SEBENTA.pdf

publicao do departamento de matemtica

da universidade do minho

publicado pelo departamento de matemtica

da universidade do minho

campus de gualtar, 4710-054

braga, portugal

primeira edio, Fevereiro 2009

ISBN 978-972-8810-15-3

nmero dezassete

matemtica discreta

paula marques smith

paula mendes martins

Do not worry about your diculties in mathematics.

I assure you that mine are greater.

Albert Einstein

O plano curricular do 1

o

Ciclo de Matemtica e do 1

o

Ciclo de Cincias de Computao

da Universidade do Minho prev que a unidade curricular (uc) Matemtica Discreta seja

leccionada no 2

o

semestre, com uma escolaridade semanal de duas horas tericas e trs horas

terico-prticas. O programa desta unidade curricular contempla um estudo introdutrio da

Teoria de Grafos e da Teoria de Nmeros. O objectivo da unidade curricular Matemtica

Discreta familiarizar os alunos com conceitos e resultados bsicos da Teoria de Grafos

e da Teoria de Nmeros. Mais concretamente, esperamos que com o aproveitamento em

Matemtica Discreta os alunos

apliquem o Algoritmo de Euclides para o clculo do m.d.c. de dois inteiros

resolvam equaes diofantinas

apliquem critrios de primalidade

identiquem nmeros congruentes mdulo n e propriedades desta relao

resolvam congruncias lineares e sistemas de congruncias lineares

identiquem e caracterizem classes de grafos.

Para alm destes objectivos especcos de aprendizagem, a unidade curricular Matemtica

Discreta tem tambm objectivos gerais, igualmente importantes na formao do aluno:

Ajudar o aluno a raciocinar com correco e segurana;

Desenvolver capacidades de apresentao dos seus raciocnios de forma organizada eclara;

v

Levar o aluno a compreender a importncia do rigor no estudo das matrias;

Fomentar o trabalho individual e em grupo;

Estimular o esprito crtico do aluno.

O presente livro um texto de apoio unidade curricular Matemtica Discreta e tem

assim o objectivo de ser uma apresentao simples, mas cuidada, de conceitos e resultados

bsicos da Teoria de Grafos e da Teoria de Nmeros. Ao longo do texto so apresentados

bastantes exemplos que devero ser vericados e explorados pelo aluno. As demonstraes

devero ser encaradas como parte fundamental da aprendizagem: importante que o aluno

as entenda no com o objectivo de as reproduzir posteriormente mas antes com a nali-

dade de adquirir experincia e destreza na construo de provas. Dentro de cada captulo,

as seces terminam com exerccios. Incitamos os alunos a resolv-los: no se aprende

matemtica sem resolver problemas! Os de ndole mais prtica e de resoluo de certo

modo mecanizada desenvolvero no aluno tcnicas bsicas e ajud-lo-o a perceber e a

interiorizar os conceitos. Exerccios de natureza mais terica, para alm do desao que con-

stituem, so um contributo essencial na aprendizagem da construo de argumentos e na

organizao dos mesmos.

Os conceitos e os resultados tericos estaro sempre, neste e noutros livros semelhantes,

disposio do aluno. A nossa esperana que, acompanhado pelo empenho do aluno

no processo de aprendizagem, este trabalho consiga ajud-lo a resolver algumas das suas

diculdades em matemtica.

Paula Marques Smith

Paula Mendes Martins

Fevereiro de 2009

vi

Contedo

1 introduo teoria de grafos 1

1.1 alguns problemas histricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 incidncia e adjacncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 subgrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4 alguns grafos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.5 grau de um vrtice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 grafos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.1 rvores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4 grafos planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.1 frmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.2 a no planaridade de K5 e K3,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.3 Teorema de Kuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.4 grafos platnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.5 grafos eulerianos e grafos hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.5.1 grafos eulerianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.5.2 grafos hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.5.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

vii

contedo

1.6 nmero cromtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.6.1 a colorao dos vrtices de um grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.6.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.7 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 introduo teoria de nmeros 55

2.1 teoria da divisibilidade nos nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.1.1 algoritmo da diviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.1.2 mximo divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.1.3 nmeros primos entre si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.1.4 o algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.1.5 mnimo mltiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.1.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.2 nmeros primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.2.1 teorema fundamental da aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.2.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.3 equaes diofantinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.3.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.4 congruncias mdulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.4.1 conceitos e resultados bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.4.2 critrios de divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.4.3 congruncias lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.4.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.5 sistemas de congruncias lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.5.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2.6 alguns teoremas relevantes na teoria de nmeros . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.6.1 Pequeno Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.6.2 Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.6.3 Teorema de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.6.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Bibliograa 123

viii

1. introduo teoria de grafos

As the island of knowledge grows, the surface

that makes contact with mystery expands.

W. Mark Richardson

Um grafo uma coleco de vrtices (tambm chamados ns) e de arestas, cada uma

das quais liga dois ns. Para visualizar um grafo, podemos pensar nos ns como pontos do

espao, do plano ou de qualquer outra superfcie e representar as arestas por linhas ligando

os ns. Esta representao no nica. A nica caracterstica importante de um grafo a

incidncia de ns e arestas. Todos os elementos de um grafo podem sofrer continuamente

deslocaes ou deformaes, continuando, no entanto e sempre, a representar o mesmo

grafo, i.e., a mesma coleco de ns e de arestas.

1.1 alguns problemas histricos

Frequentemente, a resoluo de um problema concreto, numa qualquer rea do conheci-

mento, encontrada recorrendo teoria de grafos. Como veremos nos quatro problemas

que de seguida se enunciam, o procedimento para obter uma soluo do problema o

seguinte: comeamos por construir um grafo que seja um modelo matemtico do problema.

Recorrendo Teoria de Grafos resolvemos, de seguida, o problema terico e abstracto do

grafo que construmos e, nalmente, interpretamos, nos termos do problema real, a soluo

encontrada.

Nesta seco do curso, apresentamos quatro problemas histricos e construmos os grafos

que os modelam. A resoluo dos problemas ser discutida nas seces seguintes.

As sete pontes de Knigsberg. A cidade de Knigsberg (hoje Kaliningrad na Rssia)

atravessada pelo rio Pregel e tinha, no sculo XVIII, duas ilhas ligadas entre si e s duas

margens do rio por sete pontes.

1

introduo teoria de grafos

Conta a histria que os habitantes da cidade caminhavam tradicionalmente ao domingo

pela cidade, tentando encontrar um caminho que permitisse passear pela cidade atravessando

todas as pontes uma s vez. Tendo tido diculdade em encontrar tal caminho, apresentaram,

numa carta, o problema ao matemtico suo Leonard Euler (1707-1783). Em 1736, Euler

provou que o caminho pretendido no existia!

A tcnica de Euler para resolver o problema consistiu basicamente em considerar o mapa

de Knigsberg e "transform-lo"naquilo a que hoje chamamos um grafo, no qual as margens

do rio e as ilhas so consideradas os vrtices do grafo, estando estes ligados por arestas do

mesmo modo que as margens e as ilhas estavam ligadas pelas pontes. O grafo de Euler

tinha o seguinte aspecto:

O problema das quatro cores. Este famoso teorema particularmente interessante

porque um exemplo de um problema em matemtica que extremamente fcil de expor

2


mas tambm extremamente difcil de resolver.

O resultado foi conjecturado inicialmente em 1852 quando Francis Guthrie, ao tentar

colorir o mapa das provncias de Inglaterra de acordo com aquela regra, reparou que apenas

necessitava de quatro cores diferentes. Nessa altura, Fredrick Guthrie, seu irmo e aluno

de Augustus De Morgan, colocou a questo a este ltimo, que entretanto, escreveu a

Arthur Cayley, a expor o problema. Foi Cayley quem publicou pela primeira vez o problema,

atribuindo os crditos a De Morgan.

Assistiu-se desde ento a vrias tentativas de provar o resultado. Uma demonstrao" foi

apresentada por Alfred Kempe in 1879. No entanto, Percy Heawood provou, em 1890, que

a demonstrao" de Kempe estava incorrecta. Mais ainda, Heawood provou que todos os

grafos planares podam ser coloridos com pelo menos cinco cores.

Em 1 de Abril de 1975, Martin Gardner elaborou um mapa de 110 regies, armando

serem precisas exactamente 5 cores para o colorir.

Confrontado posteriormente com a colorao desse mesmo mapa com apenas 4 cores,

Gardner respondeu que aquele mapa era apenas uma brincadeira prpria do dia em que foi

apresentado.

Foi j em 1976 que surgiu a primeira demonstrao do resultado. No entanto, esta

demonstrao era computacional e no matemtica. Appel e Haken, usando a informtica,

estudaram 1476 casos distintos de regies e provaram que qualquer outro mapa se reduz a um

daqueles. Em 1994, simplicando a demonstrao de Appel e Haken, Seymour, Robertson,

Sanders e Thomas reduziram o nmero de mapas distintos de 1476 para 633.

3


A resoluo do problema passa por construir um grafo a partir do mapa dado, criando

um vrtice para cada pas do mapa e ligando dois vrtices por arestas sempre que os pases

que esses vrtices representam partilham uma fronteira.

O problema do rei com cinco lhos. Este problema foi apresentado pelo matemtico

alemo August F. Mbius (1790-1868) por volta do ano de 1840 e consiste no seguinte:

Havia um rei que tinha cinco lhos. No seu testamento determinou que, aps a sua morte,

os lhos dividiriam o seu reino em cinco provncias de tal modo que cada provncia zesse

fronteira com cada uma das restantes. O rei determinou ainda que os lhos ligassem as

capitais de cada provncia por estradas, de tal modo que duas quaisquer dessas estradas

no se intersectassem. O problema que se coloca o de saber se possvel cumprir as

determinaes do rei! Tal como nos problemas anteriores, comeamos por construir um

grafo que traduza o problema enunciado: os vrtices do grafo correspondem s capitais das

cinco provncias e as arestas s estradas que as ligam. Traduzido em termos de grafos,

o primeiro desejo do rei consiste em desenhar um grafo com cinco vrtices, no qual dois

quaisquer vrtices so adjacentes. Ainda em termos de grafos, a segunda vontade do rei

prende-se com o problema de construir aquele grafo de tal modo que ele seja planar (i.e., de

tal modo que duas quaisquer arestas no se cruzam no plano). Prova-se que a construo

de um tal grafo no possvel. Assim, a segunda vontade do rei no pode ser cumprida!

HHHH

AAAA

bbbb

bb

LLLLL

O problema das trs casas. A origem deste problema no conhecida mas sabe-se que

foi pela primeira vez referido em 1913 pelo matemtico Henry Ernest Dudeney (1857-1930).

O problema envolve a ligao de cada uma de trs casas s redes de gua, de electricidade

e de gs, sem que qualquer uma das ligaes se cruze. O grafo que modela este problema

designa-se por K3,3 e o seguinte:

4


HHHH

HHHH

XXXXXX

XXXXXX

XXXX

HHHH

HHHH

Os vrtices do grafo correspondem s trs casas e s trs redes de abastecimento e as

arestas s ligaes entre as casas e as redes. Do ponto de vista dos grafos, o problema

consiste em saber se o grafo K3,3 planar. Tal como no problema anterior, prova-se que

tal grafo no planar pelo que as ligaes pretendidas no se podem efectuar!

A resoluo dos dois ltimos problemas revelou-se fundamental na caracterizao dos

grafos planares, estabelecida pelo matemtico polaco Kazimierz Kuratowski (1896-1980) em

1930.

1.2 conceitos bsicos

Um grafo uma representao de um conjunto de pontos e do modo como eles esto

ligados. Aos pontos de um grafo chamamos vrtices e s ligaes (que representamos por

linhas) chamamos arestas. Essa representao pode ser feita de vrias formas. De seguida

apresentamos 3 formas diferentes de representao de um mesmo grafo.

@@@@

@@

@@

a

b

c

d

@@@@

@@

@@

a

b

c

d

@@@@

@@@@

Podemos considerar vrios tipos de grafos, de acordo com o nmero de arestas que ligam

dois vrtices e/ou a existncia de uma orientao de arestas. Em alguns casos possvel

os conceitos serem formalizados atravs da Teoria de Conjuntos. o caso dos conceitos de

grafo simples e de digrafo.

Denio 1.1 Um grafo simples um par ordenado G = (V,E) no qual V um conjunto

no vazio e E um conjunto de subconjuntos de V com exactamente dois elementos. Aos

elementos de V chamamos vrtices e aos elementos de E chamamos arestas.

5


O conjunto dos vrtices no tem que ser necessariamente nito. Podem considerar-se

grafos com um conjunto numervel de vrtices. No nosso curso estudaremos apenas grafos

com um nmero nito de vrtices.

Exemplo 1.1 O grafo

a

b

c

d

@@@@

@@

@@

simples. De facto, V = {a, b, c, d} e E = {{a, b}, {b, c}, {c, d}}.

Tendo em conta a denio, dois grafos G = (V,E) e G = (V , E) so iguais seV = V e E = E.

Observaes: 1 - Existem representaes aparentemente"diferentes de um mesmo grafo.

Numa representao de um grafo, o importante o nmero de vrtices, o nmero de arestas

e o modo como estas se dispem em relao queles. Por exemplo, o grafo do Exemplo 1.1

pode ser representado por

a

b

c

d

""""

""

""

""""

ou

a

c

d

b

2 - Uma mesma representao pode descrever grafos que, por denio, so distintos. Por

exemplo, a descrio

6


@@@@

@@

@@

tanto pode representar o grafo G1 = (V1, E1), onde

V1 = {a, b, c, d} e E1 = {{a, b}, {b, c}, {c, d}} ,como o grafo G2 = (V2, E2), onde

V2 = {1, 2, 3, 4} e E2 = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}} .Vamos abusar da linguagem"e armar que G1 e G2 so o mesmo grafo. Neste curso, no

distinguiremos grafos que diferem apenas na natureza dos seus vrtices.

Um digrafo no mais do que um grafo simples no qual consideramos a orientao das

arestas. Assim,

Denio 1.2 Chama-se digrafo a um par G = (V,E) onde V um conjunto no vazio e

E V V . Aos elementos de V chamamos vrtices e aos elementos de E, arestas.

Da denio de digrafo resultam algumas observaes pertinentes:

1 - Por denio, as arestas de um digrafo so um par ordenado. Assim, dados dois

vrtices distintos a e b, as arestas (a, b) e (b, a) so distintas.

2 - Para cada vrtice a, o par (a, a) uma aresta.

Na representao de um digrafo, uma aresta (a, b) representada por uma linha ori-

entada. Em particular, para cada vrtice a, a aresta (a, a) representada por um lacete

orientado.

Exemplo 1.2 O digrafo G = (V,E), onde

V = {a, b, c, d}e

E = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (c, d), (d, c)},pode ser representado por

7


a

b

c

d

:9

XXXXXX

Xy9

:

7

.

Um multigrafo (respectivamente, multidigrafo) um grafo no qual se admite a existncia

de mltiplas arestas (respectivamente, arestas orientadas) entre dois vrtices .

No caso de um multigrafo (respectivamente, multidigrafo) no faz sentido representar

as arestas custa dos vrtices, pois h ambiguidade, uma vez que dois vrtices podem estar

ligados por mais do que uma aresta (respectivamente, mais do que duas arestas orientadas).

Exemplo 1.3 O grafo

a

b

c

d

*

*

@@

@I

####>##

##=

##

##=

7

um multidigrafo com 4 vrtices.

Neste curso estudaremos sobretudo os grafos simples. No havendo ambiguidade e se

nada for dito em contrrio, referirmo-nos-emos aos grafos simples apenas como grafos.

1.2.1 incidncia e adjacncia

Seja G = (V,E) um grafo com n vrtices e m arestas (n N e m N0). Para melhorfacilitar a escrita, consideremos V = {vi : 1 i n} e E = {ej : 1 j m}.

Denio 1.3 Diz-se que ej E incidente a vi V se existe vk V tal que aresta ejliga os vrtices vi e vk.

Denio 1.4 Uma matriz [aij ] Mnm(Z} diz-se uma matriz de incidncia de G se

ai j =

{0 se ej no incidente a vi

1 se ej incidente a vi.

8


Exemplo 1.4 Seja G = (V,E) o grafo onde V = {a, b, c, d} e E = {{a, b}, {b, c}, {c, d}}.Considerando v1 = a, v2 = b, v3 = c, v4 = d, e1 = {a, b}, e2 = {b, c} e e3 = {c, d},obtemos a matriz de incidncia

M =

1 0 0

1 1 0

0 1 1

0 0 1

.

Observemos que temos 4 linhas, pois existem 4 vrtices, e 3 colunas, correspondentes s 3

arestas.

Denio 1.5 Dois vrtices vi e vj de G dizem-se adjacentes se existe uma aresta em G

incidente a ambos.

Denio 1.6 Diz-se que uma matriz [aij ] Mnn(Z} uma matriz de adjacncia de Gse

ai j =

{0 se vi e vj no so adjacentes

1 se vi e vj so adjacentes.

Exemplo 1.5 A matriz

M =

0 1 0 0

1 0 1 0

0 1 0 1

0 0 1 0

uma matriz de adjacncia do grafo do exemplo anterior. Observemos que esta matriz,

sendo de adjacncia, uma matriz quadrada. Como estamos perante um grafo simples, a

matriz simtrica e a diagonal preenchida por zeros.

Dado um grafo, a construo de uma matriz de incidncia (ou de adjacncia) depende da

ordem pela qual se consideram os vrtices e as arestas. Assim, o mesmo grafo admite vrias

matrizes de incidncia e de adjacncia. No entanto, duas quaisquer matrizes de incidncia

(ou de adjacncia) de um mesmo grafo so semelhantes, pois uma obtm-se da outra por

troca de linhas e/ou colunas.

9


1.2.2 caminhos

Grande parte da Teoria de Grafos envolve sequncias especiais de vrtices. Nesta seco,

apresentamos as mais relevantes.

Denio 1.7 Um caminho de um grafo G uma sequncia de vrtices de G no qual dois

vrtices sucessivos denem uma aresta. Representa-se um caminho por v1, v2, . . . , vn,onde v1, v2, ..., vn so vrtices de G. Ao primeiro vrtice da sequncia chamamos origem

do caminho ou vrtice inicial e ao ltimo vrtice, chamamos destino do caminho ou vrtice

nal.

Por conveno, chama-se caminho trivial sequncia a, onde a V .

Exemplo 1.6 No grafo

a b

c d

e f

@@

@@aaaaa

\\\\

a, b, d, f, c, e, f, b um caminho de a a b.

Observao. Um caminho pode ser tambm denido como uma sequncia de arestas na

qual quaisquer duas arestas sucessivas tm um vrtice em comum.


a b

c d

e f

e1

@@@@

e2

e3

e4

@@@@e5

aaaaaaaaaa

e6

e7

e8e9

\\\\\\\\

e10

e11

o caminho a, b, d, f, c, e, f, b pode tambm ser representado por e1, e2, e3, e6, e5, e4, e9.

Denio 1.8 Chama-se comprimento de um caminho ao nmero de arestas que denem

esse caminho.

Exemplo 1.8 O caminho apresentado no Exemplo 1.6 tem comprimento 7.

10


Denio 1.9 Chama-se caminho elementar a um caminho onde nenhum vrtice repetido.

Exemplo 1.9 O caminho apresentado no Exemplo 1.6 no elementar. No mesmo grafo,

o caminho a, f, d, b um caminho elementar.

Denio 1.10 Um caminho simples ou atalho um caminho sem arestas repetidas.

Exemplo 1.10 O caminho apresentado no Exemplo 1.6 um atalho. Neste grafo, o cam-

inho a, b, d, f, c, e, f, c, e, b no um atalho.

Denio 1.11 Um circuito um caminho no qual o vrtice inicial coincide com o vrtice

nal.

Exemplo 1.11 No grafo do Exemplo 1.6, o caminho f, c, e, f um circuito.

Denio 1.12 Um circuito simples um caminho que , simultaneamente, circuito e

atalho.

Denio 1.13 Um ciclo um circuito simples, no trivial, onde no h repetio de

vrtices com a excepo dos vrtices inicial e nal.

1.2.3 subgrafos

Denio 1.14 Um subgrafo de um grafo G = (V,E) um grafo G = (V , E) ondeV V e E E.

Exemplo 1.12 O grafo

HHHH

AAAA

subgrafo do grafo

HHHH

AAAA

bbbb

bb

LLLLL

11



AAAA

no subgrafo do grafo

.

Exemplo 1.14 Seja G = (V,E) onde

V = {a, b, c, d} e E = {{a, b}, {b, d}, {c, d}, {b, c}, {a, c}} .

O par (V , E) onde V = {a, c} e E = {{a, c}, {b, d}} no um subgrafo de G.

Denio 1.15 Sejam G = (V,E) um grafo e V V . Chama-se subgrafo de G induzidopor V ao grafo G = (V , E) onde

E ={{vi, vj} E : vi, vj V } .Exemplo 1.15 Dado o grafo

a b

e c

d

HHH

AAA

bbbb

b

LLLL

o subgrafo induzido por {a, b, c, e}

a b

e cAA

A

bbbb

b

12


1.2.4 alguns grafos especiais

Nesta seco apresentamos alguns grafos que, por terem caractersticas prprias, merecem

destaque especial.

Denio 1.16 Um grafo trivial um grafo G = (V,E) onde #V = 1 e #E = 0.

Denio 1.17 Um grafo nulo um grafo G = (V,E) onde #E = 0.

Denio 1.18 Seja n 3. Um grafo com n vrtices e n arestas diz-se um grafo ciclode comprimento n se as n arestas denirem um ciclo. Um grafo ciclo de comprimento n

representa-se por Cn.

Exemplo 1.16 O grafo C4 pode ser representado por

Denio 1.19 Seja n 1. Um grafo com n+1 vrtices e n arestas diz-se um grafo linhade comprimento n se dois dos vrtices so adjacentes a um e um s vrtice e todos os outros

so adjacentes a dois e s dois vrtices. O grafo linha de comprimento n representa-se por

Pn.

Exemplo 1.17 O grafo linha de comprimento 4, P4 pode ser representado por

Denio 1.20 Um grafo completo um grafo no qual dois quaisquer vrtices so adja-

centes. Um grafo completo com n vrtices representa-se por Kn.

Exemplo 1.18 Para n = 1, 2, 3, 4, 5, os grafos completos so:

K1 K2 K3 K4 K5

AAAA

@@

@@

HHHH

AAAA

bbbb

bb

LLLLL

13


Um raciocnio indutivo mostra que o grafo completo Kn tem

(n

2

)arestas.

A proposio seguinte caracteriza os subgrafos de um grafo completo que so por si

grafos completos.

Proposio 1.1 Sejam m,n N. Ento Km subgrafo de Kn se e s se m n.

Demonstrao: Trivial.

Denio 1.21 Um grafo G = (V,E) diz-se grafo bipartido se existir uma partio {X,Y }de V de tal modo que cada vrtice de X adjacente apenas a vrtices de Y e cada vrtice

de Y adjacente apenas a vrtices de X.

Exemplo 1.19 Os dois grafos seguintes so bipartidos

CCCCC

eeeeeCCCCC

AAAAbbbbbb

O seguinte resultado uma caracterizao importante dos grafos bipartidos.

Proposio 1.2 Um grafo G bipartido se e s se no admite ciclos de comprimentos

mpar.

Demonstrao: Sejam G = (V,E) e {X,Y } uma partio de V de tal modo que cadavrtice de X adjacente apenas a vrtices de Y e cada vrtice de Y adjacente apenas a

vrtices de X. Seja C = v1, v2, . . . , vn, v1 um ciclo de G. Se v1 X, ento, v2 Y ,v3 X, ..., v2k+1 X, v2k Y , ... Como vn Y , conclumos que n par. Logo, ocomprimento de C par.

Reciprocamente, se G = (V,E) apenas tem ciclos de comprimento par, denimos a

partio {X,Y } estabelecendo que vrtices adjacentes pertencem a classes de partiodiferentes.

14


Denio 1.22 Um grafo bipartido completo um grafo bipartido G = (V,E) tal que,

para a partio {X,Y } de V da denio, cada vrtice de X adjacente a todos os vrticesde Y (e, portanto, cada vrtice de Y adjacente a todos os vrtices de X). Representa-se

um grafo bipartido completo por Km,n onde #X = m e #Y = n com m n.

Exemplo 1.20 Os grafos K2,3 e K3,3 so representados, respectivamente, por

eeee%

%%%aaaaaaaaaae

ee

e

%%%%

!!!!

!!!!

!!

QQQQQQQ

PPPPPPPPPPPPPQQQQ

QQQ

Facilmente se conclui que, dados m,n N com m n, o grafo bipartido completoKm,n tem mn arestas.

Proposio 1.3 Sejam m,n, p, q N tais que m n e p q. Ento Km,n subgrafo deKp,q se e s se m p e n q.

Demonstrao: Trivial.

1.2.5 grau de um vrtice

Denio 1.23 Sejam G = (V,E) um grafo e v V . Chama-se grau (ou valncia) de v,e representa-se por grau(v), ao nmero de arestas incidentes a v.

Exemplo 1.21 No grafo completo K6 todos os vrtices tm grau 5.

Exemplo 1.22 No grafo bipartido completo K2,3 existem dois vrtices com grau 3 e trs

vrtices com grau 2.

Observaes. 1. O grau de um vrtice pode ser obtido da matriz de incidncia somando

todas as entradas referentes linha correspondente a esse vrtice.

2. O grau de um vrtice pode tambm ser obtido da matriz de adjacncia somando

todas as entradas referentes linha (ou coluna) correspondente a esse vrtice.

O prximo resultado fundamental para todo o estudo que faremos nas prximas seces.

15


Teorema 1.1 Num grafo G = (V,E) a soma dos graus de todos os vrtices o dobro do

nmero de arestas.

Demonstrao: (Por induo sobre o nmero de arestas)

Seja P (n) a armao:

A soma dos graus de todos os vrtices de um grafo com n arestas 2n.

Passo 1. Suponhamos que o grafo no tem arestas. Ento, cada vrtice tem grau 0 e,

portanto, a soma dos graus 0 = 2 0. Ento, P (0) verica-se.Passo 2. Seja k N0. Suponhamos que a armao P (k) verdadeira. Queremosprovar que P (k + 1) verdadeira.

Seja G = (V,E) um grafo com k + 1 arestas. Consideremos G um subgrafo de Gcom os mesmos vrtices de G mas com menos uma aresta, digamos, {a, b} (com a, b V ).Ento, G tem k arestas e, portanto, por hiptese de induo, a soma dos graus de todosos vrtices de G 2k. Para obter G de G juntamos"a aresta {a, b}. Assim, o grau de a aumentado em 1 e o grau de b aumentado em 1. Logo, a soma dos graus de todos os

vrtices de G 2k + 1 + 1 = 2(k + 1).

Tendo em conta os passos 1 e 2 e o Princpio de Induo Natural, provamos que P (n)

verdadeira para todo n N0.

Este Teorema tambm conhecido pelo Teorema do aperto de mos. De facto, se um

grupo de pessoas derem apertos de mo, o nmero de mos apertadas o dobro do nmero

de apertos.

Corolrio 1.1 Em qualquer grafo, o nmero de vrtices de grau mpar par.

Demonstrao: Trivial, tendo em conta que, se G = (V,E) um grafo com n arestas,grau(v) impar

grau(v) +

grau(v) par

grau(v) =vV

grau(v) = 2n.

1.2.6 Exerccios

Exerccio 1.2.1. Escreva uma descrio formal de cada um dos seguintes grafos:

16


@@

@@

@@

@@

SSSS

SSSS

HHHHHHH

HHHHHHH

SSSS

SSSS

HHHHHHH

HHHHHHH

JJJJJJJ

eeee%

%%%aaaaaaaaaae

ee

e

%%%%

!!!!

!!!!

!!

Exerccio 1.2.2. Determine as matrizes de incidncia e de adjacncia de cada um dos grafos

apresentados no exerccio anterior.

Exerccio 1.2.3. Desenhe um grafo que tenha como matriz de adjacncia a matriz

(a)

0 1 1 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

; (b)

0 0 1 1

0 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 0

.

Exerccio 1.2.4. Desenhe um grafo que tenha como matriz de incidncia a matriz

(a)

1 0 1 1 0

0 1 0 1 1

1 1 0 0 0

0 0 1 0 1

; (b)

1 0 1 1

0 1 1 0

1 1 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

.

Exerccio 1.2.5. Considere o seguinte grafo G.

17


a b

c d

e f g h

@@@@

@@@@

@@@@

(a) Indique um caminho de a a h que no seja simples.

(b) Indique um caminho simples de a a h que no seja elementar.

(c) Indique um caminho elementar de a a h.

(d) Indique um circuito de G que no seja ciclo.

(e) Indique um ciclo de G de comprimento 7.

(f) Verique se os seguintes grafos so subgrafos de G:

(i) G1 = ({a, b, e, f}, {{a, b}, {a, e}, {a, f}, {e, f}}).(ii) G2 = ({a, b, d, g, h}, {{a, b}, {a, d}, {b, g}, {d, g}, {g, h}}).(iii) G3 = ({a, c, d, e, f}, {{a, c}, {a, e}, {c, d}, {e, f}}).(g) Determine o subgrafo de G induzido por cada um dos subconjuntos de vrtices

seguintes:

(i) {a, b, c, d, e};(ii) {b, c, e, f, g};(iii) {b, c, e}.

Exerccio 1.2.6. Seja G = (V,E) um grafo. Um subgrafo de vrtice eliminado um sub-

grafo G = (V , E) induzido de G onde V = V \{v}, para algum v V . Representeos subgrafos de vrtice eliminado de:

(a)

HH

HH

18


(b)

QQQQQQQ

AAAAAAA

ZZZZ

(c) K5;

(d) K2,3.

Exerccio 1.2.7. Considere o grafo de Petersen aqui representado.

bb

bb

""""

LLLLL

,,,lllBBB

T

T

PPP

Determine:

(a) um caminho simples de comprimento 5;

(b) um caminho elementar de comprimento 9;

(c) ciclos de comprimento 5, 6, 8 e 9.

Exerccio 1.2.8. Sejam G = (V,E) um grafo e a e b dois vrtices distintos em V . Mostre

que se existe um caminho entre a e b ento existe um caminho elementar entre a e b.

Exerccio 1.2.9. (a) Considere o grafo

ab c d

e

fg

h

ijk

PPPPPPAAAA

(i) Determine dois caminhos elementares distintos de f a k.

(ii) Determine um ciclo com vrtices usados na alnea anterior.

19


(b) Seja G = (V,E) um grafo e x, y V . Mostre que, se existem dois caminhoselementares distintos entre x e y, ento, G admite um ciclo.

Exerccio 1.2.10. Sejam G = (V,E) um grafo e u, v V . Seja d(u, v) denido por: Seu = v ento d(u, v) = 0; se u 6= v e existe um caminho entre u e v, ento, d(u, v) o menor dos comprimentos dos caminhos elementares de u a v; caso contrrio,

d(u, v) =. A d(x, y) chama-se distncia entre u e v.Determine a distncia entre dois quaisquer vrtices do grafo:

(a) K5;

(b) K2,3;

(c) de Petersen.

Exerccio 1.2.11. Dos seguintes grafos, diga quais so bipartidos, indicando uma partio

do conjunto dos seus vrtices.

QQQQQQQ

AAAAAAA

ZZZZ

@@@

@

@@@@@CCCCCCCC

SSSS

SSSS

,,,,

llll

CCCCC

@

@@@

HHHH

Exerccio 1.2.12. Seja G = (V,E) o grafo onde V = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} e

E = {{a, b}, {b, c}, {b, d}, {b, e}, {b, j}, {c, g}, {d, g},{f, d}, {f, e}, {h, b}, {h, f}, {i, a}, {i, h}} .

(a) Represente o grafo G.

20


(b) Mostre que G bipartido, indicando uma partio do conjunto dos seus vrtices.

Exerccio 1.2.13. D exemplo, caso exista, de:

(a) um grafo sem vrtices de grau mpar;

(b) um grafo sem vrtices de grau par;

(c) um grafo com exactamente um vrtice de grau mpar;

(d) um grafo com exactamente um vrtice de grau par;

(e) um grafo com exactamente dois vrtices de grau mpar;

(f) um grafo com exactamente dois vrtices de grau par.

Exerccio 1.2.14. Prove o Teorema da Amizade: Em toda a cidade com pelo menos 2

habitantes, residem 2 pessoas com o mesmo nmero de amigos que habitam nessa

mesma cidade".

Exerccio 1.2.15. Qual o nmero mnimo de vrtices de um grafo simples com 200 arestas?

Porqu?

Exerccio 1.2.16. A sequncia gradual de um grafo a sequncia dos graus dos seus vrtices,

ordenados do maior ao menor. Por exemplo, a sequncia gradual do grafo completo

K4 3, 3, 3, 3 e a sequncia gradual do grafo K2,3 3, 3, 2, 2, 2. Para cada uma das

sequncias de nmeros, indique as que so sequncia gradual de algum grafo. Neste

caso, represente o grafo em questo.

(a) 4,4,4,4;

(b) 3,3,3,2,1;

(c) 1,1,1,1,1,1;

(d) 5,4,4,3,2,2;

(e) 4,3,3,2,2,1;

(f) 4,4,3,3,3,3,3,3,2,2.

Exerccio 1.2.17. Liste todas as sequncias graduais de um grafo com 4 vrtices.

21


1.3 grafos conexos

Denio 1.24 Um grafo conexo um grafo G = (V,E) no qual existe um caminho entre

dois quaisquer dos seus vrtices.

Denio 1.25 Um grafo desconexo um grafo que no conexo.


bb

bb

""""

LLLLL

,,,lllBBB

T

T

PPP

um grafo conexo. O grafo

bb

bb

""""

LLLLL

,,,lllBBB

um grafo desconexo.

Dado um grafo qualquer, podemos denir uma relao binria no conjunto dos seus

vrtices. Dizemos que dois vrtices distintos esto em relao se e s se existir um caminho

entre eles. Esta simples relao binria revela-se bastante importante no estudo dos grafos

conexos.

Teorema 1.2 Seja G = (V,E) um grafo. A relao R denida por, para todos x, y V ,

x R y x = y ou existe um caminho de x para y,

uma relao de equivalncia em V .

22


Demonstrao: Exerccio.

A relao R, como relao de equivalncia que , determina em V uma partio em

classes de equivalncia. Para cada v V , o subgrafo de G induzido pela classe de equivaln-cia de v, determinada por R, um grafo conexo. Por esta razo, as classes de equivalncia

determinadas por R designam-se por componentes conexas de G.

Do teorema anterior resulta de imediato a seguinte caracterizao de grafo conexo.

Corolrio 1.2 Um grafo G = (V,E) conexo se e s se a relao R denida em V admite

uma nica classe de equivalncia.

O prximo resultado permite-nos obter subgrafos de grafos conexos que so, por si,

grafos conexos.

Teorema 1.3 Sejam G = (V,E) um grafo conexo e a, b, x1, x2, ..., xn V tais quea, b, x1, x2, ..., xn, a um ciclo em G. Ento, G = (V,E\ {{a, b}}) um grafo conexo.

Demonstrao: Trivial, tendo em conta que a, xn, ..., x2, x1, b um caminho de a a bem G.

1.3.1 rvores

Nesta subseco, apresentamos uma classe de grafos conexos - a classe das rvores.

Denio 1.26 Uma rvore um grafo conexo no qual no existem ciclos.


@@@

uma rvore.

23


Exemplo 1.25 Os grafos

e

so as nicas rvores com, respectivamente, dois e trs vrtices.


e

@@

@@

so as nicas rvores com quatro vrtices.


bbb"""

e

bbb

e

BBBBBB

ll

ll

l

so as nicas rvores com cinco vrtices.

Teorema 1.4 Numa rvore, a diferena entre o nmero de vrtices e o nmero de arestas

1.

Demonstrao: Exerccio (utilizando o Princpio de Induo Forte).

Teorema 1.5 Toda a rvore no trivial tem pelo menos dois vrtices de grau 1.

Demonstrao: Seja G = (V,E) uma rvore. Por um lado, se G tem v vrtices e a arestas,

pelo teorema anterior,

a = v 1.

24


Por outro lado, sabemos queviV

grau(vi) = 2(v 1) = 2v 2.

Se todos os vrtices tiverem grau no mnimo 2, temos queviV

grau(vi) 2v,

e, ento, ter-se-a 2v 2 2v, um absurdo. Logo, pelo menos um vrtice tem de ter grau1. Se houvesse s um vrtice nestas condies, teramos

viVgrau(vi) 2(v 1) + 1 = 2v 1

e, portanto, seria 2v 2 2v 1, um absurdo. Logo, existem pelo menos dois vrtices degrau 1.

1.3.2 Exerccios

Exerccio 1.3.1. Demonstre o Teorema 1.2.

Exerccio 1.3.2. Um conjunto de desconexo de um grafo conexo G um conjunto de

arestas cuja remoo d origem a um grafo desconexo.

(a) Encontre conjuntos de desconexo para o grafo de Petersen com 3, 4 e 5 arestas.

(b) Encontre conjuntos de desconexo com o menor nmero possvel de arestas para

os grafos seguintes:

@

@

@@

@@@@

@@

@@

Exerccio 1.3.3. Construa todas as rvores possveis com 6 vrtices.

25


Exerccio 1.3.4. (a) Demonstre o Teorema 1.4.

(Sugesto: Use o princpio de induo forte sobre o nmero de arestas.)

(b) Uma oresta um conjunto de rvores. Mostre que se G uma oresta com c

rvores, v vrtices e a arestas, ento, a = v c.

Exerccio 1.3.5. (a) Mostre que um grafo conexo com v vrtices tem pelo menos v 1arestas.

(b) Mostre que um grafo conexo com v vrtices e exactamente v 1 arestas umarvore.

Exerccio 1.3.6. Mostre que qualquer rvore com pelo menos dois vrtices um grafo bi-

partido. Quais as rvores que so grafos bipartidos completos?

Exerccio 1.3.7. O complemento de um grafo G = (V,E) um grafo G = (V ,E), onde

V = V e E = {{x, y} V : x 6= y, {x, y} 6 E}.

(a) Determine o complemento de K3,5.

(b) Determine G, onde G um grafo desconexo com duas componentes conexas

que so os grafos K3 e K5.

(c) Dado o grafo ciclo C5, mostre que C5 e C5 so o mesmo grafo.

(d) Considere o grafo linha P3. Mostre que P3 e P3 so o mesmo grafo.

(e) Diga, justicando, se a seguinte armao verdadeira ou falsa: O comple-

mento de um grafo conexo um grafo conexo.

1.4 grafos planares

Denio 1.27 Um grafo planar um grafo que pode ser representado no plano sem se

vericarem cruzamentos de arestas, a no ser, eventualmente, nalgum dos vrtices que as

denem.

Chamamos a ateno para o facto de, dado um grafo planar, existirem diferentes re-

presentaes suas no plano sem cruzamentos de arestas. A cada uma destas representaes

chamamos representao planar do grafo planar.

26



@@@@

planar pois pode ser representado por

@@

AAAA

Torna-se importante aqui observar que, quando um grafo desconexo, podemos reduzir

a questo da planaridade a cada uma das componentes conexa do grafo.

EEEE

EEEE

EEEE

EEEE

Assim, nesta seco iremos concentrar-nos nos grafos conexos.

Uma representao planar de um grafo planar conexo dene no plano regies, s quais

chamamos faces. Comeamos por observar que, dado um grafo planar, uma sua represen-

tao planar dene sempre uma regio ilimitada, a qual designamos por face exterior do

grafo.

1

2AAAA

1

2

3

@@@@

@@

@@

27


Numa face limitada por arestas, identicamos um ciclo que a circunda, ao qual chamamos

fronteira da face. H arestas que no esto nas fronteiras das faces, mas esto nas faces. So

as chamadas arestas de corte. Se retirarmos uma aresta fronteira de uma face, diminumos

o nmero de faces do grafo em 1.

Exemplo 1.29 No grafo planar

1

2

3

e1 e2

@@@@

e3

@@

@@

e4

e5

e6

e7

e8

a aresta e6 uma aresta de corte da face 1. As arestas e2, e3 e e5 formam a fronteira da

face 2.

1.4.1 frmula de Euler

Em 1752, Euler estabeleceu o seguinte resultado fundamental na Teoria de Grafos.

Teorema 1.6 Para um grafo planar conexo com v vrtices, a arestas e f faces, tem-se

v a+ f = 2.

Demonstrao: (Por induo sobre o nmero de arestas)

1

o

passo. Se um grafo conexo tem 0 arestas, ento, tem 1 vrtice e 1 face. Logo,

v a+ f = 1 0 + 1 = 2.

2

o

passo. Seja n N0. Suponhamos que para qualquer grafo com n arestas, v vrticese f faces, se tem

v n+ f = 2.Seja G = (V,E) um grafo com n+ 1 arestas, v vrtices e f faces. Queremos provar que

v (n+ 1) + f = 2.

28


Temos dois casos a considerar:

1

o

caso: G tem um vrtice de grau 1. Seja v1 V esse vrtice. Ento existe umanica aresta incidente a v1. Seja {v1, v2} essa aresta. Ento, o grafo G = (V , E), ondeV = V \{v1} e E = E\{{v1, v2}}, um grafo conexo com menos um vrtice (tem v 1vrtices), menos uma aresta (tem n arestas) mas o mesmo nmero de faces (tem f faces)

que G. Aplicando a hiptese de induo a G obtemos

(v 1) n+ f = 2,

i.e.,

v (n+ 1) + f = 2.

2

o

caso: G no tem vrtices de grau 1. Ento, G no uma rvore e, portanto, tem

pelo menos um ciclo.

Consideremos o grafo G = (V , E), onde V = V e E = E\{{v1, v2}} e {v1, v2} uma aresta de um ciclo. Ento, G um grafo conexo com o mesmo nmero de vrtices(tem v vrtices), com menos uma aresta (tem n arestas) e menos uma face (tem f 1faces) que o grafo G. Aplicando a hiptese de induo, temos que

v n+ (f 1) = 2,

i.e.,

v (n+ 1) + f = 2.

1.4.2 a no planaridade de K5 e K3,3

Para provar que os grafos K5 e K3,3 no so planares, necessitamos de conceitos e lemas

que apresentamos de seguida.

Denio 1.28 Seja G = (V,E) um grafo planar. Diz-se que uma face incidente a uma

aresta se esta aresta "toca"essa face.


29


a b

cd1

2

3@@@@

a face 2 incidente aresta {a, b}, mas no incidente a {c, d}.

Lema 1.1 Seja G um grafo conexo, planar com a arestas e f faces (f 2). Ento, f 23a.

Demonstrao: Para cada face, contemos o nmero de arestas s quais essa face inci-

dente. Somemos todos esses nmeros. Seja S essa soma.

Por um lado, como para cada aresta existem, no mximo, duas faces s quais a aresta

incidente, temos que

S 2a.Por outro lado, como cada face incidente, no mnimo, a trs arestas, temos que

3f S.

Logo, 3f 2a, ou seja, f 23a.

Lema 1.2 Seja G um grafo planar conexo com pelo menos duas faces. Se G tem a arestas

e v vrtices, ento, 3v a 6.

Demonstrao: Pela frmula de Euler, temos que

v a+ f = 2.

Aplicando o lema anterior, temos que

v a+ 23a 2,

i.e.,

3v 3a+ 2a 6e, portanto,

3v a 6.

30


Teorema 1.7 O grafo K5 no planar.

Demonstrao: O grafo K5 tem 5 vrtices e 10 arestas. Se K5 fosse planar, uma sua

representao planar teria, pelo menos, duas faces (existem ciclos em K5). Aplicando o

lema anterior, concluiramos que

5 = 3 5 10 6,

o que um absurdo. O absurdo resulta de termos suposto que K5 planar. Logo, K5 no

planar.

O que acontece com K3,3? Ser K3,3 um grafo planar?

Sabemos que K3,3 tem 6 vrtices e 9 arestas, pelo que K3,3 satisfaz a desigualdade do

Lema 1.2 (3 6 9 = 9 6). Assim, nada podemos concluir sobre a planaridade de K3,3a partir deste resultado. Temos de procurar outro mtodo para vericar se K3,3 ou no

planar.

Percorrendo a demonstrao do Lema 1.1, tendo em conta que num grafo bipartido

completo cada ciclo tem, no mnimo, 4 arestas, podemos substituir a expresso 3f S por4f S, obtendo assim, o seguinte lema.

Lema 1.3 Seja G um grafo bipartido completo, planar com a arestas e f faces (f 2).Ento, f 12a.

Agora, percorrendo a demonstrao do Lema 1.2, usando o Lema 1.3 (e no o Lema

1.1), provamos que:

Lema 1.4 Seja G um grafo bipartido completo planar com pelo menos duas faces. Se G

tem a arestas e v vrtices, ento, 2v a 4.

Estamos agora em condies de provar que o grafo K3,3 no planar.

Teorema 1.8 O grafo K3,3 no planar.

31


Demonstrao: O grafo bipartido completo K3,3 tem 6 vrtices e 9 arestas. Se K3,3 fosse

planar, teria pelo menos duas faces (pois tem um ciclo de comprimento 4) e, pelo Lema 1.4,

teramos

3 = 2 6 9 4,o que um absurdo. O absurdo resulta de termos suposto que K3,3 planar. Assim, K3,3

no planar.

Observemos que os Teoremas 1.7 e 1.8 mostram que dois dos problemas apresentados

na seco 1.1 (o do rei com 5 lhos e o das 3 casas) no tm soluo. O Teorema 1.8

garante ainda que o Lema 1.2 no uma caracterizao dos grafos planares conexos, j que

o grafo K3,3 no satisfaz o seu recproco.

Tendo em conta que, obviamente, qualquer subgrafo de um grafo planar ainda um

grafo planar, terminamos esta seco com a caracterizao dos grafos completos e grafos

bipartidos completos planares, ambos consequncia das consideraes feitas anteriormente.

Teorema 1.9 Seja n N. O grafo completo Kn planar se e s se n < 5.

Teorema 1.10 Sejam m,n N. O grafo bipartido completo Km,n planar se e s sem < 3.

1.4.3 Teorema de Kuratowski

Acabmos de ver que grafos que tenham como subgrafo K5 ou K3,3 no so planares. No

entanto, existem grafos que no admitem aqueles dois grafos como subgrafos. Sero esses

grafos planares ou no? Para dar resposta a esta pergunta introduzimos o conceito de grafos

homeomorfos.

Denio 1.29 Sejam G = (V,E) um grafo e a, b V tal que {a, b} E. Diz-se queG = (V , E) um grafo obtido de G por adio de um vrtice de grau 2 se

V = V {x}

e

E = E\ {{a, b}}

{{a, x}, {x, b}} .

32



@@@@

@@

@@

um grafo obtido do grafo

JJJJJJ

@@@@

@@

@@

por adio de um vrtice de grau 2.

Existe tambm o processo recproco para obteno de um novo grafo.

Denio 1.30 Sejam G = (V,E) um grafo e a, b, x V tais que grau(x) = 2,{a, x}, {b, x} E mas {a, b} 6 E. Diz-se que G = (V , E) um grafo obtido de Gpor remoo de um vrtice de grau 2 se

V = V \{x}

e

E = E\ {{a, x}, {x, b}}

{{a, b}} .

As duas denies anteriores so fundamentais para a denio seguinte.

Denio 1.31 Dois grafos dizem-se homeomorfos se um deles puder ser obtido do outro

por adio ou remoo de vrtices de grau 2.

33



AAAA

e

so homeomorfos.


@@

e

no so homeomorfos.

claro que dois grafos homeomorfos ou so ambos planares ou so ambos no planares.

Assim, tendo em conta os Teoremas 1.7 e 1.8, vimos que a no existncia de subgrafos

homeomorfos a K5 ou a K3,3 condio necessria para um grafo ser planar. O Teorema

de Kuratowski estabelece que esta condio tambm suciente, caracterizando, deste

modo, os grafos planares.

Omitiremos a demonstrao da condio necessria por ela envolver conceitos topolgi-

cos.

Teorema 1.11 (de Kuratowski) Um grafo planar se e s se no contm um subgrafo

homeomorfo a K5 ou a K3,3.

Exemplo 1.34 Consideremos o grafo

,,,,

CCCCCCCCC

@@@

aaaaaaa

SSS

@@@

llll

,,

,,J

JJJ

.

34


O grafo

,,,,

@@@

aaaaaaa

SSS

@@@

llll

um subgrafo do primeiro, homeomorfo ao grafo

,,,,

@@@

aaaaaaa

SSS

@@@

PPPPPPPPP

que no mais que o grafo bipartido completo K3,3. Assim, conclumos que o primeiro

grafo do exemplo no planar.

1.4.4 grafos platnicos

Nesta seco estudaremos um caso particular de grafos planares - os grafos platnicos.

Este nome deve-se ao facto de estarem relacionados com os cinco poliedros platnicos (ou

regulares) celebrizados por Plato (428-347 a.C.) no dilogo Timaeus.

35


Denio 1.32 Um grafo platnico um grafo conexo, planar, no qual todos os vrtices

tm o mesmo grau e o nmero de arestas s quais cada face incidente constante.

Exemplo 1.35 O grafo trivial um grafo platnico.

Exemplo 1.36 O grafo K2 um grafo platnico.

Exemplo 1.37 O grafo ciclo Cn com n 3 (i.e., o grafo com n vrtices de grau 2 e narestas representado por uma linha poligonal com n lados) um grafo platnico.

O prximo resultado mostra-nos que, supondo que o grau de cada vrtice , no mnimo,

3, os nicos grafos platnicos que existem so os grafos resultantes de representaes, em

termos de grafos, dos 5 slidos platnicos.

Teorema 1.12 Seja G = (V,E) um grafo platnico onde grau(v) 3, para qualquerv V . Ento, G um dos seguintes grafos

36


.

Demonstrao: Sejam G = (V,E) um grafo planar com v vrtices, a arestas e f faces.

Sejam m,n N tais que m,n 3 so os nmeros de arestas incidentes a cada um dosvrtices e a cada uma das faces de G, respectivamente. Ento,

mv = nf = 2a

e

v a+ f = 2,ou seja,

v =2a

m, f =

2a

n

e

2a

m a+ 2a

n= 2.

Logo,

a

(1

m+

1

n 1

2

)= 1.

Como 1 > 0 e a > 0, conclumos que

1

m+

1

n>

1

2. ()

Vejamos agora quais os valores possveis para m e n:

m = 3 e n = 3. (Corresponde ao primeiro grafo da gura.) Neste caso temos1

3+

1

3=

2

3>

1

2.

m = 3 e n = 4. (Corresponde ao terceiro grafo da gura.) Neste caso temos1

3+

1

4=

7

12>

1

2.

37


m = 3 e n = 5. (Corresponde ao quarto grafo da gura.) Neste caso temos1

3+

1

5=

8

15>

1

2.

m = 3 e n 6. Aqui, temos1

3+

1

n 1

3+

1

6=

3

6=

1

2,

o que contradiz a desigualdade ().

m = 4 e n = 3. (Corresponde ao segundo grafo da gura.) Neste caso temos1

4+

1

3=

7

12>

1

2.


4+

1

n 1

4+

1

4=

1

2,

o que contradiz a desigualdade ().

m = 5 e n = 3. (Corresponde ao ltimo grafo da gura.) Neste caso temos1

5+

1

3=

8

15>

1

2.


5+

1

n 1

5+

1

4=

9

20 1 exprime-

-se como produto de um nmero nito de primos. Esta representao nica a menos da

ordem de factores.

Demonstrao: Seja n Z+.Existncia. Se n primo, temos que n se escreve como produto de um nico factor

primo.

Se n no primo, existe d Z tal que 1 < d < n e d | n. Seja p1 o menor inteiropositivo tal que p1 | n. Ento, p1 primo (de facto, se p1 no fosse primo, existiria p1 Ztal que 1 < p1 < p1 e p

1 | p1, e, portanto, 1 < p1 < n e p1 | n, o que contradiz o facto de

p1 ser o mais pequeno inteiro positivo nestas condies). Assim, existe n1 Z tal que

n = p1n1 em que p1 primo e 1 < n1 < n.

Retomemos o raciocnio efectuado para n, aplicando-o agora a n1. Conclumos que ou

n1 primo (e, portanto, n produto de dois nmeros primos) ou n1 no primo e existem

p2 primo e n2 Z+ tais que n = p1p2n2 e 1 < n2 < n1 < n.Repetindo sucessivamente o raciocnio, obtemos uma cadeia decrescente de inteiros

positivos

n > n1 > n2 > > 1que tem um nmero nito de elementos, o que signica que, ao m de um nmero nito

de passos obtemos um nmero primo e, portanto,

n = p1p2 pk.

Unicidade (a menos da ordem dos factores). Sejam r, s N e p1, p2, ..., pr, q1, q2, ...,qs nmeros primos tais que

n = p1p2 pr = q1q2 qs.

Suponhamos, ainda, sem perda de generalidade, que r s e que

p1 p2 pr e q1 q2 qs.

Como p1 | n,p1 | q1q2 qs

72

introduo teoria de nmeros

e, portanto, pelo Corolrio 2.9, existe k {1, 2, ..., s} tal que p1 = qk. Logo, q1 p1.Como q1 | n, de modo anlogo, conclumos que p1 q1. Logo, p1 = q1. Ento,

p1p2 pr = p1q2 qs,

pelo que

p2p3 pr = q2q3 qs.Repetindo o raciocnio sucessivamente (r1 vezes) e tendo em conta que r s, conclumosque se r < s,

1 = qr+1qr+2 qs > 1,um absurdo. Logo, r = s e as duas factorizaes so iguais.

Corolrio 2.10 Todo o nmero inteiro n > 1 pode escrever-se, de modo nico, como

n = pk11 pk22 pkrrem que, para i {1, 2, ..., r}, ki N e pi um nmero primo e

p1 < p2 < < pr.

Proposio 2.1 Se n = pa11 pa22 pakk a factorizao de n > 1 em nmeros primos, ento,o conjunto dos divisores positivos de n o conjunto de todos os nmeros da forma

pc11 pc22 pckk onde, para todo i {1, 2, ..., k}, 0 ci ai.


A proposio anterior permite estabelecer um mtodo para o clculo do mximo divisor

comum e do mnimo mltiplo comum de quaisquer inteiros maiores que 1. Este mtodo

assenta na decomposio de cada um dos inteiros no produto de nmeros primos.

Proposio 2.2 Sejam a =ki=1

paii e b =ki=1

pbii , onde, para todo i {1, 2, ..., k}, ai 0,bi 0 e pi primo.Para cada i {1, 2, ..., k}, sejam ci = min{ai, bi} e di = max{ai, bi}. Ento,

73


m.d.c.(a, b) =ki=1

pcii e m.m.c.(a, b) =ki=1

pdii .


Exemplo 2.6 Consideremos os nmeros 990 e 462. Para determinar o m.d.c.(990, 462) e o

m.m.c.(990, 462), comeamos por factorizar os nmeros dados em nmeros primos. Como

990 = 2 32 5 11

e

462 = 2 3 7 11,

conclumos que

m.d.c.(990, 462) = 2 3 50 70 11 = 66

e

m.m.c.(990, 462) = 2 32 5 7 11 = 6930.

Uma questo importante no estudo dos nmeros primos a de saber como reconhecer,

de um modo expedito, se um dado inteiro maior do que 1 um nmero primo. De seguida

apresentamos um propriedade que pode ajudar a determinar se um dado nmero ou no

um nmero primo.

Proposio 2.3 Todo o nmero composto a N tem um divisor primo p tal que p a.

Demonstrao: Seja a = a1a2 com a1, a2 N\{1}. Suponhamos que a1 a2. Ento,ter que ser a1

a. De facto,

a1 >a a = a1a2 a1a1 >

aa = a,

o que um absurdo.

Como a1 > 1, existe p primo tal que p a1 e p | a1. Logo, existe p primo tal quep a e p | a.

74


Exemplo 2.7 Consideremos o nmero 509. Como

222 = 484 509 529 = 232,

temos que

22 3. Seja a {1, 2, 3, ..., p 1}. Consideramos acongruncia linear

ax 1(mod p).

117


Como m.d.c.(a, p) = 1, existe uma e uma s soluo mdulo p desta congruncia linear.

Seja a essa soluo. Ento,

1 a p 1 e aa 1(mod p).

Se a = a temos

a2 1(mod p) p | a2 1

p | (a 1)(a+ 1)

p | a 1 ou p | a+ 1

= a = 1 ou a = p 1.

Se a 6= a, temos ento que

a {2, 3, 4, ..., p 3, p 2}.

Os p 3 elementos deste conjunto podem ser agrupados em pares (a, a) tais que a 6= a eaa 1(mod p). Obtemos p32 pares e, portanto, p32 expresses do tipo aa 1(mod p).Pelo Teorema 2.12(iv) obtemos

2 3 (p 3) (p 2) 1(mod p),

i.e.,

(p 2)! 1(mod p).

Logo,

(p 1)! = (p 1)(p 2)! p 1(mod p)

e, portanto,

(p 1)! 1(mod p).

Exemplo 2.31 Com este exemplo, ilustramos a demonstrao do Teorema de Wilson e

mostramos que o resto da diviso de 12! por 13 12. Seja p = 13. Da lista 2 3 4

118


5 6 7 8 9 10 11 podemos formar 5 pares de nmeros e com eles formar as 5congruncias

2 7 1(mod 13)

3 9 1(mod 13)

4 10 1(mod 13)

5 8 1(mod 13)

6 11 1(mod 13).Ento,

2 7 3 9 4 10 5 8 6 11 1(mod 13),i.e.,

11! 1(mod 13).Logo,

12! = 12 11! 12 1(mod 13),i.e.,

(13 1)! 1(mod 13).

O resultado seguinte o recproco do Teorema de Wilson, tambm provado por Lagrange.

Teorema 2.25 Se (n 1)! 1(modn), ento, n primo.

Demonstrao: Suponhamos que n no primo. Ento, existe um inteiro d tal que

1 < d n 1 e d | n. De 1 < d n 1 conclumos que d | (n 1)!. De d | n,como n | (n 1)! + 1 por hiptese, conclumos que d | (n 1)! + 1. Logo,

d | (n 1)! + 1 (n 1)!,

ou seja, d | 1, o que contradiz o facto de 1 < d. Logo, n primo.

Os Teoremas 2.24 e 2.25 permitem concluir que um nmero inteiro positivo n primo

se e s se (n 1)! 1(modn). Apesar de ser uma caracterizao dos nmeros primos,no de modo algum um modo ecaz de vericar se um nmero ou no primo.

119


O Teorema de Wilson garante ainda que existe uma innidade de nmeros compostos

do tipo n! + 1. Continua em aberto a questo de se saber se existe ou no uma innidade

de nmeros primos da mesma forma.

2.6.4 Exerccios

Exerccio 2.6.1. Recorrendo ao Pequeno Teorema de Fermat, mostre que:

(a) a21 a(mod 15), para todo o inteiro a;(b) a13 a(mod 273), para todo o inteiro a;(c) a12 1(mod 35), para todo o inteiro a tal que m.d.c.(a, 35) = 1.

Exerccio 2.6.2. Mostre que 60 divide a4 + 59 se m.d.c.(a, 30) = 1.

Exerccio 2.6.3. Se a Z tal que 7 - a, prove que a3 + 1 ou a3 1 divisvel por 7.

Exerccio 2.6.4. Seja p um nmero primo. Mostre que 2 (p 3)! 1(mod p).

Exerccio 2.6.5. Determine:

(a) o resto da diviso de 15! por 17;

(b) o resto da diviso de 2 26! por 29.

Exerccio 2.6.6. Verique que 4 29! + 5! divisvel por 31.

Exerccio 2.6.7. Considere a funo de Euler . Calcule (420), (1001) e (5040).

Exerccio 2.6.8. Verique que (n+ 2) = (n) + 2, para n = 12, 14, 20.

Exerccio 2.6.9. Verique o Teorema de Euler para n = 10 e a = 3.

Exerccio 2.6.10. Seja a Z tal que m.d.c.(a, 15) = 1. Mostre que a17 a(mod 15):

(a) recorrendo ao Pequeno Teorema de Fermat;

(b) recorrendo ao Teorema de Euler.

Exerccio 2.6.11. Quais os dois ltimos dgitos na representao decimal de 3256?

120


Exerccio 2.6.12. Mostre que se n um nmero inteiro mpar que no mltiplo de 5 ento

n divide um inteiro cujos dgitos so todos iguais a 1.

Exerccio 2.6.13. Por que que se tem (2n) = (n) para qualquer inteiro positivo mpar

n?

121

Bibliograa

[1] Bondy, J.A. & Murty, U.S.R., Graph Theory with applications, Elsevier, 5th Printing

(1982)

[2] Burton, D.M. Elementary Number Theory, Wm. C. Brown Publishers (1989)

[3] Jones, G.A. & Jones, J.M. Elementary Number Theory, Springer Undergraduate Math-

ematics Series, 8th printing, London (2005)

[4] Watkins, J.J. & Wilson, R.J. Graphs: an introductory approach: a rst course in discrete

mathematics, John Wiley and Sons (1990)

123

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