Sapatas-UnespFeb

8/3/2019 Sapatas-UnespFeb

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAUNESP - Campus de Bauru/SP

FACULDADE DE ENGENHARIADepartamento de Engenharia Civil

Disciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III

NOTAS DE AULA

SAPATAS DE FUNDAÇÃO

Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS(wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

Bauru/SP

Setembro/2011



APRESENTAÇÃO

Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina

2133 – Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da

Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru.

O texto apresenta o dimensionamento das sapatas de fundação, conforme os

procedimentos contidos na NBR 6118/2003 - “Projeto de estruturas de concreto –

Procedimento”.

Agradecimentos ao técnico Tiago Duarte de Mattos, pela confecção dos desenhos, e ao

aluno Lucas F. Sciacca, pelo auxílio na digitação do texto.

Esta é a primeira versão da apostila, e quaisquer críticas e sugestões serão muito bem-

vindas.



SUMÁRIO

1. DEFINIÇÕES...........................................................................................................................1

1.1 SAPATA DE FUNDAÇÃO...............................................................................................11.2 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL............................................................................................11.3 TIPOS DE SAPATAS........................................................................................................11.4 DETALHES CONSTRUTIVOS........................................................................................3

2. CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ..........................................................................4

3. COMPORTAMENTO ESTRUTURAL ................................................................................5

3.1 SAPATAS RÍGIDAS .........................................................................................................5

3.2 SAPATAS FLEXÍVEIS .....................................................................................................64. DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO.........................................................................7

5. ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA

CENTRADA ....................................................................................................................................7

5.1 SAPATA COM BALANÇOS (ABAS) IGUAIS NAS DUAS DIREÇÕES......................75.2 BALANÇOS NÃO IGUAIS NAS DUAS DIREÇÕES (CA ≠ CB)....................................8

6. CRITÉRIOS DE PROJETO SEGUNDO O CEB-70 ...........................................................9

7. DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA INFERIOR (CEB-70)..................................10

8. MOMENTOS FLETORES EM SAPATAS ISOLADAS COM CARGA CENTRADA –SEGUNDO CEB-70.......................................................................................................................10

9. ANCORAGEM DA ARMADURA DE FLEXÃO (CEB-70) .............................................14

10. FORÇA CORTANTE DE REFERÊNCIA EM SAPATAS ISOLADAS COM CARGA

CENTRADA – SEGUNDO CEB-70 ............................................................................................15

11. FORÇA CORTANTE LIMITE (CEB-70)...........................................................................17

12. VERIFICAÇÃO DA SAPATA À PUNÇÃO .......................................................................17

12.1 TENSÃO DE CISALHAMENTO SOLICITANTE.....................................................1812.1.1 Pilar Interno com Carregamento Simétrico...............................................................1812.1.2 Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado............................................................19

12.2 VERIFICAÇÃO DE TENSÃO RESISTENTE DE COMPRESSÃO DIAGONAL DOCONCRETO NA SUPERFÍCIE CRÍTICA C.............................................................................2012.3 TENSÃO RESISTENTE NA SUPERFÍCIE CRÍTICA C’ EM ELEMENTOSESTRUTURAIS OU TRECHOS SEM ARMADURA DE PUNÇÃO.......................................21

13. DETERMINAÇÃO DA ALTURA DA SAPATA ...............................................................22

14. EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA ...................................................................23

15. EXERCÍCIOS PROPOSTOS...............................................................................................30

16. SAPATAS RÍGIDAS – MÉTODO DAS BIELAS ..............................................................30

17. EXEMPLO 2 - SAPATA ISOLADA RÍGIDA....................................................................34

18. SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS....................................................35



18.1 EXCENTRICIDADE EM UMA DIREÇÃO................................................................3518.2 EXCENTRICIDADE NAS DUAS DIREÇÕES ..........................................................37

19. EXEMPLO 3 ..........................................................................................................................41

20. EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA.....................................50

21. SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA.........................................55

22. VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO bW ≥≥≥≥ 5d

58

23. EXEMPLO 5 ..........................................................................................................................58

24. SAPATA CORRIDA .............................................................................................................64

24.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME .......................................6624.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME...................6724.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA ...........................................................6824.4 TAREFA.......................................................................................................................71

24.5 EXERCÍCIO PROPOSTO............................................................................................7124.6 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL......................................................7124.7 EXERCÍCIO PROPOSTO............................................................................................74

25. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS...................................................75

26. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO EM

SAPATAS.......................................................................................................................................76

27. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO .....................................................77

27.1 ROTEIRO DE CÁLCULO...........................................................................................7927.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO .....................................79

27.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO ......................................8227.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA ..................................................8227.5 EXEMPLO 8.................................................................................................................8427.6 TAREFA.......................................................................................................................9127.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA.......................................................91

27.7.1 Exercício Proposto ....................................................................................................9228. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA ................................................................................93

29. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)....................................................96

29.1 SAPATA RETANGULAR...........................................................................................9629.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO..............................................................99

29.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL...................................................................10129.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ.................................................102

29.4.1 Viga de Rigidez (VR)..............................................................................................10329.4.2 Sapata ......................................................................................................................103

29.5 EXEMPLO 9...............................................................................................................10330. QUESTIONÁRIO................................................................................................................112

31. RERERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................................113



UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 1

1. DEFINIÇÕES

As definições apresentadas a seguir tomam como base a norma NBR 6122/96.

1.1 SAPATA DE FUNDAÇÃO

Sapata de fundação é um “Elemento de fundação superficial de concreto armado,dimensionado de modo que as tensões nele produzidas não sejam resistidas pelo concreto, massim pelo emprego da armadura. Pode possuir espessura constante ou variável, sendo sua baseem planta normalmente quadrada, retangular ou trapezoidal.”

1.2 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL

Também chamada fundação rasa ou direta. É definida como: “Elemento de fundação emque a carga é transmitida ao terreno, predominantemente pelas pressões distribuídas sob a baseda fundação e em que a profundidade de assentamento em relação ao terreno adjacente é inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação. Incluem-se nesse tipo de fundação as

sapatas, os blocos, os radiers, as sapatas associadas, as vigas de fundação e as sapatascorridas.”

Quanto ao dimensionamento, “ As fundações superficiais devem ser definidas por meio dedimensionamento geométrico e de calculo estrutural” (NBR 6122/96, item 6.3).

1.3 TIPOS DE SAPATAS

Sapata Isolada: transmite ações de um único pilar, que pode estar centrado ou excêntrico;pode ser retangular, quadrada, circular, etc., (Figura 1).

h=cte h = var

Figura 1 – Sapata isolada.

Sapata corrida: “Sapata sujeita à ação de uma carga distribuída linearmente.”

Sapata corrida para pilares: para pilares alinhados e próximos, também chamada “vigade fundação”.

Sapata corrida para paredes: para carregamentos contínuos, geralmente uniformes(Figura 2).




parede

sapata OU

Figura 2 – Sapata corrida para apoio de parede.

Sapata associada: também chamada sapata combinada ou conjunta (Figura 3):transmitem ações de dois ou mais pilares; utilizada como alternativa quando a distância entreduas ou mais sapatas é pequena. Conforme a NBR 6122, quando os centros dos pilares não sãoalinhados, a sapata é chamada associada. Quando os centros são alinhados é chamada “viga defundação”.

PLANTA

VR

A

A

P1 P2

ELEVAÇÃO CORTE AA

Viga derigidez

Figura 3 – Sapata associada (viga de fundação).

Sapata com viga de equilíbrio: para pilar na divisa onde o momento fletor resultante daexcentricidade da ação com a reação deve ser resistido por uma “viga de equilíbrio” - VE,também chamada “viga alavanca” - VA, Figura 4.




sapata 2

VA

Viga alavanca (VA)

sapata 1

Figura 4 – Sapata com viga de equilíbrio.

1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS

“ A base de uma fundação deve ser assente a uma profundidade tal que garanta que osolo de apoio não seja influenciado pelos agentes atmosféricos e fluxos d’água. Nas divisas comterrenos vizinhos, salvo quando a fundação for assente sobre rocha, tal profundidade não deve

ser inferior a 1,5 m” (NBR 6122/96, item 6.4.2). A Figura 5 mostra alguns detalhes construtivossugeridos para as sapatas.

≥cm20

3 / hh 0

> 3 1

Lastro de concreto simples( ≥ 5cm, fck ≥ )σsolo, rocha

h

h 0

3 a 10 cm

α

Figura 5 – Sugestão para alguns detalhes construtivos da sapata.

α ≤ 30° (ângulo do talude natural do concreto fresco – não é obrigatório).

A configuração das vigas baldrames (VB) em relação à sapata pode variar, conformealguns casos indicados na Figura 6.




VB

VB

Vigabaldrame(VB)

Figura 6 – Posicionamento da viga baldrame em relação à sapata.

- no caso de sapata isolada: o centro de gravidade da sapata deve coincidir com ocentro de aplicação da ação do pilar; a menor dimensão deve ser ≥ 60 cm (NBR6122/96, 6.4.1); a relação entre os lados deve ser A/B ≤ 2,5. Regularmente, os ladosA e B devem ser escolhidos de modo que cA ≈ cB , mostrados na Figura 7.

Se cA = cB :

A – ap = B – bp

A – B = ap – bp ⇒ Asx ≈ Asy (ou AsA ≈ AsB)

B

A

b p

ap

C B

CACA

C B

Figura 7 – Notação para a sapata isolada.

2. CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ

Conforme a NBR 6118/03 (item 22.4.1), a classificação das sapatas quanto à rigidez é:




Sapata rígida:3

)a-(Ah p

≥

Sapata flexível:3

)a-(Ah p<

h

A

ap Pilar

Figura 8 – Altura h da sapata.

com: h = altura da sapata (Figura 8);A = dimensão (lado) da sapata numa determinada direção;

ap = dimensão do pilar na direção do lado A.

Nota: a classificação acima deve ser verificada segundo as duas direções da sapata, ou seja,segundo as direções dos lados A e B de sapatas retangulares.

Pelo CEB-70, a sapata é rígida quando:

0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 (26,6º ≤ β ≤ 56,3º)

tg β = h / c

h

ap Pilar

β

CBalanço

Figura 9 – Ângulo β e balanço c.

A sapata será considerada flexível se:

tg β < 0,5

tg β > 1,5 ⇒ bloco de fundação - dispensa-se a armadura de flexão porque o concretoresiste a σt .

3. COMPORTAMENTO ESTRUTURAL(NBR 6118/03, 22.4.2)

3.1 SAPATAS RÍGIDAS

São aquelas com alturas “grandes”.

a) há flexão nas duas direções (A e B), com a tração na flexão sendo uniformemente distribuídana largura da sapata. As armaduras de flexão AsA e AsB são distribuídas uniformemente naslarguras A e B da sapata (Figura 10).




Sapatarígida

As B

As AA

Figura 10 – Armadura positiva de flexão de sapata isolada.

b) há atuação de força cortante nas duas direções (A e B), não apresentando ruptura por traçãodiagonal, e sim por compressão diagonal, a ser verificada conforme o item 19.5.3.1 (Figura 11).Não há possibilidade de punção, porque a sapata fica inteiramente dentro do cone de punção.

De acordo com o CEB–70, as forças cortantes devem ser verificadas numa seção de

referência S2, conforme será estudado adiante.

Seção a ter compressãoverificada (item 19.5.3.1da NBR6118)

σI

σII

Figura 11 – Tensões principais na sapata isolada.

3.2 SAPATAS FLEXÍVEIS

São aquelas com alturas “pequenas”. “Embora de uso mais raro, as sapatas flexíveis sãoutilizadas para fundação de cargas pequenas e solos relativamente fracos.” (NBR 6118/03) .

As sapatas rígidas têm a preferência no projeto de fundações.a) há flexão nas duas direções, mas a tração na flexão não é uniforme na largura (Figura 12);b) há a necessidade da verificação à punção.

N

p

M(variável)

Figura 12 – Momento fletor na sapata flexível.




4. DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO

As principais variáveis que afetam a distribuição de tensões são: características dascargas aplicadas, rigidez relativa fundação-solo, propriedades do solo e intensidade das cargas.(ver Velloso e Lopes – Fundações, v.1, ed. Oficina de Textos).

A distribuição real não é uniforme, mas por simplicidade, na maioria dos casos, admite-se

a distribuição uniforme, o que geralmente resulta esforços solicitantes maiores (Figura 13). ANBR 6122 (6.3.2) admite a distribuição uniforme, exceto no caso de fundações apoiadas sobrerocha.

Rígida

distribuiçaoadmitida

distribuiçãoreal

Areia

Flexível

Areia

Figura 13 – Distribuição de tensões no solo.

A NBR 6118/03 (item 22.4.1) declara: “Para sapata rígida pode-se admitir plana adistribuição de tensões normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha de informaçõesmais detalhadas a respeito.”

5. ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGACENTRADA

Área de apoio da sapata:solo

sapN05,1

Sσ

= ousolo

sapN1,1

Sσ

=

Os fatores 1,05 e 1,1 servem para estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre asapata.

5.1 SAPATA COM BALANÇOS (ABAS) IGUAIS NAS DUAS DIREÇÕES

Conforme as dimensões mostradas na Figura 14, tem-se:

A = 2cA + ap

B = 2cB + bp

Com cA = cB , fica:

A – B = ap – bp

BSABAS sap

sap =→⋅=




ppsap baBB

S−=−

Multiplicando por B:

( )BbaBSpp

2

sap−=−

( ) ( ) sap2

pppp Sab4

1ab

2

1B +−+−=

A e B devem ser múltiplos de 5 cm. É indicado que a dimensão seja no mínimo 80 cm nocaso de sapata de edifícios, e 60 cm para sapatas de residências térreas e de dois pavimentos(sobrado).

B

A

b p

ap

C B

CA

C B

CA

Figura 14 – Sapata isolada com balanços iguais nas duas direções.

5.2 BALANÇOS NÃO IGUAIS NAS DUAS DIREÇÕES (CA ≠≠≠≠ CB)

Neste caso recomenda-se obedecer a seguinte relação:

0,3

B

A≤

Sendo R a relação entre as dimensões (Figura 15), tem-se:

RBARBA

⋅=→=

Ssap = A . B ⇒ Ssap = R . B2

R

SB sap

=

com A e B múltiplos de 5 cm.




B

A

b p

ap

C B

CA CA

C B

Figura 15 – Sapata isolada com balanços não iguais nas duas direções.

6. CRITÉRIOS DE PROJETO SEGUNDO O CEB-70

O método pode ser aplicado a sapatas com:

c ≤ 2h e2h

c ≥

h2c2

h≤≤

Se2h

c ≤ → bloco de fundação.

h

CC

Figura 16 – Balanço c na sapata isolada.

Admite-se que o solo tem comportamento elástico, e daí que as reações do solo sobre a

superfície de apoio da sapata seguem uma linha plana (Figura 17).

N

M("pequeno")

(LN fora daseção)

Superfícieplana

N

M("grande")

x

Distribuição admitida paraquando existirem tensões detração na base da sapata

Figura 17 – Reação do solo na base da sapata.




7. DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA INFERIOR (CEB-70)

Os momentos fletores são calculados, para cada direção, em relação a uma seção dereferência (S1A e S1B), que dista 0,15 vezes a dimensão do pilar normal à seção de referência, e seencontra internamente ao pilar (Figura 18).

ap

0,15ap

CA

d 1

S1AA

Figura 18 – Seção de referência S1 .

d1 = d ≤ 1,5cA

O momento fletor é calculado levando-se em conta o diagrama de tensões no solo, entre aseção S1 e a extremidade da sapata, como indicado na Figura 19.

S1

σ1

σ2

Figura 19 – Diagrama para cálculo do momento fletor na seção de referência S1 .

No cálculo da armadura de flexão que atravessa a seção S1 consideram-se ascaracterísticas geométricas da seção de referência S1.

O menor momento fletor deve ser pelo menos 1/5 do maior momento fletor, isto é, arelação entre as armaduras de flexão ortogonais deve ser ≥ 1/5.

8. MOMENTOS FLETORES EM SAPATAS ISOLADAS COM CARGACENTRADA – SEGUNDO CEB-70

Os momentos fletores são calculados nas seções de referência S1 , conforme indicados na

Figura 20.

2

aAc p

A

−= =

2

bBc p

B

−=




p

0 , 1 5

ap

0,15ap

b p

S1A

S1B

C B

x B

B

CA xA

A

b p

N

S1A

Figura 20 – Notações e seção de referência S1 .

Pressão da sapata no solo:

B.A N05,1P = ou B.A N1,1P =

As distâncias xA e xB são:

xA = cA + 0,15ap

xB = cB + 0,15bp

Áreas de referência nas duas direções (Figura 21):

B

A

x B

xA

A1A

A1B

Figura 21 – Áreas de referência.




A1A = xA B

A1B = xB A

Resultantes da pressão (tensão) no solo (Figura 22):

R1A = p . xA . B

R1B = p . xB . A

xA

S1AR1A

p

Figura 22 – Resultante da pressão no solo.

Momento fletor em cada direção:

2

xRM A

A1A1 = ⇒ 2

xB.pM

2A

A1 =

2

xRM B

B1B1 = ⇒ 2

xA.pM

2B

B1 =

No cálculo da armadura de flexão, embora a seção comprimida A’c seja um trapézio, o

cálculo pode ser feito simplificadamente considerando-se a seção retangular (Figura 23). Seconsiderar-se o trapézio deve-se fazer σcd = 0,8 f cd .

As

A'c

LN

Figura 23 – Área de concreto comprimida pela flexão (A’c).




Como na flexão simples, com auxílio dos coeficientes K tabelados:

d

21w

c M

dbK = ⇒ βx (domínio ?) e Ks

com bw

= A ou B.

1

dss d

MKA = ≥ As,mín

Simplificadamente também pode-se fazer:

yd1

ds f .d85,0

MA = ≥ As,mín

Nas sapatas de base quadrada, a armadura de flexão pode ser uniformemente distribuídana largura da sapata.A armadura deve se estender de face à face e terminar com gancho nas duas

extremidades.Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado menor (B) deve-se obedecer:

a) quando B ≥ ap + 2h (Figura 24):

A armadura é calculada como sendo:BA

B2As

+

B Armadura

B

A

ap

b p

Figura 24 – Distribuição de As quando B ≥ a p + 2h.

b) no caso de B < ap + 2h (Figura 25):

A armadura é calculada como sendo: h2aA

h2a2

A p

p

s ++

+




Armadura

B

A

ap

b p

+ 2hap

Figura 25 – Distribuição de As quando B < a p + 2h.

9. ANCORAGEM DA ARMADURA DE FLEXÃO (CEB-70)1ºcaso: se a aba de comprimento c superar a altura h, a armadura deve ser ancorada a partir daseção distante h da face do pilar, e deve se estender até as bordas da sapata (Figura 26). lb é ocomprimento de ancoragem básico, considerado sem gancho.

C > h

h

h

lb

Figura 26 – Ancoragem da armadura quando c > h.

2ºcaso: se o comprimento c da aba for inferior a h, a armadura deve ser totalmente ancorada navizinhança imediata da borda da sapata, sendo o comprimento de ancoragem medido a partir daextremidade retilínea da barra (Figura 27).

C < h

hlb

Figura 27 – Ancoragem da armadura quando c < h.




10. FORÇA CORTANTE DE REFERÊNCIA EM SAPATAS ISOLADAS COMCARGA CENTRADA – SEGUNDO CEB-70

No dimensionamento, a força cortante a ser considerada é calculada numa seção dereferencia S2 , em cada direção da sapata, perpendicular à base de apoio da sapata e distante d/2da face do pilar em cada direção, como indicado na Figura 28.

ap

B

C2A

b p

N

d2

C2A

A

d h

C 2 B

d 2

4 5 °

S2B

S2A

A

h 0

p

d 2 A

Figura 28 – Seções de referência S2A e S2B relativas as duas direções da sapata.

com:

A2p

0A2 c5,1

aA

hh1dd <

−

−−=

B2p

0B2 c5,1

bB

hh1dd <

−

−−=

No caso de sapata alongada (c > 1,5B) a seção S2 é considerada na face do pilar (Figura29).




C

B

S na face do pilar2A

Figura 29 – Seção de referência S2 em sapata alongada (c > 1,5B).

A largura b2A da seção de referência S2A é tomada conforme indicado na Figura 30.

ap

S2A

C2A

N

d2

d

A

d 2 A

1 , 5 C 2 A

≤

b p

4 5 °

+ d

b 2 A

b p

B

Figura 30 – Dimensão b2A da seção de referência S2A .

Com relação às dimensões A e B da sapata:

b2A = bp + d

b2B = ap + d




11. FORÇA CORTANTE LIMITE (CEB-70)

Na seção de referência S2, a força cortante de cálculo não deve ultrapassar os valoresseguintes:

ck22Clim,df db

5,1V

⋅ρ⋅γ =, para f

ckem kN/cm2;

ck22C

,limd f db474,0

V ⋅ρ⋅γ

= , para f ck em MPa.

com: Vd,lim em kN;γ c = coeficiente de segurança do concreto;b2 e d2 em cm;ρ = taxa de armadura longitudinal da seção de referência S2 :

01,0db

A

22

S ≤⋅

=ρ (não se dispõe de resultados de ensaios com ρ > 1 %);

As = área da armadura longitudinal disposta na largura b2 da seção S2 .

Vd,lim pode ser aumentada com o acréscimo de armadura transversal.

Se Vd ≤ Vd,lim não é necessário colocar armadura transversal. Se essa condição nãoocorrer, deve-se aumentar a altura da sapata, de modo a evitar a armadura transversal.

NOTA: se a força cortante atuante for maior que a força cortante limite, uma possibilidade pararesolver o problema é adotar uma nova altura útil para a sapata, tal que:

lim,d

dnovo V

Vdd =

12. VERIFICAÇÃO DA SAPATA À PUNÇÃO

A verificação da sapata se faz conforme o item 19.5 da NBR 6118/03:“Dimensionamento de lajes à punção”.

A superfície de ruptura está indicada na Figura 31.

superfície de ruptura deuma laje por efeito depunção

α = 25º a 30º

d

As

x

pilar

-

laje

Figura 31 – Superfície de ruptura de uma laje por efeito de punção.




x

dtg =α , fazendo α = 27°

51,0

dx

x

dº27tg =→=

x ≅ 2d

“O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou maissuperfícies críticas definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica(contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão decompressão diagonal do concreto, através da tensão de cisalhamento.” A Figura 32 ilustra assuperfícies críticas C e C’.

C

C'

C

C'

C

C

C'

C'

2d 2d 2d

B o r d a l i v r e

B . l i v r e

2 d

B. livre

Figura 32 – Superfícies críticas C e C’.

“ Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou da cargaconcentrada, deve ser verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência àtração diagonal. Essa verificação também se faz através de uma seção de cisalhamento, noentorno C’. Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. Aterceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for necessáriocolocar armadura transversal.”

No estudo aqui apresentado da punção aplicado às sapatas, serão apresentados somente ositens relacionados à dispensa da armadura transversal.A verificação é feita comparando a tensão de cisalhamento solicitante (τsd) nas superfícies

críticas, com a tensão de cisalhamento resistente (τRd2), dada pela NBR 6118/03 para cadasuperfície crítica. Dispensa-se a armadura transversal para a punção quando τSd ≤ τRd2 .

12.1 TENSÃO DE CISALHAMENTO SOLICITANTE

12.1.1 Pilar Interno com Carregamento Simétrico

A tensão de cisalhamento solicitante é:

du

FSdSd

⋅=τ




onde:

2

ddd yx +

= = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’;

dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais;u = perímetro do contorno crítico C’;u . d = área da superfície crítica;

FSd = força ou reação concentrada, de cálculo.

No caso da superfície crítica C, u deve ser trocado por µ 0 (perímetro do contorno C). Aforça de punção FSd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentrodo contorno considerado na verificação, C ou C’ (isso será mostrado no Exemplo 5).

12.1.2 Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado

Neste caso, o efeito da assimetria deve ser considerado, e a tensão de cisalhamentosolicitante é:

dW

MK

du

F

p

SdSdSd

⋅

⋅+

⋅=τ

sendo:K = coeficiente que representa a parcela do momento fletor MSd que é transmitida ao pilar

por cisalhamento, dependente da relação C1 /C2 (ver Tabela 1);C1 = dimensão do pilar paralela à excentricidade da força, indicado na Figura 33;C2 = dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força.

Tabela 1 - Valores de K em função de C 1 e C 2 .C1 /C2 0,5 1,0 2,0 3,0

K 0,45 0,60 0,70 0,80

- é permitida interpolação para valores intermediários da Tabela 1;- quando C1 /C2 > 3,0 considera-se K = 0,8.

Wp = módulo de resistência plástica do contorno C’. Pode ser calculado desprezando acurvatura dos cantos do perímetro crítico por:

∫

µ

⋅= 0p deW dl = comprimento infinitesimal no perímetro crítico µ;e = distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento

fletor MSd .

12

221

21

p Cd2d16dC4CC2

CW π++++= (pilar retangular)

22p d16dr16r4W ++= (pilar circular; r = raio)

ou( )2

p d4DW += (D = diâmetro)

Nota: para pilares de borda e de canto, ver a NBR 6118/03 (item 19.5).




C'

e

e1

2dc1

c 2

dl

Msd

Fsd

≡

Msd

Fsd

e1

Fsd

Figura 33 – Sapata submetida à força normal e momento fletor.

12.2 VERIFICAÇÃO DE TENSÃO RESISTENTE DE COMPRESSÃO DIAGONAL DOCONCRETO NA SUPERFÍCIE CRÍTICA C

(NBR 6118, 19.5.3.1)

“Esta verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à punção, com ousem armadura”.

τSd ≤ τRd2

τRd2

= 0,27αv

f cd

onde

−=α

250

f 1 ck

v , com f ck em MPa.

A superfície crítica C, corresponde ao contorno do pilar ou da carga concentrada, deveser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, por meio da tensão decisalhamento (Figura 34).

A tensão de cisalhamento solicitante (τSd) é:

du

F

o

SdSd =τ

com: FSd = força solicitante de cálculo;uo = perímetro de contorno crítico C;uo = 2 (ap + bp)uo d = área da superfície crítica C;d = altura útil ao longo do contorno crítico C.




C

d

Fsd

τsd

ap

b p

Figura 34 – Tensão de cisalhamento na sapata.

12.3 TENSÃO RESISTENTE NA SUPERFÍCIE CRÍTICA C’ EM ELEMENTOSESTRUTURAIS OU TRECHOS SEM ARMADURA DE PUNÇÃO

(NBR 6118, 19.5.3.2)

A tensão de cisalhamento resistente na superfície crítica C’deve ser calculada por:

( )3

1

ck1Rd f 100

d

20113,0 ⋅ρ

+=τ

onde:

yx . ρρ=ρ ;

2

ddd yx +

= = altura útil em C’(cm);

ρ = taxa geométrica de armadura de flexão aderente;ρx e ρy = taxas de armadura nas duas direções ortogonais;f ck em MPa.

No caso de sapatas de fundação, a tensão de cisalhamento resistente é:

2cd3

ck1Rd f 5,0*a

d2f 100

d

20113,0 ≤ρ

+=τ

f cd2 = resistência de cálculo do concreto à compressão para regiões não fissuradas.

a* ≤ 2d

)MPa(f 250

f

16,0f cdck

2cd

−=

u* = 2ap + 2bp + 2πa*




Superfície C'(perímetro = u*)

d

ap

a *

A

Figura 35 – Distância a*.

Para pilares com momento fletor solicitante, τSd , é:

+=τ

Sdp

SdSdSd FW

*uMK1

d*uF

13. DETERMINAÇÃO DA ALTURA DA SAPATA

Alguns dos critérios envolvidos são:a) rigidez da sapata;b) verificação da força cortante de modo a dispensar a armadura transversal;c) verificação da punção de modo a dispensar a armadura correspondente;d) ancoragem da armadura do pilar.

Critério de rigidez:

c

htg

5,1tg5,0

=β

≤β≤

h β

C

Figura 36 – Dimensão c e ângulo β .

Para sapata com balanços iguais: cA = cB = c :

h = 0,6c




Para sapata com balanços não iguais: cA ≠ cB :

B

A

c6,0h

c6,0h

≥

≥

Altura útil:

d = h – 5 cm (ver cobrimento)

14. EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA(Exemplo extraído do curso de Lauro Modesto dos Santos - “Edifícios de Concreto Armado”, 1988,p.11-31 – Escola Politécnica da USP)

Dimensionar uma sapata direta de fundação para um pilar com seção 20x75cm, sendo a

taxa admissível do solo de 2,5 kgf/cm2

(0,25 MPa). Outros dados:

Nk = 1.303 kN ; Mx = My = 0 ; concreto C25;γ c = 1,4 ; CA-50; φ

l,pilar = 20 mm (p. interno).

Resolução:

Dimensões da sapata (Figura 37):

7332,5cm332.57025,0

13031,1N1,1S 2

solo

ksap ==

⋅=

σ

= m2

Fazendo cA = cB = c :

sap2

pppp S)ab(4

1)ab(

2

1B +−+−=

5,21357332)7520(4

1)7520(

2

1B 2 =+−+−= cm

B = 215 cm ; A = 270 cm ; Ssap = 58.050 cm2

5,972

75270

2

aAccc p

BA =−

=−

=== cm

Altura da sapata (fazendo como sapata rígida):

NBR 6118 → 653

75270

3

aAh p

≥−

≥

−≥ cm

Pelo CEB-70: 5,1tg5,0 ≤β≤ ;5,97

hch

tg ==β




3,146h8,485,15,97

h5,0 ≤≤→≤≤ cm

Adotando h = 90 cm (sapata rígida) pilar,lbφ≥ l

20pilar, =φl

mm → lb cm

75

2 0 B

2 1 5 c m

A270cm

p

97,5

97,5

9 7 , 5

9 7 , 5

b p

ap

h =

9 0

d =

8 5

0,15 = 11,25ap

C B

C B

CACA

108,75

xA

≥ 3

0

Figura 37 – Medidas da sapata e seção de referência S1 .

Pressão no solo:

0247,0p215270

13031,1BA

N1,1p k =→⋅

⋅=⋅

= kN/cm2

d = h – 5 cm

d = 85 cm

Cálculo dos esforços solicitantes (M e V) conforme o CEB-70.

Verificação: 902c

2

90h2c

2

h⋅≤≤→≤≤

45 ≤ c = 97,5 cm ≤ 180 cm → ok!




Cálculo dos momentos fletores na seção S1 (Figura 38) :

2

xApM;

2

xBpM

2B

B1

2A

A1 ⋅=⋅=

cm75,1087515,05,97a15,0cxpAA

=⋅+=⋅+=

cm5,1002015,05,97b15,0cx pBB =⋅+=⋅+=

402.312

75,108215.0247,0M

2

A1 == kN.cm

679.332

5,100270.0247,0M

2

B1 == kN.cm

!ok5193,0

3367931402

MM

B1

A1 ⇒>==

M A 33679

3 1 4 0 2

MB

M = 31402A

A = 270

B = 2 1 5

S1A M = 33679B

Figura 38 – Momentos fletores de cálculo na sapata.

Armaduras:

Dimensão A:

Md,A = 1,4 . 31402 = 43.963 kN.cm

3,3543963

85.215

M

dbK

2

d

2

c ===

βx = 0,03 (domínio 2)




2sA

dssA

s

cm90,11A

85

43963023,0

d

MKA

023,0K

=

==

=

Dimensão B:

2sB

sx

2

c

B,d

cm76,1285

47151023,0A

023,0K,2.dom,02,04,4147151

85.270K

cm.kN151.4733679.4,1M

==

==β⇒==

==

Como opção para o cálculo da armadura tem-se a fórmula simplificada:

2

yd

B,dsB

2

yd

A,dsA

cm00,1548,43.85.85,0

47151

f .d85,0

MA

cm00,1448,43.85.085

43963

f .d85,0

MA

===

===

Armaduras mínimas de flexão:

- se considerada como uma viga, segundo a NBR 6118: As,mín = 0,15% b . h(para o concreto C25)

O que resulta numa armadura mínima muito exagerada. Como opção pode-se pensar emaplicar a armadura mínima de laje em duas direções, onde: míns 67,0 ρ=ρ , e:

=⇒== m / cm05,9

15,2

45,19cm45,1990.215.0015,0.67,0A 22

mín,sA

=⇒== m / cm50,8

70,2

42,24cm95,2285.270.0010,0A 22

mín,sB

Machado, C.P., no curso de edificação da Poli (1988) sugere:

As,mín = 0,10 % b d

2mín,sA cm28,1885.215.0010,0A ==

= m / cm50,8100

215

28,18 2

2mín,sB cm95,2285.270.0010,0A ==

= m / cm50,8100

270

95,22 2 → φ 12,5 mm c/14 cm (8,93 cm2 /m)




Força Cortante (Figura 39):

75

2 0

B

2 1 5 c m

A270cm

d2

42,5

p = 0,0247

5 5

b p

ap

h 9 0 d 8

5

S2A

55

d 2

4 2 , 5

C 2 B

C2A

S 2 A

S2B

d 2 A

3 0 h

0 5 8 , 8

75

2 0

d2

42,5

b p

ap

d 2

4

2 , 5

S 2 A

S2B

1 0 5

b 2 A

160b2B

d2A

b 2 A

Figura 39 – Dimensões e seções de referência S2A e S2B .

VA = p B c2A

VB = p A c2B

cm552

8575270

2

daAc p

A2 =−−

=−−

=




cm552

8520215

2

dbBc p

B2 =−−

=−−

=

kN1,29255.215.0247,0VA ==

VB = 0,0247 . 270 . 55 = 366,8 kN

VdA = 1,4 . 292,1 = 408,9 kN > VdA,lim = 407,5 kN ⇒ não ok! é necessário colocararmadura transversal.

VdB = 1,4 . 366,8 = 513,5 kN < VdB,lim = 620,9 kN ⇒ ok!

A força cortante limite sugerida pelo CEB-70 é rigorosa (muito baixa), por isso, parasapatas rígidas, Machado (1988) sugere o seguinte valor para sapatas isoladas rígidas:

22c

ck

lim,d db

f

63,0V γ =

Aplicando ao exemplo:

389.18,581054,110

2563,0V lim,dA =⋅

⋅= kN >> VdA = 408,9 kN

Caso se considere apenas o CEB-70, existem soluções, como aumentar o f ck , asdimensões A e B, a altura h, a quantidade de armadura de flexão, etc. Se alterar a armadura deflexão A

sApara

φ12,5 mm c/13 cm (9,62 cm2 /m), a força cortante limite V

dA,limpassa para 422,7

kN, o que também resolve o problema, e evita a armadura transversal. Aumentar também amedida ho de 30 para 35 cm resulta VdA,lim = 423 kN, o que também resolve o problema.

Nota: como a sapata é rígida não é necessário verificar a punção. Entretanto, a NBR 6118recomenda verificar a tensão na diagonal de compressão (item 19.5.3.1), como mostrado aseguir.

Verificação da Diagonal Comprimida

uo = perímetro do pilar (superfície crítica C - Figura 40).

uo = 2 (20 + 75) = 190 cm

kN824.113034,1NNF f SdSd =⋅=⋅γ ==

(sem redução da força pela reação contrária da base da sapata)

C

ap

b p

75

2 0

Figura 40 – Superfície crítica C – contorno do pilar.




Tensão de cisalhamento atuante:

113,085190

1824

du

F

o

SdSd =

⋅==τ kN/cm2 = 1,13 MPa

Tensão de cisalhamento resistente:

43,04,1

5,2

250

25127,0f 27,0 cdV2,Rd =

−=⋅α=τ kN/cm2 = 4,3 MPa

MPa3,4MPa13,1 2,RdSd =τ<=τ

Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas.

Detalhamento (Figura 41)

Como a largura da sapata (B) é próxima do comprimento A, a armadura AsB serádistribuída uniformemente no comprimento A.

Para a armadura de flexão recomenda-se 10cm ≤ espaçamento ≤ 20cm.

c = 97,5 cm > h = 90 cm

φ 12,5 mm, C25, boa aderência, sem gancho: lb = 47 cm.

cnom = 4,0 cm (cobrimento), φl,pil = 20 mm (lb = 75 cm).

lgancho,incl ≥ 47 – [(97,5 – 4,0 – 90) + 20] ≥ 23,5 cm




3 0

N 1

- 1 5 c / 1 4

( 2 1 5

- 8 ) / 1 4 = 1 4 , 8

N2 - 19 c/14(270 - 8)/14 = 18,7

97,5

8 3

≥

, p i l a r

l b Ø l

Øl,pil

h = 90

20

N1 - 15 Ø12,5 C = 360 2 0

2 0260

N 2 - 1 9 Ø 1 2 , 5

C

= 3 0 5

2 0 5

20

20

ASB

A S A

≥ 2 3 ,5

ASB

A S A

3 0

3 0

3 0 3 0

lanc ≥ ≥ 47 cmlb

Figura 41 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.

15. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1o) Alonso, pg. 14 (sapata isolada) . Dimensionar e detalhar as armaduras de uma sapata para umpilar de seção 30x100 cm, com carga de 3000KN, com:

soloσ = 0,3 MPa ; Mx = My = 0

C 25 ; pilar,lφ = 22,5 mm

2o) Resolver a sapata do Exercício 1 pelo “Método das Bielas”.

3o) Resolver o Exercício 1 fazendo o pilar circular com diâmetro de 60cm, e com a sapata debase circular.

16. SAPATAS RÍGIDAS – MÉTODO DAS BIELAS

Sapata Isolada sob Carga Linear Uniforme

O método (teoria das bielas) surgiu após numerosos ensaios realizados por Lebelle(1936), e se aplica às sapatas rígidas, corridas e isoladas. A carga vai do pilar para a base dasapata caminhando pelas bielas de concreto comprimido que induzem tensões de tração naarmadura inferior da sapata (Figura 42).




Biela de compressão

Armadura necessária pararesistir à força de tração

Figura 42 – Caminhamento da carga do pilar em direção à base da sapata.

Segundo Gerrin (1955), os ensaios mostram que não ocorre ruptura por compressão dasbielas de concreto, e sua verificação pode ser dispensada.

A Figura 43 mostra as forças atuantes na sapata, de acordo com o método das bielas.

P

0

y x

AB

d 0

d T x d x

d y

d T

d N

d T y

p d d x y

Figura 43 – Esquema de forças segundo o método das bielas.

Considerando somente a direção x, como se fosse uma sapata corrida (Figura 44):




p

P

d

=

A .

d

( A -

)

p

d 0

β ≥ 4 5 °

A 2 A 2

dxAs

a p

α

d s

2dP

d

α

dT

x p dx= dP

d 0

A0

α

dN

dT

dP

Figura 44 – Forças na direção x da sapata.

−

⋅

−=

−=⋅=

⋅=α

=αα

=

α⋅=

α⋅=

∫

22

px

22

0

2

A

x0

x

0

x4

AdA

)aA(p

21

T

x4

A

d

p

2

1dxx

d

pT

d

xdxp

tg

dPcos

sen

dPdT

sendNdP

cosdNdT

Para x = 0, Tx = Tmáx :

d

)aA(

8

PT

4

A

dA

)aA(

A

P

2

1T p

x

2p

x

−=→

⋅

−=




De forma análoga para a direção da sapata isolada:

d

)bB(

8

PT p

y

−=

A tensão máxima na biela de compressão é obtida das relações:

sc d

dN=σ , onde

α=

sen

dxds

A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas (α = αo) e a tensão máximaocorre no ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta:

( )

−

−+=σ

20

2p

pc

d4

aA1

a

P

A Figura 45 mostra as armaduras de flexão da sapata, conforme o método das bielas.

B

A

x

y

P

h

d ≥ 1 2

( A -

) a p

Asx ou AsA

P

Asy ou AsB

d ≥ 12 (B - )bp

ap

b p

Figura 45 – Armaduras de flexão da sapata.

As armaduras são:

yd

xdsAsx f

TAA == ;yd

ydsBsy f

TAA ==




Levando-se em consideração as duas direções, a tensão máxima na biela é:

( ) ( )

λ−

−+−+

⋅⋅λ=σ

20

2

2p

2p

ppmáx,c

d1

14

bBaA1

bap

OndeB

b

A

aPp

==λ (áreas hometéticas).

No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas:

λ−

−+

⋅⋅λ=σ

2

0

p

p

máx,c

d11

aA

21

1aA

p

17. EXEMPLO 2 - SAPATA ISOLADA RÍGIDA

Calcular as armaduras de flexão da sapata do exemplo 1 pela “Teoria ou Método dasBielas”.

RESOLUÇÂO:

Forças de tração:

0,41185

)75270(

8

13031,1

d

)aA(

8

PT p

x =−

⋅⋅

=−

= kN

0,41185

)75270(813031,1

d

)bB(

8P

T py =

−⋅

⋅=

−= kN

23,1348,43

0,4114,1AA sAsx =

⋅== cm2 = Asy = AsB

Observações:- Nota-se que houve um pequeno decréscimo da armadura calculada pela “teoria das

bielas”;- Observe que o “método das bielas só deve ser aplicado às sapatas rígidas;- Por imposição da NBR 6118, convém verificar a tensão na diagonal comprimida (item

19.5.3.1), como feito no Exemplo 1;

- Verificação do ângulo β:)aA(

21

dtg

p−

=β

º45º1,415,97

85

)75270(2

185tg ≅=β→=

−

=β




18. SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS

Excentricidades nas sapatas podem ser causadas pela existência de momentos fletores ouforça horizontal no pilar, como também pela carga vertical, quando aplicada fora do centro degravidade da base da sapata, como as sapatas de divisa (Figura 46).

N

e

d i v i s a

NH

M

N

MA

HA

A

B N

M B

H B

Figura 46 – Sapatas isoladas sob ações excêntricas.

18.1 EXCENTRICIDADE EM UMA DIREÇÃO

a) Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia (Figura 47)

Ocorre quando6

Ae < . Tem-se:




A

B

A 6

B 6

e

N

σmáx

σmín

Nnúcleo

Figura 47 – Ponto de aplicação da força dentro do

núcleo central de inércia.

I

yM

BA

N ⋅±

⋅=σ

)Ae6

1(BA

Nmáx +

⋅=σ

)Ae6

1(BA

Nmáx −

⋅=σ

b) Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central )6A

e( = (Figura 48)

A

A6

σmáx

N

Figura 48 – Ponto de aplicação da força no

limite do núcleo central.

BAN

2máx⋅

=σ

c) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central )6Ae( > (Figura 49)




Parte da base da sapata (e solo) fica sob tensões de tração (σmín < 0). Neste caso, um novodiagrama triangular é adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do triângulocoincidente com o limite do novo núcleo central. A tensão de compressão máxima aumenta para:

A

A6

σmáx, 1

Ne

B

LNσmín

6A0

σmáx

LN

3(A/2 - e)A0

Figura 49 – Ponto de aplicação da força fora

do núcleo central.

−=σ e

2AB3

N2

máx

18.2 EXCENTRICIDADE NAS DUAS DIREÇÕES

A Figura 50 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duasdireções.

y

x e B

eA

A

B

N

Figura 50 – Sapata com excentricidade nas duas direções.




O equilíbrio é obtido com as pressões atuando em apenas uma parte da área da base dasapata, e:

I

xM

I

yM

BA

N AB ⋅±

⋅±

⋅=σ

N

MB

HB

B

N

MA

HA

A

Figura 51 – Forças e momento fletor atuantes na sapata.

hHMM AAbase'A ⋅+= , hHMM BBbase'B ⋅+=

N

Me A

A = ,N

Me B

B =

a) Quando

6

1

B

e

A

e BA ≤+ (Figura 52)

y

x e B

eA

A

B

N

CG

σ m á x

σ m í n

Figura 52 – Tensões na sapata para

6

1

B

e

A

e BA ≤+ .

++

⋅=σ

B

e6

A

e61

BA

N BAmáx




−−

⋅=σ

B

e6

A

e61

BA

N BAmin

(toda seção seta comprimida)

b) Quando

6

1

B

e

A

e BA >+ (Figura 53)

y

x

e B

eA

A

B

N

2

1

4

3

σ m á x

σ m í n

α

seçãocomprimida

Figura 53 – Tensões na sapata para6

1

B

e

A

e BA >+ .

BAK

N

11máx

⋅⋅=σ=σ

σmín = σ4 = K4 σ1 (fictício, não considerado)

σmín = σ4 < 0

K1 e K4 são determinadas no ábaco mostrado na Figura 54.Num ponto qualquer de coordenadas (x, y) a tensão é:

( )α+

α+

σ−σ+σ=σ

tgA

B1

tgA

B

B

y

A

x

414mín




Figura 54 – Ábaco para determinação das tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas para ação com dupla excentricidade (Montoya, 1973).




Notas:- Em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento maisdesfavorável, solomáx 3,1 σ=σ ;

- Para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramentecomprimida, isto é:

61

Be

Ae g,Bg,A

≤+ (G = peso próprio e solo sobre a sapata - Figura 55).

Gs2

Gb2

Gs1

Gb1

Figura 55 – Forças representativas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.

- Para garantir a segurança contra tombamento da sapata, na condição mais desfavorável, pelomenos a metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo:

9

1

B

e

A

e2

B2

A ≤

+

19. EXEMPLO 3(Exemplo extraído de Newton C. P. Ferro, Notas de Aula, 2005, Departamento de Engenharia Civil,UNESP – Bauru/SP)

Para um pilar de 20 x 60 cm submetido a uma força de compressão de 820 kN e ummomento fletor atuando em torno do eixo paralelo ao menor lado do pilar de 6200 kN.cm,dimensionar a fundação em sapata isolada, sendo conhecidos:C 25 MPa, aço CA-50, =σsolo 0,022 kN/cm² (0,22 MPa), armadura do pilar 10 φ 12,5 mm.

Resolução

1º) Calculo das dimensões (em planta) da sapata, sem considerar o efeito do momento fletor.

Área do apoio da sapata:

000.41022,0

8201,1N1,1S

solosap =

⋅=

σ= cm2

Dimensão em planta da sapata, com abas (balanços) iguais nas duas direções:

( ) ( ) sap2

pppp Sab

4

1ab

2

1B +−+−= = ( ) ( ) 5,183410006020

4

16020

2

1 2 =+−+− cm

B = 185 cm

pp bBaA −=−




2251852060BbaA pp =−−=+−= cm

Tensões na base da sapata (Figura 56):

60

2 0

1 8 5

2 0 0

250240

N

M

1,1NA B

M

MI

My

0,0220,0156

Figura 56 – Dimensões da sapata e esquema da reação do solo.

I

yM

BA

N ⋅±

⋅=σ

2

Ay = ;

12

ABI

3⋅=

9,68201,1

6200

N1,1

Me =

⋅== cm

5,376

225

6

A== cm

5,376A9,6e =<= cm

A força está aplicada dentro do núcleo central de inércia.




0257,0225

9,661

185225

8201,1máx =

⋅+

⋅

⋅=σ kN/cm2 022,0solo =σ> ∴ não ok!

Aumentando a seção da base da sapata para:

A = 240 cm ; B = 200 cm

Obedecendo:

pp baBA −=−

A tensão máxima passa a ser : 022,0máx =σ kN/cm2 !oksolo →σ=

0156,0)240

9,661(

200240

8201,1mín =

⋅−

⋅

⋅=σ kN/cm2 > 0 (como esperado!)

2) Altura da sapata

Fazendo como sapata rígida, conforme o CEB-70:

902

60240

2

aAc5,1tg5,0 p

=−

=−

=→≤β≤ cm

135h455,190

h5,0 ≤≤→≤≤ cm

Pelo critério da NBR 6118/03:

603

60240

3

aAh p

≥−

≥−

≥ cm

É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de ancoragemda armadura longitudinal do pilar (10 φ 12,5 mm):

- situação de boa aderência ; com gacho; C25, CA-50 (nervurado): 33lb = cm;

Adotado h = 60 cm > lb = 33 cm (sapata rígida)

3) Cálculo dos momentos fletores e forças cortantes segundo o CEB-70

Verificação: ⋅≤≤→≤≤ 2c2

60h2c

2

h60

30 ≤ c = 90 ≤ 120 cm → ok!

Momentos fletores nas seções S1 (Figura 57):




a60

b 2 0 B

2 0 0 c m

A240cm

0,0220,0156

C90

C90

C 9 0

C 9 0

b p

ap

h 6 0 d 5

5

x99xa

0,15 a = 9ap

S1A

P1A

KNcm²

C B

C B

CACA

0,0220,01936

P1A

99

49,5

66 33

49,5

0 , 1

3 1

1 , 9

1 7

Figura 57 – Seção de referência S1A .

Lado A:

( )01936,099

240

0156,0022,0022,0p A1 =

−−= kN/cm2 (ver Figura 57)

( ) 708.20200132,05,49917,1M A1 =+⋅= kN.cm

Lado B (considerando a pressão média e diagrama retangular – ver Figura 58):

0188,02

0156,0022,0pméd =+= kN/cm2

512.192

)2015,090(2400188,0

2

xApM

22B

B1 =⋅+

⋅=⋅= kN.cm




S 2 A

S 2 B

p 2 A = 0 ,0 2 0 3

0,022

0,022

0,0188(valor médio)

0,0156

0,0156

Figura 58 – Esquema de reações do solo na base da sapata.

Forças cortantes nas seções S2 (Figura 59):

5,622

5560240

2

daAc p

A2 =−−

=−−

= cm

5,622

5520200

2

dbBc p

B2 =−−

=−−

= cm

cm25hadotadocm20

cm203

603h

h 00 =→

==

≥




a60

b 2 0

B

2 0 0 c m

A240cm

0,022 KNcm²0,0156

d2

27,5

b

C 6 2 , 5

b p

ap

h 6 0 d 5

5

S2A

P2A

d 2

2 7 , 5

C 2 B

b 2 A

C62,5

C2A

S 2 A

S2B

h 2 5 h

0

d d 2 A

= 0,0203

Figura 59 – Seção de referência S2A .

A2p

0A2 c5,1

aA

hh1dd ≤

−

−−=

cm8,935,625,1c5,1c5,1 B2A2 =⋅==

3,44602402560

155d A2 =

−

−−= cm

!okcm8,93cm3,44d A2 →≤=

B2p

0B2 c5,1

bB

hh1dd ≤

−

−−=

B2B2 c5,120200

2560155d ≤

−

−−=

!okcm8,93cm3,44dd A2B2 →≤==




Larguras b2A e b2B :

cm755520dbb pA2 =+=+=

cm1155560dab pB2 =+=+=

A2médA cBpV = 4,2645,622002

0203,00220,0=⋅

+= kN

1,3704,2644,1VdA =⋅= kN

VB na seção S2B :

B2médB cApV = 0,2825,622402

0156,0022,0=⋅

+= kN

8,3940,2824,1VdB =⋅= kN

Força cortante limite (CEB-70):

ck22c

,limd f db474,0

V ⋅ρ⋅⋅γ

=

Para cálculo de ρ é necessário conhecer a armadura de flexão:

26,145,435585,0

207084,1AsA =⋅⋅

⋅= cm2

13,7100200

26,14= cm2 /m → φ 10 mm c/11 cm (7,27 cm2 /m)

43,135,435585,0

195124,1AsB =

⋅⋅

⋅= cm2

60,510024043,13 = cm2 /m → φ 10 mm c/14 cm (5,71 cm2 /m)

Nota-se que: !ok51

94,026,1443,13

→≥=

db%10,0A mín,s ⋅=

sA2

mín,sA Acm11552000010,0A <=⋅⋅=

sB2

mín,sB Acm20,13552400010,0A <=⋅⋅=




A2

sAA d100

A=ρ 00164,0

3,4410027,7

=⋅

=

B2

sBB d100

A=ρ 00129,0

3,4410071,5

=⋅

=

9,2272500164,03,44754,1

474,0V lim,dA =⋅⋅⋅= kN

kN9,227V1,370V lim,dAdA =>=

kN6,3092500129,03,441154,1

474,0V lim,dB =⋅⋅⋅=

kN6,309V1,394V lim,dBdB =>=

Como as forças cortantes solicitantes são maiores que os valores limites, é necessáriocolocar armadura transversal, pelo menos segundo o CEB-70. Se forem considerados os limitessugeridos por Machado (1988).

Para sapata rígida:

kN6,7473,447510

25

4,1

63,0V lim,dA =⋅⋅=

!okkN6,747V1,370V ,limdAdA →=<=

kN3,146.13,441151025

4,163,0

V lim,dB =⋅⋅=

!okkN3,146.1V8,394V ,limdBdB →=<=

com esses limites não é necessário colocar armadura transversal.

Verificação da Diagonal Comprimida no Caso de Sapata Rígida

cm160)6020(2uo =+= (Figura 60)

60

ap

2 0bp

Figura 60 – Perímetro do pilar – superfície crítica C.

kN148.18204,1NNF f SdSd =⋅=⋅γ ==





1305,055160

1148du

F

o

SdSd =

⋅==τ kN/cm2 = 1,305 MPa


43,04,1

5,2

250

25127,0f 27,0 cdv2,Rd =

−=α=τ kN/cm

2

= 4,3 MPa

MPa3,4MPa305,1 2,RdSd =τ<=τ

Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas.

Detalhamento (Figura 61)

As armaduras serão distribuídas uniformemente nas direções A e B, pois A ≅ B.Para a armadura de flexão recomenda-se 10 cm ≤ espaçamento ≤ 20 cm.

60

25

N 1 - 1 7 c / 1 1

N2 - 16 c/14

90

5 4

≥

l Ø , p i l a r

l b Ø l

ØlØ , pilar

16 Ø1017 Ø10c/ 11

h60

90 - 4 - 60 = 26cm } }

c h

12

N1 - 17 Ø10 C = 260 1 5

1 5230

N 2 - 1 6 Ø 1 0 C

= 2 2 0

1 9 0

15

15

Figura 61 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.

ℓgancho = 38 – 26 = 12 cm ≈ 15 cm




c = 4,0 cm ; cm33l pilar,l =⋅φ ; φ 10 mm ; C25

boa aderência, sem gancho: cm38lb =

2660490 =−− cm

20. EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA(Exemplo de Edja L. Silva, Dissertação de Mestrado, 1988, EESC-USP, São Carlos/SP)

Dimensionar a sapata isolada de um pilar considerando:

- seção do pilar: 40 x 60 cm ; φl,pilar = 22 φ20 mm, sendo parte tracionada;- N = 1.040 kN;- concreto C20; CA-50 (aço); c = 4,5 cm

- 500solo =σ kN/m2;

- momentos fletores: Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m

Resolução

a) Estimativa das dimensões da sapata

2

solosap m288,2

500

10401,1N1,1S =

⋅=

σ=

Fazendo abas (balanços) iguais: cA = cB = c:

( ) ( ) sap2

pppp Sab4

1ab

2

1B +−+−=

( ) ( ) m42,1288,26,04,04

16,04,0

2

1B 2 =+−+−=

adotado B = 1,40 m

m60,1Aadotadom63,140,1288,2

B

S

Asap

=→===

b) Verificação das tensões na base da sapata

Excentricidades da força vertical (Figura 62):




B 1 4 0 c m

A160cm

x

y

60

40

N

N

Mx

N

My

Figura 62 – Dimensões e esforços solicitantes na sapata.

N = 1.040 kN ; Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m

cm27m270,0

1040

280ex ===

cm3,18m183,01040

190ey ===

Cálculo da tensão máxima σ1 com auxílio do ábaco (ver Figura 54):

13,0140

3,18Be

17,0160

0,27

A

e

yy

xx

===η

===η

→ ábaco (Figura 54) → λ1 = 0,34, zona C

6505003,13,1BA

Fsolo

1

V1 =⋅≤σ≤

⋅⋅λ=σ kN/m2

502.14,16,134,0

10401,11 =

⋅⋅

⋅=σ kN/m2 >> solo3,1 σ = 650 kN/m2 → não ok!

As dimensões da sapata devem ser aumentadas!

Nova tentativa com A = 220 cm e B = 200 cm (cA = cB = c = 80 cm):




12,0220

0,27x ==η

09,0200

3,18y ==η

Verifica-se que:

)basenatraçãohá(6

121,0

B

e

A

eyx

yx >=η+η=+

no ábaco (Figura 54): λ1 = 0,44, α = 36°, λ4 = 0,10 e zona C.

Tensões nos vértices da sapata (Figura 63):

5910.2.2,2.44,0

1040.1,11 ==σ kN/m

2

< solo3,1 σ = 650 kN/m

2

→ ok!

1,59591.10,014 4 −=−=σλ−=σ kN/m2 (fictícia)

°+°

°+−=

α+α

ασ−σ−σ=σ

36cos36sen

36sen)1,59591(591

sensen

sen)( 4112

σ2 = 317,4 kN/m2

°+° °+−=α+α ασ−σ−σ=σ 36cos36sen 36sen)1,59591(591sensen sen)( 4113

σ3 = 214,5 kN/m2

2 1 5

5 9 1

- 5 9

3 1 7

L N

Figura 63 – Tensões nos vértices da sapata.




c) Verificação do tombamento da sapata

111,09

1

9

1

B

e

A

e 2

y

2

x

2y

2x

≤≤η+η⇒≤

+

!ok111,0023,009,012,022

→<=+

Deve ainda ser verificada a equação:

6

1

B

e

A

e g,yg,x≤+

d) Determinação da altura (sapata rígida)

Pelo critério do CEB-70:

cm120h405,180

h5,05,1tg5,0 ≤≤→≤≤→≤β≤

Pela NBR 6118/03:

3,533

)60220(

3

)aA(h

p≥

−≥

−≥ cm

Para a armadura do pilar (22 φ 20 mm) será utilizado o gancho a fim de diminuir ocomprimento de ancoragem e a altura necessária para a sapata. Para φ 20, C20, boa aderência,com gancho, resulta lb= 61 cm, e, considerando a distância do gancho à base da sapata = 7 cm:

h ≥ 61 + 7 cm ≥ 68 cm

Será adotado h = 75 cm, d = 75 – 5 = 70 cm.

cm35hadotadocm20

cm253

75

3

hh oo =→

==

≥

e) Determinação dos esforços solicitantes conforme o CEB-70

Verificação: 752802

75h2c

2

h⋅≤≤→≤≤

!okcm15080c5,37 →≤=≤

e1) Momentos fletores na seção S1 (Figura 64)

Para simplificação pode-se admitir uma tensão uniforme de referência como:




σ

σ≥σ

méd

máxref 3

2

2 1 5

5 9 1

- 5 9

3 1 7

4 0 3 4 3 9 E

F G

H

D

B

C

A

4 5 4

x B 8 6

B = 2 0 0

1 6 5

x A 8 9

A = 2 2 0

4 7 3

9 7

S 1 B

S 1 A3 0 2

Figura 64 – Tensões na base da sapata e seções de referência S1 .

Como simplificação a favor da segurança será considerada a maior tensão entre aquelasna metade dos lados A e B.

Lado A (S1A):2

89,00,20,454

2

xBpM

22A

A ⋅=⋅⋅=

0,4542

317591p =

+= kN/m2

MA = 359,61 kN.m = 35.961 kN.cm

MdA = 1,4 . 35961 = 50.346 kN.cm

Lado B (S1B):2

86,02,20,403

2

xApM

22B

B ⋅⋅=⋅=

0,4032

215591p =

+= kN/m2

MB = 327,86 kN.m = 32.786 kN.cm

MdB = 1,4 . 32786 = 45.901 kN.cm




e2) Forças cortantes na seção S 2 (Figura 65)

2 1 5

5 9 1

- 5 9

3 1 7

5 1 4

H

D

BC

C 4 5

B = 2 0 0

C 4 5

A = 2 2 0

2 4 0

S 2 B

S 2 A

A

C 2 B

C 2 A

1 5 3

FG

E

5 2 9

Figura 65 – Seções de referência S2 .

cm452

7060220

2

daA

c

p

A2 =

−−

=

−−

=

cm452

7040200

2

dbBc p

B =−−

=−−

=

As forças cortantes nas direções A e B da sapata são os volumes mostrados na figura. Aforça VA por exemplo é o volume da figura compreendida entre as áreas ABCD e EFGH.

0,3740,245,04

591514317240VA =⋅

+++= kN

3,3682,245,04

591529215153VB =⋅

+++= kN

6,5230,3744,1VdA =⋅= kN

6,5153,3684,1VdB =⋅= kN

Tarefa: Fazer os demais cálculos, verificações e o detalhamento final das armaduras.

21. SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA

Sapatas flexíveis são aquelas onde:




3

)a-(A<h p − segundo o critério da NBR 6118/03;

tg β < 0,5 – segundo o critério do CEB-70.

São menos utilizadas que as sapatas rígidas, sendo indicadas para cargas baixas e solosrelativamente fracos (NBR 6118, item 22.4 2.3). A verificação da punção é obrigatória.

Os momentos fletores podem ser calculados em cada direção segundo quinhões de carga,determinados geometricamente, repartindo-se a área da sapata em “áreas de influência”. Omesmo critério é adotado para cálculo das forças cortantes. As áreas podem ser retangulares,triangulares ou trapezoidais (Figura 66):

2 2

1

1

N2

N2

A2

A1 A1

A4

A3

A2

N4

A1

A4

A3

A2

N4

2 2

1

1

Figura 66 – Áreas relativas aos quinhões de carga: retangular, triangular e trapezoidal.

Os momentos fletores calculados com área triangular e trapezoidal são praticamenteidênticos, e com área retangular são exagerados.

a) Área triangular

N4

aap

b b p

B

A

A3

Figura 67 – Quinhões de carga por área triangular.

3

a

4

N-

3

A

4

N =M p

A

)a-(A

12

N =M pA

)a-(A2

1 )b+(B

2

1 p=V ppA




−

−

A

a1

B

b1

4

N =V pp

A

Na outra direção:

)b-(B12

N =M pB

−

−

A

a1

B

b1

4

N =V pp

B

b) Área de trapézio

2 2

1

1

aap

b b p

xxCG

B

A

2ap

N4

Figura 68 – Quinhões de carga por área trapezoidal.

A carga N/4 é aplicada no centro de gravidade do trapézio, com:

p

ppCG b+B

b+2B

6

a-A=x

Os momentos fletores no centro da sapata são:

+

+

+−

6

a

bB

bB2

6

aA

4

N =M p

p

ppA

+

+

+−

6

b

aA

aA2

6

bB

4N

=M p

p

ppB

As forças cortantes nas seções 1 e 2 são:




−

−

A

a1

B

b1

4

N =V pp

A

−

−

A

a1

B

b1

4

N =V pp

B

22. VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDObW ≥≥≥≥ 5d

A força cortante nas sapatas pode ser verificada como nas lajes quando bw > ou = 5d(NBR 6118, item 19.4). As lajes não necessitam de armadura transversal à força cortantequando:

VSd ≤ VRd1

(bw = largura da sapata na direção considerada)

com:db]0,15+)40+(1,2k[=V wcp1RdRd1 σρτ

onde: τRd = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento;k = coeficiente igual a 1 para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o

apoio; para os demais casos k = | 1,6 - d | > 1, com d em metros;

0,02dbA =w

s11 ≤ρ

c

Sdcp A

N =σ

NSd = força longitudinal na seção derivada à protenção ou carregamento (compressãopositiva);

As1 = área da armadura de flexão que se estende pelo menos d + l b,nec além da seçãoconsiderada

23. EXEMPLO 5

Resolver a sapata do Exemplo 3 como sapata flexível.

Resolução

A sapata foi resolvida como sapata rígida, com h = 60 cm. Pelo critério da NBR 6118 asapata será flexível se h < 60 cm. Como a armadura principal do pilar tem lb = 33 cm, deve-seatender esse valor. A sapata será flexível adotando h = 55 cm e d = 50 cm > l b = 33 cm.

a) Momentos fletores e forças cortantes

a.1) Área por triângulos (Figura 69)




As fórmulas desenvolvidas são para sapata com carga centrada. Para aplicação nesteexemplo, onde ocorre momento fletor e a pressão na base não é unifforme, é necessário adotarum critério para uniformizar a pressão.

Um critério é:

=+

=σ+σ

=⋅=σ

≥σ=0188,0

20156,0022,0

2

0176,0022,08,08,0

p mínmáx

máx

base

p = σbase = 0,0188 kN/cm2

N4a

60ap

b 2 0 b p

B 2 0 0

A240

A3

0,022 KNcm²0,0156

p = 0,0188

Figura 69 – Área de um triangulo, dimensões da sapata e reação do solo.

Com p pode-se determinar N:

2002400,0188=BAp=N

BA

N =p ⋅⋅⋅⋅→

⋅

N = 902,4 kN (já majorado em 1,1)

13.536=60)-(24012

902,4 =)a-A(

12

N =M pA kN.cm

Esse momento representa 65 % do momento fletor M1A calculado segundo o CEB-70.Tarefa: analisar o por quê de tal diferença.

536.13)20200(12

4,902

)bB(12

N

M pB =−=−= kN.cm

Tarefa: se para o cálculo de M1B (CEB-70) também foi utilizada a pressão média, por que osmomentos fletores tem uma diferença de 30 %?




Forças cortantes:

−⋅

−=

−⋅

−=

240

601

200

201

4

4,902

A

a1

B

b1

4

NV pp

A

VA = VB = 152,3 kNa.2) Área por trapézios (Figura 70)

a60ap

b 2 0 b

p

B 2 0 0

A240

= 0,0188 KNcm²pméd

B

Figura 70 – Área de um trapézio e reação do solo.

kN3,152A

a1

B

b1

4

NVV pp

BA =

−⋅

−== (igual à área por triângulos)

+

+

+⋅

−=

6

a

bB

bB2

6

aA

4N

M p

p

ppA

+

++⋅⋅

−=

660

20200202002

660240

44,902MA

MA = 15.177 kN.cm

+

+

+⋅

−=

6

b

aA

aA2

6

bB

4N

M p

p

ppA

+

+

+⋅⋅

−=

6

20

60240

602402

6

20200

4

4,902M

A

MB = 12.934 kN.cm




MB

MA

B

A Figura 71 – Indicação dos momentos fletores solicitantes.

b) Armadura de flexão

Adotando os momentos fletores calculados para as áreas de trapézios, tem-se:

2

yd

dsA cm49,11

5,435085,0

151174,1

f d85,0

MA =

⋅⋅

⋅=

⋅= → contra 14,26 cm2 do Exemplo 3

2sB cm79,9

5,435085,0

129344,1A =

⋅⋅

⋅= → contra 13,43 cm2 do Exemplo 3

Armaduras mínimas: )db%10,0A( mín,s ⋅⋅=

2mín,sA cm00,10502000010,0A =⋅⋅=

2mín,sB cm00,12502400010,0A =⋅⋅=

Portanto:

2sA cm49,11A = (5,75 cm2 /m → φ 10 mm c/14 cm = 5,71 cm2 /m)

2sB cm00,12A = (5,00 cm2 /m → φ 10 mm c/16 cm = 5,00 cm2 /m)

00114,050100

71,5A =

⋅=ρ

00100,050100

00,5B =

⋅=ρ

valores menores que ρ = 0,001

c) Verificação da punção

c1)Verificação da superfície crítica C’ (Figura 72)




B 2 0 0

A240

a*

a *

C

C'

Figura 72 – Superfície critica C’ e distância a*.

cB = cA = 90 cm

2d = 2 . 50 = 100 cm > cB e cA

Portanto a* = cB = cA = 90 cm

Adotar 2d para a*; se 2d > cA ou cB , adotar para a* o menor entre cA e cB .

Tensão de cisalhamento solicitante (τSd) para sapata com um momento fletor externosolicitante:

dW

MKd*u

F

p

SdSdSd +=τ

Área limitada pelo contorno C’:

( )2pppp'C,cont *ab*a2a*a2baA π+++⋅=

( )2'C,cont 9020902609022060A π+⋅⋅+⋅⋅+⋅=

Acont, C’ = 41.046 cm2

Pressão média na base da sapata:

0188,02

022,00156,0pméd =

+= kN/cm2

Força na área Acont, C’ devido à reação do solo:

=⋅γ =∆ 41046

1,1

0188,04,1)Ap(F 'C,contmédiof Sd

1,1 é para não considerar o solo sobre a sapata.

FSd = 982,0 kN




Força sobre a sapata reduzida da reação do solo:

FSd,red = FSd - FSd

kN9,1659828204,1F red,Sd =−⋅=

Perímetro u* do contorno C’:

cm5,725*u

902202602*u

*a2b2a2*u bp

=

⋅π+⋅+⋅=

π++=

Parâmetro K:

CaC1

ap

C b C 1

b p

eNe

1 Msd

Figura 73 – Parâmetros C 1 e C 2 .

C1 = ap = 60 cm 3C

C

2

1 = → na Tabela 1, K = 0,80

C2 = bp = 20 cm

12

221

21

p Cd2+16dd4CCC2

C W ⋅⋅π+⋅+⋅+= (sapata retangular)

com d = a*:

06092+0916090240260206 W 22

p ⋅⋅π⋅+⋅⋅+⋅+=

Wp = 173.728 cm2

20173728)62004,1(8,0

205,7259,165

Sd⋅

⋅+

⋅=τ

onde d = h0 – 5 = 25 – 5 = 20 cm (d é a altura útil em C’)

τSd = 0,0134 kN/cm2 = 0,134 MPa

Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’:




2cd3

ck1Rd f 5,0*ad2

f 100d20

113,0 ≤ρ

+=τ

90

20225001,0100

20

20113,0 3

1Rd⋅

⋅⋅

+=τ (utiliza-se o menor ρ1)

τRd1 = 0,157 MPa = 0,0157 kN/cm2

cdck

2cd f 250

f 16,05,0f 5,0

−=

4,15,2

25025

16,05,0f 5,0 2cd

−=

0,5 f cd2 = 0,482 kN/cm2 = 4,82 MPa

τRd1 = 0,187 MPa < 0,5 f cd2 = 4,82 MPa → ok!

Não é necessário colocar armadura para punção, pois:

τSd = 0,134 MPa < τRd1 = 0,157 MPa

Quando ocorre a necessidade geralmente aumenta-se a altura da sapata para eliminar talnecessidade a fim de simplificar a execução da sapata.

c2) Verificação da superfície crítica C

Não ocorrendo punção na superfície crítica C’, dificilmente ocorrerá problema nasuperfície C.

24. SAPATA CORRIDA

Sapata corrida é aquela destinada receber cargas lineares distribuídas, possuindo por issouma dimensão preponderante em relação às demais. Assim como as sapatas isoladas, as sapatas

corridas são classificadas em rígidas ou flexíveis, conforme o critério da NBR 6118/03 jáapresentado.Como as bielas de compressão são íngremes, surgem tensões de aderência elevadas na

armadura principal As , que provocam o risco de ruptura da aderência, e ruptura do concreto decobrimento por fendilhamento, que pode ser evitada com diâmetro de barra e espaçamentospequenos.

Nas sapatas flexíveis, especialmente, a ruptura por punção deve ser obrigatoriamenteverificada.




4 5 °

fissura

A(principal)As

bielacomprida

armadurasecundária

Figura 74 – Armaduras, biela de compressão e fissuração na sapata corrida.

Recomenda-se adotar para a altura:

h ≥ 15 cm (nas sapatas retangulares)

ho ≥ 10 / 15 cm

h

h

h 0

Figura 75 – Altura h da sapata corrida.

A distribuição de pressão no solo depende principalmente da rigidez da sapata e do tipode solo. No cálculo prático são adotados diagramas simplificados, como os indicados na Figura76:

N N NA) B) C)

Figura 76 – Distribuição de pressão no solo.

A indicação de Guerrin (1967) é:

a) solos rochosos- sapata rígida: diagrama bi triangular (a);- sapata flexível: diagrama retangular (b);

b) solos coesivos: diagrama retangular (b) em todos os casos;

c) solos arenosos- sapata rígida: diagrama retangular (b);- sapata flexível: diagrama triangular (c).




24.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME

As sapatas corridas rígidas são utilizadas geralmente sob muros ou paredes com cargasrelativamente altas e sobre solos de boa capacidade de suporte.

As sapatas corridas rígidas, quando3

)a-(Ah p

≥ e β < 45°, podem ter os esforços

solicitantes (M e V) calculados nas seções de referência S1 e S2, conforme o CEB-70. Asverificações necessárias e o dimensionamento das armaduras pode ser feito de modo semelhanteàs sapatas isoladas rígidas, fazendo B = 1 m.

Quando β ≥ 45°, o “Método das bielas” pode ser utilizado, em opção ao CEB-70.

aap

A

h β ≥

4 5 º

Figura 77 – Sapata rígida de acordo com o Método das Bielas.

O fenômeno da punção não ocorre, mas conforme a NBR 6118, a tensão de compressãona diagonal comprimida deve ser verificada na superfície crítica C (item 19.5.3.1), já estudado.

Segundo o “Método das bielas”, a armadura principal deve ser dimensionada para a forçaTx (Figura 78):

aap

A

d β

≥ 4 5 º Tx

N d d 0

ρ

Figura 78 – Força T x conforme o Método das bielas.

p0 aA

d.Ad

−=




xf xd

yd

xdsAsx

px

TT

f

TAA

d

aA

8

NT

γ =

==

−=

24.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME

O momento fletor principal, atuante na direção da largura da sapata, é consideradomáximo no centro da sapata. A força cortante é calculada na seção 1 (Figura 79), junto à face daárea carregada. Os esforços são calculados sobre faixas unitárias ao longo do comprimento dasapata (B = 1 m).

hd

ØlØ , pilar

aap

N

50,00AsA , princ.I

hh0

I

AsA , sec

ρ

M

V

Figura 79 – Sapata corrida flexível.

Pressão no solo:A

Np =

Pressão sob a parede:p

par aN

p =

Força cortante na seção 1:




( )

−=

−=

A

a1

2

NV

paA2

1V

p

p

Momento fletor máximo no centro da sapata:

( )p

2ppar

22p

par

2

aA8

NM

8

a.p

8

pA

2

ap

2

1

2

Ap

2

1M

−=

−=

−

=

A armadura secundária (As,sec), também chamada armadura de distribuição, deve ter área:

≥

m / cm9,0

A5

1

A2

princ,ssec,s

As bordas da sapata (balanço) podem ser reforçadas com barras construtivas, comoindicado na Figura 80.

Øl

Figura 80 – Reforço das bordas com barras adicionais.

A punção, conforme já estudada, deve ser sempre verificada nas sapatas corridas flexíveis(Figura 81).

4 5 °4

5 °

superfície de ruptura porpunção, segundo Leonhardt

Figura 81 – Superfície de ruptura por punção na sapata flexível.

24.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA

Dimensionar a sapata rígida sob uma parede de concreto de 20cm de largura com cargavertical N = 20 tf/m = 200 kN/m. Dados:




C20; soloσ = 1,1 kgf /cm2 = 1,1 tf /m2 = 0,011 kN /cm2 = 0,11 MPa

d = h – 5 cm; CA-50; c = 4,5 cm

a = 20ap

A

d β

≥ 4 5 º N

h

ρ

hh0

C90

Figura 82 – Sapata rígida conforme o Método das bielas.

Resolução

Cálculo de A:

011,00,21,1N1,1

Asolo

⋅=

σ=

A = 200 cm

Cálculo da altura h:

- pela NBR 6118 → cm603

20)-(2003

)a-(Ah p

≥≥≥

- para aplicar o cálculo pelo método das bielas, deve-se ter β ≥ 45º.

cdtg =β , com β = 45º ⇒ d = c = 90 cm → h = 95 cm

- pelo CEB-70: cm135h45905,1h905,05,1ch

5,0 ≤≤→⋅≤≤⋅→≤≤

Fazendo o cálculo pelo “Método das bielas”, h = 95 cm.

Força de tração na armadura principal:

5590

20200

8

2001,1

d

aA

8

NT p

x =

−⋅

=

−

=kN/m




77,148,43554,1

f

dTAA

yd

xss AX

=⋅

=⋅

== cm2 /m

para φ 8 mm (0,50 cm2):

2,2877,1 5,0100s =⋅= cm ≤ 20 ou 25 cm

para φ 6,3 mm (0,31 cm2):

5,1777,1

31,0100s =

⋅= cm ≤ 20 cm (ok!, valor da prática)

Portanto:

AsA = As,princ = φ 6,3 mm c/17 cm (1,82 cm

2

/m)Para a armadura de distribuição pode-se considerar:

m / cm9,0A35,0

5

77,1

m / cm9,0

A5

1

m / cm9,0A 2

distr,s

2

princ,s

2

distr,s =∴

=≥

≥

φ 5 mm c/22 cm ou φ 5 mm c/20 cm (1,00 cm2 /m)

sdistr ≤ 33 cm, mas na prática sdistr ≤ 20 ou 25 cm.

Notas:

a) o cálculo pelo “Método das bielas” dispensa a verificação da força cortante, isto é, segundoMontoya, no caso de sapata rígida a força cortante não precisa ser verificada;

b) conforme a NBR 6118, a superfície crítica C deve ter a tensão de compressão diagonalverificada (item 19.5.3.1);

c) Guerrin (1967) aplica o Método das bielas fazendo:

)cm50h(cm454

20200

4

aAd p

==−

=−

=

Detalhamento:

cm30hcm20

cm7,313

95

3

hh 00 =→

==

≥




d = 9 0

h = 9 5

h = 30h0

Ø6, 3 c/ 17 Ø5 c/ 20

Figura 83 – Esquema indicativo do detalhamento das armaduras.

A ancoragem da armadura principal pode ser feita estendendo-se as barras às bordas da

sapata, fazendo o gancho vertical com ho – 10 cm.24.4 TAREFA

1º) Resolver a sapata com h = 60 cm, pelo método do CEB-70;2º) Comparar as armaduras e o volume de concreto das sapatas.

24.5 EXERCÍCIO PROPOSTO

Dimensionar a sapata corrida para uma parede de largura 20 cm, com:

c = 4,0 cm; N = 30 tf/m = 300 kN/m; 0,2solo =σ kgf/cm2 ; C15; CA-50.

Fazer sapata rígida e como sapata flexível. Comparar os resultados.

24.6 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL

Dimensionar a sapata do Exemplo 6 como sapata flexível.Dados:ap = 20 cm ; N = 200 kN/m; C20; soloσ = 0,011 kN/cm2

ResoluçãoPara a sapata flexível, que é mais leve, tem-se:

cm190cm191011,0

0,205,1N05,1A

solo→=

⋅=

σ=

Cálculo de h:

- NBR 6118: )rígida(cm7,56

3

)20190(

3

)aA(h p

≥−

≥−

≥ ;

- CEB-70: cm85=2

20)-(190c =




0,5·85 ≤ h ≤ 1,5·85 → 42,5 ≤ h ≤ 127,5 cm → sapata rígida

Seguindo o critério da NBR 6118, para sapata flexível (h < 56,7 cm) será adotado h = 50cm.

Esforços solicitantes:

9,93190201

220005,1

Aa1

2NV p

=

−⋅=

−= kN/m (V na face da parede)

463.4)20190(8

20005,1)aA(

8N

M p =−⋅

=−= kN.cm/m (M no centro da parede)

h = 5 0

d = 4 5

a = 20ap

N

A = 190

h = 20h0

ρ

M

V

C85

V

+

1 0 0

20

C

Figura 84 – Dimensões e diagramas de esforços solicitantes na sapata.

≥princ,s

2

distr,s

A51

m / cm9,0A




64,0519,3

A princ,s == cm2 /m

9,0A distr,s = cm2 /m

φ 5 c/20 cm (1,00 cm

2

/m)Dimensionamento à flexão:

4,3244634,145100

M

dbK

2

d

2w

c =⋅

⋅==

Ks = 0,023 (dom. 2)

19,3

45

44634,1023,0As =

⋅= cm2 /m

φ 6,3 mm c/9 cm (3,50 cm2 /m)

φ 8 mm c/15 cm (3,33 cm2 /m)

s ≤ 20 ou 25 cm (valores da prática)

Verificação da diagonal comprimida na superfície crítica C:

uo = 2 (20 + 100) = 240 cm

2802004,1NF SdSd =⋅== kN/m


0259,045240

280

du

F

o

SdSd =

⋅=

⋅=τ kN/cm2 /m

Nota: não foi considerada a redução de FSd proporcionada pela reação do solo.


τRd2 = 0,27αv f cd = 355,04,10,2

25020

127,0 =

− kN/cm2

τSd = 0,259 MPa < τRd2 = 3,55 MPa → ok!

A força cortante pode ser verificada como laje, com bw ≥ 5d, onde bw é o comprimento dasapata paralelo à parede. Deve-se ter VSd ≤ VRd1 para dispensar-se a armadura transversal.

VRd1 = [τRd k (1,2 + 40ρ1) + 0,15σcp] bw d

00074,045100

33,31 =

⋅=ρ




k = |1,6 – d| > 1 = |1,6 – 0,45| = 1,15 > 1

τRd = 0,25 f ctd = 276,04,1

203,07,025,0

3 2

=⋅

MPa

VRd1 = [0,0276 . 1,15 (1,2 + 40 . 0,00074)] 100 . 45VRd1 = 175,6 kN/m

VSd = 1,4 . 93,9 = 131,5 kN/m < VRd1 = 175,6 kN/m

→ ok! não é necessário colocar armadura transversal.

Comparação:

Sapata rígida Sapata flexível

As 1,77 3,19h 95 50

Detalhamento

Ø8 c/ 15 Ø5 c/ 20 h = 5 0

d = 4 5

h = 20h0

Figura 85 – Detalhamento indicativo das armaduras.

24.7 EXERCÍCIO PROPOSTO

Projetar a sapata corrida para a fundação de um muro. São conhecidos:

- C20 ; CA-50 ; hmuro = 3,0 m ;solo

σ = 2,0 kgf/cm2

- emuro = largura do bloco de concreto de vedação = 19 cm (aparente, sem revestimento deargamassa);- muro em alvenaria de blocos de concreto;- blocos enrijecedores a cada 5 m, perpendiculares ao muro;- considerar ação do vento para a cidade de São Paulo;- fazer verificações da estabilidade da sapata;- tipo de solo = argila rija.




3 , 0 m

m u r o

Figura 86 – Sapata corrida sob muro.

25. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS

Nas sapatas submetidas a forças horizontais e/ou momentos fletores é importanteverificar as possibilidades de escorregamento e tombamento.

a) Segurança ao tombamento

A verificação ao tombamento é feita comparando-se os momentos fletores, em torno deum ponto 1 (Figura 87).

P

NM

FH

h

A

2

A

2

1

Figura 87 – Forças atuantes na sapata.

Momento de tombamento:

Mtomb = M + FH . h

Momento estabilizador:

Mestab = (N + P) A/2

O peso do solo sobre a sapata pode também ser considerado no Mestab . O coeficiente desegurança deve ser ≥ 1,5:




5,1M

M

tomb

estabtomb ≥=γ

b) Segurança ao escorregamento (deslizamento)

A segurança é garantida quando a força de atrito entre a base da sapata e o solo supera aação das forças horizontais aplicadas.

O efeito favorável do empuxo passivo pode ser desprezado, por não se ter garantia de suaatuação permanente. Da Figura 87 tem-se:

escHFtg)PN( γ ⋅=ϕ+

onde: =tg µϕ = coeficiente de atrito;φ = ângulo de atrito entre os dois materiais em contato (concreto x solo), não maior que

o ângulo de atrito interno do solo.

Um outro modelo que pode ser adotado é:Festab = atrito + coesão =

+

φ⋅+ c

32

A32

tg)PN(

onde: φ = ângulo de atrito interno do solo;c = coesão do solo;A = dimensão da base em contato com o solo.

5,1F

F

H

estabesc ≥=γ

26. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃOEM SAPATAS

No caso de armadura, com barras de diâmetro 20 mm ou superior, e de feixes de barras, éimportante verificar a aderência com o concreto, a fim de evitar o escorregamento.

O esquema de forças entre a armadura e o concreto é como indicado na Figura 88:

∆x

Rc

Rs

V

M zd

Ø Ø l

Rc + Rc∆

Rs + Rs∆

C

M + ∆M

Figura 88 – Esforços atuantes no elemento de comprimento ∆ x.

Tem-se que: M = Rs · z = Rc · z, daí:

zM

R s∆

=∆




∆Rs = f b · u ·∆x

onde: f b = resistência de aderência;u = perímetro de φl

{

zuf x

Mxuf

z

M

b

v

b ⋅⋅=∆

∆

→∆⋅⋅=

∆

V = f b . u . z

tomando d87,0z ≅ e fazendo valores de cálculo:

cuf 87,0V bdd ⋅⋅≅

fazendo o perímetro como u = n π φl d, com n sendo o número de barras da armadura de flexão:

dnf 87,0V lbdd ⋅φ⋅π⋅⋅≅

com: Vd = força cortante de cálculo nas seções de referência S1A e S1B, por unidade de largura.Vd = V1dA na seção de referência S1A ;Vd = V1dB na seção de referência S1B .Se Vd for maior haverá o escorregamento.

27. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO

A viga de equilíbrio também é comumente chamada “viga alavanca” (Figura 89).Os pilares posicionados na divisa dos terrenos ficam excêntricos em relação ao centro da

sapata, o que faz surgir um momento fletor, que pode ser absorvido por uma “viga de equilíbrio”,vinculada à sapate de um outro pilar, interno à construção. A viga também atua transferindo acarga do pilar para o centro da sapata (Figura 90).

d i v i s a

V. E.

Figura 89 – Sapata sob pilar de divisa e com viga de equilíbrio.




2,5cm

b a A

b

B

A

b

a A 1

b w

a p 1

bp1

bp2

a p 2

A 2

B2

N1

N2

VE

BB1

VE

R1

R2p1

p2 h

h h

h 0

h 1 h

v ee1

z

divisa

N1

N2

R2

R1

ee1

z

Figura 90 – Notações da sapata com viga de equilíbrio.

Área da sapata sob P1:

111 BAS ⋅=

solo11 R1,1S σ

=

Excentricidade e1 e reação R1:

)ez(RzN0)z(M 111 −=⋅→=∑

1

11 ez

zNR

−

⋅=

2b

2Be 1p1

1 −=




27.1 ROTEIRO DE CÁLCULO

1) Assumir um valor para R1’:

R1’ = 1,2 N1

2) Calcular a área de apoio da sapata 1 (divisa):

solo

11

'R1,1'S

σ=

3) Escolher as dimensões da sapata 1:

3B

A

1

1 ≤

11 B2A = (adotando-se) → S1’ = A1’ . B1’

2

'S'B'B'B2'S 1

1111 =→⋅= → inteiro múltiplo de 5 cm.

4) Cálculo da excentricidade e1 :

2

b

2

'B'e 1p1

1 −=

5) Cálculo do R1’’ :

'ezz

N''R1

11−

=

6) Comparar R1’ e R1’’

6.1) Se1

1111111 B

'SA,'BBR''R'R ==→==

6.2) Se ''R05,1'R''R95,0 111 ≤≤

1

11

solo

1111 B

SA

''R1,1S'BB =→

σ=→=

6.3) Se R1’ ≠ R1”

Retornar ao item 2 fazendo R1’ = R1” .

27.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO

Esquema estático (Figura 91):




N2

R2p1

q1 (pilar 1)

bbp1

(1)

BB1

(2) (3)

-V1L

M1L Vmáx

-

M2L

V2L

M

V

x

Figura 91 – Diagramas de esforços solicitantes na viga de equilíbrio.

1p

11 b

Nq =

1

11 B

Rp =

1

1p1

p

bqx =

a) Seção 1 )bx0( 1p≤≤ - Figura 92

p1

q1

V1

M1

q1x

xρ1x

Figura 92 – Seção 1.




( )

( )11

2

1

2

1

2

11

111111

v

qp2

xM

02x

p2x

qM0M

qpxV0xpVxq

0F

−=

=−++→=

−=→=⋅−+⋅

=

∑

∑

para x = bp1 ( limite da seção):

( )

( )11

2

1pL1

111pL1

qp2

bM

qpbV

−=

−=

b) Seção 2 ( )Bxb( 11p ≤≤ - Figura 93

p1

q1

bp1q1

M2

xp1x


1

1p12

1p11211p12

V

p

bqx0V:para

bqxpV0xpbqV

0F

⋅=→=

⋅−⋅=→=⋅−⋅+

=∑

02

xp

2

bxbqM0M

2

11p

1p12 =−

−⋅+→=∑

−⋅−= 2

b

xbq2

x

pM

1p

1p1

2

12

Para 1p111L21 bqBpVBx −−⋅=→=




−⋅−=

2

bxbq

2

BpM 1p

1p1

21

1L2

c) Seção 3

+≤≤

2

bzxB 1p

1 - Figura 94

p1

q1

bbp1

Bx

B1

V3

M3


−⋅−

−⋅=

=

−⋅−

−⋅+→=

=∆=⋅−⋅=

=⋅−⋅+→=

∑

∑

2

bxbq

2

BxBpM

02

BxBp

2

bxbqM0)3(M

cteNbqBpV

0BpbqV0F

1p1p1

1113

111

1p1p13

1p1113

111p13V

27.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO

a) Largura: cm5ab 1pw +≥ (pode ser alterado);

b) Altura: 1V hh ≥ (h1 = altura da sapata 1);

bV ld > (lb = comprimento de ancoragem da armadura do pilar).

Podem também serem deduzidas equações para bw em função de V1L e Mmáx (tarefa).

27.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA

Um modelo para cálculo dos esforços solicitantes na sapata é aquele proposto pelo CEB-70, já apresentado.a) Momento fletor na seção de referência S1A - Figura 95




b a A

b

A 1

b w

a p 1

bp1

d 2

0 , 1

5 b b

w

S2A

S1A

BB1

A

A

d2

0,15bbw

CC2A

d d 2 A

S 1 A

S 2 A

bbw

aap1

h

h

h

h 0

h 1

h v

A1

xxA

p

CORTE AA Figura 95 – Sapata sob o pilar da divisa. Seções de referência S1 e S2 .

Resultante da reação do solo na sapata (F1A):

A1A1 xBpF ⋅⋅=

sendo:11

1

BA

Rp

⋅=

ww1

A b15,02

bAx +

−=

Momento fletor:

2

xBpM

2

xFM

2A

1A1A

A1A1 ⋅=→=

b) Cálculo da altura da sapata

Pode ser definida em função do critério da NBR 6118:

3

bAh w1

1−

≥ → para sapata rígida; d1 = h1 – 5 cm (pode ser mais)

c) Verificação da força cortante na seção S2A

Força cortante de referência (ou atuante):

A21f dAcBpV ⋅⋅⋅γ =

2

d

2

bAc 1w1

A2 −−

=




Força cortante resistente (ou limite):

ckA2A2c

lim,d f db474,0

V ⋅ρ⋅⋅γ

= (f ck em MPa)

com: b2A = B1

3

hh;c5,1

bA

hh1dd 1

0A2w1

011A2 ≥≤

−

−−= (inteiro e múltiplo de 5cm) ou cm30h0 ≥

Se dAlim,d VV ≥ → dispensa–se a armadura transversal;

Se dAlim,d VV < → recomenda-se aumentar a altura útil da sapata;

lim,d

dA1n

V

Vdd =

d) Armadura à flexão

Armadura principal:

A1f

211

c M

dBK

γ

⋅= →

βx

sK

domínio

:tabelana

1

A1f sA1,s d

MKAγ

= ouyd1

A1f A1,s f d85,0

MA⋅

γ =

As,mín = 0,10 % B1 d1

A armadura é disposta uniformemente distribuída na dimensão B1 .

Armadura de distribuição (paralela à B1):

≥

m / cm9,0

A51

A2

A1,sdistr,s , com s ≤ 33 cm.

27.5 EXEMPLO 8(Exemplo de Ferro, N.C.P., Notas de Aula, 2005)

Dimensionar uma sapata para o pilar da divisa, fazendo a viga alavanca (Figura 96).Dados: C20; CA-50; N1 = 550 kN; N2 = 850 kN;

02,0solo =σ kN/cm2 ;

Armadura pilar = 10 φ 12,5 mm ; c = 4,0 cm.




30

2 0

2,5

400cm

30

3 0

divisa

Figura 96 – Esquema dos pilares.

Resolução

1) Dimensionamento da sapata

1.1) Assumir um valor para R’1

kN6605502,1N2,1'R 11 =⋅==

1.2) Área de apoio da sapata – S1

2

solo

11 cm300.36

02,0660

1,1'R

1,1'S ==σ

=

1.3) Cálculo da dimensão B1

cm7,1342

36300

2

'S'B 11 ===

Portanto, cm135'B 1 =

1.4) Excentricidade e1

cm505,2

2

30

2

135f

2

b

2

'B'e 1p11 =−−=−−=

f = distância da face do pilar à linha de divisa.

1.5) Cálculo de R’’1

kN6,62850400

400550

'ezz

N''R1

11 =−

=−

=

1.6) Comparação entre R’1 e R’’1

111 ''R05,1'R''R95,0 ≤≤

!ok6606,62805,16601,5976,62895,0 →=⋅≤≤=⋅




cm260Acm1,256135

34573BSA

cm135'BB

cm573.3402,0

6,6281,1

''R1,1S

11

11

11

2

solo

11

=→===

==

==σ

=

2) Esforços máximos na viga alavanca

2.1) Esforços solicitantes na seção x = bp1

cm30b;)qp(2

bM;)qp(bV 1p11

21p

L1111pL1 =−=−=

656,4135

6,628

B

Rp

1

11 === kN/cm

333,1830

550

b

Nq

1p

11 === kN/cm

( ) 155.6333,18656,42

30M

2

L1 −=−= kN.cm

( ) 3,410333,18656,430V L1 −=−= kN

2.2) Momento fletor máximo, V2L e M2L (seção x = B1)

cmkN234.24M

2

301,11830333,18

2

1,118656,4

2

bxbq

2

xpM

cm1,118656,4

30333,18

p

bqx

máx

21p

máx1p1

2máx

1máx

1

1p1máx

⋅−=

−⋅−=

−⋅−=

=⋅

=⋅

=

30333,18135656,4bqBpV 1p111L2 ⋅−⋅=⋅−⋅=

kN6,78V L2 =

−⋅−=

2

bBbq

2

BpM 1p

11p1

21

1L2

571.232

3013530333,18

2

135656,4M

2

L2 −=

−⋅−= kN.cm




Diagrama de esforços (Figura 97):

N2

R2

p1

q1

30bp1

= 135B1

(3)

-

-

V (KN)

x = 118,1

= 18,333KN

cm

= 4,656

410,3

78,6

6.155 24.234 23.571 M ( KNcm )

Figura 97 – Diagramas e esforços solicitantes na viga de equilíbrio.

3) Largura da viga alavanca

bw = ap1 + 5 cm = 20 + 5 = 25 cm

Por outra forma, estimando que dv = 2bw :

( )

máx

3w

máx

3w

máx

2ww

c M

b86,2

M4,1

b4

M4,1

b2bK ===

3 máxcw MK35,0b =

Kc pode ser adotado 6/f ck para o domínio 3:

( ) 4,29242340,2 / 635,0b 3w == cm → adotaremos bw = 35 cm

4) Altura da sapata da divisa

Para sapata rígida:

NBR 6118 → h1 ≥ (A1 – bw)/3 ≥ (260 – 35)/3 ≥ 75 cm

Pelo CEB-70 → 0,5 ≤ h1 /c ≤ 1,5




5,1122

352602

bAc w1 =

−=

−= → 0,5 ≤

5,112

h1 ≤ 1,5

56,3 cm ≤ h1 ≤ 168,8 cm → adotado h1 = 75 cm = hv

d1 = 75 – 5 = 70 cm = dv

O pilar tem armadura φ 12,5 mm, com lb = 38 cm (com gancho), e:

d1 = 70 cm > lb = 38 cm → ok!

5) Dimensionamento da viga alavanca

A armadura longitudinal superior da viga alavanca na região da sapata 1 pode sercalculada fazendo-se a analogia da viga com um consolo curto, ou segundo a teoria de vigafletida.

5.1) Armadura de flexão no trecho da sapata 1 (B1)

= 2 6 0

A 1

P1 P2

= 135B1

VE

h

= 7 5

h 0

h 1

C

= 1 1 2 5

C

= 1 1

2 5

sapata 2

sapata 1

h v

= 35bw

Figura 98 – Dimensões da sapata sob o pilar de divisa.

bw = 35 cm ; hv = h1 = 75 cm ; dv = d1 = 70 cm ; Md = 1,4 . 24234 = 33.928 kN.cm

1,533928

7035

M

dbK

2

d

2

c =⋅

== → βx = 0,22 (domínio 2), Ks = 0,025

12,1270

33928025,0As == cm2 → 6 φ 16 mm (12,00 cm2)




Como esta armadura não é muito alta, ela pode ser estendida até o pilar P2, sem corte.

Armadura mínima: As,mín = 0,15 % bw hv = 0,0015 . 35 . 75 = 3,94 cm2

Para a armadura longitudinal inferior pode-se adotar a armadura mínima (2 φ 16 ou 5 φ 10).

5.2) Armadura transversal

No trecho da sapata: Vk = 410,3 kN → VSd = 1,4 . 410,3 = 574,4 kN

Para cálculo de Asw , conforme as equações simplificadas do Modelo de Cálculo I,apresentadas na apostila de Dimensinamento de Vigas à Força Cortante, com concreto C20 e d v = 70 cm:

VRd2 = 0,35bw d = 0,35 . 35 . 70 = 857,5 kN > VSd → ok!

VSd,mín = 0,101bw d = 0,101 . 35 . 70 = 247,5 kN < VSd

97,143517,070

4,57455,2b17,0

d

V55,2A w

Sdsw =⋅−=−= cm2 /m

09,3355010

203,020b

f

f 20A

3 2

wywk

ctmmín,sw =

⋅== cm2 /m

Com Asw = 14,97 cm2 /m, fazendo estribo com quarto ramos tem-se Asw1ramo = 14,97/4 =

3,74 cm2

/m, e na Tabela A-1 da apostila citada, encontra-se: φ 8 mm c/13 cm (3,85 cm2

/m).

Espaçamento máximo: 0,67VRd2 = 574,5 kN, por coincidência igual a VSd .

s ≤ 0,6d ≤ 30 cm → s ≤ 0,6 . 70 = 42 cm ≤ 30 cm

∴ s ≤ 30 cm

0,2 VRd2 = 171,5 kN < VSd → st ≤ 0,6d ≤ 35 cm

st ≤ 0,6 . 70 ≤ 42 cm ≤ 35 cm → ok!

No trecho da viga coincidente com a sapata (B1) convém colocar a armadura calculadapara a força cortante máxima. No trecho fora da sapata 1, a armadura deve ser calculada para amenor seção transversal, 35 x 40 na união com a sapata 2 (pilar interno):

kN1106,784,1VSd =⋅=

!okVkN8,428353535,0V Sd2Rd →>=⋅⋅=

mín,swSdmín,Sd AVkN7,1233535101,0V →>=⋅⋅=

mcm09,35010

35)203,0(20A 2

3 2

mín,sw =⋅

⋅=




Estribo φ 6,3 mm c/20 cm (1,58 cm2 /m) com 2 ramos:

Sd2Rd VkN3,287V67,0 >= → s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm

s ≤ 0,6 · 35 ≤ 21 cm ≤ 30 → s ≤ 21 cm

2RdSd2Rd V2,0VkN8,85V2,0 >→=

cm21scm35d6,0s tt ≤→≤≤

Para a viga com bw = 35 cm a largura do estribo com 2 ramos resulta 26,4cm (35-4,3-4,3), maior que o valor st = 21 cm. Portanto, o estribo deve ter mais de 2 ramos. Por exemplo,estribo com 4 ramos φ 5 mm:

cm21scm9,25s0309,0

s

20,04máx =>=→=

⋅

Então: estribo φ 5 mm c/21 cm 4 ramos (3,81 cm2 /m)

5.3 Armadura de pele

Asp quando h > 60 cm

faceporcm63,275350010,0hb%10,0A 2wsp =⋅⋅=⋅=

5 φ 8 mm = 2,50 cm2 por face

5.4 Armadura de costura

A armadura de costura é colocada abaixo da armadura longitudinal negativa e serve paraaumentar a resistência e ductilidade da viga.

Pode ser adotada como: stcos,s A4,0A =

→=⋅= 2tcos,s cm85,412,124,0A 10 φ 8 mm = 5,00 cm2

6. Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca)




N5 - 10 c/ 13 N6 - c/20N1 - 6 Ø16A

A

N3N2

N3

5N4

6N1

CORTE AA

N1 - 2 x 3 Ø16 C = (em laço)

N2 - 2 x 5 Ø8 C = (arm. costura - em laço)

N3 - 2 x 5 Ø8 C = VAR (arm. pele)

N4 - 5 Ø10 C =

3 laços (6N1)N5 - 10 x 2 Ø8 C =

N6 - x 2 Ø5 C = VAR.

Detalhe dos laços sobo pilar P1

Figura 99 – Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca).

Notas: a) em distâncias pequenas entre os pilares a viga alavanca pode ser feita com alturaconstante;b) a armadura N1 pode ter parte interrompida antes do pilar P2, conforme o diagrama demomentos fletores.

27.6 TAREFA

a) Dimensionar e detalhar as armaduras da sapata sob o pilar P1;b) Idem para a sapata isolada sob o pilar P2 ;c) Se a sapata sob o pilar da divisa (P1) tiver a largura B1 diminuída e o comprimento A,aumentado, quais as implicações que essas alterações resultam para a viga alavanca?

27.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA

a) O centro geométrico da sapata 1 deve estar sobre o eixo da viga alavanca;b) As faces laterais da sapata devem ser paralelas ao eixo da viga alavanca para minimizar o

efeito do momento de torção;c) Recomenda-se que as cotas sejam tomadas nas projeções (direção normal à divisa).




B 1

e 1

P1

P2

CGsap

e1h

B1R

d i v i s a

e i x o d a v i g a a l a v a n c a

Figura 100 – Viga alavanca não normal à divisa.

Área da Sapata Sob o Pilar Interno (P2)

Pode ser considerado parte do alívio proporcionado pelo pilar da divisa.

N1 N2

R2

R1

P1 pilar P2

Figura 101 – Forças atuantes na viga alavanca não normal à divisa.

N1 + N2 = R1 + R2 → N2 – R2 = R1 – N1

R1 – N1 = N

Ssap = 1,1 (N2 - N/2)

27.7.1 Exercício Proposto

Dimensionar e detalhar as armaduras das sapatas e da viga alavanca dos pilares P1 e P2,sendo conhecidos: soloσ = 0,018 kN/cm2 ; C20 ; CA-50; NP1 = 520 KN; NP2 = 970 KN ; φl,pil =

12,5 mm.

4020

8 0

P1

P2

2,5 285

4020

d i v i s a

Figura 102 – Dimensões a serem consideradas.




28. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA

Quando a sapata de divisa não tem vinculação com um pilar interno, com viga deequilíbrio por exemplo, a flexão devido à excentricidade do pilar deve ser combatida pela própriasapata em conjunto com o solo. São encontradas em muros de arrimo, pontes, pontes rolantes,etc.

A reação do solo não é linear, mas por simplicidade pode-se adotar a distribuição linearna maioria dos casos.

bp

B

D i v i s a

não linear

N

Figura 103 – Sapata excêntrica sob pilar de divisa.

Para não ocorrer tração na base da sapata, a largura B deve ser escolhida de tal formaque: B ≤ 1,5bp . Recomenda-se também que A ≤ 2B.

Em função do valor da excentricidade da força N, os seguintes casos são considerados:

a) pb5,1B < (e < B/6) - Figura 104

bp

A6

B6e

A

B

pmín.

pmáx.

N

Figura 104 – Caso ondepb5,1B < (e < B/6).

solomáx 3,1Be6

1BA

Np σ≤

+

⋅=

−

⋅=

B

e61

BA

Npmín

b)

==

6B

e,b5,1B p- Figura 105




B6e

A

B

pmáx.

N

Figura 105 – Caso onde

==

6

Be,b5,1B p

solomáx 3,1BA

N2p σ≤

⋅=

c)

>>

6

Be,b5,1B p

- Figura 106

B6e

A

B

pmáx.

N

3 ( B2 - e )

Figura 106 – Caso onde

>>

6B

e,b5,1B p

solomáx 3,1e

2

BA3

N2p σ≤

−

=

A sapata de divisa pode ter altura constante (geralmente para alturas baixas e cargaspequenas) ou variável.




N

d i v i s a

d i v i s a

vigaenrijecedora

Figura 107 – Sapata isolada sob pilar de divisa.

Para casas onde resulte A > 2B pode-se criar viga associada à sapata excêntrica de divisa,como ilustrado nos exemplos.

Para não ocorrer torção na viga convém coincidir o centro da viga com o centro do pilar.A viga pode ser projetada na direção perpendicular à divisa.

h

viga

Figura 108 – Sapata excêntrica na divisa com viga de reforço.




A estrutura deve oferecer uma reação horizontal, para equilibrar a excentricidade dopilar/sapata.

H

H

l

P

pilarflexível

eR

M H

H

P pilarrígido

M

e R

Figura 109 – Estrutura para absorver forças horizontais.

29. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)No Projeto de fundações de um edifício com sapatas, o projeto mais econômico é aquele

com sapatas isoladas. Porém, quando as sapatas de dois ou mais pilares superpõem-se, énecessário fazer a sapata associada. A NBR 6122 chama “viga de fundação” quando os pilarestêm os centros alinhados.

Há várias possibilidades para a sapata associada, que pode receber carga de dois ou maispilares, de pilares alinhados ou não, com cargas iguais ou não, com um pilar na divisa, comdesenho em planta retangular, trapezoidal, etc.

Dependendo da capacidade de carga do solo e das cargas dos pilares, a sapata associadapode ter uma viga unindo os pilares (viga de rigidez). Essa é a sapata mais comum no Brasil.

29.1 SAPATA RETANGULAR

O centro geométrico da sapata deve coincidir com o centro de carga dos pilares, e destemodo a pressão no solo pode simplificadamente ser considerada uniforme.

A sapata pode ter a altura determinada segundo os critérios já mostrados e resultarflexível ou rígida.

Os seguintes casos podem ser considerados:




C1

C2

P1 P2

B 2

B 2

A

B

N1 N2

C1 C2ap2ap1

l1 l2

x

lccR

ρ ≅ σsolo

q1 N1

ap1

= ____ q2 N2

ap2

= ____

ρ = RA.B.

V

M

Figura 110 – Sapata conjunta.

a) N1 ≠ N2 e largura B previamente fixada

R = (N1 + N2)1,05 (ou 1,1)

∑ M (N1) = 0

0xRlN cc2 =⋅−⋅

cc2 l

R

Nx =

solo

RBA

σ=⋅




As dimensões l1 e l2 podem ser deduzidas e:

cc2

solo1 l

R

N

B2

Rl −

σ⋅=

cc1

solo2 lR

N

B2

Rl −σ⋅=

2cc1 lllA ++=

Os esforços solicitantes são determinados de maneira semelhante à viga de equilíbrio dassapatas com pilar de divisa, como já mostrado. Se o pilar estiver com a largura na direção dadimensão A, pode-se simplificar fazendo-o apenas como um apoio pontual (carga N1 no centrode ap1 ao invés da carga q1 em ap1).

A sapata econômica será obtida fazendo o momento fletor negativo próximo do momentofletor positivo.

b) 21 NN ≠ e comprimento A previamente fixado

cc2 l

R

Nx = ; R = 1,05 (N1 + N2)

x2A

l1 −= ; )xl(2A

l cc2 −−=

Largura da sapata: soloA

R

B σ⋅=

c) 2121 NNouNN <≅ e comprimento l1fixado

Este caso geralmente ocorre com pilar de divisa. A sapata pode ser retangular quando N1 não é muito diferente de N2. O comprimento A da sapata deve se estender pelo menos até asfaces externas dos pilares.

cc2 l

R

Nx =

Comprimento da sapata: ( )xl2A 1 +=

Largura da sapata:

soloA

RB

σ⋅=




P1 P2

A

B

N1 N2

ap2ap1

x R

ρ

l1 lcc l2

b p 1

b p 2

d i v i s a

h

Figura 111 – Sapata conjunta com pilar de divisa.

No caso de cargas dos pilares iguais ou muito próximas, e pilares não de divisa, odimensionamento econômico é conseguido com os balanços sendo A/5.

A5

35 A A

5

P1 P2

A

B

Figura 112 – Balanço econômico para a sapata conjunta.

29.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO

Punção: nas sapatas flexíveis a punção deve ser obrigatoriamente verificada. Nas sapatasrígidas deve ser verificada a tensão de compressão diagonal, na superfície crítica c.

Força Cortante: as forças cortantes determinadas segundo a direção longitudinal devemser verificadas como laje se B ≥ 5d, e como viga se B < 5d. Estribos com 2, 4, 6, etc. ramospodem ser usados.

Momentos Fletores - Armaduras de Flexão: na direção longitudinal a armadura deflexão deve ser dimensionada conforme os momentos fletores, e posicionadas de acordo com osinal do momento. Na direção transversal pode-se determinar uma viga sob cada pilar, com

largura d/2 além das faces do pilar.




P1P2

B b p 1

b p 2

h

ap1d

2d

2ap2d

2f

AI AIII

I II III IV

d

A

a + 0,5d + fap1 a + dap1

Figura 113 – Armaduras de flexão diferentes para as regiões I a IV.

obs.: f = distância da face do pilar P1 à divisa.

Nas regiões II e IV deve ser colocada a armadura mínima de viga, por metro:

AsII = AsIV = ρmín · h (cm2 /m)

Região I:

B

Nq 1

1 =

2

2

b-B

qM

2p1

11

=

yd1f s f 0,85dMA ⋅

γ = ;

As, mín. = ρ mín·(f + ap1 + 0,5d)h ;0,5d)ha(f

A

p1

s

++=ρ

ρ ≥ ρmín

Região III: os cálculos são semelhantes à região I, mas com a carga N 2, a largura ap2 + d evão B - bp2 . As armaduras das regiões I e III devem ser colocadas nas larguras (f + a p1 + 0,5d) e(ap2 + d), respectivamente.




29.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL

Quando a carga de um pilar é muito maior que a do outro pilar, utiliza-se a sapata comforma de trapézio (Figura 114).

P1

ap1C

P2

B 1

B 2

N1 N2

A

lcc

x R

= . ρρ2 B2

= . ρρ1 B1

Figura 114 – Sapata conjunta com planta em trapézio.

As dimensões A e c são adotadas, e:

R=(N1 + N2)1,1 (ou 1,05)

solosap

RS

σ=

A2

BBS 21

sap+

=

( ) 0PM 1 =∑

N2 . lcc – R . x === 000

R

l.Nx cc2=

Coincidindo o centro de gravidade da sapata (trapézio) com o centro de carga (força R),tem-se:

+

+=++

21

211p

BB

B2B

3

Ac2

a

x

Com esta equações e a seguinte, determinam-se os lados B1 e B2 .




A2

BBS 21

sap+

=

P1

ap1C

P2

B

1

B

2

N1 N2

A

lcc

x R

= . ρρ2 B2

= . ρρ1 B1

Figura 115 – Sapata conjunta com planta em trapézio.

29.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ

Nas sapatas associadas sob pilares com cargas altas é recomendável associar a sapata com

uma “viga de rigidez”, que aumenta a segurança da sapata, diminui a possibilidade de punção,diminui a deformabilidade da sapata, melhora a uniformidade das tensões no solo, enfim,aumenta a rigidez da sapata.

d2

0,15bw

d

S 1

S 2

bbw

h

CORTE AA

d v

h v

As

ρsapata

V.R.

1m

B

A

A

A

Figura 116 – Sapata conjunta com viga de rigidez.




BA

NNp 21

⋅

+=

29.4.1 Viga de Rigidez (VR)

Os diagramas de momento fletor e força cortante são como aqueles da sapata associada

sem viga de rigidez. A viga de rigidez deve ter as armaduras dimensionadas para esses esforços,determinados segundo a direção longitudinal da sapata.

+

+≥

cm5b

cm5bb

2p

1pw (5 cm = valor mínimo)

dv ≥ lb,φpil ; hv ≥ h

29.4.2 Sapata

A sapata é calculada considerando-se faixa de 1 m de largura, segundo a direção de B.Como modelo de cálculo pode ser adotado aquele do CEB-70, ou o “Método das Bielas”. Nocaso do CEB-70 devem ser consideradas as seções de referência como indicadas na Figura 116(S1 e S2). O dimensionamento da sapata à flexão resultará na armadura As .

29.5 EXEMPLO 9

Projetar uma sapata associada para dois pilares (Figura 117), sendo: N1 = 900 kN, N2 =1.560 kN, C20, γ solo = 1.925 kg/m3, carga do piso de 500 kgf/m2, φl,pil = 12,5 mm, c = 4,0 cm,altura de solo entre a base da sapata e o piso de 2,08 m, 5,191solo =σ KPa.

30

4 5

d

i v i s a

P1 P2

40

17,5cm 6.10m

Figura 117 – Medidas para a sapata associada do exemplo.

Resolução

Neste exemplo, as cargas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata serãoconsideradas diminuindo a tensão admissível do solo:

gsolo + gsap + gpiso = 2,08 . 1925 + 500 = 4.504 kgf/m2

a) Dimensões da sapata




Tensão admissível líquida do solo:

5,1460,455,191líq,solo =−=σ kPa = 146,5 kN/m2 = 0,1465 MPa

Área da sapata:

8,165,146

1560900Ssap =+

= m2

Centro de cargas: cc21

2 lNN

Nx

+= ;;; N1 + N2 = R

87,310,61560900

1560x =

+= m

Comprimento da sapata: ( )xl2A 1 +=

A = 2(0,175 + 3,87) = 8,09 m ≅ 8,10 m

Largura da sapata:A

SB sap

=

07,210,8

8,16B == m ≅ 2,10 m

01446,02108101560900

BANNp 21 =

⋅+=

⋅+= kN/cm2

Considerando a largura da sapata:

pB = 0,01446 . 210 = 3,037 kN/cm




30

4 5

d i v i s a

P1 P2

17,5

A810

1625

CP

x387

223 1825

B

2

1 0

900KN 1560

610

53,1

846,9 554,3

1005,7

= 3,037 KNcmρB

(KN)Vk

(KN.cm)Mk

-

+

331

465

50575

117605ou

115959

Figura 118 – Esforços solicitantes na sapata associada.

b) Altura da sapata

Conforme a NBR 6118: h ≥ (A – ap)/3

No caso de sapata isolada, A – ap = 2c. Para a sapata associada, o maior valor de c ocorreno lado direito do pilar circular, onde c = 162,5 cm, e:

3,1083

5,1622h ≥

⋅≥ cm

Fazendo a sapata como rígida com h = 108 cm, não será necessário verificar a punção.No entanto, o consumo de concreto resulta exagerado (18,4 m3). Como alternativa será adotada asapata flexível, com h = 85 cm (14,5 m3, − 21 %), e neste caso deve-se verificar a possibilidadede punção. Antes disso, é necessário calcular as armaduras de flexão.




c) Armadura de flexão na direção longitudinal

Momento fletor negativo:

M = − 117.605 kN.cm → Md = 164.647 kN.cm ; d = 80 cm

2,8164647

80210M

dbK 2

d

2c =⋅== → Ks = 0,024 (domínio 2)

39,4980

164647024,0

d

MKA d

ss === cm2 → 17 φ 20 mm = 53,55 cm2

Momento fletor positivo:

M = 50.575 kN.cm → Md = 70.805 kN.cm ; d = 80 cm

0,1970805

80210M

dbK2

d

2c =

⋅== → Ks = 0,024 (domínio 2)

24,2180

70805024,0

d

MKA d

ss === cm2 → 21 φ 12,5 mm = 26,25 cm2

d) Armadura de flexão na direção transversal (Figura 119)

30

= 4 5

d i v i s a

P1 P2

+ 0,5d + f72,5

+ d120

122 5

B = 2 1 0 c m

b p 1

ap1

ap2ap1

40ap2

Figura 119 – Regiões para a armadura de flexão.

Região do pilar P1:

29,4210900

B

Nq 1

1 === kN/cm

600.142

245210

29,42

2

bB

qM

221p

11 =

−

=

−

=kN.cm

M1d = 1,4 . 14600 = 20.440 kN.cm




7,2220440

805,72

M

dbK

2

d

2

c =⋅

== → Ks = 0,023 (domínio 2)

88,580

20440023,0

d

MKA d

ss === cm2 → 7 φ 12,5 mm = 8,75 cm2

Região do pilar P2:

43,7210

1560B

Nq 2

2 === kN/cm

841.262

2

40210

43,72

2

bB

qM

221p

22 =

−

=

−

= kN.cm

M2d = 1,4 . 26841 = 37.577 kN.cm

9,1937577

79120M

dbK

2

d

2

c =⋅

== → Ks = 0,023 (domínio 2)

94,1079

37577023,0

d

MKA d

ss === cm2 → 12 φ 12,5 mm = 15,00 cm2

e) Verificação da punção na superfície crítica C’

e1) Pilar circular P2 (Figura 120)

2d160

40

2 d

C'

Figura 120 – Superfície critica C’.

Tensão de cisalhamento solicitante (τSd):

du

FSdSd

⋅=τ

dx = 85 – 4,0 – 1,25/2 = 80,4 cm

dy = 85 – 4,0 – 1,25 – 1,25/2 = 79,1 cm




808,792

ddd yx

≅=+

= cm

Como 2d = 160 cm estende-se além da sapata, será considerada a distância a* (Figura121):

a*85

C' 1 0 5

1 0 5

Figura 121 – Distância a*.

852

40210

2

a

2

B*a 2p

=−

=−= cm ; a* ≤ 2d ≤ 160 cm

u* = 2π r = 2π . 105 = 659,7 cm

Acont,C’ = π 2102 /4 = 34.635 cm2

∆FSd = 1,4 (0,01446 . 34635) = 701,2 kN

Força reduzida: FSd,red = 1,4 . 1560 – 701,2 = 1.482,8 kN

Tensão atuante:

028,0807,6598,1482

Sd =⋅

=τ kN/cm2 = 0,28 MPa

As taxas de armadura ρx e ρy devem ser determinadas na distância 3d além das faces dopilar. Pelos cálculos já efetuados:

yx ρρ=ρ

ρx = ρy = ρmín = 0,0015 = ρ

ρx ρy

Figura 122 – Taxas de armadura longitudinal nas duas direções.





2cd3

ck1Rd f 5,0*ad2

f 100d20

113,0 ≤⋅ρ

+=τ

85802200015,0100

8020113,0 3

1Rd⋅⋅⋅

+=τ (utiliza-se o menor ρ1)

τRd1 = 0,53 MPa = 0,053 kN/cm2

cdck

2cd f 250

f 16,05,0f 5,0

−=

4,1

0,2

250

2016,05,0f 5,0 2cd

−=

0,5 f cd2 = 0,394 kN/cm2 = 3,94 MPa

Portanto, τSd = 0,28 MPa < τRd1 = 0,53 MPa, o que significa que não ocorrerá ruptura dasapata por punção, na posição do pilar P2.

e2) Pilar retangular P1 (Figura 123)

O momento fletor, que atua na direção de B, na região próxima ao pilar P1, serádesprezado.

32

1 0 5

1 0 5

82a*

8 2

a *

8 2

a *

4 5

5

5

5 5

8 2

a *

B = 2 1 0

Figura 123 – Distância a* no pilar da divisa.

Tensão de cisalhamento solicitante (τSd):

d*u

FSdSd =τ ; FSd = 1,4 . 900 = 1.260 kN

d = 80 cm

u* = 32,5 + 32,5 + 45 + π . 82,5 = 369,2 cm




Tensão atuante:

0427,0802,369

1260Sd =

⋅=τ kN/cm2 = 0,427 MPa

A taxa de armadura será calculada considerando as armaduras longitudinal negativa na

direção x e transversal positiva na direção y (B).

As, cosntr.

8 5

d = 8 0

Ø12,5

17 Ø12,5

Figura 124 – Armaduras longitudinais da sapata sob o pilar de divisa.

003,085210

55,53x =

⋅=ρ

ρy = ρmín = 0,0015

A armadura construtiva inferior na direção x também auxilia na resistência à punção, masnão será considerada.

00212,00015,0003,0yx =⋅=ρρ=ρ


2cd*3

ck1Rd f 5,0a

d2f 100

d

20113,0 ≤⋅ρ

+=τ

5,82802

2000212,01008020

113,0 31Rd

⋅⋅⋅

+=τ

τRd1 = 0,612 MPa

τSd = 0,427 MPa < τRd1 = 0,612 MPa → ok!

f) Dimensionamento da armadura transversal segundo a direção longitudinal

Na direção longitudinal a sapata é considerada como uma viga, e:bw = B = 210 cm < 5d < 5 . 80 < 400 cm

desse modo os cálculos devem ser feitos como viga e não como laje.




Adotando o Modelo de Cálculo I (concreto C20):

VRd2 = 0,35 bw d = 0,35 . 210 . 80 = 5.880 kN

VSd = VSd,máx = 1,4 . 1005,7 = 1.408 kN < VRd2 → ok!

VSd,mín = 0,101 bw d = 0,101 . 210 . 80 = 1.697 kN

VSd = 1.408 kN < VSd,mín = 1.697 kN → Asw = Asw,mín

56,182105010

203,020b

f

f 20A

3 2

wywk

ctmmín,sw =

⋅== cm2 /m

Espaçamento máximo:

0,67VRd2 = 3.940 kN > VSd

s ≤ 0,6d ≤ 0,6 . 80 ≤ 48 cm ≤ 30 cm → s ≤ 30 cm

Espaçamento máximo entre ramos verticais:

0,2VRd2 = 1.176 kN < VSd

st ≤ 0,6d ≤ 48 cm ≤ 35 cm → st ≤ 35 cm

Fazendo estribo φ 6,3 mm com 6 ramos (6 . 0,31 = 1,86 cm2):

1856,0s86,1

= → s = 10 cm < 30 cm

st = 200/5 = 40 cm ≈ st,máx = 35 cm (como a armadura transversal é a mínima, será aceitoum espaçamento um pouco superior para st).

g) Detalhamento das armaduras (Figura 125)




P2

N1 - 80 c/10

70

70

2 0 0

N 1 - 8

0 Ø 1 2 , 5 C

= 3 4 0

N2 - 80 c/10N3 - 2 x 80 c/10

N4 - 17 Ø20 C = N5 - 6 Ø8

N6 - 2 x 4 Ø6,3 CORR

N7 - 10 Ø8 C = N8 - 21 Ø12,5 C =

7 0

7 5

202

77

N2 - 80 Ø6,3 C =

40

77

N3 - 160 Ø6,3

21 N8

4 N6

17 N4

Figura 125 – Esquema do detalhamento das armaduras da sapata.

Tarefa: alterar o projeto da sapata fazendo uma viga de rigidez entre os dois pilares. Comparar oconsumo de materiais (concreto e aço) entre as duas soluções. A altura da sapata (85 cm) podeser alterada.

30. QUESTIONÁRIO

1) Definir resumidamente: fundação superficial, sapata, sapata isolada, sapata corrida, sapataassociada, sapata com viga de equilíbrio, sapata excêntrica de divisa sem viga de equilíbrio.Exemplificar com desenhos.

2) Por que a razão entre o lado maior e o lado menor de uma sapata isolada deve ser mantido até2,5?

3) Por que é interessante fazer os balanços iguais nas sapatas isoladas? Isso é obrigatório?4) Apresente o critério da NBR 6118 para a definição da rigidez da sapata. Compare com o

critério do CEB-70.5) Estude e descreva o comportamento estrutural das sapatas rígidas e flexíveis.6) Por que não ocorre ruptura por punção nas sapatas rígidas?7) Em que situações a NBR 6118 indica a aplicação das sapatas flexíveis?

8) A distribuição das tensões da sapata no solo é um assunto complexo, e depende de diversosfatores. Recomendo que seja estudada num livro de Fundações (Mecânica dos Solos).Procure saber as simplificações que são feitas em função da sapata ser rígida ou flexível edas características do solo (rocha, areia, argila, etc.).




9) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculado o momento fletor nasapata. Qual o carregamento considerado? Analise os casos de sapata sem e com momentosfletores.

10) Descreva os processos para ancoragem da armadura positiva.11) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculada a força cortante de

referência.

12) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C? Quando?13) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C’ ? Quando?14) Explique resumidamente o método das bielas. Em que tipo de sapata pode ser aplicado?15) Analise as diversas situações de tensão, diagrama de pressão no solo, etc., no caso de sapatas

com momentos fletores aplicados.16) No caso de sapatas flexíveis, geralmente o cálculo é feito fazendo-se uma analogia com quais

elementos estruturais? Como são calculados os momentos fletores e forças cortantes?17) Que verificação é extremamente importante de ser feita nas sapatas flexíveis? E nas sapatas

corridas?18) Quais processos de cálculo podem ser aplicados no dimensionamento das sapatas rígidas? E

no caso das sapatas flexíveis?

19) Como são consideradas as duas dimensões no cálculo das sapatas corridas? Qual é e como édisposta a armadura principal? E a armadura secundária?

20) Foi proposto um exercício de sapata corrida sob muro de divisa (p. 71.7). Não deixe de fazer,esse tipo de sapata é muito comum na prática. Alguns dados numéricos não foramfornecidos, propositadamente: procure, ou adote quando for o caso. Dúvidas? o Professorestá esperando-o!

21) Quando é necessário verificar o equilíbrio das sapatas quanto ao tombamento eescorregamento? Não esqueça de fazer essas verificações no exercício da sapata corrida daquestão anterior.

22) Quando e como verificar o escorregamento das armaduras de flexão nas sapatas?23) Por que fazer viga alavanca em pilar de divisa?24) Como é feito o dimensionamento da viga alavanca?25) No caso da sapata de divisa com viga alavanca, como é feito seu cálculo, em que direção?26) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, qual a largura máxima indicada? Quais os

casos de pressão no solo? Como a estrutura deve equilibrar a sapata?27) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, em quais casos pode ser recomendado

colocar vigas na sapata?28) Quais as preocupações básicas no projeto de uma sapata associada?29) É recomendado o projeto de uma viga de rigidez nas sapatas associadas? Por que?30) Como é dimensionada a viga de rigidez nas sapatas associadas? E a sapata na direção normal

à viga de rigidez?

31. RERERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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ALONSO, U.R. Dimensionamento de fundações profundas. Ed. Edgard Blücher, 1989.

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ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações e segurança nas estruturas –Procedimento, NBR 8681. Rio de Janeiro, ABNT, 2003.

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