Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

61
Capítulo 3 Teoria do Momento Angular Modern Quantum Mechanics - J.J. Sakurai (Revised Edition) 3.1 Rotações e Relações de Comutação do Momento Angular Rotações Infinitesimais versus Rotações Finitas Notação: R x - rotação de um ângulo em torno do eixo x. Física clássica Rotações em torno de um mesmo eixo comutam. Exemplo. R z /6 R x /3 R x /3 R z /6 R x /2 . Rotações em torno de eixos diferentes não comutam. Exemplo. R z /2 R x /2 R x /2 R z /2 . R z (π/2) R x (π/2) R x (π/2) R z (π/2) x z z z z z z x x x x x Observe na figura que os resultados são diferentes. Por que rotações em torno de eixos diferentes não comutam? Representação matricial. No espaço euclidiano, as rotações são representadas por matrizes ortogonais. Seja o vetor V, cujas componentes são V x , V y , V z . Efetuando-se uma rotação neste vetor, suas novas componentes V x , V y , V z estão relacionadas com as antigas, através da matriz ortogonal R V x V y V z R V x V y V z RR T R T R 1 onde T significa transposta de uma matriz. Para transformações ortogonais vale a propriedade V x 2 V y 2 V z 2 V x 2 V y 2 V z 2 . Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 1

Transcript of Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Page 1: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Capítulo 3

Teoria do Momento AngularModern Quantum Mechanics - J.J. Sakurai (Revised Edition)

3.1 Rotações e Relações de Comutação do Momento AngularRotações Infinitesimais versus Rotações FinitasNotação: Rx - rotação de um ângulo em torno do eixo x.

Física clássica

Rotações em torno de um mesmo eixo comutam.

Exemplo. Rz/6 Rx/3 Rx/3 Rz/6 → Rx/2.

Rotações em torno de eixos diferentes não comutam.

Exemplo. Rz/2 Rx/2 ≠ Rx/2 Rz/2.

Rz(π/2) Rx(π/2)

Rx(π/2) Rz(π/2)

x

z z z

z z z

xx x

xx

Observe na figura que os resultados são diferentes.

Por que rotações em torno de eixos diferentes não comutam?

Representação matricial. No espaço euclidiano, as rotações são representadas por matrizes ortogonais. Sejao vetor V, cujas componentes são Vx,Vy,Vz. Efetuando-se uma rotação neste vetor, suas novas componentesVx

′ ,Vy′ ,Vz

′ estão relacionadas com as antigas, através da matriz ortogonal R

Vx′

Vy′

Vz′

RVx

Vy

Vz

RRT RTR 1

onde T significa transposta de uma matriz. Para transformações ortogonais vale a propriedade

Vx2 Vy

2 Vz2 Vx

′2 Vy′2 Vz

′2 .

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 1

Page 2: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Convenção: as rotações afetam um sistema físico, mantendo-se os eixos coordenados inalterados.

Rotação em torno do eixo z. Seja Rz uma rotação em torno do eixo z por um ângulo no sentido positivo(regra da mão direita).

Rz

cos − sen 0sen cos 0

0 0 1

.

Rotações infinitesimais. Seja Rz onde é um ângulo infinitesimal. Expandindo Rz até segunda ordem edesprezandos os termos de ordens mais elevadas, encontramos

Rz

1 − 2

2 − 0

1 − 2

2 0

0 0 1

.

De maneira similar:

Rx

1 0 0

0 1 − 2

2 −

0 1 − 2

2

e

Ry

1 − 2

2 0

0 1 0

− 0 1 − 2

2

Relação de comutação entre rotações. Sejam os produtos

RxRy

1 − 2

2 0

2 1 − 2

2 −

− 1 − 2

e

RyRx

1 − 2

2 2

0 1 − 2

2 −

− 1 − 2

Então

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 2

Page 3: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

RxRy − RyRx

1 − 2

2 − 1 − 2

2 0 − 2 −

2 − 0 1 − 2

2 − 1 − 2

2 − − −

− − − − 1 − 2 − 1 − 2

0 −2 02 0 00 0 0

Rz2 − 1

onde todos os termos de ordem mais elevada que 2 foram ignorados. Por exemplo, o termo em Rz do tipo

1 − x2

2 para x 2 nos daria 1 − 4

2 ≃ 1.

Como podemos representar

1 Rqq0

onde Rqq0 significa uma rotação de 0º em torno de qualquer eixo, então

RxRy − RyRx Rz2 − Rqq0.

Mecânica Quântica

Rotações infinitesimais. Aplicando uma rotação no sistema físico, espera-se que o estado ketcorrespondente ao sistema girado seja diferente em relação ao sistema original.

DR → operador rotação associado a uma rotação R caracterizada por uma matriz ortogonal 3 3. Esteoperador depende da dimensionalidade N do espaço ket em questão. Para N 2, DR é representado poruma matriz 2 2.

Voltando ao argumento inicial, podemos escrever:

|R DR |

Analogia com translação e evolução temporal. Para ambos os casos, os operadores infinitesimais foramescritos na forma

U 1 − iG

onde G é um operador hermitiano, G G. Especificamente

(a) Translação dx ′ na direção x

G → px

, → dx ′.

(b) Evolução temporal para dt

G → H

, → dt.

(c) Rotação infinitesimal ?

Na clássica, o momento angular é gerador de rotações.

Jk → projeção do momento angular no eixo k.

Rotação infinitesimal em torno do eixo k por um ângulo d será:

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 3

Page 4: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

G → Jk

, → d

Caso geral: rotação em torno de um eixo caracterizado por um vetor unitário n por um ângulo infinitesimal d.

Dn,d 1 − i J n

.

Esta equação define momento angular.

Rotação finita. Uma rotação finita pode ser obtida, compondo-se sucessivamente rotações infinitesimais emtorno do mesmo eixo. Por exemplo, rotação de um ângulo em torno do eixo z

Dz limN→

1 − i Jz

N

N

exp −iJz

1 − iJz− Jz

22

22

Relações de comutação do momento angular. Vamos supor que DR tenha as mesmas propriedades degrupo que R

Identidade: R 1 R DR 1 DRFechamento: R1R2 R3 DR1DR2 DR3

Inversos: RR−1 1 DRD−1R 1R−1R 1 D−1RDR 1

Associatividade: R1R2R3 DR1DR2DR3

R1R2R3 DR1DR2DR3

R1R2R3 DR1DR2DR3.

Comutação para R:

RxRy − RyRx Rz2 − 1

Comutação para DR:

DxDy −DyDx Dz2 − 1

Mas:

Dx exp −iJx

≃ 1 − iJx− Jx

22

22

Dy exp −iJy

≃ 1 − iJy−

Jy22

22

Dz2 exp −iJz2

≃ 1 − iJz2

Logo,

DxDy −DyDx 1 − iJz2

− 1

− iJz

2

Também, podemos reescreverDxDy −DyDx em termos de J

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 4

Page 5: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

1 − iJx− Jx

22

22 1 − iJy−

Jy22

22

− 1 − iJy−

Jy22

22 1 − iJx− Jx

22

22

≃ 1 − iJy

Jy2

22 2 − iJx

− JxJy

2 2 − Jx2

22 2

− 1 iJx Jx

2

22 2

iJy

JyJx

2 2 Jy

2

22 2

− JxJy

2 2 JyJx

2 2

−JxJy − JyJx 2

2

Igualando ambos os membros

− JxJy − JyJx 2

2 − iJz

2

encontramos,

JxJy − JyJx iJz.

Isto representa o comutador de Jx com Jy

Jx,Jy iJz.

Repetindo os mesmos argumentos para rotações em torno dos demais eixos, obtém-se

Ji,Jj iijkJk

conhecidas como relações de comutação fundamentais do momento angular.

Resumo dos argumentos usados:

Jk é o gerador de rotações em torno do eixo k.

Rotações em torno de eixos diferentes não comutam.

3.2 Sistemas de Spin ½ e Rotações FinitasJá vimos que os Sk também satisfazem as relações de comutação do momento angular.

Agora considere uma rotação por um ângulo finito em torno do eixo z de um sistema de spin 1/2 que, antesda rotação estava num estado |. Após a rotação,

|R Dz|

com

Dz exp −iSz

.

Valor esperado de Sx após a rotação. Sob uma rotação o valor esperado muda de acordo com

⟨Sx → R | Sx | R |Dz

Sx Dz |

Devemos então calcular:

Dz Sx Dz exp iSz

Sx exp −iSz

.

Método 1 - Forma específica de Sx

Usando para Sk a representação na base |,

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 5

Page 6: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Sx 2 |⟨−| |−⟨| ,

Sy 2i |⟨−| − |−⟨| .

Sz 2 |⟨| − |−⟨−| .

encontramos:

exp iSz

Sx exp −iSz

2 exp iSz

|⟨−| |−⟨|exp −iSz

2 ei/2|⟨−|ei/2 e−i/2|−⟨|e−i/2

2 ei |⟨−| e−i|−⟨|

2 |⟨−|cos i sen |−⟨|cos − i sen

2 |⟨−| |−⟨| cos i |⟨−| − |−⟨| sen

2

2

Sx cos i 2i

Sx sen

Sx cos − Sx sen

Método 2 - Relações de comutação

Usando (2.3.47), encontramos

exp iSz

Sx exp −iSz

Sx i

iSy

Sz,Sx 12!

i

2

2Sx

Sz,iSy

Sz,Sx

13!

i

3

i3Sy

Sz,

2Sx

Sz, Sz,Sx

As potências pares dão Sx enquanto que as ímpares, Sy. Colecionando esses termos, encontra-se

exp iSz

Sx exp −iSz

Sx 1 − 2

2! − Sy − 3

3!

Sx cos − Sy sen.

Voltando à equação do valor esperado, encontra-se

⟨Sx R R | Sx | R |Dz

Sx Dz |

⟨Sx cos − ⟨Sy sen

onde ⟨Sk é o valor esperado no estado ket original.

Da mesma forma, podemos mostrar que:

⟨Sy R ⟨Sy cos ⟨Sx sen

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 6

Page 7: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Para Sz, enconta-se

⟨Sz R ⟨Sz

Ou seja, o valor esperado de Sz não muda, uma vez que este operador comuta comDz.

Observação: Estes resultados mostram que, quando aplicamos o operador rotaçãoDz no estado ket, o valoresperado de S sofre uma rotação em torno do eixo z por um ângulo . Em outras palavras, o valor esperado dooperador spin comporta-se como se fosse um vetor clássico sob rotação:

⟨Sk R ∑l

Rkl ⟨Sl

Momento angular. Do método 2, fica claro que esta propriedade também vale para o momento angular J. Emgeral

⟨Jk R ∑l

Rkl ⟨Jl

Até aqui tudo como esperado. Vamos examinar com mais detalhe o efeito do operador rotação sobre um ketgeral

| ∑a ′

|a ′ ⟨a ′ | |⟨| |−⟨−|

Vemos que

exp −iSz

| exp −iSz

|⟨| exp −iSz

|−⟨−|

e−i/2|⟨| ei/2|−⟨−|.

A presença do arco metade /2 tem uma consequência extremamente interessante.

Rotação por 2. Neste caso,

|Rz2 → e−i2/2|⟨| ei2/2|−⟨−| − |⟨| |−⟨−| −|

Assim, um ket girado de 360º difere do ket original pelo sinal negativo. Precisamos de uma rotação de 720º( 4) para obtermos o mesmo ket com o sinal positivo.

Valor esperado. Este sinal negativo não aparece no valor esperado de S porque S fica de sanduiche entre |e ⟨|, ambos dos quais mudam de sinal.

Este sinal negativo é sempre observado?

Precessão de Spin RevisitadaHamiltoniano básico do problema. Vamos analisar novamente este problema de um outro ponto de vista:

H − emec S B Sz

onde

≡ |e|Bmec .

Operador evolução temporal. Baseado neste Hamiltoniano, o operador evolução temporal é dado por

Ut, 0 exp −iHt

exp −iSzt

.

Comparação de Ut, 0 comDz. Comparando Ut, 0 comDz dado por

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 7

Page 8: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Dz exp −iSz

vemos que o operador evolução temporal é precisamente o mesmo que o operador rotação com substituídopor t.

Por que o spin precessa? Desta maneira vemos imediatamente porque este Hamiltoniano causa precessãodo spin. Usando os resultados da rotação, obtém-se

⟨Sx t ⟨Sx t0 cost − ⟨Sy t0 sent

⟨Sy t ⟨Sy t0 cost ⟨Sx t0 sent

⟨Sz t ⟨Sz t0

Depois de t 2/, o spin retorna à sua direção original.

Evolução temporal do estado ket. Vamos olhar para a evolução temporal do próprio estado ket que, em t 0,é dado por | |⟨| |−⟨−|. Então, após o tempo t teremos

|, t0 0; t e−it/2|⟨| eit/2|−⟨−|

Vemos que, para t 2/,

|, t0 0; t 2/ e−i2/2|⟨| ei2/2|−⟨−| e−i|⟨| ei|−⟨−| −|.

Assim, devemos aguardar até t 4/ para obter o estado ket original com o mesmo sinal.

Em resumo o período para o estado ket é duas vezes maior que o período para a precessão de spin

precessão 2

estado ket 4

Exp. de Interferometria de Nêutrons para Estudar RotaçõesComo detectar o sinal negativo no ket sujeito a uma rotação de 2?

Já sabemos que, se todos os estados kets no universo fossem multiplicados por um sinal negativo, não haverianenhuma maneira de detectá-lo. A única maneira de detectar o predito sinal negativo, seria através de umacomparação entre um estado que sofreu uma rotação e um outro que não foi submetido à rotação.

Como na interferência quântica induzida por gravidade, discutida na Seç. 2.6, contamos com as qualidades dainterferometria de nêutrons para verificar esta extraordinária predição da mecânica quântica.

A experiência. Um feixe de nêutrons termalizados é dividido em duas partes A e B (ver. figura abaixo).

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 8

Page 9: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

l

A

BB

A

B

Região deinterferência

Trajeto A - o feixe atravessa uma região sem campo magnético.

Trajeto B - o feixe atravessa uma pequena região de comprimento l onde está presente um campo magnéticoestático.

Estado ket via trajeto B. O estado ket via trajeto B sofre uma variação de fase e∓iT/2, onde T é tempo gastopara atravessar a região de comprimento l onde existe um campo magnético B ≠ 0 e é a frequência deprecessão de spin,

gneBmpc , gn ≃ −1,91

para o nêutron com momento magnético gne2mpc .

Região de interferência. Quando os trajetos A e B se encontram novamente na região de interferência aamplitude do nêutron chegar via trajeto B é

c2 c2B 0e∓iT/2

enquanto que a amplitude do nêutron chegar via A é c1, independente de B.

Interferência. Assim, a intensidade observável na região de interferência deve exibir uma variação senoidal

cos ∓T2

onde é a diferença de fase entre c1 e c2B 0.

Ajustes no experimento. Na prática, o tempo T é uma quantidade fixa, mas a frequência pode ser variada,de acordo com o valor do campo B. A diferença de fase, em função do campo B, é dada por

egnBlc

onde l é o comprimento da pequena região que contém o campo. Então, o valor de B necessário para umaprecessão de 4 (período completo) é

B 4cegnl

Vemos então que é de 4 a rotação necessária para que o ket retorne com o mesmo sinal, como requeridopelo formalismo.

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 9

Page 10: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Formalismo de Pauli de Duas ComponentesManipulações com os kets de estado do spín 1/2 podem ser convenientemente conduzidas, usando-se oformalismo de spinor introduzido por Pauli (1926). Já sabemos:

Ket. Pode ser representado por uma matriz coluna.

Bra. Pode ser representado por uma matriz linha.

Revendo a Seç. 1.3. Os coeficientes de expansão de um estado arbitrário | em relação a uma base |a ′

podem ser escritos na forma matricial. Ou seja,

| ⟨a1|⟨a2|

, ⟨| ⟨|a1 , ⟨|a2

Para | |a1 , isto é, quando for um dos estados de base, encontra-se

|a1 ⟨a1|a1 ⟨a2|a1

10

o mesmo raciocínio valendo para ⟨aj |.

Aplicação para os kets spin 1/2. Neste caso, para os kets de base encontra-se

| 10

≡ |− 01

≡ −

⟨| 1, 0 ⟨−| 0, 1

Estado arbitrário. Para um estado arbitrário | ou ⟨| obtém-se

| |⟨| |−⟨−| ⟨|⟨−|

⟨| ⟨|⟨| ⟨|−⟨−| ⟨|, ⟨|−

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 10

Page 11: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Spinor. Matriz coluna do tipo⟨|⟨−|

é chamada de spinor de duas componentes e é escrito como

⟨|⟨−|

≡cc−

c c−−

onde c e c− são, em geral, números complexos. Para tem-se

⟨|, ⟨|− ≡ c∗, c−∗ c∗ c−∗− .

Matrizes de Pauli. Os elementos de matriz | Sk | e | Sk |− , exceto pelo fator /2, são iguais aoselementos de matriz da matriz k 2 2, conhecidas como matrizes de Pauli. Ou seja,

| Sk | ≡ 2 k,, | Sk |− ≡

2 k,−.

Valor esperado em termos de e k. Vamos escrever o valor esperado ⟨Sk em termos de e k

⟨Sk | Sk | ∑a ′∑

a ′′ | a ′ a ′| Sk |a ′′ a ′′ |

2 †k

onde usamos a regra usual da multiplicação de matrizes.

Demonstração. Seja

∑a ′∑

a ′′ | a ′ a ′| Sk |a ′′ a ′′ |

| | Sk | | | | Sk |− − |

| − −| Sk | | | − −| Sk |− − |

2 | k, | | k,− − |

| − k−, | | − k−,− − |

2 ⟨|, ⟨|−

, ,−

−, −,−

⟨|⟨−|

2 †k.

Matrizes de Pauli. Explicitamente, de (3.2.1) juntamente com (3.2.30), vemos que

x 0 11 0

, y 0 −ii 0

, z 1 01 −1

.

Propriedades das matrizes de Pauli. Algumas propriedades das matrizes de Pauli são:

(1) i, j 2ij i

2 1 i j j i 0,para i ≠ j.

(2) i, j 2iijkk.

(3) 12 21 012 − 21 2i3

12 −21 i3 etc

(4) i† i.

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 11

Page 12: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

(5) det i −1

(6) Tr i 0.

(7) a az ax − iay

ax iay −az. Seja a um vetor tridimensional. Então

a ∑k

akk

ax0 11 0

ay0 −ii 0

az1 01 −1

0 ax

ax 0

0 −iay

iay 0

az 01 −az

az ax − iay

ax iay −az

(8) a b a b i a b. Seja

a b ∑j

jaj∑k

kbk ∑jk

jkajbk

∑jk

12 j,k 1

2 j,k ajbk

∑jk

jk ijkl lajbk ∑j

ajbj i∑jk

jkl l ajbk

a b i a b

(9) a2 |a|2 (a é um vetor real). Seja

a2 a a a a i a a a a |a|2.

(10) nn 1, (n par) n (n ímpar)

. De fato, como consequência da propriedade anterior,

nn

|n|21

a a a a 1, (n par) n (n ímpar)

Rotações no Formalismo de Duas ComponentesRepresentação matricial 2 2 do operador rotaçãoDn,. Como

S 2

encontra-se

exp −iS n

exp −i n2

Usando a propriedade (10), encontra-se

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 12

Page 13: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

exp −i n2 1 − i n

2 − i2 n2

2!2

2−

1 − n2

2!2

2 n4

4!2

4−

− i n2 − n3

3!2

3

1 − 12!

2

2 1

4!2

4−

− i n2 − 1

3!2

3

1cos 2 − i n sen

2 .

onde

1 1 00 1

Forma explícita de exp −i n2 como matriz 2 2. Usando o resultado

− i n −nz −inx − ny

−inx ny nz

encontramos

exp −i n2

cos 2 − i nz sen

2 −inx − ny sen 2

−inx ny sen 2 cos

2 i nz sen 2

(3.2.4

que é a forma da matriz de rotação.

Rotação de spinor. Assim como o operador exp −iS n

atua sobre o ket |, a matriz 2 2

exp −i n2 atua sobre o spinor de duas componentes . Sob rotação, o spinor transforma-se da seguinte

maneira:

→ exp −i n2 .

é invariante por rotação. Os k permanecem inalterados sob rotações.

não é um vetor. Embora possa parecer, não é um vetor. Na verdade, é † que obedece aspropriedades de transformação de um vetor. Ou seja,

†k →∑l

Rkl† l

Demonstração: Seja uma rotação de 1 em torno do eixo z por um ângulo

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 13

Page 14: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

exp iz2 x exp −iz

2

cos

2 i sen 2 0

0 cos 2 − i sen

2

0 11 0

cos

2 − i sen 2 0

0 cos 2 i sen

2

0 cos i sen

cos − i sen 0

A matriz

0 cos i sencos − i sen 0

pode ser reescrita combinação das seguintes matrizes:

0 cos i sencos − i sen 0

cos0 11 0

− sen0 −ii 0

x cos − y sen.

Ou seja,

exp iz2 x exp −iz

2 x cos − y sen,

que é o análogo matricial de (3.2.6).

Novamente rotação por 2. Usando o formalismo dos kets, vimos que um ket | de spin 1/2, sob rotação de2, resulta em −|. O análogo 2 2 desta afirmação é:

exp −i n2 2

1cos 2 − i n sen

2 2 −1,

para qualquer n.

Aplicação da matriz de rotação

Construção de um autospinor. Como aplicação da matriz de rotação, vamos construir um autospinor de ncom autovalor 1, onde n é um vetor unitário numa direção especificada. Seja a equação

n .

Esta equação é a representação matricial da equação de autovalores para o ket |S n; definida por

S n |S n; 2 |S n;.

De fato, isto pode ser considerado como um problema autovalores, mas aqui apresentamos um métodoalternativo baseado na matriz de rotação.

Procedimento. Sejam e os ângulos azimutal e polar, respectivamente, que caracterizam n.

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 14

Page 15: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Vamos iniciar com o spinor10

, que representa o estado de spin para cima.

Em seguida, aplicamos uma rotação por um ângulo em torno do eixo y.

Sequencialmente, aplicamos outra rotação por um ângulo em torno do eixo z.

Dessa forma, o estado de spin desejado é então obtido (ver figura abaixo).

Segundarotação

Primeirarotação

α

β

Procedimento na linguagem de spinor de Pauli. Na linguagem do spinor, esta sequência de operações éequivalente a:

10

→ exp −iy2

10

→ exp −iz2 exp −iy

210

Desta forma,

exp −iz2 exp −iy

210

exp −iz2

cos 2 − sen

2

sen 2 cos

2

10

cos

2 − i sen 2 0

0 cos 2 i sen

2

cos 2

sen 2

cos

2 − i sen 2 cos

2

cos 2 i sen

2 sen 2

Ou,

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 15

Page 16: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

cos

2 e−i/2

sen 2 ei/2

em concordância com o Problema 9 do Capítulo 1. De fato,

cos 2 e−i/2 1

0 sen

2 ei/2 01

e−i/2 cos 2 sen

2 ei−

a diferença ficando por conta de uma fase global sem significado físico.

3.3 SO(3), SU(2) e Rotações de EulerConceito de GrupoTeoria de Grupo. As simetrias são tratadas apropriadamente num ramo da matemática conhecido comoteoria de grupo.

O que é um grupo? Um conjunto de objetos, a,b,c… , forma um grupo se pudermos definir um processo quenos permita combinar quaisquer dois desses objetos, tais como a e b, para formar um objeto ab, e se asseguintes condições forem satisfeitas:

(1) Todos os resultados da combinação são membros do grupo.

(2) O grupo contém a identidade ou membro unitário 1, que tem a propriedade a 1 1 a a, onde a é qualquermembro do grupo.

(3) Cada membro a tem um inverso a−1, também no grupo, tal que aa−1 a−1a 1.

(4) Combinação de grupo é associativa, tal que abc abc

Observações:

(a) os membros de um grupo são chamados de elementos.

(b) o termo “multiplicação” não significa multiplicação usual.

Grupo OrtogonalSeja a rotação de um vetor. Os vetores antes e depois da rotação, V e V′, respectivamente, são conectadospor uma matriz 3 3 real e ortogonal:

V′ R V

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 16

Page 17: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

VV´

Todas as matrizes de rotação formam um grupo:

1. A combinação (produto) de duas matrizes R1 e R2 é uma nova matriz R1R2.

2. A lei associativa é válida:

R1R2R3 R1R2 R3

3. A matriz identidade 1 – que corresponde fisicamente a nenhuma rotação – definida por

R1 1R R

é um membro da classe de todas as matrizes ortogonais.

4. A matriz inversa R−1 – que corresponde fisicamente a uma rotação no sentido oposto – definida por

RR−1 R−1R 1

é também um membro.

Este grupo é denominado SO3, onde as iniciais significam:

S – especial (special, em inglês); O – ortogonal; 3 – três dimensões.

Grupo Unitário UnimodularSeja a rotação do spin 1/2 discutida anteriormente. Aqui, as matrizes de rotação são 2 2, atuando sobre umspinor de duas componentes. De (3.2.45) encontramos

Eq. (3.2.45) cos

2 − i nz sen 2 −inx − ny sen

2

−inx ny sen 2 cos

2 i nz sen 2

Esta matriz é unimodular. Isto significa que seu determinante é 1.

Matriz unitária unimodular. De uma maneira geral, uma matriz unimodular pode ser escrita como

Ua,b a b−b∗ a∗

(3.3.7

onde a e b são números complexos que satisfazem a condição unimodular:

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 17

Page 18: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

|a|2 |b|2 1 (3.3.8

Propriedade unitária. Seja

U†a,bUa,b a∗ −bb∗ a

a b−b∗ a∗

|a|2 |b|2 1

Comparando (3.2.45) com (3.3.7), identificamos

Rea cos 2 , Ima −nz sen

2 ,

Reb −ny sen 2 , Imb −nx sen

2 ,

de onde obtém-se imediatamente a propriedade unimodular de (3.3.8).

Propriedades de grupo das operações de multiplicação. As operações de multiplicação com matrizesunitárias unimodulares satisfazem as seguintes propriedades:

1. Fechamento

Ua1, b1 Ua2, b2

a1 b1

−b1∗ a1

a2 b2

−b2∗ a2

a1a2 − b1b2∗ a1b2 a2

∗b1

−a1∗b2∗ − a2b1

∗ a1∗a2∗ − b1

∗b2

U a1a2 − b1b2∗, a1b2 a2

∗b1

onde a condição unimodular para a matriz produto é

|a1a2 − b1b2∗ |2 |a1b2 a2

∗b1 |2 1.

2. Inversa

U−1a, b a b−b∗ a∗

−1

a∗ −bb∗ a

Ua∗,−b

3. Identidade

U1, 0 1 00 1

4. Associativa

Ua, b exp −i n2

Este grupo é denominado SU2: Especial, Unitário e Bidimensional.

Os grupos SU2 e SO3 têm correspondência dois-para-um: Considere uma rotação por 2 e outra por 4.

Na linguagem SO3, as matrizes representando essas rotações são ambas matrizes identidades 3 3. Maisgeralmente, Ua, b e U−a,−b correspondem a uma única matriz 3 3 nesta linguagem.

Na linguagem SU2, as matrizes são −1 vezes a matriz identidade 2 2 e a matriz identidade, respectivamente.

Rotações de EulerRotação arbitária de um corpo rígido pode ser descrita em três passos, conhecidas como ângulos de Euler.

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 18

Page 19: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Três passos:

1 Rz y → y ′

2 Ry ′ z → z ′

3 Rz′ y ′ → y ′′

Em termos de matrizes ortogonais 3 3, o produto dessas três operações pode ser escrito como

R,, Rz′Ry ′Rz

Aqui aparecem dois tipos de rotação: em torno dos eixos do corpo e dos eixos fixos no espaço. Isto éinconveniente. Vamos expressar as rotações em torno dos eixo do corpo, Ry ′ e Rz′, em termo de rotaçõesem torno dos eixo fixos no espaço.

Ry ′ RzRyRz−1

Rz′ Ry ′RzRy ′−1

Assim.

R,, Rz′Ry ′Rz

Ry ′RzRy ′−1Ry ′Rz

Ry ′RzRz

RzRyRz−1RzRz

RzRyRz−1

comutam

RzRz

RzRyRz

Portanto

R,, RzRyRz

onde todas as matrizes do lado direito referem-se a rotações em torno de eixos fixos.

Aplicação a sistemas de spin ½O produto de operadores de rotação no espaço ket corresponde ao produto de matrizes ortogonais:

D,, DzDyDz

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 19

Page 20: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

A representação matricial deste produto é

exp −iz2 exp −iy

2 exp −iz2

e−i/2 0

0 ei/2

cos/2 − sen/2sen/2 cos/2

e−i/2 00 ei/2

e−i/2 cos/2 −e−i−/2 sen/2ei−/2 sen/2 ei/2 cos/2

onde usamos (3.2.44). Esta matriz é claramente da forma unimodular unitária. Inversamente, a forma maisgeral da matriz unimodular unitária 2 2 pode ser escrita nesta forma dos ângulos de Euler.

3.4 Operadores de Densidade e Ensembles Puros e Mistos★ Leia esta seção.

3.5 Autovalores e Autoestados do Momento AngularRelações de Comutação e Operador EscadaAs relações de comutação entre as três componentes de J já foram derivadas

Jx,Jy iJz

Jy,Jz iJx

Jz,Jx iJy

Estas relações podem ser escritas numa forma mais compacta

J J iJ

Novo conjunto de operadores. Para estudarmos os autovalores e autovetores do momento angular, vamosintroduzir um novo conjunto de operadores

1 J2 ≡ Jx2 Jy

2 Jz2

2 J ≡ Jx iJy

O operador J2 comuta com todos os Jk:

J2,Jk 0, k x,y, z

Comutador J2,Jz 0. Para demonstrar esta relação fazemos

J2,Jz Jx2 Jy

2 Jz2,Jz

JxJx,Jz Jx,Jz Jx JyJy,Jz Jy,Jz Jy

Jx−iJy −iJyJx JyiJx iJxJy

−iJxJy − iJyJx iJyJx iJxJy

0

Como Jx,Jy e Jz não comutam entre si, não podemos diagonalizar Jx,Jy e Jz simultaneamente. Porém, podemosescolher um dos Jk para ser diagonalizado simultaneamente com J2. Por convenção, a escolha recai sobre Jz.Vamos denotar os autovalores de J2 e Jz por a e b, respectimente:

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 20

Page 21: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

J2 |a,b a |a,b

Jz |a,b b |a,b

Para determinar os valores de a e b é conveniente trabalhar com os operador escada, J. As relações decomutação são

J,J− 2Jz,

Jz,J J,

J2,J 0.

Qual o significado físico de J. Vamos examinar como Jz age sobre J |a,b:

Jz J |a,b Jz,J JJz |a,b

J |a,b JJz |a,b J |a,b bJ |a,b b J |a,b

Ou seja: O ket J |a,b é ainda um autoket de Jz, exceto que agora o autovalor e aumentado ou abaixado− por uma unidade de . Assim, vemos por que J, que sobe ou desce degrau a degrau a “escada” dosautovalores de Jz, são conhecidos como operadores escadas.

J e os autovalores de J2. Embora J mudem os autovalores de Jz por uma unidade de , eles não mudamos autovalores de J2:

J2 J |a,b JJ2 |a,b a J |a,b

Resumo. Os kets J |a,b são simultaneamente autokets de J2 e Jz com autovalores a e b h. Podemosentão escrever

J |a,b c |a,b

onde as constantes c serão determinadas mais adiante a partir da condição de normalização dos autokets domomento angular.

Autovalores de J2 e Jz

Imagine que apliquemos J n vezes sobre o autoket de J2 e Jz :

n vezes

JJ…J |a,b |a,b n

Mas existe um limite superior para b. De fato, para um dado a (autovalor de J2

a ≥ b2. (3.5.

Demonstração. Vamos escrever J2 em termos de J e Jz

J2 − Jz2 1

2 JJ− J−J 12 JJ

† J† J.

O valor esperado deste operador é

⟨a,b| J2 − Jz2 |a,b 1

2 ⟨a,b| JJ† |a,b 12 ⟨a,b| J† J |a,b

Como o bra de J |a,b são

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 21

Page 22: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

J |a,bCD ⟨a,b| J† , J† |a,b

CD ⟨a,b| J

Ou seja,

J |a,b c |a,b CD ⟨a,b| J† ⟨a,b | c∗

J† |a,b c∗ |a,b ∓ CD ⟨a,b| J ⟨a,b ∓ | c

Logo,

⟨a,b| JJ† |a,b ⟨a,b| J J† |a,b

⟨a,b − | cc∗ |a,b − |c |2

≥ 0

Da mesma forma

⟨a,b| J† J |a,b ≥ 0.

Portanto,

⟨a,b| J2 − Jz2 |a,b ≥ 0

Deve existir um b bmax tal que

J |a,bmax 0

Ou seja: o autovalor de b não pode aumentar além de bmax. Disto obtém-se

J−J |a,bmax 0

Mas,

J−J Jx2 Jy

2 − iJyJx − JxJy

J2 − Jz2 − Jz.

Assim,

J2 − Jz2 − Jz |a,bmax a − bmax

2 − bmax |a,bmax 0

Como |a,bmax não é um ket nulo, conclui-se que

a − bmax2 − bmax 0

ou

a bmaxbmax . (3.5.2

Da mesma forma, deve existir um bmin tal que

J− |a,bmin 0

Escrevendo

JJ− J2 − Jz2 Jz

encontramos que

JJ−|a,bmin 0

ou

J2 − Jz2 Jz |a,bmin a − bmin

2 bmin |a,bmin 0

ou

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 22

Page 23: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

a bminbmin − (3.2.2

Comparando (3.2.25) com (3.2.22), ou seja,

a bmaxbmax bminbmin −

conclui-se que

bmax −bmin (3.2.2

Com bmax 0, podemos inferir que os valores de b estão no intervalo

− bmax ≤ b ≤ bmax. (3.2.2

Obtenção de |a,bmax a partir de |a,bmin . Aplicando-se sucessivamente, um número de vezes finito, ooperador J ao ket |a,bmin , podemos obter o ket |a,bmax . Seja por exemplo,

|a,bmax

n vezes

JJ…J |a,bmin |a,bmin n

Logo,

bmax bmin n, (3.2.2

onde n é um número inteiro. Como resultado, obtém-se

bmax −bmax n

ou

bmax n2 . (3.2.2

Convenção. Por convenção, vamos utilizar j ao invés de bmax, da seguinte forma

bmax j

Ou seja,

j n2 .

Assim, o valor máximo do autovalor de Jz é agora j, onde j é qualquer inteiro ou semi-inteiro. A Eq. (3.5.22)torna-se

a 2jj 1.

Vamos também definir m tal que

b m.

Assim,

− j ≤ m ≤ j

ou

− j ≤ m ≤ j.

Ou seja, se j é um inteiro, todos os valores de m serão inteiros; se j for semi-inteiro, todos os valores de mserão semi-inteiros. Os valores permitidos de m para um dado j são

m

2j1 estados

−j, − j 1, … , j − 1, j (3.5.3

Usando esta convenção, fazemos a substituição

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 23

Page 24: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

|a,b |j,m

para denotar os autokets simultâneos de J2 e Jz. As equações básicas de autovalores, são agora

J2 |j,m jj 12 |j,m

Jz |j,m m |j,m

(3.5.3

(3.5.3

onde j é qualquer inteiro ou semi-inteiro, e m é dado por (3.5.33). As Eqs. (3.5.34) representam a quantizaçãodo momento angular. Ela é uma consequência direta das relações de comutação que, por sua vez, segue dapropriedade das rotações juntamente com a definição de Jk como gerador de rotação.

Elementos de Matriz dos Operadores Momento AngularOs autokets |j,m formam uma base de kets normalizados para o operador momento angular:

⟨j ′,m ′ |j,m j′jm ′m.

Elementos de matriz de J2 e Jz. Os elementos de matriz do operador J2 nesta base são

⟨j ′,m ′ | J2 |j,m jj 12⟨j ′,m ′ |j,m jj 12 j′jm ′m

e

⟨j ′,m ′ | Jz |j,m m⟨j ′,m ′ |j,m m j′jm ′m

Elementos de matriz de J. Para este caso, primeiro vamos considerar os elementos de matriz do operadorJ† J. Este operador pode ser escrito como

J† J J−J J2 − Jz2 − Jz

Assim,

⟨j,m| J† J |j,m ⟨j,m| J2 − Jz2 − Jz |j,m

jj 12 − m22 − m2

2jj 1 − mm 1

Mas

J |j,m cjm |j,m 1

então

⟨j,m| J† J |j,m ⟨j,m| J J |j,m ⟨j,m 1| cjm∗ cjm

|j,m 1

|cjm |2.

Portanto,

|cjm |2 2jj 1 − mm 1 2j − mj m 1

A constante cjm é determinada a menos de um fator de fase arbitrário. É costume (convenção) escolher esta

constante como sendo real e positiva:

cjm j − mj m 1

Logo,

J |j,m j − mj m 1 |j,m 1.

De uma maneira similar, podemos obter

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 24

Page 25: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

J− |j,m j − mj − m 1 |j,m − 1

Finalmente, os elementos de matriz de J são:

⟨j ′,m ′ | J |j,m j − mj m 1 j′jm ′,m1 (3.5.4

Elementos de Matriz do Operador RotaçãoPara uma rotação R especificada por n e , os elementos de matriz do operador rotação são

Dm ′mj R ⟨j,m ′ | exp −J n

|j,m (3.5.4

Estes elementos de matriz são conhecidos como funções de Wigner. Observe que os elementos de matriz deDR entre estados com j’s diferentes se anulam: DR |j,m é ainda um autoestado de J2 com o mesmoautovalor jj 12. De fato,

J2DR|j,m DRJ2|j,m jj 12DR|j,m

uma vez que J2,DR 0 como consequência de J2,Jk 0 e, portanto, J2,FJk 0, onde FJk significaqualquer função de Jk.

Rotações não mudam o valor j, o que é um resultado absolutamente lógico.

Representação irredutível. Às vezes, a matriz de dimensãoes 2j 1 2j 1 formada pelos elementosDm ′m

j R é referida na literatura como representação irredutível 2j 1-dimensional do operador rotaçãoDR.

A matriz que corresponde a um operador rotação arbitrária no espaço ket não necessariamente caracterizadopor um único valor j pode, com uma escolha apropriada da base, ser colocado na forma bloco-diagonal:

(3.5.4

onde cada quadrado sombreado é uma matriz quadrada 2j 1 2j 1 formada pelos elementos Dm ′mj R

com qualquer valor definido de j. Além disto, cada matriz quadrada não pode ser quebrada em blocos menores

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 25

Page 26: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

2j+1

k

k

2j+1-k

2j+

1-k

(3.5.4

para qualquer escolha da base.

Grupo das matrizes de rotação. As matrizes de rotação para um dado j formam um grupo:

Identidade. É um elemento do grupo, um vez que a matriz de rotação correspondedo a nenhuma rotação 0 é a matriz identidade 2j 1 2j 1.

Inversa. Também um elemento do grupo, correspondendo à inversão do ângulo de rotação → −,mantendo o eixo de rotação n.

Fechamento. As matrizes possuem esta propriedade, uma vez que o produto de qualquer duas delas étambém um elemento do grupo. Explicitamente, temos

∑m ′

Dm ′′m ′j R1Dm ′m

j R2 Dm ′′mj R1R2 (3.5.4

onde o produto R1R2 representa uma única rotação.

Unitariedade. A matriz de rotação é unitária, uma vez que o correspondente operador é unitário.Explicitamente, temos

Dm ′mj R−1 Dmm ′

j∗ R

Significa físico da matriz de rotaçãoSeja o estado |j,m; sob rotação encontramos

|j,m → DR |j,m.

Embora a rotação não mude o j, geralmente obtém-se estados com valores m diferentes do valor original.

Amplitude de probabilidade para |j,m ′ . Para determinar a amplitude de probabilidade de encontrar o estadoem |j,m ′ , vamos expandir o estado final como segue:

DR |j,m ∑m ′

|j,m ′ ⟨j,m ′ |DR |j,m

∑m ′

|j,m ′ Dm ′mj R (3.5.4

Ângulos de Euler e a matriz DComo já sabemos, os ângulos de Euler, ,,, podem ser usados para caracterizar a rotação mais geral.Assim, para um j arbitrário

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 26

Page 27: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Dm ′mj ,, ⟨j,m ′ | exp −Jz

exp −Jy

exp −Jz

|j,m

e−im ′m⟨j,m ′ | exp −Jy

|j,m

A rotação central, de um ângulo em torno do eixo y, mistura diferentes valores de m. É convenientedefinirmos uma nova matriz dj como

dm ′mj ⟨j,m ′ | exp −Jy

|j,m (3.5.5

Logo,

Dm ′mj ,, e−im ′mdm ′m

j

ExemplosCaso j 1/2. Neste caso, os valores de m são

m − 12 , 1

2 .

Escrevendo Jy 2 y e usando (3.2.44)

exp −y2 cos/2 − iy sen/2

A matriz d1/2 torna-se

dm ′mj ⟨j,m ′ | exp −y

2 |j,m

⟨j,m ′ | 1cos/2 − iy sen/2 |j,m

cos/2 m ′m − i sen/2⟨j,m ′ |y|j,m

Como

y 0 −ii 0

encontra-se

dj cos/21 00 1

− i sen/20 −ii 0

cos/2 0

0 cos/2

0 − sen/2sen/2 0

ou

dj

m 1/2 m −1/2

cos 2 − sen

2

sen 2 cos

2

Caso j 1. Agora os valores de m são

m −1,0,1

o que deve resultar numa matriz 3 3. Neste caso não contamos mais com as propriedades das matrizes deProf. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 27

Page 28: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Pauli. Mas, como

Jy J − J−

2ipodemos usar (3.5.41), para j j ′, ou seja,

⟨j,m ′ | J |j,m j − mj m 1 m ′,m1

Assim, a matriz Jy pode ser obtida a partir da relação

⟨j,m ′ | Jy |j,m 12i ⟨j,m

′ | J |j,m − 12i ⟨j,m

′ | J− |j,m

Mas,

⟨m 1| J |m 1 − m2 m ⟨m − 1| J− |m 1 − m2 − m

⟨1| J |0 2 , ⟨0| J− |1 2 ⟨0| J |−1 2 ⟨−1| J− |0 2

sendo nulos os demais elementos. Logo,

m 1 m 0 m −1

12i Jj1

2

0 − 2 i 00 0 − 2 i0 0 0

m ′ 1m ′ 0

m ′ −1

e

m 1 m 0 m −1

− 12i Jj1

2

0 0 02 i 0 00 2 i 0

m ′ 1m ′ 0

m ′ −1

Portanto,

m 1 m 0 m −1

Jyj1

2

0 − 2 i 02 i 0 − 2 i0 2 i 0

m ′ 1m ′ 0

m ′ −1

Como já conhecemos a representação matricial de Jyj1, agora podemos obter a expansão de Taylor de

exp−iJy/. Seja a expressão

exp −iJy

1 − i Jy

− 1

2! 2 Jy

2 1

3! i3 Jy

3

Pode-se mostrar que

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 28

Page 29: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Jy

n

Jy

2n par

Jy

, n ímpar

Assim,

exp −iJy

1 − i Jy

− 1

2! 2 Jy

2 1

3! i3 Jy

3

1 Jy

2−1

cos

1 − 2

2! − i Jy

− 3

3!

1 Jy

2cos − 1 − i Jy

sen

ou

exp −iJy

→ 1 − Jy

21 − cos − i Jy

sen

Logo,

dm ′mj1 ⟨j,m ′ | exp −Jy

|j,m

⟨j,m ′ | 1 − Jy

21 − cos − i Jy

sen |j,m

m ′m − 1 − cos ⟨j,m ′ | Jy

2|j,m − i sen ⟨j,m ′ | Jy

|j,m

Como

iJyj1

1

2

0 2 0− 2 0 2

0 − 2 0

e

Jyj1

2

12

20 − 2 i 02 i 0 − 2 i0 2 i 0

2

12

1 0 −10 2 0−1 0 1

então

d1 1 0 00 1 00 0 1

− 12

1 0 −10 2 0−1 0 1

1 − cos

− 12

0 2 0− 2 0 2

0 − 2 0

sen

ou

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 29

Page 30: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

d1 1 0 00 1 00 0 1

12 1 − cos 0 − 1

2 1 − cos

0 1 − cos 0

− 12 1 − cos 0 1

2 1 − cos

0 12

sen 0

− 12

sen 0 12

sen

0 − 12

sen 0

sen

Finalmente, agrupando os termos obtém-se

d1

12 1 cos − 1

2sen 1

2 1 − cos

12

sen cos − 12

sen

12 1 − cos 1

2sen 1

2 1 cos

Evidentemente este método torna-se cada vez mais trabalhoso à medida que o j aumenta. Na Seç. 3.8estudaremos um método muito mais fácil de obter dm ′m

j para qualquer j.

3.6 Momento Angular OrbitalO momento angular foi definido como sendo o gerador de rotações infinitesimais. Existe uma outra maneira deestudar o assunto, quando o momento angular de spin é nulo ou pode ser desprezado. O momento angular Jpara uma partícula é então o mesmo que o momento angular orbital L, definido como

L r p. (3.6.

Momento Angular Orbital como Gerador de RotaçõesComo foi definido em (3.6.1), o momento angular L satisfaz as relações de comutação para momento angular:

Li,Lj iijkLk (3.6.2

em virtude das relações de comutação entre as componentes de r e p. Isto pode ser facilmente demonstrado:Seja

Lx ypz − zpy

Ly zpx − xpz

então

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 30

Page 31: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Lx,Ly ypz − zpy, zpx − xpz

ypz, zpx zpy,xpz

ypzzpx − zpxypz zpyxpz − xpzzpy

ypxpz, z pyxz,pz

ixpy − ypx

iLz.

e assim por diante.

Agora considere o operador

1 − i

Lz 1 − i

xpy − ypx

atuando sobre um autoket arbitrário da posição |x ′,y ′, z ′ para examinarmos se ele pode ser interpretado comoo operador de rotações infinitesimais em torno do eixo z por um ângulo . Como o momento linear é umgerador de translações [v. Eq. (1.6.32)], isto é,

Tdx ′ 1 − ip dx ′

ou seja,

Tdx ′ |x ′ 1 − i p

dx ′ |x ′ |x ′ dx ′

encontra-se

1 − i

Lz |x ′,y ′, z ′ 1 − i

x ′py − y ′px |x ′,y ′, z ′

1 − i py

x ′ i px

y ′ |x ′,y ′, z ′

1 − i py

x ′ − i px

−y ′ |x ′,y ′, z ′

x ′ − y ′, y ′ x ′, z ′

Isto corresponde a uma rotação infinitesimal de um ângulo em torno do eixo z. De fato, numa rotação emtorno do eixo z, as coordenadas x,y, z transormam-se de acordo com

x ′ xcos − y seny ′ x sen ycos

Para um ângulo infinitesimal , valem as aproximações

cos ≃ 1sen ≃

Assim, para as coordenadas transformadas, obtém-se

x ′ x − y y ′ y x z ′ z

que é o resultado obtido.

Função de onda. Suponha agora que a função de onda para um estado arbitrário seja dada por ⟨x ′,y ′, z ′ |.Após uma rotação por um ângulo em torno do eixo z, a função de onda do estado transformado será

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 31

Page 32: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

⟨x ′,y ′, z ′ | 1 − i

Lz | ⟨x ′ y ′,y ′ − x ′, z ′ | (3.6.6

Coordenadas esféricas. Mudando a base para coordenadas esféricas, isto é

⟨x ′,y ′, z ′ | → ⟨r,,|

o estado tranformado torna-se, de acordo com (3.6.6)

⟨r,,| 1 − i

Lz | ⟨r,, − |

⟨r,,| − ∂∂ ⟨r,,|

Como ⟨r,,| é um autoklet arbitrário da posição, podemos identificar

⟨x ′ |Lz| −i ∂∂ ⟨x′ | (3.6.9

que é um resultado bem conhecido da mecânica ondulatória.

Rotação em torno do eixo x. Vamos agora considerar uma rotação em torno do eixo x por um ângulo x.Em analogia com (3.6.6) podemos escrever

⟨x ′,y ′, z ′ | 1 − i x

Lx | ⟨x ′,y ′ z ′x, z ′ − y ′x | (3.6.

Expressando x ′, y ′ e z ′ em coordenadas esféricas, podemos mostrar que

⟨x ′ |Lx| −i − sen ∂∂ − cotgcos ∂∂ ⟨x ′ | (3.6.

De maneira similar,

⟨x ′ |Ly| −i cos ∂∂ − cotg sen ∂∂ ⟨x ′ | (3.6.

Usando essas duas relações e as definições de L, encontramos

⟨x ′ |L| −iei i ∂∂ − cotg ∂∂ ⟨x ′ | (3.6.

Finalmente, usando

L2 Lz2 1

2 LL− L−L (3.6.

juntamente com (3.6.9) e (3.6.13), encontramos

⟨x ′ |L2| −2 1sen2

∂2

∂2 1sen

∂∂ sen ∂∂ ⟨x ′ | (3.6.

Exceto pelo fator 1/r2, esta é a expressão para a parte angular do operador Laplaciano em coordenadasesféricas.

Relação entre L2 e a parte angular de ∇2. Uma outra maneira de se obter esta relação é trabalhardiretamente com o operador energia cinética.

Vamos primeiro considerar uma importante identidade de operadores:

L2 x2p2 − x p2 i x p

onde x2 ≡ x x e p2 ≡ p p.

Demonstração. O operador L2 pode ser escrito na forma

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 32

Page 33: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

L2 ∑k

LkLk

Mas

Lk ∑ij

ijkxipj

então

L2 ∑k∑

ij

ijkxipj ∑lm

lmkxlpm

∑ijlmk

ijkxipjlmkxlpm

∑ijlm

xipjxlpm∑k

ijklmk

Como

∑k

ijklmk iljm − imjl

encontra-se

L2 ∑ijlm

iljm − imjlxipjxlpm

∑ijlm

iljm xipjxlpm − imjl xipjxlpm

∑ijlm

iljm xixlpj − ijlpm − imjl xipj pmxl ilm

∑ijlm

iljm xixlpj − ijlpm −∑ijlm

imjl xipj pmxl ilm

Cada termo pode ser reescrito como

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 33

Page 34: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

∑ijlm

iljm xixlpj − ijlpm

∑ijlm

iljm xixlpjpm − i∑ijlm

iljmjl xipm

∑il

ilxixl∑jm

jmpjpm − i∑im∑

jl

iljmjl xipm

∑i

xixi∑j

pjpj − i∑ijm∑

l

iljl jmxipm

x2p2 − i∑ijm

ij jmxipm

x2p2 − i∑im∑

j

ij jm xipm

x2p2 − i∑im

im xipm

x2p2 − i∑m

∑i

im xi pm

x2p2 − i∑m

xmpm

x2p2 − ix p

e

∑ijlm

imjl xipj pmxl ilm

∑ijlm

imjl xipjpmxl i∑ijlm

imjl xipjlm

∑ijlm

imjl xipmpj xl i∑

ijlm

imjl lmxipj

∑ijlm

imjl xipmxlpj − ijl i∑ijlm

imjl lmxipj

∑ijlm

imjl xipmxlpj − i∑ijlm

imjl jl xipm i∑ijlm

imjl lmxipj

∑im

imxipm∑jl

jl xlpj − i∑i

xipi∑jl

jl jl i∑lm

lmxmpl

∑i

xipi∑j

xjpj − i∑i

xipi

3

∑j

1 i∑l

xlpl

x p2 − 3ix p ix p

x p2 − 2ix p

Substituindo estes resultados na equação para L2, encontra-se

L2 x2p2 − ix p −x p2 2ix p

ouCapítulo 3 Teoria do Momento Angular 34

Page 35: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

L2 x2p2 − x p2 ix p

Elementos de matriz de cada termo de L2. Tomando-se os elementos de matriz de cada termo de L2,encontramos

⟨x ′ | x p | x ′ −i∇⟨x ′ |

−ir ∂∂r ⟨x′ |

Da mesma forma,

⟨x ′ | x p2 | ⟨x ′ | x px p | x ′ −i∇⟨x ′ |x p| −ix ′ ∇⟨x ′ |x p|

−ir ∂∂r ⟨x′ |x p|

−ir ∂∂r x′ −i∇⟨x ′ |

−2r ∂∂r r ∂∂r ⟨x′ |

−2 r2 ∂2

∂r2 ⟨x′ | r ∂∂r ⟨x

′ |

Então,

⟨x ′ |L2 | ⟨x ′ |x2p2| − ⟨x ′ |x p2| i⟨x ′ |x p|

Como x2 x x r2, obtém-se

⟨x ′ |L2 | r2⟨x ′ |p2| 2 r2 ∂2

∂r2 ⟨x′ | r ∂∂r ⟨x

′ | 2r ∂∂r ⟨x′ |

ou

⟨x ′ |p2| −2 ∂2

∂r2 ⟨x′ | 2

r∂∂r ⟨x

′ | 1r2 ⟨x

′ |L2 |

Energia Cinética. Em termos da energia cinética p2/2m, temos

12m ⟨x ′ |p2| − 2

2m ∇′2⟨x ′ |

− 2

2mparte radial do Laplaciano

∂2

∂r2 ⟨x′ | 2

r∂∂r ⟨x

′ | −

parte angular

12r2 ⟨x

′ |L2 |

em concordância com (3.6.15).

Harmônicos EsféricosPartícula num potencial com simetria esférica. Vamos considerar uma partícula sem spin sujeita a umpotencial com simetria esférica. Sabe-se que a equação de onda em coordenadas esféricas admite separaçãode variáveis e as autofunções da energia pode ser escrita como

⟨x ′ |n, l,m RnlrYlm, (3.6.2

Um Hamiltoniano esfericamente simétrico comuta com Lz e L2 e seus autoestados são também autoestados deL2 e Lz. Como Lk satisfazem as relações de comutação do momento angular, as equações de autovalores paraL2 e Lz serão:

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 35

Page 36: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

L2 |n, l,m ll 12 |n, l,mLz |n, l,m m |n, l,m

onde

m −l, −l 1,… , l − 1, l.

Dependência angular. Como a dependência angular é comum para todos os problemas com simetriaesférica, podemos isolá-la e considerar

⟨n|l,m Ylm, Yl

mn (3.6.2

onde definimos um autoket da direção |n. Deste ponto de vista, Ylm, é a amplitude de probabilidade para o

estado caracterizado por l e m ser encontrado na direção n especificada por e . Assim, partindo da equaçãode autovalores para Lz,

Lz|l,m m |l,m

multiplicando pela esquerda pelo bra de |n, encontra-se

⟨n|Lz|l,m m ⟨n|l,m

e, usando (3.6.9),

⟨n|Lz|l,m −i ∂∂ ⟨n|l,m

obtém-se

− i ∂∂ ⟨n|l,m m ⟨n|l,m

Ou,

− i ∂∂ Ylm, m Yl

m,

o que implica que a dependência em de Ylm, comporta-se como eim. Por outro lado, de

L2 |l,m ll 12 |l,m

encontra-se

⟨n| L2 |l,m ll 12 ⟨n|l,m

De (3.6.15),

⟨n|L2| −2 1sen2

∂2

∂2 1sen

∂∂ sen ∂∂ ⟨n|

segue-se

− 2 1sen2

∂2

∂2 1sen

∂∂ sen ∂∂ ⟨n| ll 12 ⟨n|l,m

ou

1sen2

∂2

∂2 1sen

∂∂ sen ∂∂ ll 1 Yl

m 0. (3.6.2

que é a equação diferencial parcial satisfeita por Ylm.

Ortogonalidade. A relação de ortogonalidade,

⟨l ′,m ′ |l,m l′lm ′m

forneceCapítulo 3 Teoria do Momento Angular 36

Page 37: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

dn ⟨l ′,m ′ |n⟨n|l,m l′lm ′m

ou

d n Yl′m ′∗,Yl

m, 0

2d

0

d sen Yl

m ′∗,Ylm,

0

2d

1dcos Yl

m ′∗,Ylm,

l′lm ′m (3.6.3

onde usamos a completeza para os autokets da direção,

d n |n⟨n| 1 (3.6.3

Cálculo de Yll. Para obtermos os Yl

m vamos partir com o caso m l. Aplicando o operador levantamento L

ao ket |l, l devemos obter um ket nulo, ou seja,

L|l, l 0,

uma vez que a ação de L sobre o valor de m é aumentar por uma unidade um valor que já é o máximo.Multiplicando pela esquerda pelo bra de |n e usando o resultado dado em (3.6.13), obtém-se

− iei i ∂∂ − cotg ∂∂ ⟨n| l, l 0

Lembrando que a dependência em é dada por eim eil, e fazendo

⟨n| l, l eil⟨n| l

encontra-se

i ∂∂ − ilcotg ⟨n| l 0

ou sejadd ⟨n| l lcotg⟨n| l

⟨n| l clel cotgd

clel 12 ln2−2 cos2

cl 2 − 2 cos2 l

cl 2 − 21 − sin2 − sin2 l cl 4 sin2 l

cl sen l

onde o fator 2 foi englobado na constante cl. Logo,

⟨n| l, l Yll, cl eil sen l (3.6.3

A constante cl é determinada pela condição de normalização (3.6.30), obtendo-se

cl −1 l

2 ll!2l 12l!

4 (3.6.3

Cálculo dos demais Ylm. Partindo de (3.6.34) e aplicando sucessivamente o operador abaixamento L−, podemos

obter todos os Ylm. De uma maneira geral, podemos escrever

⟨n|l,m − 1 ⟨n| L− |l,ml ml − m 1

uma vez que

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 37

Page 38: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

L− |l,m l ml − m 1 |l,m − 1

dado na Eq. (3.5.40). Usando novamente (3.6.13), encontra-se

⟨n|l,m − 1 1l ml − m 1

−ie−i i ∂∂ − cotg ∂∂ ⟨n| l,m

1l ml − m 1

e−i ∂∂ icotg ∂∂ ⟨n| l,m (3.6.3

Fazendo-se m l, l − 1,… , obtém-se sucessivamente Yll,Yl

l−1,… ,Yl0,…Yl

−l. O resultado geral, para m ≥ 0 é

Ylm, −1 l

2 ll!2l 1

4l m!l − m! eim 1

senm dl−m

dcosl−m sen2l (3.6.3

e definimos Yl−m através da relação

Yl−m, −1mYl

m,∗ (3.6.3

Dependência em . Independente de m ser positivo ou negativo, a dependência em de Ylm, é sen |m|

vezes um polinômio em cos, com a maior potência valendo l − |m|. Para m 0, obtém-se

Yl0, 2l 1

4 Plcos (3.6.3

★ Podemos mostrar que os valores de l devem ser inteiros. Leia os argumentos no final da seção.

Harmônicos Esféricos como Matrizes de RotaçãoHE sob o ponto de vista das MR. Neste contexto, vamos construir o autoket |n a partir de |z, aplicandooperadores de rotação apropriadoDR, tal que

|n DR|z (3.6.4

Isto pode ser obtido, usando-se a mesma técnica para a construção do autospinor de n na Seç. 3.2 (vejafigura abaixo):

(1) rotação em torno do eixo y; (2) rotação em torno do eixo z.

Segundarotação

Primeirarotação

α

βθ

φ

|n|z

x

y

z

Em termos dos ângulos de Euler, , e , temos

D , , 0.

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 38

Page 39: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

A equação |n DR|z pode ser reescrita como uma expansão em termos de |l,m

|n ∑l∑

m

DR |l,m⟨l,m|z

onde |n contém todos os possíveis valores de l. Projetando no estado ⟨l ′,m ′ | apenas um termo na soma lcontribui, isto é,

⟨l ′,m ′|n ∑l∑

m

DR ⟨l,m ′|l,m⟨l,m|z

∑l∑

m

⟨l ′,m ′|DR |l,m⟨l,m|z

∑m

Dm ′ml′ , , 0 ⟨l ′,m|z

uma vez queD só conecta estados com o mesmo valor de l ou j . Ou seja

⟨l,m ′|n ∑m

Dm ′ml , , 0 ⟨l,m|z (6.6.4

Por definição

⟨n|l,m Ylm,

então

⟨z|l,m Ylm 0, indeterminado

e portanto

⟨l,m|z Ylm∗ 0, indeterminado

é um número. Sabe-se que, para 0, Ylm se anula para m ≠ 0, uma vez que |z é um autoket de Lz com

autovalor zero. Assim,

⟨l,m|z Ylm∗ 0, indeterminado m0

2l 14 Plcos

cos1

m0

2l 14 m0

Voltando à Eq. (3.6.49), obtém-se

Ylm ′∗, ∑

m

Dm ′ml , , 0 ⟨l,m|z

2l 14 ∑

m

Dm ′ml , , 0 m0

2l 14 Dm ′0

l , , 0

ou

Dm0l ,, 0 4

2l 1 Ylm∗,

,

(3.6.5

Caso m 0. Para m 0, que é de particular importância, partindo de

Dm ′mj ,, e−im ′mdm ′m

j ,

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 39

Page 40: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

com m m ′ 0, encontramos

D00j , , 0 d00

j

Logo,

d00j

4

2l 1 Yl0∗,

42l 1

2l 14 Plcos

ou seja,

d00j

Plcos. (3.6.5

3.7 Adição de Momentos AngularesAplicações em todas as áreas da física moderna além de oferecer uma excelente oportunidade para ilustrar osconceitos de mudança de base discutiva no Capítulo 1.

Exemplos Simples de Adição de Momento AngularExemplo (1): Adição de momento angular orbital e de spin. Neste exemplo vamos estudar sistemas de spin12 sem ignorar os outros graus de liberdade, como fizemos até agora. Uma descrição realística de uma

partícula com spin deve levar em conta tanto os graus de liberdade espaciais quanto os graus de liberdadeinternos.

Base ket para uma partícula de spin 12 . A base ket para uma partícula de spin 1

2 pode ser visualizada como

sendo o espaço produto-direto do espaço ket infinito dimensional dos autokets da posição |x ′ e o espaçobidimensional do spin, | e |−. Explicitamente, para a base ket, temos

|x ′, |x ′ ⊗ | (3.7.

onde qualquer operador no espaço descrito por |x ′ comuta com qualquer operador no espaço descrito por|.

Operador rotação. Neste espaço, o operador rotação tem ainda a forma exp−iJ n/, mas J, o gerador derotações, agora possui duas partes:

J L S (3.7.2

Forma mais evidente:

J L ⊗ 1S 1x ′ ⊗ S (3.7.3

onde 1S é o operador indentidade no espaço do spin e 1x ′ é o operado identidade no espaço de dimensãoinfinita dos autokets da posição.

Uma vez que L e S comutam, podemos escrever

DR D orb R ⊗D spin R

exp −iJ n

⊗ exp −iS n

(3.7.4

Função de onda. A função de onda para uma partícula com spin é escrita como

⟨x ′,| x ′ (3.7.5

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 40

Page 41: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

As duas componentes às vezes são dispostas na forma de matriz coluna

x ′

−x ′

onde |x ′|2 representa a densidade de probabilidade de encontrar a partícula na posição x ′ com spin paracima e para baixo −.

Base alternativas

Base formada pelos autokets de L2, Lz, S2 e Sz. Ao invés da base |x ′ para a parte espacial, podemos usar|n, l,m que são autokets de L2 e Lz, ou seja,

L2 |n, l,m ll 12 |n, l,mLz |n, l,m m |n, l,m

e para a parte de spin |, que são autokets de S2 e Sz, ou seja,

S2 | 12

12 1 2| 3

4 2|

Sz | 12 |.

Base formada pelos autokets de J2,Jz,L2 e S2. Como veremos mais adiante, podemos também usar umabase formada pelos autokets de J2,Jz,L2 e S2.

Em outras palavras, podemos expandir um estado ket de uma partícula com spin em termos dos autoketssimultâneos de L2, Lz, S2 e Sz ou em termos dos autokets simultâneos de J2,Jz,L2 e S2.

Exemplo (2): Adição de dois momentos angulares de spin. Neste exemplo, vamos estudar duas partículas despin 1

2 – digamos, dois elétrons – com o grau de liberdade orbital ignorado.

O operador spin total é geralmente escrito como

S S1 S2 (3.7.7

que deve ser entendido como

S S1 ⊗ 12 11 ⊗ S2 (3.7.8

onde 11 representa o operador identidade no espaço de spin do elétron 1, e 12, no espaço de spin do elétron 2.

Como sabemos,

S1x,S2y 0, … (3.7.9

Dentro do próprio espaço, temos as relações de comutação usuais:

S1x,S1y iS1z, S2x,S2y iS2z,… (3.7.

Como consequência das anteriores, as relações de comutação para o operador spin total são

Sx,Sy iSz,… (3.7.

Autovalores dos operadores spins. Os autovalores para os vários operadores de spin são listados abaixo

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 41

Page 42: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Operador AutovalorS2 S1 S22 → ss 12

Sz S1z S2z → mS1z → m1

S2z → m2

Expansão de um estado de spin arbitrário. Podemos expandir um estado de spin arbitrário em termos dosautokes de S2 e Sz ou em termos dos autokets de S1z e S2z. As duas possibilidades são:

1. A representação m1, m2 baseada nos autoketes de S1z e S2z:

|m1, m2 |,, |,− |−, e |−,−

2. A representação s, m (representação singleto-tripleto) baseada nos autokets de S2 e Sz:

|s, m |s 1, m 1, |s 1, m 0, |s 1, m −1,|s 0, m 0.

onde s 1 s 0 tripleto de spin (singleto de spin).

Observe que em cada conjunto existem quatro kets de base. A relação entre os dois conjuntos é:

|s 1,m 1 |, a

|s 1,m 0 12

|,− |−, b

|s 1,m −1 |−,− c

|s 0,m 0 12

|,− − |−, d

(3.7.

Demonstração. O lado direito de a nos diz que temos ambos os elétrons com spin para cima; esta situaçãosó pode corresponder a s 1 e m 1. A b pode ser obtida de a, aplicando-se o operador abaixamento

S− S1− S2− S1x − iS1y S2x − iS2y (3.7.

a ambos os lados de a. Ou seja,

S− |s 1,m 1 S1− S2− |, (3.7.

onde S1− S2− afeta apenas a primeira (segunda) entrada de |,. Lembrando que

J |j,m j ∓ mj m 1 |j,m 1

encontramos para este caso:

1 11 − 1 1 |s 1,m 0 12 1

212 −

12 1 |−,

12 1

212 −

12 1 |,−

ou

2 |s 1,m 0 |−, |,−

|s 1,m 0 12

|−, |,−

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 42

Page 43: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Da mesma forma, podemos obter c:

S− |s 1,m 0 12

S1− S2− |−, |,−

ou

1 01 − 0 1 |s 1,m −1

12

S1− |−, S1−|,− S2− |−, S2−|,−

12

0 S1−|,− S2− |−, 0

12

12 1

212 −

12 1 |−,−

12 1

212 −

12 1 |−,−

ou

2 |s 1,m −1 2 |−,− |s 1,m −1 |−,−.

Finalmente, a d pode ser obtida, exigindo que este seja ortogonal aos outros três kets, em particular ao b.

Coeficientes de Clebsch-Gordan. Os coeficientes que aparecem do lado direito de (3.7.15) são o exemplomais simples dos coeficientes de Clebsch-Gordan, que serão discutidos mais adiante. Eles representamsimplesmente os elementos da matriz de transformação que conecta a base m1,m2 à base s,m.

Outra forma de obter os coeficientes. Uma outra maneira de se obter esses coeficiente é escrever arepresentação matricial do operador

S2 S1 S22 S12 S2

2 2S1 S2

S12 S2

2 2S1zS2z S1S2− S1−S2 (3.7.

na base m1,m2. Ou seja

⟨m1,m2 | → ⟨,| ⟨,−| ⟨−,| ⟨−,−|↓

|m1,m2

S2 2

2 0 0 00 2 1 00 1 2 00 0 0 2

|,|,−|−,|−,−

Como se pode observar, esta matriz quadrada não é diagonal, devido aos operadores S1 e S2 que conectamestados |m1,m2 com |m1 1,m2 1. Mas podemos mostrar que esta matriz é diagonalizado por uma matrizunitária do tipo

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 43

Page 44: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

U

1 0 0 0

0 12− 1

20

0 12

12

0

0 0 0 1

uma vez que

U−1S2U

1 0 0 0

0 12

12

0

0 − 12

12

0

0 0 0 1

2 0 0 00 2 1 00 1 2 00 0 0 2

1 0 0 0

0 12− 1

20

0 12

12

0

0 0 0 1

2 0 0 00 3 0 00 0 1 00 0 0 2

Os elementos da matriz U que diagonaliza S2 são os coeficientes de Clebsch-Gordan para este problema.

Teoria Formal da Adição de Momento AngularConsidere dois operadores momentos angulares J1 e J2. Suas componentes satisfazem as relações decomutação usuais para momento angular:

J1i,J1,j iijkJ1k (3.7.2

e

J2i,J2,j iijkJ2k (3.7.2

Porém,

J1k,J2j 0 (3.7.2

entre os pares de operadores de diferentes subespaços.

Operador rotação infinitesimal. O operador rotação infinitesimal que afeta ambos os subespaços, 1 e 2, éescrito como

1 − iJ1 n

⊗ 1 − iJ2 n

1 − iJ1 ⊗ 12 11 ⊗ J2 n

(3.7.2

O momento angular total é definido por

J J1 ⊗ 12 11 ⊗ J2 (3.7.2

que é mais comumente escrito como

J J1 J2 (3.7.2

Rotação finita. A versão de ângulo finito de (3.7.22) é

D1R ⊗D2R exp iJ1 n

⊗ exp iJ2 n

(3.7.2

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 44

Page 45: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Relação de comutação do momento total. Devido a (3.7.20) e (3.7.21), o momento angular total satisafaz asrelações de comutação

Ji,Jj iijkJk (3.7.2

Escolha da base. Temos duas opções para a escolha da base:

Opção A - Base formada pelos autokets simultâneos de J12,J2

2, J1z e J2z, denotado por |j1j2;m1m2 . Esses operadores

comutam entre si. As equações de autovalores para esses operadores são

J12|j1j2;m1m2 j1j1 12|j1j2;m1m2

J1z|j1j2;m1m2 m1|j1j2;m1m2

J22|j1j2;m1m2 j2j2 12|j1j2;m1m2

J2z|j1j2;m1m2 m2|j1j2;m1m2

Opção B - Base formada pelos autokets simultâneos de J2,J12,J2

2, e Jz. Esses operadores comutam entre si. Denotamos

esta base por |j1j2; jm. As equações de autovalores para esses operadores são

J12|j1j2; jm j1j1 12|j1j2; jm

J22|j1j2; jm j2j2 12|j1j2; jm

J2|j1j2; jm jj 12|j1j2; jmJz|j1j2; jm m|j1j2; jm

Embora se tenha

J2,Jz 0, (3.7.3

esta relaçao não vale para as componentes z de J1 e J2, ou seja,

J2,J1z ≠ 0 e J2,J2z ≠ 0 (3.7.3

como pode se demonstrado, escrevendo-se

J2 J12 J2

2 2J1zJ2z J1J2− J1−J2.

Mudança de base. Vamos considerar a transformação unitária que conecta as duas bases:

|j1j2; jm ∑m1

∑m2

|j1j2;m1m2 ⟨j1j2;m1m2 |j1j2; jm (3.7.3

onde usamos

∑m1

∑m2

|j1j2;m1m2 ⟨j1j2;m1m2 | 1 (3.7.3

Os elementos de matriz ⟨j1j2;m1m2 |j1j2; jm desta transformação são os coeficientes de Clebsch-Gordan, Cjmm1m2 .

Propriedades dos coeficientes de Clebsch-Gordan

1. Os coeficientes Cjmm1m2 são nulos, exceto para

m m1 m2.

Demonstração: Seja Jz J1z J2z. Então

Jz |j1j2; jm J1z J2z |j1j2; jm → m m1 m2.

2. Os coeficientes Cjmm1m2 são nulos, exceto para

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 45

Page 46: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

|j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 j2. (3.7.3

Demonstração: Esta é a versão quântica do modelo vetorial da adição de dois momentos angulares, ondevisualisamos J como a soma vetorial de J1 e J2. Porém, é importante verificá-la, mostrando que, se (3.7.38) éválida, então a dimensionalidade do espaço definido por |j1j2;m1m2 é a mesma de |j1j2; jm. No primeirocaso, a dimensão vale

N 2j1 1 2j2 1 (3.7.3

Para o segundo caso, considerando j1 ≥ j2, vemos que, para cada valor de j, existem 2j 1 estados e, deacordo com (3.7.38) j pode variar desde j1 − j2 até j1 j2. Assim,

N ∑jj1−j2

j1j2

2j 1

2j1 j2 1 2j1 − j2 12j2 12 2j1 1 2j2 1

Uma vez que ambas as contagem dão o mesmo valor de N, vemos que (3.7.38) é consistente (veja prova noApêndice B).

Os coeficientes de Clebsch-Gordan forma uma matriz unitária. Além disso, os elementos de matriz, porconvenção, são tomados como sendo reais. Uma consequência imediata disto, é que

⟨j1j2;m1m2 |j1j2; jm ⟨j1j2; jm|j1j2;m1m2

ou seja, os inversos são iguais aos próprios coeficientes. Uma matriz unitária real é ortogonal. Assim,

∑jm

⟨j1j2;m1m2 |j1j2; jm⟨j1j2;m1′ m2

′ |j1j2; jm m1m1′ m2m2

′ (3.7.4

ou seja,

∑jm

⟨j1j2;m1m2 |j1j2; jm⟨j1j2;m1′ m2

′ |j1j2; jm

∑jm

⟨j1j2;m1m2 |j1j2; jm⟨j1j2; jm|j1j2;m1′ m2

⟨j1j2;m1m2 |j1j2;m1′ m2

′ m1m1′ m2m2

devido à ortogonalidade dos estados |j1j2;m1m2, juntamente com a condição de que os coeficientes são reais.Da mesma forma,

∑m1,m2

⟨j1j2;m1m2 |j1j2; jm⟨j1j2;m1m2 |j1j2; j ′m ′ jj′mm ′ (3.7.4

ou seja,

∑m1,m2

⟨j1j2;m1m2 |j1j2; jm⟨j1j2;m1m2 |j1j2; j ′m ′

∑m1,m2

⟨j1j2; jm|j1j2;m1m2⟨j1j2;m1m2 |j1j2; j ′m ′

⟨j1j2; jm|j1j2; j ′m ′ jj′mm ′

onde usamos argumentos similares.

Normalização de |j1j2; jm. Como caso especial deste último, façamos j ′ j, m ′ m m1 m2. Obtém-se

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 46

Page 47: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

∑m1,m2

⟨j1j2;m1m2 |j1j2; jm⟨j1j2;m1m2 |j1j2; jm

∑m1,m2

|⟨j1j2;m1m2 |j1j2; jm|2 1

que é justamente a condição de normalização para |j1j2; jm.

Símbolo 3j de Wigner. Os coeficientes de Clebsch-Gordan podem também ser escritos em termos dossímbolos 3j de Wigner:

⟨j1j2;m1m2 |j1j2; jm −1j1−j2m 2j 1j1j2j

m1m2 − m (3.7.4

Relações de Recorrência para os Coeficientes de Clebsch-GordanFixando-se j1, j2 e j, os coeficientes com diferentes valores de m1 e m2 estão relacionados entre si através derelações de recorrência. Partindo com

J|j1j2; jm J1 J2 ∑m1′

∑m2′

|j1j2;m1′ m2

e usando (3.5.39) e (3.5.40) obtemos

j ∓ mj m 1 |j1j2; j,m 1

∑m1′

∑m2′

j1 ∓ m1′ j1 m1

′ 1 |j1j2;m1′ 1,m2

j2 ∓ m2′ j2 m2

′ 1 |j1j2;m ′,m2′ 1 ⟨j1j2;m1

′ m2′ |j1j2; jm

Multiplicando agora o resultado por ⟨j1j2;m1m2 | e usando a ortogonalidade, que significa contribuições nãonulas para o lado direito apenas se

m1 m1′ 1, m2 m2

′ , primeiro termom1 m1

′ , m2 m2′ 1, segundo termo.

Desta forma, obtém-se as relações de recorrência desejadas:

j ∓ mj m 1 ⟨j1j2;m1m2|j1j2; j,m 1

j1 ∓ m1j1 m1 1 ⟨j1j2;m1 ∓ 1,m2|j1j2; jm

j2 ∓ m2j2 m2 1 ⟨j1j2;m1,m2 ∓ 1|j1j2; jm (3.7.4

Suprimindo a j1j2 da notação, isto é,

|j1j2; jm → |jm e |j1j2;m1m2 → |m1m2

podemos escrever

j ∓ mj m 1 ⟨m1m2|j,m 1

j1 ∓ m1j1 m1 1 ⟨m1 ∓ 1,m2|jm

j2 ∓ m2j2 m2 1 ⟨m1,m2 ∓ 1|jm (3.7.4

Visualização das relações de recorrência. Representando os valores dos m ′s no plano m1m2, as relações derecorrência para J diz-nos que os coeficientes para m1,m2 estão relacionados aos coeficientes para

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 47

Page 48: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

m1 − 1,m2 e m1,m2 − 1. Da mesma forma, para J−, a relação de recorrência relaciona os três coeficientescujos valores de m1 e m2 são dados na figura da direita.

(m1-1,m2)

(m1,m2-1)

(lado direito)

J+

J-

(lado direito)

(m1,m2)(lado esquerdo)

(m1,m2)(lado esquerdo)

(m1,m2+1)(lado direito)

(m1+1,m2)(lado direito)

Os coeficientes de Clebsch-Gordan e as relações de recorrência. Considere o plano m1m2 com j1, j2 e j fixos.Na parte (a) da figura abaixo, plotamos o contorno da região permitida determinado por

|m1 | ≤ j1, |m2 | ≤ j2, − j ≤ m m1 m2 ≤ j.

A

m1 + m2 = j

m2 = j2

m2 = - j2

m1 = - j1 m1 = j1

AD

E

F C

B x

proibido!J+

J+

J-

J-

(a) (b)

J-

m1 + m2 = - j

Partimos com o canto direito superior representado por A.

Aplicamos a relação de recorrência para J− (sinal inferior) com m1, m2 1 correspondendo a A. Observe que estarelação só conecta A com B, porque o sítio correspondendo a m1 1, m2 é proibido por m1 ≤ j1. Como resultado,obtemos os coeficientes de C-G de B em termos dos coeficientes de A.

Em seguida, forma-se o triângulo J com A, B e D. Isto permite encontrar o coeficientte de D, uma vez que ocoeficiente de A seja especificado.

Conhecendo-se B e D, podemos obter E.

Conhecendo-se B e E podemos obter C e assim por diante.

Adição de j1 l e j2 s 12

Considere o seguinte exemplo de adição do momento angular orbital com o momento angular de spin 1/2:

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 48

Page 49: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

j1 l, inteiro , m1 ml

j2 s 12 , m2 ms

(3.7.5

Valores de j permitidos . Neste caso, os valores de j permitidos são

j l 12 , l 0.

j 12 , l 0.

(3.7.5

Assim, para cada l, existem dois valores permitidos para j

j l 12 e l − 1

2 .

Por exemplo, para l 1 (estado p), os valores permitidos de j são: j 32 e 1

2 . Na notação espectroscópica,

p3/2 e p1/2 onde o subscrito refere-se a j.

Plano m1m2. O plano m1m2, ou melhor, o plano mlms deste problema é particularmente simples: os sítiospermitidos formam apenas duas linhas. A linha superior, para ms 1

2 , e a inferior, para ms − 12 .

Caso j l 12 . Vamos estudar o caso específico j l 1

2 . Uma vez que ms não pode ser maior que 12 ,

podemos usar a recorrência de J− de maneira que sempre estaremos na linha superior m2 ms 12 ,

enquanto que o valor de ml varia por uma unidade, cada vez que consideramos um novo triângulo J−. De(3.7.49) (sinal inferior), para m1 ml m − 1

2 e m2 ms 12 , ou seja,

j mj − m 1 ⟨mlms|j,m − 1

j1 m1j1 − m1 1 ⟨ml 1,ms|jm

j2 m2j2 − m2 1 ⟨ml,ms 1|jm

encontramos fazendo m → m 1:

l 12 m 1 l 1

2 − m ⟨m − 12 , 1

2 |l 12 ,m

l m 12 l − m 1

2 m 12 , 1

2 l 12 ,m 1

Logo,

⟨m − 12 , 1

2 |l 12 ,m

l m 12 l − m 1

2l 1

2 m 1 l 12 − m

m 12 , 1

2 l 12 ,m 1

ou

m − 12 , 1

2 l 12 ,m

l m 12

l m 32

m 12 , 1

2 l 12 ,m 1

Fazendo m → m 1, sucessivamente, nesta equação, até que m l, encontramos

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 49

Page 50: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

m 12 , 1

2 l 12 ,m 1

l m 32

l m 52

m 32 , 1

2 l 12 ,m 2

m 32 , 1

2 l 12 ,m 2

l m 52

l m 72

m 52 , 1

2 l 12 ,m 3

m 52 , 1

2 l 12 ,m 2

l m 72

l m 92

m 72 , 1

2 l 12 ,m 4

l − 1, 12 l 1

2 , l − 1 12 2l

2l 1 l, 12 l 1

2 , l 12

e, portanto,

m − 12 , 1

2 l 12 ,m

l m 1

2l m 3

2

l m 12

l m 32

l m 3

2l m 5

2

2l2l 1 l, 1

2 l 12 , l 1

2

l m 1

22l 1 l, 1

2 l 12 , l 1

2 . (3.7.5

ms

ml

J- J- J-

x x x

Configuração de valores máximos: m1 l e m2 12 . Neste caso, o valor total m m1 m2 vale m l 1

2 ,

que só será possível para j l 12 e não para j l − 1

2 . Assim:

ml l,ms 12 j l 1

2 ,m l 12

onde é um fator de fase. Tomando este fator de fase real e positivo, igual à unidade, por convenção,encontramos

ml l,ms 12 j l 1

2 ,m l 12 ≡ l, 1

2 l 12 , l 1

2 1 (3.7.5

Assim, de (3.7.57)

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 50

Page 51: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

m − 12 , 1

2 l 12 ,m

l m 12

2l 1 (3.7.5

Estados j l 12 ,m e j l 1

2 ,m . Como m ml ms, os valores de ml e ms podem ser, para ambos os

estados: a ml m − 12 e ms 1

2 e b ml m 12 e ms − 1

2 . Assim, esses estados conectam ambos.

Logo,

j l 12 ,m a ml m − 1

2 ,ms 12 b ml m 1

2 ,ms − 12

j l − 12 ,m c ml m − 1

2 ,ms 12 d ml m 1

2 ,ms − 12

O parâmetro a pode ser facilmente obtido de (3.7.59), sendo dado por a l m 1

22l 1 . Portanto,

j l 12 ,m

l m 12

2l 1 ml m − 12 ,ms 1

2

b ml m 12 ,ms − 1

2 .

j l − 12 ,m c ml m − 1

2 ,ms 12

d ml m 12 ,ms − 1

2

Isto pode ser escrito na forma matricial

j l 12 ,m

j l − 12 ,m

a bc d

m − 12 , 1

2m 1

2 ,− 12

Devido à ortogonalidade, espera-se que a matriz de transformação seja da forma,

a bc d

→cos sen− sen cos

Como cos a l m 1

22l 1 , podemos encontrar

sen b 1 − cos2 1 −l m 1

22l 1

2l 1 − l − m − 12

2l 1

l − m 1

22l 1

Portanto, a matriz de transformação será:

l m 12

2l 1l − m 1

22l 1

−l − m 1

22l 1

l m 12

2l 1

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 51

Page 52: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

3.8 Modelo de Oscilador de Schwinger do Momento AngularExiste uma conexão entre a álgebra do momento angular e a álgebra de dois osciladores desacoplados.Vamos considerar dois tipos de oscilador: oscilador tipo mais e oscilador tipo menos. Os operadores de criaçãoe destruição são denotados por a e a

† . Os operadores números são definidos por

N ≡ a†a (3.8.

Relações de comutação. Admitimos que as relações de comutação para a, a† e N são do mesmo tipo quedos osciladores. Ou seja,

a,a† 1, a−,a−† 1,

N,a −a, N−,a− −a−,N,a

† a† , N−,a−† a−† .

(3.8.2

Para osciladores diferentes (desacoplados),

a,a−† 0,… (3.8.3

Como N e N− comutam, podemos definir autoestados simultâneos desses operadores, |n,n− ,ou seja,

N|n,n− n|n,n− , N−|n,n− n−|n,n− (3.8.4

Ação dos operadores a e a†. Em analogia com o problema do oscilador, segue que

a† |n,n− n 1 |n 1,n− , a−† |n,n− n− 1 |n,n− 1,

a|n,n− n |n − 1,n− , a−|n,n− n− |n,n− − 1. (3.8.5

Ket |n,n− a partir do vácuo |0, 0. Para obter o ket |n,n− basta aplicar sucessivamente a† e a−† ao vácuo

|0, 0. Isto é

a†a−† |0, 0 |1, 1 → |1, 1 a

†a−† |0, 0

a†a−† |1, 1 2 2 |2,2 → |2, 2 a

2a−†

2|1,1 a

† 2

2a−† 2

2|0, 0

a†a−† |2, 2 3 3 |3,3 → |3, 3 a

3a−†

3|2,2 a

† 3

3 2a−† 3

3 2|0,0

onde

a |0, 0 0 (3.8.6

De uma maneira geral

|n,n− a

† na−† n−

n! n−!|0, 0 (3.8.7

Agora definimos

J ≡ a†a−, J− ≡ a−†a

Jz ≡ 2 a

†a − a−†a− 2 N − N−

(3.8.8

(3.8.8

Estes operadores satisfazem as relações de comutação de momento angular:

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 52

Page 53: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Jz,J J, J,J− 2Jz (3.8.9

Definindo o operador número total, N, como

N ≡ N N− a†a a−†a−,

podemos mostrar que

J2 ≡ Jz2 1

2 JJ− J−J 2

2 N N2 1 .

Demonstração. Como J2 Jx2 Jy

2 Jz2 e escrevendo J Jx iJy, obtém-se Jx 1

2 J J− e

Jy 12i J − J−, então

J2 Jx2 Jy

2 Jz2

Jz2 1

4 J J−2 − 12 J − J−2

Jz2 1

4 JJ JJ− J−J J−J− − JJ JJ− J−J − J−J−

Jz2 1

4 2JJ− 2J−J

Jz2 1

2 JJ J−J

Como J ≡ a†a− e J− ≡ a−†a, a,a

† 1 e a,a∓† 0 encontramos

JJ− 2 a†a−a−†a 2 a

† 1 a−†a−a

2 a†a1 a−†a−

2N1 N−

Da mesma forma

J−J 2 a−†aa†a− 2 a−† 1 a

†aa− 2 a−†a−1 a

†a

2N−1 N

assim como,

Jz2 2

4 N − N−2 2

4 N2 N−2 − 2NN−

onde usamos N,N− 0. Logo,

J2 Jz2 1

2 JJ− J−J

2

4 N2 N−2 − 2NN− 2

2 N1 N− N−1 N

2

2N

2 N−2 − 2NN−2 N NN− N− N−N

2

2N

2 N−2 − 2NN− 2N N− 4NN−2

2

2N2 2N

2

2

2 N N2 1

como foi antecipado.

Interpretação Física1) interpretação 1

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 53

Page 54: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

spin para cima uma unidade quântica do oscilador tipo “mais”.

spin para baixo uma unidade quântica do oscilador tipo “menos”.

2) interpretação 2

uma “partícula” de spin 1/2 com spin para cima cada uma unidade quântica do oscilador tipo “mais”.

uma “partícula” de spin 1/2 com spin para baixo cada uma unidade quântica do oscilador tipo “menos”.

Os autovalores n representam o número de spins para cima e para baixo −.

J a† a− destrói uma unidade de spin para baixo, com componente z do momento angular −/2 e cria umaunidade de spin para cima, com componente z do momento angular /2: a componente z do momento angularaumenta uma unidade de .

J− a−† a destrói uma unidade de spin para cima, com componente z do momento angular /2 e cria uma unidadede spin para baixo, com componente z do momento angular −/2: a componente z do momento angular diminui umaunidade de .

Jz N − N− /2 calcula o produto de /2 pela diferença de n e n−, exatamente a componente z do momentoangular total.

Ação de J e Jz sobre |n,n− . Estes operadores atuam sobre |n,n− da seguinte maneira:

J |n,n− a†a−|n,n− n− n 1 |n 1,n− − 1

n−n 1 |n 1,n− − 1,

J− |n,n− a−†a|n,n− n n− 1 |n − 1,n− 1

nn− 1 |n − 1,n− 1,

Jz|n,n− 2 N − N−|n,n− 1

2 n − n− |n,n−

(3.8.

(3.8.

(3.8.

Note que em todas essas operações, a soma n n−, que corresponde ao número total de de partículas despin 1/2, permanece constante.

Essas expressões podem ser reduzidas às formas familiares de momento angular, fazendo-se

n j m, n− j − m (3.8.

Assim,

n−n 1 j − mj m 1 ,

nn− 1 j mj − m 1 , (3.8.

Também, os autovalores de J2, definido em (3.8.12) será

J2|n,n− 2

2 N N2 1 |n,n−

2

2 n n− n n−2 1 |n,n−

Assim, como n n− j m j − m 2j

2

2 n n− n n−2 1 2

2 2j 2j2 1 2 jj 1

Relação entre os elementos de matriz do oscilador e do momento angularDe (3.8.14), podemos usar

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 54

Page 55: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

j ≡ 12 n n−, m ≡ 1

2 n − n−,

no lugar de n e n−, para caracterizar autokets simultâneos de J2 e Jz. Ou seja,

|n,n− |j,m.

Ação de J sobre |j,m. Como vimos, o operador J atuando sobre |n,n− muda n para n 1 e n− paran− − 1, ou seja,

J |n,n− n−n 1 |n 1,n− − 1

Usando , isto será

J |n,n− J j n n−2 ,m n − n−

2 j − mj m 1

j ′ n 1 n− − 12 ,m ′ n 1 − n− − 1

2

j − mj m 1 j ′ n n−2 ,m ′ n − n−

2 1

onde j → j ′ j e m → m ′ m 1:

J |j,m j − mj m 1 |j,m 1.

De forma similar para J−. A Eq. (3.8.7), ou seja,

|n,n− a

† na−† n−

n! n−!|0, 0

pode ser escrita agora para o autoket mais geral de N,N−

|j,m a† jma−† j−m

j m!j − m!|0 (3.8.

Caso de interesse. Seja m j, que fisicamente significa que o autovalor de Jz é o maior possível para umdado j. Logo,

|j, j a† 2j

2j!|0 (3.8.

Podemos imaginar este estado como sendo o estado de 2j partículas de spin 1/2 com todos os spinsapontando na direção positiva do eixo z.

Observação (1) Em geral, notamos que objetos complicados com valores altos de j podem ser visualizados como sendoconstituídos de partículas de spin 1/2, das quais j m com spins para cima e j − m com spins para baixo.

Observação (2) Embora nem sempre se possa considerar literalmente um objeto de momento angular j como umsistema composto de partículas de spin 1/2, é sempre possível afirmar que, enquanto estamos considerando aspropriedades de transformação sob rotações, podemos visualizar qualquer objeto de momento angular j como um sistemacomposto de 2j partículas de spin 1/2 formado da maneira indicada pela Eq. (3.8.18).

★ Leia o restante da seção.

Fórmula Explícita para Matrizes de RotaçãoO esquema de Schwinger pode ser usado para obter, de uma maneira bastante simples, uma fórmula fechadapara as matrizes de rotação.

Vamos aplicar o operador DR a |j,m. Na notação dos ângulos de Euler, a única rotação não trivial é aquelaem torno do eixo y

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 55

Page 56: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

DR D,,|0 exp −iJy

Assim,

DR |j,m DR a† jma−† j−m

j m!j − m!|0

DRa

†D−1RjmDRa−†D−1Rj−m

j m!j − m! (3.8.2

Como

DR|0 exp −iJy

|0

1 −i

Jy 12!

−i

2Jy

2 |0

e com Jy 12i J − J−

2i a†a− − a−†a,

Jy|0 2i a

†a− − a−†a|0

0

devido a (3.8.6). Assim,

DR|0 |0.

Logo,

DRa†D−1R exp −iJy

a† exp iJy

(3.8.2

Usando o lema de Baker-Hausdorff com

A → a† , G →

−Jy

, →

Calculando os diversos comutadores do tipo G,A, G, G,A,… encontramos−Jy

,a

† −12i a

†a− − a−†a,a†

−12i a

†a−,a† − a−†a,a

−12i

a† a−,a

† a† ,a

† a− − a−† a,a† − a−† ,a

† a

−12i a

† 0 0 a− − a−† a,a† − 0 a

12i a−† a,a

12i a−†

−Jy

, −Jy

,a

† −Jy

, 1

2i a−† 12i

−Jy

,a−†

14 a

Assim

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 56

Page 57: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

exp −iJy

a† exp iJy

a† i −Jy

,a

† i2!

2 −Jy

, −Jy

,a

i3!

3 −Jy

, −Jy

, −Jy

,a

ou

exp −iJy

a† exp iJy

a

† i 12i a−†

i2!

2 14 a−†

Finalmente,

exp −iJy

a† exp iJy

a

† 2 a−† −

i2!

2 14 a

a† 1 − i

2!2

22 a

† 2 a−†

a† cos

2 a−† sen 2 .

ou seja,

exp −iJy

a† exp iJy

a

† cos 2 a−† sen

2 (3.8.2

Da mesma forma

exp −iJy

a−† exp iJy

a−† cos 2 − a

† sen 2 (3.8.2

Substituindo estas duas últimas expressões em (3.8.21), encontra-se

DR |j,m

DRa

†D−1RjmDRa−†D−1Rj−m

j m!j − m!|0

a† cos

2 a−† sen 2

jma−† cos

2 − a† sen

2j−m

j m!j − m!|0

Recorrenco ao teorema binomial,

x yN ∑k

N!N − k! k!

xN−kyk (3.8.2

encontramos

a† cos

2 a−† sen 2

jm

∑k

j m!j m − k! k!

a† cos

2jm−k

a−† sen 2

k

e

a−† cos 2 − a

† sen 2

j−m

∑l

j − m!j − m − l! l!

−a† sen

2j−m−l

a−† cos 2

l.

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 57

Page 58: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

Logo,

D 0,, 0 |j,m

1j m!j − m!

∑k∑

l

j m!j m − k! k!

a† cos

2jm−k

a−† sen 2

k

j − m!j − m − l! l!

−a† sen

2j−m−l

a−† cos 2

l|0

Ou,

D 0,, 0 |j,m

∑k∑

l

j m!j − m!j m − k! k!j − m − l! l!

−1 j−l−ma† 2j−k−la−† kl cos

2jm−kl

sen 2

jk−l−m|0 (3.8.2

Outra maneira de expressar este resultado é usar (3.5.49), (3.5.5.1) e (3.8.18) , isto é,

D 0,, 0 |j,m ∑m ′

|j,m ′ dmm ′j

∑m ′

dmm ′j

a† jm ′

a−† j−m ′

j m ′!j − m ′!|0 (3.8.3

Comparando as duas expressões, podemos obter uma forma explícita para dmm ′j , através da igualdade dos

coeficientes das potências de a† . Especificamente,

a† 2j−k−l a

† jm ′

o que nos fornece

2j − k − l j m ′ l j − k − m ′ (3.8.3

Para m ′ constante, esta relação nos diz que as somas em k e l não são independentes. Eliminando l de acordocom (3.8.31),

a−† kl a−† j−m ′

fica automaticamente satisfeita. Os expoentes do sen/2, cos/2 e −1 ficam, com esta substiuição

cos 2

jm−kl cos

2jm−kj−k−m ′

cos 2

2j−2km−m ′

sen 2

jk−l−m sen

2jk−jkm ′−m

sen 2

2k−mm ′

−1 j−l−m −1k−mm ′

Portanto, (3.8.29’), após eliminarmos a soma em l, torna-se

D 0,, 0 |j,m

∑k

a† jm ′

a−† j−m ′

j m ′!j − m ′!

j m!j − m! j m ′!j − m ′!j m − k! k!j − m − l! l!

−1k−mm ′

cos 2

2j−2km−m ′

sen 2

2k−mm ′

|0

Comparando com (3.8.30) para um m ′ fixo, encontramos

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 58

Page 59: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

dm ′mj ∑

k

−1k−mm ′ j m!j − m! j m ′!j − m ′!j m − k! k!j − m − l! l!

cos 2

2j−2km−m ′

sen 2

2k−mm ′

(3.8.3

que é a fórmula de Wigner para dm ′mj .

3.9 Medida de Correlação de Spin e Desigualdade de BellCorrelações em Estados Singletos de SpinSistema de dois elétrons num estado singleto. Considere dois elétrons com spin total zero. O estado ket podeser escrito como

singleto 12

|z ; z − − |z −; z (3.91

Medida da componente de spin de um dos elétrons. Existe uma chance de 50% de se obter (numa medida)qualquer uma das componentes do spin para cada um dos elétrons, uma vez que o sistema composto podeestar em |z ; z − ou |z −; z com igual probabilidade.

Conhecendo a componente do spin de um dos elétrons. Suponha que um dos elétrons esteja, com certeza,no estado de spin para cima, o outro elétron está necessariamente no estado de spin para baixo.

Medida. Quando a componente do spin do elétron 1 está para cima, o aparelho de medida seleciona oprimeiro termo, |z ; z −, de (3.9.1); uma medida subseqüente da componente do spin do elétron 2 deveconfirmar que o estado ket do sistema composto é dado por |z ; z −.

Correlação. Este tipo de correção pode persistir mesmo quando as duas partículas estão muito separadas ejá interagem uma com a outra. A exigência é que à medidas que elas se afastem não exista nenhumamudança em seus estados de spin.

Visualização. Considere a figura que representa um sistema de duas partículas de spins ½, movendo-se emdireções opostas.

Partícula 2B APartícula 1

Observadores. O observador A mede Sz da partícula 1 (indo para a direita), enquanto que o observadormede o Sz da partícula 2 (esquerda).

O observador A realiza medida. Se A encontrar Sz , então mesmo antes de B realizar sua medida, A podepredizer com certeza que o resultado de B será Sz − para a partícula 2.

O observador A não realiza medida. Sem realizar sua medida, A pode apenas afirmar que o resultado de Btem 50% de chance para encontrar Sz ou Sz −.

Este resultado parece não ser tão estranho. Podemos dizer: “é parecido com o caso de uma caixa quecontém uma bola preta e uma branca. Quando, sem olhar, retiramos uma delas, existe uma chance de 50% detirarmos a bola preta ou a branca. Mas se a primeira for a bola preta, então podemos dizer com certeza que asegunda bola será a branca.”

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 59

Page 60: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

A situação quântica é mais complexa. De fato, os observadores podem querer medir Sx ao invés de Sz. Emtermos da analogia com a caixa, é como se o mesmo par de “bolas quânticas” pudesse ser analizado emtermos de preto e branco ou em termos de azul e vermelho.

Sx em termos de Sz. Para um único spin, sabemos que

|x, 12

|z |z − → |z, 12

|x |x − (3.9.3

Logo, para nosso sistema composto,

singleto 12

|x −; x − |x ; x − (3.9.4

Observador A. Pode medir tanto Sz como Sx da partícula 1, bastando apenas mudar a orientação doanalizador de spin.

Observador B. Só pode medir Sx para a partícula 2.

O observador A realiza uma medida de Sz. Se A obtém Sz para a partícula 1, a medida de B pode resultarnuma das duas Sx ou Sx −, com igual chance. Mesmo conhecendo-se o Sz da partícula 2, sua componente Sx

é completamente indeterminada.

O observador A realiza uma medida de Sx. Se A também obtém Sx para a partícula 1, então com certeza oobservador encontrar Sx − para a partícula 2.

O observador A não realiza medida. Neste caso, B terá uma chance de 50% para obter Sx ou Sx −.

Resumo:

1. Se A mede Sz e B mede Sx, existe uma correlação completamente aleatória entre as duas medidas.

2. Se A e B medem Sx, existe 100% de correlação de sinais opostos entre as duas medidas.

3. Se A não realiza medida, as medidas de B apresentam resultados aleatórios.

Os observadores A e B podem medir Sx ou Sz. Neste caso, todos os resultados possíveis dessas medidas decorrelação de spin são mostradas na tabela abaixo:

Medida de A Resultado de A Medida de B Resultado de Bz z −z − x

x − z −x − z

z x −x x −z x

x − x

z − z

z − x −x z

x z −

Capítulo 3 Teoria do Momento Angular 60

Page 61: Sakurai (Cap. 3) Resumo em Português

★ Leia o restante da seção.

3.10 Operadores TensoriaisLeia esta seção.

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 61