Sakurai (Cap. 2) Resumo em Português

Capítulo 2

Dinâmica QuânticaModern Quantum Mechanics - J.J. Sakurai (Revised Edition)

2.1 A Evolução Temporal e a Eq. de SchrödingerTempo. Em MQ, o tempo não é considerado um operador, mas apenas um parâmetro contínuo.

Operador Evolução TemporalComo um estado ket varia com o tempo?

|, t0 . sistema em t t0 no estado representado por |

|, t0; t. sistema em t t0, que estava no estado | em t t0.

Como t é um parâmetro contínuo, espera-se que

limt→t0

|, t0; t |

ou, numa notação abreviada,

|, t0; t0 |, t0 .

Evolução temporal. Nossa tarefa é estudar a evolução temporal do estado ket

|, t0 |evolução temporal

|, t0; t

Em outras palavras, queremos saber como o estado ket evolui sob uma mudança t0 → t no tempo.

Operador evolução temporal. Como no caso da translação, esses dois kets estão relacionados por umoperador que chamaremos operador evolução temporal Ut, t0:

|, t0; t Ut, t0 |, t0 (1.5)

Propriedades do operador evolução temporal

Unitariedade. Esta propriedade é importante, uma vez que implica na conservação de probabilidade.

Exemplo Suponha que em t0 o estado ket seja expandido em termos dos autokets de algum observável A:

|, t0 ∑a´

ca´t0 |a´

Da mesma forma, algum tempo depois teremos:

|, t0; t ∑a´

ca´t |a´

Em geral, não esperamos que os módulos dos coeficientes de expansão permaneçam os mesmos

ca´t ≠ ca´t0

Geralmente, devemos ter

∑a´

|ca´t |2 ∑a´

|ca´t0 |2

Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A 1

a despeito da desigualdade para os coeficientes individuais. Colocado de outra maneira, se o estado ket inicialmente énormalizado à unidade, ele deve permanecer normalizado para todos os tempos posteriores:

, t0 | , t0 1 → , t0; t | , t0; t 1

Como no caso da translação, esta propriedade é garantida se o operador evolução temporal for um operador unitário:

Ut, t0 Ut, t0 1

Composição. Outra propriedade que devemos atribuir ao operador evolução temporal é a composição

Ut2, t0 Ut2, t1 Ut1, t0, t2 t1 t0

Esta equação nos diz que, se estamos interessados em obter a evolução temporal de t0 a t2, então podemosobter o mesmo resultado, primeiro considerando a evolução temporal de t0 a t1 e depois de t1 a t2. (A equaçãodeve ser lida da direita para a esquerda.)

Operador evolução temporal infinitesimal. É vantajoso considerar um operador evolução temporalinfinitesimal Ut0 dt, t0

|, t0; t0 dt Ut0 dt, t0 |, t0

Devido à continuidade, o operador infinitesimal deve reduzir-se ao operador identidade quando dt → 0

limdt→0Ut0 dt, t0 1

e, como no caso da translação, esperamos que a diferença entre Ut0 dt, t0 e 1 seja de primeira ordem emdt.

Qual o operador que satisfaz todas essas propriedades?

Operador evolução temporal infinitesimal. Podemos assegurar que essas propriedades são satisfeitas pelooperador

Ut0 dt, t0 1 − idt

onde é um operador hermitiano

Demonstração 1. Devido à propriedade de composição,

Ut0 dt1 dt2, t0 Ut0 dt1 dt2, t0 dt1Ut0 dt1, t0

ou

Ut0 dt1 dt2, t0 1 − i dt2 1 − i dt1

≃ 1 − idt1 dt2

que difere do operador identidade por um termo de primeira ordem em dt.

Demontração 2. Para a propriedade da unitariedade, podemos verificar como segue

Ut0 dt, t0 Ut0 dt, t0 1 i dt 1 − i dt

1 dt2

≃ 1

desprezendo termos da ordem dt2 ou mais elevada.

Como é o operador ?O operador tem dimensão de frequência, ou inverso do tempo. Um observável familiar com dimensão de

Capítulo 2 Dinâmica Quântica 2

frequência é a energia. Na teoria antiga da mecânica quântica, a frequência está relacionada com a energiaatravés da relação Planck-Einstein,

E

Vamos emprestar da mecânica clássica a idéia de que a Hamiltoniana é o gerador da evolução temporal. Éentão natural relacionar ao operador Hamiltoniano, H:

H

Em resumo, o operador evolução temporal infinitesimal é escrito como

Ut0 dt, t0 1 − iH dt

onde o operador Hamiltoniano é um operador hermitiano.

Equação de SchrödingerEstamos agora em condições de derivar a equação diferencial fundamental para o operador evolução temporalUt, t0. Explorando a propriedade da composição

Ut dt, t0 Ut dt, tUt, t0 1 − iH dt

Ut, t0

onde a diferença t − t0 não precisa ser diferencial. Temos

Ut dt, t0 Ut, t0 − i H

dt Ut, t0

ou

Ut dt, t0 − Ut, t0 −i H

dt Ut, t0

que pode ser escrito na forma de equação diferecial

i ∂Ut, t0∂t H Ut, t0 (1.25

Esta é a equação de Schrödinger para o operador evolução temporal. Qualquer coisa que tenha a ver com avariação no tempo segue dessa equação fundamental.

Equação de Schrödinger para o estado ket. Multiplicando ambos os lados da Eq. (2.1.25) por |, t0 pelo ladodireito, obtém-se

i ∂∂t Ut, t0 |, t0 H Ut, t0 |, t0

Mas |, t0 não depende de t, tal que esta equação é a mesma que

i ∂∂t |, t0; t H |, t0; t

onde usamos (1.5).

Observação Se for dado Ut, t0 e, se além disso, conhecermos como Ut, t0 atua sobre o ket inicial |, t0 , não énecessário mexer com a equação de Schrödinger para o estado ket. O que se tem que fazer é aplicar Ut, t0 a |, t0 .Desta maneira, podemos obter o ket para qualquer t.

Devemos, portanto, derivar as soluções formais da equação de Schrödinger para o operador evoluçãotemporal. Existem três casos a serem tratados separadamente:

Caso 1: O Hamiltoniano é independente do tempo. A solução de (2.1.25) é, neste caso,


Ut, t0 exp −iHt − t0

. (1.28

Demonstração. Seja a expansão da função exponencial

exp −iHt − t0

1 − iHt − t0

−i2

2Ht − t0

2

Como a derivada desta expansão é dada por

∂∂t exp −iHt − t0

− iH

−i2

2 2 H

2t − t0

Multiplicando por i ambos os membros, encontramos

i ∂∂t exp −iHt − t0

H 1 − iHt − t0

que é a mesma (2.1.25).

Demontração alternativa. Uma maneira alternativa de obter essa solução, é usar a composição deoperadores infinitesimais. A aplicação sucessiva desses operadores resulta em (v. figura)

t0 t

Ntt )( 0−

limN→

−iH/t − t0N

N

exp −iHt − t0

Caso 2: O Hamiltoniano depende do tempo e comuta. Agora o Hamiltoniano depende do tempo, mas os H’sem tempos diferentes comutam entre si. Como exemplo, considere o momento magnético de spin sujeito a umcampo magnético, cujo módulo varia com o tempo, mas a direção permanece a mesma. Neste caso, a soluçãoformal de (2.1.25) é

Ut, t0 exp −i t0

tdt ′ Ht ′

Caso 3: O Hamiltoniano depende do tempo e não comuta. Neste caso o Hamiltoniano depende do tempo e osH’s em tempos diferentes não comutam entre si. Considerando o exemplo do momento magnético, agora adireção do campo magnético varia com o tempo: por exempo, em t t1 o campo aponta na direção x, emt t1, na direção y e assim por diante. Como Sx e Sy não comutam entre si, Ht1 e Ht2, que contém termo dotipo S B, também não comutam. Como solução formal, podemos integrar a equação (1.2.25) com a condiçãode contorno Ut, t0| tt0 Ut0, t0 1, ou seja,

i ∂Ut, t0∂t H Ut, t0 → Ut, t0 1 −i

t0

tdt ′ Ht ′ Ut ′, t0

Esta equação integral pode ser resolvida iterativamente. Ou seja


Ut, t0 1

Ut, t0 1 −i t0

tdt1 Ht1 1

Ut, t0 1 −i t0

tdt1 Ht1 1 −i

t0

t1

dt2 Ht2

1 −i t0

tdt1 Ht1 −i

2

t0

tdt1

t0

t1

dt2 Ht1Ht2

Ou, de uma maneira geral,

Ut, t0 1 ∑n

−i

n

t0

tdt1

t0

t1

dt2 t0

tn−1

dtn Ht1Ht2Htn

que é conhecida como a série de Dyson. Em aplicações elementares, apenas o Caso 1 é de interesse prático.Neste capítulo, admitiremos que o Hamiltoniano seja independente do tempo.

Autokets de EnergiaEfeitos do operador sobre um ket inicial |. Vamos calcular o efeito do operador evolução temporal sobreum ket inicial geral |, através dos kets de base |a ′ usados para expandir |. Vamos supor que o operador A,cujos autokets são usados como base, comute com o Hamiltoniano. Ou seja,

A,H 0.

Desta forma, os autokets de A são também autokets de H, chamados de autokets de energia, cujos autovaloressão denotados por Ea ′ :

H |a ′ Ea ′ |a ′ .

Expansão de U. Vamos expandir o operador U em termos de |a ′ ⟨a ′ |. Tomando t0 0 por simplicidade,obtém-se

exp −iHt

∑a ′∑

a ′′|a ′′ ⟨a ′′ | exp −iHt

|a ′ ⟨a ′ |

∑a ′∑

a ′′|a ′′ ⟨a ′′ | exp −iEa ′ t

|a ′ ⟨a ′ |

∑a ′∑

a ′′exp −iEa ′ t

|a ′′

a′a′′

⟨a ′′ |a ′ ⟨a ′ |

∑a ′

exp −iEa ′ t

|a ′ ⟨a ′ |

Observação. O operador evolução temporal escrito dessa forma permite-nos resolver qualquer problema devalor inicial, uma vez que a expansão do ket inicial em termos de |a ′ é conhecida.

Exemplo Suponha que a expansão do ket inicial seja

|, t0 0 ∑a ′

|a ′ ⟨a ′ | ∑a ′

ca ′ |a ′ .

Então

, t0 0; tEq (2.1.5)

exp −iHt

|, t0 0

ou


, t0 0; t ∑a ′

exp −iHt

|a ′ ⟨a ′ |

∑a ′∑a ′′

exp −iEa ′′ t

|a ′′ ⟨a ′′ |a ′ ⟨a ′ | ∑a ′

ca ′t |a ′ . (1.38)

Em outras palavras, o coeficiente de expansão varia com o tempo:

ca ′t 0 → ca ′t ca ′t 0exp −iEa ′ t

(1.39)

com seu módulo inalterado. Note que as fases relativas entre as várias componentes variam com o tempoporque as frequências de oscilações, Ea ′ /, são diferentes.

Caso especial: estado inicial é um dos |a ′ . Quando o estado inicial é um dos |a ′ , ou seja,

|, t0 0 a ′

em tempos posteriores,

a ′, t0 0; t a ′ exp −iEa ′ t

.

Importante: se o sistema estiver inicialmente num autoestado simultâneo de A e H assim permanecerá paratodos os tempos posteriores. O máximo que pode ocorrer é a modulação de fase, exp −iEa′ t

. É neste sentido

que um observável compatível com H é uma constante de movimento.

Demonstração. De (1.38), sabemos que

, t0 0; t ∑a ′′

|a ′′ ⟨a ′′ | −iEa ′′ t

.

Para | |a ′ encontramos

a ′, t0 0; t ∑a ′′

|a ′′ ⟨a ′′ |a ′ −iEa ′′ t

∑a ′′

|a ′′ a ′a ′′−iEa ′′ t

|a ′ −iEa ′ t

Resumo. Na discussão precedente, a tarefa básica na mecânica quântica é reduzida a encontrar umobservável que comuta com H e calcular seu autovalores. Uma vez que isso é feito, expande-se o ket inicialem termos do autokets daquele observável e aplica-se o operador evolução temporal. Este último passo ésignifica uma mudança da fase de cada coeficiente de expansão, como indicada em (2.1.39).

Mais de um observável comuta com H. Embora se tenha discutivo o caso onde apenas um observável Acomuta com H, nossas considerações podem ser facilmente generalizadas quando existem vários observáveismutuamente compatíveis, todos comutando com H. Ou seja,

A,B B,C A,C 0,A,H B,H C,H 0.

Usando o índice coletivo da Seç. 1.4, |K ′ |a ′,b ′,c ′,… , tem-se

exp −iHt

∑K′

|K ′ exp −iEK′ t

⟨K ′ | (1.43

onde EK′ é univocamente especificada uma vez que a ′,b ′,c ′,… são especificados. É portanto de fundamentalimportância encontrar um conjunto completo de observáveis mutuamente compatíveis que também comutam


com H. Uma vez que tal conjunto é encontrado, expressa-se o ket inicial como uma superposição dos autoketssimultâneos de A,B,C,… e H. O passo final é aplicar i operador evolução temporal, escrito como (2.1.43).Desta maneira podemos resolver o problema de valor inicial mais geral com H independente do tempo.

Dependência Temporal de Valores EsperadosComo o valor esperado de um observável B varia com o tempo?

Em relação ao autoestado de energia. Suponha que em t 0 o estado inicial seja um dos autoestados doobservável A, que comuta com H. Em tempos posteriores,

a ′, t0 0; t Ut, 0 |a ′

Não é necessário que o observável B comute com A ou H. Neste caso,

⟨B a ′, t0 0; t B a ′, t0 0; t

⟨a ′ | Ut, 0 B Ut, 0 |a ′

⟨a ′ | exp iEa ′ t

B exp −iEa ′ t

|a ′

⟨a ′ | B |a ′

que independente do tempo. AssimO valor esperado de qualquer observável tomado com respeito ao autoestado de energia não varia com o tempo. Por esta

razão, o autoestado de energia é às vezes referido como estado estacionário.

Superposição de autoestados de energia. Vamos considerar o valor esperado, quando tomado em relação auma superposição de autoestados de energia, ou estado não estacionário. Suponha que incialmente se tenha

|, t0 0 ∑a ′

ca ′ |a ′ .

Em tempos posteriores,

|, t0 0; t ∑a ′

ca ′t |a ′ ∑a ′

ca ′ exp −iEa ′

|a ′

onde fizemos ca ′t 0 ca ′ . Então,

⟨B ⟨, t0 0; t| B |, t0 0; t

∑a ′

ca ′∗ ⟨a ′ | exp iEa ′

B ∑

a ′′ca ′′ |a ′′ exp −iEa ′′

∑a ′∑

a ′′ca ′∗ ca ′′⟨a ′ | B |a ′′ exp −iEa ′′ − Ea ′ t

.

Assim, desta vez o valor esperado consiste em termos oscilantes, cujas frequências angulares sãodeterminadas pela condição de frequência de Bohr,

a ′′a ′ Ea ′′ − Ea ′

.

Aplicação: Precessão de spinVamos tratar um sistema extremamente simples, que ilustra porém o formalismo básico que foi desenvolvidoaté agora.

Sistema de spin ½

Hamiltoniano do sistema


H − emec S B

(e 0 para elétrons).

Campo magnétio: B Bz

Reescrevo H

H − eBmec Sz

Observável que comuta com H. Como H e Sz diferem por uma constante, eles comutam entre si. Ou seja,Sz, H 0, o que significa que os autokets de Sz, | e |−, são autoestados de energia e os autovalores de energiacorrespondentes são

H| E| → E ∓ eB2mec , para Sz .

Frequência de Bohr. Define-se a frequência de Bohr

E − E−

|e|Bmec

Reescrevo H

H Sz.

Operador evolução temporal. Toda informação sobre a variação com o tempo está contida no operadorevolução temporal

Ut, 0 exp −iHt

exp −iSzt

Estado em t 0. Vamos supor que em t 0 o sistema seja caracterizado por

| c | c− |−

Estado em t t. Para determinar o estado no instante t aplica-se o operador evolução temporal ao estado noinstante t 0, ou seja,

|, t 0; t exp −iSzt

c | c− |−

c exp −iSzt

| c− exp −iSzt

|−

c exp −it2 | c− exp it

2 |−

Estado inicial Sz . Para o sistema especificamente no estado | | (estado spin para cima ou Sz ),

c 1, c− 0

Para tempos posteriores, o estado do sistema será

|, t 0; t exp −it2 |,

ou seja, o mesmo estado de spin para cima; isto não é nenhuma surpreza uma vez que o sistema inicialmenteestava num estado estacionário.

Estado inicial Sx . Neste caso, de acordo com (1.4.17a),

| |Sx; 12

| 12

|−,

o que nos fornece

c c− 12

O estado final será


|, t 0; t 12

exp −it2 | 1

2exp it

2 |−

Qual a probabilidade do sistema ser encontrado no estado Sx ?

Como

|Sx; 12

| 12

|−

encontra-se

|⟨Sx;|, t 0; t|2 12

⟨| 12

⟨−|

12

exp −it2 | 1

2exp it

2 |−2

ou,

|⟨Sx;|, t 0; t|2 12 exp −it

2 ⟨| 12 exp it

2 ⟨|−

12 exp −it

2 ⟨−| 12 exp it

2 ⟨−|−2

12 exp −it

2 12 exp it

2

2

Ou seja,

|⟨Sx;|, t 0; t|2

cos2 t2 , para Sx

sen2 t2 , para Sx −

O que significam esses resultados ? Em t 0 o sistema encontrava-se no estado | |Sx;; ou seja, o spinapontava para a direção positiva do eixo dos x. Com o passar do tempo, o campo magnético na direção zproduz uma rotação nesse spin e, como resultado, existe uma probabilidade finita de encontrá-lo na direçãonegativa do eixo dos x, isto é, no estado Sx −.

Probabilidade total. A soma das duas probabilidades, em todos os instantes, é sempre igual a um.

Valor esperado de Sx. O valor esperado de Sx pode ser calculado, usando-se (1.4.6), isto é,

⟨A ∑a ′

a ′ |⟨a ′||2

Logo,

⟨Sx 2 cos2 t

2 − 2 sen2 t2

2 cos2 t

2 − sen2 t2

2 cos 2 t

2

2 cost

que está em concordância com a fórmula geral (2.1.47), uma vez que esta quantidade oscila com uma


frequência angular correspondente à diferença entre os dois autovalores de energia dividido por .

Valor esperado de Sy. Neste caso, como (ver Eq. (1.4.17b))

|Sy; 12

| i2

|−

as probabilidades são

|⟨Sy;|, t 0; t|2 12

⟨| −i2

⟨−|

12

exp −it2 | 1

2exp it

2 |−2

12 exp −it

2 ⟨| 12 exp it

2 ⟨|−

∓ i2 exp −it

2 ⟨−| ∓ i2 exp it

2 ⟨−|−2

12 exp −it

2 ∓ i2 exp it

2

2

Assim,

|⟨Sy;|, t 0; t|2 12 1 ∓ icos t

2 1 ∓ i sen t2

2

|1 i|24 cos t

2 sen t2

2

12 cos2 t

2 sen t2 2 cos t

2 sen t2

12 1 2 sen t

2 cos t2

12 1 sent

Portanto,

⟨Sy 2

12 1 sent − 2

12 1 − sent

2

1 sent2 − 1 − sent

2 2 sent

Valor esperado de Sz. Neste caso,

|Sz; |

e

|⟨Sz;|, t 0; t|2 ⟨|

12

exp −it2 | 1

2exp it

2 |−2

12 exp ∓it

22

12 ,


e, o valor esperado é

⟨Sz 2

12 − 2

12 0.

Fisicamente, isto significa que o spin precessa no plano xy.

Amplitude de Correlação e Rel. de Incerteza Energia-TempoAmplitude de correlação. A amplitude de correlação é definida como o produto escalar de dois kets emtempos diferentes. Isto é,

Ct ⟨|, t0 0; t

O módulo da amplitude de correlção, |Ct|, mede a “semelhança” entre os estados kets em diferentes

instantes de tempo. Lembrando que |, t0 0; t Ut, 0|, onde Ut, t0 exp −iHt − t0

, então

Ct | Ut, 0 | .

Exemplos de amplitude de correlação

O estado inicial é um autoestado |a ′ de H. Este é um caso muito especial e o resultado que se obtém para aamplitude de correlção é

Ct a ′| Ut, 0 | a ′

⟨a ′ | exp −iHt

|a ′

exp −iEa ′ t

⟨a ′|a ′

exp −iEa ′ t

e o módulo da amplitude de correlação vale

|Ct| 1,

o que não é surpreza em se tratando de um estado estacionário.

O estado inicial é uma superposição de |a ′ . Neste caso,

| ∑a ′

ca ′ |a ′

e, portanto,

Ct | Ut, 0 |

∑a ′∑

a ′′ca ′∗ ca ′′ a ′| Ut, 0 | a ′′

∑a ′∑

a ′′ca ′∗ ca ′′ ⟨a ′ | exp −iHt

|a ′′

∑a ′∑

a ′′ca ′∗ ca ′′ exp −iEa ′′ t

⟨a ′ |a ′′

∑a ′∑

a ′′ca ′∗ ca ′′ exp −iEa ′′ t

a ′a ′′

ou seja


Ct ∑a ′

|ca ′ |2 exp −iEa ′ t

(1.65

Observação: Como a soma sobre muitos termos oscilantes no tempo com diferentes frequências, é possívelum forte cancelamento entre eles para valores moderadamente grandes de t. Assim, espera-se que o módulode Ct comece com valor um em t 0 e decresça com o tempo.

Estimativa de (2.1.65). Vamos supor que em (1.65) a superposição de estados seja obtida com autokets deenergia com energias similares, de maneira que podemos substituir a soma por uma integral. Ou seja,

∑a ′

→ dE E, ca ′ → gE|E≃Ea′

onde E é a densidade de autoestados de energia. Assim, a expressão (1.65) torna-se

Ct dE |gE|2 E exp −iEt

(1.67

sujeita à normalização

∑a ′

|ca ′ |2 1 → dE |gE|2 E 1 (1.68

Na prática, |gE|2 E pode ser uma função localizada em torno de E E0, com largura ΔE, isto é,

E0

ΔE

|g(E)|2 ρ(E)

E

Então, reescrevendo (1.67) como

Ct exp −iE0t dE |gE|2 E exp −iE − E0t

vê-se que, quando t torna-se grande, o integrando oscila muito rapidamente, exceto quando o intervalo deenergia |E − E0 | for pequeno comparado com /t.

Relação de incerteza energia-tempo. Se o intervalo para o qual a relação

|E − E0 | ≃ /t

seja válida, for muito mais estreito que ΔE (a largura de |gE|2 E), não se obtém essencialmente nenhumacontribuição da integral para Ct devido aos fortes cancelamentos. O tempo característico para o qual omódulo da amplitude de correlação torna-se aprecialmente diferente de 1 é dado por

t ≃ ΔE

Resumo. Em resumo, encontramos que, como resultado da evolução temporal do estado ket de um sistema


físico deixa de guardar sua forma original depois de um intervalo de tempo da ordem de /ΔE. Na literatura, istoàs vezes é referido como sendo a relação de incerteza energia-tempo,

Δt ΔE ≃ . (1.71

Observação: Esta relação de incerteza é de natureza bem difetente daquela que existe entre dois observáveisincompatíveis, discutida na Seç. 1.4.

2.4 Representação de Schrödinger versus de HeisenbergRepresentação de Schrödinger. É a formulação da dinâmica quântica na qual os estados variam com otempo, mas os operadores não.

Representação de Heisenberg. É a formulação da dinâmica quântica na qual os operadores variam com otempo, mas os estados não.

Quais as diferenças que existem entre essas duas abordagens?

Operadores UnitáriosSão operadores que têm a propriedade

UU UU 1.

Transformações unitárias

| → U |

Produto escalar. Sob uma tranformação unitária que muda os estados kets, o produto interno permaneceinalterado. Ou seja,

| → U | e | → U |

então

⟨| → ⟨|UU| ⟨|.

Operadores. Usando o fato de que essas trasformações não afetam os operadores, podemos inferir como| X | deve mudar:

| X | → ⟨|U X U | ⟨|UXU |

Vamos escrever isto de outra maneira (usando o axioma associativo)

⟨|U X U| ⟨| UXU |

Esta identidade matemática sugere dois enfoques para as transformações unitárias:

Enfoque 1

| → U|, com os operadores inalterados.

Enfoque 2

X → UXU, com os estados kets inalterados.

Nota sobre a Mecânica Clássica. Na física clássica não se introduz estados kets, mas fala-se em translação,evolução temporal etc. Isto é possível porque essas operações realmente mudam quantidades tais como x e L, que sãoobserváveis na mecânica clássica. Assim, uma estreita ligação com a mecânica clássica pode ser adotada, seguindo-se aabordagem 2.


Exemplo (1) Translação infinitesimal - Enfoque 1

| → 1 − ip dx ′

|, x → x

Exemplo (2) Translação infinitesimal - Enfoque 2

| → |

x → 1 − ip dx ′

x 1 − ip dx ′

1 ip dx ′

x 1 − ip dx ′

≃ x − x ip dx ′

ip dx ′

x

x i

p dx ′, x x dx ′

Pode-se mostrar que o valor esperado x é o mesmo em ambas as abordagens. Isto é,

⟨x → ⟨x ⟨dx ′ .

Demonstração. Na formulação 1,

⟨x1 ⟨| 1 − ip dx ′

x 1 − ip dx ′

| ⟨|x dx ′|

⟨|x| ⟨|dx ′|.

Na formulação 2,

⟨x2 |x| |dx ′| .

Estados Kets e Observáveis nas Representações de Schrödinger e HeisenbergQuando o operador unitário U é o operador evolução temporal, Ut, t0, os enfoques 1 e 2, descritasanteriormente referem-se às representações de Schröndiger e Heisenberg, respectivamente.

Representação de Schrödinger

Estados kets. Os estados kets variam com o tempo.

Operadores. Os operadores correspondentes a observáveis, tais como x, px e Sz, permanecem fixos notempo.

Representação de Heisenberg

Estados kets. Os estados kets permanecem fixos no tempo, “congelados” por assim dizer no que eram at t0.

Operadores. Os operadores correspondentes a observáveis agora variam com o tempo.

Relação entre as duas representações

Operadores. Vamos considerar t0 0 por simplicidade:

Ut, t0 0 ≡ Ut exp −iHt

De acordo com a abordagem 2, define-se o operador na representação de Heisenberg como

AHt Ut AS Ut (2.10

onde os superescritos H e S referem-se a Heisenberg e Schrödinger.


Em t 0, os observáveis nas duas representações,

AH0 AS,

coincidem.

Estados kets. Os estados kets também coincidem nas duas representações em t 0; para temposposteriores, t, o estado na representação de Heisenberg fica congelado na forma que tinha em t 0:

|, t0 0; tH |, t0 0

independente de t. Isto é radicalmente diferente dos estados kets na representação de Schrödinger:

|, t0 0; tS Ut|, t0 0

Valores esperados. O valor esperado ⟨A é o mesmo em ambas as representações,

S⟨, t0 0; t| AS |, t0 0, tS ⟨, t0 0| UtASUt |, t0 0 H ⟨, t0 0; t| AHt |, t0 0, tH

Equação de Movimento de HeisenbergAdmitindo que AS não dependa explicitamente do tempo, o que é o caso na maioria das situações físicas deinteresse, obtém-se [diferenciando a Eq. (2.2.10)]

dAH

dt ddt U

t AS Ut

dUt

dt AS Ut Ut AS dUtdt

− 1i U

tHAS Ut 1i U

t ASHUt

− 1i U

tHUtUtAS Ut 1i U

t ASUtUtHUt

− 1i U

tHUtAH 1i AHUtHUt

1i A

H,UtHUt

onde usamos (2.1.25)

dUdt 1

i HU, dU

dt − 1i U

H

Como Ut exp − iHt

, este operador comuta com H. Então

UtHUt UtUtH H

de maneira que

dAH

dt 1i A

H,H (2.2.

que é conhecida como equação de movimento de Heisenberg.

★ Leia o restante da seção.

Partículas Livres; Teorema de EhrenfestTanto na formulação de Schrödinger como na de Heisenberg, devemos saber como construir o operadorHamiltoniano.

Sistema tem análogo clássico. Quando tratamos sistemas físicos que têm análogos clássicos, admitimos queo Hamiltoniano tem a mesma forma como na física clássica, onde substituímos


grandezas → operadores

Assim, xi e pi são substituídos pelos correspondentes operadores em MQ.

Sistema não tem análogo clássico. Neste caso, tenta-se “adivinhar” a estrutura do Hamiltoniano, fazendo-sevárias tentativa até que nos levem a resultados que concordem com observações experimentais.

Relações de comutação entre funções de xj e pj. Às vezes é necessário calcular relações de comutaçãoentre funções de xj e pj. Ou seja,

xi,Fp ih ∂Fdpi, xi,Gx 0,

pi,Gx −i ∂Gdxi, pi,Fp 0.

(2.23

Equação de movimento de Heisemberg para a partícula livre

Para uma partícula de massa m, o Hamiltoniano é considerado ser da mesma forma como na mecânicaclássica:

H p2

2m px

2 py2 pz

2

2m

Equação de movimento para pi. Como pi comuta com qualquer função de pj, logodpi

dt 1i pi,H 0

onde consideramos pi piH. Então, para a partícula livre o operador momento é uma constante de movimento, o

que significa que pit é igual a p0 para todos os tempos.

De uma maneira geral, é evidente da equação de movimento de Heisenberg que, se o operador AH comuta com oHamiltoniano, AH é uma constante de movimento.

Equação de movimento para xi. Neste caso,dxidt 1

i xi,H

como H 12m ∑j

pj2 e xi,Fp ih ∂Fdpi

, encontramos

dxidt 1

i xi,H 1i xi, 1

2m ∑j

pj2 1

i1

2m ih ∂dpi∑

j

pj2

12m ∑

j

∂dpi

pj2 1

2m ∑j

2pj∂pj

dpi pi

m

Ou seja,

dxidt pi

m pi0

m

cuja solução é

xit xi0 pi0

m t (2.27

que recorda a equação da trajetória clássica para o movimento retilíneo uniforme. É importante notar que,embora se tenha

xi0,xj0 0


em tempos iguais, o comutador não se anula em tempos diferentes. Isto é,

xit,xj0 xi0 pi0

m t,xj0 pi0

m t,xj0

−itm

Aplicando (1.4.53) a este comutador, ou seja,

ΔA2 ΔB2 ≥ 14 |⟨A,B|2

obtém-se

Δxi2tΔxi2

t0≥ 1

4−itm

2 2t2

4m (2.30

Entre outras coisas, esta relação implica que, mesmo se a partícula é bem localizada em t 0, sua posiçãotorna-se mais e mais incerta à medida que o tempo passa.

Partícula sujeita a um potencial Vx

Agora vamos adicionar um potencial Vx ao Hamiltoniano da partícula livre:

H p2

2m Vx (2.31

Nota: Vx é considerado uma função dos operadores x, y e z.

Equação de movimento para pi. Usando (2.2.23)dpi

dt 1i pi,H 1

i pi,Vx 1i −i ∂Vxdxi

− ∂Vxdxi (2.32

Equação de movimento para xi. Neste caso,dxidt 1

i pi,H pim

ainda vale, uma vez que xi comuta com o termo Vx. Vamos usar novamente a equação de movimento deHeisenberg, ou seja,

ddt

dxidt d2xi

dt2 1i

dxidt ,H 1

ipim ,H 1

mdpi

dt

Combinando com (2.2.32),

m d2xi

dt2 − ∂Vxdxi

ou

m d2xdt2 −∇Vx (2.35

Isto é o análogo quântico da segunda lei de Newton. Tomando os valores esperados de ambos os lados comrespeito ao estado ket de Heisenberg, que não varia com o tempo, obtém-se a relação

m d2

dt2 ⟨x d⟨pdt −⟨∇Vx (2.36

que é conhecida como teorema de Ehrenfest.

Observação 1: Este teorema, escrito na forma de valor esperado, tem sua validade independente da representação queusamos, uma vez que esta quantidade é igual nas duas representações. Ao contrário, na forma de operador (2.2.35), tem


significado apenas se os operadores x e p forem dados na representação de Heisenberg.

Observação 2: Observa-se que não aparece em (2.2.36); portanto, não de se surpreender que o centro de um pacotede onda move-se tal como uma partículas clássica sujeita a um potencial Vx.

Kets de Base e Amplitudes de TransiçãoUm erro muito comum é pensar que todos os kets movem-se na representação de Schrödinger e sãoestacionários na representação de Heisenberg. Devemos dinstinguir entre o comportamento dos estados ketse dos kets de base.

Kets de base. Quando introduzimos os espaços dos kets na Seç. 1.2, observamos que os autokets dosobserváveis seriam usados como kets de base. O que acontece, em relação ao tempo, com a equação deautovalores,

A |a ′ a ′ |a ′ ?

Schrödinger. Na representação de Schrödinger, A não varia com o tempo e, portanto, os kets de base,obtidos como solução desta equação de autovalores em t 0, por exemplo, permanecem inalterados.

Heisenberg. Na representação de Heisenberg a situação é bem diferente. A equação de autovalores é aquipara operadores que dependem do tempo,

AHt UA0U.

De (2.2.37), calculada em t 0, quando as duas representações coicidem,

A0|a ′ a ′ |a ′

deduz-se

UA0UU|a ′ a ′ U|a ′

o que implica numa equação de autovalores para AH

AHU|a ′ a ′ U|a ′ (2.40

Kets de base na representação de Heisenberg. Assim, à medida que o tempo flui, os kets de base darepresentação de Heisenberg, U|a ′ , denotados por |a ′, tH, movem-se de acordo com a equação

|a ′, tH U |a ′ (2.41

Devido à presença do operador U, ao invés de U, os kets de base da representação de Heisenberg parecemgirar em sentido oposto aos dos estados ket na representação de Schrödinger. Especificamente, |a ′, tH

satisfazem a equação de Schrödinger de sinal errado

i ∂∂t |a ′, tH −H |a ′, tH (2.42

Autovalores da representação de Heisenberg. Quanto aos autovalores, vemos de (2.2.40) que eles nãomudam com o tempo. Isto é consistente com a equivalência unitária de observáveis, onde A e UAU são ditosequivalentes (Seç. 1.5). Note também a seguinte expansão para AHt em termos dos kets e bras de base darepresentação de Heisenberg:


AHt ∑a ′

|a ′, tH aH′

H⟨a ′, t|

∑a ′U |a ′ a ′ ⟨a ′ |U

U ∑a ′

|a ′ a ′ ⟨a ′ | U

UASU

o que mostra que tudo é consistente, desde que os kets de base da represaentação de Heisenberg mudem deacordo com (2.2.41).

Coeficientes de expansão. Os coeficientes de expansão de um estado ket em termos dos kets de base sãoos mesmos em ambas as representações:

ca ′

base bra⟨a ′ |

estado ket

U|, t0 0, (representação de Schrödinger)

ca ′

base bra

⟨a ′ |U

estado ket

|, t0 0, (representação de Heisenberg)

ket d

e ba

se

estado ket

estado ket

ket d

e ba

se

Schrödinger Heisenberg

Função de onda. Em particular, a função de onda ⟨x ′| pode ser considerada como:

(1) o produto interno do autobra estacionário da posição com o estado ket movendo-se (representação de Schrödinger),ou

(2) o produto interno do autobra da posição movendo-se com o estado ket estacionário (representação de Heisenberg).

Amplitues de transição. Para ilustrar ainda mais a equivalência entre as duas representações, vamosestudar as amplitudes de transição, que terão um papel fundamental na Seç. 2.5. Suponha que existe umsistema físico preparado em t 0 para estar num autoestado do observável A com autovalor a ′. Num tempo tmais tarde, podemos querer saber:

Qual é a amplitude de probabilidade (conhecidade como amplitude de transição) para que o sistema possa serencontrado num autoestado do observável B com autovalor b ′ ?

Schrödinger. Na representação de Schrödinger, o estado ket no instante t é dado por U |a ′ , enquanto queos kets de base |a ′ e |b ′ não variam com o tempo. Assim, para essa amplitude de transição, temos

base bra⟨b ′ |

estado ket

U|a ′

Heisenberg. Na representação de Heisenberg o estado ket é estacionário, isto é, permanece o mesmo |a ′


para todos os tempos, enquanto que os kets de base evoluem no sentido oposto no tempo. Assim, a amplitudede transição nesta representação vale

base bra

⟨b ′ |U

estado ket|a ′

Obviamente, estas duas amplitudes são iguais. Ambas podem ser escritas como

⟨b ′ | Ut, 0 |a ′ (2.47

Com certa liberdade, podemos dizer que isto representa a amplitude de transição para “ir” do estado |a ′ aoestado |b ′ .

Resumo das Diferenças entre as Representações.Schrödinger Heisenberg

Estado ket Movimento: (2.15), (2.27) Estacionário

Obaservável Estacionário Movimento: (2.10), (2.19)

Ket de base Estacionário Movimento oposto: (2.41), (2.42)

2.3 Oscilador Harmônico SimplesO oscilador harmônico simples é um dos mais importantes problemas em MQ. Do ponto de vista pedagógico,serve para ilustrar os conceitos e métodos básicos em MQ.

Autokets de Energia e Autovalores de EnergiaHamiltoniano. O Hamiltoniano básico é

H p2

2m m2x2

2 (3.1)

onde é a frequência angular do oscilador clássico relacionada com a constante de mola k na lei de Hooke via k/m . Os operadors x e p são, evidentemente, hermitianos. É conveniente definirmos dois operadors nãohermitianos

a m2 x ip

m , a m2 x − ip

m (3.2)

conhecidos como operador de destruição e operador de criação, respectivamente, por razões que em breveserão evidentes.

Relações de comutação. Usando as relações de comutação canônicas para esses operadores, obtém-seimediatamente

a,a m2 x ip

m , x − ipm

m2 x,− ip

m m2

ipm ,x

12 −i

i

x,p i

−i

p,x 12

1

Operador número. Com esses dois operadores, podemo construir um outro operador (hermitiano)denominado de operador número

N aa (3.4)


Usando as definições de a e a podemos mostrar que

N aa m2 x − ip

m x ipm

m2 x2 ixp

m −ipxm p2

m22

m2 x2 p2

m22 i2 x,p

m2 x2 p2

m22 − 12

Ou seja,

N H− 1

2de onde encontramos uma relação importante entre o operador número e o operador Hamiltoniano

H N 12 (3.6)

Autovalores de energia. Uma vez que H é uma função linear de N, N pode ser diagonalizadasimultaneamente com H. Vamos representar um autoket de N por seu autovalor n, tal que

N |n n |n

Devido a (3.6), temos também

H |n En |n → N 12 |n n 1

2 |n

o que significa que os autovalores de energia são dados por

En n 12 (3.9)

Significado físico de a, a e N. Para compreendermos o significado físico de a, a e N, vamos primeiroobservar que

N,a aa,a aa,a a,a a −a

Da mesma forma,

N,a aa,a aa,a a,a a a

Como resultado, temos

Na|n Na − aN aN|n N,a aN|n a aN |n N 1a |n n 1a|n

e

Na|n Na − aN aN|n N,a aN|n −a a N |n N − 1a |n

n − 1a |n

Estas relações implicam que a|n a |n são também autokets de N com autovalores aumentado (diminuído)de um. Como o acréscimo (decréscimo) de n por um significa a criação (destruição) de um quantum de energia, o termo operador de criação (operador de destruição) para a a torna-se apropriado.


Propriedades dos operadores de criação e de destruição

As equações

N a|n n 1a|nN a|n n − 1a|n

sugerem podem ser reescritas como

N|n 1 n 1|n 1N|n − 1 n − 1|n − 1

o que implica em a|n e |n 1 a|n e |n − 1 serem o mesmo a menos de uma constante multiplicativa. Porexemplo, vamos escrever

a |n c |n − 1

onde c é uma constante numérica, que é determinada exigindo-se que tanto |n como |n − 1 sejam ketsnormalizados. Multiplicando ambos os membros por ⟨n − 1| c∗, encontra-se

⟨n − 1| c∗a |n |c|2⟨n − 1|n − 1

e, lembrando que ⟨n − 1| c∗ ⟨n|a, temos

⟨n| aa |n |c|2

onde usamos a normalização de |n − 1. Notando que aa é o operador número, N, podemos ainda simplificar

⟨n| N |n |c|2 → |c|2 n → c n

onde também usamos a normalização de |n. Logo,

a |n c |n − 1 → a |n n |n − 1 (3.16

Similarmente, podemos mostrar que

a |n c |n 1 → a |n n 1 |n 1. (3.17

Aplicações sucessivas do operador a. Aplicando-se sucessivamente o operador a a ambos os membros de(3.16) obtém-se

a |n n |n − 1

aa |n n a |n − 1 → a2|n nn − 1 |n − 2

aa2|n nn − 1 a |n − 2 → a3|n nn − 1n − 2 |n − 3

Autokets do operador número. Esta sequência de operações mostra que é possível obtermos autokets comn cada vez menores até que a sequência termine, o que só pode acontecer se começarmos com um n positivo.Mas n pode ser negativo? Podemos responder a esta questão, calculando-se a norma de a |n que, pordefinição é sempre positiva ou nula. Assim,

⟨n|a a |ndef≥ 0

Mas, isto pode ser reescrito como

n| aa | n ≥ 0 → n| N | n ≡ n ≥ 0.

Logo, n só pode ser inteiro não negativo. Portanto, a sequência deve terminar quando n 0.


Energia do estado fundamental. Uma vez que o menor valor de n é zero, a energia do estado fundamental,|0, do oscilador harmônico é

E0 12 (3.20

Aplicação sucessiva de a ao estado fundamental. Aplicando-se agora sucessivamente o operador a aoestado fundamental |0, usando-se (3.17) na forma

|n 1 an 1

|n

obtém-se

|1 a |0

|2 a2

|1 a2

2|0

|3 a3

|2 a3

3!|0

|n an 1

|n − 1 an

n!|0

(3.21

Desta maneira construimos os autokets simultâneos de N e H com autovalores de energia

En n 12 , n 0,1,2,…

Elementos de matriz. De (3.16) e (3.17) e da normalização dos |n, obtém-se os elementos de matriz dooperador de destruição a. Ou seja,

n ′| a |n ⟨n ′ | n |n − 1 n n ′,n−1

n ′| a |n ⟨n ′ | n 1 |n 1 n 1 n ′,n1

De (3.2), obtém-se

x 2m a a, p i m

2 −a a

Agora podemos derivar os elementos de matriz de x e p.

n ′| x |n 2m n ′| a a|n

2m n n ′,n−1 n 1 n ′,n1

n ′| p |n i m2 n ′| −a a|n i m

2 − n n ′,n−1 n 1 n ′,n1

Note que tanto x quanto p são não-diagonais na representação N. Isto é porque x e p, tal como a e a, nãocomutam com o operador N.

Funções de onda do oscilador. Podemos também usar o método dos operadores para encontar asautofunções da energia no espaço das posições (funções de onda). Vamos começar com o estadofundamental definido por

a |0 0

que, na representação x, interpreta-se como


x ′| a |0 m2 ⟨x ′ | x ip

m |0 0

De (1.7.17)

x ′| p | −i ∂∂x ′ ⟨

x ′|,

podemos interpretar a equação anterior como uma equação diferencial. Ou seja,

x ′| a |0 m2 ⟨x ′ | x |0 i

m ⟨x′ | p |0 0

ou

x ′ ⟨x ′|0 m

ddx ′ ⟨

x ′|0 0

ou, finalmente,

x ′ x02 d

dx ′ ⟨x ′|0 0

onde introduzimos

x0 ≡ m

que fixa uma escala de comprimento do oscilador. Esta equação é do tipo

x02 dfx

dx xfx 0

oudff − x

x02 dx

cuja solução é

ln f − x2

2x0 C

ou

fx Cexp − 12

xx0

2

onde C podemos escolher através da normalização,

|C|2 exp − 12

xx0

2 2 1

Mas,

−

exp − 1

2xx0

2 2 x0

então

C 11/4 x0

Logo,

⟨x ′|0 11/4 x0

exp − 12

x ′x0

2 (3.30

Da mesma forma, podemos obter as autofunções de energia para os estados excitados, calculando-se


⟨x ′|1 ⟨x ′|a|0 12 x0

x ′ − x02 d

dx ′ ⟨x ′|0,

⟨x ′|2 12

x ′|a2|0 12!

12 x0

2

x ′ − x02 d

dx ′2⟨x ′|0

Em geral, as soluções são

⟨x ′|n 11/4 2nn!

1x0

n1/2 x ′ − x02 d

dx ′nexp − 1

2x ′x0

2 (3.32

Valores esperados de x2 e p2. É instrutivo analisar os valores esperados de x2 e p2 para o estadofundamental. Seja

x2 2m a2 a2 aa aa

Assim,

⟨x2 2m ⟨a2 a2 aa aa

2m 0| a2 |0 0| a2 |0 0| aa |0 0| aa |0

2m 0| aa |0

2m x02

2

Da mesma forma,

p2 i m2 −a a i m

2 −a a

− m2 a2 − aa − aa a2

o que nos fornece

⟨p2 − m2 ⟨a2 − aa − aa a2

m2 ⟨aa

m2

Relações de incerteza. Das definições de x e p em termos dos operadores a e a, podemos mostrar que

⟨x 0, ⟨p 0.

Logo,

Δx2 ⟨x2 − ⟨x2 ⟨x2 2m

e

Δp2 ⟨p2 − ⟨p2 ⟨p2 m2

satisfazem o produto de incerteza mínimo

Δx2 Δp2 2m

m2 2

4 .

uma vez que a função de onda tem a forma gaussiana.

Para os estados excitados os produtos de incerteza são maiores


Δx2 Δp2 n 12

22.

Evolução Temporal do OsciladorNota: Nesta seção os x, p, a e a são dependentes do tempo, embora não se escreva explicitamente xHt etc.

Representação de Heisenberg

As equações de movimento para p e x são, de acordo com (2.2.32) e (2.2.33),dpdt − dV

dx −m2x, dxdt p

m

Como

a m2 x ip

m , a m2 x − ip

m

então

dadt m

2dxdt i

mdpdt , da

dt m2

dxdt −

im

dpdt

ou

dadt m

2pm i

m −m2x m2

pm − i x

−i m2 x ip

m i a

e

dadt m

2pm − i

m −m2x m2

pm i x

i m2 x − ip

m ia

Logo, as equações diferenciais para x e p (acopladas) podem ser substituídas pelas correspondentes para a ea

dadt −ia, da

dt ia

cujas soluções são

at a0exp−it, at a0expit (3.43

Casualmente, essas relações mostram explicitamente que os operadores N e H são independentes do tempo.Por exemplo,

N atat a0expit a0exp−it |a0|2.

Substituindo (3.43) nas expressões para x e p,

x 2m a a, p i m

2 −a a

encontra-se


xt 2m

m2 x0 ip0

m exp−it

2m

m2 x0 − ip0

m expit

12 x0 ip0

m exp−it 12 x0 − ip0

m expit

x0 expit exp−it2

p0m

expit − exp−it2i

ou

xt x0cost p0m sent

Da mesma forma

pt −mx0 sent p0cost.

Estas equações parecem muito com as equações clássicas do movimento. Vemos que os operadores x e p“oscilam” da mesma forma que seus análogos clássicos.

Lema de Baker-Hausdorff

Seja a função de operadores eiGAe−iG, onde A é um qualquer operdor, G é um operador hermitiano e é umparâmetro real: Como expandir esta função numa série de Taylor?

Vamos chamar esta função de A eiGAe−iG. Vamos derivar esta função sucessivamente em relação a .Ou seja,

dAd iGeiGAe−iG − ieiGAe−iGG iG,A

d2Ad2 d

ddA

d i G, dAd i2 G, G, A

d3Ad3 i G, d2A

d2 i3 G, G, G, A

Expandindo A numa série de Taylor, em torno de 0,

A A0 dA0d 2

2!d2A0

d2

e lembrando que A0 A, encontra-se,

A A iG,A i22

2! G, G, A

inn

2! G, G,… G, A …

ou finalmente

eiGAe−iG A iG,A i22

2! G, G, A

inn

2! G, G,… G, A … (3.47

que é conhecida como Lema de Baker-Hausdorff.

Derivação alternativa da evolução temporal do oscilador


Vamos aplicar o lema de Baker para encontrar a evolução temporal a partir de

xt exp iHt

x0exp −iHt

Aplicando (3.47), obtém-se A x0,G H, t/ :

xt x0 it

H,x0 i2t2

2!2 H, H, x0

Como H p02

2m m2x02

2 , uma vez que H não depende do tempo, podemos calcular os comutadores,

usando repetidamente,

H,x0 p02

2m m2x02

2 ,x0 12m p02,x0

12m p0p0,x0 1

2m p0,x0p0 −im p0

e

H,p0 p02

2m m2x02

2 ,p0 m2

2 x02,p0

m2

2 x0x0,p0 m2

2 x0,p0x0 im2x0

Então,

exp iHt

x0exp −iHt

x0 p0m t

− 12! t22x0 − 1

3!t33p0

m

colecionando os termos, temos finalmente

xt x0cost p0m sent,

em concordância com (2.3.45a).


2.4 Equação de Onda de SchrödingerNesta seção volta-se à represntação de Schrödinger para examinar a evolução temporal de |, t0; t narepresentação x.

Função de Onda Dependente do TempoVamos estudar o comportamento da função de onda

x ′, t ⟨x ′|, t0; t (4.1)

como função do tempo |, t0; t é um autoket na representação de Schrödinger no instante t, e ⟨x ′ | é o autobrada posição (que é independente do tempo na representação de Schrödinger) com autovalor x ′. Seja oHamiltoniano da forma

H p2

2m Vx (4.2)

O potencial Vx é um operador hermitiano; é também local, no sentido de que, na representação x, tem-se

x ′| Vx | x ′′ Vx ′ 3x ′ − x ′′ (4.3)


onde Vx ′ é uma função real de x ′.

Equação de onda de Schrödinger. Vamos agora derivar a equação de onda de Schrödinger dependente dotempo. De (2.1.27)

i ∂∂t |, t0; t H |, t0; t

que, multiplicada escalarmente pelo autobra (estacionário) ⟨x ′ | enconta-se

i ∂∂t ⟨x′ |, t0; t ⟨x ′ |H |, t0; t (4.4)

Lado direito de (2.4.4). Usando (1.7.20), ou seja,

x ′| pxn|, t0; t −in ∂n

∂x ′n ⟨x ′|, t0; t, #

encontramos para a contribuição da energia cinética do lado direito de (2.4.4)

⟨x ′ | px2

2m |, t0; t −i2 ∂2

∂x ′2⟨x ′|, t0; t

ou, para 3 dimensões

⟨x ′ | p2

2m |, t0; t −i2

2m ∇′2⟨x ′|, t0; t − 2

2m ∇′2⟨x ′|, t0; t

Para a contribuição da energia potencial, temos

⟨x ′ |Vx ′ Vx ′ ⟨x ′ |

onde aqui Vx ′ é uma função e não um operador. Combinando tudo, encontramos

i ∂∂t ⟨x′ |, t0; t − 2

2m ∇′2⟨x ′|, t0; t Vx ′ ⟨x ′|, t0; t (4.7)

que reconhecemos ser a famosa equação de onda de Schrödinger dependente do tempo, geralmente escritacomo

i ∂∂t x′, t − 2

2m ∇′2x ′, t Vx ′ x ′, t (4.8)

Nota: A mecânica quântica baseada na equação de onda (2.4.8) é conhecida como mecânica ondulatória. Estaequação é, de fato, o ponto de partida de muitos livros de texto sobre mecânica quântica. Porém, em nosso formalismo,isto é apenas a equação de Schrödinger para o estado ket escrita explicitamente na base x, quando o operadorHamiltoniano adotado é da forma (2.4.2).

A Equação de Onda Independente do TempoJá vimos que a dependência temporal de um estado estacionário é dada pelo fator exp−iEa ′ t/, de maneiraque a função de onda desse estado pode ser escrita como

⟨x ′|a ′, t0; t ⟨x ′|a ′ exp−iEa ′ t/ (4.9)

onde estamos supondo que o sistema está preparado inicialmente num autoestado simultâneo de A e H comautovalores a ′ e Ea ′ respectivamente. Vamos agora substituir (2.4.9) na equação de Schrödinger dependentedo tempo (2.4.7):

i ∂∂t ⟨x′|a ′ exp−iEa ′ t/ − 2

2m ∇′2⟨x ′|a ′ exp−iEa ′ t/

Vx ′ ⟨x ′|a ′ exp−iEa ′ t/

ou


− 2

2m ∇′2⟨x ′|a ′ Vx ′ ⟨x ′|a ′ Ea ′⟨x ′|a ′ (4.10

Nota: Esta equação diferencial parcial é satisfeita pela autofunção de energia ⟨x ′|a ′ com autovalor de energia Ea ′ .Realmente, em mecânica ondulatória, onde o Hamiltoniano é dado como função de x e p, como em (2.4.2), não énecessário referir-se explicitamente ao observável A que comuta com H, uma vez que sempre podemos escolher A comouma função dos observáveis x e p que coincide com H.

Então, podemos omitir a referência a a ′ e simplesmente escrever (2.4.10) como uma equação diferencialparcial que será satisfeita pela autofunção da energia uEx ′:

− 2

2m ∇′2uEx ′ Vx ′ uEx ′ E uEx ′ (2.4.

Esta é a equação onda de Schrödinger dependente do tempo.

Condições de contorno. Para resolver esta equação, precisamos impor algumas condições de contorno.

Solução para E V. Se procuramos soluções com

E lim|x ′ |→

Vx ′

onde a desigualdade vale para |x ′ | → em qualquer direção, a condição de contorno apropriada para estecaso é

uEx ′ → 0, para |x ′ | → (4.13

Fisicamente, isto significa que a partícula está ligada ou confinada dentro de uma região finita do espaço. Paraeste caso, as soluções uE possuem as seguintes propriedades.

Propriedades das soluções uE para partícula confinada. Sabemos da teoria das equações diferenciais que(2.4.11) sujeita à condição de contorno (2.4.13) somente possuem soluções não triviais para um conjunto devalores discretos de E. É neste sentido que a equação de Schrödinger independente do tempo produz aquantização dos níveis de energia.


Interpretação da Função de OndaFunção de onda como coeficiente de expansão. Como a função de onda está relacionada com ocoeficiente de expansão, ⟨x ′|, t0; t, do estado |, t0; t em termos dos autokets da posição |x ′ , podemosassciar ||2 com uma densidade de probabilidade. Seja então esta densidade definida como

x ′, t |x ′, t|2 |⟨x ′|, t0; t|2 (4.14

A quantidade

x ′, t d3x ′

nos dá a probabilidade, num instante t, de encontrar a partícula dentro de um pequeno elemento de volumed3x ′ em torno da posição x ′.

Equação da continuidade. Usando a equação de Schrödinger dependente do tempo podemos mostrarfacilmente que

∂∂t ∇ j 0 (4.15

onde representa ||2 como antes, e jx, t é conhecido como fluxo de probabilidade, dado por


jx, t − i2m ∗∇ − ∇∗

m Im∗∇ (4.16

Fluxo de probabilidade e momento. Integrando (2.4.16) sobre todo o espaço, obtemos

jx, td3x 12m ∗x, t−i∇x, td3x

− 12m −i∇∗x, tx, td3x ⟨p t

m

onde usamos (1.7.19).

Nota: A Eq. (4.15) nos lembra a equação da continuidade em dinâmica dos fluidos, que caracteriza um fluxohidrodinâmico de um fluido numa região sem fontes nem sumidouros. De fato, historicamente Schrödinger foi o primeiro ainterpretar ||2 como uma densidade real de matéria, ou e||2 como uma densidade real de carga elétrica. Se adotarmostal ponto de vista, ficaremos diante de algumas consequência estranhas. Um argumento típico para a medida da posiçãoseria este: Um elétron atômico é considerado como uma distribuição contínua de matéria, preenhcendo toda a região emtorno do núcleo; mas, quando se realiza uma medida para verificar que o elétron está em algum ponto particular, estadistribuição contínua de matéria subitamente se contrai na forma de uma partícula sem extensão espacial.

A interpretação estatística mais satisfatória de ||2 foi dada pela primeira vez por M. Born.

Significado físico da função de onda

Vamos escrever a função de onda na forma

x, t x, t exp iSx, t

(4.18

onde S é real e 0.

Significado de S. Note que

∗∇ exp −iS

∇ exp iS

∇ i∇S

e

∇∗ ∇ exp −iS

exp iS

∇ − i∇S

Logo,

j − i2m ∗∇ − ∇∗ − i

2m2i∇S

∇Sm (4.20

Agora vemos que a função de onda tem muito mais coisa do que simplesmente a densidade de probabilidadedada por ||2: o gradiente da fase S contém uma peça de informação vital. Da Eq. (2.4.20) vemos que avariação espacial da fase da função de onda caracteriza o fluxo de probabilidade; quanto mais forte for avariação da fase, mais intenso será o fluxo. A direção de j em qualquer ponto x é normal à superfície de faseconstante que passa por aquele ponto (definição de gradiente).

Onda plana. Um exemplo particularmente simples é o da onda plana (autofunção do momento)

x, t exp ip x

− iEt

(4.21

onde p significa o autovalor do operador momento. Neste caso, a fase S vale

Sx, t p x − Et

e, portanto,


∇S p (4.22

Mais geralmente, é tentador considerar ∇S/m como alguma espécie de “velocidade”,

“v” ∇Sm

e escrever a equação da continuidade (2.4.15) como∂∂t ∇ “v” 0

da mesma forma como na dinâmica dos fluidos. Porém, devemos tomar cuidado com uma interpretação tãoliteral de j como vezes a velocidade definida em todos os pontos do espaço, uma vez que medidassimultâneas precisas da posição e velocidade violam o princípio da incerteza.

O Limite ClássicoAgora vamos discuitir o limite clássico da mecânica ondulatória. Seja a equação de Schrödinger dependentedo tempo,

i ∂∂t − 2

2m ∇2 V .

Para

exp iS

encontramos

i ∂∂t exp iS

− 2

2m ∇2 exp iS

V exp iS

ou

i∂ ∂t i

∂S∂t − 2

2m ∇2 2i

∇ ∇S

− 12 |∇S|2 i

∇2S V (4.25

Aproximação para pequeno. Até aqui a expressão é exata. Vamos supor que, em algum sentido, possaser considerada uma quantidade pequena, admitindo que

|∇2S| |∇S|2 (4.26

e assim por diante. Vamos então colecionar os termos que não dependem de :

− ∂S∂t 12m |∇S|2 V

ou

12m |∇Sx, t|2 Vx ∂Sx, t

∂t 0 (4.27

Equação de Hamilton-Jacobi. A Eq. (2.4.27) é a equação de Hamilton-Jacobi da mecânica clássica, ondeSx, t representa a função principal de Hamilton. Assim, não é por acaso que, no limite → 0, a mecânicaclássica esteja contida na mecânica ondulatória de Schrödinger. Temos uma interpretação semiclássica para a faseda função de onda: vezes a fase é igual à função principal de Hamilton, desde que possa ser considerado como umaquantidade pequena.

Estados estacionários. Vamos olhar para os estados estacionários com dependência temporal exp−iEt/.Neste caso, a Hamiltoniana clássica não depende explicitamente do tempo e a função de principal de Hamilton


é separável:

Sx, t Wx − Et (4.28

onde Wx é chamada de função característica de Hamilton.* * *

Substituindo em (4.27),

12m |∇Wx − Et|2 Vx ∂Wx − Et

∂t 0

podemos eliminar o tempo, obtendo-se,1

2m |∇Wx|2 Vx E

* * *Da Eq. (2.4.27) vê-se que, à medida que o tempo passa, uma superfície de S constante avança da mesmamaneira que avança uma superfície de fase constante em óptica - uma frente de onda. O momento da teoriaclássica de H-J é dado por

pclássico ∇S ∇W

que é consistente com nossa identificação anterior de ∇S/m com alguma tipo de velocidade.

Aproximação Semiclássica (WKB)Vamos obter a solução de estado estacionário aproximada da equação de Schrödinger restrita a umadimensão. Da equação

12m

dWxdx

2

Vx E

obtém-se facilmente W, integrando-se a equaçãodWx

dx 2mE − Vx

ou seja,

Wx xdx ′ 2mE − Vx ′

Região classicamente permitida (E V)

Logo, Sx, t é dado por

Sx, t Wx − Et xdx ′ 2mE − Vx ′ − Et

onde estamos interessados na região classicamente permitida, E V.

Estados estacionários. Para estados estacionários, temos∂∂t 0

o que, devido à equação da continuidade na forma (2.4.24),∂∂t ∂

∂x 1m∂S∂x 0 → ∂

∂x ∂S∂x 0.

implica em

∂S∂x constante


Como

∂S∂x ≡ dWx

dx 2mE − Vx constante

então

constanteE − Vx ′1/4

1vclássica

Combinando essas equações na expressão

exp iS

encontramos,

x, t constanteE − Vx1/4 exp i

x

dx ′ 2mE − Vx ′ − iEt

. (4.35

Esta solução aproximada é conhecida com solução WKB (Wentzel, Kramers e Brillouin).

O que significa dizer é pequeno? A condição

|∇2S| |∇S|2

é equivalente em problemas unidimensionais a

d2Sdx2 dS

dx2.

Como

dSdx

dWxdx 2mE − Vx

então

d2Sdx2 2m

21

E − VxdVx

dx

dSdx

2 2m|E − Vx|

Logo,

d2Sdx2 dS

dx2→ m

21

E − VxdVx

dx 2mE − Vx

para E V, ou

2mE − Vx

dVxdx 2mE − Vx

Em termos do comprimento de onda de de Broglie dividido por 2,

2mE − Vx

a condição torna-se

2mE − Vx|dVx/dx|

(2.4.3

Em outras palavras, deve ser pequeno comparado com a distância característica sobre a qual o potencialvaria apreciavelmente. Grosso modo, o potencial deve ser essencialmente constante sobre muitos


comprimentos de onda. Logo, vemos que a aproximação semiclássica é confiável no limite de pequenoscomprimentos de onda.

Região classicamente proibida (E V)

Vamos considerar agora o caso onde E − Vx 0, cujos valores de x são conhecidos como regiãoclassicamente proibida. A teoria clássica de Hamilton-Jacobi não faz sentido neste caso, tal que nossa soluçãoaproximada(2.4.35) tem que ser modificada.

Solução análoga para a região V E. Pode-se mostrar, por substituição direta, que a função

x, t constanteVx − E1/4 exp 1

x

dx ′ 2mVx ′ − E − iEt

(4.38

satisfaz a equação de onda, com a condição de que / 2mV − E seja pequeno comparado com a distância

característica na qual o potencial varia.

Pontos de retorno. Nenhuma das soluções semiclássicas tem sentido próximas de um ponto de retornoclássico, definido pelo valor de x para o qual

Vx E

uma vez que (ou i) torna-se infinito naquele ponto, levando a uma forte violação da condição (2.4.37). Defato, é uma tarefa não trivial “casar” as duas soluções através do ponto de retorno. O procedimento padrão ébaseado nas seguintes etapas:

1. Lineariza-se o potencial Vx nas proximidades do ponto de retorno x0, definido pela raiz de Vx0 E. Ou seja,

Vx ≃ Vx0 dVdx xx0

x − x0

2. Resolve-se a equação diferencial

d2uEdx2 − 2m

2dVdx xx0

x − x0 uE 0

exatamente, para obter uma terceira solução envolvendo as funções de Bessel de ordem 1/3 (funções de Airy) válida

próximo de x0.

3. “Casa-se” esta solução às outras duas, escolhendo-se apropriadamente várias constantes de integração.

Aproximação WKB para um poço de potencial

Vamos aplicar os resultados da análise da aproximação WKB para um poço de potencial (estados ligados),mostrado esquematicamente na figura abaixo. Nesta figura, as regiões são caracterizada pelas seguintescondições:

Região I: E Vx, Eq. (2.4.38)Região II: E Vx, Eq. (2.4.35)Região III: E Vx, Eq. (2.4.38)


V(x)

x

E

x1 x2

Região IRegião II

Região III

As soluções são:

Regiões I e III

I,IIIx, t C1

Vx − E1/4 exp 1

xdx ′ 2mVx ′ − E − iEt

Região II

IIx, t C2

E − Vx1/4 exp i

xdx ′ 2mE − Vx ′ − iEt

Regiões de transição

Nos pontos de retorno, x x1 e x x2, temos que resolver a equação de Schrödinger exata para o potenciallinearizado. Ou seja,

d2uE

dx2 − 2x − x0 uE 0

onde

2m2

dVdx xx0

1/2 1

2mV′x01/2

Fazendo uma mudança de variável do tipo

z 2/3x − x0 1

2mV′x01/3x − x0

encontra-se

ddx d

dzdzdx 2/3 d

dz e d2

dx2 4/3 d2

dz2

Portanto,

4/3 d2uE

dz2 − 2

2/3 z uE 0

ou


d2

dz2 − z uE 0

cuja solução são as funções de Airy, Aiz,

Aiz 1 0

dcos 1

3 3 z

O comportamento assintótico dessa função é

Aiz

12

1 z

1/2

exp − 23 z3/2 , z 0, V E

1 −z

1/2

cos 23 z −z

4 , z 0, E V

.

Uma vez que

Vx Vx0 V′x0x − x0 → x − x0 V − E

V′

onde V′ dV/dx, temos

z 2/3x − x0 2/3 V − EV′

Comportamento assintótico na região II. Então, o comportamemto assintótico de Aiz para z 0 V E é

Aiz V′

2/3E − V

1/2

cos − 23 x0 − x3/2 −

4

Notando que o argumento do cosseno pode ser obtido através da integral

x0

x x0 − x dx ′ − 2

3 x0 − x3/2

então, a forma assintótica torna-se

Aiz V′

2/3E − V

1/2

cos x0

x x0 − x dx ′

4

ou

Aiz V′

2/3E − V

1/2

cos 1 x0

x2mV′ E − V

V′ dx ′ 4

e, finalmente

Aiz V′

2/3E − V

1/2

cos 1 x0

x2mE − Vx ′ dx ′

4 (*)

Forma assintótica nas regiões I e II. Da mesma maneira podemos obter a forma assintótica para as regiõesonde V E x 0. Encontramos

Aiz V′

2/3E − V

1/2

exp − 1 x0

x2mVx ′ − E dx ′ (**)

Continuidade da função através dos pontos x1 e x2. Queremos agora que a solução (aproximada) da


equação de Schrödinger seja contínua através de x x1, ao passarmos da região I para a região II. Então,esta solução tem que ser da forma de (*). Ou seja,

uII1x C1

V′

2/3E − V

1/2

cos 1 x1

x2mE − Vx ′ dx ′ −

4

Da mesma forma com o ponto x2, ao passarmos da região III para a região II:

uII2x C2

V′

2/3E − V

1/2

cos 1 x2


4

Solução única. Como a solução na região II deve ser única, os argumentos dos cossenos diferem, nomáximo, por um múltiplo inteiro de . Logo,

1 x1

x2mE − Vx ′ dx ′ −

4 − 1 x2


4 n

ou

1

x1

x2 2mE − Vx ′ dx ′ x2

x2mE − Vx ′ dx ′ −

4

− 1

x2


4 n

e, finalmente,

x1

x2

2mE − Vx ′ dx ′ n 12 , n 0,1,2… (4.43

Esta equação é simplesmente a condição de quantização de Bohr-Sommerfel (exceto pelo fator 1/2, escritacomo

p dq nh

onde a integral é calculada sobre um período completo do movimento clássico, de x1 a x2, ida e volta.

Aplicação de (4.43) - Bola quicando sobre o solo

Considere o problema de uma bola quicando sobre uma superfície dura:

x

V(x)

x

x = 0

( )⎩⎨⎧

<∞>

=.0,

0,xxmgx

xV

Para este potencial, os pontos de retorno, Vx E, serão

x1 0 e x2 Emg

As funções se anulam em x 0. Por isso, é melhor usarmos as soluções ímpares de um problema


modificado definido por:

x

V(x)

|x| ( ) )(|,| ∞<<−∞= xxmgxV

Neste caso, nossos pontos de retorno serão

x1 − Emg e x2 E

mg .

Condição de quantização. A condição de quantização (4.43), para as soluções ímpares, nos fornece,

−E/mg

E/mgdx 2mE − mg|x| n ímpar 1

2 , n ímpar 1,3,5,…

ou, de forma equivalente,

0

E/mgdx 2mE − mgx n − 1

4 , n 1,2,3,…

A integral pode ser feita facilmente, fornecendo

0

E/mgdx 2mE − mgx

Logo,

2 23g

E3

m n − 14 ,

ou

89g2

E3

m n − 14

222

e, finalmente,

En 3 n − 1

4 2/3

2 mg221/3

para os níveis de energia quantizada de uma bola quicando sobre o chão.


2.5 Propagadores e Int. de Caminho de FeynmanPropagadores em Menânica OndulatóriaProblema geral da evolução temporal. Já vimos que a solução do problema de evolução temporal com umHamiltoniano dependente do tempo pode ser resolvido, expandindo-se o ket inicial em termos dos autokets deum observável que comuta com H. Ou seja,


|, t0; t exp −iHt − t0

|, t0

∑a ′

|a ′ ⟨a ′|, t0 exp −iEa ′t − t0

Multiplicando ambos os lados pela esquerda por ⟨x ′ | encontramos

⟨x ′|, t0; t ∑a ′

⟨x ′|a ′ ⟨a ′|, t0 exp −iEa ′t − t0

(5.2)

que é da forma

x ′, t ∑a ′

ca ′t0 ua ′x ′exp −iEa ′t − t0

onde usamos

ua ′x ′ ⟨x ′|a ′ ,

para representar a autofunção do operador A com autovalor a ′. Note também que

⟨a ′|, t0 d3x ′ ⟨a ′|x ′ ⟨x ′|, t0 (5.5)

reconhecida com a regra usual em mecânica ondulatória para obter os coeficientes de expansão do estadoinicial

ca ′t0 d3x ′ ua ′∗ x ′ x ′, t0.

Tudo isto é direto e familiar.

Propagador. A Eq. (2.5.2), com a ajuda de (2.5.5), pode também ser visualizada como alguma espécie deoperador integral atuando sobre uma função de onda inicial, resultando na função de onda final. De fato,substituindo (2.5.5) em (2.5.2) obtém-se

x ′′, t ∑a ′

⟨x ′′|a ′ d3x ′ ⟨a ′|x ′ ⟨x ′|, t0 exp −iEa ′t − t0

d3x ′∑a ′

⟨x ′′|a ′ ⟨a ′|x ′ exp −iEa ′t − t0

⟨x ′|, t0

d3x ′ ∑a ′

⟨x ′′|a ′ ⟨a ′|x ′ exp −iEa ′t − t0

x ′, t0

ou

x ′′, t d3x ′ Kx ′′, t; x ′, t0 x ′, t0. (5.7)

aqui o núcleo (kernel) do operador integral, conhecido como propagador em mecânica ondulatória, é dado por

Kx ′′, t; x ′, t0 ∑a ′

⟨x ′′|a ′ ⟨a ′|x ′ exp −iEa ′t − t0

(5.8)

Em qualquer que seja o problema, o progador depende apenas do potencial e é independente da função de onda inicial.Pode ser construído uma vez que as autofunções da energia e seus autovalores sejam conhecidos.

Evolução temporal da função de onda. A evolução temporal da função de onda é completamente predita seKx ′′, t; x ′, t0 é conhecido e x ′, t0 é dado inicialmente.

Teoria causal. Neste sentido, a mecânica ondulatória de Schrödinger é uma teoria perfeitamente causal. Aevolução temporal de uma função de onda sujeita a algum potencial é tão determinística como qualquer outraCapítulo 2 Dinâmica Quântica 40

coisa em mecânica clássica, desde que o sistema não seja perturbado. Talvez a única característica peculiar éque quando se realiza uma medida, a função de onda muda abruptamente, de uma maneira incontrolável, parauma das autofunções do observável que está sendo medido.

Propriedades do propagador. Existem duas propriedades do propagador:

1) Para t t0, Kx ′′, t;x ′, t0 satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo nas variáveis x ′′ e t, com x ′

e t0 fixos.

Demonstação: De fato, como

Kx ′′, t; x ′, t0 ∑a ′

⟨x ′′|a ′ ⟨a ′|x ′ exp −iEa ′t − t0

pode ser reescrito como

Kx ′′, t; x ′, t0 ∑a ′

exp iEa ′ t0

ua ′∗ x ′ exp −iEa ′ t

ua ′x ′′

∑a ′

ua ′∗ x ′, t0 ua ′x ′′, t.

Como ua ′x ′′, t satisfaz a equação de onda de Schrödinger, uma combinação linear (desde que x ′ e t0 sejamfixos) também a satisfaz e, portanto, K deve também satisfazer a mesma equação de onda.

2) O limite de Kx ′′, t;x ′, t0 quando t → t0 vale

limt→t0

Kx ′′, t;x ′, t0 3x ′′ − x ′ .

Demonstração. Isto pode ser mostrado, usando-se a completeza da base |a ′ . De fato, a Eq. (2.5.8),

Kx ′′, t; x ′, t0 ∑a ′

⟨x ′′|a ′ ⟨a ′|x ′ exp −iEa ′t − t0

reduz-se a

Kx ′′, t; x ′, t0 ⟨x ′′|x ′ exp −iEa ′t − t0

e, portanto, usando a ortogonalidade dos |x ′ encontramos

Kx ′′, t;x ′, t0 3x ′′ − x ′exp −iEa ′t − t0

.

Agora, tomando o limite quando t → t0, esta expressão torna-se

limt→t0

Kx ′′, t; x ′, t0 3x ′′ − x ′.

Interpretação física do propagador. Devido a essas duas propriedades, o propagador, quando considerado comofunção de x ′′ é simplesmente a função de onda, no instante t, de uma partícula que estava precisamente localizada noponto x ′ num instante anterior t0. De fato, esta interpretação segue, talvez de uma maneira mais elegante, daobservação de que (2.5.8) também pode ser escrita como

Kx ′′, t; x ′, t0 ⟨x ′′ | exp −iEa ′t − t0

|x ′ . (2.5.

onde o operador evolução temporal atuando sobre |x ′ é justamente o estado ket no instante t de um sistemaque estava precisamente localizado na posição x ′ no instante t0 t.

Solução geral usando o propagador. Se quisermos resolver um problema mais geral, onde a função de onda


inicial, não está localizada, mas extende-se sobre uma região finita do espaço, tudo que precisamos fazer émultiplicar a função de onda inicial x ′, t0 pelo propagador Kx ′′, t; x ′, t0 e integrar sobre todo o espaço (isto é,sobre x ′), como nos mostra a Eq. (2.5.7):

x ′′, t d3x ′ Kx ′′, t; x ′, t0 x ′, t0.

Propagador como função de Green. Esta solução é semelhante ao problema para encontrar o potencialeletrostático de uma distribuição de carga: inicialmente resolve-se o problema de uma carga puntiforme,multiplica-se pela distribuição e integra-se:

x d3x ′

(potencial de q1)

1|x − x ′ |

x ′ (potencial eletronstático).

Equação de Green para o propagador. O propagador pode então ser considerado como a função de Greenpara a equação de onda dependente do tempo:

− 2

2m ∇ ′′2 Vx ′′ − i ∂∂t Kx ′′, t; x ′, t0 −i3x ′′ − x ′t − t0. (5.12

com a condição de contorno

Kx ′′, t; x ′, t0 0, t t0. (5.13

A forma do propagador depende do potencial ao qual a partícula está sujeita.

Propagador para a partícula livre. O momento é o observável que comuta com o Hamiltoniano. Portanto, |p ′

é um autoket simultâneo dos operadores p e H:

p |p ′ p ′|p ′ , H |p ′ p ′2

2m |p ′ .

As autofunções do momento são do tipo onda plana [v. (1.7.32)]:

⟨x ′ |p ′ 12

expip ′x ′.

Substituindo esta função em (2.5.8), obtém-se

Kx ′′, t; x ′, t0 12 dp ′ exp ip ′x ′′ − x ′

− ip ′2t − t0

2m .

Cálculo da integral. Esta integral pode ser facilmente calculada, completando-se o quadrado na exponencialdo termo p ′. Ou seja,

Kx ′′, t; x ′, t0 12 −

dp ′ exp − it − t0

2m p ′2 2p ′ mx ′′ − x ′t − t0

12 −

dp ′ exp −a p ′ b2 − b2

12 expab2

−

dp ′ exp −ap ′ b2

onde

a it − t0

2m , b mx ′′ − x ′t − t0

Mas,

−

e−apb2 dp

a


Logo,

Kx ′′, t; x ′, t0 12

a expab2

12

it − t0

2m

exp it − t02m

m2x ′′ − x ′2

t − t02

m2it − t0

exp imx ′′ − x ′2

2t − t0.

Integral espacial envolvendo Kx ′′, t; x ′, t0. Certas integrais envolvendo Kx ′′, t; x ′, t0 são de grande interesse.Considere a integral sobre todo espaço de

Kx ′′, t; x ′, t0 ∑a ′

⟨x ′′|a ′ ⟨a ′|x ′ exp −iEa ′ t

para x ′ x ′′ t0 0:

Gt ≡ d3x ′ Kx ′, t; x ′, 0 d3x ′∑a ′

|⟨x ′|a ′ |2 exp −iEa ′ t

∑a ′

exp −iEa ′ t d3x ′ |⟨x ′|a ′ |2 ∑

a ′exp −iEa ′ t

onde usamos a normalização das autofunções ⟨x ′|a ′ . Então

Gt ∑a ′

exp −iEa ′ t

(5.20

Continuação analítica de t. Tomando t imaginário puro, podemos definir

it

e representar Gt como

Gt ∑a ′

exp−Ea ′ ,

que podemos identificar com a função partição:

Z ∑a ′

exp−Ea ′ .

Por este motivo, algumas técnicas encontradas no estudo dos propagadores em MQ são també úteis emmecânica estatística.

Integral temporal envolvendo Kx ′′, t; x ′, t0. Outra integral importante envolve a transformada deLaplace-Fourier de Gt:

GE − i 0

dt Gt expiEt/.

Ou seja

GE − i 0

dt ∑

a ′exp−iEa ′ t/expiEt/

− i ∑

a ′

0

dt exp iE − Ea ′ t/

Como o integrando oscila indefinidamente, vamos fazer


E → E i

onde é uma pequena parte imaginária positva. Após calcularmos a integral, fazemos → 0:

GE, − i ∑

a ′

0

dt exp iE i − Ea ′ t/

− i ∑

a ′

0

dt exp − − iE − Ea ′ t/

− i ∑

a ′

− iE iEa ′

∑a ′

−i − iE iEa ′

No limite lim→0 GE, encontramos

GE ∑a ′

1E − Ea ′

.

Observe agora que o espectro de energia completo aparece como pólos simples de GE no plano complexo E. Se desejarmos conhecer o espectro de energia de um sistema físico, basta estudar as propriedadesanalíticas de GE.

Propagador como uma Amplitude de TransiçãoFunção de onda. Definimos a função de onda como o produto interno de um bra ⟨x ′ | fixo com um estado ketmovendo-se |, t0; t. Ou seja,

x ′, t ⟨x ′|, t0; t.

Podemos também definir esta função, na representação de Heisenberg, como o produto interno de bra daposição que se move no sentido oposto no tempo, ⟨x ′, t|, com o estado ket |, t0 fixo no tempo:

x ′, t ⟨x ′, t|, t0 .

Propagador. Da mesma forma, podemos definir o propagador como

Kx ′′, t; x ′, t0 ∑a ′

⟨x ′′|a ′ ⟨a ′|x ′ exp −iEa ′t − t0

∑a ′

⟨x ′′ | exp −iEa ′ t

|a ′ ⟨a ′ | exp iEa ′ t0

|x ′

x ′′, t | x ′, t0 .

onde |x ′, t0 e ⟨x ′′, t| são, respectivamente, autoket e autobra do operador posição na representação deHeisenberg.

O que significa um produto da forma b ′, t | a ′ ? Na Seç. 2.2 vimos que b ′, t | a ′ , na notação darepresentação de Heisenberg é a amplitude de probabilidade para um sistema, originalmente preparado numautoestado de A com autovalor a ′ no tempo inicial t0 0, ser encontrado num tempo posterior t numautoestado de B com autovalor b ′. Foi o que se chamou de amplitude de transição para ir do estado |a ′ para oestado |b ′ .

E o que significa Kx ′′, t; x ′, t0 x ′′, t | x ′, t0 ? A diferença com o caso anterior fica por conta da escolha det0 0. Mas o que é relevante aqui é a diferença t − t0. Portanto, podemos identificar x ′′, t | x ′, t0 como aamplitude de probabilidade para a partícula preparada no instante t0 com autovalor da posição x ′ ser encontrada numinstante posterior t na posição x ′′. Grosso modo, Kx ′′, t; x ′, t0 é a amplitude de probabilidade para uma partícula irde um ponto espaço-temporal x ′, t0 para outro ponto espaço-temporal x ′′, t.


Outra interpretação para Kx ′′, t; x ′, t0 x ′′, t | x ′, t0 . Sabemos que na representação de Heisenberg oestado é fixo e a base se movimenta. Nessa representação, |x ′, t0 é o autoket da posição no instante t0 comautovalor x ′. Em qualquer instante, podemos escolher os autokets de um observável como kets de base. Logo,

x ′′, t | x ′, t0

pode ser considerada como a transformção que conecta as duas bases em tempos diferentes.

Notação simétrica. Vamos usar uma notação mais simétrica para as coordenadas espaciais e temporais. Ouseja, faremos a substituição

x ′′, t | x ′, t0 → x ′′, t ′′ | x ′, t ′

Operador identidade. Na representação de Heisenberg os kets da posição formam um conjunto completo,em qualquer instante. Podemos então definir o operador identidade para esse conjunto como

d3x ′′ |x ′′, t ′′ ⟨x ′′, t ′′ | 1.

Evolução temporal. Podemos usar esse operador identidade para escrever a evolução temporal de umsistema físico do instante t ′ para o instante t ′′′. Para isso, podemos dividir o intervalo t ′, t ′′′ em duas partes,t ′, t ′′ e t ′′, t ′′′. Logo,

x ′′′, t ′′′ | x ′, t ′ d3x ′′ x ′′′, t ′′′ | x ′′, t ′′ x ′′, t ′′ | x ′, t ′ , t ′′′ t ′′ t ′.

Isto é conhecido como propriedade da composição da amplitude de transição.

Subintervalos menores. Evidentemente, podemos dividir o intervalo de tempo em subintervalos cada vezmenores na quantidade que desejarmos. Logo,

x ′′′′, t ′′′ | x ′, t ′ d3x ′′′ d3x ′′ x ′′′′, t ′′′′ | x ′′′, t ′′′ x ′′′, t ′′′ | x ′′, t ′′ x ′′, t ′′ | x ′, t ′ ,

t ′′′′ t ′′′ t ′′ t ′ (5.29

e assim por diante.

Subintervalos infinitesimais. Se de algum modo adivinhássemos a forma de x ′′, t ′′ | x ′, t ′ para um intervalode tempo infinitesimal (entre t ′ e t ′′ t ′ dt), poderíamos obter a amplitude x ′′, t ′′ | x ′, t ′ para um intervalo detempo finito compondo as amplitudes de transição apropriadas para intervalos de tempo infinitesimais demaneira análoga a (2.5.29). Este tipo de raciocínio levou a uma formulação independente da mecânica quânticadevida a Feynman.

Integrais de Caminho como a Soma sobre CaminhosSem perda de generalidade vamos nos restringir a problemas unidimensionais. Vamos também substituirexpressões incovenientes por outras mais simples. Por exemplo:

xN vezes

′′′′′′ → xN

Amplitude de transição de x1, t1 xN, tN. Com esta notação, vamos considerar a amplitude de transiçãopara uma partícula indo do ponto espaço-temporal inicial x1, t1 para o final xN, tN. Vamos dividir o intervalototal entre t1 e tN em N − 1 partes iguais:

tj − tj−1 Δt tN − t1N − 1

Explorando a propriedade da composição, obtemos


xN, tN | x1, t1 dxN−1 dxN−2 dx2 xN, tN | xN−1, tN−1

xN−1, tN−1 | xN−2, tN−2 x2, t2 | x1, t1

que é igual ao propagador KxN, tN; x1, t1.

Significado das integrais. A figura abaixo serve para visualizar graficamente o procedimento que serádescrito.

t

x(x1, t1)

(xN, tN)

t1t2

t3

tr

tN-1

tN

Caminhos no plano x − t.

Considere o plano espaço-tempo. Os estados inicial e final são pontos fixos neste plano: x1, t1 e xN, tN,respectivamente. Para cada segmento de tempo, digamos entre tn−1 e tn, devemos considerar a amplitude detransição para ir de xn−1, tn−1 até xn, tn; integra-se então sobre x2,x3,… ,xN−1. Isto significa que devemos somarsobre todos os possíveis caminhos no plano espaço-tempo, mantendo-se fixos os pontos das extremidades.

Caminhos na mecânica clássica

Como aparecem? Suponha que se tenha uma partícula sujeita a um campo de força derivável de umpotencial Vx. A Lagrangeana clássica é escrita como

Lclássicax, x mv2

2 − Vx

Dada esta Lagrangeana, com os pontos das extremidades especificados, existe apenas um único caminho quecorresponde ao movimento real da partícula.

Exemplo. Dados

Vx mgx, x1, t1 h, 0, xN, tN 0, 2hg

onde h pode significar a altura da Torre Inclinada de Pisa, o caminho clássico no plano x − t pode ser apenas

x h − gt2

2 .

De uma maneira geral, de acordo com o princípio de Hamilton, o caminho único é aquele que minimiza a ação,definida como a integral temporal da Lagrangeana:

t1

t2

dt Lclássicax, x 0 (5.35


do qual a equação de movimento de Lagrange pode ser obtida.

Formulação de FeynmanDiferença entre clássica e quântica. A diferença básica entre as mecânicas clássica e quântica está naassociação de caminhos no plano x-t ao movimento da partícula.

Clássica: caminho único (definido).

Quântica: todos os possíveis caminhos, mesmo aqueles que não têm nenhuma semelhança com os caminhosclássicos. Além disso, de algum modo deve reproduzir a mecânica clássica no limite → 0 de maneira suave.

Como fazer isto? Observação de Dirac

exp i t1

t2 dt Lclássicax, x

“corresponde a” x2, t2 | x1, t1 .

Postulados de FeynmanLembrando: xN, tN | x1, t1 é a amplitude de probabilidade para a partícula, saindo de x1 no instante t1, chegar axN no instante tN.

(1) xN, tN | x1, t1 é a soma de infinitas amplitudes parciais, uma para um cada dos caminho conectando x1, t1 com

xN, tN .

(2) A amplitude parcial xN, tN | x1, t1 Γassociada com um desses caminhos Γ é determinada da seguinte maneira: seja

SΓ a ação clássica calculada ao longo de Γ, isto é,

SΓ Γ

dt Lclássicax, x

onde Lclássicax, x é a Lagrangeana clássica da partícula. Então

xN, tN | x1, t1 Γ exp iSΓ

Portanto,

xN, tN | x1, t1 ∑Γ

xN, tN | x1, t1 Γ ∑

Γ

exp iSΓ

2.6 Potenciais e Transformações de CalibrePotenciais ConstantesMecânica clássica. A energia de ponto zero da energia potencial não tem significado físico em mecânicaclássico. De fato, as variáveis dinâmicas, tais como xt e Lt não dependem do fato de usarmos Vx ouVx V0 com V0 constante no espaço e tempo. A força que aparece na segunda lei de Newton dependeapenas do gradiente do potencial; constantes aditivas são irrelevantes.

Mecânica quântica. E na mecânica quântica tem alguma situação análoga?

Evolução temporal. Vamos olhar para a evolução temporal de um estado ket na representação deSchrödinger sujeito a algum potecial. Seja

|, t0; t → Vx

|, t0; t → Vx Vx V0


com a condições iniciais tais que

|, t0; t → |, t t0

|, t0; t → |, t t0.

ambos coincidem com | em t t0.

De acordo com a teoria,

|, t0; t Ut, t0|, t0

onde Ut, t0 exp−iHt − t0/. Portanto,

|, t0; t exp −i p2

2m Vx t − t0

|

|, t0; t exp −i p2

2m Vx V0t − t0

|

Portanto, podemos escrever

|, t0; t exp −iV0t − t0

|, t0; t

Em outras palavras, o ket calculado sob a influência do potencial Vx Vx V0 tem uma dependência temporal quedifere apenas pelo fator de fase exp−iV0t − t0 / em relação àquele sob a influência do potencial Vx.

Estados estacionários. No caso de estados estacionários,

|, t0; t −iEt − t0

|, t0 .

Então para o ket |, t0; t, encontramos

|, t0; t exp −iV0t − t0

|, t0; t exp −iE V0t − t0

|, t0

Em outras palavras, a dependência temporal calculada com V no lugar de V equivale à seguinte mudança:

E → E V0.

Efeitos observáveis, tais como valores esperados de ⟨x e ⟨S sempre dependem da diferença de energias tal que nãomudam por um fator de fase constante.

Transformações de calibre. Este é o primeiro exemplo de uma classe de transformações conhecidas comotransformações de calibre (ou de gauge). A mudança na convenção para energia de ponto zero do potencialdeve ser acompanhada por uma mudança no estado ket. Ou seja,

Vx → Vx V0 |, t0; t → exp −iV0t − t0

|, t0; t

Em termos da função de onda isto implica em

x ′, t → exp −iV0t − t0

x ′, t

Potenciais Espacialmente UniformesSe o potencial V0 V0t varia com o tempo, então


|, t0; t → exp −i t0

tdt ′ V0t ′

|, t0; t

Fisicamente o uso de Vx V0t em lugar de Vx significa que devemos escolher um novo ponto zero daescala de energia em cada instante de tempo.

Diferença de potencial. Embora a escolha da escala absoluta de potencial seja arbitrária, diferenças depotencial têm significado físico não trivial e pode ser detectado da seguinte maneira:

Montagem. Veja a figura e, em seguida, a explicação da montagem.

Região deinterferência

V1(t)

V2(t)

ΔV = V2-V1

um feixe de partículas carregadas divide-se em 2 partes e cada uma delas entra num guia metálica (v. figuraabaixo).

pode-se aplicar uma ddp entre os dois guias através de uma bateria.

cada partícula no feixe pode ser visualizada como um pacote de onda.

Experiência. Considere a experiência relativa à figura acima.

Aplica-se uma ddp depois que os pacotes de onda (partículas carregadas) entrem nos guias e desliga-se antes queos pacotes deixem os guias.

O potencial dentro dos guias é espacialmente uniforme: região metálica. Por isso, não há forças atuando sobre aspartículas (o campo elétrico no interior do metal é nulo).

Recombina-se as duas componentes do feixe numa região de interferência indicada na figura. Devido à existênciado potencial, cada componente do feixe sofre uma mudança de fase indicada por (2.6.7), ou seja,

exp −i t0

tdt′

V0t′

|, t0; t

Como resultado disso, existe um termo de interferência observável na intensidade do feixe na região deinterferência, isto é

cos1 − 2 , sen1 − 2

onde

1 − 2 1 ti

tfdt V2t − V1t

Portanto, embora a partícula não sofra a influência de uma força, existe um efeito observável que depende se a ddpV2t − V1t foi ou não aplicada.

Gravidade em Mecânica QuânticaEfeitos gravitacionais em mecânica clássica. Considere a equação de movimento clássica para um corpo emqueda livre


mx −m∇grav −mgz → x − gz.

Conclusão. Como a massa não aparece na equação, na ausência da resistência do ar, uma pena e uma pedracomportam-se da mesma maneira - de acordo com Galileo - sob a influência da gravidade.

Efeitos gravitacionais em mecânica quântica. Agora vamos examinar o mesmo problema sob o ponto de vistada mecânica quântica. Neste caso, o análogo da equação de Newton é a equação de onda:

− 2

2m ∇2 m grav i ∂∂t . (6.11

Conclusão. Neste caso a massa não se cancela, mas aparece como combinação de /m, tal que, nosproblemas onde esperamos que m também apareça.

Teorema de Ehrenfest. Partindo da equação de Schrödinger, podemos derivar o teorema de Ehrenfest:

d2

dt2 ⟨x −gz.

Observe que nem nem m aparece na equação. Entretanto, para observarmos os efeitos gravitacionaisatravés da mecânica quântica, devemos estudar efeitos nos quais (e, portanto, m) aparece explicitamente.

Queda livre de partículas elementares. Até 1975, a única evidência experimental que estabelecesse apresença do termo m grav foi observada na queda livre de partículas elementares; porém, a equação clássicado movimento (ou teorema de Ehrenfest, onde não aparece) é suficiente para explicá-lo.

A força gravitacional é fraca. A força gravitacional é muito fraca para que seja facilmente observada.Comparada com a força elétrica, a força de Coulomb nas mesmas condições é maior por um fator 2 1039.

Interferência quântica induzida por gravidade

Interferômetro de nêutrons. Um feixe de partículas monoenergéticas (na prática, nêutrons termalizados emequilíbrio térmico com o meio) é dividido em duas partes no ponto A da trajatória e recomposto no ponto D (v.figura abaixo: interferômetro de nêutrons). Vale o conceito de trajetória clássica: tamanho do pacote de onda émuito menor do que as dimensões macroscópicas do circuito formado por dois caminhos alternativosA → B → D e A → C → D.

δ

l1

l2

l2 sen δ

A

B

C

D

A

B

C

D

(a) (b)

Experimento 1: Plano horizontal. Considere que os caminhos A → B → D e A → C → D estão num planohorizontal. Uma vez que o zero absoluto do potencial devido à gravidade não é importante, podemos fazerV 0 para qualquer fenômeno que ocorra neste plano [Fig. (a)].

Experimento 2: Plano inclinado. Girando o plano horizontal em torno do segmento BC por um ângulo , opotencial no nível BD é maior do que o do nível AC pela quantidade mgl2 sen. Isto significa que o estado ketassociado com o caminho BD “gira mais rápido”, levando a uma diferença de fase induzida pela gravidade


entre as amplitudes para os dois pacotes de onda que chegam em D. Pacote de onda chegando a D via ABDsofre uma mudança de fase

exp −imngl2T sen

onde T é tempo gasto para o pacote ir de B a D (ou de A a C) e mn é a massa do nêutron.

Controle da fase. Pode-se controlar esta fase, girando o plano de 0 a /2, ou de 0 a −/2. Como /p /mnvpacote, ou vpacote /mn, então T l1/vpacote mnl1/, obtém-se a seguinte expressão para adiferença de fase

ABD − ACD − mn2gl1l2 sen

2 .

Desta maneira, predizemos um efeito de interferência que depende do ângulo , que lembra as franjas deinterferência no interferômetro de Michelson em óptica. Para 1,42 Å e l1l2 10 cm2 então

mn2gl1l22 55,6

Logo,

ABD − ACD −55,6 sen.

Variando gradualmente o ângulo até 90º predizemos que a intensidade na região de interferência apresenta

uma série de máximos e mínimos; quantitativamente seriam 55,62 ≃ 9 oscilações.

δ2π0

Resultado experimental. Resultado experimental obtido por R. Colella, A. Overhauser and S. A. Werner.Phys Rev. Lett. 34, 1472 (1975).


Colella, Overhauser and Werner - Phys. Rev. Lett. 34,

Transformações de Gauge em EletromagnetismoCampos elétrico e magnéticos derivados de potenciais escalar e vetorial, x e Ax:

E −∇, B ∇ A

Hamiltoniana. A Hamiltoniana clássica para uma partícula carregada com carga e (e 0 para o elétron)sujeita a um campo eletromagnético:

H 12m p − eA

c2 e

Hamiltoniano. Em MQ, e A são funções do operador posição x da partícula carregada. Como p e A nãocomutam, deve-se ter cuidado ao interpretar a Hamiltoniana. O procedimento mais seguro é escrever

p − eAc

2→ p2 − e

c p A A p ec

2A2.

Neste forma o Hamiltoniano é hermitiano.

Dinâmica da partícula carregadaRepresentação de Heisenberg. Cálculo da derivada temporal de x

dxidt xi,H

i

Como H 12m p − eA

c2 e, então

xi,H xi, 12m p − eA

c2 e

xi, 12m p − eA

c2

xi,e xi, 12m p − eA

c2

12m xi, p − eA

c p − eAc 1

2m xi, p − eAc p − eA

c

12m xi, p − eA

c p − eAc 1

2m p − eAc xi, p − eA

c

onde usamos A,BC A,BC BA,C. Como xi, A 0 (A é uma função de x), então


xi, p − eAc xi, p xi,∑

j

pjêj

∑j

êjxi,pj ∑j

êjiij iêi

Logo,

xi,H 12m xi, p − eA

c p − eAc 1

2m p − eAc xi, p − eA

c

i2m êi p − eA

c i2m p − eA

c êi

im pi − eAi

c

Portanto,

dxidt xi,H

i im pi − eAi

ci pi − eAi/c

m

que mostra que o operador p definido neste livro como sendo o gerador das translações, não é o mesmo quemdx/dt.

Momento canônico e momento mecânico. O momento p (gerador das rotações) é chamado de momentocanônico para diferenciar do momento mecânico

≡ m dxdt p − eA

c

Relações de comutação. Embora

pi,pj 0

para o momento canônico, para o momento mecânico o comutador não se anula:

i, j pi − ec Ai, pj − e

c Aj

pi,pj − ec pi,Aj − e

c Ai,pj ec

2Ai,Aj

− ec pi,Aj − e

c Ai,pj − ec pi,Aj Ai,pj

Mas, como B ∇ A, Bi ijk∂jAk, onde ∂j ≡ ∂/∂xj. Usando a representação do operador pi −i∂/∂xi,encontramos

pi,Aj Ai,pj → pi,Aj Ai,pj

−i ∂Aj∂xi

iAj∂∂xi− iAi

∂∂xj

i ∂Ai∂xj

−i ∂Aj

∂xi − iAj

∂∂xi

iAj∂∂xi− iAi

∂∂xj

i ∂Ai∂xj

iAi∂∂xj

−i ∂Aj

∂xi− ∂Ai∂xj

Logo,

pi,Aj Ai,pj −i ∂Aj

∂xi− ∂Ai∂xj

−i∇ Ak −iijkBk

Então


i, j − ec pi,Aj Ai,pj

− ec −iijkBk

iec ijkBk.

Reescrevendo a Hamiltoniana. Usando o momento mecânico , podemos reescrever a Hamiltoniana

H 2

2m e

Agora sabemos que

m d2xdt2 d

dt FL

onde FL é força de Lorentz.

Força de Lorentz: versão quântica. Vamos usar a versão quântica da força de Lorentz,

FL e E 1c v B e E 1

cdxdt B , ou seja

FL e E 12c

dxdt B − B dx

dt

Equação de movimento. Portanto, a equação de movimento da partícula carregada na presença de E e Bserá

m d2xdt2 d

dt e E 12c

dxdt B − B dx

dt

que é o teorema de Ehrenfest escrito na representação de Heisenberg.

Equação de Schrödinger com e AVamos estudar a equação de onda de Schrödinger na presença de e A. Como vimos, esta equação é dadapor

⟨x ′ |H |, t0; t i ∂∂t x ′ | , t0; t .

Inicialmente vamos calcular ⟨x ′ | H |, t0; t, onde

H 12m p − eA

c2 e

Lembrando que

⟨x ′ | p | −i∇ ′ x ′|

encontramos para o primeiro termo de H

⟨x ′ | p − eAxc

2

|, t0; t

⟨x ′ | p − eAxc p − eAx

c |, t0; t

−i∇ ′ − eAx ′c ⟨x ′ | p − eAx

c |, t0; t

−i∇ ′ − eAx ′c −i∇ ′ − eAx ′

c x ′| , t0; t

Combinando todos os termos, encontramos


12m −i∇ ′ − eAx ′

c −i∇ ′ − eAx ′c x ′| , t0; t

ex ′ x ′ | , t0; t i ∂∂t x ′ | , t0; t

ou

12m −i∇ ′ − eAx ′

c −i∇ ′ − eAx ′c x ′, t

ex ′x ′, t i ∂∂t x′, t

Equação da continuidade. A partir da equação acima podemos obter a equação da continuidade da seguintemaneira:

Usando a notação ∇′ ∇ ′ − ieAx ′c , encontramos

12m ∗ −i∇ ′ −i∇ ′ e∗ i∗ ∂∂t

12m i∇ ′∗ i∇ ′∗∗ e∗ −i ∂

∗

∂t

Subtraindo as duas equações

12m ∗ −i∇ ′ −i∇ ′ e∗ −

− 12m i∇ ′∗ i∇ ′∗∗ − e∗ i∗ ∂∂t i ∂

∗

∂t

ou

i ∂∗∂t −

2

2m ∗∇ ′ ∇ ′ 2

2m ∇ ′∗ ∇ ′∗∗

ou ainda∂∗∂t i

2m ∗∇ ′ ∇ ′ − ∗∇ ′ ∇ ′∗

Como z − z∗ 2i Imz, encontra-se

∂∗∂t

m Im ∗∇ ′ ∇ ′ 0

Voltando às variáveis antigas obtém-se

∗∇ ′ ∇ ′ ∗ ∇ ′ − ieAc ∇ ′ − ieA

c

∗∇ ′ ∇ ′ − iec

∗∇ ′ A − iec

∗A ∇ ′ − ec

2|A|2∗

∗∇ ′ ∇ ′ − iec

∗∇ ′ A − iec

∗A ∇ ′ − iec

∗A ∇ ′

− ec

2|A|2||2

ou


∗∇ ′ ∇ ′ ∗∇ ′ ∇ ′ − iec ∇

′ A∗ − 2iec A ∗∇ ′ − e

c2|A|2||2

∗∇ ′ ∇ ′ − iec ∇

′ A||2 − 2iec A ∗∇ ′ − e

c2|A|2||2

Devemos observar que:

∗∇ ′ ∇ ′ ∇ ′ ∗∇ ′ − ∇ ′∗ ∇ ′

∇ ′ ∗∇ ′ − ∇ ′∗ ∇ ′

∇ ′ ∗∇ ′ − |∇ ′|2

Por outro lado, o termo ∗∇ ′ pode ser calculado, lembrando que

∇ ′∗ ∗∇ ′ ∇ ′∗

Como ∗ ||2 constante, então ∇ ′∗ 0. Logo

∗∇ ′ ∇ ′∗ 0

e, portanto,

∗∇ ′ −∇ ′∗

Mas,

∇ ′∗ ∗∇ ′∗

Logo,

∗∇ ′ −∇ ′∗ −∗∇ ′∗

Ora, quando z −z∗, isto significa que z é imaginário puro e, portanto, neste caso iz é um número real. Ou seja,∗∇ ′ iV, onde V é um vetor real. Assim:

m Im ∗∇ ′ ∇ ′

m Im ∗∇ ′ ∇ ′ − ie

c ∇′ A||2 − 2ie

c A ∗∇ ′ − ec

2|A|2||2

m Im ∇ ′ ∗∇ ′ − |∇ ′|2 − ie

c ∇′ A||2

− 2ec A V − e

c2|A|2||2

m Im ∇ ′ ∗∇ ′ − ie

c ∇′ A||2

m Im∇ ′ ∗∇ ′ − e

mc ∇′ A||2

∇ ′ m Im∗∇ ′ − e

mc A||2

Finalmente, a expressão∂∗∂t

m Im ∗∇ ′ ∇ ′ 0

pode ser reescrita como ∗

∂∂t ∇ ′ j 0,

onde o fluxo de probabilidade é definido por


j m Im∗∇ ′ − e

mc A ||2

que é exatamente como se esperava da substituição

∇′ → ∇′ ∇′ − iec A.

Função de onda como expiS/. Escrevendo a função de onda desta maneira, encontramos uma

forma alternativa para j, ou seja,

j m Im exp−iS/∇ expiS/ − e

mc A

m Im i

∇S − e

mc A

m ∇S − eA

c (6.33

que é análoga a (2.4.20), isto é,

j ∇Sm

Esta forma é mais conveniente para se discutir supercondutividade, quantização de fluxo etc.

Valor esperado do momento mecânico . A integral espacial de j dá o valor esperado do momento mecânico(não do momento canônico) dividido por m. Ou seja

d3x ′ jx ′ d3x ′ m Im∗∇ ′ − e

mc A ||2

d3x ′ 1m Im i ∗−i∇ ′ − e

mc A ||2

1m d3x ′ ∗−i∇ ′ − e

mc d3x ′ ∗A

⟨pm − e⟨A

mc ⟨p −eA/cm ⟨

m

Transformações de Calibre no EletromagnetismoTransformação: → , A → A. Com estas transformações, onde é uma constante, os campos estáticosdados por

E −∇, B ∇ A,

permanecem inalterados. Esta transformação corresponde a uma mudança no ponto zero da escala deenergia.

Transformação: → , A → A ∇. Esta transformação é mais interessante. é uma função de x. Ambasas transformações são casos especiais de

→ − 1c∂∂t , A → A ∇

que deixam os campos, dependentes do tempo, dados por

E −∇ − 1c∂A∂t , B ∇ A,

inalterados. Trataremos aqui de campos e pontenciais estáticos e as transformações de gauge referem-se a → , A → A ∇.

Partícula carregada num campo magnético na direção z

Resultado clássico


Na física clássica, efeitos observáveis tais como a trajetória de uma partícula carregada é independente dogauge usado, isto é, da particular escolha de que resolvemos adotar.

Demonstração. Seja uma partícula carregada num campo magnético na direção z,

B Bz.

Este campo magnético pode ser obtido do potencial vetorial escrito na forma

Ax −By

2 , Ay Bx2 , Az 0 (6.40

ou também na forma

Ax −By, Ay 0, Az 0. (6.41

Esta forma é obtida daquela, através da transformação

A → A − ∇ Bxy2 .

De fato,

∇ Bxy2 x ∂∂x ŷ ∂∂y z ∂∂z

Bxy2

x By2 ŷ Bx

2

e, portanto,

A x −By2 ŷ Bx

2 − x By2 − ŷ Bx

2 By x.

Agora, podemos mostrar que, independentemente do qual A nós usarmos, a trajetória da partícula carregadacom um dado conjunto de condições iniciais, é a mesma; tem a forma helicoidal - isto é, um movimento circularquando projetado no plano xy, superposto com um movimento retilíneo uniforme.

O momento p não é invariante por calibre. Embora a trajetória seja indepedente do qual A for usado(invariante por calibre), o mesmo não acontece com o momento canônico p. Por exemplo, vamos analisar px epy. No caso de usarmos A na forma da Eq. (2.6.41), isto é,

A −By x

a Hamiltoniana clássica da partícula no campo magnético é dada por

H 12m p − eA

c2 1

2m p eByc x

2

e a equação de movimento de Hamilton para o momento px é dada pordpx

dt − ∂H∂x 0

uma vez que H não depende de x. Assim, neste caso o momento px é uma constante de movimento.

Por outro lado, usando a forma (2.6.40), a Hamiltoniana torna-se

H 12m p eBy

2c x − eBy2c ŷ

2

e, portanto,dpx

dt − ∂H∂x ≠ 0

deixando de ser uma constante de movimento. Ao contrário do momento canônico, o momento mecânico , ou


mdx/dt, que define a trajetória da partícula é uma quantidade invariante por transformação de calibre.

Resultado Quântico

Valores esperados. Podemos requerer que os valores esperados em mecânica quântica se comportem demaneira similar às correspondentes quantidades clássicas sob transformações de calibre. Assim, ⟨x e ⟨ nãomudariam sob essas transformações, enquanto p sim.

Ket na presença de A. Vamos denotar por | o estado ket na presença de A; o estado ket para a mesmasituação física, quando

Ã A ∇

é usado no lugar de A é denotado por |. Aqui tanto , quanto A, é função do operador posição x. Nossasexigências básicas são

| x | | x |

e

| p − eAc | | p − eÃ

c | .

Além disso, vamos exigir, como de costume, que a norma do estado ket seja preservada:

| | .

OperadorG. Vamos definir o operadorG que relaciona | e |. Ou seja:

| G|

A propriedade da invariância é garantida se:

GxG x (6.48

e

G p − eÃc G ≡ G p − eA

c − e∇c G p − eA

c (6.48

O operadorG que fará tal tarefa é definido como

G exp iexc . (6.49

Propriedades deG expie/c. Este operador tem as seguintes propriedades:

(1) É um operador unitário. Isto implica que | | , como se deseja.

(2) Comuta com qualquer função de x. Isto significa que GxG x, uma vez que podemos escreverGxG xGG x. A parte (b) da Eq (6.48) também pode ser demonstrada:

G p − eAc − e∇

c G GpG − eAc − e∇

c

uma vez que os dois últimos termos do segundo membro são função de x. Mas,

GpG exp −iec p exp ie

c exp −iec p, exp ie

c p.

Usando (2.2.23b), ou seja

p,Gx −i ∇G.

encontra-se


GpG exp −iec p, exp ie

c p −i −iec ∇exp ie

c p

−i iec

−iec ∇exp ie

c p

e∇c p

Portanto,

G p − eAc − e∇

c G e∇c p − eA

c − e∇c p − eA

c

como se queria.

★ Leia a demonstração alternativa feita diretamente sobre a equação de onda de Schrödinger.

Resumo. Quando potenciais vetoriais em diferentes gauges são usados para a mesma situação física, oscorrespondentes estados kets (ou funções de onda) deve ser necessariamente diferentes. Porém, apenas umapequena mudança é necessária: multiplicar o ket correspondente ao potencial A por expie/c para obter oket correspondente ao outro potencial A ∇. O momento canônico p depende do gauge no sentido de queseu valor esperado depende do gauge particular escolhido, enquanto que o momento mecânico e o fluxo deprobabilidade são invariantes por essas transformações.

O Efeito Aharonov-BohmEste efeito origina-se da presença de um potencial vetorial necessário para produzir campo magnéticoaplicado.

Versão de estado ligado. Considere uma partícula de carga e completamente confinada numa cascacilíndrica, de paredes rígidas, de raio interno a e raio externo b (figura (a)). Neste caso, a função de ondadeve se anular na parede interna a e na parede externa b, assim como no topo e na base docilindro.

ρaρb

L(a) (b)

1) Sem campo magnético

Solução. A solução deste problema requer as técnicas dos problemas de valores de contorno da físicamatemática. Por exemplo, para estados estacionários, devemos resolver a equação de onda de Schrödingerindependente do tempo (em coordenadas cilíndricas):

∇2 2mE2 0

Em cordenadas cilíndricas ,, z, tem-se


1∂∂

∂∂ 1

2∂2∂2

∂2∂z2 2mE

2 0

Como neste problema se aplica a técnica de separação de variáveis, isto é, a função de onda pode ser escritacomo o produto ,, z RZz, as condições de contorno,

Ra Rb 0, ZL/2 0

podem ser facilmente aplicadas, resultando na obtenção do espectro de autovalores.

2) Com campo magnético confinado na região a

Neste caso, a casca cilíndrica envolve uma região contendo um campo magnético uniforme, como mostrado naparte (b) da figura acima. Nenhum campo magnético penetra na região definida por a b onde apartícula está confinada. Intuitivamente, poderíamos conjecturar que o espectro de energia fosse o mesmo docaso anterior (sem campo), uma vez que a região onde o campo é aplicado torna-se inacessível para apartícula devido à presença de paredes rígidas. A MQ NOS DIZ QUE ESTA CONJECTURA NÃO É CORRETA.

Então, por que essa conjectura não é verdadeira? Embora o campo magnético se anula na região onde apartícula está confinada, o potencial vetorial não é nulo nessa região!

Cálculo de A que produz B Bz. Como B ∇ A, podemos obter A através do fluxo, usando o teorema deStokes. Ou seja,

S

B n da S

∇ A nda C

A dl

Como o campo é uniforme e está confinado apenas no círculo de raio a, o fluxo é dado por

S

B n da Sa

Bz n da a2B.

Por outro lado,

C

A dl 2A

Igualando, obtém-se

2A a2B → A

Ba2

2

Em termos vetoriais,

A Ba

2

2

onde é um vetor unitário na direção azimutal (ver figura abaixo).

campomagnético

ρ

ρa

ρb

A

Solução da equação de Schrödinger. Como vimos da definição de fluxo de probabilidade, Eq. (2.6.32), para


resolver problemas a presença de um potencial vetorial basta substituir

∇ → ∇ − iec A.

Em coordenadas cilíndricas, isto equivale à seguinte substituição:

∇ → ∇ − iec A ∂∂ 1

∂∂ z ∂∂ −

iec A

∂∂ 1∂∂ z ∂∂ −

1

iec

Ba2

2

∂∂ 1

∂∂ −

iec

Ba2

2 z ∂∂

Então, basta substituir

∂∂ → ∂

∂ −iec

Ba2

2

A equação de Schrödinger torna-se, neste caso,

1∂∂

∂∂ 1

2∂∂ −

iec

Ba2

2∂∂ −

iec

Ba2

2

∂2∂z2 k2 0

Ou seja,

1∂∂

∂∂ 1

2∂2∂2

∂2∂z2 2mE

2 − ec

2 Ba2

2

2

0

ou

1∂∂

∂∂ 1

2∂2∂2

∂2∂z2 2mE

2

onde

E E − 2m

ec

2 Ba2

2

2

mostrando explicitamente que o espectro de energia é modificado em relação ao caso com B 0. Esteresultado é muito marcante, uma vez que, embora a força magnética (Lorentz) sobre a partícula seja nula, oespectro de energia depende se o campo magnético está presente ou não na região oca, que é inacessívelpara a partícula.

Versão original. A figura abaixo ilustra o efeito Aharonov-Bohm em sua versão original: um feixe de elétronsse divide em duas partes e atravessa uma região desprovida de campo magnético, reencontrando-se na regiãode interfência.


EletronFluxo Magnético

Como a probabilidade de encontrar a partícula na região de interferência depende do fluxo magnético?

Método das integrais de Feynman

0≠B

cilindroimpenetrável

região defonte

A B

0=B

região deinterferência

C1

C2

Lagrangeana e ação. Na presença de campo magnético, obtém-se daquela em que o campo está ausente,da seguinte maneira:

sem campo com campo

Lagrangena Lclássica0 m

2dxdt

2→ Lclássica

0 ec

dxdt A

Ação S0n,n − 1 → S0n,n − 1 ec tn−1

tn dt dxdt A

A integral

ec tn−1

tn

dt dxdt A e

c tn−1

tn

A ds

onde ds é o elemento diferencial de linha ao longo do segmento do caminho. De acordo com (2.5.47) e(2.5.49):

xN, tN |x1, t1

x1

xN

Dxt n2

N

exp i Sn,n − 1

todos oscaminhos

Dxtexp i SN, 1

Então, a amplitude de probabilidade na presença de campo é obtida daquela em que o campo está ausente,através da substituição


n2

N

exp i S0n,n − 1

→ n2

N

exp i S0n,n − 1

exp iec x1

xN

A ds

Mas,

todos oscaminhos

Dxtexp i SN, 1

C1

Dxtexp i SN, 1

C2

Dxtexp i SN, 1

onde C1 são todos os caminhos que passam acima do cilindro e C2, abaixo. Logo, na presença do campo,teremos que fazer a seguinte substituição

C1

Dxtexp i S0N, 1

C2

Dxtexp i S0N, 1

→ C1

Dxtexp i S0N, 1

exp iec x1

xN

A dsC1

C2

Dxtexp i S0N, 1

exp iec x1

xN

A dsC2

Diferença de fase. A probabilidade de encontrar a partícula na região de interferência depende do quadradodo módulo da amplitude de transição total e, portanto, da diferença de fase entre a contribuição dos caminhosC1 (acima) e C2 (abaixo). Na presença de B, a diferença de fase é

ec x1

xN

A dsC1

− ec x1

xN

A dsC2

ec

cil

A ds

ec B

uma vez que (teorema de Stokes)

C

A ds S∇ A n da

SB n da B

onde B é o fluxo do campo magnético dentro do clilindro impenetrável (ver figura acima).

Isto significa que a probabilidade de encontrar a partícula na região de interferência depende da componentesenoidal nessa probabilidade, com um período dado por uma unidade fundamenta de fluxo magnético, ou seja

2c|e| 4,135 10−7 Gauss-cm2.

Como no caso de estado ligado, aqui também a força magnética sobre a partícula é nula. Mesmo assim, opadrão de interferência depende da presença ou ausência do campo magnético. Em ambos os casos, osefeitos dependem apenas do fluxo de B, B.



Sakurai (Cap. 2) Resumo em Português

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