Sakurai (Cap. 4) Resumo em Português

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Capítulo 4 Simetria em Mecânica Quântica Modern Quantum Mechanics - J.J. Sakurai (Revised Edition) Objetivo do capítulo: discutir em termos gerais a conexão entre simetrias, degenerescências e leis de conservação. 4.1 Simetrias, Leis de Conservação e Degenerescências Simetria em Física Clássica a) Formulação Lagrangeana Uma maneira alternativa de descrever um sistema clássico é introduzir a Lagrangeana L, que satisfaz a equação d dt L q i L q i 0 Note que L Lq 1 , q 2 , , q N ; q 1 , q 2 , , q N é uma função da coordenada generalizada q i e da correspodente velocidade generalizada q i . Para sistemas conservativos, L T V onde T é a energia cinética e V Vq 1 , q 2 , , q N , a energia potencial. Lagrangeana do oscilador. No caso do oscilador harmônico, a Lagrangeana é dada por Lx, x 1 2 mx 2 1 2 kx 2 . Usando a equação de Lagrange, encontramos d dt L x L x 0 d dt mx kx 0 mx kx Lagrangeana L, q i q i , L, q i , . Se a Lagrangeana não muda sob a ação de um deslocamento na coordenada q i , isto é, q i q i q i (4.1.1) então devemos ter L q i 0 (4.1.2) Logo, em virtude da equação de Lagrange, d dt L q i L q i 0 d dt L q i 0 ou dp i dt 0 (4.1.3) onde o momento canônico, p i é definido por p i L q i (4.1.4) Capítulo 4 Simetria em Mecânica Quântica 1

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Capítulo 4

Simetria em Mecânica QuânticaModern Quantum Mechanics - J.J. Sakurai (Revised Edition)

Objetivo do capítulo: discutir em termos gerais a conexão entre simetrias, degenerescências e leis deconservação.

4.1 Simetrias, Leis de Conservação e DegenerescênciasSimetria em Física Clássicaa) Formulação Lagrangeana

Uma maneira alternativa de descrever um sistema clássico é introduzir a Lagrangeana L, que satisfaz aequação

ddt∂L∂qi

− ∂L∂qi 0

Note que L Lq1,q2,… ,qN; q1, q2,… , qN é uma função da coordenada generalizada qi e da correspodentevelocidade generalizada qi. Para sistemas conservativos,

L T − V

onde T é a energia cinética e V Vq1,q2,… ,qN, a energia potencial.

Lagrangeana do oscilador. No caso do oscilador harmônico, a Lagrangeana é dada por

Lx, x 12 mx2 − 1

2 kx2.

Usando a equação de Lagrange, encontramosddt∂L∂x −

∂L∂x 0 → d

dt mx − −kx 0 mx −kx

Lagrangeana L… ,qi qi,… L… ,qi,… . Se a Lagrangeana não muda sob a ação de umdeslocamento na coordenada qi , isto é,

qi → qi qi (4.1.1)

então devemos ter∂L∂qi

0 (4.1.2)

Logo, em virtude da equação de Lagrange,

ddt∂L∂qi

− ∂L∂qi 0 → d

dt∂L∂qi

0

oudpi

dt 0 (4.1.3)

onde o momento canônico, pi é definido por

pi ∂L∂qi

(4.1.4)

Capítulo 4 Simetria em Mecânica Quântica 1

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Assim, se a Lagrangeana não varia com uma mudança na coordenada canônica qi, temos uma quantidadeque se conserva, que é o momento canônico, pi, conjugado a qi.

b) Formulação Hamiltoniana

Outra maneira alternativa de descrever um sistema clássico é através da Hamiltoniana Hqi,pi, de onde seobtém as equações de movimento

qi ∂H∂qi, pi − ∂H∂qi

Para um sistema conservativa, H é definida como

H T V.

Se a Hamiltoniana não depender de qi, que é uma outra maneira de dizer que H é invariante sob atranformação qi → qi qi, então, das equações de Hamilton,

pi ≡dpi

dt − ∂H∂qi 0

Portanto, pi se conserva se H não depender da mudança qi → qi qi.

Simetria em Mecânica Quântica Operador unitário U operação de simetria.

U - operador de simetria, independente do sistema possuir ou não a simetria correspondente a U.

Operações de simetria que diferem da identidade por um fator infinitesimal são definidas como

U 1 − i

G (4.1.7)

Sistema possui simetria. Caso o sistema possua a simetria associada ao operador U, então H éinvariante sob esta transformação. Ou seja

U†HU H (4.1.8)

Mas, isto é equivalente a

G,H 0 (4.1.9)

Constante de movimento. Devido a equação de movimento de Heisenberg, temosdGdt 1

i G,H 0, (4.1.10)

o que significa dizer que G é uma constante de movimento.

Relação de comutação e a conservação através do autoket. Podemos encontrar uma conexão entre arelação de comutação de G com H e a conservação de G do ponto de vista do autoket de G, quando Gcomuta com H.

Seja |g ′ o autoket de G para t t0. Neste caso,

G |g ′ g ′ |g ′ .

Em tempos posteriores, o ket pode ser obtido aplicando o operador evolução temporal:

|g ′, t0; t Ut, t0 |g ′ . (4.1.11)

Como G comuta com H, ele também comuta com Ut, t0 exp−iHt − t0/. Portanto,

G |g ′, t0; t G Ut, t0 |g ′ Ut, t0G g ′ Ut, t0 |g ′ (4.1.12)

DegenerescênciasProf. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 2

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Suponha que

H,U 0 (4.1.13)

para algum operador de simetria e |n é um autoket de energia com autovalor En, ou seja,

H |n En|n

Então, U|n é também um autoket de energia com o mesmo autovalor, uma vez que

HU|n UH |n EnU|n (4.1.14)

Os estados |n e U|n são diferentes. No caso de |n e U|n representarem estados diferentes, sendo iguaissuas energias, eles são estados degenerados. Geralmente U é caracterizado por um parâmetro contínuo,digamos , e, portanto, todos os estados da forma U |n têm a mesma energia.

Caso específico da rotação. Suponha que o Hamiltoniano do sistema seja invariante por rotação. Logo,

DR,H 0 (4.1.15)

que, necessariamente implica que

J,H 0, J2,H 0 (4.1.16)

Estados simultâneos. Neste caso, podemos construir autoestados simultâneos de H, J2 e Jz,representado pelo ket |n; j,m. De acordo com o que se mostrou, todos os estados da forma

DR|n; j,m ∑m ′

|n; j,m ′ Dmm ′j R (4.1.17)

têm a mesma energia En. Observe que DR|n; j,m é uma combinação linear de 2j 1 estadosindependentes, correspondentes aos 2j 1 valores diferentes de m ′. Para cada valor de m, obtém umacombinação linear diferente, com a mesma energia. Portanto, DR|n; j,m tem degenerescência 2j 1, quecorresponde aos 2j 1 valores diferentes de m.

Exemplo: elétron num átomo. Neste caso, o potencial pode ser escrito na forma

Vr VLSr L S

onde L e S são o momento angular orbital e de spin, respectivamente. Uma vez que r e L S são invariantespor rotação, esperamos que cada nível atômico tenha degenerescência 2j 1.

Campo elétrico ou magnético. Submetendo-se o átomo, a um campo elétrico ou campo magnético, porexemplo, na direção z, a simetria rotacional agora é notoriamente quebrada; como resultado, não se esperamais que os níveis tenham aquela degenerescência, ou o que dá no mesmo, que os estados caracterizadospor diferentes valores de m tenham a mesma energia.

4.2 Simetrias Discretas, Paridade ou Inversão EspacialOperações de simetria discreta tratadas neste capítulo: paridade, translação da rede e inversão temporal.

Paridade ou Inversão Espacial. Como aplicada a transformação de sistemas de coordenadas, muda umsistema dextrogiro em sistema levogiro, como mostrado na figura.

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y novo y

novo x

novo zx

z

Sistema dextrogiro Sistema levogiro

Transformação de paridade sobre kets. Dado o ket |, considere um estado espacialmente invertido, queé obtido pela aplicação do operador unitário conhecido como operador paridade, como segue:

| → | (4.2.1)

Exigimos que o valor esperado de x tomado com relação ao estado invertido tenha o sinal oposto ao doestado original. Ou seja,

⟨| †x | −⟨| x | (4.2.2)

Isto é obtido se

†x −x (4.2.3)

ou

x −x (4.2.4)

onde usamos o fato de ser um operador unitário: † † 1

Transformação de |x ′ sob operação de paridade. Como um autoket do operador posição transforma-separidade?

Seja,

x |x ′ x ′ |x ′

Então

x |x ′ x ′ |x ′

Como x − x ,

− x |x ′ x ′ |x ′

Então

x |x ′ −x ′ |x ′

Esta equação nos diz que |x ′ é um autoket de x com autovalor −x ′. Portanto, a menos de uma fase, eledeve ser o mesmo que o autoket da posição |−x ′ . Podemos então escrever,

|x ′ ei|−x ′ (4.2.5)

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Por convenção, adota-se ei 1, ou seja,

|x ′ |−x ′

Aplicando novamente o operador

2|x ′ |−x ′ |x ′ .

Então,

2 1

isto é, voltamos ao estado original aplicando duas vezes. Usando a propriedade da unitariedade,

1 → † † †

obtém-se que este operador é também Hermitiano. Assim,

−1 † . (4.2.7)

Também obtém-se que seus autovalores podem ser apenas 1.

Comportamento do Momento Linear sob Paridadep m dx/dt → da mesma forma que x deve ser ímpar sob paridade

Momento como gerador de translações. A figura mostra que uma operação de translação seguida porparidade é equivalente à paridade seguida por translação em sentido oposto. Ou seja,

translação paridade paridade translação em sentido oposto

dx'

− dx'

Em termos de operadores

Tdx ′ T−dx ′ (4.2.8)

Demonstração: Seja |x ′ um autoket da posição. Então

Tdx ′|x ′ |x ′ dx ′ |−x ′ − dx ′ T−dx ′|−x ′ T−dx ′ |x ′

de onde segue (4.2.8)

Como Tdx ′ 1 − ip dx ′

, então obtém-se dali

Capítulo 4 Simetria em Mecânica Quântica 5

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1 − ip dx ′

† 1 ip dx ′

(4.2.9)

onde multiplicamos aquela equação por † pela direita. Então, para um deslocamento fixo dx′, encontramos

1 − ip dx ′

† 1 ip dx ′

− p† dx ′ p dx ′

ou seja,

p† −p ou ,p 0 (4.2.10)

Ou seja, o operador momento anticomuta com o operador paridade.

Comportamento do Momento Angular sob ParidadeUma vez que

L x p

então

L† x p† x† p† L

então

L L → ,L 0 (4.2.11)

Momento angular como gerador de rotações. Para mostrar que esta propriedade também vale para spin,devemos usar o fato de que J é o gerador de rotações. Para matrizes ortogonais 3 3, temos

R paridade R rotação R rotação R paridade (4.2.13)

onde R paridade é dado explicitamente por

−1 0 00 −1 00 0 −1

; (4.2.14)

Os operadores paridade e rotação comutam. Para os operadores unitários, temos a relação correspondente

DR DR (4.2.15)

Da definiçãoDR 1 − J n / segue-se

1 − J n /† 1 − J n /

de onde se obtém, para uma direção fixa n

J† J ou ,J 0 (4.2.16)

Operador momento angular de spin. Para uma partícula com spin, o momento angular total J é dado por

J L S

Como J, 0 e L, 0 segue-se também que S, 0.

Pseudoescalar. Considere agora operadores do tipo S x. Sob rotações, eles se transformam da mesmaforma como escalares comuns, tais como S L ou x p. Mas, sob inversão espacial, eles se transformam daseguinte maneira:

S x† S† x† S −x −S x (4.2.18)

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e assim por diante. O operador S x é um exemplo de um pseudoescalar.

Propriedade de Paridade das Funções de OndaSeja x ′ a função de onda de uma partícula sem spin, cujo ket de estado é |

x ′ ⟨x ′ | (4.2.19)

A função de onda do estado sujeito a uma inversão espacial, representado pelo ket |, é

⟨x ′ || ⟨−x ′ | −x ′ (4.2.20)

O ket | é um autoket do operador paridade. Se | é um autoket do operador paridade, cujos autovaloressão 1 como já vimos, então

| | (4.2.21)

A correspondente função de onda será

⟨x ′ || ⟨x ′ | (4.2.22)

Mas, como já vimos, temos também

⟨x ′ || ⟨−x ′ | → ⟨−x ′ | ⟨x ′ |

Assim, o estado | é par ou ímpar sob operação de paridade, dependendo se a correspondente função deonda satisfaz

−x xparidade par

paridade ímpar (4.2.24)

Autoket do momento. Nem todas as funções de onda de interesse físico têm paridades definidas. Porexemplo, o operador momento anticomuta com o operador paridade; logo, o autoket do momento não étambém um autoket do operador paridade. Logo, a função de onda plana, eipx ′/, que é a função de ondapara o autoket do momento, não satisfaz (4.2.24).

Autoket do momento angular orbital. Um autoket do momento angular orbital deve ser também umautoket da paridade, uma vez que esses dois operadores comutam. Seja a função de onda:

⟨x ′|, lm RrYlm, (4.2.25)

A transformação de x ′ → −x ′ resulta em

r → r → − cos → −cos → eim → −1meim

(4.2.26)

Usando a forma explícita,

Ylm, −1m 2l 1l − m!

4l m! Plmcos

−1meim (4.2.27)

para m positivo, onde

Pl|m|cos −1ml

2 ll!l |m|!l − |m|!

sen −|m|

−1l−m

ddcos

l−|m|

sen 2l, (4.2.28)

então sob paridade

Capítulo 4 Simetria em Mecânica Quântica 7

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Ylm − , −1 lYl

m, (4.2.29)

Então, podemos concluir que

|, lm −1 l|, lm (4.2.30)

Propriedades de paridades dos autoestados de energia

Teorema Suponha que

H, 0 (4.2.31)

e |n é um autoket não degenerado de H com autovalor En

H |n En |n (4.2.32)

então |n é também um autoket da paridade.

Prova: Seja o ket

12 1 |n (4.2.33)

De

12 1 |n 1

2 2 |n 1

2 1|n 12 1 |n

conclui-se que este ket é um autoket do operador paridade com autovalores 1. Por outro lado, como

, H 0, então

H 12 1 |n 1

2 1 H |n En12 1 |n

também é um autoket de H com autovalor En. Por outro lado, |n e 12 1 |n devem representar o

mesmo estado, o que do contrário seriam dois estados com a mesma energia, o que contradiz a hipótese

inicial de estados não degenerados. Segue-se que |n, que é o mesmo que 12 1 |n exceto por uma

constante multiplicativa, deve ser um autoket do operador paridade com paridade 1.

Exemplo 1: Oscilador Harmônico Simples. A função de onda do estado fundamental do OHS é0x ′ Ce−x ′/x0

2. Logo,

0−x ′ 0x ′

ou seja, tem paridade par. Portanto, o ket |0 correspondente a esta função de onde é também par:

|0 |0.

O primeiro estado excitado

|1 a†|0 (4.2.34)

deve ter paridade ímpar, uma vez que a† é uma combinação linear de x e p, ambos de paridade ímpar.Assim,

|1 −|1.

Em geral, a paridade do n-ésimo estado excitado do OHS é dada por

−1n. (4.2.35)

Exemplo 2: Átomo de Hidrogênio. Devemos sempre observar que a hipótese de estado não degenerado émuito importante para a aplicação do teorema acima. Um contra-exemplo é o átomo de hidrogênio. Como

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sabemos, o Hamiltoniano neste caso comuta com o operador paridade, uma vez que o potencial deCoulomb assim permite. Mas, sabemos também que os autovalores da energia só dependem do númeroquântico principal n (por exemplo, os estados 2p e 2s são degenerados). Mas, apesar disso, um autoket daenergia

cp|2p cs|2s 4.2.35)

não é um autoket da paridade.

Exemplo 3: Partícula livre. O Hamiltoniano da partícula livre, H p2/2m, obviamente que comuta comoperador paridade: H, 0. Mas, apesar disso, os autokets de energia deste problema, |p ′ , não sãoautokets do operador paridade, uma vez que p ′ anticomuta com . Mas o teorema continua válido, uma vezque existe aqui uma degenerescência entre |p ′ e |−p ′ , que são estado com a mesma energia. Ou seja,

H |p ′ p ′2

2m |p ′ .

Neste caso, os autokets da paridade são combinações lineares de |p ′ . Por exemplo,

De fato,

12|p ′ |−p ′ 1

2|−p ′ |p ′ 1

2|p ′ |−p ′ .

Em termos da linguagem das funções de onda em si, eip′x ′/ não têm paridade definida, mas sim, suascombinações lineares, que resultam em cosp ′ x ′/ e senp ′ x ′/.

Poço Duplo Simétrico de PotencialO potencia deste problema é dado na figura abaixo. Devido à simetria, teremos obivamente,

V−x Vx.

Disto resulta que o Hamiltoniano comuta com a paridade, H, 0.

ES

Estado simétrico |S⟩ Estado anti-simétrico |A⟩

EA

Esta figura também mostra os dois estados de mais baixa energia, E1 e E2. Explicitamente, suas funções deonda envolvem seno e cosseno nas regiões classicamente permitidas e senh e cosh na região classicamenteproibida. As soluções são casadas nos pontos de descontinuidades do potencial: a estas soluçõeschamaremos de estado simétrico |S e estado anti-simétrico |A. Como não há degenerescências, estesestados são autokets simultâneos de H e . Os cálculos mostram que EA ES, onde na figura ES E1 eEA E2. Isto pode ser inferido da figura, notando que a função de onda do estado anti-simético tem umacurvatura maior, e, portanto, maior energia cinética. A diferença entre as energias ES e EA é muito pequenaquando a barreira central é alta (veja discussão mais adiante).

Capítulo 4 Simetria em Mecânica Quântica 9

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Estados não estacionários. Vamos construir os kets

|R 12|S |A (4.2.37a

e

|L 12|S − |A (4.2.37b

De acordo com a figura, as funções de onda correspondentes, R e L, são fortemente concentradas dolado direito R e do lado esquerdo L do potencial, respectivamente. Esses kets não são autokets daparidade. De fato,

|R 12|S |A 1

2|S |A 1

2|S − |A

|L

e

|L |R

Também, os kets |R e |L não são autokets da energia, pois

H |R H 12|S |A 1

2ES |S EA|A ≠ E |R

A mesma coisa acontece com |L. Estes estados são exemplos clássicos de estados não estacionários.

Evolução temporal. Para sermos mais precisos, vamos considerar que o sistema seja representado peloket |R no instante t 0. Para tempos posteriores,

|R, t0 0; t e−iHt/|R 12

e−iHt/|S e−iHt/|A

12

e−iESt/|S e−iEAt/|A

12

e−iESt/ |S e−iEA−ES t/|A (4.2.38)

No instante t T/2 22EA − ES

,

exp −iEA − ESt

exp −iEA − ES

22EA − ES

e−i

−1.

assim,

|R, t0 0; t T/2 e−iESt/ 12

|S e−iEA−ES t/|A

e−iESt/ 12

|S − |A

|L.

Ou seja, no instante t T/2, o sistema é encontrado no estado puro |L. Para t T, |R, t0 0; t T está devolta ao estado puro |R. Logo, em geral, a frequência de oscilação entre os estados puros |R e |L é dadapor

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EA − ES

(4.2.39)

que corresponde a um período

T 2 2

EA − ES.

Comportamento oscilatório e tunelamento. Este comportamento oscilatório pode também ser consideradosob o ponto de vista de tunelamento em mecânica quântica. Isto é: uma partícula inicialmente confinada dolado direito pode tunelar através da região classicamente proibida (barreira central) para o lado esquerdo,voltar para o lado direito e assim sucessivamente.

Barreira central de altura infinita. Podemos mostrar que os estados |S e |A agora são são degenerados,isto é, ES EA E. Neste caso, os estados |R e |L são autokets de energia. De fato,

H |R 12

ES |S EA|A E |R

H |L 12

ES |S − EA|A E |L

Porém, devido a degenerescência, |R e |L não são autokets da paridade.

∞ ∞

Estado simétrico |S⟩ Estado anti-simétrico |A⟩

|R e |L são estados estacionários. O fato de |R e |L serem agora autokets da energia significa que, se osistema estiver no estado |R no instante t 0, assim permanecerá para sempre (o período de oscilaçãoentre os estados |R e |L é agora infinito). Devido a altura infinita da barreira central, não há possibilidadede tunelamento.

Então, quando existe degenerescência, os autokets de energia que podem ocorrer fisicamente não precisam serautokets da paridade.

Observação No caso analisado, o estado fundamental é assimétrico, a despeito do Hamiltoniano ser simétrico porinversão espacial, tal que, com a degenerescência, a simetria de H não é necessariamente obedecida pelosautoestados de energia.

Molécula de AmôniaUm sistema que ilustra a importância do poço duplo simétrico é uma molécula de amônia, NH3 (v. figura).

Capítulo 4 Simetria em Mecânica Quântica 11

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N

H

H

H N

HH

H

Os três átomos de H localizam-se sobre os vértices de um triângulo equilátero. O átomo de N pode estaracima ou abaixo deste plano, onde as posições cima e baixo são definidas porque a molécula gira em tornodo eixo como mostra a figura. Essas posições de N são análogas a R e L do poço duplo de potencial. Osautoestados simultâneos da paridade e da energia, são combinações lineares de |R → cima e|L → baixo . Assim,

|S 12

cima baixo

|A 12

cima − baixo

A diferença de energia EA − ES corresponde a uma frequência de oscilação de 24.000 MHz – umcomprimento de onda da ordem de 1 cm, que está na região de microondas. NH3 é de fundamentalimportância para a física dos masers.

Regra de Seleção de ParidadeSuponha que | e | sejam autoestados da paridade:

| | (4.2.40a

e

| | (4.2.40b

onde e são autovalores da paridade 1.

Pode-se mostrar que

⟨|x| 0 (4.2.41)

exceto para −. Em outras palavras, o operador x (de paridade ímpar) conecta estados de paridadeopostas. (O dipolo elétrico é um operador deste tipo.)

Demonstração. Seja

⟨|x| ⟨|−1x−1| ⟨|−1x−1| −⟨|x| (4.2.42)

ou seja

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⟨|x| −⟨|x|, se 1

⟨|x|, se

Assim, para 1 (mesma paridade) ⟨|x| −⟨|x|, o que é impossível para valores finitos diferentesde zero. Logo, o resultado só terá sentido para −1 (paridade oposta).

Regra de seleção. Em termos das funções de onda correspondentes, o argumento será

x d 0 (4.2.43)

se e tiverem a mesma paridade (integrando ímpar). Este resultado, conhecido como regra de seleção,devido a Wigner, é de grande importância na discussão de transições radiativas entre estados atômicos.Essas transições acontecem entre estados de paridade oposta como consequência formalismo deexpansão em multipolos. Eram conhecidas fenomelogicamente da análise de linhas espectrais, antes daMecânica Quântica, como regra de Laporte. Wigner mostrou que a regra de Laporte é uma consequência daregra de seleção de paridade.

Momento de dipolo. O valor esperado do momento de dipolo num autoestado de energia |n éproporcional a

⟨n|x|n

Se o Hamiltoniano comuta com a paridade,

H, 0

então |n é também um autoket da paridade, se os estados forem não degenerados (veja teorema acima).Logo, como consequência de (4.2.43),

⟨n|x|n 0 (4.2.44)

Para estados degenerados é perfeitamente possível haver momento de dipolo, como veremos no Capítulo 5.

Generalização dos resultados. Operadores que são ímpares sob ação da paridade, tal como p ou S x, têmelementos de matriz não nulos somente entre estados de paridade oposta. Por outro lado, operadores que são paresconectam estados de mesma paridade.

Não-conservação da Paridade★ Leia esta seção.

4.3 Translação da Rede como Simetria DiscretaTranslação da rede → outro tipo de operação de simetria discreta.

Considere o potencial periódico em uma dimensão, onde

Vx a Vx,

representado na parte (a) da figura abaixo.

Capítulo 4 Simetria em Mecânica Quântica 13

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a a a a a

(a)

a a a aa

(b)

Na prática, podemos considerar o movimento de um elétron numa cadeia regularmente espaçada de íonspositivos.

Operador translação de rede. Seja o operador l que têm as seguintes propridades:

l†xl x l, l|x ′ |x ′ l (4.3.1)

Em geral, o Hamiltoniano, H K V, não é invariante sob uma translação representada por l para larbitrário. Porém, quando l coincide com o espaçamento de rede a, temos

†aVxa Vx a Vx (4.3.2)

A parte da energia cinética do Hamiltoniano, K ≡ − 2

2m ∇2, é invariante sob translação arbitrária. Logo, o

Hamiltoniano total satisfaz

†aHa H (4.3.3)

Como é unitário, † † 1, encontra-se

Ha Ha → H,a 0 (4.3.4)

Logo, H e a podem ser diagonalizados simultaneamente. Embora a seja unitário, ele não é umoperador Hermitiano. Em consequência disto, espera-se que seus autovalores sejam números complexosde módulo 1.

(A) Rede periódica com barreira infinita (parte (b) da figura). Qual é o estado fundamental para o potencialmostrado na figura (b) acima?

Obviamente é o estado em que a partícula está completamente localizada em um dos sítios da rede.

Seja |n o ket correspondente à situação em que a partícula esteja localizada no n-ésimo sítio. Uma vez quea barreira de potencial é infinita, este estado é um autoket da energia com autovalor E0:

H |n E0|n

Sua função de onda, ⟨x ′ |n, é finita apenas dentro do n-ésimo sítio, sendo nula fora dele.

Entretanto, um estado similar localizado em outro sítio da rede tem também a mesma energia E0, demaneira que existe um número infinito de estados fundamentais n, onde − n .

|n não é um autoket de a. De fato,

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 14

Page 15: Sakurai (Cap. 4) Resumo em Português

a |n |n 1, (4.3.5)

a despeito de comutar com H. Isto é consistente com o teorema sobre simetria, uma vez que existedegenerência (infinita). Quando existe degenerescência, a simetria do mundo não necessita ser a simetriados autokets de energia.

Autokets simultâneos de H e a. Aqui a situação que acontece com |n é similar àquela do poço duplo(infinito) de potencial. Os estados |R e |L não são autokets de . Porém, podemos formar combinaçõeslineares simétrica e assimétrica desses kets, que são autokets de . Seja a combinação linear

| ∑n−

ein |n (4.3.6)

onde é um parâmetro real com − ≤ ≤ . Vamos admitir que | seja um autoket simultâneo de H e a.Que | é um autoestdo de H é óbvio, uma vez que |n é um autoket com autovalor E0. Para o operadortranslação de rede, segue-se

a | ∑n−

ein |n 1 e−i ∑n−

ein1 |n 1 e−i | (4.3.7)

Note que este autoket simultâneo de H e a é parametrizado por um parâmetro contínuo . Além disto, oautovalor da energia E0 não depende de .

(B) Rede periódica com barreira finita (parte (a) da figura). Neste caso, a função de onda ⟨x ′ |ncorrespondente o ket localizado |n tem uma pequena cauda extendendo-se para os sítios vizinhos devidoao tunelamento quântico. Por conta disto, |n não é mais um autoket de H. Em outras palavras, H não émais diagonal na base |n. Devido à invariância translacional de H, todos os seus elementos diagonaissão iguais, ou seja,

⟨n| H |n E0 (4.3.8)

independente de n, como antes.

Suponha agora que as barreiras sejam muito altas (mais não infinitas). Esperamos que os elementos dematriz de H entre sítios distantes sejam desprezíveis. Vamos considerar que os únicos elementos fora dadiagonal importantes conectam os vizinhos mais próximos.

n n+1n-1

Ou seja,

⟨n ′ | H |n ≠ 0 somente se n ′ n ou n ′ n 1 (4.3.9)

Em física do estado sólido, esta suposição é conhecida como aproximação tight-binding (ou ligações fortes).Vamos definir

⟨n 1| H |n −Δ (4.3.10)

Novamente, devido à invariância translacional de H, Δ é independente de n (ou do sítio onde é calculado).Usando (4.3.8) e (4.3.9), e a ortogonalidade entre |n e |n ′ quando n ≠ n ′, obtém-se

Capítulo 4 Simetria em Mecânica Quântica 15

Page 16: Sakurai (Cap. 4) Resumo em Português

H |n E0 |n − Δ |n 1 − Δ |n − 1 (4.3.11)

Observe que |n não é um autoket da energia.

Autokets simultâneos de H e a. Como fizemos anteriormente, vamos construir o estado | como umacombinação linear da forma

| ∑n−

ein |n (4.3.12)

Agora | continua sendo um autoket de a como antes. Para H, temos:

H | ∑n−

ein H |n ∑n−

ein E0 |n − Δ |n 1 − Δ |n − 1

E0∑n−

ein |n − Δ∑n−

ein |n 1 − Δ∑n−

ein |n − 1

E0∑n−

ein |n − Δe−i∑n−

ein1 |n 1 − Δei∑n−

ein−1 |n − 1

E0 | − Δ e−i ei|

ou seja,

H | E0 − 2Δcos | (4.3.13)

A grande diferença entre este caso e o anterior é que agora os autovalores da energia dependem doparâmetro real contínuo . A degenerescência é quebrada para Δ finito e encontramos uma distribuiçãocontínua de autovalores da energia entre E0 − 2Δ e E0 2Δ (veja figura).

E0

Δ

banda de energia

E0 + 2Δ

E0 - 2Δ

Significado físico do parâmetro . Seja a função de onda ⟨x ′ |. Para do estado transladado da redea|, obtém-se

⟨x ′ | a| ⟨x ′ − a| (4.3.14)

fazendo a atuar sobre ⟨x ′ |. Mas, também podemos fazer a atuar sobre |, usando (4.3.7), ou seja,a| e−i|:

⟨x ′ | a| e−i⟨x ′ | (4.3.15)

tal que

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 16

Page 17: Sakurai (Cap. 4) Resumo em Português

⟨x ′ − a| e−i⟨x ′ | (4.3.16)

Solução: Fazendo ka e introduzindo uma função periódica com período a, ukx ′, podemos mostrar que

⟨x ′ | eikx ′ukx ′ (4.3.17)

é solução de (4.3.16). De fato, substituindo (4.3.17) em (4.3.16), obtém-se explicitamente

⟨x ′ − a| eikx ′−aukx ′ − a e−ika eikx ′ukx ′ e−i⟨x ′ |

onde usamos ukx ′ − a ukx ′. Esta importante condição é conhecida como teorema de Bloch: A função deonda de |, que é um autoket de a, pode ser escrita como uma onda plana eikx ′ vezes uma função periódica comperiodicidade a.

Note que o único fato que usamos foi que | é um autoket de a com autovalors e−i. O teorema de Blochcontinua valendo, mesmo que a aproximação tight-binding não seja uma aproximação válida.

Interpretração dos resultados para |

a função de onda é uma onda plana caracterizada pelo vetor de propagação de onda k modulada por uma funçãoperiódica ukx′

existe um corte no vetor de onda k dado por |k| a

para variando de − a , o vetor de onda varia de − a ≤ k ≤ a , conhecida como zona de Brillouin

os autovalores da energia, E, agora dependem de k :

Ek E0 − 2Δcoska (4.3.19)

que não depende da forma detalhada do potencial, quando a aproximação tight-binding é válida.

+2π

− 0

Δ+ 20E

0E

( )kE

k

Δ−20E

devido ao tunelamento, as degenerescências são completamente eliminadas e as energias formam uma bandacontínua entre E0 − 2Δ e E0 2Δ

4.4 Simetria Discreta de Inversão TemporalO termo mais correto seria reversão do movimento.

(A) Inversão temporal em mecânica clássica. Considere a trajetória de uma partícula sujeita a um campode força (veja a figura abaixo). Em t 0, a partícula pára (fig. a) e reverte (fig. b) o movimento: p| t0 −p| t0.

A partícula descreve de volta a mesma trajetória. Passando um filme na ordem reversa da trajetória (a) émuito difícil distinguir-se a sequência correta.

Capítulo 4 Simetria em Mecânica Quântica 17

Page 18: Sakurai (Cap. 4) Resumo em Português

Pára em t = 0

Reverte

(a) (b)

p t 0 −p t 0

Mais formalmente, se xt é uma solução da equação

mx −∇Vx, (4.4.1)

então x−t é também uma possível solução para o mesmo potencial.

Campo magnético: ponto de vista macroscópico. Com um campo magnético, podemos ser capazes dedizer a diferença entre os dois movimentos. De fato, passando o filme da trajetória do elétron espiralando nocampo magnético é possível dizer-se se o filme está na ordem certa ou reversa, ao compararmos o sentidoda rotação com os pólos magnéticos marcados com N e S.

S

N

trajetória doelétron

B

Campo magnético: ponto de vista microscópico. Porém, do ponto de vista microscópico, B é produzido porcargas em movimento via corrente elétrica; se invertermos a corrente que produz B, então a situação seriasimétrica. Em termos da figura acima, poderíamos concluir que N e S estariam marcados indevidamente.

Outra maneira mais formal de dizer tudo isso é que as equações de Maxwell,

∇ E 4, ∇ E − 1c∂B∂t , ∇ B 0, ∇ B − 1

c∂E∂t 4j

c (4.4.2)

e a força de Lorentz

F e E 1c v B

são invariantes por transformação t → −t, com as condições

E → E, B → −B, → −, j → −j, v → −v (4.4.3)

(B) Inversão temporal em mecânica quântica. Seja a equação de Schrödinger,

i ∂∂t − 2

2m ∇2 V (4.4.4)

Suponha que x, t é uma solução. Podemos verificar que x,−t não é uma solução. Porém, ∗x,−t éuma solução. Por exemplo, seja um autoestado da energia,Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 18

Page 19: Sakurai (Cap. 4) Resumo em Português

x, t unx e−iEnt/, ∗x,−t un∗x e−iEnt/ (4.4.5)

Substituindo-se na equação de Schrödinger, podemos verificar que ambos são solução daquela equação.Então, a inversão temporal tem alguma coisa a ver com a conjugação complexa. Se em t 0 a função deonda é dada por

⟨x| (4.4.6)

então a função de onda para o correpondente estado reverso temporal é dado por ⟨x|∗.

Digressões sobre Operações de SimetriaObservações gerais sobre operações de simetria. Considere a operação de simetria

| → |, | →

Produto interno preservado

⟨|. (4.4.8)

Isto é correto para operadores de simetria unitários (rotação, translação e paridade). No caso da inversãotemporal, que tem a ver com a conjugação complexa, uma condição mais fraca deve valer

|⟨|| (4.4.10)

Como consequência, temos

⟨|∗ ⟨ | (4.4.11)

que engloba (4.4.8).

Definição A transformação

| → |, | → | (4.4.12)

é dita ser antiunitária se

⟨|∗

c1| c2| c1∗| c2

∗|

(4.4.13a)

(4.4.13b)

Nesses casos, o operador é um operador antiunitário. A relação (4.4.13b) também define um operador antilinear.

Um operador antiunitário pode ser escrito como

UK (4.4.14)

onde U é um operador unitário e K é o operador conjugado complexo, que toma o conjugado complexo dequalquer coeficiente que multiplica um ket. Ou seja,

Kc| c∗K| (4.4.15)

Observação (1) O operador K atuando sobre os kets de base não muda esses kets. De fato, seja | escrito na base|a ′ . Logo,

| ∑a ′

|a ′ ⟨a ′ | → K| | ∑a ′

K ⟨a ′ ||a ′ ∑a ′

⟨a ′ |∗ K|a ′

∑a ′

⟨a ′ |∗ |a ′ (4.4.16)

Não há nada o que mudar em |a ′ :

Capítulo 4 Simetria em Mecânica Quântica 19

Page 20: Sakurai (Cap. 4) Resumo em Português

|a ′

0

010

0

(4.4.17)

Observação (2) Por exemplo, se usarmos Sz como base, os autokets de Sy devem mudar pela ação de K

K 12

| i2

|− → 12

| ∓ i2

|− (4.4.18)

Mas se os próprios autokets de Sy forem usados como base, K não muda os autokets de Sy.

É sempre mais seguro trabalharmos com a ação de UK sobre os kets. Se ⟨| → ⟨| ⟨|. Então

| → | ∑

a ′⟨a ′ |∗UK |a ′

∑a ′⟨a ′ |∗U |a ′

∑a ′⟨|a ′ U |a ′

Para |

| → | ∑

a ′⟨a ′ |∗U |a ′

CD↔ ∑

a ′⟨a ′ | ⟨a ′ | U†

Logo,

∑a ′′∑

a ′⟨a ′′ | ⟨a ′′ | U† ⟨|a ′ U |a ′

∑a ′′∑

a ′⟨a ′′ | ⟨a ′′ | U†U |a ′ ⟨|a ′

∑a ′′∑

a ′⟨a ′′ |

a′′a′

⟨a ′′ | a ′ ⟨|a ′

∑a ′⟨a ′ | ⟨|a ′ ∑

a ′⟨|a ′⟨a ′ |

⟨| ⟨|∗ (4.4.21)

Operador Inversão Temporal

Notação Usaremos a seguinte notação: - operador antiuinitário geral e Θ - operador inversão temporal.

Considere

| → Θ| (4.4.22)

onde Θ| é o estado de inversão temporal (ou de movimento reverso).

Se | é um autoket do momento |p ′ , então Θ| → |−p ′ . Da mesma forma, J também reverte por inversãotemporal.

Propriedades fundamentais do operador Θ. Considere um sistema representado pelo ket | no instantet 0. Num tempo imediatamente postorior, digamos t t, o sistema é encontrado em

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 20

Page 21: Sakurai (Cap. 4) Resumo em Português

|, t0 0; t t 1 − iHt | (4.4.23)

onde H é o Hamiltoniano do sistema.

Operações que levam ao mesmo estado

(a) primeiro aplicamos Θ em t 0 e, em seguida, deixamos o sistema evoluir sob a influência de H:

1 − iHt Θ| (4.4.24a

ou

(b) primeiro consideramos um estado ket no instante t −t e então aplicamos o operador Θ

Θ|, t0 0; t −t (4.4.24b

veja a figura abaixo.

Momentoapós a inversão

Momentoantes da inversão

t = 0

t = -δt

Momentoapós a inversão

Momentoantes da inversão

t = 0

t = +δt

(a) (b)

Matematicamente,

1 − iHt Θ| Θ 1 − iH

−t | (4.4.25)

ou, se for válida para qualquer ket, então

− iHΘ ΘiH (4.4.26)

ou ainda, em termos de uma equação de operadores

− iHΘ ΘiH (4.4.27)

Observação O operador Θ tem que ser um operador antiunitário. Leia os argumentos no livro de texto.

Sendo assim,

ΘiH −iΘH (4.4.30)

e, portanto,

HΘ ΘH → H,Θ 0 (4.4.31)

Observação Como alertamos anteriormente, é melhor evitar o uso de um operador antiunitário sobre um estado bra.Porém, podemos usar

⟨|Θ| (4.4.32)

Capítulo 4 Simetria em Mecânica Quântica 21

Page 22: Sakurai (Cap. 4) Resumo em Português

que sempre será entendido como

⟨| Θ| (4.4.33)

e nunca como

⟨|Θ | (4.4.34)

Comportamento de operadores por inversão temporalSeja

| Θ |, | Θ | (4.4.35)

Identidade:

⟨| X | ⟨| Θ X†Θ−1| (4.4.36)

Demonstração: Vamos definir

| ≡ X†| CD ⟨| ⟨| X

onde X é um operador linear Xa| b| aX| bX| , mas não necessariamente Hermitiano. Então,

⟨| X | ⟨|X | ⟨| ⟨| ⟨|Θ| ⟨|Θ X†| ⟨|Θ X†Θ−1Θ| ⟨|Θ X†Θ−1|

que prova a identidade. Em particular, para observáveis Hermitianos A, obtemos

⟨| A | ⟨|Θ A†Θ−1| ⟨|Θ AΘ−1| (4.4.40)

Existem duas classes de observáveis físicos que obedecem essas regras de transformação:

Θ AΘ−1 A (4.4.41)

São chamados de pares ou ímpares por transformação de inversão temporal, repectivamente.

Assim,

⟨| A | ⟨| A | ⟨ A |∗ (4.4.42)

Valores esperados. Se | |, obtém-se

⟨| A | → ⟨| A | ⟨| A |∗ ⟨| A | (4.4.43)

onde ⟨| A | é o valor esperado tomado em relação ao estado de tempo reverso.

Exemplo 1: Valor esperado de p. O valor esperado de p no estado de tempo reverso deve ter o sinaloposto ao do estado original. Então

⟨| p | − ⟨| p |

tal que p é um operador ímpar, ou seja,

Θ p Θ−1 −p (4.4.45)

Isto implica que

p Θ |p ′ −ΘpΘ−1 Θ|p ′ −Θp|p ′ −p ′Θ |p ′ (4.4.46)

o que concorda com a asserção anterior de que

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 22

Page 23: Sakurai (Cap. 4) Resumo em Português

Θ |p ′ |−p ′ exceto por uma fase

Exemplo 2: Valor esperado de x. De maneira similar, obtém-se

ΘxΘ−1 x

Θ |x ′ |x ′ exceto por uma fase

da condição necessária de que

⟨| x | − ⟨| x |

Invariância das relações de comutação fundamentais(a) Posição-momento. Neste caso,

xi,pj iij

Aplicando Θ em ambos os lados desta equação,

Θxi,pj Θiij → Θxi,pj Θ−1Θ −iijΘ

ou

xi,−pj Θ −iijΘ xi,pj Θ iijΘ

(b) Momento angular. De maneira similar, para preservar

Ji,Jj iijkJk (4.4.52)

o operador momento angular deve ser ímpar por inversão temporal,

ΘJΘ−1 −J (4.4.53)

o que é consistente para sistemas sem spin, uma vez que, neste caso J x p. De fato,

ΘJΘ−1 Θx pΘ−1 x ΘpΘ−1 −x p −J

Função de ondaPartícula no instante t 0 no estado |. Sua função de onda, ⟨x ′ |, aparece no coeficiente de expansão narepresentação da posição:

| d3x ′ |x ′ ⟨x ′ |

Aplicando o operador Θ, encontra-se

Θ | d3x ′ Θ |x ′ ⟨x ′ |

d3x ′ |x ′ ⟨x ′ |∗

onde usamos Θ|x ′ |x ′ . Em termos de função de onda,

x ′, t 0 → Θ x ′, t 0 ∗x ′, t 0.

Parte angular de x. A parte angular de x, Ylm, tranforma-se como

Ylm, → ΘYl

m, Ylm∗, −1mYl

−m,

Como Ylm, é uma função de onda para |l,m, deduz-se que

Θ|l,m −1m|l,−m (4.4.58)

Função de onda do tipo x RrYlm,. Para a função de onda deste tipo, a corrente de

Capítulo 4 Simetria em Mecânica Quântica 23

Page 24: Sakurai (Cap. 4) Resumo em Português

probabilidade

jx, t m Im∗∇ (2.4.16)

tem direção contrária ao movimento dos ponteiros do relógio, enquanto que para o estado de temporeverso, tem sentio oposto a esse (v. figura abaixo).

j j~

Teorema Suponha que H é invariante por inversão temporal e o autoket da energia |n é não degenerado; então, a

correspondente autofunção da energia é real (ou mais geralmente, uma função real vezes um fator de fase

independente de x).

Prova: Observe inicialmente que

HΘ|n ΘH|n EnΘ|n, (4.4.59)

tal que |n e Θ|n têm a mesma energia. Com a hipótese de estado não degenerado, conclui-se que |n e

Θ|n representam o mesmo estado, o que, do contrário, teríamos dois estados diferentes com a mesma

energia En, que estaria em contradição com a hipótese inicial. Sejam então as funções de onda para |n e

Θ|n representadas por ⟨x ′ |n e ⟨x ′ |n∗. Como elas são iguais, devemos ter

⟨x ′ |n ⟨x ′ |n∗ (4.4.60)

para todos os propósitos – ou, mais precisamente, podem diferir no máximo por um fator de fase

independente de x.

Então, por exemplo, se temos um estado ligado não degenerado, sua função de onda é sempre real.

No átomo de hidrogênio com l ≠ 0 e m ≠ 0, a autofunção da energia caracterizada pelos números quânticosn, l,m é complexa porque Yl

m é complexa; mas, isto não contradiz o teorema, uma vez que |n, l,m e |n, l,−msão degenerados. Similarmente, a função de onda de uma onda plana eipx/ é complexa, mas ela édegenerada com e−ipx/.

O operador Θ depende da representação usadaAutokets da posição, |x ′ , como base. Para t 0, vimos que, para um sistema sem spin, a função deonda para o estado de tempo reverso é obtida, tomando-se apenas o complexo conjugado. Neste casoΘ K, pois K e Θ têm o mesmo efeito quando atuam nos kets de base |a ′ ou |x ′ . Logo, Θ Kx, ondeo índice x é para lembrar que usamos os autokets da posição como base.

Autokets do momento, |p ′ , como base. Agora a situação é diferente, porque Θ tranforma |p ′ em |−p ′ .Logo,

| d3p ′ |p ′ ⟨p ′ | → Θ| d3p ′ |−p ′ ⟨p ′ |∗ d3p ′ |p ′ ⟨−p ′ |∗ (4.4.61)

Para a função de onda p, por inversão temporal transforma-se em

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 24

Page 25: Sakurai (Cap. 4) Resumo em Português

p ′ → ∗−p ′

Neste caso, Θ Kp.

sto mostra que a forma particular de Θ depende da representação particular que é usada.

Inversão Temporal para um Sistema de Spin ½Seja |n; o autoket do operador S n com autovalor /2, dado na Seç. 3.2, ou seja,

|n; Dzn,Dyn,| e−iSz/e−iSy/ |

onde n é caracterizado pelos ângulos polar e azimutal . Então

Θ |n; Θ e−iSz/e−iSy/ |

Θ e−iSz/Θ−1Θe−iSy/Θ−1Θ|n; e−i−Sz / ∗e−i−Sy / ∗Θ|n; e−iSz/e−iSy/Θ|n; |n; −.

onde usamos (4.4.53). Por outro lado, pode-se verificar facilmente que

|n; − e−iSz/e−iSy/ |

ou seja,

e−iSz/e−iSy/Θ|n; e−iSz/e−iSy/ |

Portanto

e−iSz/e−iSy/Θ e−iSz/e−iSy/e−iSy/

ou, escrevendo Θ UK, e observando que K | |, obtém-se

Θ e−iSy/K

Usando a relação (3.2.44), ou seja,

e−in/2 cos 2 − i n sen

2

para n ŷ, e n y 2Sy

encontra-se

e−iSy/ −i 2Sy

Logo,

Θ e−iSy/K −i 2Sy

K (4.4.65)

onde é uma fase arbitrária (um número complexo de módulo igual a 1).

Efeito de Θ sobre um estado mais geral de spin ½. Observe que

e−iSy/| −i 2Sy

| −i 2

Sy|

−i 2

2

0 −ii 0

10

−i0i

01

|−

Da mesma forma,

Capítulo 4 Simetria em Mecânica Quântica 25

Page 26: Sakurai (Cap. 4) Resumo em Português

e−iSy/|− −i 2Sy

|− −i 2

Sy|−

−i 2

2

0 −ii 0

01

−i−i0

−10

− |

Assim,

Θ c| c−|− e−iSy/K c| c−|− e−iSy/ c∗| c−∗|−

c∗|− − c−∗|

Aplicando Θ novamente,

Θ2 c| c−|− e−iSy/K c∗|− − c−∗|

e−iSy/ ∗ c|− − ∗c−|

−||2 c| ||2c−|− − c| c−|− (4.4.69)

ou

Θ2 −1 (4.4.70)

(onde −1 significa −1 vezes o operador identidade), para qualquer orientação de spin.

Generalização para J. Podemos provar que

Θ2 |j semi-inteiro − |j semi-inteiroΘ2 |j inteiro |j inteiro

(4.4.72a (4.4.72b

então os autovalores de Θ2 são dados por −12j.

Demonstração. Para um j arbitrário,

Θ e−iJy/K (4.4.73)

Para um ket | expandido na base dos |jm, ou seja,

| ∑jm

|jm⟨jm|

obtém-se

Θ2| Θ ∑m

Θ |jm⟨jm| Θ ∑m

e−iJy/K |jm⟨jm|

Θ ∑m

e−iJy/ |jm⟨jm|∗

∗∑m

e−2iJy/ |jm⟨jm|

||2e−2iJy/∑m

|jm⟨jm| (4.4.74)

Mas,

e−2iJy/ |jm −12j|jm (4.4.75)

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 26

Page 27: Sakurai (Cap. 4) Resumo em Português

com é evidente das propriedades dos autoestados de momento angular por rotação de 2.

O estado j inteiro pode significar estado de spin. Para um sistema de dois elétrons, j inteiro em(4.4.72b) pode significar o estado de spin

12| − |− (4.4.76)

O importante é que apenas o j seja um número inteiro.

Da mesma maneira, j semi-inteiro , pode significar, por exemplo, um sistema de 3 elétrons em qualquerconfiguração.

Observação Para um sistema constituído exclusivamente de elétrons, qualquer sistema com um número ímpar (par)de elétrons – idependentemente de sua orientação espacial (por exemplo, momento angular orbital relativo) – é ímpar(par) pela aplicação de Θ2; não precisam nem ser autoestados de J2.

★ Leia o restante da seção.

Interações com Campos Elétricos e Magnéticos; Degenerescência de Kramers

(a) Interações com campos elétricosPartícula carregada num campo elétrico, H K V, sendo

Vx ex (4.4.85)

onde x é o potencial eletrostático. Como é uma função real do operador (par) x, então

Θ,H 0 (4.4.86)

Apesar de Θ comutar com o Hamiltoniano, isto não leva a uma lei de conservação. A razão é que

ΘUt, t0| U∗t, t0e−iJy/K| U∗t, t0Θ|

ou seja,

ΘUt, t0 ≠ Ut, t0Θ (4.4.87)

Degenerescência de Kramers. Outra consequência da invariância por inversão temporal é adegenerescência de Kramers.

Suponha que Θ,H 0 e seja |n e Θ|n o autoket da energia e seu estado de tempo reverso, pertencente amesmo autovalor da energia En

H|n En|nHΘ|n ΘH|n En

Questão: |n e Θ|n representam o mesmo estado?

Em caso positivo,

Θ|n ei|n (4.4.88)

Aplicando Θ novamente,

Θ2|n Θei|n e−iΘ

|n (4.4.89)

Sistemas com j semi-inteiro. Esta relação é impossível de se concretizar para sistemas com j semi-inteiro,para os quais, Θ2 vale sempre −1. Assim, somos levados a concluir que, para sistemas compostos de um

Capítulo 4 Simetria em Mecânica Quântica 27

Page 28: Sakurai (Cap. 4) Resumo em Português

número ímpar de elétrons num campo elétrico externo E, cada nível deve ser pelo menos duplamentedegenerado, não importando quão complicado E possa ser.

(b) Interações com campos magnéticosNeste caso, o Hamiltoniano pode conter termos do tipo

S B, p A A p, B ∇ A (4.4.90)

onde o campo magnético é considerado com um campo externo. Os operadores S e p são ímpares portransformação de inversão temporal; portanto, essas interações levam a

ΘH ≠ HΘ (4.4.91)

Como exemplo trivial, para um sistema de spin ½, o estado spin para cima | e seu estado de temporeverso |− não têm a mesma energia num campo magnético externo. Em geral, a degenerescência deKramers num sistema contendo um número ímpar de elétrons pode ser levantada, aplicando-se um campomagnético externo.

Observação (1) Note que, quando tratamos B como um campo externo, não mudamos B por inversão temporal; istoé devido ao elétron atômico ser visualizado como um sistema quântico fechado, ao qual aplicamos o operadorinversão temporal.

Observação (2) Não devemos confundir a observação (1) com as observações anteriores relacionadas à invariânciadas equações de Maxwell (4.4.2) e da equação da força de Lorentz fazendo t → −t e (4.4.3). Ali, aplicamos a inversãotemporal a todo o universo, por exemplo, até às correntes no fio que produzem o campo B.

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 28