quando as análises locais do desenvolvimento
experimental identificam essa necessidade, o que implica em um retorno à análise a priori, em
um processo de complementação.
18
Quarta fase – Análise a Posteriori e Validação
No conjunto de dados recolhidos durante a experimentação, observações realizadas e as
produções dos alunos em sala de aula ou fora dela. Esses dados são às vezes, completados por
dados obtidos pela utilização de metodologias externas: Questionários, trabalhos em pequenos
grupos, entrevistas individuais ou em pequenos grupos, realizados em diverso momento do
ensino.
Assim, a análise a posteriori depende das ferramentas técnicas ou teóricas. Os resultados
serão analisados pela pesquisadora, e as informações daí resultantes serão confrontadas com a
análise a priori realizada, sendo aplicado pré-teste e pós-teste. O objetivo é relacionar as
observações com os objetivos definidos a priori e estimular a reprodutibilidade e a regularidade
dos fenômenos didáticos identificados.
Esta fase se apóia nos dados obtidos pela observação e rendimentos dos alunos, é nesta
fase que o professor/pesquisador analisa os dados obtidos e confronta as análises a priori com as
análises a posteriori para verificar se as hipóteses iniciais se validam para concluir a pesquisa,
como satisfatória ou não.
5.4. DIRETRIZES CURRICULARES DA EDUCAÇÃO
Averiguamos o tratamento dado ao ensino de Geometria pela Proposta Curricular do
Estado do Paraná, pelos Parâmetros Curriculares Nacionais, por alguns livros didáticos de
Matemática.
Como proposta oficial de um referencial orientador para a educação formal no país,
surge os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Além das áreas do conhecimento específico,
os mesmos estabelecem os temas transversais que devem permear todas as áreas do
conhecimento, incluindo Educação Ambiental, que é o tema transversal que enfocamos em
nosso trabalho.
A Educação Ambiental na Legislação Brasileira, determina ao Poder Público a
promoção da Educação Ambiental em todos os níveis de ensino. Diz o texto da lei:
19
Todos têm o direito ao ambiente ecologicamente equilibrado, bem de uso
comum do povo e essencial à sadia qualidade de vida, impondo-se ao poder
público e à coletividade o dever de defendê-lo e preservá-lo para as presentes e
futuras gerações (BRASIL, 1999, p.122).
A conscientização voltada para o bem estar comum se fez fundamental e deve ocorrer no
cotidiano das aulas. A ação imediata é o bom exemplo por parte dos educadores durante o
processo de ensino-aprendizagem, proporcionando no educando ações coletivas de mudanças de
atitudes em prol de uma sociedade melhor.
Segundo a DCE da Secretária de Estado da Educação Básica: Entre os Conteúdos
Estruturantes11
de matemática da Educação Básica, encontra-se Geometria. Trata-se de ter como
ponto de partida problemas e situações vivenciadas pelos alunos. O aluno fica exposto a
situações em que precisa olhar, avaliar e interpretar a realidade; discutir questionar e
compreender limites e valores estabelecidos, vivenciar a riqueza das experiências de
flexibilidade e reversibilidade de pensamentos e atitudes (DCE, 2006).
Torna-se preciso deixar claro que as práticas docentes, segundo a concepção destas
diretrizes, não podem ser tomadas por práticas autoritárias. Neste sentido,
(...) o ensino de matemática, assim como todo o ensino, contribui (ou não)
para as transformações sociais não apenas através da socialização (em si
mesma) do conteúdo matemático, mas também através de uma dimensão
política que é intrínseca a essa socialização. Trata-se da dimensão política
contida na própria relação entre o conteúdo matemático e a forma de sua
transmissão-assimilação (DUARTE, 1987, p. 78).
No ensino, independente da disciplina, o aluno uma vez inserido necessita de referência para sua
formação como indivíduo, as transformações sociais estão diretamente ligadas ao tratamento da
transmissão-assimilação com que é contextualizada, a forma que é repassada, os conteúdos podem
contribuir ou não para transformação de uma sociedade.
11
Entende-se por conteúdos estruturantes os conhecimentos de grande amplitude, conceitos ou práticas que
identificam e organizam os campos de estudos de uma disciplina escolar, considerados fundamentais para a
compreensão de seu objeto de ensino. Constituem-se historicamente e são legitimados nas relações sociais
(Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica - SEED)
20
6. ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
O projeto será realizado com alunos do Ensino Fundamental de 7ª/8ª séries, por meio de
convite, onde haverá uma reunião com os pais, para apresentar a proposta do projeto e definir o
melhor horário para atendimento dos alunos. Uma vez inseridos, passarão a fazer parte como
integrantes participativos, para selar um compromisso em conjunto com a perspectiva de
sucesso do mesmo.
A implementação desta proposta compreende em etapas, necessárias e dependentes entre
si.
Na primeira etapa faremos uma pesquisa bibliográfica, um pequeno histórico do ensino
de geometria, segundo alguns autores: Artigue (1990), Luis Carlos Pais (2006), Almouloud
(2007), Pavanello (1993), Proença (2008) e motivar os alunos às leituras de livros para didáticos
relacionados ao ensino de matemática, especificamente ao tema geometria, que aborda os
conceitos geométricos poligonais.
Na segunda etapa, criar um laço efetivo entre o professor e aluno, por meio de uma
dinâmica: Quem sou eu? Logo após investigaremos por meio pré-teste individual as
dificuldades dos alunos de uma escola pública, zona rural, Escola Estadual de Paraíso do Sul -
Ensino Fundamental do Município de Barbosa Ferraz-Pr.
Na terceira etapa, sabendo das dificuldades dos alunos envolvidos, elaboraremos o
material didático, por meio de atividades em uma sequência didática, tendo como referencial o
PPE, para superar essas possíveis dificuldades;
Na quarta etapa, aplicaremos as atividades propostas na sequência didática para os
alunos participantes;
Na quinta etapa, pós-teste, verificaremos se a aprendizagem foi satisfatória ou não;
Na sexta etapa, estando a par dos resultados obtidos, será o momento da validação da
pesquisa.
Segue as atividades, para análise da proposta dentro de uma Sequência Didática, tendo
como Metodologia de Pesquisa e Ensino, Engenharia Didática.
Muitas vezes realizamos atividades diferenciadas em sala de aula que poderiam fazer a
diferença no ensino e interrompemos a aprendizagem por não valorizar uma sequência didática
até a sua validação, preocupados com o famoso tempo para trabalhar outros conteúdos.
21
A qualidade deve ser a busca de novas metodologias que o aluno vê sentido no que
aprende e percebe sua interação com a busca do conhecimento.
Presume-se que os alunos investigados sendo das séries finais do Ensino Fundamental de
7ª/ 8ª séries apresentam conceitos geométricos básicos que possam direcionar um material
didático de qualidade.
Iniciaremos com uma ficha (Quem sou eu?), onde o aluno preenche seus dados pessoais,
identifica-se como cidadão, responsável pelos dados, assim como pela sua aprendizagem , sendo
um agente transformador do meio que está inserido, independente da presença dos pais. Assim o
professor/pesquisador constrói uma didática efetiva com o seu aluno, por laços de
confiabilidade. Logo após motivação de leituras de livros paradidáticos, usaremos uma ficha
para anotações do próprio aluno, conforme seu interesse. Ambas as fichas encontram-se em
apêndices. Daremos continuidade com o pré-teste, atividades em uma sequência didática e pós-
teste para validação da pesquisa.
22
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
ESCOLA ESTADUAL DE PARAÍSO DO SUL – ENSINO FUNDAMENTAL
Identificação: 12
PRÉ – TESTE13
Pré-teste foi elaborado pela pesquisadora, tendo como referência os objetivos específicos e o
livro didático14
adotado pela escola 15
.
Objetivo Específico: Identificar atributos relevantes na definição de polígonos.
Questão 1: Assinale a questão abaixo que corresponde ao quadrado, grife a informação que
torne a alternativa falsa.
Alt. 1( ) Linha poligonal fechada e não simples figura geométrica plana, quatro
lados iguais, ângulos retos, duas diagonais, paralelogramo, portando o quadrado é
um polígono;
Alt. 2( ) Linhas poligonal fechada e simples, figura geométrica espacial, quatro lados iguais,
ângulos retos, duas diagonais, paralelogramo, portando quadrado é um polígono;
Alt. 3( ) Linha poligonal aberta e simples, figura geométrica plana, quatro lados iguais, ângulos
retos, duas diagonais, paralelogramo, portando o quadrado é um polígono;
Alt. 4( ) Quatro lados iguais, duas diagonais, ângulos retos, quatro vértices, paralelogramo,
retângulo, figura geométrica plana, linha poligonal fechada e simples, portanto o quadrado é
um polígono.
Questão 2: Quais as propriedades geométricas que define polígonos?
12
Identificação do aluno será A1, A2, A3...sucessivamente , conforme o número de alunos inseridos. 13
Pré-teste: será feito uma análise a posteriori para validação da pesquisa. 14
IRACEMA e DULCE, Matemática: Idéias e Desafios-Ensino fundamental /SP - Editora SARAIVA, 2009. 15
Polígono é uma figura geométrica plana, formada por uma linha poligonal fechada e simples.
IRACEMA e DULCE, Matemática: Idéias e Desafios-Ensino fundamental /SP - Editora SARAIVA, 2009.
Unidade 7 – 6º ano, p.138.
23
ANÁLISE A PRIORI
Questão 1:
Esta atividade envolve os conceitos geométricos poligonais, tendo como referência o
quadrado. Com o objetivo de verificar se o aluno tem a definição dos atributos
relevantes de um polígono.
Identificar linhas poligonais fechadas, figura geométrica plana, linhas simples;
Verificar se o aluno tem conceito formado de: paralelogramo, retângulo, polígono,
ângulos, vértices e diagonais;
Todo quadrado é um retângulo, pois tem os lados opostos paralelos e iguais entre si e
ângulos internos retos (90º graus), mas nem todo retângulo é quadrado. Será o aluno
capaz de fazer esta análise?
Questão 2:
O aluno apresentando dificuldade no vocabulário adequado ao definir polígonos,
apresenta na questão1, a superação destas dificuldades.
Se o mesmo não conseguir, será constatada a falta de conceitos geométricos básicos nas
definições das propriedades geométrica poligonais.
Da concepção a análise a priori
Questão 1:
Assinalando a alternativa um:
Linha poligonal fechada e não simples, figura geométrica plana, quatro lados
iguais, ângulos retos, duas diagonais, paralelogramo, portando o quadrado é um
polígono;
24
O aluno não identifica os conceitos poligonais básicos, deixando claro
que não diferencia linha simples e não simples, uma vez que grifou de
forma errada;
Assinalando a alternativa 2:
Linha poligonal fechada e simples, figura geométrica espacial, quatro lados
iguais, ângulos retos, duas diagonais, paralelogramo, portanto quadrado é um
polígono;
O aluno não identifica os conceitos poligonais básicos, deixando claro
que não diferencia figura geométrica plana e figura geométrica
espacial, uma vez que grifou de forma errada;
Assinalando a alternativa 3:
Linha poligonal aberta e simples, figura geométrica plana, quatro lados iguais,
ângulos retos, duas diagonais, paralelogramo, portando o quadrado é um polígono;
O aluno não identifica os conceitos geométricos poligonais básicos,
deixando transparente a falta de conhecimento relativo à linha poligonal
aberta e fechada.
Espera-se que o aluno acertasse o problema 1, assinalando a alternativa 4.
Quatro lados iguais, duas diagonais, ângulos retos, quatro vértices, paralelogramo,
retângulo, figura geométrica plana, linha poligonal fechada e simples, portanto o
quadrado é um polígono.
Demonstrando que identifica ângulos retos, provavelmente identifica ângulos agudos e obtusos;
Identifica: vértices, lados e diagonais de outros polígonos;
25
Apresenta os conceitos geométricos básicos de paralelogramo, retângulo, quadrado e polígono;
Diferencia figura geométrica plana de figura geométrica espacial;
Reconhece linhas poligonais simples e não-simples;
Reconhece linha poligonal fechada e aberta;
Enfim, apresenta domínio dos conceitos geométricos poligonais básicos, além de analisar a
questão correta e grifar os itens errados das demais questões.
Se 100% correspondem à alternativa correta e o ato de grifar três itens errados,
analisaremos 25% para cada item.
Questão 2:
Se a dificuldade do aluno for um vocabulário adequado, a questão 1 supera esta dificuldade. Se o
mesmo não conseguir definir, demonstra apresentar dificuldade nos conceitos geométricos básicos,
necessitando de um material acessível à aprendizagem do mesmo.
Se os alunos demonstrarem algumas dificuldades será aplicado um material didático
diferenciado, proporcionando um ambiente favorável para superação das dificuldades do
ensino-aprendizagem.
As atividades que serão elaboradas são suportes preliminares para eventuais
dificuldades, e poderão ser alterado no decorrer do processo ensino-aprendizagem, podendo
apelar para AutoFormas, Geogebra na construção de polígonos, pensando na era da informática
que é atrativo para o aluno.
26
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
ESCOLA ESTADUAL DE PARAÍSO DO SUL – ENSINO FUNDAMENTAL
Conscientizar o educando, o respeito ao meio inserido, proporcionando ações coletivas de
mudanças de atitudes, no decorrer do ensino-aprendizagem.
ATIVIDADE 1: PASSEATA GEOMÉTRICA E ECOLÓGICA
Objetivo Específico: Proporcionar ao educando uma passeata ecológica e geométrica,
despertando a observar as formas na natureza, construções, motivando a busca de
conhecimentos por meio de leituras e respeito ao Meio Ambiente que está inserido.
Nosso Paraíso (Foto Àlisson Rosa Paglia ) Bairro Paraíso do Sul –Barbosa Ferraz - Paraná
Um pouco de História:
Nosso povoado, Paraíso do Sul, tem os nomes das ruas em homenagem ao Projeto
Paraíso Ecológico (1996), na época os moradores poderiam dar sugestões, foi sugerido que o
centro, onde se localiza as três igrejas, seria Avenida Catedral, a rua que moro é Paraíso Ecológico
e as demais são nomes de árvores: Rua Santa Bárbara, Rua Paineira, Pingo de Ouro e outras, para
comprovante de residência, apresentam à conta de luz, em nosso povoado a água é de poço
artesiano, mantido pela prefeitura.
Por meio do Projeto, fizemos mutirões de limpezas, conseguimos o recolhimento de
lixo, construímos o trevo que fica a três quilômetros, trevo da entrada, arboreto, arborizamos as
ruas e a área do ginásio de esporte, jardim da escola, com participação de professores, alunos e
comunidade, contamos com o apoio de órgãos governamentais, deixaram sua marca. Esta nova
geração além de conservar os bens públicos, evitar doenças, cuidando com carinho de seus
quintais, poderão fazer a diferença. Fazendo cada um a sua parte. (ROSA, C.B., 2011)
27
Obs. Há registros através de fotos e vídeos, que serão passados para os alunos.
Não serão disponibilizados (por questão de direitos Autorais) – PPE (fundado em 1996)
Entrada do Arboreto Maquete da escola
Entrada do Bairro
Foto: Álisson Rosa Paglia
28
FORMAS NA NATUREZA
Favo de mel
Na região tem a produção de mel em pequenas propriedades. Levar os alunos a observarem o
formado de favo de mel. Contar um pouco de história e motivar às leituras sobre o assunto.
Perceber padrões de regularidades com as abelhas, por exemplo, e compreender que o formato
dos favos de mel é muito bom para armazenar bebidas em adegas, com grande aproveitamento
de espaço e sua beleza.
Pétalas das flores/Folhas das plantas
Durante o passeio, identificar o número de pétalas:
Podemos deparar com o famoso trevo da sorte ( 4 folhas), flor da laranjeira( 5 pétalas). E o lírio
do campo, exuberante em nossa região.
Análise a priori
Através de um passeio descontraído, o pesquisador, sente-se próximo dos alunos, despertando a
observarem as formas encontradas na natureza. Proporcionando uma construção didática efetiva.
O aluno sendo despertado a observar as formas no Meio Ambiente e motivados às
leituras informativas, passará a observar o seu mundo em diversos ângulos.
A entrada da horta
medicinal da maquete, entrada
do Povoado, entrada do
Arboreto, tem a forma
pentagonal, conquistas do
Projeto Paraíso Ecológico.
Podemos observar a nossa
paixão pela forma pentagonal.
29
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
ESCOLA ESTADUAL DE PARAÍSO DO SUL – ENSINO FUNDAMENTA
ATIVIDADE 2: PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS POLIGONAIS
Objetivos específicos:
Definir atributos relevantes (polígonos) por meio de leituras e consultas no livro
didático adotado pela escola, internet e outros;
Materiais: cartolina ou papel sulfite, lápis, tesoura, régua, lã e cola.
Será disponibilizado para o aluno o laboratório de informática, onde o mesmo
fará uma pesquisa.
1º passo: Definição de Geometria
PESQUISAR é PRECISO... o aluno deverá efetuar uma consulta em
internet, livros ou outros.
DEFINIÇÃO DE GEOMETRIA...
Etimologicamente, Geometria tem duas definições: A primeira quase uma unanimidade
na comunidade científica que Geometria significa “medida de terra”, origem empírica. Segundo
Miguel (2009, p.21), 16
Geometria é “a ciência dos corpos celestes”, que pode ter tido a gênese
entre os Babilônios e foi sistematizada pelos primeiros pitagóricos17
entre os séculos VI e V a.C.
Porém, uma ciência cultivada por séculos, em alguns momentos foi estudada por si própria,
desenvolvendo tendências de abstração e generalizações, passando de uma matemática
prescritiva para um saber que se utiliza do método dedutivo. 18
16
Indagações sobre currículo; educando e educadores: seus direitos e o seu currículo / (Miguel Gonzáles Arroyo);
organização do documento Janete Beauchamp, Sandra Denise Pagel. 17
Símbolo dos pitagóricos era uma estrela. 18
Método dedutivo é a modalidade de raciocínio lógico que faz uso da dedução para obter uma conclusão a
respeito de determinada(s) premissa(s).
30
Um pouco de leitura: O texto abaixo será disponibilizado para o aluno
Em um conceito, temos os atributos definidores e atributos irrelevantes.
Primeiro diz respeito aos atributos que definem o conceito. Por exemplo,
alguns atributos definidores de polígonos são: segmentos de reta, figura
simples, figura fechada e figura plana. O segundo, são atributos que não
interferem na formação de um conceito, por exemplo: cor, hachuras,
bordas espessas e finas, tamanho, etc (KLAUSMEIER E GOODWIN
apud PROENÇA, 2008).
2º passo: DIFERENCIAR FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS DE FIGURAS
GEOMÉTRICAS ESPACIAIS
Diferenciar poliedros (3D) de polígonos (2D). Levar o aluno a perceber figuras geométricas
planas e espaciais, percebendo que as faces de um poliedro é da forma poligonal.
Cubo (espacial) Superfície poligonal Quadrado (figura plana)
Poliedro Polígono
O desafio acima será realizado no Laboratório de informática: Programa AutoFormas, proporcionando
ao educando analisar outras formas, como: triângulo e pirâmides.
3º passo: LINHA POLIGONAL FECHADA E ABERTA/LINHA SIMPLES E NÃO-
SIMPLES
Procedimento:
O aluno vai pesquisar os tipos de linhas:
SUGESTÃO: Traçar as linhas em papel sulfite, malha quadriculada ou representá-las em
geoplano19
.
Traçar linhas poligonais fechadas e abertas;
19
O Geoplano é um material didático pedagógico em um pedaço de madeira quadriculado, de forma quadrada, com
vários pregos cravados, exatamente em seus vértices.
Superfície
poligonal
31
Traçar linhas simples e não-simples.
ANÁLISE A PRIORI
Após os mesmos serão motivados por meio de livros didáticos, internet, livros
paradidáticos, consultar e definir os atributos relevantes para definição de polígonos;
Proporcionar os alunos a construir: linhas simples e linhas não-simples, linha poligonal
fechada e linha poligonal aberta;
Proporcionar aos mesmos diferenciar figuras planas de espaciais: Muitas das figuras
geométricas planas podem ser observadas nos sólidos geométricos;
Por meio do Programa AutoFormas, construir e brincar com esta ferramenta que pode
tornar o aprendizado significativo;
Se não for suficiente, planificar o cubo, usar embalagens, fazer a demonstração,
procurando atingir uma aprendizagem significativa e para todos, independente do grau
de dificuldade individual.
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ATIVIDADE 3: POLÍGONOS IRREGULARES CONVEXOS
Objetivo: Proporcionar a construção dos polígonos irregulares convexos, inscritos a uma
circunferência em uma sequência didática.
Material: Papel sulfite, lápis, régua, esquadros, lápis de cor e o compasso.
32
POLÍGONOS
Figura geométrica plana formada por um a linha poligonal fechada e simples.
POLI – prefixo – muitos GONOS – sufixo – ângulos
NOME ÂNGULOS NOME LADOS
TRIÂNGULO 3 Trilátero 3
QUADRILÁTERO 4 Quadrilátero 4
PENTÁGONO 5 Pentalátero 5
HEXÁGONO 6 Hexalátero 6
HEPTÁGONO 7 Heptalátero 7
OCTÓGONO 8 Octolátero 8
ENEÁGONO 9 Enealátero 9
DECÁGONO 10 Decalátero 10
UNDECÁGONO 11 undecalátero 11
PENTÁDECÁGONO 15 Pentadecalátero 15
ICOSÁGONO 20 Icosalátero 20
Curiosidade:
Polígono côncavo ou não – convexo: quando uma reta que encontra seus lados tem mais
de dois pontos comuns ou quando possuem pelo menos um dos ângulos internos, maior
que 180º graus.
Polígono convexo: quando qualquer reta que encontra seus lados tem apenas dois pontos
em comum com eles, ou seja, seus ângulos internos são menores que 180º graus.
Polígonos convexos: regulares ou irregulares, dependendo de seus lados e ângulos.
Polígonos irregulares convexos
Obs. Seus lados e ângulos são iguais?
Polígonos irregulares côncavo
(não – convexo)
Atividade para o aluno: Construir polígonos inscritos em uma circunferência
33
Triângulo (3 lados) Quadrilátero (4 lados)
ANÁLISE A PRIORI
No desenvolvimento da atividade o professor será mediador da construção conforme o
objetivo a atingir.
O aluno desenvolve habilidades para o uso do compasso, ao traçar as circunferências?
É possível desenhar um polígono não-convexo inscrito à uma circunferência?
Ao desenvolvimento da sequência, estará analisando polígonos irregulares e algumas
propriedades?
Estará memorizando os nomes dos termos por meio da escrita?
Levar o aluno ao questionamento ao analisar polígonos convexos irregulares;
Figura geométrica plana (superfície plana);
Identificar os vértices, lados, diagonais.
34
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ATIVIDADE 4: POLÍGONOS REGULARES
Objetivo: Direcionar a construção dos polígonos regulares (todos os lados e todos os ângulos
iguais), portanto são equiiláteros e equiângulos.
Material: Um quadrado de madeira, compasso, transferidor, pincel, borracha (dinheiro), linha
de crochê ou lã, tinta guache, prego, martelo, lápis, régua , esquadro e outros.
Equiláteros: todos os lados iguais Equiângulos: todos os ângulos iguais
A intersecção entre eles são polígonos regulares.
Os passos a serem seguidos:
1º passo – Traçar as diagonais do quadrado de madeira ( 25 cm por 25 cm );
2º passo – Localizar o centro e traçar uma circunferência de raio de 11 cm;
3º passo - Uma circunferência tem 360º graus ( Dividir 360º graus pelo número de lados do
polígono que deseja construir);
Ex. Quadrilátero (com o transferidor medir o ângulo encontrado e com o auxílio do
compasso dividir a circunferência em quatro partes iguais)
360/4 é igual 90º graus.
4º passo: Traçar os lados e as diagonais;
5º passo: Pintar conforme a criatividade;
6º passo: Pregar um prego no lugar de cada vértice
7º passo: Com o uso de linha ou lã traçar os lados e as diagonais.
35
ANÁLISE A PRIORI
No desenvolvimento o professor será mediador da construção conforme a proposta da
atividade:
Nomenclaturas dos termos dos polígonos: vértices, lados, diagonais;
Definir polígonos regulares;
Identificar área poligonal de um polígono.
Decompor os polígonos em triângulos, partindo de um único vértice;
Traçar todas as suas diagonais.
Traçar polígonos regulares com uso do compasso e transferidor.
Traçar o hexágono sem o uso do transferidor é possível? A distância de um vértice até o
outro vértice consecutivo e a mesma medida do raio da circunferência? Identifica raio,
diâmetro e corda de uma circunferência?
Será que todos os polígonos regulares são convexos?
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ATIVIDADE 5: CONSTRUÇÃO DE UM PORTA-CHAVES
Foto: Álisson Rosa Paglia
A estrela de nossa atividade é o pentágono regular, sabe por quê?
Um pouco de leitura
Pentagramas, pentágonos e os maus espíritos.
O pentagrama era considerado pelos pitagóricos o símbolo da boa saúde e da aliança entre os
homens. Os cinco ângulos das pontas da estrela eram provavelmente designados por cinco letras
do alfabeto grego que formavam a palavra SAÚDE. Além disso, para muitos povos da
antiguidade, o pentagrama tinha significado místico. Na Idade Média era utilizado para proteger
os homens dos maus espíritos.
36
À primeira vista, um emblema como esse, uma simples estrela, parece um tanto quanto banal
sem interesse.
20O pentágono e o corpo humano têm alguma relação?
SUGESTÃO:
Deita uma criança em uma superfície com os braços e pernas abertas e realize o evento
(ponta dos dedos das mãos, dos pés e a cabeça). Mas se você ligar com uma régua os
vértices dessa estrela, indicados pelas letras S, A, U, D, E, você notará que acabou
traçando um PENTÁGONO, isto é, um polígono de 5 lados. Mas que isso. Meça todos
os lados desse pentágono. O que você observa? Meça também todos os ângulos internos
desse pentágono. O que você observa?
Um pentágono que possui todos os lados e todos os ângulos congruentes (iguais) é chamado de
PENTÁGONO REGULAR
História da Matemática em Atividades Didáticas, p.19021.
Os pitagóricos de cinco séculos a.C. adotaram o PENTAGRAMA (pentágono regular
estrelado) como símbolo de sua seita.
Traçaremos o pentágono regular, uma estrela qualquer começa a se tornar um polígono
interessante. Vale apenas explorar suas propriedades geométricas.
Objetivo: Proporcionar a construção de um porta-chaves, polígono regular pentagonal
utilizando os conhecimentos adquiridos, estratégias pessoais, o professor/pesquisador, será
um mediador/observador.
20
MAGISTERLUX – Pentagrama ( Tempo e Espaço, p.46, Abril Livros) 21
História da Matemática em Atividades Didáticas. Coleção: ANTONIO MIGUEL, ARLETE DE JESUS
BRITO, DIONE LUCCHESI DE CARVALHOE IRAN ABREU MENDES – 2ª edição –editora da UFRN
37
Material: Um quadrado (madeira) 10 cm por 10 cm, prego, martelo, tinta guache, pincel,
linha ou lã, régua, transferidor, compasso, esquadros e outros.
Foto: Álisson Rosa Paglia
Os passos a serem seguidos, tendo um porta-chaves pronto, como referencial.
1º passo - traçar uma circunferência (raio de 5 cm) em uma madeira de 10 cm
por 10 cm;
2º passo - Uma circunferência tem 360º graus e o pentágono regular (5 ângulos
iguais – equiângulos) e 5 lados iguais (equiláteros) (dividir 360 graus pelo número de
lados); Exemplo: 360/ 5 = 72º graus;
3º passo - com o transferidor medir 72º graus e com o auxílio do compasso
dividir a circunferência em cinco lados iguais;
4º passo - Ligue os vértices, traçando seus lados;
5º passo: Você tem um pentágono regular, trace com lápis suas diagonais;
6º passo: Use sua criatividade e faça uma obra de arte: pintando a superfície
interna e externa desse polígono, sugestão: (poderá pintar a superfície da estrela de
outra cor);
7º passo: Transformar o pentágono em um porta-chaves: vértices (preguinhos),
diagonais e os lados (traçar com linha ou lã) e dê um acabamento pessoal. Boa sorte!
Estratégia: O professor em posse de um porta-chaves pronto deixará o grupo
confeccionar o seu, observando as estratégias utilizadas pelos mesmos, estando os materiais
necessários à disposição, poderão trabalhar em grupos, mas os mesmos deverão cada um
confeccionar o seu. As propriedades geométricas serão orientadas pelo professor, conforme as
dificuldades individuais.
38
ANÁLISE PRELIMINARES
Durante o desenvolvimento da atividade, o professor vai comentando sobre as
propriedades, conforme as dificuldades dos grupos;
Quantos lados, vértices e ângulos internos têm o pentágono?
Será que ocorre o mesmo com o hexágono ou outros polígonos?
O aluno terá que ter uma noção básica do uso do compasso e transferidor, ter
conhecimento dos nomes dos termos, como: vértices, lados e diagonais, equiângulos e
equiláteros.
O relato da experiência acredita-se o pesquisador que será de suma importância para
validação desta pesquisa. Será registrado a sequência didática dos alunos que passar por
todas as etapas, selecionando uma para registro da Unidade Didática;
FICHA DE OBSERVAÇÃO: Professor/pesquisador
ANÁLISE A PRIORI
Durante o processo-ensino aprendizagem: os alunos comentam sobre as propriedades?
Quais as dificuldades encontradas pelos mesmos?
Quanto às interações sociais entre os alunos? Será que os que dominam mais ajudaram
os outros? Entre os grupos haverá individualismo?
O aluno terá coordenação motora satisfatória, uma vez que o trabalho é orientado em
grupo, mas a produção é individual?
39
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
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ATIVIDADE 6: CONSTRUIR UMA ESTRELA
PALITOS DE FÓSFOROS E CRIATIVADE
Objetivo: Perceber o ponto de simetria e ângulos (90º e 45º graus) ao construir formato de uma
estrela com palitos de fósforos e identificar o polígono a ser confeccionado (polígono irregular e
não – convexo ou côncavo).
MATERIAL: 100 palitos de fósforos (preferência com a ponta rosa) cola, cartolina ou caixa de
papelão (superfície da estrela) .
Foto: Álisson Rosa Paglia Trabalho: Clarice Barga Rosa
PROCEDIMENTOS: Serão entregue para os alunos os passos a serem seguidos
Trabalho em grupo
1º passo: sobre uma superfície plana de cartolina ou papelão, fazer o sinal da operação adição
(+) com oito palitos de fósforos, observe a posição para ficar mais bonito;
2º passo: localize os ângulos de 90º graus (marcar com o fósforo ângulos de 45º graus);
40
3º passo: a partir dos ângulos de 45º graus, preencherem com palitos de fósforos as lacunas até
atingir as pontas dos fósforos que formam o sinal da adição;
4º passo: Recortar o formato da estrela;
5º passo: toque pessoal, pintar a superfície com verniz ou com a cola se achar necessário.
6º passo: Para a validação desta atividade o aluno fará um relato por escrito do polígono
encontrado.
7º passo (sugestão): Para a atividade ficar mais interessante poderá contornar a estrela em
papel sulfite e verificar tais propriedades, dobrando para verificar os eixos simétricos, marcar
os ângulos internos e externos, contar os vértices e os lados – possibilitando anotações escritas.
ANÁLISE A PRIORI
Presume-se que o aluno exercitará a coordenação motora e a virtude paciência, uma vez
que a atividade requer tais habilidades;
A virtude paciência será exercitada e a coordenação motora será analisada pelo
professor/observador.
Percebendo as concavidades do formato da estrela, ângulo obtuso, relacionará com um
polígono côncavo (não-convexo)?
Trata-se de um polígono regular ou irregular?
O número de vértice é igual ao número de lados?
Quanto aos ângulos internos: retos, agudos ou obtusos? Quantos?
Tem eixos simétricos? Perceberá os eixos simétricos?
Utiliza as propriedades geométricas para justificar a análise do polígono construído?
Qual o nome do polígono?
41
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
ESCOLA ESTADUAL DE PARAÍSO DO SUL – ENSINO FUNDAMENTAL
Foto: Àlisson Rosa Paglia
Em frente à igreja
ATIVIDADE 7: CANTEIRO POLIGONAL NA PRACINHA LOCAL
TRABALHO EM GRUPO:
Objetivo:
Promover a construção de um canteiro poligonal na pracinha local, na forma uma
estrela e avaliar os conhecimentos adquiridos em uma sequência didática, os dados serão
organizados pelas fases da Engenharia Didática para validação da pesquisa.
Material: Vai depender da criatividade dos alunos;
Sugestão: tijolos ou pedras (contorno), compasso (prego, barbante), uma estaca e outros.
ANÁLISE A POSTERIORI
VALIDAÇÃO
ANÁLISE A PRIORI
42
SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Curiosidade:
A utilização do barbante é útil na construção da noção de circunferências maiores como
canteiros e usado no cotidiano em nossa região para furar fossas, para não perder a noção
do diâmetro do buraco que se aproxima de uma forma cilíndrica.
O processo experimental da engenharia didática compõe-se de quatro fases:
Fase 1: análise preliminar; Das concepções dos alunos, das dificuldades e dos
obstáculos que marcam sua evolução:
Das condições e fatores de que depende a construção didática efetiva;
A consideração dos objetivos específicos da pesquisa;
- O aluno será capaz de identificar as propriedades estudadas, diante da situação proposta?
Estrela construída é um polígono?
Estamos diante de um polígono convexo ou côncavo?
É polígono regular ou irregular?
É uma figura plana ou espacial?
Quantos vértices?
Quantos lados?
Quantas diagonais?
O número de vértice é igual o número de lados?
O número de ângulos é igual ao número de lados?
É formado de linhas simples ou não simples?
Quais os ângulos internos que podemos localizar? Quantos?
Esta fase propõe uma análise geral da situação a ser investigada.
Segunda fase – da concepção e da análise a priori
43
FICHA DE OBSERVAÇÕES: Professor/pesquisador
Quais os questionamentos dos alunos?
Quais as dificuldades encontradas ao traçar a estrela como canteiro?
Dos alunos previstos no Projeto, existem ausentes? Quantos?
Quanto às interações sociais entre os alunos, estão trabalhando em grupo?
As ações do aluno são vistas no funcionamento quase isolado do professor, que, sendo
o mediador no processo, organiza a situação de aprendizagem de forma a tornar o aluno
responsável por sua aprendizagem;
Prever comportamentos possíveis e tentar mostrar como a análise feita permite
controlar seu sentido, assegurando que os comportamentos esperados, se é quando eles
intervêm, resultam do desenvolvimento do conhecimento visado pela aprendizagem.
Diante de um espaço de uma pracinha, localizar o melhor lugar para desenvolver a
atividade, que material será acessível para executar atividade?
Será que o uso de barbante para representar o raio, será possível? Há obstáculos para
localizar o centro da circunferência? Serão necessários estes procedimentos?
O trabalho em grupo para aprendizagem in-loco é desafiadora?
Ao concluir o trabalho, deverá analisar a simetria, aparência?
Deverá plantar no canteiro? Que tipo de planta?
Fase 3: experimentação;
Sequência Didática no desenvolvimento da atividade
Fase 4: análise a posteriori e validação.
No conjunto de dados recolhidos durante a experimentação; observações realizadas
sobre as sessões de ensino e as produções dos alunos fora da sala de aula.
Assim, a análise a posteriori depende das ferramentas técnicas e teóricas.
44
Qual a vantagem da metodologia de pesquisa “Engenharia Didática”?
Objetivo vai ser alcançado?
A validação será após o pós-teste, aplicado individualmente.
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE22
ESCOLA ESTADUAL DE PARAÍSO DO SUL – ENSINO FUNDAMENTAL
IDENTIFICAÇÃO:...................................................................................................
PÓS – TESTE23
Pós-teste foi elaborado pela pesquisadora, tendo como referência os objetivos específicos e o
livro didático24
adotado pela escola 25
.
Objetivo Específico: Identificar atributos relevantes na definição de polígonos.
Questão 1: Assinale a questão abaixo que corresponde ao PENTÁGONO
Alt. 1( ) Linha poligonal fechada e não simples, figura geométrica plana, cinco lados iguais,
cinco vértices, cinco diagonais, cinco ângulos, portando o pentágono é um polígono;
Alt. 2( ) Linha poligonal fechada e simples, figura geométrica plana, cinco lados iguais, cinco
diagonais, cinco vértices, cinco ângulos, portando pentágono é um polígono;
Alt. 3( ) Linha poligonal aberta e simples, figura geométrica plana, cinco lados iguais, cinco
diagonais, cinco vértices,cinco ângulos, portando o pentágono é um polígono;
Alt. 4( ) Cinco lados iguais, cinco diagonais, cinco ângulos, cinco vértices, figura geométrica
espacial linha poligonal fechada e simples, portanto o pentágono é um polígono.
Questão2: Quais são os atributos relevantes na definição de polígonos?
22
Pesquisadora: Clarice Barga Rosa
Orientador : Luciano Ferreira 23
Pós–teste: validação da pesquisa demonstrará se o resultado é satisfatório ou não.. 24
IRACEMA e DULCE, Matemática: Idéias e Desafios-Ensino fundamental /SP - Editora SARAIVA, 2009. 25
Polígono é uma figura geométrica plana, formada por uma linha poligonal fechada e simples.
IRACEMA e DULCE, Matemática: Idéias e Desafios-Ensino fundamental /SP - Editora SARAIVA, 2009
Unidade 7 – 6º ano ,p.138.
45
ANÁLISE A PRIORI
A definição dos atributos relevantes na definição de polígonos deverá ficar clara para o
aluno, para que a validação seja satisfatória;
É esperado que o aluno chegue ao sucesso de uma validação satisfatória com a
alternativa 2, reconhecendo linha poligonal fechada e simples, figura geométrica plana,
cinco lados iguais, cinco diagonais, cinco vértices, cinco ângulos, portando pentágono é
um polígono, demonstrando assim que domina os conceitos geométricos poligonais
básicos;
Nas atividades anteriores, foi elaborada uma sequência didática, proporcionando a
visualização da diferença entre convexos e não-convexos, regulares e irregulares, mas as
propriedades que definem polígonos são esperadas ter ficado bem definido para os
mesmos;
Assinalando, qualquer uma das demais alternativas, a validação seria insatisfatória, as
propriedades foram preparadas em detalhes nas atividades anteriores, uma vez que o
material didático é manipulável em uma sequência didática para que pudessem atingir
aprendizagem significativa e satisfatória, independente das dificuldades dos mesmos.
O resultado será informado por meio de porcentagem.
46
1. CRONOGRAMA DE AÇÕES
IMPLEMENTAÇÃO PEDAGÓGICA NA ESCOLA
3º período (agosto /dezembro de 2011)26
Etapas Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. Tempo/ati
vidades
Reunião com os pais
(apresentar a proposta do
projeto)
X Hora/ativi
dade
Contrato de cessão
Gratuita de direitos
autorais
X Hora/ativi
dade
Ficha: Dinâmica - Quem
sou Eu?
X 1h/a
Motivação para leituras
de livros para
didáticos/apresentação do
Projeto para os alunos
X 1h/a
Pré-teste individual-
análise do conhecimento
acumulado
X 1h/a
Atividade 1: Passeata
Ecológica e Geométrica
X 4h/a
Atividade 2: Definição de
Geometria e Polígonos
(atributos relevantes)
X 4h/a
Atividade 3: Sequência
Didática: Polígonos
irregulares convexos
inscritos em uma
circunferência
X 4h/a
Atividade 4: Sequência
Didática: Polígonos
Regulares
X 4h/a
26
Após cada atividade, recolhimentos dos dados para análise da validação da pesquisa
47
Atividade 5: Sequência
Didática: Pentagramas,
Pentágonos (Construção
de um porta chaves
pentagonal).
X 4h/a
Atividade 6: Sequência
Didática: Polígono
irregular e não-convexo
(estrela /palitos de
fósforos)
X 4h/a
Atividade 7: Sequência
Didática: Canteiro
Poligonal na pracinha
local
X 4h/a
Pós-teste X 1h/a
Coletas e análise dos
dados
X X Hora/ativi
dade
Validação da pesquisa X Hora/ativi
dade
Total /alunos 32h/a
Total hora/atividade 4h/a
Total hora/análise das
Coletas de Dados
4h/a
Total:
horas/implementação
40h/a
48
REFERÊNCIAS
ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da Didática da matemática. Curitiba: UFPR,
2007.
ARTIGUE, M.. Ingénierie didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 9,
n°3. La Pensée Sauvage, 1990.
BRASIL,Constituição da República Federativa do Brasil..SãoPaulo: Saraiva,1999.
BRASIL Prova, Secretaria de Estado da Educação-Departamento de Educação Básica (Anos
finais do Ensino Fundamental), 2009 - p.13.
BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília: MEC / SEF, 1998.
DUARTE, N. O compromisso político do educador no ensino da matemática: In: DUARTE,
N.; OLIVEIRA, B. Socialização do saber escolar. São Paulo: Cortez, 1987. p.15.
EUCLIDES, No livro I da obra Os Elementos de Euclides. Traduzido para o português por
Irineu Bicudo (Euclides, 2009).
IRACEMA e DULCE, Matemática: Idéias e Desafios-Ensino fundamental /SP - Editora
SARAIVA, 2009.
PAIS, Luiz Carlos. Transposição didática. In: MACHADO, S. D.A. (org.). Educação
Matemática: uma (nova) introdução. 3. ed. Revista. São Paulo: Educ., 2005.
PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática; uma análise da influência francesa.
PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino da geometria no Brasil: causas e conseqüências.
Revista zetetiké. Campinas. ano 1, n.1,1993.
PAVANELLO, R. M. Formação de possibilidades cognitivas em noções geométricas
Campinas, SP: 1995 - p.14.
49
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Diretrizes
Curriculares de Matemática. Curitiba: SEED, 2009.
PROENÇA, Marcelo Carlos de. Trabalho de Mestrado (2008). Um estudo sobre o
desempenho e as dificuldades apresentadas por alunos do ensino médio na identificação de
atributos definidores de polígonos.
50
APÊNDICES
51
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
ESCOLA ESTADUAL DE PARAÍSO DO SUL – ENSINO FUNDAMENTAL
Quem sou eu? 27
NOME: ...........................................................
IDADE:........................................................... FOTO
DATA DE NASCIMENTO:...........................
SÉRIE..........ANO LETIVO:..........................
CPF:..........................................................RG .......................................................
BAIRRO:................................................................................................................
ENDEREÇO:..........................................................................................................
FILIAÇÃO:....................................................................................................................
........................................................................................................................
MORA COM SEUS PAIS ? ( )SIM ( )NÃO
Fale um pouquinho de sua vida:
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
................................................................................................
Qual a distância de sua casa, até a escola? ...........................................................
Quantos anos mora no Bairro de PARAÍSO DO SUL?........................................
Já participou de PROJETOS na escola? ( )sim ( )não
Se participou ,quais?
................................................................................................................................
Tem acesso a internet fora do âmbito escolar? ( ) sim ( ) não
Já estudou sobre polígonos? ( )sim ( ) não
27
Estes dados serão de uso pessoal do professor/pesquisador, disponibilizando apenas o modelo de ficha.
52
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
ESCOLA ESTADUAL DE PARAÍSO DO SUL – ENSINO FUNDAMENTAL28
LEITURAS DE LIVROS PARADIDÁTICOS 29
Objetivo: Motivar às leituras por meio de livros paradidáticos, finos, ilustrados e com desafios.
Aluno(a):..................................................................................................................................
Constar o nome do livro e data que recebeu o livro
Data Nome do livro
Você gosta de ler?
O gosto pela leitura deve ser algo espontâneo.
“Feliz daquele que descobriu a magia da leitura”.
28
Ficha será disponibilizada apenas o modelo-uso pessoal do professor/pesquisador 29
GERDES , Paulus . Desenho da África .São Paulo,Scipione (Coleção Vivendo a Matemática
IMENES Luiz Márcio. Geometria das dobraduras. São Paulo, Scipione. (Coleção Vivendo a Matemática )
IMENES Luiz Márcio. Geometria dos Mosaicos . São Paulo, Scipione. (Coleção Vivendo a Matemática )
MACHADO , Nilson José . Polígonos, centopéias e outros bichos ,São Paulo,Scipione (Coleção Vivendo
a Matemática )
MACHADO , Nilson José . Semelhança não é mera coincidência ,São Paulo,Scipione (Coleção Vivendo a
Matemática)
MARCONDES , Carlos/Nelson Gentil. Como encontrar a medida certa ( Série- A Descoberta da
Matemática )
NETO,Ernesto Rosa .Saída pelo Triângulo ,São Paulo,Ática( Série - A descoberta da Matemática ) e
outros da mesma coleção citados acima.
53
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
ESCOLA ESTADUAL DE PARAÍSO DO SUL – ENSINO FUNDAMENTAL
Identificação:
PRÉ – TESTE
Pré - teste foi elaborado pela pesquisadora, tendo como referência os objetivos específicos e o
livro didático adotado pela escola.
Objetivo Específico: Identificar atributos relevantes na definição de polígonos.
Questão 1: Assinale a questão abaixo que corresponde ao quadrado, grife a informação que
torne a alternativa falsa.:
Alt. 1( ) Linha poligonal fechada e não simples figura geométrica plana, quatro
lados iguais, ângulos retos, duas diagonais, paralelogramo, portando o quadrado é
um polígono;
Alt. 2( ) Linhas poligonal fechada e simples, figura geométrica espacial, quatro lados iguais,
ângulos retos, duas diagonais, paralelogramo, portando quadrado é um polígono;
Alt. 3( ) Linha poligonal aberta e simples ,figura geométrica plana, quatro lados iguais,ângulos
retos,duas diagonais, paralelogramo, portando o quadrado é um polígono;
Alt. 4( ) Quatro lados iguais, duas diagonais , ângulos retos, quatro vértices
,paralelogramo,retângulo,figura geométrica plana, linha poligonal fechada e simples, portanto
o quadrado é um polígono.
Questão 2: Quais as propriedades geométricas que define polígonos?
54
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
ESCOLA ESTADUAL DE PARAÍSO DO SUL – ENSINO FUNDAMENTAL
ATIVIDADE 1: PASSEATA GEOMÉTRICA E ECOLÓGICA
Nosso Paraíso (Foto Àlisson Rosa Paglia ) Bairro Paraíso do Sul –Barbosa Ferraz - Paraná
Um pouco de História:
Nosso povoado, Paraíso do Sul, tem os nomes das ruas em homenagem ao Projeto
Paraíso Ecológico (1996), na época os moradores poderiam dar sugestões, foi sugerido que o
centro, onde se localiza as três igrejas, seria Avenida Catedral, a rua que moro é Paraíso Ecológico
e as demais são nomes de árvores: Rua Santa Bárbara, Rua Paineira, Pingo de Ouro e outras, para
comprovante de residência, apresentam à conta de luz, em nosso povoado a água é de poço
artesiano, mantido pela prefeitura.
Por meio do Projeto, fizemos mutirões de limpezas, conseguimos o recolhimento de
lixo, construímos o trevo que fica a três quilômetros, trevo da entrada, arboreto, arborizamos as
ruas e a área do ginásio de esporte, jardim da escola, com participação de professores, alunos e
comunidade, contamos com o apoio de órgãos governamentais, deixaram sua marca. Esta nova
geração além de conservar os bens públicos, evitar doenças, cuidando com carinho de seus
quintais, poderão fazer a diferença. Fazendo cada um a sua parte. (ROSA, C.B., 2011)
ATIVIDADE: PASSEATA ECOLÓCICA E GEOMÉTRICA
Após a Passeata vocês farão por meio de desenhos um mural expondo as formas poligonais
encontradas nas construções ou na natureza, conforme a criatividade de cada grupo na sala de
aula.
Atividade será registrada por meio de fotos.
55
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
ESTADUAL DE PARAÍSO DO SUL – ENSINO FUNDAMENTAL
ATIVIDADE 2: PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS POLIGONAIS
1º passo: Pesquisar - Definição de Geometria ( Laboratório de Informática)
2º passo: Leitura – Definição de polígonos
Em um conceito, temos os atributos definidores e atributos irrelevantes.
Primeiro diz respeito aos atributos que definem o conceito. Por exemplo,
alguns atributos definidores de polígonos são: segmentos de reta, figura
simples, figura fechada e figura plana. O segundo, são atributos que não
interferem na formação de um conceito, por exemplo: cor, hachuras,
bordas espessas e finas, tamanho, etc (KLAUSMEIER E GOODWIN
apud PROENÇA, 2008).
3º passo : Diferenciar poliedros (3D) de polígonos (2D) , conforme a criatividade.
Exemplo
Paralelepípedo (espacial) Superfície poligonal Retângulo (figura plana)
Poliedro Polígono
O desafio acima será realizado no Laboratório de informática: Programa AutoFormas.
Podendo analisar outras poliedros como: Cubo, pirâmides, etc.
4º passo: Pesquisar linha poligonal fechada e aberta/linha simples e não-simples.
Atividade no pátio escolar
Materiais: cartolina ou papel sulfite, lápis, canetinhas coloridas, régua, malha quadriculada ou
geoplano.
Traçar linhas poligonais fechadas e abertas;
Traçar linhas simples e não-simples.
Superfície
poligonal
56
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
ESCOLA ESTADUAL DE PARAÍSO DO SUL – ENSINO FUNDAMENTAL
ATIVIDADE 3: POLÍGONOS IRREGULARES CONVEXOS, INSCRITOS A UMA
CIRCUNFERÊNCIA
Material: Papel sulfite, lápis, régua, lápis de cor e o compasso.
POLÍGONOS
Figura geométrica plana formada por um a linha poligonal fechada e simples.
POLI – prefixo – muitos GONOS – sufixo – ângulos
NOME ÂNGULOS NOME LADOS
TRIÂNGULO 3 TRILÁTERO 3
QUADRILÁTERO 4 QUADRILÁTERO 4
PENTÁGONO 5 PENTALÁTERO 5
HEXÁGONO 6 HEXALÁTERO 6
HEPTÁGONO 7 HEPTALÁTERO 7
OCTÓGOO 8 OCTOLÁTERO 8
ENEÁGONO 9 ENEALÁTERO 9
DECÁGONO 10 DECALÁTERO 10
UNDECÁGONO 11 UNDECALÁTERO 11
PENTÁDECÁGONO 15 PENTADECALÁTERO 15
ICOSÁGONO 20 ICOSALÁTERO 20
Curiosidade:
Polígono côncavo ou não – convexo: quando uma reta que encontra seus lados tem mais
de dois pontos comuns ou quando possuem pelo menos um dos ângulos internos, maior
que 180º graus.
Polígono convexo: quando qualquer reta que encontra seus lados tem apenas dois pontos
em comum com eles ,ou seja, seus ângulos internos são menores que 180º graus .
Polígonos convexos: regulares ou irregulares, dependendo de seus lados e ângulos.
57
POLIGONOS IRREGULARES CONVEXOS INSCRITOS EM UMA
CIRCUNFERÊNCIA
ESTRATÉGIA: Dobrar um sulfite em quatro partes iguais e desenhar quatro polígonos
irregulares
Exemplo:Triângulo,quadrilátero, octógono , pentágono, etc.
Atividade será registrada, passo a passo por meio de fotos em uma sequência didática,
exposição em mural pelos alunos.
Triângulo (3 lados) Quadrilátero (4 lados)
58
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
ESCOLA ESTADUAL DE PARAÍSO DO SUL – ENSINO FUNDAMENTAL
ATIVIDADE 4: POLÍGONOS REGULARES30
Material: Um quadrado de madeira ( 25 cm x 25 cm), compasso, transferidor, pincel, borracha
(dinheiro), linha de crochê ou lã, tinta guache, prego, martelo, lápis, régua ou esquadro.
Complete: equiângulos, regulares e equiláteros
E........................: todos os lados iguais E..........................: todos os ângulosguais
A intersecção entre eles são polígonos .......................................
Os passos a serem seguidos: Construção de polígonos regulares
Foto: Álisson Rosa Paglia
1º passo – Traçar as diagonais do quadrado de madeira ( 25cm por 25cm );
2º passo – Localizar o centro e traçar uma circunferência de raio de 11 cm;
3º passo - Uma circunferência tem 360º graus ( Dividir 360º graus pelo número de lados do
polígono que deseja construir);
Ex. Quadrilátero: Tem quatro lados 360/4 é igual 90º graus
(uso do transferidor medir o ângulo encontrado e com o auxílio do compasso dividir a
circunferência em partes iguais)
4º passo: Traçar os lados e as diagonais;
5º passo: Pintar conforme a criatividade;
6º passo: Pregar um prego no lugar de cada vértice;
7º passo: Com o uso de linha ou lã traçar os lados e as diagonais.
Boa sorte e criatividade
30
A Sequência Didática dos passos mencionados será demonstrada por meio de fotos
59
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
ESCOLA ESTADUAL DE PARAÍSO DO SUL – ENSINO FUNDAMENTAL
ATIVIDADE 5: CONSTRUÇÃO DE UM PORTA-CHAVES
A estrela de nossa atividade é o pentágono regular, sabe por quê?
LEITURA: Pentagramas, pentágonos e os maus espíritos.
O pentagrama era considerado pelos pitagóricos o símbolo da boa saúde e da aliança entre os
homens. Os cinco ângulos das pontas da estrela eram provavelmente designados por cinco letras
do alfabeto grego que formavam a palavra SAÚDE. Além disso, para muitos povos da
antiguidade, o pentagrama tinha significado místico. Na Idade Média era utilizado para proteger
os homens dos maus espíritos.
À primeira vista, um emblema como esse, uma simples estrela, parece um tanto quanto banal
sem interesse.
O pentágono e o corpo humano têm alguma relação?
Deita uma criança em uma superfície com os braços e pernas abertas e realize o evento
(ponta dos dedos das mãos, dos pés e a cabeça). Mas se você ligar com uma régua os
vértices dessa estrela, indicados pelas letras S, A, U, D, E, você notará que acabou
traçando um PENTÁGONO, isto é, um polígono de 5 lados. Mas que isso. Meça todos
os lados desse pentágono. O que você observa? Meça também todos os ângulos internos
desse pentágono. O que você observa?
Os pitagóricos de cinco séculos a.C. adotaram o PENTAGRAMA (pentágono regular
estrelado) como símbolo de sua seita.
60
PORTA-CHAVES PENTAGONAL
Material: Um quadrado (madeira) 10 cm por 10 cm, prego, martelo, tinta guache, pincel,
linha ou lã, régua, transferidor, compasso, esquadros e outros.
Foto: Álisson Rosa Paglia
Os passos a serem seguidos, tendo um porta-chaves pronto, como referencial.
Atividade será registrada em uma sequência didática por meio de fotos.
1º passo - traçar uma circunferência (raio de 5 cm) em uma madeira de 10 cm
por 10 cm;
2º passo - Uma circunferência tem 360ºgraus e o pentágono regular (5 ângulos
iguais – equiângulos) e 5 lados iguais (equiláteros) (dividir 360 graus pelo número de
lados); Exemplo: 360/ 5 = 72º graus;
3º passo - com o transferidor medir 72º graus e com o auxílio do compasso
dividir a circunferência em cinco lados iguais;
4º passo - Ligue os vértices, traçando seus lados;
5º passo: Você tem um pentágono regular, trace com lápis suas diagonais;
6º passo: Use sua criatividade e faça uma obra de arte: pintando a superfície
interna e externa desse polígono, sugestão: (poderá pintar a superfície da estrela de
outra cor);
7º passo: Transformar o pentágono em um porta-chaves: vértices (preguinhos)
diagonais e os lados (traçar com linha ou lã) e dê um acabamento pessoal. Boa sorte!
61
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
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ATIVIDADE 6: CONSTRUIR UMA ESTRELA
PALITOS DE FÓSFOROS E CRIATIVADE
MATERIAL: 100 palitos de fósforos (preferência com a ponta rosa) cola, cartolina ou caixa de
papelão (superfície da estrela) .
Foto: Álisson Rosa Paglia
PROCEDIMENTOS: Os passos a serem seguidos.
Atividade será registrada em uma sequência didática por meio de fotos.
Trabalho em grupo
1º passo: sobre uma superfície plana de cartolina ou papelão, fazer o sinal da operação adição
(+) com oito palitos de fósforos, observe a posição para ficar mais bonito;
2º passo: localize os ângulos de 90º graus (marcar com o fósforo ângulos de 45º graus);
3º passo: a partir dos ângulos de 45º graus, preencherem com palitos de fósforos as lacunas até
atingir as pontas dos fósforos que formam o sinal da adição;
4º passo: Recortar o formato da estrela;
5º passo: toque pessoal, pintar a superfície com verniz ou com a cola se achar necessário;
6º passo: Fazer um relato por escrito do polígono encontrado. Tendo como referência as
seguintes perguntas:
Qual o polígono encontrado?
Quais os ângulos internos encontrados?
O número de vértice é igual ao número de lados?
62
Quanto aos ângulos internos: retos, agudos ou obtusos? Quantos?
Tem eixos simétricos? Quantos?
7º passo (sugestão): Para a atividade ficar mais interessante poderá contornar a estrela em
papel sulfite e verificar tais propriedades, dobrando para verificar os eixos simétricos, marcar
os ângulos internos e externos, contar os vértices e os lados – possibilitando anotações escritas.
63
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
ESCOLA ESTADUAL DE PARAÍSO DO SUL – ENSINO FUNDAMENTAL
Foto: Álisson Rosa Paglia
Em frente à igreja
ATIVIDADE 7: CANTEIRO POLIGONAL NA PRACINHA LOCAL
TRABALHO EM GRUPO:
Material: Vai depender da criatividade dos alunos;
Sugestão: tijolos ou pedras (contorno), compasso (prego, barbante), uma estaca e outros.
Analisar oralmente o canteiro construído, orientado pelo
professor/pesquisador.
O canteiro construído é um polígono?
Estamos diante de um polígono convexo ou côncavo?
É polígono regular ou irregular?
É uma figura plana ou espacial?
Quantos vértices?
Quantos lados?
Quantas diagonais?
O número de vértice é igual o número de lados?
Atividade será registrada por meio de fotos em uma sequência didática
64
FICHA DE OBSERVAÇÕES31
: Professor/pesquisador
Quais as dificuldades encontradas ao traçar a estrela como canteiro?
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................
Quais os questionamentos dos alunos?
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
Dos alunos previstos no Projeto, existem ausentes? Quantos?
..............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................
Quanto às interações sociais entre os alunos, estão trabalhando em grupo?
..............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................
31
Pesquisadora: Clarice Barga Rosa
. Orientador: Prof. Me. Luciano Ferreira
65
Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
ESCOLA ESTADUAL DE PARAÍSO DO SUL – ENSINO FUNDAMENTAL
IDENTIFICAÇÃO:...................................................................................................
PÓS – TESTE
Questão 1:
Assinale a questão abaixo que corresponde ao PENTÁGONO
Alt. 1( ) Linha poligonal fechada e não simples, figura geométrica plana, cinco lados iguais,
cinco vértices, cinco diagonais, cinco ângulos, portando o pentágono é um polígono;
Alt. 2( ) Linha poligonal fechada e simples, figura geométrica plana, cinco lados iguais, cinco
diagonais, cinco vértices, cinco ângulos, portando pentágono é um polígono;
Alt. 3( ) Linha poligonal aberta e simples, figura geométrica plana, cinco lados iguais, cinco
diagonais, cinco vértices, cinco ângulos, portando o pentágono é um polígono;
Alt. 4( ) Cinco lados iguais, cinco diagonais, cinco ângulos, cinco vértices, figura geométrica
espacial linha poligonal fechada e simples, portanto o pentágono é um polígono.
Questão2: Quais são os atributos relevantes na definição de polígonos?
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ANEXOS