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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - 2008

ARTIGO CIENTÍFICO

PROFESSORA PDE

ELAINE MOURA DOS REIS

AS MARAVILHAS DO ORIGAMI NA GEOMETRIA

Artigo Científico apresentado à SEED/SUED/DIPOL, como requisito para obtenção do título de Professor PDE, área de concurso: Matemática. Orientador: Prof. Dr. Dante Alves Medeiros Filho.

Maringá 2008

AS MARAVILHAS DO ORIGAMI NA GEOMETRIA

Professora PDE: Elaine Moura dos Reis1

Orientador: Prof. Dante Alves Medeiros Filho2

RESUMO: O objetivo do presente trabalho é apresentar alternativas para o processo de ensino e aprendizagem de Geometria a partir da dobradura, também conhecido como Origami. Sabe-se que a maioria dos alunos tem dificuldades em aprender matemática, incluindo geometria, embora convivam com seus conteúdos a todo o momento. A metodologia para seu desenvolvimento foi a de aplicar em classe, práticas com dobraduras de forma a despertar a criticidade dos alunos. Estudos têm mostrado que a utilização de atividades concretas com auxílio de materiais como o origami aumenta a motivação, fator este imprescindível para a ocorrência da aprendizagem. Justifica-se a escolha deste tema, o fato de haver uma constante necessidade de apresentar novas estratégias para o processo ensino-aprendizagem de Geometria. Palavras-Chave: Matemática. Geometria. Origami. Ensino. Aprendizagem.

THE WONDERS OF ORIGAMI IN GEOMETRY ABSTRACT: The objective of the present work is to present alternatives to the teaching and learning process of Geometry using folding which is also known as origami. Most of students have difficulties to learn Mathematics, including Geometry, although they are in contact with both subjects at the same time during their school life.The methodology for its development was to apply folding practices in class to arouse students’ criticism. Studies have demonstrated that concrete materials such as origami can increase motivation which is very necessary to the learning process.The choice of this theme is justified by the constant need to present new strategies to the teaching-learning process of Geometry. Key words: Mathematics. Geometry. Origami. Teaching. Learning.

1Elaine Moura dos Reis, professora estatutária de Matemática, no Colégio Estadual “José Luiz Gori” (Mandaguari), Colégio Pedro Viriato Parigot de Souza (Marialva). 2Orientador: Dante Alves Medeiros Filho. Prof. Dr. do Departamento de Informática da UEM.

INTRODUÇÃO

A Geometria é uma das áreas da Matemática extremamente usada no

cotidiano, por quase todas as pessoas.

Ao longo da história surgiram grandes nomes como Thales de Mileto,

Pitágoras, além de muitos outros que apenas utilizaram da lógica para alcançar

resultados na aplicação da Geometria e resolver problemas inimagináveis para a

época em que viveram. Daí a importância de se conhecer como é trabalhada a

Geometria a partir de entes geométricos, como o ponto e a reta e de onde originam

as figuras geométricas.

É neste sentido que o presente trabalho vale-se da teoria, transformando-a

em prática, através do Origami, para criar situações facilitadoras da aprendizagem

de conteúdos de Geometria. Para tanto foram planejadas algumas práticas para

desenvolvimento em sala de aula, cujos resultados são apresentados neste artigo.

A junção de teoria e prática e a demonstração de forma concreta, de como

as de papel podem traçar entes geométricos e construir figuras, torna-se mais fácil a

compreensão de conteúdos por parte dos alunos e como conseqüência facilita-se a

ocorrência da aprendizagem.

1 GEOMETRIA: BREVE PERFIL CONCEITUAL E HISTÓRICO

1.1 Conceitos

No sentido moderno, geometria é a disciplina matemática que tem por

objetivo o estudo do espaço e das formas nele contidas.

Palavra de origem grega formada por geo (terra) e metria (medida). Há cerca

de cinco mil anos, os agrimensores egípcios eram capazes de marcar terrenos e

medir seus perímetros e áreas. Era uma tarefa importante porque determinava

quanto de imposto cada dono de terra pagaria. Esse conjunto de conhecimentos que

possibilitava a medida de terras foi chamado de geometria pelo historiador grego

Heródoto. A partir de 600 a.C., os gregos avançaram muito nesses conhecimentos.

Assim, a geometria deixou de servir apenas para medição de terras, transformando-

se na ciência que estuda figuras como retângulos, cubos, esferas, etc e que é um

dos ramos fundamentais da matemática. Apesar de os egípcios terem sido os

primeiros agrimensores, antes deles alguns povos pré-históricos já mostravam

conhecimentos de geometria fazendo, por exemplo, tecidos ornamentados com

losangos e quadrados e usando simetrias de vários tipos.

A geometria é o estudo das propriedades das curvas e superfícies, e suas generalizações, porá meio do cálculo. Na maior parte dos casos, a geometria diferencial investiga curvas e superfícies nas vizinhanças imediatas de qualquer de seus pontos. Conhece-se esse aspecto da geometria diferencial como geometria diferencial local. Porém, há às vezes propriedades da estrutura total de uma figura geométrica que decorrem de certas propriedades locais que a figura apresenta em cada um de seus pontos. Isso leva ao que se chama de geometria integral ou geometria diferencial global (EVES, 2004, p. 601).

A Geometria pode ser vista como o estudo das formas e do espaço, de suas

medidas e de suas propriedades. Os alunos descobrem relações e desenvolvem o

senso espacial construindo, desenhando, medindo, visualizando, comparando,

transformando e classificando figuras. A discussão de idéias, o levantamento de

conjeturas e a experimentação das hipóteses precedem as definições e o

desenvolvimento de afirmações formais. A exploração informal da Geometria pode

ser motivadora e matematicamente produtiva, nos primeiros ciclos do Ensino

Fundamental. Nesta etapa, o ensino de Geometria deve recair sobre a investigação,

o uso de idéias geométricas e relações, ao invés de se ocupar com definições a

serem memorizadas e fórmulas a serem decoradas.

1.2 História

Nas antigas culturas do Egito e da Mesopotâmia, a geometria consistia

simplesmente de um conjunto de regras empíricas. Os gregos, entre os quais

destacou-se Euclides, no século III a.C., sistematizaram todos os conhecimentos

existentes sobre o tema e estabeleceram seus fundamentos num conjunto de

axiomas dos quais, segundo princípios dedutivos, se obtinham os demais

resultados. A discussão dos princípios da geometria euclidiana levou à construção,

no século XIX, de novos sistemas geométricos, denominados geometrias não-

euclidianas, e desembocou na generalização de seus métodos e sua aplicação a

espaços cada vez mais abstratos.

A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da

geometria. O filósofo grego Eudemo de Rodes, do século IV a.C., um dos primeiros

historiadores das ciências, conta que os egípcios mediam suas terras para

acompanhar o regime de inundações anuais do rio Nilo. De fato, o termo provém das

palavras gregas geo (terra) e metron (medida).

As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates. E o resumo feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de Euclides, obra que data do século V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por importação do Egito (BURIASCO, 1994, p. 53).

As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao

corpo humano: palmo, pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na

Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos os primeiros templos - seus

projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a

longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas

medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as

primeiras medidas oficiais de comprimento.

Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos (OLIVEIRA, 1986, p. 12).

Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra

provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um

simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com

mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado

que, para conhecer o total de mosaicos, bastavam contar os de uma fileira e repetir

esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da

área do retângulo: multiplicar a base pela altura.

Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um

raciocínio extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado

ou um retângulo e dividi-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado

tenha 9 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a área dessas

figuras. Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal,

aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do

quadrado.

Quando deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulos visíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Esse método - em uso até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos curvos (BOYER, 1994, p. 76).

De fato, muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um

rio. E construções há que requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se

apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um

círculo. Por circunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma

superfície. Já os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos,

grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em

torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O

comprimento dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com o

comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a

circunferência para ver quantas vezes cabiam nela, puderam comprovar que cabia

um pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda,

o resultado era o mesmo. Assim tiraram algumas conclusões: a) o comprimento de

uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio; b) para

conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do

raio e multiplicá-lo por 6,28.

E a área do círculo? A história da Geometria explica-a de modo simples e

interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes

matutava diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o respectivo raio.

Seu propósito era encontrar a área da figura.

Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes,

pensou em determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área

caberia na área do círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável

tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que

o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou

aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes).

Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um

quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14.

O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos

tornaram-no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo p ("pi") representa

esse número irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de

casas decimais. Seu nome só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba

da palavra peripheria, significando circunferência.

Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular (FERREIRA, 1991. p. 121).

Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa

"muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por

intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de

radar e outros aparelhos. “O que não é de estranhar” desde os tempos da antiga

Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para

resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar,

dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o

cálculo da altura de uma construção.

Se olharmos brevemente a História, vamos encontrar em Heródoto,

historiador do século V a.C., relatos que explicam como eram divididas as terras

para tributação no Antigo Egito. As civilizações de beira-rio (as do Nilo e também as

dos rios Tigre, Eufrates, Ganges, indo a outras regiões) desenvolveram uma

habilidade em engenharia na drenagem de pântanos, na irrigação, na defesa contra

inundação, na construção de templos e edifícios. Era uma Geometria prática, em

que o conhecimento matemático tinha uma função meramente utilitária. De acordo

com essa função, a Geometria, que significa "medida de terra", associa-se à prática

de medição das terras, como por exemplo: a demarcação dos lados de um terreno; a

idéia de área para a tributação e para a divisão entre herdeiros; a idéia de volume na

irrigação; a construção de templos etc.

2 ORIGAMI

2.1 Conceito e Histórico

O sentido literal da palavra “origame” é “dobraduras de papel”. Faz parte da

rica e preservada cultura japonesa e com o tempo se espalhou pelo mundo,

tornando-se, inclusive importante ferramenta pedagógica, sendo utilizada

especialmente para o ensino de Geometria.

Em uma determinada época acreditava-se que o Origami era uma simples

arte de imitação, mas o tempo mostrou que não é bem assim, porque não é possível

captar a essência de um objeto se antes não conhecermos o objeto a ser

reproduzido com a dobradura.

Origami: Do japonês (折り紙), oru: dobrar, kami: papel. Literalmente,

dobraduras de papel. Origami é uma forma de representação visual/escultural, definida principalmente pela dobradura do meio (usualmente papel). -- Joseph Wu. A matemática, senhora, que ensina o homem a ser simples e modesto, é a base de todas as ciências e de todas as artes. -- Malba Tahan, O Homem que Calculava. A matemática é essencialmente bonita, e o origami nos mostra algo dessa beleza, numa maravilhosa relação entre ciência e arte. De uma ou mais folhas simples de papel, emerge um universo de formas. Os princípios teóricos das dobraduras de papel (axiomas de Huzita-Hatori) contêm toda a geometria de Euclides, e ainda vão além (LUCERO, 2008).

Origami é conhecido também na cultura japonesa como a arte de dobrar

papel. Esse nome prevaleceu porque além de manter sua origem, no idioma japonês

essa palavra é de fácil pronúncia. “A arte do Origami foi desenvolvida no Japão em

torno do séc. VIII” (DA CRUZ, 2006).

Segundo Da Cruz (2006) na confecção de um Origami, devemos ter o

princípio básico, evitar o uso da cola e da tesoura, dando à dobradura o formato

adequado. Não utilizando outro material que não seja o papel, estaremos

estimulando a nossa inventividade.

O Origami não é uma arte exclusividade japonesa. É sabido que a Europa

no séc. VIII recebeu, via Espanha, alguns conhecimentos semelhantes ao Origami.

Apesar de o Japão ser considerado o berço do Origami, acredita-se também que o

Origami pode ter surgido na China, onde a história do papel é mais antiga.

O que se sabe é que é arte oriental, traz a característica de civilizações

tradicionalmente preservada, onde impera a simplicidade, embora exija criatividade

e capacidade intelectual para entender e trabalhar pedagogicamente com ela.

Tal é a importância do origami para a cultura japonesa, que foi passado de

geração a geração, ampliando sua aplicação, tornando-o mais atrativo à visão, com

suas cores e a diversidade de representação de imagens de animais, insetos, peças

ornamentais, servindo inclusive de enfeites ou ornamentos de pacotes para

presentes.

Trata-se de uma opção apresentada como marca de um povo, com sua

forma de criar e mostrar o que faz com simplicidade e com significado definido,

mesmo quando as interpretações são diversificadas.

No princípio o origami era utilizado somente pelas classes nobres e nas cerimônias religiosas xintoístas, sob a forma de ornamentos (atashiro). Entre os origamis mais utilizados em cerimônias tem-se como exemplo duas borboletas ou mariposas, que até hoje ornamentam garrafas de saquê para representar a união. No período Muromachi (1338-1573), o papel tornou-se um produto mais acessível, e surgiram certos adornos com significados distintos que revelavam, por exemplo, a classe social do seu portador. Por meio do origami podia-se distinguir um agricultor de um guerreiro samurai, um seguidor de um mestre, bastando observar as dobraduras que eles possuíam (DA CRUZ, 2006).

Com o tempo, o que antes era uma simples representação de idéias, as

formas iniciais foram recebendo inovações com a criação de dobradura original,

como o tsuru, que representa a cegonha.

Desta forma muitos outros símbolos foram criados e colocados à disposição

de quem aprecia a arte e sabe interpretá-la. Isso fez com que diferentes civilizações

a adotassem, incluindo-a mais tarde em currículos escolares, passando a servir

como ferramenta do processo de aprendizagem, especialmente no ensino da

geometria, que exige interpretação para ser compreendida e assimilada.

A utilização das formas do origami foi fundamental em aplicações

pedagógicas variadas, como se pode verificar a seguir.

2.2 A utilização do Origami como Método pedagógico

Muitos conceitos geométricos estão inseridos nas dobraduras. Compreender

os conceitos envolvidos e a forma com que o educando os assimila, permite ao

professor usar atividades que serão ricas em exploração, representação e raciocínio

matemático. O origami proporciona uma atividade atraente e motivadora, onde os

educandos podem desenvolver sua experimentação geométrica e a visão espacial,

além de inúmeros outros benefícios.

Observando-se ao redor, pode-se verificar que em quase tudo existe

Geometria; estando nas formas ou nas propriedades.

O desafio que ainda permanece em relação à aprendizagem da matemática,

com alunos que não conseguem entender exige-se algum tipo de motivação que

envolva os conteúdos ensinados com as ações, tarefas e atividades do cotidiano.

Muito se tem falado e discutido a respeito da matemática, e uma das principais

discussões, diz respeito ao ensino dessa ciência; pois não poucos, fazem uma

careta quando dela ouvem falar, chegando mesmo a ter medo.

Na Idade contemporânea, com o conhecimento do origami em quase todo o

mundo, chegou a vez de sua aplicação como método e material pedagógico. Os

árabes (mouros), cuja religião não permitia o culto a imagens simbólicas, fez com

que a arte oriental fosse integrada ao currículo escolar, para motivar e facilitar o

estudo da geometria, amplamente conhecida entre os grupos que compunham a

civilização árabe, porém, havia dificuldades de desenvolver um processo eficiente

de ensino-aprendizagem.

A popularização do origami se deu no período Tokugawa (1603-1867). Ai surgiu a dobradura original do tsuru (cegonha), sem dúvida

a mais popular no Japão. No ano de 1876 o origami passou a fazer parte do currículo escolar, onde a geometria já era estudada nas formas e nas dobras dos papéis pelos mouros, pois sua religião não admitia a criação de figuras simbólicas (DA CRUZ, 2006).

Os colonizadores portugueses trouxeram o origami para o Brasil, já com a

presença da influência pedagógica do educador alemão Friedrich Froebel, que o

havia propagado pela Europa, como método pedagógico.

Na concepção froelbiana, o origami estava mais presente como recreação

para os alunos, contribuindo para a compreensão no sentido de aprendizado dos

conteúdos de matemática.

No Brasil o origami chegou com os colonizadores portugueses e com os preceptores europeus que vieram ao país com o intuito de orientar os filhos das famílias mais abastadas. No século XIX foi utilizado pelo educador alemão Friedrich Froebel, como um método pedagógico, e o inglês Arthur H. Stone em 1939 registrou como exemplo de aplicação do origami, os flexágonos, um tipo de recreação que permite verificar certos conceitos matemáticos. Neste contexto, vem sendo observado que a utilização do origami juntamente com idéias do construtivismo e com o modelo de Van Hiele, contribui para o desenvolvimento de habilidades manuais e criativas do indivíduo, melhorando a sua coordenação psicomotora, agilizando o raciocínio e proporcionando noções de espaços bi e tridimensionais, onde a visualização dos objetos estudados é de grande importância (DA CRUZ, 2006).

O Origami pode representar para o processo de ensino/aprendizagem de

Matemática um importante recurso metodológico, através do qual, os alunos

ampliarão os seus conhecimentos geométricos formais, adquiridos inicialmente de

maneira informal por meio da observação do mundo, de objetos e formas que o

cercam. Com uma atividade manual que integra, dentre outros campos do

conhecimento, Geometria e Arte (GAUDÊNCIO, 2003, p.18, apud NARVAZ, et. al,

2005).

Para o aprendizado da geometria, as crianças precisam pesquisar e explorar

objetos comuns e outros materiais. Exercícios em que possam visualizar, desenhar e

comparar formas em várias posições ajudarão no seu desenvolvimento, discutindo

idéias e testando hipóteses o jovem desenvolve seu talento, raciocínio, memória,

concentração e sua criatividade.

Dentro deste contexto contemporâneo, analisado sob o prisma de diferentes

teorias, entre elas o construtivismo piagetiano, foi criado o modelo Van Hiele, hoje

aplicado com resultados na prática pedagógica, como se pode verificar a seguir.

2.3 Aplicações diversas com Origami na Matemática

A matemática sempre foi vista pelos alunos sendo a disciplina mais difícil do

currículo escolar; para alguns, chega a tornar-se um entrave na vida escolar. É

importante que os educadores mudem a maneira de ensinar a matemática levando

uma proposta inovadora, de um trabalho criativo, que investigue, crie novas fórmulas

e verifique se estas relacionam com a vida cotidiana das pessoas.

A respeito da psicologia envolvida na fabricação de um Origami, com o passar do tempo, a pessoa que se dedica ao Origami se torna mais paciente ocorrendo um conseqüente aperfeiçoamento de sua coordenação motora. A impaciência provoca um término imperfeito do Origami. Um bom exemplo é o de uma criança quando faz sua primeira arte com o papel: de início ela não consegue dobrá-lo com perfeição, porém após sucessivas tentativas, ela adquiri intimidade com o papel, fazendo a dobradura com perfeição (SHENG, et al, 2006).

Precisa-se criar uma nova mentalidade e organizar uma estrutura mais

adequada que dê significado à matemática. Significado este que tem que estar

presente na forma de ensinar, aprender e aplicar no cotidiano, sem a ênfase na

sofisticação científica e tecnológica, mas com a presença do sentido.

Praticado por séculos como atividade lúdica e artística, só recentemente o Origami passou a ser atração acadêmica como objeto de estudos científicos. “Os pesquisadores foram atraídos provavelmente porque o Origami instigou seus talentos matemáticos e científicos” (SHENG, et al, 2006).

O aluno que passar a entender a matemática a partir de seu envolvimento

com o meio social, econômico, cultural e físico, pode ter condições de entender o

uso desta nos campos científico e tecnológico.

A escola deve conhecer um sistema de graduação dos conteúdos, sem

perder de vista o significado ao ensinar aqueles que são úteis e que atendem às

necessidades e curiosidades do indivíduo e o desenvolvimento de seu raciocínio

procurando com isso, formar o verdadeiro cidadão: crítico e consciente de seu meio

e preocupado em melhorá-lo.

Trata-se de uma preocupação com um trabalho que esteja ligado ao

desenvolvimento atual da educação para as gerações que a estão recebendo.

O Origami passou então a ser objeto de estudos matemáticos dos acadêmicos. Eles perceberam que a dobradura poderia ser usada para descrever movimentos e processos na natureza e na ciência, como o batimento das asas de um pássaro ou a deformação da capota de metal de automóveis em colisões. Os estudiosos passaram, então, a desenvolver teoremas para descrever os padrões matemáticos que viam nas dobraduras (SHENG, et al, 2006).

As mudanças que precisam ocorrer no contexto metodológico devem

considerar aspectos que tenham significado para o aluno. O seu cotidiano é um

elemento importante neste processo. Elaborar um planejamento de ensino de

matemática que seja ao mesmo tempo prático e flexível torna-se necessário e

importante para que os alunos passem a ter contato com a prática cotidiana, tanto

em sua ação contínua, como ao tomar conhecimento de como funcionam as áreas

de atuação dos setores econômicos. Proporcionar ao aluno em sala de aula uma

atuação em que a matemática esteja presente no que faz e colocá-lo em contato

com pessoas nas empresas da comunidade, para saber como estas utilizam a

matemática, é uma das formas de desenvolver o conhecimento e proporcionar a

aprendizagem, tornando a matemática significativa e prática.

Na matemática, o Origami pode ser tratado pela topologia e pela geometria combinatória. Diferentemente da geometria, na topologia as figuras podem ser esticadas ou deformadas de seu estado original sem passarem a ser consideradas objetos diferentes, desde que não se faça nenhum buraco ou qualquer remendo nelas. Para alguns, o ato de dobrar papel para obter formas conhecidas pode perder seu charme criativo e artístico. Mas os amantes do Origami tradicional não precisam recorrer aos passos matemáticos de dobradura para dar a forma que querem a um simples pedaço de papel. (SHENG, et al, 2006).

Para conhecer as bases da estrutura econômica, por exemplo, é preciso

eliminar a tradição de se pensar que esta tem que estar relacionada diretamente ao

que se ensina na escola, de se repetir aquilo que foi criado ou convencionado pela

comunidade científica internacional.

Sem perder de vista esta possibilidade, é preciso que o ensino da

matemática seja apresentado também, com seu valor utilitário que responde às

exigências das diversas dimensões não apenas da educação, mas também da

contribuição para favorecer a vida das pessoas e da sociedade de modo geral.

É fundamental que o professor analise a questão da aprendizagem que,

quando se trata da matemática é mais difícil para a maioria dos alunos. Buscar as

causas destas dificuldades e colocar os alunos diante da realidade do cotidiano

industrial, comercial e prestador de serviço, de modo geral, torna-se cada vez mais

urgente para melhorar o aproveitamento do desempenho do aluno em sala de aula.

Uma das mais recentes publicações sobre o envolvimento da matemática e do Origami são os teoremas a seguir: Um princípio importante na matemática do Origami é o Teorema de Kawasaki, segundo o qual a soma dos ângulos alternados formados por dobraduras em volta de um único vértice em um Origami desdobrado será sempre 180º. Isso vale para cada vértice do papel desdobrado de uma figura plana, e não necessariamente de formas não achatadas (SHENG, et al, 2006).

A aprendizagem da matemática na sala de aula é um momento de interação

entre a matemática organizada pela comunidade científica, ou seja, a matemática

formal e a matemática como atividade humana. Em primeiro lugar, não devemos nos

esquecer de que o professor é uma pessoa que organiza ele próprio a sua atividade

matemática. Mesmo que uma pessoa seja cientificamente treinada, sua atividade

não segue necessariamente as formas dedutivas aprovadas pela comunidade

científica. Em segundo lugar, mas não secundariamente, a matemática praticada na

sala de aula é uma atividade humana porque o que interessa nessa situação é a

aprendizagem do aluno (CARRAHER, 1994, p. 12).

É fundamental que a educação passe a se preocupar com métodos mais

significativos para ensinar matemática.

Através da utilização de recursos didáticos como o origami, pode-se, por

exemplo, trabalhar formas geométricas, figuras planas e espaciais, volumes, frações,

equivalências e semelhanças. Tais recursos já foram utilizados em oficinas

pedagógicas relacionadas ao ensino de geometria em nível fundamental e médio, e

proporcionaram discussões relevantes em relação à aplicabilidade dos mesmos nas

escolas, em prol de melhorias do processo de ensino e aprendizagem da geometria

(CAMARGO e RODRIGUES, 2007).

Há uma idéia de que da dificuldade de aprendizagem em matemática se

encontra na forma como é e como foi ensinada ao longo do tempo e até

recentemente, presa à memorização e com ausência da compreensão.

O ensino de Geometria, durante muito tempo abandonado, tem marcado

presença nas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná (2007) como um dos

conteúdos estruturantes, visto que é essencial para uma proposta de ensino que

visa formar o ser integral e valorizar os conhecimentos adquiridos ao longo do

tempo.

Atualmente, encontramos vários trabalhos ressaltando a importância do

acesso aos conhecimentos geométricos, pois estes auxiliam o homem em seu

desempenho profissional e a entender melhor o espaço e a realidade em que vive.

A abordagem dos conteúdos de geometria na sala de aula e nos livros

didáticos, geralmente, restringe-se à memorização de definições e exercícios de

aplicação de fórmulas ou de deduções de valores. Preocupados com a falta de

conhecimento em geometria, professores pesquisadores têm procurado caminhos

que façam o aluno se interessar e se envolver no estudo desta matéria.

Baseados nas atuais teorias educacionais que defendem a importância do

aluno na construção do conhecimento, em se respeitar o que o aluno já sabe e de

uma educação criativa, vem tendo destaque a utilização de materiais exploratórios.

A dobradura de papel (conhecida como origami) é uma das possibilidades de se

fazer experiências exploratórias. Além de permitir a manipulação das formas, o

indivíduo ao executar as dobras vai participando ativamente da formação do modelo,

podendo constatar através de movimentos das dobras elementos e propriedades

destas, que são de grande utilidade para o estudo da geometria.

De acordo com Rego, Rego e Gaudêncio (2003, p. 18):

O Origami pode representar para o processo de ensino/aprendizagem de Matemática um importante recurso metodológico, através do qual os alunos ampliarão os seus conhecimentos geométricos formais, adquiridos inicialmente de maneira informal por meio da observação do mundo, de objetos e formas que o cercam. Com uma atividade manual que integra, dentre outros campos do conhecimento, Geometria e Arte.

3 PROPOSTA DE IMPLEMENTAÇÃO NA ESCOLA

A proposta foi apresentada sob a forma de projeto pedagógico e teve como

público-alvo alunos e professores de escolas estaduais.

O principal objetivo do projeto foi incentivar a prática do origami no ensino de

geometria, a fim de proporcionar um ensino mais atraente e prazeroso aos alunos,

promovendo assim a compreensão de conceitos matemáticos, buscando formas de

melhorar a participação do educando para a aprendizagem de Geometria, ampliando

nele habilidades que favoreçam a construção do seu pensamento lógico,

preparando-o para estudos mais avançados em outros níveis de escolaridade e

desenvolvendo no aluno atenção, memorização, paciência, auto-estima e

habilidades criativas.

PROPOSTA PARA OS PROFESSORES

A presente proposta destinou-se aos educadores em formação continuada

do Ensino Fundamental (5ª séries e salas de apoio) podendo se estender aos do

Ensino Médio. Teve como intenção principal discutir questões relacionadas ao

trabalho com Geometria e o uso da arte de dobrar papéis como instrumento para

facilitar a compreensão dos conteúdos geométricos pelos alunos e despertar seu

interesse pela matemática.

Para alcançar este objetivo pretendeu-se incentivar o uso das dobraduras na

escola, realizando um curso para discutir, pesquisar e estudar questões

relacionadas à Geometria, contribuindo dessa maneira, para a formação continuada

de professores.

Cabe aos professores estar em um processo constante de formação e

atualização de seus conhecimentos. Esta etapa, com os professores, será um

momento em que pode acontecer a discussão, o estudo e a pesquisa no sentido de:

• Aprimoramento de conhecimentos;

• Construção de atividades diferenciadas.

A oferta deste curso ou grupo de estudo destinado aos professores de

Matemática foi fundamental para o aprimoramento de conteúdos relacionados com a

Geometria e a obtenção de técnicas para o uso das dobraduras.

As atividades propostas para o curso consistiram na leitura, análise,

discussão, reflexão, avaliação de alguns materiais levantados e elaboração de

atividades.

RECURSOS

Textos para leituras, livros, papéis para realização das dobraduras, sala,

mesas, carteiras, note book, data show, pendrive, entre outros.

PROPOSTA PARA OS ALUNOS

Os alunos participaram desta proposta de forma a valorizarem a

aprendizagem dos conteúdos de Geometria, que se deu por meio da realização das

atividades propostas. Durante a intervenção foi proposto registros (relatórios,

sugestões de atividades, etc), e também foi realizada uma análise no que se refere à

motivação, compromisso com a atividade proposta e conhecimento adquirido.

A seguir, têm-se duas atividades trabalhadas com os alunos:

RETA, RETAS PARALELAS E RETAS CONCORRENTES

OBJETIVOS:

- Definir reta, retas paralelas e retas perpendiculares;

- Diferenciar retas paralelas de retas perpendiculares.

MATERIAL NECESSÁRIO: folhas de papel (sulfite / dobradura / ou outro), lápis.

Questione, explique ou peça para os alunos fazerem uma pesquisa (primeiramente

explorando o conhecimento dos alunos) sobre estes assuntos:

O que é uma reta?

Imagine uma linha reta infinita, sem começo, sem fim, sem espessura.

E um segmento de reta?

Parte de uma reta limitada entre dois pontos.

Como definir retas paralelas?

Retas que nunca se cruzam (sempre mantendo uma mesma distância entre

elas) e que não estão sobrepostas.

E retas perpendiculares?

Retas que se cruzam em um único ponto, formando quatro ângulos retos.

1º passo

Agora que aprendemos teoricamente o que é uma reta e um segmento de

reta, como conseguimos representar um segmento de reta utilizando somente um

pedaço de papel (sem usar lápis, caneta, ou outro)? (Conforme figura 1)

Figura 1 FONTE: Elaine Moura dos Reis (acervo pessoal)

Façam uma dobra (podendo ser exatamente ao meio ou não). Figura 2.


Abram o papel e exatamente na marca deixada sobre ele (no vinco),

pontilhem com um lápis (de acordo com a figura 3).


2º passo

E a partir dessa dobra, como obtemos retas perpendiculares e retas paralelas?

Tomem o papel da atividade anterior nas mãos (com a primeira dobra já feita) e a partir

do vinco formado, dobre-o (superpondo os lados), de forma a dividir o vinco em duas partes

(não necessariamente iguais). Figura 4.


Abram e pontilhem a 2ª dobra. Figura 5.


Estas duas retas pontilhadas são chamadas de retas perpendiculares, formadas por

ângulos retos (ângulos de 90º).

3º passo

Continuando, fechem o papel pelas dobras 1 e 2, acrescentem outra dobra no 1º vinco

(também fazendo a superposição), formando a 3ª dobra. Figura 6.


Abram e pontilhem a 3ª dobra.

As linhas pontilhadas pela 2ª e 3ª dobras são retas paralelas. Figura 7.


TRIÂNGULOS

Com um quadrado em mãos, se dobrarmos ao meio por uma de suas diagonais, o que

teremos? Figura 8.

Figura 8 Fonte: Elaine Moura dos Reis (acervo pessoal)

Estes triângulos, mediante seus ângulos internos, temos que ele é um triângulo

retângulo, obtusângulo ou acutângulo?

Quando ele é chamado de triângulo retângulo?

Então, o que podemos dizer do triângulo formado?

Cortando este quadrado pelo vinco desta diagonal ficaremos com dois triângulos

retângulos. Figura 9.


Pegue somente uma das partes e faça dobras de modo que ele se transforme em um

triângulo obtusângulo, isto é, um de seus ângulos tem que ser maior que 90º. Figura 10.


Agora com a outra parte tente fazer um triângulo acutângulo (os três ângulos são

menores que 90º). Figura 11.


Sabemos que triângulos também se diferem quanto as medidas de seus

lados, podendo ser: triângulo eqüilátero, isósceles e escaleno. Explore as diferenças

entre eles.

ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

A partir do planejamento do projeto com objetivos delineados, tem-se

apenas que estar atento às necessidades de algumas flexibilizações. Quando algo

estiver prejudicando o desenvolvimento do projeto, é por que a estratégia não está

correta. Durante a aplicação da proposta de implementação, as dúvidas surgidas

eram restritas às inovações de métodos, pois embora o origami tenha sido criado na

Antiguidade pelos japoneses e disseminado pelo mundo através de sua aplicação no

estudo da Geometria, quase nunca é utilizado nas escolas brasileiras. Daí a

preocupação de explicar bem o porquê de se estar utilizando deste método

pedagógico.

Com relação aos resultados, a aprendizagem dos conteúdos por alunos e

professores foi surpreendente. Não há como negar que a aplicação do projeto seja a

abertura para que experiências da mesma natureza possam ser realizadas pelos

professores que participaram com tanta disposição e entusiasmo das atividades.

CONCLUSÃO

O que se viu ao desenvolver cada item deste artigo, é que a matemática,

sendo tradicionalmente ensinada de forma abstrata, foi ao longo do tempo uma área

do conhecimento mais aterrorizante dos alunos.

A geometria, como parte desta, não era diferente, embora no cotidiano, tudo

que se faz a envolve e a utiliza. Com a disseminação da cultura oriental do origami,

a criatividade e aplicação de métodos práticos, que permite além de ver, tocar, no

que é até então, uma linguagem verbalística, criou facilidades para o processo

ensino-aprendizagem.

Origami, a arte oriental de dobrar papel, é um excelente método de estudo

da geometria plana e também espacial. Para construir as belas figuras em origami,

parte-se normalmente de folhas de papel quadradas e, através de dobras nesse

papel, executam-se passos em que estão em jogo: simetrias, translações,

paralelismo e perpendicularismo de retas, segmentos e figuras planas e espaciais.

Atividades com origami contam em geral com grande adesão dos alunos, uma vez

que é divertido fazer as dobraduras e o resultado é, em geral, muito bonito.

REFERÊNCIAS

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