S ries Temporais e Modelos Din micos em Econometria · Marcelo C. Medeiros Departamento de Economia...

IdentificacaoMaxima Verossimilhanca

Series Temporais e Modelos Dinamicos em

Econometria

Marcelo C. Medeiros

Departamento de EconomiaPontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro

Aula 7

Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos


Modelo Estrutural e Forma ReduzidaIdentificacao RecursivaIdentificacao A-BBlanchard e Quah

O Modelo Estrutural

Seja zt = (z1t , . . . , zmt)′ ∈ R

m um vetor composto dasvariaveis de interesse.

Considere o seguinte modelo “estrutural” (SVAR):

Bzt = A0 + A1zt−1 + . . . + Apzt−p + ut ,

Bzt = A0 + A(L)zt + ut ,

onde:

B ∼ (m ×m), A0 ∼ (m × 1),A1 ∼ (m ×m), . . . ,Ap ∼ (m ×m) sao parametros;ut = (u1,t , . . . , um,t)

′ e um vetor composto pelos choquesestruturais eA(L) = A1L+ A2L

2 + · · ·+ ApLp .

Os elementos da diagonal principal de B sao todos iguais a 1.




O Modelo Estrutural

Sabemos que os parametros

B,A0,A1, . . . ,Ap

nao podem ser estimados por MQO (equacao por equacao) ouMV.

Vies de Simultaneidade!

Por outro lado, os parametros da forma reduzida (VAR)

zt = B−1A0 + B−1A1zt−1 + . . .+ B−1Apzt−p + B−1ut ,

zt = C0 + C1zt−1 + . . . + Cpzt−p + vt ,

zt = C0 + C(L)zt + vt ,

podem ser estimados por MQO (equacao por equacao) ouMV (condicional as condicoes iniciais).




Exemplo: Oferta e Demanda

Vamos considerar o seguinte sistema de equacoes:

pt = βqt + ut (oferta)

qt = αpt + vt (demanda),

onde pt e qt sao, respectivamente, preco e quantidade de umdeterminado produto, α 6= 1

β , α 6= 0, β 6= 0 e

(utvt

)∼ NID

[(00

),

(σ2u 00 σ2

v

)].





Podemos escrever o sistema anterior da seguinte forma:

pt =1

1− αβ(ut + βvt)

qt =1

1− αβ(αut + vt).

Pelas equacoes acima, fica claro que

E(qtut) 6= 0e

E(ptvt) 6= 0.





Qual e o limite em probabilidade do estimador

β =

∑Tt=1 ptqt∑Tt=1 q

2t

?

Pelas equacoes anteriores, podemos mostrar que

E(ptqt) =1

(1− αβ)2(ασ2

u + βσ2v

).

Portanto, pela Lei dos Grandes Numeros (LGN),

plimT−→∞

1

T

T∑

t=1

ptqt =1

(1− αβ)2(ασ2

u + βσ2v

).





Da mesma forma,

E(q2t)=

1

(1− αβ)2(α2σ2

u + σ2v

)

e, tambem pela LGN,

plimT−→∞

1

T

T∑

t=1

q2t =1

(1− αβ)2(α2σ2

u + σ2v

).

Portanto,

βp

−→ασ2

u + βσ2v

α2σ2u + σ2

v

.

O estimador de MQO nao e consistente para β!





Sabemos tambem que

(ptqt

)∼ NID

(00

),

σ2u+β2σ2

v

(1−αβ)2ασ2

u+βσ2v

(1−αβ)2

ασ2u+βσ2

v

(1−αβ)2α2σ2

u+σ2v

(1−αβ)2

Sendo ρ a correlacao entre pt e qt , podemos mostrar que

E(pt |qt) = E(pt) + ρσp [qt − E(qt)]

σq

=E(ptqt)

σqσp

σpσq

qt =E(ptqt)

σ2q

qt

=ασ2

u + βσ2v

α2σ2u + σ2

v

qt .





Tambem podemos mostrar que qt nao e uma variavelfracamente exogena para β!

Da mesma forma, pt nao e fracamente exogena para α.




Forma Estrutural versus Forma Reduzida

Sera possıvel recuperar (identificar) os parametros estruturaisa partir dos parametros da forma reduzida?

Sabemos que

C0 =B−1A0,

C1 =B−1A1,

...

Cp =B−1Ap, e

Σv =B−1Σu

(B−1

)′.




Forma Estrutural versus Forma Reduzida

Precisamos encontrar B!

Numero de parametros na forma reduzida:

m(1 + pm) +m(m + 1)

2.

Numero de parametros na forma estrutural:

m(m − 1) +m(1 + pm) +m.

A forma estrutural tem

m(m − 1)

2

parametros a mais.




Restricoes

Precisamos impor m(m−1)2 restricoes.

Algumas alternativas:1 B e uma matriz triangular inferior (superior): Decomposicao

de Cholesky ou identificacao recursiva.2 Restricoes de longo-prazo: alguns choques nao tem impacto no

longo-prazo em algumas variaveis (Blanchard e Quah).3 Variaveis instrumentais.4 Outras possibilidades: restricoes de sinal, teoria (DSGE), etc...




Identificacao Recursiva

Decomposicao de Cholesky

Para toda matriz simetrica e positiva definida Ω, ha umaunica matriz triangular P, tal que

Ω = PP′.

Os elementos da diagonal principal de P sao todos positivos.





Pela Decomposicao de Cholesky,

Σu = PP′.

Entretanto, podemos escrever P = AD1/2, onde

A e uma matriz triangular com os elementos da diagonalprincipal iguais a 1 eD e uma matriz diagonal com elementos positivos.

Portanto,Σu = ADA′.





Vamos lembrar que

Σv = B−1Σu

(B−1

)′.

Podemos escrever entao,

A ≡ B−1 e

Σu ≡ D.

B tambem sera uma matriz triangular.

A inversa de uma matriz triangular tambem e triangular!

O sistema esta unicamente identificado.

Foram impostas m(m−1)2 restricoes.




Identificacao Recursiva e uma Boa Escolha?

Resposta: Carlstrom, Fuerst e Paustian (Journal of Monetary

Economics, 2009).

Considere o seguinte modelo estrutural:

Rt − Et(πt+1) = σ [Et(yt+1)− yt ] + P(ρa − 1)at

πt(1 + β) = βEt(πt+1) + πt−1 + κyt + επt

Rt = (1− ρi )(τπt + τyyt) + ρiRt−1 + εRt ,

onde:

at : choque de produtividade (autocorrelacionado);yt : hiato do produto; πt : inflacao;Rt : taxa de juros nominal eεπt e εRt : choques estruturais.





Os choques exogenos possuem a seguinte estrutural:

επtatεRt

= F

επt−1

at−1

εRt−1

+

uπtuatuRt

, F =

ρπ 0 00 ρa 00 0 ρR

.

Caso τ > 1, e possıvel mostrar que

πtytRt

= Γ

πt−1

yt−1

Rt−1

+ B

επtatεRt

, Γ =

a1 0 e1a2 0 e2a3 0 e3

,

B =

b1 c1 d1b2 c2 d2b3 c3 d3

.





O sistema de equacoes anterior pode ser escrito como umVAR de segunda ordem:

πtytRt

= A1

πt−1

yt−1

Rt−1

+ A2

πt−2

yt−2

Rt−2

+B

uπtuatuRt

,

onde:A1 = Γ+ BFB−1 eA2 = −BFB−1Γ.

Decomposicao de Cholesky:πtytRt

= A1

πt−1

yt−1

Rt−1

+A2

πt−2

yt−2

Rt−2

+

b1e 0 0b2e c2e 0b3e c3e d3e

︸︷︷︸B

ϕπt

ϕat

ϕRt

.





Resultado

Suponha que os choques estruturais tenham variancia unitaria.

A decomposicao de Cholesky identifica os choques monetarioscomo uma combinacao linear dos tres choques estruturais:

ϕRt = α1u

πt + α2u

at + α3u

Rt ,

onde:

α1 =c1d1−c1d2

Φ ;

α2 =d2b1−d1b2

Φ ;

α3 =b2c1−b1c2

Φ eΦ = (c2d1 − c1d2)

2 + (d2b1 − d1b2)2 + (b2c1 − b1c

22 ).





Resultado II

Suponha que1 ρa = ρi e ρR = 0 ou2 ρa = ρR e ρi = 0.

Logo:1 a inflacao e o hiato nao respondem as taxas de juros defasadas;2 a inflacao e o hiato nao respondem contemporaneamente ao

choque monetario identificado;3 sob a decomposicao de Cholesky, as FRIs da inflacao e do

hiato para um choque monetario sao zero para todos osinstantes de tempo!





Exemplo numerico: β = 0.99, κ = 0.1275, σ = ν = 1,τ = 1.5 e τy = 0.5.

Fig. 1. Impulse response function (IRF) to a monetary shock for the baseline calibration and ra=0.7, ri=0.8, rR=0, rp=0. The dashed line is the IRF identified

using the Choleski methodology; the solid dotted line is the true IRF; and the solid line is the true IRF in a model with delays.

Fig. 2. Impulse response function (IRF) to a monetary shock for the baseline calibration and ra=0.9, ri=0.8, rR=0, rp=0. The dashed line is the IRF identified

using the Choleski methodology; the solid dotted line is the true IRF; and the solid line is the true IRF in a model with delays.





Fig. 3. Impulse response function (IRF) to a monetary shock for the baseline calibration and ra=0.7, ri=0.8, rR=0.4, rp=0. The dashed line is the IRF

identified using the Choleski methodology; the solid dotted line is the true IRF; and the solid line is the true IRF in a model with delays.

Fig. 4. Impulse response function (IRF) to a monetary shock for the baseline calibration and ra=0.9, ri=0.8, rR=0.4, rp=0. The dashed line is the IRF


Fig. 5. Impulse response function (IRF) to a monetary shock for the baseline calibration and ra=0.7, ri=0.8, rR=0, rp=0.95. The dashed line is the IRF





O Modelo-AB

Vamos escrever o modelo estrutural da seguinte forma:

Bzt = A0 + A1zt−1 + . . . +Apzt−p + ut ,

Bzt = A0 + A1zt−1 + . . . +Apzt−p + Aet ,

onde E(ete′

t) = Σe = Im.

Agora A pode nao ser mais diagonal.

No entanto, precisamos restricoes em A e/ou B de forma aidentificar os parametros do modelo estrutural.




O Modelo-A

Vamos escrever os erros da forma reduzida em funcao doserros do modelo estrutural:

vt = Aet , B = Im.

⇒ Os erros de previsao sao combinacoes lineares dos errosestruturais.

Portanto,Σv = AΣeA

′ = AA′.

Devemos lembrar queo numero de equacoes e m(m + 1)/2 eo numero de parametros e m2.

A “solucao” usual e escolher A pela decomposicao deCholesky.




O Modelo-A

As restricoes podem ser escritas da seguinte forma:

RAvec(A) = 0,

onde RA ∼ (N ×m2) e uma matriz de selecao e N e onumero de restricoes.

No nosso caso N = m(m − 1)/2.




O Modelo-A

Teorema: Identificacao Local do Modelo-A

Seja A uma matriz (m ×m) nao-singular. Entao, para uma determinadamatriz (m ×m) Σv , simetrica e positiva definida, e uma outra matriz(N ×m2) RA, o sistema

Σv = AΣuA′

RAvec(A) = 0,

possui uma solucao unica local se, e somente se,

posto

[

2D+m (A⊗ Im)

RA

]

= m2.

D+m = (D′

mDm)−1

D′m e Dm e uma matriz de duplicacao (Duplication

Matrix).




O Modelo-A

Matriz de Duplicacao

Uma matriz de duplicacao Dm e a unica matriz(m2 × m(m+1)

2

)que, para

qualquer matriz (m ×m) A simetrica, transforma vech(A) em vec(A).

Exemplo:

Seja

A =

(a b

b d

).

Logo,

1 0 00 1 00 1 00 0 1

a

b

d

=

a

b

b

d

.




O Modelo-A

Uma condicao necessaria para que a condicao de posto sejavalida e que N = m(m − 1)/2.

Por que a solucao e local?

Porque para toda solucao A, −A tambem sera solucao!No caso da Decomposicao de Cholesky este problema estaresolvido pois os elementos da diagonal principal sao positivos.




O Modelo-A

A prova do teorema anterior pode ser feita a partir dosresultados de Rothenberg (1971, Teorema 6 - Econometrica,39, 577–591).

Basicamente, para uma funcao m-dimensional ϕ(x), o sistemaϕ(x) = 0 tera solucao local unica se, e somente se,

posto

[∂ϕ(x)

∂x′

∣∣∣∣∣x=x0

]= m.




O Modelo-B

Vamos escrever os erros da forma estrutural em funcao doserros da forma reduzida:

ut = Bvt .

Portanto,Σu = BΣvB

′.

Vamos supor que Σu seja diagonal e os elementos da diagonalde B sejam todos iguais a 1.


RBvec(B) = rB ,

onde RB ∼ (N ×m2) e N e o numero de restricoes.

No nosso caso N = m(m − 1)/2.




O Modelo-B

Identificacao Global do Modelo-B

Seja Σu uma matriz (m × m) positiva definida e diagonal. Seja B uma matriz (m × m) nao-singular.Entao, para uma determinada matriz (m × m) Σv , simetrica e positiva definida, uma outra matriz

(N × m2) RB , e um vetor (N × 1) rB , o sistema

B−1

Σu(B′)−1

= Σv

RB vec(B) = rB ,

possui uma solucao unica global se, e somente se,

posto

−2D+m

(

Σu ⊗ B−1)

D+m

(

B−1⊗ B−1

)

Dm

RB 0

0 Dσ

= m

2+

1

2m(m + 1).

D+m =

(

D′

mDm

)

−1D′

m , Dm e uma matriz de duplicacao(

m2× 1

2m(m + 1)

)

e Dσ e uma matriz(

12m(m − 1) × 1

2m(m + 1)

)

que seleciona os elementos de vech(Σu ) abaixo da diagonal principal.




O Modelo-AB

Para duas matrizes A e B, vamos definir o seguinte sistema:

Aet = Bvt , et ∼ (0, Im) .

Dois conjuntos de restricoes:

RAvec(A) = rA e RBvec(B) = rB .




O Modelo-AB

Identificacao Local do Modelo-AB

Sejam A e B duas matrizes (m ×m) nao-singulares. Entao, para umadeterminada matriz (m ×m) Σv , simetrica e positiva definida, o sistema

vech(Σv ) = vech[

B−1

AA′(

B′)−1

]

RAvec(A) = rA eRBvec(B) = rB

possui uma solucao unica local se, e somente se,

posto

−2D+m

(

Σu ⊗ B−1)

2D+m

(

B−1A⊗ B−1)

RB 0

0 RA

= 2m2.

D+m = (D′

mDm)−1

D′m e Dm e uma matriz de duplicacao.




Restricoes de Longo Prazo

Forma reduzida:

zt = C0 + C1zt−1 + . . .+ Cpzt−p + vt .

Impacto de longo-prazo:

Λ = (Im − C1 − C2 − · · · − Cp)−1

B−1A.

Ideia: restricoes em Λ.

Alguns choques nao possuem impacto no longo-prazo.




Restricoes de Longo Prazo

Neste arcabouco e comum restringirmos B tal que B = Im ⇒Modelo-B.

Exemplo: m = 2


(0, 0, 1, 0)vec[(I2 − C1 − C2 − · · · − Cp)

−1A]=

(0, 0, 1, 0)[I2 ⊗ (I2 − C1 − C2 − · · · − Cp)

−1]vec(A) = 0.



Estimacao do Modelo Estrutural

Vamos escrever o modelo estrutural tal que:

Bzt = BCZt−1 + Aet ,

onde Zt−1 = (z′t−1, . . . , z′

t−p) e C = (C1, . . . ,Cp).




Funcao de (quase)-verossimilhanca:

logL(B,A,C) = −mT

2log(2π) −

T

2log

∣∣∣B−1AA′(B′)−1

∣∣∣

−1

2tr(Z− CX)′

[B−1AA′

(B′)−1

](Z− CX)

= constant +T

2log|B|2 −

T

2log|A|2

−1

2tr[B′

(A′)−1

A−1B (Z− CX) (Z− CX)′],

onde Z = (z1, . . . , zT ), X = (Z0, . . . ,ZT−1).

Na derivacao acima utilizamos∣∣∣B−1AA′(B′)−1

∣∣∣ =∣∣B−1

∣∣2 |A|2 = |B|−2 |A|2 e

tr(VW) = tr(WV).




Estimacao em dois estagios:

1 estimar C e Σv por C = ZX′(XX′

)−1

e

Σv = T−1(Z− CX

)(Z− CX

)′

;

2 estimar A e B por (quase)-maxima-verossimilhancaconcentrada, isto e,

(A, B

)= argmax

A,B

logLc(A,B)

s.a. restricoes de identificacao,

onde

logLc(A,B) = constante +T

2log|B|2 −

T

2log|A|2

−T

2tr[B

′(A

′)−1

A−1

BΣv

].



Estimacao Blanchard e Quah

Caso Λ seja triangular, a estimacao do modelo fica facil.

Podemos escrever

ΛΛ′ = (Im − C1 − C2 − · · · − Cp)−1

Σv

(Im − C′

1 − C′

2 − · · · − C′

p

)−1

e a matriz A pode ser estimada por

A =(Im − C1 − C2 − · · · − Cp

)P,

onde P e a matriz obtida a partir da Decomposicao de Cholesky de

(Im − C1 − C2 − · · · − Cp

)−1

Σv

(Im − C

′

1 − C′

2 − · · · − C′

p

)−1

.

So funciona se o VAR for estacionario!


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