S9. transformada inversa-de_laplace
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ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES
DIFERENCIALES
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
Transformada inversa
de Laplace
Objetivos
Calcular la transformada inversa de Laplace.
Calcular la Transformada inversa de Laplace
mediante reducción de fracciones parciales.
Identificar la función escalón unitario o de
Heaviside.
Expresar una función 𝒇 en términos de la
función escalón.
Calcular la transformada de Laplace de la
función escalón unitario.
Aplicar los métodos estudiados a diferentes
problemas aplicativos del contexto real.
Definición
Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔 , entonces decimos que 𝒇(𝒕) es la
transformada inversa de Laplace de 𝑭 𝒔 y se denota
así:
ℒ−𝟏 𝑭 𝒔 𝒕 = 𝒇(𝒕)
Linealidad de la transformada inversa
Suponga que ℒ−𝟏 𝑭 𝒔 (𝒕) y ℒ−𝟏 𝑮 𝒔 (𝒕) existen y
son continuas en 𝟎;∞ además 𝒂 y 𝒃 constantes,
entonces:
𝓛−𝟏 𝒂𝑭 𝒔 + 𝒃𝑮 𝒔 (𝒕) = 𝒂𝓛−𝟏 𝑭 𝒔 (𝒕) + 𝒃𝓛−𝟏 𝑮 𝒔 (𝒕)
Breve tabla de la Transformada inversa de Laplace
𝑭 𝒔 ℒ−𝟏 𝑭(𝒔) (𝒕) 𝟏
𝒔 ℒ−𝟏
𝟏
𝒔 𝒕 = 𝟏
𝟏
𝒔 − 𝒂 ℒ−𝟏
𝟏
𝒔 − 𝒂 𝒕 = 𝒆𝒂𝒕
𝒏!
𝒔𝒏+𝟏 ℒ−𝟏
𝒏!
𝒔𝒏+𝟏𝒕 = 𝒕𝒏, 𝒏 = 𝟏; 𝟐;…
𝒂
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐 ℒ−𝟏
𝒂
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐𝒕 = 𝒔𝒆𝒏 𝒂𝒕
𝒔
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐 ℒ−𝟏
𝒔
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐𝒕 = 𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒕)
𝒂
𝒔𝟐 − 𝒂𝟐 ℒ−𝟏
𝒂
𝒔𝟐 − 𝒂𝟐𝒕 = 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒂𝒕)
𝒔
𝒔𝟐 − 𝒂𝟐 ℒ−𝟏
𝒔
𝒔𝟐 − 𝒂𝟐𝒕 = 𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒂𝒕)
Ejemplo 1
1) Encuentre 𝒇 𝒕
a) 𝓛−𝟏 𝟒𝐬+𝟏𝟐
𝐬𝟐+𝟖𝐬+𝟏𝟔
Solución:
𝒂) 𝓛−𝟏 𝟒𝒔+𝟏𝟐
𝒔𝟐+𝟖𝒔+𝟏𝟔= 𝓛−𝟏 𝟒𝒔+𝟏𝟐
𝒔+𝟒 𝟐
= 𝓛−𝟏 𝟒 𝒔−𝟒 −𝟒
𝒔+𝟒 𝟐
= 𝟒𝓛−𝟏𝟏
𝒔 + 𝟒− 𝟒𝓛−𝟏
𝟏
𝒔 + 𝟒 𝟐
= 𝟒𝒆−𝟒𝒕 − 𝟒𝒕𝒆𝟒𝒕
= 𝟒𝒆−𝟒𝒕(𝟏 − 𝒕)
Ejercicios
1) En los siguientes ejercicios encuentre 𝑓 𝑡
a) ℒ−𝟏 𝟏
𝒔+𝟐 𝟑
b) ℒ−𝟏 𝟏
𝒔𝟐−𝟔𝒔+𝟏𝟎
c) ℒ−𝟏 𝟐𝒔+𝟓
𝒔𝟐+𝟔𝒔+𝟑𝟒
Solución:
Ejercicios
2) Use la transformada de Laplace para resolver el
problema con valores iniciales:
a) 𝒚′ + 𝟒𝒚 = 𝒆−𝟒𝒕, 𝒚 𝟎 = 𝟐
b) 𝒚′′ − 𝟔𝒚′ + 𝟗𝒚 = 𝒕, 𝒚 𝟎 = 𝟎, 𝒚′ 𝟎 = 𝟏
Solución
Ejercicios
3) Determine:
a) 𝓛−𝟏 𝒍𝒏(𝒔𝟐 + 𝟏)
b) 𝓛−𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒔)
Solución
Fracciones Parciales
El uso de fracciones parciales es muy importante en
la búsqueda de transformadas inversas de Laplace.
Se analizará los casos donde el denominador de una
transformada de Laplace F(s) son de la forma
i) 𝐅 𝐬 =𝟏
(𝒔−𝟏)(𝒔+𝟐)(𝒔+𝟒)
ii) 𝑭 𝒔 =𝒔+𝟐
𝒔𝟐(𝒔+𝟑)𝟑
iii) 𝑭 𝒔 =𝟑𝒔+𝟏
𝒔𝟑(𝒔𝟐+𝟏)
Ejemplo 1
1) Determine ℒ−1 𝐹(𝑠) , donde
a) 𝐹(𝑠) =7𝑠−1
(𝑠+1)(𝑠+2)(𝑠−3)
b) F s =𝑠2+9𝑠+2
𝑠−1 2(𝑠+3)
Solución 𝒂) 𝓛−𝟏 𝑭 𝒔 = 𝓛−𝟏
𝟕𝒔 − 𝟏
𝒔 + 𝟏 𝒔 + 𝟐 𝒔 − 𝟑
= 𝓛−𝟏𝟐
𝒔 + 𝟏−
𝟑
𝒔 + 𝟐+
𝟏
𝒔 − 𝟑
= 𝓛−𝟏𝟐
𝒔 + 𝟏− 𝓛−𝟏
𝟑
𝒔 + 𝟐+ 𝓛−𝟏
𝟏
𝒔 − 𝟑
= 𝟐𝓛−𝟏
𝟏
𝒔 + 𝟏− 𝟑𝓛−𝟏
𝟏
𝒔 + 𝟐+ 𝓛−𝟏
𝟏
𝒔 − 𝟑
= 𝟐𝒆−𝒕 − 𝟑𝒆−𝟐𝒕 + 𝒆𝟑𝒕
Definición
Se llama función escalón unitario o de Heaviside, a la
función 𝑯(𝒕) ó 𝒖(𝒕) definida por:
y su gráfica es:
𝒖 𝒕 = 𝑯 𝒕 = 𝟎; 𝒔𝒊 𝒕 < 𝟎𝟏; 𝒔𝒊 𝒕 ≥ 𝟎
𝑡
𝑢(𝑡)
Función escalón unitario
La función puede mover su escalón a otra posición,
así 𝑯(𝒕 − 𝒂) denotada por 𝑯𝒂(𝒕), traslada su escalón
a la posición 𝒕 = 𝒂,
Observación:
1. También podemos usar la notación:
𝑯 𝒕 − 𝒂 = 𝒖 𝒕 − 𝒂 . 1. Una función continua por partes puede ser
expresada en términos de la función escalón
unitario.
𝐻𝑎(𝑡) = 𝑯 𝒕 − 𝒂 = 𝟎; 𝒔𝒊 𝒕 < 𝒂𝟏; 𝒔𝒊 𝒕 ≥ 𝒂
Ejemplo 1
La siguiente función:
𝒇 𝒕 = 𝟑 𝒔𝒊 𝒕 < 𝟐
−𝟐 𝒔𝒊 𝟐 ≤ 𝒕 < 𝟓𝟏 𝒔𝒊 𝒕 ≥ 𝟓
Puede expresarse en términos de la función escalón
en la forma siguiente:
𝒇 𝒕 = 𝟑 − 𝟓𝒖 𝒕 − 𝟐 + 𝟑𝒖(𝒕 − 𝟓)
Ejercicio 1
Exprese la siguiente función:
𝒇 𝒕 =
𝟑 𝒔𝒊 𝒕 < 𝟐𝟏 𝒔𝒊 𝟐 ≤ 𝒕 < 𝟓 𝒕 𝒔𝒊 𝟓 < 𝒕 < 𝟖𝒕𝟐
𝟏𝟎 𝒔𝒊 𝟖 < 𝒕
en términos de la función escalón y grafique la función.
Traslación en 𝒕. (Segundo teorema de
traslación)
Si 𝒂 > 𝟎 y 𝓛 𝒇 𝒕 𝒔 = 𝑭 𝒔 , entonces para 𝒕 ≥ 𝟎:
Observación:
𝓛 𝒖 𝒕 − 𝒂 𝒇 𝒕 − 𝒂 𝒔 = 𝒆−𝒂𝒔𝑭(𝑠)
𝓛 𝒖 𝒕 − 𝒂 𝒔 =𝒆−𝒂𝒔
𝑺
𝓛−𝟏𝒆−𝒂𝒔
𝑺(𝒕) = 𝒖(𝒕 − 𝒂)
Ejercicios
1) Halle: 𝓛 𝒖 𝒕 −𝝅
𝟐𝒔𝒆𝒏𝒕
2) Halle: 𝓛−𝟏 𝒆−𝒔
𝒔(𝒔+𝟏)
Solución:
Bibliografía
2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau
Xie
3. Fundamentals of Differential Equations – Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur
1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado- Dennis G. Zill
4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime
Escobar A.