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ÁRVORE B+ Vanessa BraganholoEstruturas de Dados e Seus Algoritmos
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ÁRVORES B+
É semelhante à árvore B, exceto por duas características muito importantes: Armazena dados somente nas folhas – os nós internos servem apenas de ponteiros As folhas são encadeadas
Isso permite o armazenamento dos dados em um arquivo, e do índice em outro arquivo separado
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ÁRVORE B+ NA PRÁTICA
Árvores B+ são muito importantes por sua eficiência, e muito utilizadas na prática: Os sistemas de arquivo NTFS, ReiserFS, NSS, XFS, e JFS utilizam este tipo de árvore para indexação
Sistemas de Gerência de Banco de Dados como IBM DB2, Informix, Microsoft SQL Server, Oracle 8, Sybase ASE, PostgreSQL, Firebird, MySQL e SQLite permitem o uso deste tipo de árvore para indexar tabelas
Outros sistemas de gerência de dados como o CouchDB, Tokyo Cabinet e Tokyo Tyrantpermitem o uso deste tipo de árvore para acesso a dados
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EXEMPLO DE ÁRVORE B+ DE ORDEM D = 2
4
51
09 30 60 80
01 02 04 09 15 20 30 40 46 47 51 52 56 60 65 70 80 83
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EXEMPLO DE ÁRVORE B+ DE ORDEM D = 2
5
Dados (lista encadeada)
51
09 30 60 80
01 02 04 09 15 20 30 40 46 47 51 52 56 60 65 70 80 83
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EXEMPLO DE ÁRVORE B+ DE ORDEM D = 2
6
51
09 30 60 80
Índice
Dados (lista encadeada)
01 02 04 09 15 20 30 40 46 47 51 52 56 60 65 70 80 83
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EXEMPLO DE ÁRVORE B+ DE ORDEM D = 2
7
51
09 30 60 80
Índice
Dados (lista encadeada)
01 02 04 09 15 20 30 40 46 47 51 52 56 60 65 70 80 83
IMPORTANTE: Índices repetem valores de chave que aparecem nas folhas (diferente do que acontece nas árvores B)
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BUSCA
Só se pode ter certeza de que o registro foi encontrado quando se chega em uma folha
Notar que comparações agora não são apenas >, mas ≥
8
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EXEMPLO: BUSCA DE 60
9
51
09 30 60 80
01 02 04 09 15 20 30 40 46 47 51 52 56 60 65 70 80 83
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EXEMPLO: BUSCA DE 60
10
51
09 30 60 80
01 02 04 09 15 20 30 40 46 47 51 52 56 60 65 70 80 83
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INSERÇÃO
Quando for necessário particionar um nó durante uma inserção, o mesmo raciocínio do particionamento em Árvore B é utilizado A diferença é que para a página pai sobe somente a chave. O registro fica na folha, juntamente com a sua chave
ATENÇÃO: isso vale apenas se o nó que está sendo particionado for uma folha. Se não for folha, o procedimento é o mesmo utilizado na árvore B
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EXEMPLO DE INSERÇÃO EM ÁRVORE B+INSERIR CHAVE 32
12
ordem d = 2
51
09 30 60 80
01 02 04 09 15 20 30 40 46 47 51 52 56 60 65 70 80 83
Inserir chave 32Inserção faria página ficar com 2d+1 chavesSolução: particionar o nó
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EXEMPLO DE INSERÇÃO EM ÁRVORE B+INSERIR CHAVE 32
13
ordem d = 2
51
09 30 60 80
01 02 04 09 15 20 30 40 46 47 51 52 56 60 65 70 80 83
Criar nova página Q
P
Q
W
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EXEMPLO DE INSERÇÃO EM ÁRVORE B+INSERIR CHAVE 32
14
ordem d = 2 51
09 30 60 80
01 02 04 09 15 20 30 32 51 52 56 60 65 70 80 83
40 46 47
Dividir as chaves entre as duas páginas (30; 32; 40; 46; 47)d chaves na página original Pchave d+1 sobe para nó pai W (mas registro é mantido na nova página)d+1 chaves restantes na nova página Q
P
Q
40W
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EXEMPLO DE INSERÇÃO EM ÁRVORE B+INSERIR CHAVE 32
15
ordem d = 2 51
09 30 60 80
01 02 04 09 15 20 30 32 51 52 56 60 65 70 80 83
40 46 47
P
Q
40
Ajustar ponteiros da lista encadeada
W
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EXEMPLO DE INSERÇÃO EM ÁRVORE B+INSERIR CHAVE 32
16
ordem d = 2 51
09 30 40 60 80
01 02 04 09 15 20 30 32 51 52 56 60 65 70 80 83
40 46 47
P
Q
Inserir o 40 em W
W
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EXEMPLO DE INSERÇÃO COM PARTICIONAMENTODE NÓ INTERNO: INSERIR CHAVE 44
17
ordem d = 2
51
09 30 40 48 60 80
01 02 04
09 15 20
30 32 51 52 56 60 65 70 80 83
40 42 46 47
48 50
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EXEMPLO DE INSERÇÃO COM PARTICIONAMENTODE NÓ INTERNO: INSERIR CHAVE 44
18
ordem d = 2
51
09 30 40 48 60 80
01 02 04
09 15 20
30 32 51 52 56 60 65 70 80 83
40 42 46 47
48 50
Inserir chave 44Inserção faria página ficar com 2d+1 chavesSolução: particionar o nó
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EXEMPLO DE INSERÇÃO COM PARTICIONAMENTODE NÓ INTERNO: INSERIR CHAVE 44
19
ordem d = 2
51
09 30 40 48 60 80
01 02 04
09 15 20
30 32 51 52 56 60 65 70 80 83
40 42 46 47
48 50
Criar nova página QP
Q
W
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EXEMPLO DE INSERÇÃO COM PARTICIONAMENTODE NÓ INTERNO: INSERIR CHAVE 44
20
ordem d = 2
51
09 30 40 48 60 80
01 02 04
09 15 20
30 32 51 52 56 60 65 70 80 83
40 42
48 50
P
W
Dividir as chaves entre as duas páginas (40; 42; 44; 46; 47)d chaves na página original Pchave d+1 sobe para nó pai W (mas registro é mantido na nova página)d+1 chaves restantes na nova página Q
44
44 46 47
Q
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EXEMPLO DE INSERÇÃO COM PARTICIONAMENTODE NÓ INTERNO: INSERIR CHAVE 44
21
ordem d = 2
51
09 30 40 48 60 80
01 02 04
09 15 20
30 32 51 52 56 60 65 70 80 83
40 42
48 50
P
W 44
44 46 47
Q
Ajustar ponteiros da lista encadeada
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EXEMPLO DE INSERÇÃO COM PARTICIONAMENTODE NÓ INTERNO: INSERIR CHAVE 44
22
ordem d = 2
51
09 30 40 48 60 80
01 02 04
09 15 20
30 32 51 52 56 60 65 70 80 83
40 42
48 50
P
W 44
44 46 47
Q
Inserir 44 em WNão há espaço: particionarComo é nó interno, vale a mesma regra de particionamento em Árvore B
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EXEMPLO DE INSERÇÃO COM PARTICIONAMENTODE NÓ INTERNO: INSERIR CHAVE 44
23
ordem d = 2
51
09 30 40 48 60 80
01 02 04
09 15 20
30 32 51 52 56 60 65 70 80 83
40 42
48 50
44
44 46 47
Criar nova página Q
P Q
W
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44 48
EXEMPLO DE INSERÇÃO COM PARTICIONAMENTODE NÓ INTERNO: INSERIR CHAVE 44
24
ordem d = 2
51
09 30 60 80
01 02 04
09 15 20
30 32 51 52 56 60 65 70 80 83
40 42
48 50
40
44 46 47
P Q
W
Dividir as chaves entre as duas páginas (09; 30; 40; 44; 48)d chaves na página original Pchave d+1 sobe para nó pai Wchaves d+2 em diante na nova página Q
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44 48
EXEMPLO DE INSERÇÃO COM PARTICIONAMENTODE NÓ INTERNO: INSERIR CHAVE 44
25
ordem d = 2
40 51
09 30 60 80
01 02 04
09 15 20
30 32 51 52 56 60 65 70 80 83
40 42
48 50
44 46 47
P Q
WReorganizar W
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EXCLUSÃO
Excluir apenas no nó folha
Chaves excluídas continuam nos nós intermediários
26
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 30
27
51
09 30 60 80
01 02 04 09 15 20 30 40 46 47 51 52 56 60 65 70 80 83
ordem d = 2
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 30
28
51
09 30 60 80
01 02 04 09 15 20 40 46 47 51 52 56 60 65 70 80 83
ordem d = 2
O valor 30 continua no índice!
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EXCLUSÃO QUE CAUSA CONCATENAÇÃO
Exclusões que causem concatenação de folhas podem se propagar para os nós internos da árvore
Importante: Se a concatenação ocorrer na folha: a chave do nó pai não desce para o nó
concatenado, pois ele não carrega dados com ele. Ele é simplesmente apagado. Se a concatenação ocorrer em nó interno: usa-se a mesma lógica utilizada na árvore B
29
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 52
30
51
09 30 60 80
01 02 04 09 15 40 46 47 51 52 60 65 80 83
ordem d = 2
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 52
31
51
09 30 60 80
01 02 04 09 15 40 46 47 51 60 65 80 83
ordem d = 2
Nó ficou com menos de d entradas – necessário tratar issoSoma dos registros de P e Q < 2dUsar concatenação
P Q
W
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 52
32
51
09 30 60 80
01 02 04 09 15 40 46 47 51 60 65 80 83
ordem d = 2
Concatenação: Passar os registros de Q para PEliminar a chave em W que divide os ponteiros para as páginas P e Q
P Q
W
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 52
33
51
09 30 80
01 02 04 09 15 40 46 47 51 60 65 80 83
ordem d = 2
Concatenação: Passar os registros de Q para PEliminar a chave em W que divide os ponteiros para as páginas P e Q
P Q
W
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 52
34
51
09 30 80
01 02 04 09 15 40 46 47 51 60 65 80 83
ordem d = 2
Eliminar nó Q
P Q
W
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 52
35
51
09 30 80
01 02 04 09 15 40 46 47 51 60 65 80 83
ordem d = 2
Eliminar nó Q
P
W
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 52
36
51
09 30 80
01 02 04 09 15 40 46 47 51 60 65 80 83
ordem d = 2
Nó W ficou com menos de d chaves
P
W
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 52
37
51
09 30 80
01 02 04 09 15 40 46 47 51 60 65 80 83
ordem d = 2
Soma de total de chaves de P e Q < 2dSolução: concatenação
W
P Q
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 52
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09 30 51 80
01 02 04 09 15 40 46 47 51 60 65 80 83
ordem d = 2
Apagar Q
W
P Q
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 52
39
09 30 51 80
01 02 04 09 15 40 46 47 51 60 65 80 83
ordem d = 2
Apagar Q
W
P
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 52
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09 30 51 80
01 02 04 09 15 40 46 47 51 60 65 80 83
ordem d = 2
Como a raiz ficou vazia, apagar a raiz. P é a nova raiz.
W
P
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 52
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09 30 51 80
01 02 04 09 15 40 46 47 51 60 65 80 83
ordem d = 2
Como a raiz ficou vazia, apagar a raiz. P é a nova raiz.P
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EXCLUSÃO QUE CAUSA REDISTRIBUIÇÃO
Exclusões que causem redistribuição dos registros nas folhas provocam mudanças no conteúdo do índice, mas não na estrutura (não se propagam)
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 15
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09 30 60 80
01 02 04 09 15 40 46 47 51 52 56 60 65 70 80 83
ordem d = 2
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 15
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09 30 60 80
01 02 04 09 40 46 47 51 52 56 60 65 70 80 83
ordem d = 2
Nó ficou com menos de d entradas – necessário tratar issoA soma dos registros dos irmãos adjacentes é <= 2d Solução: redistribuiçãoComo existem 2 opções, vamos optar pelo nó da direita
P Q
W
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 15
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MAS... Se a chave do nó pai não precisa descer (porque não tem conteúdo, tem apenas a chave), porque não podemos concatenar P e Q, já que nesse exemplo a soma é =2d? Resposta: ao concatenar P e Q, a página concatenada ficaria cheia, e a próximainserção neste nó causaria um particionamento. Para evitar isso, continuamosobedecendo o critério: fazer concatenação apenas quando a soma da quantidade de chaves< 2d, e, sempre que tivermos as duas opções, optaremos pela redistribuição, que não se propaga.
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09 30 60 80
01 02 04 09 40 46 47 51 52 56 60 65 70 80 83
ordem d = 2
P Q
W
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EXEMPLO DE EXCLUSÃO EM ÁRVORE B+EXCLUIR CHAVE 15
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09 46 60 80
01 02 04 09 40 46 47 51 52 56 60 65 70 80 83
ordem d = 2
P Q
W
(09; 40; 46; 47)d primeiras chaves ficam em PChave d+1 sobe para substituir a chave que já existia láRegistros d+1 em diante ficam em QNote que a chave 46 sobe para W para substituir a chave 30, mas o registro correspondente é colocado em Q.
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EXEMPLO (MOSTRANDO OS DADOS NAS FOLHAS)
Neste exemplo, a árvore B+ tem o nó raiz e 3 folhas
Ordem da árvore é d = 2
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01 JOSE M
02 MARIA F
05 ANA F
10 MARCOS M
20 MARIANA FF
23 JONAS M
24 MATHIAS M
31 SANDRO M
45 RONAN M
49 CLARA F
56 RAQUEL F
68 ADRIEL M
45
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CONSIDERAÇÕES SOBRE IMPLEMENTAÇÃO EM DISCOPode-se utilizar três arquivos: Um arquivo para armazenar os metadados Ponteiro para a raiz da árvore Flag indicando se a raiz é folha
Um arquivo para armazenar o índice (nós internos da árvore) Um arquivo para armazenar os dados (folhas da árvore)
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ESTRUTURA DO ARQUIVO DE ÍNDICE
O arquivo de índice estará estruturado em nós (blocos/páginas)
Cada nó possui Inteiro representando o número de chaves (m) armazenadas no nó Flag booleano que diz se página aponta para nó folha (TRUE se sim, FALSE se não) Ponteiro para o nó pai (para facilitar a implementação de concatenação) p0, (s1, p1), (s2,p2), ..., (sd,pd), (sd+1,pd+1), ..., (s2d+1, p2d+1), onde: pi é um ponteiro para uma página (dentro deste arquivo, se flag é FALSE, no arquivo de dados, se
flag é TRUE) si é uma chave
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ESTRUTURA DO ARQUIVO DE DADOS
O arquivo de dados também estará estruturado em nós (blocos/páginas)
Cada nó possui Inteiro representando o número de chaves (m) armazenadas no nó Ponteiro para o nó pai (para facilitar a implementação de concatenação) Ponteiro para a próxima página 2d registros
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CONSIDERAÇÕES SOBRE IMPLEMENTAÇÃO
Se o sistema de armazenamento tem tamanho de bloco de B bytes, e as chaves a serem armazenadas têm tamanho k bytes, a árvore B+ mais eficiente é a de ordem d= (B / k) – 1
Exemplo prático: Tamanho do bloco do disco B = 4KB = 4096 bytes Tamanho da chave k = 4 bytes d = (4096/4) – 1 = 1023
Quantas chaves cada nó da árvore terá, nessa situação? 2d = 2046 chaves!
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DICA
Como determinar o tamanho do bloco de disco em vários sistemas operacionais: http://arjudba.blogspot.com/2008/07/how-to-determine-os-block-size-for.html
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EXERCÍCIO: ÁRVORE B+
Passo 1) Desenhar uma árvore B+ de ordem 2 que contenha registros com as seguintes chaves: 1, 2, 3, 8, 15, 35, 36, 38, 39, 41, 43, 45, 51, 59
Como d = 2: Cada nó tem no máximo 4 chaves Cada nó tem no máximo 5 filhos
Passo 2) Sobre o resultado do passo 1, excluir os registros de chave: 3, 38, 1, 41
Passo 3) Sobre o resultado do passo 2, incluir os registros de chave: 5, 14, 52, 53, 54
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IMPLEMENTAÇÃO
Implementar busca, inserção e exclusão em árvore B+ armazenada em disco. Detalhes estão no Google Classroom.
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REFERÊNCIA
Szwarcfiter, J.; Markezon, L. Estruturas de Dados e seus Algoritmos, 3a. ed. LTC. Cap. 5
INSTITUTO DE COMPUTAÇÃO - UFF 56
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AGRADECIMENTOS
Exemplo cedido por Renata Galante
INSTITUTO DE COMPUTAÇÃO - UFF 57