Secretaria de Estado da Educação Superintendência da ... · 6 Segundo Murari (2005, p. 202),...

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

MARIA JULIA DE CARVALHO

CASCAVEL

2008

Secretaria de Estado da Educação Superintendência da Educação

Departamento de Políticas e Programas Educacionais Coordenação Estadual do PDE

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IDENTIFICAÇÃO

ÁREA: MATEMÁTICA

PROFESSORA PDE: MARIA JULIA DE CARVALHO

PROFESSORA ORIENTADORA IES: Profª Drª PATRÍCIA SANDALO PEREIRA

PROFESSORA CO-ORIENTADORA: Profª Ms. ARLENI ELISE SELLA

IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ – CAMPUS DE FOZ DO

IGUAÇU

TEMA DE ESTUDO DA INTERVENÇÃO

A utilização das novas tecnologias no ensino da Matemática

TÍTULO

A UTILIZAÇÃO DO LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA PARA O ENSINO DE

GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL

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LISTA DE FIGURAS

Página Figura 1 - Mosaico romano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Figura 2 - Circle Limit III , 1959. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Figura 3 - Day and Night – Xilogravura de 1938. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Figura 4 - Triângulo regular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Figura 5 – Quadrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Figura 6 - Hexágono regular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Figura 7 - Pentágono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Figura 8 - Pentágono regular com lacuna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Figura 9 - Pentágono regular com sobreposição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Tabela 1 – Ângulos internos em polígonos regulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Figura 10 - Mosaico com triângulos eqüiláteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Figura 11 - Mosaico com quadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Figura 12 - Mosaico com hexágonos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Figura 13 - Mosaico quadrados auto-afins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Figura 14 - Mosaico triângulo eqüilátero afim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Figura 15 - Mosaico hexágono regular afim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Figura 16 - Layout do GeoGebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Figura 17 - Ícones do menu principal do GeoGebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Figura 18 - Ícone ativado mostrando abas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Figura 19 - Instruções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Figura 20 - Pavimentação de Voderberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 21 - Hexágonos regulares e estrelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 22 - Pavimentação de Penrose. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 23 - Carpete ou empacotamento de Apolónio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 24 - Estrutura da molécula de metano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 25 – Hidrocarbonetos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 26 - Estrutura do grafite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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INTRODUÇÃO

Com esta unidade didática, pretende-se contribuir com o ensino de matemática,

propondo formas de abordagens diferenciadas quanto ao trabalho do conteúdo de

geometria, porque entendemos que trabalhar matemática significativamente, consiste em

levar o aluno a construir o próprio conhecimento, incorporando os significados de forma a

compreender a linguagem dessa disciplina existentes nas atividades, sejam elas no

ambiente midiático ou não.

Devido à sua abrangência, o leque de oportunidades exploratórias é expressivo,

dessa forma, o direcionamento das atividades pode ser bem diferenciado, o que pode se

traduzir em enriquecimento de oportunidades de investigações, visto que, todo trabalho

deve ser desenvolvido levando-se em consideração os diferentes níveis de rigor e

profundidade.

Nessa unidade faremos um breve relato da história da geometria, estendendo-se

também à aplicações geométricas, principalmente sobre seu uso na pavimentação do plano.

Comentaremos um pouco sobre Escher e seus mosaicos e, por fim, serão sugeridas

algumas atividades para serem trabalhadas em sala de aula.

Grande parte do desenvolvimento dessas atividades pedagógicas será realizada no

laboratório de informática, no ambiente da Geometria Dinâmica, mais especificamente, o

GeoGebra.

I - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

1.1 GEOMETRIA: Seu significado e sua história.

É muito provável que a matemática surgiu de necessidades básicas e da mesma

forma, a geometria. A palavra geometria vem do grego geo = terra + metron = medida, ou

seja, "medir terra".

A geometria é um ramo da matemática que estuda as formas, planas e espaciais,

com as suas propriedades. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições,

teoremas e corolários.

No estudo da geometria é necessário entender representações simbólicas e suas

relações conceituais, para isso, é fundamental o uso de linguagem e procedimentos

apropriados. Conforme Murari (2005, p.198), “Ela é um ramo da Matemática que possui um

campo muito fecundo, e a maneira como for estudada irá refletir no desenvolvimento

intelectual, no raciocínio lógico e na capacidade de abstração e generalização do aluno”.

Conforme Imenes (1996, p.28), “Há indícios de que crianças que trabalham com formas

5

geométricas, tornam-se mais organizadas, desenvolvem coordenação motora e visual,

melhoram a leitura, compreendem mais rapidamente gráficos, mapas e outras informações

visuais”.

A geometria é parte da Matemática que lida com as propriedades do espaço,

empregando um sistema que utiliza pontos, linhas, superfícies e sólidos. Sobre a sua

origem, J. Coolidge, citado por Gerdes (1992, p.14), afirma: “Qualquer que seja a nossa

definição de Homo sapiens, ele deve ter tido algumas idéias geométricas; de fato, a

geometria existiria, mesmo se não tivesse havido Homo sapientes nenhum”. Para a maioria

dos autores a geometria teve seu início na Mesopotâmia. Ainda conforme Gerdes (1992),

A geometria nasceu como uma ciência empírica ou experimental. (...). Depois de ter sido reunido suficiente material factual respeitante às formas espaciais mais simples, tornou-se possível, sob condições sociais especiais, como, por exemplo, no Egito antigo, Mesopotâmia e China, sistematizar consideravelmente o material factual recolhido. Com isso começou a transformação da geometria de uma ciência empírica numa ciência matemática. (p.17)

A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da geometria. As

atividades incluíam observações, comparações e relações entre formas e tamanhos.

Observa-se também, diversos outros momentos em que foi usada pelos povos considerados

primitivos, na construção de objetos de decoração, de utensílios em geral e na criação de

desenhos para a pintura corporal. Formas geométricas, com grande riqueza e variedade,

aparecem em cerâmicas, cestarias e pinturas de diversas culturas. Nestas manifestações

artísticas já apareciam formas como triângulos, quadrados, círculos, entre outros.

Figura 1 - Mosaico romano1

A figura 1 é exemplo de pavimentação com formas geométricas e essa

pavimentação tem relação com a arte dos mosaicos, cuja repetição permite-nos obter

padrões harmoniosos.

1 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Mosaico

6

Segundo Murari (2005, p. 202), “O vocábulo pavimentação tem como sinônimos

“tesselação” ou “mosaico” quando utilizado no sentido de recobrimento de uma porção do

plano (euclidiano ou não)”.

Barbosa (1993), afirma que,

Os mosaicos são conhecidos desde os tempos antigos. Estiveram presentes nas civilizações assíria, babilônica, persa, egípcia, grega, chinesa e outras, empregados em padrões que não raro permaneceram até os dias atuais. Muitos mosaicos encontrados em pisos, tetos e painéis de parede, de templos ou palácios, atestam a íntima relação entre determinados padrões e a arte da decoração. (...) O objetivo do artífice era e é encontrar um certo tipo de simetria ornamental com o emprego de figuras relativamente simples, cuja repetição e interação formem um todo harmonioso e estético. (p.1)

Um grande estudioso desse tema foi M.C. Escher. Mauritus Cornelis Escher nasceu

em 1898, em Leeuwarden na Holanda, faleceu em 1970. Escher foi para a Escola de Belas

Artes de Haarlem para estudar arquitetura onde conheceu o seu mestre, Jesserum de

Mesquita, um professor de Artes Gráficas. Conheceu as técnicas de desenho e apaixonou-

se pela arte da gravura. Teve grande interesse pela arte árabe, sendo esta, a base do

interesse e da paixão de Escher pela divisão regular do plano em figuras geométricas que

se repetem e refletem, pelas pavimentações.

Alguns de seus trabalhos

Figura 2 - Circle Limit III, 19592.

2 Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher

7

Figura 3 – Day and Night – Xilogravura de 19383

O tema geometria é bastante amplo, nesta unidade trataremos de estudar com mais

afinco um recorte desse assunto relacionado à pavimentação do plano, usando polígonos

regulares na construção dos mosaicos. O seu estudo pode ser explorado nos diversos

níveis de escolaridade, e permite que vários conceitos geométricos sejam abordados, por

exemplo: ponto médio, simetrias, bissetriz, polígonos regulares, ângulos, entre outros.

1.2 - PAVIMENTAÇÃO DO PLANO

Conforme Barbosa, (1993, p.3). “Um conjunto de polígonos será uma pavimentação

do plano se, e só se, o conjunto de polígonos cobre sem cruzamentos o plano”. Quando

dizemos cobre, estamos dizendo que todo ponto do plano pertence a pelo menos um

polígono e quando na intersecção de dois polígonos não há lacuna dizemos que é sem

cruzamento.

Pavimentação lado-lado – “Uma pavimentação é lado-lado se, e somente se, toda

aresta é lado comum a dois polígonos (...). Um novo polígono só pode ser acrescentado se

os lados em contato são respectivamente congruentes. Caso contrário dirá simplesmente

que a pavimentação não é lado-lado” (BARBOSA, 1993, p.4).

Pavimentação Arquimediana, Uniforme e Platônica – Segundo o autor e obra acima

referenciada, quando a pavimentação cujos vértices apresentam-se todos com o mesmo

número de arestas concorrentes é chamada Arquimediana. Será Uniforme, quando a

pavimentação for Arquimediana, lado-lado e os polígonos ao redor de um vértice forem

sempre os mesmos e na mesma disposição. Será Platônica, quando a pavimentação for

3 Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Escher.htm

8

Arquimediana, se todos os polígonos possuírem o mesmo número de lados, e se toda

aresta é lado comum a dois polígonos (lado-lado).

1.2.1 - PAVIMENTAÇÃO DO PLANO COM POLÍGONOS REGULARES DE UM SÓ TIPO

Quais polígonos regulares pavimentam o plano?

Procedimento: Colocando os polígonos regulares de certo tipo ao redor de um ponto,

encostando-os lado a lado. Temos duas possibilidades.

Verificação dos ângulos ao redor do ponto. Seja k o número de polígonos colocados

e i o ângulo vértice (ângulo interno).

• Completamos a volta e os polígonos se ajustam bem;

Para isso devemos ter k. i = 360º

• Não completamos a volta, mas se colocarmos mais um haverá remonte.

Isso se k. i ˂ 360º e (k + 1). i ˃ 360º, quando constatamos a impossibilidade de

pavimentação.

Colocando novos polígonos regulares do mesmo tipo ao redor dos já colocados, por

anéis circundantes. No caso de obtermos êxito, concluímos que a pavimentação é possível

para o tipo.

Figura 4 - Triângulo regular Figura 5 – Quadrado Figura 6 – Hexágono regular

Triângulo: k = 6 e i = 60º, então 6 .60º = 360º

Quadrado: k = 4 e i = 90º, então 4. 90º = 360º

Hexágono: k = 3 e i = 120º, então 3.12º = 360º

Vamos experimentar pavimentar só com Pentágonos regulares? O seu ângulo

interno vale i = 108º.

Figura 7 – Pentágono regular

Se k = 3, ou seja, três pentágonos regulares ao redor de um ponto. (ocorre lacuna)

K = 3 e i = 108º, fazendo 3. 108º = 324º ˂ 360º

9

Figura 8 – Pentágono regular com lacuna

Se k = 4, ou seja, quatro pentágonos regulares ao redor de um ponto. (ocorre

superposição)

K = 4 e i = 108º, fazendo 4. 108º = 432º ˃ 360º.

Figura 9 – Pentágono regular com sobreposição

Como para todo polígono regular o ângulo interno é sempre menor que 180º,

devemos ter k ≥ 3 polígonos ao redor de um ponto; assim, a experiência deve parar no

hexágono regular, cujo ângulo vértice é i = 120º. Pois, para qualquer polígono regular de n ˃

6 lados, terá ângulo interno i ˃ 120º, e teríamos k. i ˃ 360º.

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono é sempre igual a 360º. Assim,

nos polígonos regulares, nos quais todos os ângulos são congruentes, para determinar a

medida de cada um deles basta dividir 360º pelo número de lados (MACHADO, 1989, p.27).

Um padrão de pavimentação é padrão regular se, e somente se, for construída de

polígonos convexos congruentes tal que cada figura vértice do padrão seja polígonos

regulares. Chamamos de figura-vértice o polígono que possui por vértice os pontos médios

dos lados que concorrem num mesmo vértice.

Tabela 1 – Ângulos internos em polígonos regulares

Polígono regular Soma das medidas de todos os ângulos internos

Medida de cada ângulo interno

Triângulo eqüilátero 180º 60º

Quadrado 360º 90º

Pentágono regular 540º 108º

Hexágono regular 720º 120º

Decágono regular 1440º 144º

Polígono regular de n lados

(n - 2). 180º ( )

n

n º1802−

Fonte: DANTE, L.R. Tudo é matemática. São Paulo, Ática, 2004, p.137.

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1.2.2 - PAVIMENTAÇÃO DO PLANO COM POLÍGONOS REGULARES DE TIPOS

DIFERENTES

A pavimentação ao redor de um ponto com polígonos regulares de vários tipos,

congruentes entre si, pode ser realizada utilizando os mesmos procedimentos usados para a

pavimentação com polígonos regulares de um só tipo.

Ao conjunto de polígonos regulares que se ajustam ao redor de um ponto (vértice)

chamamos de configuração, a qual receberá uma notação que irá designar quais polígonos

a formam. Tomando por exemplo a configuração (3,4,6,4), devemos compreender que

existem os seguintes polígonos, dispostos rigorosamente nesta ordem: triângulo, quadrado,

hexágono e quadrado (MURARI, 1993, p.80).

Ainda Conforme Murari (1999, p.38-Anexos), das 21 configurações de polígonos

regulares em torno de um vértice só as configurações (3,3,3,3,3,3), (4,4,4,4) e (6,6,6)

pavimentam o plano.

1.3 - CONSTRUINDO ALGUNS MOSAICOS

Procuraremos mostrar como a partir de simples peças pode-se obter interessantes

mosaicos. Para isso usaremos apenas os três únicos polígonos regulares que pavimentam o

plano: os triângulos eqüiláteros, os quadrados e os hexágonos regulares.

A partir de uma peça triangular eqüilátera, com um friso interno, usando suas réplicas

obterá o mosaico.

Figura 10 – Mosaico com triângulos eqüiláteros

Considere uma peça quadrada, na qual fazemos um pequeno ornamento losangular.

Com suas réplicas podemos obter o padrão do mosaico a seguir.

Figura 11 – Mosaico com quadrados

11

Considere uma peça hexagonal regular, na qual fizemos um friso em 4 lados

consecutivos.

Figura 12 – Mosaico com hexágonos

COM FIGURAS-VÉRTICE DOS PADRÕES REGULARES

“Fazendo todas as figuras-vértice no padrão regular de quadrados, obtemos uma

nova pavimentação de quadrados com padrão regular.” (BARBOSA, 1993, p.21).

Figura 13 – Mosaico quadrados auto-afins

“Fazendo todas as figuras-vértice no padrão regular de triângulos eqüiláteros,

obtemos uma nova pavimentação, porém agora com hexágonos regulares e triângulos

eqüiláteros.” (BARBOSA, 1993, p.22).

Figura 14 – Mosaico triângulo eqüilátero afim

“Fazendo todas as figuras-vértice no padrão regular de hexágonos regulares,

obtemos também uma pavimentação com triângulos eqüiláteros e hexágonos regulares.”

(BARBOSA, 1993, p.22).

Figura 15 – Mosaico hexágono regular afim

“Isso leva a considerar que os padrões regulares de triângulos eqüiláteros e de

hexágonos regulares em relação à figura-vértice, são chamados de afins e os padrões

regulares de quadrados são auto-afins.” (BARBOSA, 1993, p.22).

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II - ESTRATÉGIAS DE AÇÃO

As atividades serão desenvolvidas com alunos da oitava série, no laboratório de

informática na plataforma Linux da Paraná Digital. Usaremos o programa de geometria

dinâmica GeoGebra, um projetor multimídia, uma TV multimídia e um computador portátil.

Para o desenvolvimento dessa Unidade Didática, estão previstas 16 horas/aula de trabalho

com os alunos. Para maior agilidade do processo, será produzido material impresso. As

atividades serão realizadas em duplas e com o auxilio da professora PDE/regente de turma.

Proporemos aos alunos que observem objetos simples, do cotidiano, a partir daí,

propor atividades visando estimular o aprofundamento dos estudos, levando-os ao

conhecimento sistematizado e conceitual. Nessa perspectiva de trabalho, o professor terá

como função principal mediar o processo de ensino-aprendizagem e com tal proposta

pedagógica, espera-se que o aluno desenvolva suas atividades de forma mais autônoma.

2.1 - SEQUÊNCIA DAS ATIVIDADES

I – Informações preliminares aos alunos a respeito do tema Pavimentação do plano

com polígonos regulares.

II - No ambiente midiático:

• Familiarização ao funcionamento do sistema operacional Linux; Acesso à

internet para visitas aos sítios relacionados ao tema objeto de estudo. Acesso

ao ambiente (http://web.educom.pt/pr1305/), o qual permite a interação do

aluno com o objeto.

• Filmes (You Tube) sobre os mosaicos de Escher e outros. Por exemplo,

(http://youtube.com/user/chaos17 - Tributo a M.C. Escher – 03h54min

minutos, http://youtube.com/user/simalgo2 - Escher – Geometria e Arte –

03h54min minutos) entre outros.

• Familiarização dos alunos com relação ao software GeoGebra. Acesso ao

sítio http://videolog.uol.com.br/video.php?id=318748 (20 minutos de vídeo

sobre construções usando o software GeoGebra). Acessar o programa e

conhecer na prática, as janelas, os comandos, dicas entre outros.

III - Desenvolver as atividades propostas, dentre as quais algumas deverão culminar

com a pavimentação de planos com polígonos regulares.

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III - UNIDADE DIDÁTICA

Iniciaremos o estudo com filmes relacionados à exploração do software GeoGebra,

na seqüência serão fornecidos materiais impressos, em forma de apostila, com uma rápida

apresentação, auxiliando o aluno que não tem familiaridade no manuseio destas

ferramentas. Proporemos uma seqüência de atividades para serem realizadas com o auxílio

do software, consideramos esta, uma etapa importante e necessária para o

desenvolvimento das demais tarefas a serem propostas.

3.1 - GEOGEBRA

É um programa livre, de geometria dinâmica e disponível na plataforma Linux. Foi

desenvolvido por Markus Hohenwarter, da Flórida Atlântica University, em 2001. Traduzido

para o português por J. Geraldes, disponível para Download (em

http://www.geogebra.org/cms/).

O GeoGebra é um software matemático que reúne Geometria, álgebra e Cálculo e

pode ser utilizado em qualquer nível de ensino de Matemática. Há duas janelas de

visualização: a janela de álgebra e a geométrica. Cada objeto visualizado na janela

geométrica tem sua representação algébrica simultaneamente mostrada na janela algébrica.

Na seqüência iremos apresentar algumas informações básicas sobre seu uso.

Ao iniciar o software, visualizaremos a seguinte janela:

Figura 16 – Layout do GeoGebra.

14

Barra de Ferramentas - Podemos acessar as funções via botões na Barra de

Ferramentas ou pelo Campo de Entrada. A barra de ferramentas está dividida em 9

botões, e em cada botão há várias ferramentas. Para acessar essas ferramentas, basta

clicar na parte inferior do ícone (conforme indicação a seguir).

Figura 17 – Ícones do menu principal do GeoGebra.

Arraste o cursor para baixo e de um clique para selecionar a função desejada

(observe a figura seguinte).

Figura 18 – Ícone ativado mostrando abas.

Janela de Álgebra - Ao iniciar o GeoGebra, geralmente a Janela de Álgebra já

aparece na tela. Caso não apareça, pode-se mostrá-la a partir da Barra de Menu, em

Exibir e marcando a opção Janela de Visualização. O procedimento é idêntico para

desmarcá-la, caso queira.

Janela de Gráficos – Ao introduzir um comando escrito, os correspondentes objetos

geométricos são desenhados na Janela de Gráficos.

Entrada de Comandos - Em alguns casos é mais fácil entrar usando este comando.

Esta opção pode ser ativada ou desativada no Menu Exibir marcando ou desmarcando a

opção Campo de Entrada.

Botão Direito do Mouse – Com o Botão Direito do Mouse, também se pode ativar

ou desativar Eixo e Malha. Podem-se tornar objetos visíveis ou invisíveis, renomear,

redefinir, apagar, e clicando em Propriedades, é possível alterar cor, linha, entre outros.

Algumas dicas

• O item Desfazer no menu Editar é uma ferramenta muito usada para anular as

últimas operações, pode-se usar também no teclado ctrl+z (desfazer) e ctrl+y

(refazer), esta opção também é encontrada no canto superior da tela.

15

• Cada vez que selecionamos uma ferramenta, o Geogebra dá informações de como

proceder para utilizá-la.

Figura 19 – Instruções

• O menu “Exibir – Protocolo de Construção“ fornece uma tabela listando todos os

passos que você tomou fazendo sua construção. Ele serve para revisar a construção

passo a passo utilizando as teclas de seta.

• É possível desativar ou ativar a janela de álgebra, o eixo cartesiano e a malha,

através do Menu Exibir.

• Outras informações podem ser obtidas no Menu Ajuda.

3.1.1 - APRESENTAÇÃO DE ATIVIDADES BÁSICAS PARA A FAMILIARIZAÇÃO COM

AS PRIMEIRAS FUNÇÕES DO GEOGEBRA.

ATIVIDADE 01

1- Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra, o Eixo e a Malha. No menu

Exibir aparecem essas três funções. Sempre que precisar, você poderá ativá-las ou

desativá-las.

2- Para criar um ponto selecione a ferramenta novo ponto , e dê um clique na

área de trabalho. Marque no plano cartesiano cada um dos seguintes pontos: A (2,

1); B (8, 1); C (8, -2) e D (2, -2)

3- Mude a cor dos pontos. Para mudar a cor do ponto, clique sobre ele com o lado

direito do mouse e aparecerá uma janela. Selecione a opção Propriedades e em

seguida a opção Cor. No lado esquerdo dessa janela aparecem os pontos. Clique

neles, um a um, e na cor desejada. Para a operação ser concluída, clique em

Fechar.

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4- Utilizando a ferramenta polígono , clique sobre os pontos e forme o Polígono

ABCD. Lembre-se de fechar o polígono no ponto A.

5- Para mudar a cor do polígono, repita o procedimento utilizado para mudar a cor dos

pontos, clicando dentro do polígono com o lado direito do mouse.

6- Observe a janela de álgebra. Os dados do polígono também mudaram de cor. O

objeto Poly1 traz a medida da área do Polígono P. Os objetos a, b, c, d, são as

medidas dos lados deste polígono.

7- A intensidade da cor do preenchimento do polígono pode ser alterada. Clique dentro

dele com o lado direito do mouse, a seguir, clique em Propriedades escolha a opção

Estilo, movimente com o mouse a seta de Preenchimento que pode intensificar ou

diminuir sua cor.

8- Para mover ou arrastar um objeto, selecione a ferramenta mover , clique no

polígono e arraste para o local desejado. Agora clique sobre um dos pontos e mova.

Clique sobre um dos lados e mova. Observe que a figura se altera.

9- Para salvar a atividade realizada, selecione o menu Arquivo clique na opção Gravar.

ATIVIDADE 02

1- Abra um arquivo novo clicando em Arquivo, na janela que surge selecione Novo.

2- Nesta atividade, não utilizaremos a Janela de Álgebra, Malha e nem o Eixo. A

Janela de Álgebra também pode ser fechada, clicando no x que aparece em seu

canto superior direito.

3- Construa uma reta utilizando a ferramenta Reta definida por dois pontos ,

selecione a ferramenta e depois clique em dois lugares quaisquer no plano.

4- Renomeie os pontos A e B para C e D. Para isso, clique sobre o ponto com o lado

direito do mouse, abrirá uma janela, selecione a opção Renomear. Digite a letra que

você identificará o ponto e clique em Aplicar.

5- Mova a reta. Para isso selecione o botão Mover , clique num dos pontos e

arraste-o.

6- Nomine a reta como r. Se a letra não aparecer, clique com o lado direito do mouse

sobre a reta e selecione Exibir rótulo.

7- Mude a cor da reta. (Use o mesmo procedimento utilizado para mudar a cor dos

pontos e do polígono).

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8- Modifique a espessura da reta. Clique sobre ela com o lado direito do mouse,

selecione Propriedades e na função Estilo podemos aumentar ou diminuir a

espessura da reta movendo a seta correspondente. Também nesta janela pode-se

mudar o estilo da reta para pontilhado.

9- Construa um novo ponto fora da reta e represente-o pela letra P.

10- Construa uma reta paralela à reta r passando pelo ponto P. Clique na ferramenta

Reta paralela , a seguir clique na reta r e no ponto P (ou vice-versa).

11- Movimente a reta r clicando em um de seus pontos e observe o que acontece com a

reta paralela.

ATIVIDADE 03

1- Abra um arquivo novo.

2- Para esta atividade, não utilizaremos a Janela de Álgebra e o Eixo.

3- Selecione a opção Segmento definido por dois pontos e construa o segmento

AB.

4- Caso não esteja aparecendo o rótulo do segmento clique com o lado direito do

mouse sobre ele e selecione a opção Exibir rótulo. Você terá então, o segmento a.

5- Marque o ponto médio deste segmento. Selecione a opção Ponto médio ou centro

e clique nos pontos A e B.

6- Trace uma reta perpendicular ao segmento AB, passando pelo ponto médio C.

Selecione a ferramenta Reta perpendicular ·, clique no segmento e no ponto

C.

7- Selecione o botão Mover e mova os pontos.

Obs. Este trabalho foi inspirado e adaptado a partir do sítio (http://www.geogebra.org/cms/) e

da apostila do CEFET Campos, disponível em:

(http://www.es.cefetcampos.br/softmat/download/atividades1/geogebra.pdf).

3.1.2 - ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM PARA CONSTRUÇÕES DE POLÍGONOS

REGULARES.

3.1.2.1 - PAVIMENTAÇÃO COM AS FIGURAS VÉRTICES DOS PADRÕES REGULARES

18

ATIVIDADE 01

Verificar alguns conceitos de ponto, reta, segmento de reta e plano.

Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra, o Eixo e a Malha. No menu Exibir

aparecem essas três funções, sempre que precisar, você poderá ativá-las ou desativá-las.

1- Abra um arquivo novo, clique em Arquivo e selecione a opção Novo.

2- Com o botão direito do mouse, na janela de visualização, escolha a opção

EixoX:EixoY, verifique se está ativada a opção 1:1.

3- Selecione a opção Novo Ponto e clique na área de trabalho para marcar no

plano cartesiano os seguintes pontos: A (-1,5; 3), B(0,8; 3,5), C(0,8; 1,5) e D(-1,5; 1).

4- Selecione a opção Segmento definidos por dois pontos e clique nos pontos A

e B, e depois nos pontos B e C, C e D, por último em D e A, para criar os respectivos

segmentos.

5- Selecione a opção Novo Ponto e marque os pontos E (1,5; 2,2), F(3,8; 3),

G(3,8; 1) e H(1,5; 0,2).

6- Escolha a ferramenta Segmentos definidos por dois pontos e depois clique

nos pontos E e F, F e G, G e H, H e E, A e E, B e F, C e G e por último D e H.

7- Escolha a opção Novo Ponto , escolha o vértice F (pode ser outro). Escolha a

opção reta definida por dois pontos , clique no ponto F e em um outro ponto

qualquer da área de trabalho, repita essa operação para construírem várias retas

passando por esse ponto. (quantas quiserem)

8- Não será necessário salvar, caso queira, selecione o menu Arquivo e clique na

opção gravar ou gravar como.

9- Para pensar e responder:

• Olhando a figura, que características são possíveis notar? (lados, canto...).

• Que denominações são dadas a tais características matemáticas? (ponto, segmento de

reta,...)

• Que habilidades e saberes são desenvolvidos/aprendidos na construção das figuras?

(Coordenação motora, plano cartesiano, localização dos pontos.)

• É possível determinar o número máximo de retas que podem ser construídas

passando pelo ponto F? Com isso, a que conclusão pode-se chegar?

19

• Entre os pontos A e B é possível construir outros pontos? Quantos?

• Ao construir essa figura, foi possível perceber que, por dois pontos passam quantas

retas?

• Então podemos concluir que por um ponto, podem passar (infinitas) retas, e que,

por dois pontos pode passar (uma única) reta.

ATIVIDADE 02

Construir o quadrilátero regular.

Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra e a Malha. Clique no menu Exibir para

desativar o Eixo.

1- Abra um arquivo novo clicando em Arquivo e selecione a opção Novo.

2- Selecione a opção novo ponto e clique num lugar qualquer na área de

trabalho para criar os pontos A e B (neste momento a distância entre os pontos A e B

não importa).

3- Selecione a opção reta definida por dois pontos e clique nos pontos A e B para

criar a reta a.

4- Selecione a opção reta perpendicular e clique no ponto A e na reta a para

criar a reta b. Repita o procedimento clicando em B para criar a reta c.

5- Selecione a opção círculo definido pelo centro e um de seus pontos e clique no

ponto B e depois no ponto A.

6- Escolha a ferramenta intersecção de dois objetos e clique em um dos pontos

onde a circunferência intercepta a reta c, irá criar o ponto C.

7- Escolha a ferramenta reta paralela e clique no ponto C e na reta a para criar a

reta e.

8- Selecione a opção intersecção de dois objetos e clique nas retas b e e para

criar o ponto D (ou clique no ponto onde as retas se cruzam).

9- Observe as notações dos pontos e das retas, há diferenças? (ou veja na janela de

álgebra)? Quais?

20

10- Selecione a opção exibir/esconder objeto e clique nas retas e na circunferência

(quando você clica nos objetos eles ficam com a espessura da linha um pouco mais

grossa), depois clique na opção mover .

11- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos A, B, C e D, fechando

em A.

12- Observe as notações dos pontos e dos segmentos de retas, há diferenças? (ou veja

na janela de álgebra)? Quais?

13- Selecione a opção ângulo e clique em dois segmentos consecutivos no sentido

horário, para obter o ângulo interno do polígono. Repita a operação até obter o valor

de todos os ângulos.

14- Observe a janela de álgebra e observe os valores (medidas) de todos os segmentos

e de todos os ângulos. Quando isso acontece dizemos que o polígono é um. . .?

15- Observe na janela de álgebra e note que aparecem os objetos livres, onde aparecem

os pontos A e B e os objetos dependentes, onde aparecem os outros objetos.

Selecione a opção mover e tente movê-lo clicando em cada ponto na janela de

gráficos. Quando movemos os pontos A e B o que acontece com o formato do

polígono? E com as medidas dos segmentos? E com poly1? O que representa

poly1?

16- Dois ângulos opostos quaisquer desse polígono são congruentes?

17- Escolha a opção Segmento definidos por dois pontos , clique nos pontos A e C

e em B e D. Selecione a opção ângulo , clique nas diagonais no sentido

horário, deverá surgir o valor do ângulo de 90º.

18- Podemos dizer que todo quadrado é retângulo e também é losango?



Nota.

Num paralelogramo: • Os lados opostos são congruentes; • Cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes; • Os ângulos opostos são congruentes; • As diagonais interceptam-se em seu ponto médio.

21

Retângulo: • As diagonais são congruentes; • É o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos).

Losango: • É o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.

Quadrado • É o paralelogramo que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes. “Portanto todo quadrado é retângulo e também é losango”

ATIVIDADE 03

Deduzir a fórmula do perímetro e da área do quadrado.

Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra, o Eixo e a Malha.


2- Selecione a opção novo ponto e clique na área de trabalho para criar os

pontos A (1,2) e B(3,2).

3- Selecione a opção reta definida por dois pontos e clique nos pontos A e B para

criar a reta a.

4- Selecione a opção reta perpendicular e clique no ponto A e na reta a para

criar a reta b. Repita o procedimento clicando em B para criar a reta c.

5- Selecione a opção círculo definido pelo centro e um de seus pontos e clique no

ponto B e depois no ponto A.

6- Escolha a ferramenta intersecção de dois objetos e clique na intersecção da

circunferência com a reta c, irá criar o ponto C.

7- Escolha a ferramenta reta paralela e clique no ponto C e na reta a para criar a

reta e.

8- Selecione a opção intersecção de dois objetos e clique nas retas b e e, para

criar o ponto D (ou clique no ponto onde as retas se cruzam).

9- Selecione a opção exibir/esconder objeto e clique nas retas e na

circunferência, depois clique na opção mover .

22

10- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos A, B, C e D, fechando

em A.

11- Qual é o valor de poly1? No campo de entrada faça a adição dos quatro segementos

(abra parêntese, digite as medidas somando e feche parêntese) o resultado surgirá

na janela de álgebra em objetos livres, que valor apareceu?

12- Selecione a opção mover e arraste o ponto A para A(0,2). Agora qual é o valor

de poly1? Faça a nova soma no campo de entrada, que valor apareceu? Repita todo

o procedimento deixando o ponto para A(-1,2) e para A(-2,2).

A parte colorida do polígono chamamos de área (ou superfície), o contorno (ou seja,

a soma dos segmentos), chamamos de perímetro.

13- Selecione a opção mover e arraste o ponto A para A(-2,2). Agora qual é o valor

de poly1? Faça a nova soma no campo de entrada, que valor apareceu?

14- Complete a tabela:

Medida do lado do polígono

Valor de poly1 (área colorida do polígono)

Soma dos segmentos (contorno do polígono)

2 3 4 5 . . . . . . . . . n

15- Qual é a denominação matemática para a área colorida do polígono e para o

contorno do polígono?

16- Não é necessário salvar.

ATIVIDADE 04

Deduzir da fórmula da área de um triângulo qualquer e reforçar as diferenças entre

polígonos regulares e não-regulares.

Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra, o Eixo e a Malha.


2- Selecione a opção novo ponto e clique na área de trabalho para criar os

pontos A (2,3) e B(6,3) e C(6,5).

23

3- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos A, B e C fechando em A.

4- Observe o valor de poly1 na janela de álgebra.

5- Selecione a opção novo ponto e para criar o ponto D(2,5).

6- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos A, B, C e D fechando

em A.

7- Observe o valor de poly2.

8- Com o botão mover , arraste os pontos C e D na posição C(6,6) e D(2,6). O

que aconteceu com os valores de poly1 e poly2?

9- Selecione a opção novo ponto para criar os pontos E (0, -3), F(4, -3) e G(2,0).

10- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos E, Fe G fechando em E.

11- Selecione a opção novo ponto para criar os pontos H(0,0) e I(4,0).

12- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos E, F, I e H fechando em

E.

13- Observe os valores de poly3 e poly4.

14- Escolha a opção ângulo , determine os ângulos poly1 e de poly2. Repita o

procedimento para outra figura.

15- Após a construção desses quatro polígonos é possível se chegar a alguma

conclusão quanto às suas áreas?

16- Agora, observando as medidas dos segmentos de cada polígono, podemos dizer que

são congruentes? E em relação aos ângulos? Agora discuta com seus colegas e

responda: podemos dizer que esses polígonos são regulares ou não e por quê?

17- Não é necessário salvar.

Nota: A área de um triângulo regular ou de um de triângulo qualquer será sempre a metade

da área de um paralelogramo.

ATIVIDADE 05

Construir o triângulo eqüilátero e determinar perímetro e área.

Nesta atividade não utilizaremos o Eixo e a Malha.


24

2- Selecione a opção novo ponto e crie os pontos A e B.

3- Selecione a opção circulo definido pelo centro e um de seus pontos e clique no

ponto A passando pelo ponto B, e depois no ponto B passando pelo ponto A.

4- Escolha a opção intersecção de dois objetos , depois clique na intersecção das

circunferências.

5- Selecione a opção exibir/esconder objeto e clique em todas as circunferências

e depois clique na opção mover .

6- Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos até fechar a figura.

7- Observe a janela de álgebra e veja as medidas dos lados do polígono. Converse

com seus colegas e conclua: é possível determinar as medidas dos ângulos sem o

recurso ângulo do software?

8- Vamos ver se acertaram. Selecione a opção ângulo e clique em dois

segmentos consecutivos no sentido horário, para determinar o ângulo interno do

polígono. Selecione a opção mover e arraste os rótulos para fora da área do

polígono.

9- Observe na janela de álgebra as medidas dos segmentos. Com a opção mover

, arraste o ponto A ou o ponto B, de forma que a distância entre eles seja de 3 cm.

10- Converse com seus colegas. Houve alguma alteração nas medidas dos ângulos?

Por quê?

11- Escolha a opção mediatriz e clique no segmento AB ( AB ) para criá-la.

12- Escolha a opção intersecção de dois objetos , clique na mediatriz e depois no

segmento perpendicular à altura, irá determinar o ponto D. Escolha segmentos

definidos por dois pontos , clique nos pontos C e D, estaremos determinando a

altura do triângulo equilátero.

25

13- O que a mediatriz faz? Escolha a opção distância ou comprimento e clique nos

pontos A e D e depois em D e B. Agora ficou mais fácil?

14- Selecione a opção ângulo e clique na altura do triângulo e depois no segmento

perpendicular à altura para determinar o ângulo reto do triângulo retângulo recém

criado.

15- Observando o polígono e a janela de álgebra, discuta com seus colegas e diga: os

lados e os ângulos do triângulo ABC são congruentes? Podemos dizer que esse

polígono é regular? E o triângulo BCD é regular? Por quê?

16- Determine os perímetros e as áreas dos triângulos ABC e BCD. É uma excelente

oportunidade de aplicação do Teorema de Pitágoras.



ATIVIDADE 06

Construir o hexágono regular, deduzir a fórmula da área do triângulo equilátero e

determinar perímetro e área do hexágono.

Nesta atividade utilizaremos a janela de álgebra e a Malha.

1. Abra um arquivo novo.

2. Selecione a opção novo ponto e clique num lugar qualquer da área de trabalho

para criar o A.

3. Selecione a opção círculo dados centro e raio , com centro em A e raio r=2,

clique em aplicar para criar a circunferência c.

4. Com a mesma Seleção, clique num ponto qualquer da circunferência para criar o

ponto B, digite 2 para raio r=2, clique em aplicar para criar a circunferência d.

5. Selecione a opção mover e arraste o ponto B. A circunferência recém criada

deve girar vinculada à primeira.

6. Selecione a opção círculo dados centro e raio , clique na intersecção das

circunferências irá criar o ponto C, digite 2 para raio r=2, irá criar a circunferência e.

7. Repita a operação clicando na intersecção das circunferências c e e para criar o

ponto D e r=2, irá surgir a circunferência f. Depois clique na intersecção das

circunferências f e c para criar o ponto E e r=2, irá criar a circunferência g.

26

8. Escolha a opção intersecção de dois objetos , clique na intersecção das

circunferências g e c para criar o ponto F e na intersecção c e d para criar o ponto G.

9. Selecione a opção mover e arraste o ponto B. Se todos os pontos giram

vinculados à circunferência c, sua construção está correta.

10. Selecione a opção exibir/esconder objeto e clique em todas as circunferências.

Depois Selecione a opção mover .

11. Escolha e opção polígono e depois clique nos pontos até fechar a figura.

Permanecendo apenas o ponto A no centro. Escolha a opção mover e arraste

os pontos A e B. Houve alguma alteração de poly1? Por quê?

12. Escolha a ferramenta Segmentos definidos por dois pontos e clique nos

pontos A e B e depois nos pontos A e C. Escolha a opção Ponto médio ou centro

e clique no segmento b, irá criar o ponto H. Novamente segmentos definidos

por dois pontos , clique nos pontos A e H, irá criar o segmento i (altura do

triângulo).

13- Selecione a opção ângulo , clique na altura do triângulo (segmento i) e depois

no segmento b (sentido horário), deverá aparecer o ângulo de 90º. Com a opção

Segmentos definidos por dois pontos clique nos pontos C e H, irá surgir o

segmento j.

14- Observe as medidas dos segmentos h, i e j. Podemos dizer que o triângulo criado é

eqüilátero? No hexágono há outros triângulos eqüiláteros? Quantos?

15- Posicione o mouse em cima do segmento i e com o botão direito do mouse selecione

propriedades, na aba estilo, escolha opção tracejada e clique em fechar.

16- Usando lápis e papel, calcule o perímetro e a área do hexágono. Verifique se o

cálculo da sua área confere com o valor de poly1. Sugerimos que, para isso, deduza-

se a fórmula da área do triângulo eqüilátero junto com os alunos.



27

3.1.2.2 - PAVIMENTAÇÃO DO PLANO COM POLÍGONOS REGULARES DE UM SÓ TIPO

ATIVIDADE 07

MOSAICOS SOBRE MALHA TRIANGULAR

Pára esta atividade podemos desativar a Malha, o Eixo e a Janela de álgebra.


2- Seleciona a opção novo ponto e na janela de gráficos, clique para criar os

pontos A e B.

3- Escolha a opção reta definida por dois pontos , clique nos pontos A e B.

4- Escolha a opção distância ou comprimento , arraste o ponto A ou o B, de forma

que a distância entre elas seja de 1 cm.

5- Escolha a opção círculo definido pelo centro e um de seus pontos . Clique em

A, passando por B, depois clique em B, passando por A.

6- Escolha a opção intersecção de dois objetos , clique em um dos pontos de

intersecação das circunferências, irá surgir o ponto C.

7- Selecione a opção exibir/esconder objeto , clique na reta e nas circunferências

e depois em mover .

8- Escolha a opção exibir/esconder rótulo , clique nos rótulos.

9- No menu opções, escolha rotular, clique em menos para objetos novos.

10- Selecione a opção reflexão com relação a uma reta , clique no triângulo e

depois em um dos segmentos, repita o procedimento para os três segementos. Esse

processo funciona como um espelho, continue o procedimento até obter uma malha

com as dimensões desejadas.

11- Com o lado direito do mouse, clique em cima de um ponto (escolha um ponto

qualquer) e selecione propriedades. Na janela que se abre, no lado esquerdo,

aparecerão todos os pontos da construção, use a tecla ctrl ou shift para agilizar a

seleção dos pontos (se fizer de um por um, será muito demorado. Selecione em

média 10 pontos por vez, selecione só pontos, cuide para não selecionar outros

28

objetos). Clique na aba cor e selecione a opção branco, depois clique na aba estilo ,

arraste a seta para 1. Esse procedimento fará com que os pontos na malha fiquem

bem discretos. Em propriedades podemos também mudar a cor, a espessura das

retas, dos segmentos e outros. A sua malha está pronta.

12- Clique no botão mover , selecione a malha que você construiu, no menu clique

em arquivo, selecione Exportar, depois selecione Copiar para a área de

transferência, abra uma página de edição de desenhos (Paint no Windows, no Linux

use o editor correspondente), pinte de forma a obter outras formas geométricas,

usando essas formas podemos criar uma grande variedade de mosaicos.

13- Salve essa atividade se julgar conveniente ou copie e salve num editor de texto se

for necessário.

ATIVIDADE 08

O mosaico a seguir foi construído seguindo as orientações do exercício anterior. Baseado

nisso, calcule a área:

• Total dos triângulos equiláteros (inclusive os incompletos);

• Total dos trapézios (inclusive os incompletos);

• Total dos hexágonos (inclusive os incompletos);

• Total do mosaico;

• Um hexágono (em amarelo) representa que fração em relação ao todo da figura?

Issa dá quanto em porcentagem?

• Que fração representa a relação de um triângulo (em azul) para a figura toda? E de

todos os triângulos para a figura toda? Quanto isso representa em porcentagem?

• Dê cinco exemplos de retas paralelas e cinco de retas concorrentes.

29

ATIVIDADE 9

MOSAICO SOBRE QUADRILÁTERO REGULAR

Abra um arquivo novo. Usando o conhecimento que você já adquiriu construa um

quadrilátero regular. Use a ferramenta setor circular dados o centro e dois pontos para fazer

o ornamento na peça quadrada (ajuste a medida do segmento=2 cm). A partir do modelo

(figura a), usando o recurso reflexão com relação a uma reta, obtemos o mosaico (figura b).

Copie e cole no Paint no Windows (no Linux use o editor correspondente) e mude as cores

para cinza e azul. Vamos usar essas figuras para as atividades a seguir.

Junte-se a um colega para fazer a atividades propostas.

• Qual é o perímetro e a área da peça modelo (figura a)?

• Qual é o perímetro e a área do mosaico (figura b)?

• Que fração representa a área da figura a em relação à área da figura b? Como

podemos representar esse valor de forma decimal e em porcentagem?

• Qual é a área da região azul da figura b? Essa área representa aproximadamente

quanto por cento da área total da figura b?

• e) Qual é a área da região cinza da figura a? Essa região corresponde a que

percentual em relação à região cinza da figura b?

ATIVIDADE 10

A calçada de uma empresa da cidade de Cascavel apresenta a forma do mosaico a seguir.

Cada modelo (peça) tem a forma de um quadrilátero regular de 50 cm de lado.

Esse mosaico foi obtido calçando pequenas pedras irregulares, de forma a obter o desenho

da figura abaixo (não são lajotas inteiras). A dimensão da calçada é de 3 m (lado menor) por

15 m (lado maior). Com base nessas informações, calcule:

• A área do setor circular (em amarelo)

formada por uma peça e a área total

desses setores.

• A área total de uma peça;

• A área total da região cinza do mosaico;

30

• A área total da calçada.

• No Mosaico foi usado a medida de 1 cm de lado para representar uma peça, então,

qual foi a escala utilizada?

• Esse mosaico pode ser utilizado para o estudo de outros conteúdos

ATIVIDADE 11

MOSAICO SOBRE MALHA QUADRICULADA

Nessa atividade não usaremos a Janela de álgebra, o Eixo e a Malha.

1. Abra um arquivo novo.

2. Aplicando o que você já aprendeu, construa um quadrilátero regular.

3. Opção novo ponto, crie os pontos A e B.

4. Com a opção distância ou comprimento, arraste o ponto A ou o B, de forma que a

distância entre elas seja de 1 cm.

5. Opte por reta definida por dois pontos, clique em A e B para criar a reta a.

6. Opte por reta perpendicular, clique em A e na reta a para criar a reta b. Repita o

procedimento clicando em B para criar a reta c.

7. Com a opção círculo definido pelo centro e um de seus pontos, clique no ponto B e

depois no ponto A.

8. Use a ferramenta intersecção de dois objetos e clique em um dos pontos onde a

circunferência intercepta a reta, irá criar o ponto C.

9. Use a opção reta paralela e clique no ponto C e na reta para criar a reta e.

10. Com a opção intersecção de dois objetos, clique nas retas b e e, para criar o ponto D

(ou clique no ponto onde as retas se cruzam).

11. Use a opção exibir/esconder objeto e clique nas retas e na circunferência depois

escolha a opção mover.

12. Com a opção polígono, clique nos pontos A, B, C e D, fechando em A.

13. Use a opção exibir/esconder rótulo, clique nos rótulos.

14. No menu opções, escolha rotular, clique em menos para objetos novos.

15. Use a opção reflexão com relação a uma reta , clique no quadrado e depois em um

dos segmentos do quadrado. Repita esse processo até obter uma malha com as

dimensões desejadas.

16. Com o lado direito do mouse, clique em cima de um ponto (escolha um ponto

qualquer) e selecione propriedades. Repita o procedimento realizado no exercício 7.

17. Clique no botão mover, selecione a malha que você construiu, copie e cole onde

desejar (siga os mesmos procedimentos utilizados no itens 12 e 13 do exercício 7).

31

Usaremos esse mosaico para as próximas atividades.

Vamos supor que cada quadradinho do mosaico corresponda a um azulejo também

quadrado de 30 cm de lado. Vamos imaginar que o proprietário de uma loja qualquer tem

uma sala com formato dessa figura e tem necessidade de trocar o piso. Feito o orçamento,

constatou-se que o custo por metro quadrado do piso pretendido custa R$18,00 para

pagamento no prazo de 30 dias e à vista é dado 4% de desconto.

• Qual foi a escala usada, sendo usados para o mosaico lado maior 8,4 cm e lado

menor 4,2 cm?

• Qual é a área total da sala em metros quadrados. Quantos metros quadrados serão

necessários (calcule 10% a mais para recortes e eventuais quebras).

• Quanto economizará se comprar à vista?

• Use sua imaginação e obtenha outros mosaicos.

ATIVIDADE 12

TRABALHANDO A IDÉIA DE FRAÇÕES NO TRIÂNGULO EQUILÁTERO

1. Abra um arquivo novo. Usando os conhecimentos que você já adquiriu construa um

triângulo regular.

2. Com o botão mover, arraste o ponto A ou B até obter a distância de 16 cm entre eles

(não se preocupe se a figura não ficar totalmente visível, observe as medidas na

janela de álgebra).

3. Com a opção ponto médio ou cento, clique nos três segmentos do triângulo e usando

a opção polígono, clique nos pontos médios até fechar o polígono, irá surgir os

pontos D, E e F (poly2).

4. Que fração representa as medidas dos segmentos d, e e f, relação às medidas dos

segmentos a, b e c.

5. Use a opção ponto médio ou centro, clique nos segmentos de poly2, use a opção

polígono, clique nos pontos médios de poly2 até fechar o novo polígono, irá surgir os

pontos G, H e I (poly3).

32

6. Repita a operação para poly3, teremos os pontos J, L e M (poly4).

7. Repita a operação para poly4, poly5, poly6 até obter poly7.

8. Repare na janela de álgebra.

• Quais são as medidas dos segmentos de poly3? Esses valores representam o dobro

ou a metade de poly2?

• Que fração representa poly3 em relação à poly1?

• Qual segmento é maior, de poly2 ou de poly3?

• Podemos concluir que a fração que representa poly2 é menor que a fração que

representa poly3? Por quê?

• Observe as medidas dos segmentos de poly5. Que fração representa os segmentos

de poly5 em relação aos segmentos de poly1?

• Pense e responda o que poderia ocorrer se continuássemos com as construções de

novos polígonos?

• Assim, podemos concluir que quanto maior o denominador da fração, menor é o

segmento? Por quê?

• Se achar oportuno, utilize essa atividade para exploração de outros conteúdos.

3.1.2.3 - PAVIMENTAÇÃO COM POLÍGONOS REGULARES DE TIPOS DIFERENTES

ATIVIDADE 13

CONSTRUIR O POLÍGONO VERIFICANDO A SOMA DOS ÂNGULOS VÉRTICE

Nessa atividade não usaremos a Janela de álgebra, o Eixo e a Malha.

1. Abra um arquivo novo e construa a figura conforme orientação do seu professor (a).

2. Crie os pontos A e B, meça a distância entre eles e arraste-os de forma que fiquem a

2 cm um do outro.

3. Opção polígono regular, clique em A e em B, na caixa que se abre escreva 6

(pontos) e clique aplicar. Opção polígono regular, clique em B e depois em A

(sentido horário), escreva 4 (pontos) e clique aplicar. Repita a operação para C e B e

assim sucessivamente até completar a volta.

4. Meça os ângulos em torno de um vértice do hexágono. É possível fechar as lacunas

usando algum tipo de polígono regular? Qual?

5. Vamos tentar inserir o triângulo regular? Use a opção polígono regular, clique em

dois pontos no sentido horário, na janela escreva 3 e clique aplicar. Repita a

operação até completar a volta.

33

6. Use a opção reflexão em relação a uma reta, e vá clicando polígono e depois no

segmento pelo qual de deseja refletir.

7. Arraste o ponto A ou o B, e veja o que acontece, a figura se deforma? Esconda todos

os rótulos usando a opção exibir/esconder rótulo e no menu opções, clique em

rotular e depois em menos para objetos novos.

8. Arraste o ponto A ou ponto B, observando para que a distância entre eles seja de 1

cm. Você conseguiria fazer isso tão rápido com lápis e papel?

9. Observe o mosaico seguinte e vá refletindo todos os polígonos, quando não for mais

possível use o recurso vetor. Opção vetor definido por dois pontos, clique em

qualquer lugar fora da figura, depois veja qual polígono deseja copiar, então dê o

segundo clique na direção a qual se deseja copiar o polígono. Na seqência use a

opção trasladar por um vetor, clique na figura e depois no vetor. Com o mouse em

um dos pontos do vetor tente encaixar o polígono trasladado. Repita as operações

até obter a figura desejada. Para concluir esconda os pontos usando o procedimento

que você já aprendeu. Sua malha está pronta.

11- Para a realização das atividades vamos usar a malha que acabamos dei construir.

(Siga os mesmos procedimentos utilizados no itens 12 do exercício 7). A princípio

vamos colorir criando o mosaico sugerido pelo professor (a).

• Vamos supor que esse mosaico representa uma paisagem real feita de azulejos, no

qual os azulejos com formato quadrado têm 12 cm de lado. Vamos calcular:

O perímetro e a área de cada peça (quadrado, triângulo eqüilátero e hexágono

regular) inteira e parcial.

• Você saberia dizer a área aproximada desse mosaico, sem efetuar cálculos? Então

agora vamos calcular sua área total e também seu perímetro.

• Use a malha que você construiu e tente criar um mosaico diferente. Se for

necessário, consulte o material disponível na biblioteca.

• Essa atividade pode ser usada para estudo de outros conteúdos.

34

ATIVIDADE 14

Para a construção dos mosaicos abaixo, foi produzido um modelo (peça) de cada, e depois,

para as suas construções, foram usados quais movimentos para cada figura reflexão,

translação ou rotação?

Figura a Figura b

ATIVIDADE 15

Use sua criatividade. Valendo-se dos polígonos regulares construídos, crie padrões e

obtenha mosaicos bem interessantes.

ATIVIDADE 16

JOGANDO COM AS REFLEXÕES

Acessar a web site Escolovar, na página Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales,

no endereço http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html e clique em Geometría, depois em: (o

programa é em espanhol, mas da para entender bem).

1- Transformaciones – Rotación:

• Tente montar um hexágono regular usando as peças do programa;

• Mude o arco para 90º e tente montar o hexágono, é possível?

• Tente montar outras figuras.

2- Transformaciones – Reflexión:

• Construa uma casa usando os polígonos: quadrado, losango e triângulo;

• Tente construir outras figuras.

• Qual é a diferença entre rotação e reflexão?

3- Transformaciones – Translación:

• Traslade alguns polígonos e construa uma figura qualquer;

• Movimente a seta e veja o que acontece;

• Conseguiu perceber as diferenças entre os três tipos de movimento?

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3.2 – CURIOSIDADES

Existem algumas pavimentações bem curiosas, veja:

Figura 20 - Pavimentação de Voderberg4 Figura 21 – Hexágonos regulares e estrelas

Figura 22 – Pavimentação de Penrose Figura 23 – Carpete ou empacotamento de Apolónio

Você sabia que a Geometria molecular é o estudo de como os átomos estão

distribuídos espacialmente em uma molécula? Esta pode assumir várias formas

geométricas, dependendo dos átomos que a compõem. As principais classificações são:

linear, angular, trigonal plana, piramidal e tetraédrica.

Figura 24 – Estrutura da molécula de metano5

A tetraédrica acontece quando há quatro nuvens eletrônicas na camada de valência

do átomo central e todas fazem ligações químicas. O átomo central assume o centro de um

tetraedro regular. Ângulo de 109º 28'

4 Fonte das figuras 20 a 23 desta página http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm16/curiosidades.htm

5 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Tetraedro

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Numerosos minerais e compostos químicos têm uma estrutura tetraédrica. O metano

(um gás inodoro e incolor) é um exemplo.

Veja que interessante a estrutura química de alguns hidrocarbonetos.

Figura 25 – Hidrocarbonetos6

Veja também a estrutura do grafite.

Figura 26 – Estrutura do grafite7

IV – AVALIAÇÃO

A avaliação ocorrerá durante todo o processo de ensino-aprendizagem e serão

considerados, principalmente, o comprometimento na realização da atividades, bem como

demonstrar conhecimentos sobre os conceitos e propriedades das figuras poliédricas

trabalhadas. Essas atividades avaliativas ocorrerão em forma de relatórios e de questões

objetivas e dissertativas. Deverão ser realizadas em duas etapas: a primeira avaliação será

através de relatórios e deverá acontecer quando atingir aproximadamente cinquenta por

cento do projeto em andamento; a segunda avalição deverá ocorrer no final da

implementação do mesmo, quando os alunos deverão desenvoler relatório e também serão

submetidos a avaliação com questões objetivas e dissertativas. Essas atividades avaliativas

deverão servir de subsídios para uma análise da validade ou não do projeto, verificando

vantagens e desvantagens da sua implementação.

6 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Benzeno

7 Fonte: http://www.cdcc.sc.usp.br/elementos/carbono.html

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REFERÊNCIAS

BARBOSA, R. M. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Atual, 1993.

CARPETE OU EMPACOTAMENTO DE APOLÓNIO. Disponível em <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm16/curiosidades.htm>. Acesso em 21 nov. 2008.

CIRCLE LIMIT III - Xilogravura de 1938. Disponível em: <http://en.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher>. Acesso em 21 nov. 2008.

DANTE, L.R. Tudo é matemática. São Paulo, Ática, 2004.

DAY AND NIGHT. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Escher.htm>. Acesso em 21 nov. 2008.

ESTRUTURA DA MOLÉCULA DE METANO. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Tetraedro>. Acesso em 21 nov. 2008. (O texto desta página está sob a GNU Free Documentation License).

ESTRUTURA DO GRAFITE. Disponível em: <http://www.cdcc.sc.usp.br/elementos/carbono.html>. Acesso em 21 nov. 2008.

GERDES, P. Sobre o despertar do pensamento geométrico. Curitiba: UFPR, 1992.

HEXÁGONOS REGULARES E ESTRELAS. Disponível em <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm16/curiosidades.htm> Acesso em 21 nov. 2008.

HIDROCARBONETOS. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Benzeno>. Acesso em 21 nov. 2008. (O texto desta página está sob a GNU Free Documentation License).

IMENES, L.M. Geometria dos mosaicos. São Paulo: Scipione, 1997.

___________. Ministério da Educação e do Desporto – Secretaria de Educação à Distância. Cadernos da TV Escola. Conversa de Professor: MATEMÁTICA. Brasília, 1996.

MACHADO, N.J. Os poliedros de Platão e os dedos da mão. São Paulo, Scipione, 1989.

MOSAICO ROMANO, 1959. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Mosaico>. Acesso em: 24 set. 2008.

MURARI C. Ensino-Aprendizagem de Geometria nas 7a. e 8a. séries, via

caleidoscópios. Rio Claro, 1999. Tese (Doutorado em Educação Matemática – UNESP.

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__________. Espelhos, caleidoscópios, simetrias, jogos e softwares educacionais no ensino e aprendizagem de Geometria. In: BICUDO, M. A. e BORBA, M. C. (orgs.). Educação Matemática - pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2005. p.198-212. PAVIMENTAÇÃO DE PENROSE. Disponível em <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm16/curiosidades.htm>. Acesso em 21 nov. 2008.

PAVIMENTAÇÃO DE VODERBERG. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm16/curiosidades.htm>. Acesso em 14 nov. 2008.

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