S ries Temporais e Modelos Din micos em Econometria

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Identifica¸c˜ ao – Parte II Exemplo etodo Generalizado dos Momentos eries Temporais e Modelos Dinˆ amicos em Econometria Marcelo C. Medeiros Departamento de Economia Pontif´ ıcia Universidade Cat´olica do Rio de Janeiro Aula 8 Marcelo C. Medeiros eries Temporais e Modelos Dinˆ amicos

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Identificacao – Parte IIExemplo

Metodo Generalizado dos Momentos

Series Temporais e Modelos Dinamicos em

Econometria

Marcelo C. Medeiros

Departamento de EconomiaPontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro

Aula 8

Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos

Identificacao – Parte IIExemplo

Metodo Generalizado dos Momentos

Variaveis Nao-ModeladasCondicao de Ordem e Condicao de PostoEstimacao

O Modelo Estrutural

Seja zt = (z1t , . . . , zmt)′ ∈ R

m um vetor composto das variaveis deinteresse e xt ∈ R

k um conjunto de variaveis “exogenas”(determinadas fora do sistema).

Considere o seguinte modelo “estrutural”:

Bzt =A0 + A1zt−1 + . . .+ Apzt−p︸ ︷︷ ︸termos pre-determinados

+

Γ0xt + Γ1xt−1 + · · ·+ Γ0xt−q︸ ︷︷ ︸termos “exogenos”

+ ut ,

onde:

ut = (u1,t , . . . , um,t)′ e um vetor composto pelos

choques estruturais, E(utu′

t) = Σu e diagonal eos elementos da diagonal principal de B sao todos iguais a 1.

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Metodo Generalizado dos Momentos

Variaveis Nao-ModeladasCondicao de Ordem e Condicao de PostoEstimacao

O Modelo Estrutural

Vamos reescrever o modelo da seguinte forma:

Bzt = A0 +Πwt + ut ,

onde wt = (z′t−1, . . . , z′

t−p , x′

t , . . . , x′

t−q)′ ∈ R

mp+k(q+1).

Nosso objetivo agora e impor restricoes em Π!

Em geral, as restricoes serao de exclusao.

Importante: temos m variaveis endogenas eg = mp + k(q + 1) variaveis exogenas ou pre-determinadas.

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Variaveis Nao-ModeladasCondicao de Ordem e Condicao de PostoEstimacao

Condicao de Ordem e Condicao de Posto

Condicao de Ordem

Em um sistema linear com m equacoes simultaneas e comrestricoes de exclusao, uma condicao necessaria para identificacaoda i -esima equacao, i = 1, . . . ,m, e que o numero devariaveis exogenas (ou pre-determinadas) excluıdas da equacao emquestao seja maior ou igual ao numero de variaveis endogenasincluıdas no lado direito da equacao.

A condicao de ordem e necessaria mas nao suficiente!

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Variaveis Nao-ModeladasCondicao de Ordem e Condicao de PostoEstimacao

Condicao de Ordem e Condicao de Posto

Vamos definir

Ξ = (B,Π)

=

ξ′1...ξ′m

.

Vamos definir tambem Riξi = 0 com sendo o conjunto derestricoes nos parametros da i -esima equacao, i = 1, . . . ,m.

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Variaveis Nao-ModeladasCondicao de Ordem e Condicao de PostoEstimacao

Condicao de Ordem e Condicao de Posto

Condicao de Posto

Seja ξi ∈ Rm+g o vetor de parametros de interesse na i -esima

equacao, i = 1, . . . ,m, tal que ξii = 1 (restricao de normalizacao).Considere tambem o conjunto de restricoes dado por Riξi = 0.Portanto, a equacao em questao sera identificada se, e somente se,

posto(RiΞ) = m − 1.

A condicao de posto e suficiente para identificacao!

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Variaveis Nao-ModeladasCondicao de Ordem e Condicao de PostoEstimacao

Estimacao

Como podemos estimar os parametros de interesse caso osistema esteja identificado?

Variaveis instrumentais.Metodo generalizado dos momentos.Maxima Verosimilhanca com as restricoes de identificacaoimpostas (veja aula passada).

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Blanchard e Perotti - QJE (2002)

An Empirical Characterization Of The Dynamic Effects Of

Changes In Government Spending And Taxes On Output.

VAR com tres variaveis timestrais - impostos (Tt), gastos dogoverno (Gt) e PIB (Xt):

zt = C(L)zt−1 + vt ,

onde zt = (Tt ,Gt ,Xt)′ e vt = (tt , gt , xt).

Forma reduzida x forma estrutural:

tt = a1xt + a2egt + ett ,

gt = b1xt + b2ett + e

gt ,

xt = c1tt + c2gt + ext ,

onde ett , egt e ext sao choques estruturais.

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Blanchard e Perotti - QJE (2002)

Identificacao de a1 e b1:

tt = a1xt + a2egt + ett ,

gt = b1xt + b2ett + e

gt ,

xt = c1tt + c2gt + ext ,

Blanchard e Perotti:

Dois canais: efeitos automaticos da atividade economica nosimpostos e gastos do governo e ajustes discricionarios emresposta aos eventos nao esperados dentro de um trimestre.O segundo canal e inexistente com dados trimestrais.Elasticidades em relacao ao PIB somente para compras dogoverno e impostos menos transferencias.b1 = 0 ⇒ nenhum efeito direto da atividade economica nascompras de produtos e servicos.

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Blanchard e Perotti - QJE (2002)

Identificacao de a1 e b1:

tt = a1xt + a2egt + ett ,

gt = b1xt + b2ett + e

gt ,

xt = c1tt + c2gt + ext ,

Blanchard e Perotti (continuacao):

a1: Giorno e co-autores (1995) OECD. O parametro a1 ecalculado a partir das elasticidades em relacao a base doimposto.Outras alternativas para identificacao de a1:

Medeiros (2012): elasticidade do ICMS em relacao ao PIB -expostacoes com instrumento.Bruckner (2012, JDE): paıses subsaarianos - clima comoinstrumento.

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Metodo Generalizado dos Momentos

Blanchard e Perotti - QJE (2002)

Identificacao de c1 e c2:

tt = a1xt + a2egt + ett ,

gt = b1xt + b2ett + e

gt ,

xt = c1tt + c2gt + ext ,

Blanchard e Perotti:

t ′t = tt − a1xt e g ′

t = gt − b1xt ≡ gt como instrumentos para tte gt na regressao

xt = c1tt + c2gt + ext .

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Metodo Generalizado dos Momentos

Blanchard e Perotti - QJE (2002)

Identificacao de a2 e b2:

tt = a1xt + a2egt + ett ,

gt = b1xt + b2ett + e

gt ,

xt = c1tt + c2gt + ext ,

Blanchard e Perotti:

Este e o caso mais difıcil e nao ha uma solucao clara:Blanchard e Perotti trabalham com dois cenarios: (1) a2 = 0 eb2 6= 0 e (2) a2 6= 0 e b2 = 0.Empiricamente nao ha grandes diferencas nos dois casos.

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MotivacaoDefinicaoPropriedades AssintoticasEstimacao de S0Aplicacoes

Hansen e Singleton - Econometrica (1982)

Consumption Bases Asset Pricing Model: um agenterepresentativo toma decisoes de consumo e investimento emum ativo com base no fluxo descontado da sua utilidade futura

E

[∞∑

i=0

δiU(ct+i )|Ft

]

s.a.

ct + ptqt = rtqt−1 + wt ,

onde:ct e o consumo;U(·) e uma funcao utilidade estritamente concava ;rt+1 e o retorno do ativo no perıodo t + 1;pt e o preco do ativo em t eqt quantidade do ativo em t.

wt renda real do trabalho em t.

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Metodo Generalizado dos Momentos

MotivacaoDefinicaoPropriedades AssintoticasEstimacao de S0Aplicacoes

Hansen e Singleton - Econometrica (1982)

A trajetoria otima para consumo e investimento devesatisfazer

ptU′(ct) = δE

[rtU

′(ct+1)|Ft

]

para todo instante de tempo.

Portanto,

E

[δrt+1

pt

U ′(ct+1)

U ′(ct)

∣∣∣∣∣Ft

]− 1 = 0.

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MotivacaoDefinicaoPropriedades AssintoticasEstimacao de S0Aplicacoes

Hansen e Singleton - Econometrica (1982)

Caso

U(ct) =cγt

γ,

temos que

E

[δrt+1

pt

(ct+1

ct

)γ−1∣∣∣∣∣Ft

]− 1 = 0.

Precisamos estimar dois parametros: (γ, δ).

Seja zt um conjunto de variaveis observadas em t. Portanto:

E [et(γ, δ)zt ] = 0,

onde

et(γ, δ) = δrt+1

pt

(ct+1

ct

)γ−1

− 1.

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Metodo Generalizado dos Momentos

MotivacaoDefinicaoPropriedades AssintoticasEstimacao de S0Aplicacoes

O Problema

Variaveis do problema: zt ∈ Rm.

Parametros de interesse: ψ ∈ Rk .

Vamos supor que para alguma funcao g(zt ;ψ) ∈ R`, o vetor

de parametros ψ0 ∈ Ψ ⊂ Rk satisfaz a seguinte condicao de

momento:E[g(zt ;ψ0)] = 0 ∈ R

`.

Nosso objetivo e recuperar (estimar) ψ0 (“parametrosverdadeiros”) a partir da condicao de momento acima.

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MotivacaoDefinicaoPropriedades AssintoticasEstimacao de S0Aplicacoes

O Estimador

O estimador pelo metodo generalizado dos momentos (MGM)e dado por

ψ = argminψΨ

[1

T

T∑

t=1

g(zt ;ψ)

]′

S

[1

T

T∑

t=1

g(zt ;ψ)

].

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MotivacaoDefinicaoPropriedades AssintoticasEstimacao de S0Aplicacoes

Propriedades Assintoticas

A consistencia do estimador pelo MGM segue a partir dosresultados para consistencia dos estimadores-M.

Sob algumas condicoes de regularidade, 1T

∑T

t=1 g(zt ;ψ)obedece a lei dos grandes numeros.

Caso Sp−→ S0, onde S0 e uma matriz (`× `) positiva definida,

entao

QT (ψ) ≡[1

T

T∑

t=1

g(zt ;ψ)

]′

S

[1

T

T∑

t=1

g(zt ;ψ)

]

p−→ {E[g(zt ;ψ0)]}′ S0 {E[g(zt ;ψ0)]} .

Dado que S0 e positiva definida, ψ0 e o unico mınimo para{E[g(zt ;ψ0)]}′ S0 {E[g(zt ;ψ0)]}.

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MotivacaoDefinicaoPropriedades AssintoticasEstimacao de S0Aplicacoes

Propriedades Assintoticas

Consistencia

Suponha que:

1 Ψ e compacto;

2 para todo ψ ∈ Ψ, g(·;ψ) e Borel-mensuravel em Z;

3 para todo zt ∈ Z ⊂ Rm, g(zt ; ·) e uma funcao contınua em Ψ;

4 |gj(zt ;ψ)| ≤ b(zt), j = 1, . . . , `, para todo ψ ∈ Ψ e para todo t,onde b(·) e uma funcao nao-negativa em Z tal que E[b(zt)] < ∞para todo t;

5 Sp−→ S0, onde S0 e uma matriz (` × `) positiva definida e

6 ψ0 e o unico mınimo para {E[g(zt ;ψ0)]}′ S0 {E[g(zt ;ψ0)]}.

Sob as condicoes ψp−→ ψ0

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MotivacaoDefinicaoPropriedades AssintoticasEstimacao de S0Aplicacoes

Propriedades Assintoticas

Vamos agora encontrar a distribuicao assintotica para oestimador pelo MGM.

Condicoes de primeira ordem:

1

T

T∑

t=1

∂g(zt ;ψ)

∂ψ

∣∣∣∣∣ψ=ψ

S

[1

T

T∑

t=1

g(zt ; ψ)

]= 0.

Nao ha condicoes redundantes:

G0 ≡ E

∂g(zt ;ψ)

∂ψ

∣∣∣∣∣ψ=ψ0

tem posto cheio.

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MotivacaoDefinicaoPropriedades AssintoticasEstimacao de S0Aplicacoes

Propriedades Assintoticas

E facil mostrar que:

1

T

T∑

t=1

∂g(zt ;ψ)

∂ψ

∣∣∣∣∣ψ=ψ0

p−→ G0

1√T

T∑

t=1

g(zt ;ψ0) = Op(1).

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Propriedades Assintoticas

Normalidade Assintotica

Alem das condicoes para consistencia, suponha tambem que:

1 ψ0 esta no interior de Ψ;

2 g(zt ; ·) e continuamente diferenciavel no interior de Ψ para todo zt ∈ Z epara todo t;

3 Cada elemento de g(zt ;ψ0) possui segundo momento finito;

4 Cada elemento de ∂g(zt ;ψ)∂ψ

e limitado em valor absoluto por b(zt), ondeE[b(zt)] < ∞ para todo t e

5 G0 possui posto igual a k (numero de parametros).

Sob as condicoes acima

√T

(ψ −ψ0

)d−→ N

(0,A

−10 B0A

−10

),

onde: A0 = G′

0S0G0 e B0 = G′

0S0E [g(zt ;ψ0)g(zt ;ψ0)′]G0S0.

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Estimacao de S0

Suponha que {g(zt ;ψ0)}Tt=1 seja um processo estacionariocom media zero e autocovariancias (absolutamente somaveis)dadas por

Γj = E[g(zt ;ψ0)g(zt−j ;ψ0)

′].

Portanto, S0 = Γ−1 ≡(∑

j=−∞Γj

)−1

.

Estimador de Newey-West:

Γ = Γ0 +

q∑

j=1

{1− j

(q + 1)

}(Γj + Γ

j

),

onde

Γj =1

T

T∑

t=j+1

g(zt ; ψ)g(zt−j ; ψ)′.

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Estimacao de S0

Devemos notar que para estimarmos S0, precisamos de umestimador inicial para ψ0!

Solucao: estimacao em dois estagios!1 Encontramos um estimador ψ a partir de qualquer matriz S

positiva definida (identidade, por exemplo).2 Estimamos ψ por

ψ = argminψΨ

[1

T

T∑

t=1

g(zt ;ψ)

]′

S(ψ)

[1

T

T∑

t=1

g(zt ;ψ)

].

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Condicoes de Ortogonalidade

Em muitas situacoes a condicao de momento relevante e dadapor

E[X′

tf(yt ;ψ0)]= 0,

onde f(yt ;ψ0) e um vetor (m × 1) e Xt e uma matriz deinstrumentos (m × `).

ψ0 ∈ Ψ ⊂ Rk .

Neste caso a condicao de posto importante e:

E

X′

t

∂f(yt ;ψ)

∂ψ

∣∣∣∣∣ψ=ψ

= k .

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Painel Dinamico

Vamos considerar o seguinte modelo:

yit = ci + ρyit−1 + β′xit + uit = ci + γ

′zit + uit ,

onde ci sao efeitos nao observados e zt = (yit−1, x′

t)′.

O modelo acima viola claramente a hıpotese de exogeneidadeestrita.

No entanto, podemos considerar a seguinte hipotese:

Exogeneidade Sequencial

E (uit |xit , . . . , xi1, yit−1, . . . , yi0) = E (uit |zit , . . . , zi1) = 0.

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Painel Dinamico

O modelo anterior pode ser estimado por MGM.

Equacao em primeira diferenca:

∆yit = γ′∆zit +∆uit .

Instrumentos: ∆zit−1, . . . ,∆zi1.

Instrumentos diferenciados para cada perıodo.

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