Se as premissas P1 e P2 de um...
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Se as premissas P1 e P2 de um argumento
forem dadas, respectivamente, por “Todos
os leões são pardos” e “Existem gatos que
são pardos”, e a sua conclusão P3 for dada
por “Existem gatos que são leões”, então
essa sequência de proposições constituirá
um argumento válido.
ERRADO
A partir das proposições “Se não tem
informações precisas ao tomar decisões,
então o policial toma decisões ruins” e “Se o
policial teve treinamento adequado e se
dedicou nos estudos, então o policial tem
informações precisas ao tomar decisões”, é
correto inferir que “O policial que tenha tido
treinamento adequado e tenha se dedicado
nos estudos não toma decisões ruins” é
uma proposição verdadeira.
P1 - “Se não tem informações precisas ao
tomar decisões, então o policial toma
decisões ruins”
P2 - “Se o policial teve treinamento
adequado e se dedicou nos estudos, então o
policial tem informações precisas ao tomar
decisões”
C - “O policial que tenha tido treinamento
adequado e tenha se dedicado nos estudos
não toma decisões ruins”
C - “O policial que tenha tido treinamento
adequado e tenha se dedicado nos estudos
não toma decisões ruins” é uma proposição
verdadeira.
ERRADO
Temos por quantificadores lógicos o
seguinte:
Universal – “todo” . Símbolo -
Restrito – “existe algum”, “existe pelo
menos um”, “algum”. Símbolo -
Sempre que temos questões com
quantificadores, devemos resolver
preferencialmente por diagramas lógicos.
QUANTIFICADORES LÓGICOS
Diagramas Lógicos (SILOGISMOS)
P1: Todo homem é mortal
P2: Sócrates é homem
C: Sócrates é mortal
1. Todo silogismo contém somente 3
termos: maior, médio e menor;
2. Os termos da conclusão não podem
ter extensão maior que os termos das
premissas;
P1: Todo homem é mortal
P2: Sócrates é homem
C: Sócrates é mortal
3. O termo médio não pode entrar na
conclusão;
4. O termo médio deve ser universal ao
menos uma vez;
P1: Todo homem é mortal
P2: Sócrates é homem
C: Sócrates é mortal
5. De duas premissas negativas, nada se
conclui;
6. De duas premissas afirmativas não
pode haver conclusão negativa;
P1: Todo homem é mortal
P2: Sócrates é homem
C: Sócrates é mortal
7. A conclusão segue sempre a premissa
mais fraca;
8. De duas premissas particulares, nada
se conclui.
CESPE. Considere as seguintes
proposições:
C Se 5 é par, então algum clube do Acre
disputa a série A do campeonato
brasileiro de futebol.
D Se 4 é primo, então Chico Mendes foi
um defensor da floresta amazônica.
Nesse caso, entre essas 4 proposições,
apenas uma é F.
CESPE. Considere as seguintes
proposições:
CESPE. É válido o seguinte argumento:
Todo cachorro é verde, e tudo que é
verde é vegetal, logo todo cachorro é
vegetal.
CESPE. Considere que sejam valoradas
como V as duas seguintes proposições:
"Todo candidato ao cargo de auditor tem
diploma de engenheiro"; e "Josué é
engenheiro". Nesse caso, como
consequência da valoração V dessas
proposições, é correto afirmar que também
será valorada como V a proposição "Josué é
candidato ao cargo de auditor".
QUESTÃO. Todos os diplomatas são
gordos. Nenhum gordo sabe nadar.
Segue-se que Nenhum diplomata sabe
nadar.
QUESTÃO. Se é verdade que "Alguns
escritores são poetas" e que "Nenhum
músico é poeta", então, também é
necessariamente verdade que algum
escritor não é músico.
CESPE. Considerando os argumentos I e
II acima, julgue os próximos itens.
O argumento I não é válido porque,
mesmo que as premissas P1 e P2 sejam
verdadeiras, isto não acarreta que
a conclusão seja verdadeira.
O argumento II é válido porque toda vez
que as premissas P1 e P2 forem
verdadeiras, então a conclusão também
será verdadeira.
CESPE. O argumento cujas premissas
são “Quem é casado não precisa cortar o
cabelo” e “Quem vai procurar uma
namorada precisa cortar o cabelo” e cuja
conclusão é “Quem é casado não vai
procurar uma namorada” é válido.
diagrama
QUANTIFICADORES - TÁBUA
Todo homem é mortal
Contrária: Nenhum homem é mortal
Subalterna: Algum homem é mortal
Contraditória: Algum homem não é mortal
NEGAÇÃO DE QUANTIFICADORES LÓGICOS
Silogismo(Contraditório)
Há uma regra muito simples.
Quando negamos o TODO, vamos para o
EXISTE ALGUM e vice-versa.
Existe policial que não é honesto
CESPE. Se A for a proposição "Todos os
policiais são honestos", então a
proposição ¬A estará enunciada
corretamente por "Nenhum policial é
honesto“.
Nenhum policial é honesto é
representado por
QUESTÃO. A negação da proposição “Há
alguma pessoa não benevolente” é
equivalente a “Nenhuma pessoa é
benevolente”.
CESPE. A negação da proposição “Toda
pessoa é violenta” é equivalente a “Existe
alguma pessoa que não é violenta”.
CESPE. A negação da proposição "Todos
os vereadores do partido D foram
reeleitos" é "Nenhum vereador do partido
D foi reeleito".
OPERAÇÃO CONJUNTOS
PRINCÍPIO DE CONTAGEM
Raciocínio Lógico matemático que trabalha
com quantidades, com possibilidades.
CESPE. Um banco oferece cartões de crédito
Visa e Mastercard, sendo oferecidas 5
modalidades diferentes de cartão de cada
uma dessas empresas. Desse modo, se um
cidadão desejar adquirir um cartão Visa e um
Mastercard, ele terá menos de 20 possíveis
escolhas distintas.
CESPE (Adaptada). Considere que o banco
oferece cartões de crédito Visa e
Mastercard, sendo oferecidas 5
modalidades diferentes de cartão de cada
uma dessas empresas. Desse modo, se um
cidadão desejar adquirir um cartão Visa ou
um Mastercard, de quantos modos distintos
poderá adquirir esse cartão?
QUESTÃO (Adaptada). Seu Ernesto e filhos
vendem planos de saúde por telefone. Esta
semana, eles decidiram ligar somente para
os telefones de sua cidade que começam por
“259”, e que não possuem algarismos
repetidos. Se, na cidade de Seu Ernesto, os
números telefônicos têm 8 dígitos, então o
número máximo de ligações será superior a
2x103.
2520
CESPE. Em um tribunal, os códigos que
identificam as varas podem ter 1, 2 ou 3
algarismos de 0 a 9. Nenhuma vara tem
código 0 e nenhuma vara tem código que
começa com 0. Nessa situação, a quanti-
dade possível de códigos de varas é
inferior a 1.100.
Usamos FATORIAL toda vez que
pensamos em troca.
5!= 5x4x3x2x1 = 120
4!= 4x3x2x1 = 24
3!= 3x2x1 = 6
2!= 2x1 = 2
1!= 1 (Por definição)
0!= 1 (Por convenção)
Anagramas ou anágramas são letras que
trocam de lugar, sem necessitar que haja
formação de palavra inteligível.
Tomando por base as letras da palavra
CERTO, responda os itens:
* Quantos anagramas podemos formar?
Palavra CERTO
* Quantos anagramas podemos formar,
começando por C?
* Quantos anagramas podemos formar,
começando por vogal e terminando por
consoante?
Quando há letras repetidas....
Exemplo:
Quantos anagramas podemos formar com as
letras da palavra ALA
Como pensar, para poder calcular?
São três letras que TROCAM de lugar, mas
“tanto faz” a TROCA de duas letras A
Quantos anagramas distintos podemos
formar com as letras da palavra ARARA?
Uma reunião possui 40 participantes. Ao
final todos se cumprimentam com um
aperto de mão. Quantos apertos de mão
foram dados no final dessa reunião?
CESPE. Em um tribunal, os julgamentos
dos processos são feitos em comissões
compostas por 3 desembargadores de
uma turma de 5 desembargadores. Nessa
situação, a quantidade de maneiras
diferentes de se constituírem essas
comissões é superior a 12.
Num grupo de 7 mulheres e 5 homens
deseja-se formar uma comissão
representativa com 3 mulheres e 2 homens.
Quantas comissões distintas podem ser
formadas?
Quantas comissões distintas de 4 pessoas
poderemos formar com, no mínimo, 3
mulheres?
7 mulheres e 5 homens
CESPE. Considere que 7 tarefas devam ser
distribuídas entre 3 funcionários de uma
repartição de modo que o funcionário mais
recentemente contratado receba 3 tarefas, e
os demais, 2 tarefas cada um. Nessa
situação, sabendo-se que a mesma tarefa
não será atribuída a mais de um
funcionário, é correto concluir que o chefe
da repartição dispõe de menos de 120
maneiras diferentes para distribuir essas
tarefas.
___ x ___ x ___ x ___ x ___ x ___ x ___
7 tarefas. O funcionário mais recentemente
contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2
tarefas cada um. Menos de 120 maneiras
diferentes para distribuir essas tarefas.
7 6 5 4 3 2 1
3! 2! 2!
7 x 5 x 3 x 2 = 210 maneiras
CESPE. O número de países representados
nos Jogos Pan-Americanos realizados no
Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da
América Central, 3 da América do Norte, 12
da América do Sul e 19 do Caribe. Com
base nessas informações, julgue os itens
que se seguem.
Países: 42 ACentral: 8 ANorte: 3
ASul: 12 Caribe: 19
* Considerando-se apenas os países da
América do Norte e da América Central
participantes dos Jogos Pan-Americanos, a
quantidade de comitês de 5 países que
poderiam ser constituídos contendo pelo
menos 3 países da América Central é
inferior a 180.
ACentral: 8 ANorte: 3
ACentral: 8 ANorte: 3
* Comitês de 5 países com pelo menos 3
países da América Central é inferior a 180.
___ x ___ x ___ x ___ x ___
___ x ___ x ___ x ___ x ___
___ x ___ x ___ x ___ x ___
8 7 6 3 2
3! 2!
8 7 6 5 3
4!
8 7 6 5 4
5!
= 168
= 210
= 56
Total = 434
ASul: 12
* Considerando-se que, em determinada
modalidade esportiva, havia exatamente 1
atleta de cada país da América do Sul
participante dos Jogos Pan-Americanos,
então o número de possibilidades distintas
de dois atletas desse continente
competirem entre si é igual a 66.
___ x ___ 12 11
2! = 66
Como identificar ARRANJO, COMBINAÇÃO
e PERMUTAÇÃO.
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Teoria
CESPE. Uma mesa circular tem seus 6
lugares que serão ocupados pelos 6
participantes de uma reunião. Nessa
situação, o número de formas diferentes
para se ocupar esses lugares com os
participantes da reunião é superior a 102.
COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO
Teoria