RPCAAP 1 CEPCEP Controle Estatístico de Processo Versão:Jul EmitidoGBP AprovadoCHJ Nº pag:128.

RPCAAP

11

CEPCEPCEPCEPControle Estatístico Controle Estatístico

de Processo de Processo

Versão:Versão: JulJulEmitidoEmitido GBPGBPAprovadoAprovado CHJCHJNº pag:Nº pag: 128128

RPCAAP

22

ÍNDICEÍNDICE

HistogramasHistogramas 0303Distribuição de ProbabilidadeDistribuição de Probabilidade 1717

Distribuição BinominalDistribuição Binominal 2121Distribuição de PoissonDistribuição de Poisson 2626Distribuição NormalDistribuição Normal 3030

Teste de normalidadeTeste de normalidade 3838Teorema do Limite CentralTeorema do Limite Central 4343

Aproximação das DistribuiçõesAproximação das Distribuições 4545Cartas de Controle para VariáveisCartas de Controle para Variáveis 4747

Controle do ProcessoControle do Processo 4848Carta X - RCarta X - R 5353Carta X - SCarta X - S 6969Carta X - RCarta X - R 7373Carta X - AMCarta X - AM 7575Carta MM - AMCarta MM - AM 7979Outras cartas (Tendência, CUSUM, EWMA)Outras cartas (Tendência, CUSUM, EWMA) 8383Seleção de cartas para variáveisSeleção de cartas para variáveis 8484

Cartas de Controle para AtributosCartas de Controle para Atributos 8585Carta pCarta p 8686Carta npCarta np 9292Carta cCarta c 9696Carta uCarta u 102102Seleção de cartas para atributosSeleção de cartas para atributos 109109

Uso das Cartas de ControleUso das Cartas de Controle 110110Capabilidade do ProcessoCapabilidade do Processo 116116

AssuntoAssunto PáginaPágina

~~

RPCAAP

33

HISTOGRAMAS HISTOGRAMAS HISTOGRAMAS HISTOGRAMAS

RPCAAP

44

HISTOGRAMASHISTOGRAMAS

Exemplo de um histogramaExemplo de um histograma

Num grupo de 25 pessoas que passaram numa Num grupo de 25 pessoas que passaram numa balança, seus pesos (em Kg) foram anotados, na balança, seus pesos (em Kg) foram anotados, na seqüência:seqüência:

9595 8585 7070 105105 6565110110 7575 8080 5555 75757070 100100 9090 8585 80807575 8585 8080 7575 60606565 9090 5050 7575 8080

A seguir, os pesos foram colocados na ordem:A seguir, os pesos foram colocados na ordem:

5050555560606565 65657070 70707575 7575 7575 7575 75758080 8080 8080 80808585 8585 85859090 90909595100100105105110110

PesosPesos

Nº de vezesNº de vezes

RPCAAP

55

HISTOGRAMASHISTOGRAMAS

Freqüência (nº de vezes)Freqüência (nº de vezes)

55 XX

44 XX XX

33 XX XX XX

22 XX XX XX XX XX XX

11 XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX

5050 5555 6060 6565 7070 7575 8080 8585 9090 9595 100100 105105 110110

PesosPesos

Os pesos são colocados num gráficoOs pesos são colocados num gráfico

Este gráfico é um Este gráfico é um HISTOGRAMAHISTOGRAMA

EstatísticasEstatísticas

Para caracterizar este conjunto de valores, devemos Para caracterizar este conjunto de valores, devemos medí-lo por duas “estatísticas”:medí-lo por duas “estatísticas”:

Medidas da “tendência central”Medidas da “tendência central”

Medidas da “dispersão”Medidas da “dispersão”

RPCAAP

66

MEDIDAS DE TENDÊNCIA MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRALCENTRAL

MÉDIAMÉDIA

No exemplo:No exemplo:

MODAMODA


MODA = 75 (ocorre 5 vezes)MODA = 75 (ocorre 5 vezes)

MEDIANAMEDIANA


ModaModa = Valor que ocorre com maior freqüência = Valor que ocorre com maior freqüênciaModaModa = Valor que ocorre com maior freqüência = Valor que ocorre com maior freqüência

MedianaMediana = = Valor acima e abaixo do qual Valor acima e abaixo do qual ficam metade de todos os valores, quando estes ficam metade de todos os valores, quando estes estão ordenadosestão ordenados

MedianaMediana = = Valor acima e abaixo do qual Valor acima e abaixo do qual ficam metade de todos os valores, quando estes ficam metade de todos os valores, quando estes estão ordenadosestão ordenados

MédiaMédia = = MédiaMédia = = Soma de todos os valores (os pesos)Soma de todos os valores (os pesos)

Número de dados (número de pessoas)Número de dados (número de pessoas)

12 valores abaixo12 valores abaixo MEDIANA = 80MEDIANA = 80 12 valores acima12 valores acima

Média =50 + 55 + 60 + 65 + 65.....+105+ 110

25

Média =1975

2579 0,

50,55,60,65,65,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,85,85,85,90,90,95,100,105,11050,55,60,65,65,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,85,85,85,90,90,95,100,105,110

RPCAAP

77

XXXX XXXX XX XX

XX XX XX XX XX XXXX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX

5050 5555 6060 6565 7070 7575 8080 8585 9090 9595 100100 105105 110110


80 (Mediana)80 (Mediana)79 (Média)79 (Média)75 (Moda)75 (Moda)

Média, Moda e Mediana no HistogramaMédia, Moda e Mediana no Histograma

Observações:Observações:

As três medidas, às vezes, coincidemAs três medidas, às vezes, coincidem

Se o número de elementos (pessoas) do conjunto for Se o número de elementos (pessoas) do conjunto for parpar (no nosso exemplo é (no nosso exemplo é imparimpar), a ), a medianamediana é é calculada como a média dos dois valores centrais.calculada como a média dos dois valores centrais.

Por exemplo no conjunto:Por exemplo no conjunto:

30, 40, 45, 55, 70, 8030, 40, 45, 55, 70, 80

a mediana é:a mediana é: = 50= 50

Pode existir mais de uma Pode existir mais de uma modamoda para um dado para um dado conjuntoconjunto

45 + 5545 + 5522

RPCAAP

88


ExemplosExemplos

Conjuntos Simétricos Conjuntos Simétricos

Conjuntos não simétricosConjuntos não simétricos

Conjuntos com mais de uma moda Conjuntos com mais de uma moda

XXXX XX XX XX XX

XX XX XX XX XX XX XX XX XXXX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XXMédia = MedianaMédia = Mediana Média = Mediana = ModaMédia = Mediana = Moda

XX XXXX XX XX XX XX XX

XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX

XX XXXX XX XX XX

XX XX XX XX XX XX XX XX XX XXXX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX

SimétricoSimétrico Não SimétricoNão Simétrico

RPCAAP

99

MEDIDAS DE DISPERSÃOMEDIDAS DE DISPERSÃO

Amplitude (R)Amplitude (R)

Exemplos:Exemplos:

Para Conjunto A :Para Conjunto A :

RRAA = 13 - 7 = 6 = 13 - 7 = 6

Para Conjunto B:Para Conjunto B:

RRBB = 15 - 5 = 10 = 15 - 5 = 10

OBSERVE QUE:OBSERVE QUE:

Os dois conjuntos são simétricos, comOs dois conjuntos são simétricos, com

Média = Mediana = Moda = 10Média = Mediana = Moda = 10

Os dois conjuntos têm amplitudes diferentesOs dois conjuntos têm amplitudes diferentes

RRAA = 6 e R = 6 e RBB = 10 = 10

XXXX XX XX XX

XX XX XX XX XX XX XX XXXX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX

77 88 99 1010 1111 1212 1313 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515

Conjunto Conjunto AA Conjunto Conjunto BB

RR = Maior Valor - Menor Valor = Maior Valor - Menor ValorRR = Maior Valor - Menor Valor = Maior Valor - Menor Valor

RPCAAP

1010

Conjunto Conjunto AA

Dado ( X )Dado ( X ) Diferença ( X - X )Diferença ( X - X )77 7 - 10 7 - 10 = -3= -388 8 - 10 8 - 10 = -2= -288 8 - 10 8 - 10 = -2= -299 9 - 10 9 - 10 = -1 = -1 99 9 - 10 9 - 10 = -1= -199 9 - 10 9 - 10 = -1= -1

1010 10 - 1010 - 10 = 0 = 0 1010 10 - 1010 - 10 = 0 = 0 1010 10 - 1010 - 10 = 0 = 0 1010 10 - 1010 - 10 = 0 = 0 1111 11 - 1011 - 10 = 1= 11111 11 - 1011 - 10 = 1= 11111 11 - 1011 - 10 = 1= 11212 12 - 1012 - 10 = 2= 21212 12 - 1012 - 10 = 2= 21313 13 - 1013 - 10 = 3= 3


Variância (S²) e Desvio Padrão (S)Variância (S²) e Desvio Padrão (S)

Passos para calcular a Variância e o Desvio Padrão:Passos para calcular a Variância e o Desvio Padrão:

Calcule a média ( X )Calcule a média ( X )

Conjunto Conjunto AA:: X = 10X = 10

Conjunto Conjunto BB: : X = 10X = 10

Calcule a diferença de cada dado com a médiaCalcule a diferença de cada dado com a média

Conjunto Conjunto BB

Dado ( X )Dado ( X ) Diferença ( X - X )Diferença ( X - X )55 5 - 10 5 - 10 = -5= -566 6 - 10 6 - 10 = -4= -477 7 - 10 7 - 10 = -3= -388 8 - 10 8 - 10 = -2 = -2 99 9 - 10 9 - 10 = -1= -199 9 - 10 9 - 10 = -1= -1

1010 10 - 1010 - 10 = 0 = 0 1010 10 - 1010 - 10 = 0 = 0 1010 10 - 1010 - 10 = 0 = 0 1111 11 - 1011 - 10 = 1= 11111 11 - 1011 - 10 = 1= 11212 12 - 1012 - 10 = 2= 21313 13 - 1013 - 10 = 3= 31414 14 - 1014 - 10 = 4= 41515 15 - 1015 - 10 = 5= 5

RPCAAP

1111


Calcule o quadrado de cada diferençaCalcule o quadrado de cada diferença

Conjunto Conjunto AA

Dado ( X )Dado ( X ) Diferença ( X - X ) ²Diferença ( X - X ) ²77 ( -3 ) ²( -3 ) ² = = 9988 ( -2 ) ²( -2 ) ² = = 4488 ( -2 ) ²( -2 ) ² = = 4499 ( -1 ) ²( -1 ) ² = = 1199 ( -1 ) ²( -1 ) ² = = 1199 ( -1 ) ²( -1 ) ² = = 11

1010 ( 0 ) ²( 0 ) ² = = 001010 ( 0 ) ²( 0 ) ² = = 001010 ( 0 ) ²( 0 ) ² = = 00

1010 ( 0 ) ²( 0 ) ² = = 00 1111 ( 1 ) ²( 1 ) ² = = 11

1111 ( 1 ) ²( 1 ) ² = = 111111 ( 1 ) ²( 1 ) ² = = 111212 ( 2 ) ²( 2 ) ² = = 441212 ( 2 ) ²( 2 ) ² = = 441313 ( 3 ) ²( 3 ) ² = = 99

Soma dos quadrados Soma dos quadrados = = 4040

Conjunto Conjunto BB

Dado ( X )Dado ( X ) Diferença ( X - X ) ²Diferença ( X - X ) ²55 ( -5 ) ²( -5 ) ² = = 252566 ( -4 ) ²( -4 ) ² = = 161677 ( -3 ) ²( -3 ) ² = = 9988 ( -2 ) ²( -2 ) ² == 4499 ( -1 ) ²( -1 ) ² == 1199 ( -1 ) ²( -1 ) ² == 11

1010 ( 0 ) ²( 0 ) ² == 00 1010 ( 0 ) ²( 0 ) ² == 00 1010 ( 0 ) ²( 0 ) ² == 00 1111 ( 1 ) ²( 1 ) ² == 11

1111 ( 1 ) ²( 1 ) ² == 111212 ( 2 ) ²( 2 ) ² == 441313 ( 3 ) ²( 3 ) ² == 991414 ( 4 ) ²( 4 ) ² = = 16161515 ( 5 ) ²( 5 ) ² == 2525

Soma dos quadrados Soma dos quadrados == 112112

RPCAAP

1212

Calcule a Calcule a VariânciaVariância

Calcule a soma dos quadrados dividido por (n-1), Calcule a soma dos quadrados dividido por (n-1), onde n é o número de dados do conjuntoonde n é o número de dados do conjunto

nnAA = 16 = 16 ;; nnBB = =

1515

Calcule o Calcule o Desvio PadrãoDesvio Padrão, que é igual à , que é igual à raiz raiz quadrada quadrada da Variância.da Variância.


Conjunto Conjunto AA Conjunto Conjunto BBSoma dos X X

n

S

A

A

( )²,

,

14015

2 67

2 672

Soma dos X X

n

S

B

B

( )²,

,

111214

8 00

8 002

Conjunto Conjunto AA Conjunto Conjunto BB

SA 2 67 1 633, , SB 8 00 2 828, ,

RPCAAP

1313

Observe que:Observe que:

Como a variância e o desvio padrão medem a Como a variância e o desvio padrão medem a “dispersão”, é claro que o conjunto “dispersão”, é claro que o conjunto AA (menos (menos “disperso”) tem variância e desvio padrão “disperso”) tem variância e desvio padrão menores que a variância e o desvio padrão do menores que a variância e o desvio padrão do conjunto conjunto BB

As fórmulas da variância e do desvio padrão As fórmulas da variância e do desvio padrão podem ser escritas:podem ser escritas:

onde onde significa a “soma de todos os dados (de 1 a significa a “soma de todos os dados (de 1 a n)”, e então n)”, e então ( X - X ) ² significa a “soma dos ( X - X ) ² significa a “soma dos quadrados das diferenças de todos os dados (X) quadrados das diferenças de todos os dados (X) em relação à média ( X )”.em relação à média ( X )”.

Nesta forma de apresentar a fórmula, podemos Nesta forma de apresentar a fórmula, podemos também dizer que:também dizer que:


SX Xn

e SX Xn

22 2

1 1

( ) ( )

XX

n

RPCAAP

1414

EXERCÍCIOS:EXERCÍCIOS: Exercício 1:Exercício 1:

Calcule:Calcule: n = nº de elementosn = nº de elementosMédia = XMédia = XMedianaMedianaModaModaAmplitude = RAmplitude = RVariância = S²Variância = S²Desvio Padrão = SDesvio Padrão = S

dos conjuntos abaixodos conjuntos abaixo

1º)1º) 2º)2º) XXXXXXXXXX

XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XXXX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX

55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 88 99 1010 1111 1212

3º)3º) 4º)4º)XX

XX XX XX XXXX XX XX XX XX XXXX XX XX XX XX XX XX XX XX XXXX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XXXX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX

88 99 1010 1111 1212 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616

RPCAAP

1515

PASSOS PARA CONSTRUIR PASSOS PARA CONSTRUIR HISTOGRAMASHISTOGRAMAS

P ASSOS D ESC R IÇ ÃO1 º O c a s o d e v e s e r s u f i c i e n t e m e n t e l o n -

g o t a l q u e p o s s a m s e r c o l e t a d o s 5 0d a d o s . M e l h o r s e r á d e 7 5 a 1 0 0 d a d o s

2 º N ú m e r o d e d a d o s N ú m e r o d e c l a s s e s ( k )< 5 0 5 a 7

5 0 a 1 0 0 6 a 1 01 0 0 a 2 5 0 7 a 1 2

> 2 5 0 1 0 a 2 03 º R = M a i o r v a l o r - M e n o r v a l o r

4 º

h

R

K ,

“ a r r e d o n d a n d o ” p a r a u mn ú m e r o i n t e i r o

5 º A p a r t i r d o m e n o r v a l o r , i n c l u i n d o - o ,a d i c i o n e h ( i n t e i r o ) e n ã o i n c l u a o s e ul i m i t e s u p e r i o r

6 º P a r a c a d a c l a s s e , e s c r e v a o n ú m e r od e v e z e s q u e o s d a d o s s ã o e n c o n t r a -d o s n o s v a l o r e s d a c l a s s e ( f r e q ü ê n c i a )

7 º N o e i x o x : a s c l a s s e sN o e i x o y : a s f r e q ü ê n c i a s

S e l e c i o n e o c a s oe c o l e t e o s d a -d o s

S e l e c i o n e o n ú -m e r o d e c l a s s e s( b a r r a s ) ( k )

C a l c u l e a a m p l i -t u d e ( R )

C a l c u l e a l a r g u -r a d a c l a s s e( b a r r a ) ( h )

D e t e r m i n e a sc l a s s e s

C o n s t r u a u m at a b e l a d e f r e -q ü ê n c i a s

C o n s t r u a o h i s -t o g r a m a

RPCAAP

1616

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

Exercício 2Exercício 2

Os tempos de espera numa fila de caixa de banco Os tempos de espera numa fila de caixa de banco constituem um problema para o atendimento dos constituem um problema para o atendimento dos clientes. Foram levantados os seguintes dadosclientes. Foram levantados os seguintes dados

Construir um histogramaConstruir um histograma

TEMPO DE ESPERA EM MINUTOS

5 15 20 12 7 8 32 12 23 11

4 8 18 35 2 9 12 35 9 6,5

5,5 2 1 14 10 15 13 14 7 3,5

7 9 15 27 30 32 10 26 6 12

15 16 7 1 13 15 27 25 8 7

RPCAAP

1717

DISTRIBUIÇÕES DISTRIBUIÇÕES DE DE

PROBABILIDADE PROBABILIDADE

DISTRIBUIÇÕES DISTRIBUIÇÕES DE DE

PROBABILIDADE PROBABILIDADE

RPCAAP

1818

DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADEPROBABILIDADE

O O histogramahistograma é usado para descrever as medidas de é usado para descrever as medidas de uma uma amostraamostra..

Uma Uma amostraamostra é uma coleção de medidas selecionadas é uma coleção de medidas selecionadas de uma de uma populaçãopopulação..

Uma Uma distribuição de probabilidades distribuição de probabilidades é um modelo é um modelo matemático que relaciona os valores das medidas (x) com matemático que relaciona os valores das medidas (x) com a probalidade de ocorrência destes valores p(x) na a probalidade de ocorrência destes valores p(x) na população.população.

Modelo MatemáticoModelo Matemático

RPCAAP

1919


Distribuição ContínuaDistribuição Contínua

A variável (x) é expressa de forma A variável (x) é expressa de forma contínua contínua

é a área hachurada.é a área hachurada.

Distribuição DiscretaDistribuição Discreta

A variável x é expressa de forma A variável x é expressa de forma descontínuadescontínua (assume (assume valores xvalores x11, x, x22, x, x33, x, x44 e x e x55) e para cada valor de x existe uma ) e para cada valor de x existe uma

probabilidade.probabilidade.

P a x b p x dxa

b( ) ( )

RPCAAP

2020


Numa distribuição de probabilidade, as medidas de Numa distribuição de probabilidade, as medidas de tendência central e de dispersão são aquelas de uma tendência central e de dispersão são aquelas de uma população (população (parâmetrosparâmetros), e não de amostra ), e não de amostra ((estatísticasestatísticas), como definidas anteriormente.), como definidas anteriormente.

População(parâmetros)

Amostra(estatísticas)

Média X

Variância S2

Desvio Padrão S

RPCAAP

2121

DISTRIBUIÇÕES DISCRETASDISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Considere um processo que consiste na seqüência de “n” Considere um processo que consiste na seqüência de “n” tentativas independentes, onde cada tentativa é um tentativas independentes, onde cada tentativa é um “sucesso” ou uma “falha”. Se a probabilidade de “sucesso” “sucesso” ou uma “falha”. Se a probabilidade de “sucesso” em qualquer tentativa é constante e igual a “p”, então o em qualquer tentativa é constante e igual a “p”, então o número de “sucessos” “x” tem uma distribuição binomial.número de “sucessos” “x” tem uma distribuição binomial.

ModeloModelo

MédiaMédia

Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão

Observações:Observações:

As cartas de controle “p” e “n p” são usadas para dados As cartas de controle “p” e “n p” são usadas para dados atributivos do tipo “sim/não”. A distribuição de atributivos do tipo “sim/não”. A distribuição de probabilidade básica usada para o cálculo dos limites de probabilidade básica usada para o cálculo dos limites de controle destas cartas é a distribuição binominal.controle destas cartas é a distribuição binominal.

p xn

xp p x n

com n p

x n x( ) , ,....,

,

1 0 1

0 0 1

np

2 1

1

np p

np p

( )

( )

n

xn

x n x

a a a a

!

!( )!(

! .( ).( )....

Combinação de n, x a x)

1 2 1

RPCAAP

2222

DISTRIBUIÇÕES DISCRETASDISTRIBUIÇÕES DISCRETAS

Distribuição Binomial - ExemploDistribuição Binomial - Exemplo

Uma fábrica produz milhares de peças por dia. Na Uma fábrica produz milhares de peças por dia. Na média, 1% destas peças é “não-conforme”. A cada hora média, 1% destas peças é “não-conforme”. A cada hora um inspetor seleciona “casualizadamente” uma amostra um inspetor seleciona “casualizadamente” uma amostra de 50 peças e classifica cada peça como “conforme” ou de 50 peças e classifica cada peça como “conforme” ou “não- conforme”. Se x é a variável que representa o “não- conforme”. Se x é a variável que representa o número de peças não-conforme na amostra, então a número de peças não-conforme na amostra, então a distribuição de probabilidade de x é:distribuição de probabilidade de x é:

Se quisermos calcular a probabilidade de encontrarmos Se quisermos calcular a probabilidade de encontrarmos uma peça não- conforme na amostra, temos:uma peça não- conforme na amostra, temos:

em percentuais: 30,56%em percentuais: 30,56%

Idem, para 0 peças não-conformes:Idem, para 0 peças não-conformes:

p xx

xx x( ) ( , ) .( , ) , , , ,....,

500 01 0 99 0 1 2 5050

p

p

( )!

!( )!.( , ) .( , )

( ). !

. !.( , ).( , ) ,

150

1 50 10 01 0 99

150 49149

0 01 0 6111 0 3056

1 50 1

p

p

( )!

! !.( , ) .( , )

( ) . .( , ) , ,

050

0 500 01 0 99

0 11 0 6050 0 6050 60 5%

0 50

RPCAAP

2323


Distribuição Binomial - GráficosDistribuição Binomial - Gráficos

n = 15, p = 0,1n = 15, p = 0,1

n = 15, p = 0,5n = 15, p = 0,5

n = 15, p = 0,9n = 15, p = 0,9

0

0,1

0,2

0,3

0 3 6 9 12 15

p(x)

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 3 6 9 12 15

p(x)

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 3 6 9 12 15

p(x)

x

RPCAAP

2424


Distribuição Binomial - GráficosDistribuição Binomial - Gráficos

n = 10, p = 0,25n = 10, p = 0,25

n = 20, p = 0,25n = 20, p = 0,25

n = 40, p = 0,25n = 40, p = 0,25

0,000,050,100,150,200,250,30

0 5 10

p(x)

x

0,000,050,100,150,200,250,30

0 5 10 15 20

p(x)

x

0,000,050,100,150,200,250,30

0 5 10 15 20 25 30 35 40

p(x)

x

RPCAAP

2525


Exercício 3:Exercício 3:

Os registros de uma montadora de veículos mostram que Os registros de uma montadora de veículos mostram que a probabilidade de um carro novo necessitar um reparo a probabilidade de um carro novo necessitar um reparo em garantia nos primeiro 90 dias é de 0,04.em garantia nos primeiro 90 dias é de 0,04.

Calcule:Calcule:

a) a) A probabilidade dos três próximos carros vendidos:A probabilidade dos três próximos carros vendidos:

1) 1) Não precisarem nenhum reparo em Não precisarem nenhum reparo em garantiagarantia

2) 2) Pelo menos um necessitar um reparo em Pelo menos um necessitar um reparo em garantiagarantia

b)b) A média e o desvio padrão da distribuição A média e o desvio padrão da distribuição de probabilidade acima.de probabilidade acima.

RPCAAP

2626


Distribuição de PoissonDistribuição de Poisson

ModeloModelo

MédiaMédia

VariânciaVariância

ObservaçõesObservações

x! = x(x-1).(x-2).... 1x! = x(x-1).(x-2).... 1

e = 2,7182818.... (constante)e = 2,7182818.... (constante)

As cartas de controle “c” e “u” são usadas para As cartas de controle “c” e “u” são usadas para dados atributivos do tipo “contagem de defeitos”. dados atributivos do tipo “contagem de defeitos”. A distribuição de probabilidades básica usada para A distribuição de probabilidades básica usada para o cálculo dos limites de controle destas cartas é a o cálculo dos limites de controle destas cartas é a distribuição de Poisson.distribuição de Poisson.

p xe

xx

onde

x

( ).

!, , ,.....

0 1

0

2

RPCAAP

2727


Distribuição de Poisson - ExemploDistribuição de Poisson - Exemplo

O número de erros em lançamentos processados por um O número de erros em lançamentos processados por um escritório de contabilidade é, em média, 2,3. Qual é a escritório de contabilidade é, em média, 2,3. Qual é a probabilidade que o próximo lançamento tenha:probabilidade que o próximo lançamento tenha:

nenhum erro?nenhum erro?

menos do que 3 erros?menos do que 3 erros?

2 3

0

2 30

0 1003 10 03%2 3 0

2 3

,

( )

( ).( , )

!, ,

,,

x nenhum erro

p xe

e

2 3

02 3

00 1003

12 3

10 2306

22 3

20 2652

0 1 2 0 5961 59 61%

2 3 0

2 3 1

2 3 2

,

( ).( , )

!,

( ).( , )!

,

( ).( , )

!,

( ) ( ) ( ) , ,

,

,

,

pe

pe

pe

p p p

RPCAAP

2828


Distribuição de Poisson - GráficosDistribuição de Poisson - Gráficos

= 8= 8

= 12= 12

= 16= 16

0,00

0,04

0,08

0,12

0,16

0,20

0 5 10 15 20 25 30

p(x)

x

0,00

0,04

0,08

0,12

0,16

0,20

0 5 10 15 20 25 30

p(x)

x

0,00

0,04

0,08

0,12

0,16

0,20

0 5 10 15 20 25 30 35 40

p(x)

x

RPCAAP

2929



Os defeitos em uma trefilaria são de aproximadamente Os defeitos em uma trefilaria são de aproximadamente 0,2 em média por metro de barra trefilada. Determine:0,2 em média por metro de barra trefilada. Determine:

a) a) a média de defeitos em barras de 6 metrosa média de defeitos em barras de 6 metros

b) b) a probabilidade de encontrar menos do que 2 a probabilidade de encontrar menos do que 2 defeitos em barras de 6 metrosdefeitos em barras de 6 metros

RPCAAP

3030

DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUASDISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS

Distribuição NormalDistribuição Normal

ModeloModelo

MédiaMédia

VariânciaVariância

GráficoGráfico

ObservaçõesObservações Quando se conhece Quando se conhece e e , a distribuição normal está , a distribuição normal está

completamente descritacompletamente descrita As cartas de controleAs cartas de controle e por “indivíduos” são e por “indivíduos” são

usadas para dados variáveis. A distribuição de usadas para dados variáveis. A distribuição de probabilidades básica para o cálculo dos limites de probabilidades básica para o cálculo dos limites de controle destas cartas é a distribuição normal.controle destas cartas é a distribuição normal.

- Curva em forma de - Curva em forma de sinosino

- Curva - Curva unimodalunimodal

- Curva - Curva simétrica simétrica

f x e para x

x

( ) .

1

2

1

2

2

2 0

X R X S ,

RPCAAP

3131



Efeitos da variação de Efeitos da variação de na forma da curvana forma da curva

13

5

RPCAAP

3232



ProbabilidadesProbabilidades

3333

Valores entre Tem probabilidade deocorrência de

e 68,26%

e 95,44%

3 e 3 99,73%

RPCAAP

3333



Escala Efetiva e Escala RelativaEscala Efetiva e Escala Relativa

Os valores de x no modelo representam a Os valores de x no modelo representam a escala escala

efetiva efetiva e os valores de e os valores de , ,

representamrepresentam

a a escala relativaescala relativa, onde, onde

zz == nº de desvios padrão a contar da nº de desvios padrão a contar da médiamédiaxx == variávelvariável == médiamédia == desvio padrãodesvio padrão

Por exemplo, se Por exemplo, se =100 e =100 e =10, no gráfico abaixo, =10, no gráfico abaixo, temos:temos:

Calculando, temos, por exemplo:Calculando, temos, por exemplo:

zx

para x z

para zx

x

9090 100

101

2 2100

1020 100 120

:

:

RPCAAP

3434



Tabela Normal PadronizadaTabela Normal Padronizada

As áreas sob a curva de qualquer distribuição normal As áreas sob a curva de qualquer distribuição normal podem ser achadas com o uso da Tabela Normal podem ser achadas com o uso da Tabela Normal Padronizada (ver pag 36), após fazer a conversão da Padronizada (ver pag 36), após fazer a conversão da escala efetiva para a escala relativaescala efetiva para a escala relativa

Cálculo da área entre a média e z = + 1,25Cálculo da área entre a média e z = + 1,25

Cálculo da área alem de z = + 1,25Cálculo da área alem de z = + 1,25Como a área total é 1,0000, metade desta área é 0,5000 Como a área total é 1,0000, metade desta área é 0,5000 e a área, alem de z = +1,25, ée a área, alem de z = +1,25, é0,5000 - 0,3944 = 0,10560,5000 - 0,3944 = 0,1056

1,2 5

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 ............0,0 0,01990,1 0,0596

1,0 0,35311,1 0,37941,2 0,3944

RPCAAP

3535




Cálculo da área entre a média e z = -1,25 Cálculo da área entre a média e z = -1,25 É igual a 0,3944, devido á simetriaÉ igual a 0,3944, devido á simetria

Cálculo da área entre z = -1,25 e z = + 1,25Cálculo da área entre z = -1,25 e z = + 1,25É igual a 2 x 0,3944 = 0,7888É igual a 2 x 0,3944 = 0,7888

Cálculo da área entre z = -2,00 e z = -1,25Cálculo da área entre z = -2,00 e z = -1,25

A (1,25 a 2,00) = A (0,00 a 2,00) - A (0,00 A (1,25 a 2,00) = A (0,00 a 2,00) - A (0,00 a 1,25)a 1,25)

Calculo da área entre z = -1,50 e z = +2,30Calculo da área entre z = -1,50 e z = +2,30

A (- 1,50 a +2,30) = A (0,00 a 1,50) + A (0,00 a A (- 1,50 a +2,30) = A (0,00 a 1,50) + A (0,00 a 2,30)2,30)

RPCAAP

3636

DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUADISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA


z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0,00000,03980,07930,11790,15540,19150,22570,25800,28810,3159

0,00400,04380,08320,12170,15910,19500,22910,26120,29100,3186

0,00800,04780,08710,12550,16280,19850,23240,26420,29390,3212

0,01200,05170,09100,12930,16640,20190,23570,26730,29670,3238

0,01600,05570,09480,13310,17000,20540,23890,27040,29950,3264

0,01990,05960,09870,13680,17360,20880,24220,27340,30230,3289

0,02390,06360,10260,14060,17720,21230,24540,27640,30510,3315

0,02790,06750,10640,14430,18080,21570,24860,27940,30780,3340

0,03190,07140,11030,14800,1S440,21900,25180,28230,31060,3365

0,03590,07530,11410,15170,18790,22240,25490,28520,31330,3389

1,01,11,21,31,41,51,61,71,81,9

0,34130,36430,38490,40320,41920,43320,44520,45540,46410,4713

0,34380,36650,38690,40490,42070,43450,44630,45640,46490,4719

0,34610,36860,38880,40660,42220,43570,44740,45730,46560,4726

0,34850,37080,39070,40820,42360,43700,44840,45820,46640,4732

0,35080,37290,39250,40990,42510,43820,44950,45910,46710,4738

0,35310,37490,39440,41150,42650,43940,45050,45990,46780,4744

0,35540,37700,39620,41310,42790,44060,45150,46080,46860,4750

0,35770,37900,39800,41470,42920,44180,45 250,46160,46930,4756

0,35990,38100,39970,41620,43060,44290,45350,46250,46990,4761

0,36210,38300,40150,41770,43190,44410,45450,46330,47060,4767

2,02,12,22,32,42,52,62,72,82,9

0,47720,48210,48610,48930,49180,49380,49530,49650,49740,4981

0,47780,48260,48640,48960,49200,49400,49550,49660,49750,4982

0,47830,48300,48680;48980,49220,49410,49560,49670,49760,4982

0,47880,48340,48710,49010,49250,49430,49570,49680,49770,4983

0,47930,48380,48750,49040,49270,49450,49590,49690,49770,4984

0,47980,48420,48780,49060,49290,49460,49600,49700,49780,4984

0,48030,48460,48810,49090,49310,49480,49610,49710,49790,4985

0,48080,48500,48840,49110,49320,49490,49620,49720,49790,4985

0,48120,48540,48870,49130,49340,49510,49630,49730,49800,4986

0,48170,48570,48900,49160,49360,49520,49640,49740,49810,4986

3,0 0,4986 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

4,0 0,49997

RPCAAP

3737



A renda média anual da população de uma cidade tem A renda média anual da população de uma cidade tem uma distribuição aproximadamente normal, com média uma distribuição aproximadamente normal, com média R$ 15.000,00 e desvio padrão R$ 3.000,00.R$ 15.000,00 e desvio padrão R$ 3.000,00.

a)a) que porcentagem da população tem renda que porcentagem da população tem renda superior a R$ 18.600,00?superior a R$ 18.600,00?

b)b) numa amostra de 50 assalariados, quantos numa amostra de 50 assalariados, quantos podemos esperar que tenham menos de R$ 10.500,00 podemos esperar que tenham menos de R$ 10.500,00 de renda?de renda?


Uma fábrica produz tubos de diâmetro médio de 2,00” e Uma fábrica produz tubos de diâmetro médio de 2,00” e desvio padrão 0,01” (distribuição normal). Os tubos desvio padrão 0,01” (distribuição normal). Os tubos com diâmetros que variem mais de 0,03”, a contar da com diâmetros que variem mais de 0,03”, a contar da média, são considerados não-conformes.média, são considerados não-conformes.

a)a) qual a porcentagem de tubos defeituosos?qual a porcentagem de tubos defeituosos?

b)b) qual a probabilidade de encontrar dois tubos qual a probabilidade de encontrar dois tubos defeituosos em seqüência?defeituosos em seqüência?

c)c) qual a probabilidade de encontrar dois tubos qual a probabilidade de encontrar dois tubos conformes em seqüência?conformes em seqüência?

RPCAAP

3838


Testes de NormalidadeTestes de Normalidade

1º Método:1º Método:

Construir um Construir um histogramahistograma e compará-lo com e compará-lo com a curva normal. Em geral são necessários muitos a curva normal. Em geral são necessários muitos dadosdados

2º Método:2º Método:

Construir um Construir um gráfico de probabilidade gráfico de probabilidade normalnormal

1º Passo:1º Passo:

Dividir e agrupar em intervalos, pelo menos 50 Dividir e agrupar em intervalos, pelo menos 50 medidas individuais (como em um histograma)medidas individuais (como em um histograma)


Determinar, para estes dados, a freqüência de Determinar, para estes dados, a freqüência de distribuição, a freqüência de distribuição cumulativa e distribuição, a freqüência de distribuição cumulativa e a porcentagem cumulativa correspondente a cada a porcentagem cumulativa correspondente a cada intervalointervalo


Plotar, num Plotar, num papel de probabilidade normalpapel de probabilidade normal, , (ver pag. 42) a porcentagem cumulativa no eixo (ver pag. 42) a porcentagem cumulativa no eixo vertical e o limite superior do intervalo vertical e o limite superior do intervalo correspondente no eixo horizontalcorrespondente no eixo horizontal


Se os pontos encontrados estiverem numa linha que se Se os pontos encontrados estiverem numa linha que se aproxime de uma reta, a distribuição é normalaproxime de uma reta, a distribuição é normal

RPCAAP

3939



Exemplo:Exemplo:

80 medidas individuais (com os valores variando 80 medidas individuais (com os valores variando de 315,5 a 425,5) foram agrupados como segue:de 315,5 a 425,5) foram agrupados como segue:

Intervalos(largura 10)

Freqüência FreqüênciaCumulativa

PorcentagemCumulativa

315,5 — 325,5 2 2 2,5325,5 — 335,5 2 4 5,0335,5 — 345,5 7 11 13,75345,5 — 355,5 12 23 28,75355,5 — 365,5 7 30 37,50365,5 — 375,5 22 52 65,00375,5 — 385,5 10 62 77,50385,5 — 395,5 10 72 90,00395,5 — 405,5 4 76 95,00405,5 — 415,5 3 79 98,75415,5 — 425,5 1 80 100,00

Freqüência Cumulativa:Freqüência Cumulativa: É o É o número de medidas que estão no número de medidas que estão no intervalo, ou abaixo deleintervalo, ou abaixo dele

Freqüência Cumulativa:Freqüência Cumulativa: É o É o número de medidas que estão no número de medidas que estão no intervalo, ou abaixo deleintervalo, ou abaixo dele

Porcentagem Cumulativa:Porcentagem Cumulativa:Porcentagem Cumulativa:Porcentagem Cumulativa:Freqüência Cumulativa

Nº total de medidas (80)x100

RPCAAP

4040



Exemplo (Continuação)Exemplo (Continuação) Foi construído um histograma:Foi construído um histograma:

O histograma aparenta (mas não é muito claro) O histograma aparenta (mas não é muito claro) que a curva é normal.que a curva é normal.

No papel de probabilidade normal são plotados no No papel de probabilidade normal são plotados no eixo vertical as porcentagens cumulativas com os eixo vertical as porcentagens cumulativas com os correspondentes limites superiores dos intervalos correspondentes limites superiores dos intervalos no eixo horizontal (ver próxima pag.)no eixo horizontal (ver próxima pag.)

Conclue-se que a curva é normal, devido aos Conclue-se que a curva é normal, devido aos pontos se distribuírem, aproximadamente, numa pontos se distribuírem, aproximadamente, numa linha reta.linha reta.

0

5

10

15

20

25

315,5 325,5 335,5 345,5 355,5 365,5 375,5 385,5 395,5 405,5 415,5 425,5

Freqüência

RPCAAP

4141

DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUASDISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS Testes de NormalidadeTestes de Normalidade

Exemplo (continuação)Exemplo (continuação)

RPCAAP

4242

PAPEL DE PROBABILIDADE PAPEL DE PROBABILIDADE NORMALNORMAL

RPCAAP

4343


Teorema do Limite CentralTeorema do Limite Central

Como observado anteriormente a maior parte das Como observado anteriormente a maior parte das cartas de controle são baseadas em uma das três cartas de controle são baseadas em uma das três distribuições de probabilidades básicas:distribuições de probabilidades básicas:

Existem outras distribuições que não as três acima Existem outras distribuições que não as três acima mencionadas. Por exemplo, distribuições contínuas mencionadas. Por exemplo, distribuições contínuas distorcidas (“skewed”) são comuns em processos onde distorcidas (“skewed”) são comuns em processos onde um parâmetro está sendo maximizado ou minimizado.um parâmetro está sendo maximizado ou minimizado.

Isto não significa que não existem cartas de Isto não significa que não existem cartas de controle para estas situações; o que permite controle para estas situações; o que permite isto é o isto é o Teorema de Limite CentralTeorema de Limite Central

Distribuição deProbabilidade

Cartas de Controle

Binominal “p” e “np”

Poisson “c” e “”

Normal “X - R”, “X - S”, “Indivíduos”

RPCAAP

4444


Teorema de Limite CentralTeorema de Limite Central

Este teorema pode ser estabelecido por:Este teorema pode ser estabelecido por:

O desvio padrão da distribuição das médias ( ) é O desvio padrão da distribuição das médias ( ) é relacionado com o desvio padrão dos indivíduos ( ) relacionado com o desvio padrão dos indivíduos ( ) pela relação:pela relação:

Em muitos casos, o tamanho de “n” não precisa ser Em muitos casos, o tamanho de “n” não precisa ser muito grande. Usualmente sub-grupos de tamanho n=4 muito grande. Usualmente sub-grupos de tamanho n=4 ou n=5 são suficientes para permitir que as médias ou n=5 são suficientes para permitir que as médias sejam normalmente distribuídas.sejam normalmente distribuídas.

X

““Independentemente da forma de distribuição de uma Independentemente da forma de distribuição de uma população, a distribuição das suas médias (Xs), de sub-população, a distribuição das suas médias (Xs), de sub-grupos de tamanho “n”, tirados da população, tendem a grupos de tamanho “n”, tirados da população, tendem a ser uma distribuição normal quando o tamanho “n” do ser uma distribuição normal quando o tamanho “n” do

sub-grupo torna-se grande”sub-grupo torna-se grande”

““Independentemente da forma de distribuição de uma Independentemente da forma de distribuição de uma população, a distribuição das suas médias (Xs), de sub-população, a distribuição das suas médias (Xs), de sub-grupos de tamanho “n”, tirados da população, tendem a grupos de tamanho “n”, tirados da população, tendem a ser uma distribuição normal quando o tamanho “n” do ser uma distribuição normal quando o tamanho “n” do

sub-grupo torna-se grande”sub-grupo torna-se grande”

X n /

RPCAAP

4545

DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADESPROBABILIDADES

Aproximações das Distribuições de Aproximações das Distribuições de ProbabilidadeProbabilidade

Em alguns casos é desejável que uma distribuição de Em alguns casos é desejável que uma distribuição de probabilidade seja aproximada a outra, de outro tipo; probabilidade seja aproximada a outra, de outro tipo; por exemplo uma por exemplo uma BinomialBinomial de uma de de uma de PoissonPoisson, etc., etc.

As aproximações mais usuais, com as condições de As aproximações mais usuais, com as condições de aproximação, são abaixo mostradas:aproximação, são abaixo mostradas:

np > 10np > 10

p p 1/2 1/2

np > 10np > 10

p p 1/2 1/2

BinomialBinomialBinomialBinomial

PoissonPoissonPoissonPoisson

NormalNormalNormalNormal

p < 0,1p < 0,1p < 0,1p < 0,1

15151515

Quanto menor Quanto menor “p” e maior “p” e maior

“n”, melhor é a “n”, melhor é a aproximaçãoaproximação

Quanto maior Quanto maior ““” melhor é a ” melhor é a aproximaçãoaproximação

RPCAAP

4646


Outras Distribuições DiscretasOutras Distribuições Discretas

Distribuição HipergeométricaDistribuição Hipergeométrica

Distribuição de PascalDistribuição de Pascal

Outras Distribuições ContínuasOutras Distribuições Contínuas

Distribuição ExponencialDistribuição Exponencial

Distribuição GamaDistribuição Gama

Distribuição de WeibullDistribuição de Weibull

Distribuição UniformeDistribuição Uniforme

RPCAAP

4747

CARTAS DE CARTAS DE CONTROLE CONTROLE

PARA VARIÁVEISPARA VARIÁVEIS


PARA VARIÁVEISPARA VARIÁVEIS

RPCAAP

4848

CONTROLE DO PROCESSOCONTROLE DO PROCESSO

VariaçãoVariação Todo processo tem Todo processo tem variaçãovariação Não existem dois produtos identicos ou duas características Não existem dois produtos identicos ou duas características

exatamente iguaisexatamente iguais Os processos podem ser sensíveis a:Os processos podem ser sensíveis a:

Mudanças de materiaisMudanças de materiais Mudanças ambientaisMudanças ambientais Pessoas que os conduzemPessoas que os conduzem Flutuações econômicasFlutuações econômicas Etc.Etc.

Causas COMUNS de variaçãoCausas COMUNS de variação

São aquelas que geram variações São aquelas que geram variações sempre presentessempre presentes. Em . Em geral, são pequenas mudanças em umidade, temperatura, geral, são pequenas mudanças em umidade, temperatura, materiais, hora do dia, etc.materiais, hora do dia, etc.

Estas causas são aquelas que explicam porque duas peças Estas causas são aquelas que explicam porque duas peças nunca são idênticas.nunca são idênticas.

Para combater as Para combater as causas comuns de variaçãocausas comuns de variação, , geralmente são necessárias modificações fundamentais no geralmente são necessárias modificações fundamentais no processo.processo.

Causas ESPECIAIS de variação (ou ASSINALÁVEIS)Causas ESPECIAIS de variação (ou ASSINALÁVEIS)

São aquelas que geram variações São aquelas que geram variações nem sempre presentes nem sempre presentes (e altamente indesejáveis). Elas criam um “deslocamento” no (e altamente indesejáveis). Elas criam um “deslocamento” no processo. Estas variações podem ser repentinas ou na forma de processo. Estas variações podem ser repentinas ou na forma de uma tendência.uma tendência.

RPCAAP

4949


Processo sob ControleProcesso sob Controle

Somente causas comuns estão presentesSomente causas comuns estão presentes

A “locação” e a “dispersão” permanecem inalteradas A “locação” e a “dispersão” permanecem inalteradas no tempono tempo

Um processo em estado de controle pode não ser um Um processo em estado de controle pode não ser um processo “capaz”.processo “capaz”.

TEMPOTEMPO

RPCAAP

5050


Processo Fora de ControleProcesso Fora de Controle

Quando causas especiais estão presentesQuando causas especiais estão presentes

As saídas do processo são imprevisíveisAs saídas do processo são imprevisíveis

Os eventos não são repetidosOs eventos não são repetidos

Deslocamento Deslocamento na “locação” e na “locação” e na na “dispersão”“dispersão”

Deslocamento Deslocamento na na “dispersão”“dispersão”

Deslocamento Deslocamento na “locação”na “locação”

RPCAAP

5151

PROCESSO SOB PROCESSO SOB CONTROLECONTROLE

PROCESSO FORA DE PROCESSO FORA DE CONTROLECONTROLE

TEMPOTEMPO

VARIAÇÃO VARIAÇÃO TOTALTOTAL

(Somente Causas Comuns (Somente Causas Comuns Presentes)Presentes)

VARIAÇÃO TOTALVARIAÇÃO TOTAL

(Causas Especiais Presentes)(Causas Especiais Presentes)


RPCAAP

5252


1º 1º PASSO:PASSO:Eliminar / reduzir Eliminar / reduzir causas especiaiscausas especiais

2º 2º PASSO:PASSO:Reduzir causas comunsReduzir causas comuns

Redução / Eliminação de Causas de VariaçãoRedução / Eliminação de Causas de Variação

TEMPOTEMPO

RPCAAP

5353

CARTA DE CONTROLE X - RCARTA DE CONTROLE X - R

Como saber se:Como saber se:

uma causa especial de variação está presente?uma causa especial de variação está presente?

a variação que percebemos não é devida a uma causa a variação que percebemos não é devida a uma causa comum de variação ?comum de variação ?

As CARTAS DE CONTROLE são a resposta a As CARTAS DE CONTROLE são a resposta a estas perguntas.estas perguntas.

Existem duas cartas:Existem duas cartas:

Carta de controle X (média)Carta de controle X (média)

Carta de controle R (amplitude)Carta de controle R (amplitude)

Normalmente elas são utilizadas em conjunto, Normalmente elas são utilizadas em conjunto, pois elas têm funções diferentes:pois elas têm funções diferentes:

CARTA X : detecta deslocamentos na “locação”CARTA X : detecta deslocamentos na “locação”

CARTA R : detecta variações na “dispersão”CARTA R : detecta variações na “dispersão”

RPCAAP

5454

CARTA DE CONTROLE X - RCARTA DE CONTROLE X - R Carta de Controle XCarta de Controle X

Um Um processoprocesso produz uma produz uma populaçãopopulação de peças de peças (dados) com uma certa (dados) com uma certa distribuiçãodistribuição (que pode ou (que pode ou não ser não ser normalnormal).).

Supondo que o processo está Supondo que o processo está sob controlesob controle, , qualquer que seja a qualquer que seja a distribuiçãodistribuição, é possível provar, , é possível provar, estatisticamente, que as estatisticamente, que as médiasmédias de amostras de um de amostras de um determinado número de dados no correr do tempo (por determinado número de dados no correr do tempo (por exemplo, 5 dados retirados casualmente ao longo de exemplo, 5 dados retirados casualmente ao longo de uma hora), se comportam como uma uma hora), se comportam como uma distribuição distribuição normalnormal. (Teorema do Limite Central). (Teorema do Limite Central)

1ª amostra1ª amostra

2ª2ª

3ª3ª

4ª4ª

5ª5ª

6ª6ª

TEMPOTEMPO

Distribuição Distribuição das médiasdas médias

Distribuição da Distribuição da populaçãopopulação

= dados= dados= X = X (média dos (média dos dados)dados)

RPCAAP

5555


OBSERVE QUE:OBSERVE QUE:

A distribuição da população dos dados pode não ser A distribuição da população dos dados pode não ser normal; mesmo assim, a distribuição das médias é normal; mesmo assim, a distribuição das médias é frequentemente normal.frequentemente normal.

A média da população ( A média da população ( ) coincide com a média ) coincide com a média das médias ( X ).das médias ( X ).

A carta de controle X será construída sobre as médias A carta de controle X será construída sobre as médias das amostras e não sobre os dados coletados.das amostras e não sobre os dados coletados.

Distribição Normal Distribição Normal das médias ( X )das médias ( X )

Histograma das Histograma das médiasmédias

= X = Média das médias= X = Média das médias

Carta de Controle XCarta de Controle X

RPCAAP

5656



Para um processo sob controle, vimos que o Para um processo sob controle, vimos que o comportamento das medidas ( ) e das médias ( ) é comportamento das medidas ( ) e das médias ( ) é dada por:dada por:

Suprimindo todos os ( ) e mantendo os ( ) ,temos :Suprimindo todos os ( ) e mantendo os ( ) ,temos :

= = XX

CARTA DE CARTA DE CONTROLECONTROLE Limite de Limite de

Controle SuperiorControle Superior

Limite de Limite de Controle InferiorControle InferiorNão aparece na Não aparece na

Carta de ControleCarta de Controle

RPCAAP

5757



Se um processo continua sob controle, ele tem, por Se um processo continua sob controle, ele tem, por exemplo o seguinte aspecto:exemplo o seguinte aspecto:

Há 4 condições básicas de Há 4 condições básicas de fora de controlefora de controle::

1.1. Pontos fora dos limites de controlePontos fora dos limites de controle

2.2. Uma “corrida num dos lados da Uma “corrida num dos lados da linha delinha de

centro (pelo menos 8 pontos)centro (pelo menos 8 pontos)

3.3. Uma “tendência” (6 pontos Uma “tendência” (6 pontos consecutivosconsecutivos

crescendo ou decrescendo)crescendo ou decrescendo)

4.4. Um “ciclo”.Um “ciclo”.

RPCAAP

5858

CARTA DE CONTROLE X - RCARTA DE CONTROLE X - R Carta de Controle XCarta de Controle X

Exemplos de fora de controle:Exemplos de fora de controle:

1.1. Pontos fora dos limites de controlePontos fora dos limites de controle

2.2. “Corrida” num dos lados (mínimo 8 “Corrida” num dos lados (mínimo 8 pontos)pontos)

3.3. “Tendência” (6 pontos)“Tendência” (6 pontos)

4.4. “Ciclo”“Ciclo”

RPCAAP

5959



Há outros casos de condições fora de controle:Há outros casos de condições fora de controle:

5.5. “Alternância” “Alternância”

6.6. “Grupos”“Grupos”

7.7. Proximidade ao centroProximidade ao centro

RPCAAP

6060


Carta de Controle RCarta de Controle R

A Carta de Controle X tem como principal objetivo A Carta de Controle X tem como principal objetivo detectar “deslocamentos” em “locação”. Esta carta detectar “deslocamentos” em “locação”. Esta carta também poderia detectar variações na “dispersão”, também poderia detectar variações na “dispersão”, mas isto não é muito visível.mas isto não é muito visível.

Assim é necessário uma outra carta, que é a Carta de Assim é necessário uma outra carta, que é a Carta de Controle R (poderia ser a Carta de Controle S - ver Controle R (poderia ser a Carta de Controle S - ver adiante).adiante).

A Carta de Controle R é similar à Carta de Controle A Carta de Controle R é similar à Carta de Controle X, e normalmente elas são apresentadas em conjunto, X, e normalmente elas são apresentadas em conjunto, e, neste caso, ela é chamada e, neste caso, ela é chamada Carta de Controle X Carta de Controle X - R- R. .

RPCAAP

6161


Carta de Controle RCarta de Controle R

Como no caso da Carta de Controle X, a Carta de Como no caso da Carta de Controle X, a Carta de Controle R também não apresenta o mesmo valor de R Controle R também não apresenta o mesmo valor de R em todas as amostras.em todas as amostras.

Apesar de R não ter, necessáriamente, distribuição Apesar de R não ter, necessáriamente, distribuição normal, as mesmas regras da Carta de Controle X se normal, as mesmas regras da Carta de Controle X se aplicam.aplicam.

Ou seja, é esperado que R varie em torno de sua média Ou seja, é esperado que R varie em torno de sua média R, não sendo esperados “Corridas” “Tendências”, R, não sendo esperados “Corridas” “Tendências”, “Ciclos”, etc. “Ciclos”, etc.

1ª 1ª amostraamostra

2ª 2ª amostraamostra TempoTempo

= dados= dados

= X= X

= amplitude = amplitude

RPCAAP

6262


CARTA XCARTA X

CARTA RCARTA R

LSCLSC

LICLIC

X = X =

LSCLSC

LICLIC

RR

RPCAAP

6363


P A S S O S D E S C R I Ç Ã O1 º R e q u i s i t o d o c l i e n t e ; p r o b l e m a

2 º N o r m a l m e n t e n = 4 o u 5 . O o b j e t i v o ém i n i m i z a r a q u a n t i d a d e d e v a r i a ç õ e sd e n t r o d o s u b - g r u p o .

3 º D a d o s s ã o n o r m a l m e n t e c o l e t a d o s n ao r d e m e m q u e s ã o g e r a d o s

4 º N o r m a l m e n t e k 2 0

5 º P a r a c a d a s u b - g r u p o , r e g i s t r e o s d a -d o s , r e s u l t a d o s d a s a m o s t r a s i n d e -p e n d e n t e s

6 º X X n X X X ni n / ( . . . . . ) /1 2

o n d e X 1 , X 2 , . . . . . s ã o o s d a d o s d os u b - g r u p o

7 º R = X m a x - X m i n

8 º S e l e c i o n e a s e s c a l a s d a s c a r t a s ; l i g u eo s p o n t o s c o n s e c u t i v o s c o m u m a l i n h ar e t a e m c a d a c a r t a ( c a r t a X e c a r t a R )

E s c o l h a o f a t o r as e r c o n t r o l a d o

S e l e c i o n e o t a m a -n h o d o s u b - g r u p o( n )

S e l e c i o n e a f r e -q ü e n c i a d e c o l e t a

S e l e c i o n e o n ú m e r od e s u b - g r u p o s ( k )

R e g i s t r e o s d a d o s

C a l c u l e a m é d i a( X ) d e c a d a s u b -g r u p o

C a l c u l e a a m p l i -t u d e ( R ) d e c a d as u b - g r u p o

C o l o q u e o s X e Rn a s c a r t a s

Passos para construir a Carta X - RPassos para construir a Carta X - R

RPCAAP

6464


P A S S O S D E S C R I Ç Ã O9 º R R k R R R ki k / ( . . . . ) /1 2

M a r q u e R n a c a r t a R c o m u m a r e t a“ c h e i a ”

1 0 º X X k X X X ki k / ( . . . . ) /1 2

M a r q u e X n a c a r t a X c o m u m a r e t a“ c h e i a ” .

1 1 º L S C D R

L I C D RR

R

4

3

.

.M a r q u e o s v a l o r e s d o s l i m i t e s n a c a r t a R ,c o m l i n h a “ t r a c e j a d a ” .

1 2 º L S C X A R

L I C X A R

X

X

2

2

M a r q u e o s v a l o r e s d o s l i m i t e s n a c a r t a X ,c o m l i n h a “ t r a c e j a d a ” .

1 3 º U t i l i z e a s 7 c o n d i ç õ e s d e f o r a d e c o n t r o -l e . S e R e s t á f o r a d e c o n t r o l e a c a r t a X n ã oé v á l i d a , d e s d e q u e R n ã o é b o a e s t i m a t i v a .

1 4 º R d/ 2

S e R e s t á f o r a d e c o n t r o l e , a f ó r m u l a n ã o év á l i d a , d e s d e q u e R n ã o é b o a e s t i m a t i v a .

O b s e r v a ç ã o : P a r a o s v a l o r e s d e D 4 , D 3 , A 2 e d 2 ( q u e d e p e n d e m d e“ n ” ) v e r p a g 6 5 .S e , p o r e x e m p l o , p a r a n = 4 n ã o e x i s t e v a l o r d e D 3 , i s t os i g n i f i c a q u e n ã o e x i s t e L I C R

C a l c u l e a a m p l i -t u d e m é d i a ( R ) ec o l o q u e n a c a r t a R

C a l c u l e a m é d i ad a s m é d i a s ( X ) ec o l o q u e n a c a r t a X

C a l c u l e o s l i m i -t e s d e c o n t r o l ed a c a r t a R e c o -l o q u e n a c a r t a R

C a l c u l e o s l i m i -t e s d e c o n t r o l ed a c a r t a X e c o -l o q u e n a c a r t a X

I n t e r p r e t e a sc a r t a s X e R

C a l c u l e o v a l o r d od e s v i o p a d r ã o ( ) ,s e a p r o p r i a d o


RPCAAP

6565


Fatores para serem usados na Carta X - RFatores para serem usados na Carta X - R

(n) A2 D3 D4 d2

23456789

10111213141516171819202122232425

1.8801.0230.7290.5770.4830.4190.3730.3370.3080.2850.2660.2490.2350.2230.2120.2030.1940.1870.1800.1730.1670.1620.1570.153

0.0760.1360.1840.2230.2560.2840.3080.3290.3480.3640.3790.3920.4040.4140.4250.434p 4430.4520.459

3.2672.5742.2822.1142.0041.9241.8641.8161.7771.7741.7161.6921.6711.6521.6361.6211.6081.5961.5861.5751.5661.5571.5481.541

1.1281.6932.0592.3262.5342.7042.8472.9703.0783.1733.2583.3363.4073.4723.5323.5883.6403.6893.7353.7783.8193.8583.8953.931

RPCAAP

6666

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS Exercício 7Exercício 7

O tempo de reação de um reator em batelada afeta várias características do produto acabado. Outras bateladas são feitas por dia e delas tomados os tempos (em minutos) durante 20 dias, conforme abaixo:O tempo de reação de um reator em batelada afeta várias características do produto acabado. Outras bateladas são feitas por dia e delas tomados os tempos (em minutos) durante 20 dias, conforme abaixo:

a)a) Construa a carta de controle X - R e, se apropriado, calcule o desvio padrão (Construa a carta de controle X - R e, se apropriado, calcule o desvio padrão ())b)b) Interprete a carta de controleInterprete a carta de controleObservação:Observação: Pode ser usado qualquer padrão para aPode ser usado qualquer padrão para a

carta de X - R como, por exemplo, o dascarta de X - R como, por exemplo, o daspag. 67 (frente) e 68 (verso)pag. 67 (frente) e 68 (verso)Dias Tempo (min) / Batelada (n)

(k) 1 2 3 41 316 366 361 3812 334 336 384 3393 334 364 369 3394 346 397 335 3435 384 323 363 3886 370 372 369 3567 332 386 351 3668 383 380 366 3669 399 405 366 41610 371 372 373 37011 359 344 317 36412 395 345 362 34413 342 393 377 38614 364 372 385 36015 353 365 361 36716 362 369 366 34517 402 378 388 40118 371 381 353 34719 350 364 374 33020 348 345 351 347

X= R=

RX

RPCAAP

6767

RPCAAP

6868

RPCAAP

6969

CARTA DE CONTROLE X - SCARTA DE CONTROLE X - S

O uso da Carta X - SO uso da Carta X - S

Quando cresce o tamanho do sub-grupo (n) a amplitude Quando cresce o tamanho do sub-grupo (n) a amplitude (R) torna-se pobre e, neste caso, o desvio padrão da (R) torna-se pobre e, neste caso, o desvio padrão da amostra (S) é uma medida melhor da dispersãoamostra (S) é uma medida melhor da dispersão

Se o tamanho do sub-grupo for n > 9 a carta X - S Se o tamanho do sub-grupo for n > 9 a carta X - S devedeve ser usada no lugar da carta X - R ser usada no lugar da carta X - R

Porem, a carta X - S pode ser usada para valores Porem, a carta X - S pode ser usada para valores menores de n, dependendo da conveniênciamenores de n, dependendo da conveniência

R é mais fácil de calcular (manualmente) e é mais fácil R é mais fácil de calcular (manualmente) e é mais fácil de interpretar, para a maioria das pessoasde interpretar, para a maioria das pessoas

S fornece melhor estimativa da dispersão do processo e S fornece melhor estimativa da dispersão do processo e pode ser calculado facilmente em um computador.pode ser calculado facilmente em um computador.

Passos para construir a Carta X - SPassos para construir a Carta X - S

Os passos para construir X - S são similares àqueles de Os passos para construir X - S são similares àqueles de X - R (ver pag. 63 e 64) exceto nos seguintes:X - R (ver pag. 63 e 64) exceto nos seguintes:

7º Passo:7º Passo: Calcule o desvio padrão S de cada Calcule o desvio padrão S de cada sub-grupo:sub-grupo:

8º Passo:8º Passo: Coloque os X e S nas cartasColoque os X e S nas cartas

SX X

ni

2

1

RPCAAP

7070


Passos para construir a Carta X - S Passos para construir a Carta X - S

9º Passo:9º Passo: Calcule o desvio padrão Calcule o desvio padrão médio S e coloque na carta S:médio S e coloque na carta S:

11º Passo:11º Passo: Calcule os limites de Calcule os limites de controle da carta S e coloque na carta S:controle da carta S e coloque na carta S:

12º Passo:12º Passo: Calcule os limites de Calcule os limites de controle da carta X e coloque na carta X:controle da carta X e coloque na carta X:

13º Passo:13º Passo: Interprete as cartas X e S:Interprete as cartas X e S:

Se S está fora de controle a carta X não é Se S está fora de controle a carta X não é válidaválida

14º Passo:14º Passo: Calcule o valor do desvio Calcule o valor do desvio padrão (padrão (), se apropriado:), se apropriado:

Observação:Observação: Para os valores de BPara os valores de B44, B, B33, ,

AA33 e c e c44 ver pag. 71 ver pag. 71

S S k S S S ki k / .... /1 2

LSC B S

LIC B SS

S

4

3

.

.

LSC X A S

LIC X A S

X

X

3

3

S c/ 4

RPCAAP

7171


Fatores para serem usados na Carta X - SFatores para serem usados na Carta X - S

(n) A2 B3 B4 c4

23456789

10111213141516171819202122232425

2.6591.9541.6281.4271.2871.1821.0991.0320.9750.9270.8860.8500.8170.7890.7630.7390.7180.6980.6800.6630.6470.6330.6190.606

0.0300.1180.1850.2390.2840.3210.3540.3820.4060.4280.4480.4660.4820.4970.5100.5230.5340.5450.5550.565

3.2672.5682.2662.0891.9701.8821.8151.7611.7161.6791.6461.6181.5941.5721.5521.5341.5181.5031.4901.4771.4661.4551.4451.435

0.79790.88620.92130.94000.95150.95940.96500.96930.97270.97540.97760.97940.98100.98230.98350.98450.98540.98620.98690.98760.98820.98870.98920.9896

RPCAAP

7272



Construa a Carta X - S com os mesmos dados do Construa a Carta X - S com os mesmos dados do Exercício 7Exercício 7


Sete fornecedores fornecem o mesmo produto, durante Sete fornecedores fornecem o mesmo produto, durante um mês, sete vezes cada. Notaram-se diferenças entre os um mês, sete vezes cada. Notaram-se diferenças entre os pesos de recebimento (balança do cliente) e os pesos das pesos de recebimento (balança do cliente) e os pesos das notas fiscais. Decidiu-se usar uma carta X - S, com os notas fiscais. Decidiu-se usar uma carta X - S, com os dados abaixo, para se observar as diferenças entre dados abaixo, para se observar as diferenças entre fornecedores.fornecedores.

a)a) Consultar a carta de controle X - S e, se Consultar a carta de controle X - S e, se apropriado, calcule o desvio padrão (apropriado, calcule o desvio padrão ())

b)b) Interprete a carta de controleInterprete a carta de controle

Fornece- Diferenças de peso (Kg) / Entregas (n)dor (k) 1 2 3 4 5 6 7

1 1,7 - 1,6 0,8 - 0,3 0,2 1,2 0,72 0,3 0,6 0,1 - 0,5 0,6 - 1,2 0,33 - 0,9 - 1,5 - 1,7 - 0,4 - 0,8 - 0,1 - 0,54 0,3 0,5 - 0,2 - 0,4 0,2 0,3 0,15 - 0,2 0,1 - 1,0 0,5 0,2 0,9 - 0,76 0,1 0,3 - 0,2 0,3 0,5 0,1 - 0,27 - 0,4 0,8 0,3 - 0,9 - 0,5 0,4 0,2

X= S=

SX

RPCAAP

7373


O uso da Carta X - RO uso da Carta X - R

Cartas da mediana (X) são alternativas para as cartas da Cartas da mediana (X) são alternativas para as cartas da média (X)média (X)

Apesar de as medidas não serem tão desejáveis Apesar de as medidas não serem tão desejáveis estatisticamente como as médias, elas fornecem estatisticamente como as médias, elas fornecem conclusões similares e têm a vantagem de serem fáceis conclusões similares e têm a vantagem de serem fáceis de utilizar e não requererem muitos cálculosde utilizar e não requererem muitos cálculos

Cartas da mediana são, geralmente, utilizadas como Cartas da mediana são, geralmente, utilizadas como n n 10 10

Amostras com n Amostras com n imparimpar são mais convenientes; se n são mais convenientes; se n for for parpar a mediana é a média dos dois elementos do a mediana é a média dos dois elementos do meiomeio


Os passos para construir X - R são similares àqueles de Os passos para construir X - R são similares àqueles de X - R (ver pag. 63 e 64) exceto nos seguintes:X - R (ver pag. 63 e 64) exceto nos seguintes:

6º Passo:6º Passo: Calcule a mediana de cada sub-Calcule a mediana de cada sub-grupo:grupo:

Se n ímpar: X é imediatoSe n ímpar: X é imediato

Se n par: X é a média dos dois elementos Se n par: X é a média dos dois elementos do meiodo meio

10º Passo:10º Passo: Calcule a média das medianas X e Calcule a média das medianas X e coloque na carta X:coloque na carta X:

~~

~~

~~

~~

~~

~~

~~

~~~~

~ ~/

~ ~.....

~/X X k X X X ki k 1 2

RPCAAP

7474



12º Passo:12º Passo: Calcule os limites de controle da Calcule os limites de controle da carta carta

X e coloque na carta X:X e coloque na carta X:

OndeOnde

Observação:Observação: Os valores de DOs valores de D44, D, D33 e d e d22 são os são os

mesmos da pag. 65mesmos da pag. 65

~~

~~

~~ ~~

LSC X A R

LIC X A R

X

X

~

~

~ ~

~ ~

2

2

n2345678910~A21,881,190,800,690,550,510,430,410,36

RPCAAP

7575

CARTA DE CONTROLE X - AMCARTA DE CONTROLE X - AM Uso da Carta X - AMUso da Carta X - AM

Significados de X - AMSignificados de X - AM

X = valores individuais (e não médias)X = valores individuais (e não médias)

AM = amplitude móvelAM = amplitude móvel Quando os dados são Quando os dados são infreqüentesinfreqüentes (1 vez por dia, por (1 vez por dia, por semana, por mês) não é possível, dentro de tempos e semana, por mês) não é possível, dentro de tempos e recursos razoáveis, aplicar as cartas estudadas recursos razoáveis, aplicar as cartas estudadas anteriormente.anteriormente.

A carta X-AM é um método para observar a variação.A carta X-AM é um método para observar a variação.

A variação de “longo prazo” é a variação dos A variação de “longo prazo” é a variação dos individuais.individuais.

A variação de “curto prazo” é a variação das A variação de “curto prazo” é a variação das amplitudes entre amostras sucessivasamplitudes entre amostras sucessivas

A carta X - AM é uma carta a ser usada quando existe A carta X - AM é uma carta a ser usada quando existe somente um dado para representar uma situação num dado somente um dado para representar uma situação num dado instante (n é sempre igual a 1). Na carta X são colocados instante (n é sempre igual a 1). Na carta X são colocados os valores de X (e não X como nas cartas os valores de X (e não X como nas cartas X - R e X - S) X - R e X - S)

Para se utilizar a carta X-AM os resultados das amostras Para se utilizar a carta X-AM os resultados das amostras individuais devem ser normalmente distribuídas. Se não individuais devem ser normalmente distribuídas. Se não forem, a carta pode dar falsos sinaisforem, a carta pode dar falsos sinais

A carta X - AM não é tão sensível quanto a carta X - R.A carta X - AM não é tão sensível quanto a carta X - R.

Adicionalmente, os valores de X e R podem ter Adicionalmente, os valores de X e R podem ter variações significativas (mesmo com o processo variações significativas (mesmo com o processo sob controle) até que o número de dados sob controle) até que o número de dados individuais atinja 100.individuais atinja 100.

RPCAAP

7676

CARTA DE CONTROLE X - AMCARTA DE CONTROLE X - AM Passos para construir a Carta X - AMPassos para construir a Carta X - AM

P A S S O S D E S C R I Ç Ã O1 º

2 º D a d o s d e v e m s e r c o l e t a d o s n a s e -q ü ê n c i a e m q u e s ã o g e r a d o s

3 º N o r m a l m e n t e k 2 0L i m i t e s d e c o n t r o l e d e v e m s e r r e c a l -c u l a d o s a p ó s 1 0 0 p o n t o s c o l e t a d o s .

4 º P a r a c a d a a m o s t r a ( n = 1 ) r e g i s t r e o sd a d o s

5 º A M R X Xi i i 1 1 , o n d eX i + 1 é o r e s u l t a d o d a a m o s t r a i + 1 eX i é o r e s u l t a d o d a a m o s t r a iA M é s e m p r e p o s i t i v a

6 º s e l e c i o n e a s e s c a l a s d a s c a r t a sl i g u e o s p o n t o s c o n s e c u t i v o s c o mu m a l i n h a r e t a e m c a d a c a r t a

7 º R R R R Ri k k k / . . . . . . /( ) ( )1 2 3 1

o n d e R 2 , R 3 , . . . . . . , R k s ã o a s a m p l i t u -d e s e n t r e a m o s t r a s 2 e 1 , 3 e 2 , e t c .C o l o q u e e s t e s d a d o s n a c a r t a A M


S e l e c i o n e a f r e -q ü ê n c i a d a c a r t a

S e l e c i o n e o n ú m e -r o d e p o n t o s ( k )

R e g i s t r e o s d a d o s

C a l c u l e a a m p l i -t u d e m ó v e l ( A M )e n t r e d u a s a m o s -t r a s c o n s e c u t i v a s

P l o t e o s d a d o s X eA M

C a l c u l e a a m p l i t u -d e m é d i a ( R ) e c o -l o q u e n a c a r t a A M

RPCAAP

7777

CARTA DE CONTROLE X - AMCARTA DE CONTROLE X - AM Passos para construir a Carta X - AMPassos para construir a Carta X - AM

P A S S O S D E S C R I Ç Ã O8 º X X X X X ki k k / . . . . . /1 2

M a r q u e X n a c a r t a X c o m u m a r e t a“ c h e i a ”

9 º L S C R

L I CR

R

3 2 6 7,

M a r q u e o s v a l o r e s n a c a r t a c o m u m ar e t a “ t r a c e j a d a ”

1 0 º L S C X R

L I C X RX

X

2 6 6

2 6 6

,

,M a r q u e o s v a l o r e s n a c a r t a c o m u m ar e t a “ t r a c e j a d a ”

1 1 º U t i l i z e a s 7 c o n d i ç õ e s d e f o r a d ec o n t r o l e p a r a a c a r t a X . P a r a a c a r t aA M a ú n i c a c o n d i ç ã o ( d a s 7 ) é p a r ap o n t o s f o r a d o s l i m i t e s .S e A M e s t á f o r a d e c o n t r o l e , o s l i m i -t e s d e c o n t r o l e d a c a r t a X n ã o s ã ov á l i d o s

1 2 º R / ,1 1 2 8S e A M e s t á f o r a d e c o n t r o l e , a f ó r m u -l a n ã o é v a l i d a

C a l c u l e a m é d i a( X ) e c o l o q u e n ac a r t a X

C a l c u l e o s l i m i t e sd e c o n t r o l e d ac a r t a A M e c o l o -q u e n a c a r t a

C a l c u l e o s l i m i t e sd e c o n t r o l e d ac a r t a X e c o l o q u en a c a r t a

I n t e r p r e t e a s c a r -t a s X e A M

C a l c u l e o v a l o rd o d e s v i o p a d r ã o( ) , s e a p r o p r i a d o

n ã o e x i s t e n t e

RPCAAP

7878


A dureza de uma peça de plástico, que é produzida uma A dureza de uma peça de plástico, que é produzida uma vez por dia, é uma característica crítica para um cliente. Os vez por dia, é uma característica crítica para um cliente. Os dados de dureza das últimas 25 amostras são fornecidos dados de dureza das últimas 25 amostras são fornecidos abaixo.abaixo.

a)a) Construa a carta X - AM e, se apropriado, Construa a carta X - AM e, se apropriado, calcule o desvio padrão (s)calcule o desvio padrão (s)b)b) Interprete a carta de controleInterprete a carta de controle

Nº daamostra (k)

Dureza (x) Amplitude Mó-vel (Ri+1)

1 45 — 2 40 3 46 4 35 5 38 6 35 7 37 8 41 9 50 10 45 11 43 12 42 13 46 14 39 15 33 16 40 17 41 18 42 19 44 20 42 21 38 22 42 23 45 24 41 25 47

RPCAAP

7979

CARTA DE CONTROLE MM - AMCARTA DE CONTROLE MM - AM

Uso da Carta MM - AMUso da Carta MM - AM

Significado de MM - AMSignificado de MM - AM

MM = média móvelMM = média móvel

AM = amplitude móvelAM = amplitude móvel

Vimos que:Vimos que:

X - R é usada quando os dados são freqüentes e se X - R é usada quando os dados são freqüentes e se deseja detetar diferenças nos sub-grupos ao longo deseja detetar diferenças nos sub-grupos ao longo do tempo.do tempo.

X - AM é usada quando os dados são infreqüentes X - AM é usada quando os dados são infreqüentes e quando as medidas individuais são distribuídas e quando as medidas individuais são distribuídas normalmente.normalmente.

A carta MM - AM é usada quando os dados são A carta MM - AM é usada quando os dados são infreqüentes e as medidas individuais não são infreqüentes e as medidas individuais não são distribuídas normalmente.distribuídas normalmente.

Por exemplo, um processo com dados Por exemplo, um processo com dados infreqüentes, que está ocorrendo próximo de infreqüentes, que está ocorrendo próximo de um mínimo ou de um máximo (uma um mínimo ou de um máximo (uma distribuição distorcida - “skewed”)distribuição distorcida - “skewed”)

““distorcida à direita”distorcida à direita” ““distorcida à esquerda”distorcida à esquerda”

RPCAAP

8080

CARTA DE CONTROLE MM - AMCARTA DE CONTROLE MM - AM Passos para construir a Carta MM - AMPassos para construir a Carta MM - AM


2 º n é , e m g e r a l , i g u a l a 4 o u 5

3 º D a d o s d e v e m s e r c o l e t a d o s n a s e -q ü ê n c i a e m q u e s ã o g e r a d o s

4 º k 2 0

5 º P a r a 5 s u b - g r u p o s d e t a m a n h o n = 4 ,m o n t e o s s u b - g r u p o s d a s a m o s t r a s X i

( X 1 , X 2 , X 3 , . . . . ) , c o m o s e g u e :N º d o s u b - g r u p o A m o s t r a s n o S u b - g r u p o

1 X 1 X 2 X 3 X 4

2 X 2 X 3 X 4 X 5

3 X 3 X 4 X 5 X 6

4 X 4 X 5 X 6 X 7

5 X 5 X 6 X 7 X 8

6 º X X n X X X ni n / . . . . . /1 2

7 º R = X m a x - X m i n , o n d e :X m a x e X m i n s ã o o s m a i o r e s e m e n o r e sv a l o r e s d a s a m o s t r a s e m c a d a s u b -g r u p o


S e l e c i o n e o t a m a n h od o s u b - g r u p o ( n )

S e l e c i o n e a f r e -q ü ê n c i a d a c o l e t a


M o n t e o s s u b -g r u p o s

P a r a c a d a s u b -g r u p o c a l c u l e am é d i a m ó v e l ( X )

P a r a c a d a s u b - g r u p oc a l c u l e a a m p l i t u d em ó v e l ( R )

RPCAAP

8181

CARTA DE CONTROLE MM - AMCARTA DE CONTROLE MM - AM Passos para construir a Carta MM - AMPassos para construir a Carta MM - AM

P A S S O S D E S C R I Ç Ã O8 º S e l e c i o n e a s e s c a l a s d a s c a r t a s .

L i g u e o s p o n t o s c o n s e c u t i v o s c o mu m a l i n h a r e t a e m c a d a c a r t a

9 º R R k R R R ki k / . . . . /1 2

o n d e R 1 , R 2 , . . . s ã o a s a m p l i t u d e s d o ss u b - g r u p o s . M a r q u e n a c a r t a A M c o mu m a r e t a “ c h e i a ”

1 0 º X X k X X X ki k / . . . . . /1 2

1 1 º L S C D R

L I C D RR

R

4

3

.

.

M a r q u e o s v a l o r e s n ac a r t a A M c o m u m ar e t a “ t r a c e j a d a ”

1 2 º L S C X A R

L I C X A R

X

X

2

2

M a r q u e o s v a l o r e sn a c a r t a M M c o mu m a r e t a “ t r a c e j a d a ”

1 3 º S e A M e s t á f o r a d e c o n t r o l e , o s l i m i t e s d ac a r t a M M n ã o s ã o v á l i d o s .P a r a a m b a s a s c a r t a s ( M M e A M ) s ó é v á -l i d a a c o n d i ç ã o d e p o n t o s f o r a d o s l i m i t e s

1 4 º R d/ 2

S e A M e s t á f o r a d e c o n t r o l e , a f ó r m u -l a n ã o é v á l i d a

O b s e r v a ç ã o : O s v a l o r e s D 4 , D 3 , A 2 e d 2 s ã o o s m e s m o s d ac a r t a X - R

P l o t e o s d a d o sX ( M M ) e R ( A M )

C a l c u l e a a m p l i t u d em é d i a m ó v e l ( R ) ec o l o q u e n a c a r t a A M

C a l c u l e a m é d i a d a sm é d i a s ( X ) e c o l o -q u e n a c a r t a M M

C a l c u l e o s l i m i t e s d ec o n t r o l e d a c a r t a A Me c o l o q u e n a c a r t a

C a l c u l e o s l i m i t e s d ec o n t r o l e d a c a r t a M Me c o l o q u e n a c a r t a

I n t e r p r e t e a s c a r t a sM M e A M

C a l c u l e o v a l o r d od e s v i o p a d r ã o ( s ) ,s e a p r o p r i a d o

RPCAAP

8282


O conteúdo de parafina no querosene de entrada de uma O conteúdo de parafina no querosene de entrada de uma operação unitária de uma indústria química é uma operação unitária de uma indústria química é uma característica crítica. Todos os novos lotes de querosene são característica crítica. Todos os novos lotes de querosene são testados quanto ao seu conteúdo de parafina (entra um por testados quanto ao seu conteúdo de parafina (entra um por dia) e a tabela abaixo mostra os dados dos últimos 25 dias. Os dia) e a tabela abaixo mostra os dados dos últimos 25 dias. Os dados anteriores mostraram que a distribuição é não normal. dados anteriores mostraram que a distribuição é não normal. Foi decidido usar uma carta MM - AM com n = 5.Foi decidido usar uma carta MM - AM com n = 5.

a) a) Complete os valores de MM e AM (já estão calculados Complete os valores de MM e AM (já estão calculados para os lotes 5,6,7 e 8) e construa a carta MM - AMpara os lotes 5,6,7 e 8) e construa a carta MM - AMb) b) Interprete a carta e calcule o Interprete a carta e calcule o , se apropriado, se apropriado

Nº do % Média AmplitudeLote Parafina Móvel (MM) Móvel (AM)1 21,0 — —2 20,2 — —3 22,7 — —4 19,7 — —5 22,4 21,20 3,06 21,9 21,38 3,07 20,7 21,48 3,08 19,8 20,90 2,79 21,010 18,511 20,012 23,513 18,714 23,515 19,016 18,917 19,718 18,519 18,020 19,521 18,622 19,523 20,724 22,025 21,5

X = R =

RPCAAP

8383

CARTAS DE CONTROLE PARA CARTAS DE CONTROLE PARA VARIÁVELVARIÁVEL

CARTA DE CONTROLE LT (linhas de tendência)CARTA DE CONTROLE LT (linhas de tendência)

Alguns processos produzem dados que tendem a crescer Alguns processos produzem dados que tendem a crescer ou diminuir no tempo. Por exemplo:ou diminuir no tempo. Por exemplo:

Custos fixos (crescem devido à inflação)Custos fixos (crescem devido à inflação)

Rendimento de catalisadores (diminuem com o Rendimento de catalisadores (diminuem com o tempo)tempo)

Nestas cartas a média dos valores modifica-se, ao longo Nestas cartas a média dos valores modifica-se, ao longo do tempo, numa forma previsível.do tempo, numa forma previsível.

Esta carta não será estudada neste cursoEsta carta não será estudada neste curso

CARTA DE CONTROLE CUSUMCARTA DE CONTROLE CUSUM (Soma Cumulativa) (Soma Cumulativa)

ee

CARTA DE CONTROLE EWMA CARTA DE CONTROLE EWMA (Média Móvel (Média Móvel Ponderada Ponderada Exponencialmente)Exponencialmente) Estas cartas serão estudadas em outro cursoEstas cartas serão estudadas em outro curso

RPCAAP

8484

CARTAS DE CONTROLE PARA CARTAS DE CONTROLE PARA VARIÁVEISVARIÁVEIS Seleção das Cartas de Controle para VariáveisSeleção das Cartas de Controle para Variáveis

Neste caso só usar se

for próximo de 9; caso contrário

usar X - S

Frequência dos Dados

Distribição é Normal

Forma Previsível de Alteração

da Média

Forma Previsível de Alteração

da Média

Tipo devariação

Média Fácil de Calcular

Tipo deVerificação

n > 9 ?

S Fácil decalcular

MM-AM

LT

X-AM

CUSUMEWMA

X -SX -R

X - R

CUSUMEWMA

LT

FreqüêntesInfreqüêntes

S NSN

S

S N

Curto e Longo Prazo

N

N

S

S

Desvio da Meta

X - R

Curto e Longo Prazo

Desvio daMeta

N

RPCAAP

8585


PARA PARA ATRIBUTOSATRIBUTOS


PARA PARA ATRIBUTOSATRIBUTOS

RPCAAP

8686

CARTAS pCARTAS p

Uma Uma Carta p Carta p é usada para analisar a variação de dados é usada para analisar a variação de dados atributivos do tipo “sim/não”.atributivos do tipo “sim/não”.

É usada para determinar a porcentagem de itens É usada para determinar a porcentagem de itens defeituosos (não-conformes) num grupo de itens.defeituosos (não-conformes) num grupo de itens.

Exemplo de uma Exemplo de uma Carta pCarta p

Na área de expedição de uma empresa é considerado Na área de expedição de uma empresa é considerado que um embarque não-conforme é aquele que atrasa que um embarque não-conforme é aquele que atrasa mais do que 1 hora para chegar ao cliente.mais do que 1 hora para chegar ao cliente.

Vinte embarques são realizados por semana. A Vinte embarques são realizados por semana. A porcentagem de atraso em cada semana (p) é o número porcentagem de atraso em cada semana (p) é o número de atrasos dividido pelo número de embarque (20).de atrasos dividido pelo número de embarque (20).

Os dados das últimas 30 semanas é mostrado na carta p Os dados das últimas 30 semanas é mostrado na carta p abaixo.abaixo.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0 5 10 15 20 25 30

Fração de Embarques Atrasados

LSCp

p

Número da semana

RPCAAP

8787

CARTAS pCARTAS p Passos para construir a Carta pPassos para construir a Carta p

P ASSOS D ESC R IÇ ÃO1 º

2 º n d e v e s e r g r a n d e ( 5 0 a 2 0 0 ) , p a r ac o n t e r d i v e r s o s i t e n s n ã o - c o n f o r m e s .S e p o s s í v e l o t a m a n h o d e v e s e rc o n s t a n t e ; s e n ã o f o r n ã o d e v e v a r i a rm a i s d o q u e ± 2 5 %

3 º D a d o s d e v e m s e r c o l e t a d o s n a o r d e me m q u e f o r a m g e r a d o s

4 º k 2 5

5 º R e g i s t r e o i t e m c o m o n ã o - c o n f o r m e ,o u c o m o c o n f o r m e ( s e o i t e m t e mv á r i o s d e f e i t o s e l e é c o n t a d o c o m oso m ente u m n ã o - c o n f o r m e )

6 º S e n p = n º d e n ã o c o n fo rm e s n o s u b -g ru p on = n º d e i te n s d o s u b -g ru p o

e n tã on pn

p

7 º S e l e c i o n e a e s c a l a d a c a r t a ,l i g u e o s p o n t o s c o m l i n h a s r e t a s


S e le c i o n e o t a m a n h od o s u b - g r u p o ( n )

S e l e c i o n e a f r e -q ü ê n c i a d a c o l e t a


I n s p e c i o n e c a d ai t e m n o s u b - g r u p oe r e g i s t r e

D e t e r m i n e p p a r ac a d a s u b - g r u p o

P lo t e o s d a d o s

( p o r c e n ta g e m d e n ã o - c o n fo r m e s )

RPCAAP

8888

CARTAS pCARTAS p Passos para construir a Carta pPassos para construir a Carta p

P A S S O S D E S C R I Ç Ã O8 º P a r a n c o n s t a n t e

p p k p p p kk / . . . . . . /1 2

S e n n ã o é c o n s t a n t e :

p n p nn p n p n p

n n nk k

k

/

. . . .

. . . .1 1 2 2

1 2

t r a c e n o g r á f i c o u m a l i n h a “ c h e i a ”9 º n n k n n n kk / . . . . /1 2

S e n é c o n s t a n t e : n = n

1 0 º

L S C p p p n

L I C p p p n

p

p

3 1

3 1

/

/

M a r q u e o s v a l o r e s n a c a r t a c o m u m al i n h a “ t r a c e j a d a ”

1 1 º O s s e g u i n t e s t e s t e s p a r a c o n t r o l e e s -t a t í s t i c o s ã o v á l i d o s : p o n t o s a l é m d o s l i m i t e s “ c o r r i d a ” n u m d o s l a d o s ( m í n i m o 8

p o n t o s ) “ a l t e r n â n c i a ”

C a l c u l e a m é d i ad o p r o c e s s o ( p ) ec o l o q u e n o g r á f i c o

C a l c u l e a m é d i ad o t a m a n h o d os u b - g r u p o ( n )

C a l c u l e o s l i m i t e sd e c o n t r o l e d aC a r t a p e c o l o q u en o g r á f i c o

I n t e r p r e t e a c a r t a p

RPCAAP

8989


Uma empresa produz um líquido que contem um componente, Uma empresa produz um líquido que contem um componente, cuja especificação é de 50 ppm máximo. O cromatógrafo usado na cuja especificação é de 50 ppm máximo. O cromatógrafo usado na inspeção tem um limite de detecção mínimo de 10 ppm e, inspeção tem um limite de detecção mínimo de 10 ppm e, normalmente, o produto tem um valor inferior a 10 ppm, não normalmente, o produto tem um valor inferior a 10 ppm, não ultrapassando nunca 30 ppm. Apesar do produto estar dentro da ultrapassando nunca 30 ppm. Apesar do produto estar dentro da especificação a empresa decidiu verificar a variação do produto especificação a empresa decidiu verificar a variação do produto acima de 10 ppm, coletando 3 amostras por dia em 7 dias por acima de 10 ppm, coletando 3 amostras por dia em 7 dias por semana, durante 25 semanas.semana, durante 25 semanas.

a)a) Complete a coluna p e construa a Carta pComplete a coluna p e construa a Carta pb)b) Interprete a cartaInterprete a cartaObservação:Observação: Pode ser usado o modelo das páginas 107Pode ser usado o modelo das páginas 107

(frente) e 108 (verso), ou outro(frente) e 108 (verso), ou outro

Nº da Semana Tamanho doSub-Grupo (n)

Amostras> 10 ppm (np)

% não-conforme (p)

1 21 3 0,14 2 21 5 0,24 3 21 2 0.10 4 21 3 5 21 4 6 21 2 7 21 4 8 21 10 9 21 8 10 21 6 11 21 3 12 21 7 13 21 8 14 21 2 15 21 7 16 21 6 17 21 6 18 21 9 19 21 4 20 21 10 21 21 3 22 21 5 23 21 7 24 21 4 25 21 8

RPCAAP

9090

CARTA pCARTA p Carta p com variação no tamanho do sub-Carta p com variação no tamanho do sub-

grupogrupoÀs vezes, não é possível n = n; isto ocorre, Às vezes, não é possível n = n; isto ocorre, normalmente, quando não é possível formar grandes normalmente, quando não é possível formar grandes sub-grupos, num tempo razoável.sub-grupos, num tempo razoável.

Como visto anteriormente n não deve variar mais do Como visto anteriormente n não deve variar mais do que ± 25%, quando se utiliza n para calcular os limites que ± 25%, quando se utiliza n para calcular os limites de controle.de controle.

Teoricamente os limites de controle devem ser Teoricamente os limites de controle devem ser recalculados a cada vez que n é modificado. Se n é recalculados a cada vez que n é modificado. Se n é grande, os limites se aproximam do centro. Para evitar grande, os limites se aproximam do centro. Para evitar o cálculo dos limites para cada n, n é usado. Porém, o cálculo dos limites para cada n, n é usado. Porém, pontos próximos dos limites devem ser examinados, pontos próximos dos limites devem ser examinados, podendo até ser necessário recalcular os limites nestes podendo até ser necessário recalcular os limites nestes pontos.pontos.

Necessidade de recalcular limites de controleNecessidade de recalcular limites de controle Para n > nPara n > n

Para n < nPara n < n

Fora de controle mesmo com

limites baseados em n

Necessário recalcular os


Necessário recalcular os


Pontos sob controle mesmo

com limites baseados em n

RPCAAP

9191


Quando da contabilização de despesas de viagens de pessoal Quando da contabilização de despesas de viagens de pessoal de um empresa, percebeu-se que ocorrem três tipos de erros de um empresa, percebeu-se que ocorrem três tipos de erros na apresentação das contas: valores incorretos, códigos na apresentação das contas: valores incorretos, códigos incorretos e falta de recibos. A empresa resolveu determinar incorretos e falta de recibos. A empresa resolveu determinar a freqüência do problema e se ele é um problema de sistema.a freqüência do problema e se ele é um problema de sistema.Coletaram-se as despesas recebidas em cada dia (este Coletaram-se as despesas recebidas em cada dia (este número varia de dia para dia). Os dados dos últimos 25 dias número varia de dia para dia). Os dados dos últimos 25 dias são:são:

a)a) Construir a carta de controle baseada em n (observe que Construir a carta de controle baseada em n (observe que isto não é válido pois n varia mais do que ±25%) e analise isto não é válido pois n varia mais do que ±25%) e analise os resultadosos resultadosb) b) Interprete a cartaInterprete a carta

Nº dodia

Nº de desp.por dia (n)

Nº de não-con-formidades (np)

% de não-conformes (p)

LSCp LICp

1 25 5 2 34 7 3 56 14 4 43 7 5 36 13 6 42 17 7 21 3 8 24 8 9 36 5 10 29 9 11 41 15 12 35 12 13 34 17 14 37 6 15 41 9 16 42 17 17 43 5 18 23 6 19 38 16 20 47 14 21 30 7 22 42 3 23 33 14 24 31 3 25 35 5

RPCAAP

9292

CARTAS npCARTAS np

Uma Uma Carta np Carta np é usada (acima como a é usada (acima como a Carta pCarta p) para ) para analisar a variação de dados atributivos do tipo analisar a variação de dados atributivos do tipo “sim/não’.“sim/não’.

A A Carta np Carta np é usada para determinar o é usada para determinar o númeronúmero de de itens não conformes num grupo de itens (a Carta p é itens não conformes num grupo de itens (a Carta p é usada para determinar a usada para determinar a porcentagemporcentagem de itens não de itens não conformes num grupos de itens). A maior diferença conformes num grupos de itens). A maior diferença entre a entre a Carta p Carta p e a e a Carta np Carta np é que, para esta, é que, para esta, n é n é constante.constante.

Exemplo de uma Exemplo de uma Carta npCarta np

Usando o mesmo exemplo da Carta p, agora plotados Usando o mesmo exemplo da Carta p, agora plotados os números os números dos embarques atrasados (e não as dos embarques atrasados (e não as frações-percentuais-dos embarques atrasados).frações-percentuais-dos embarques atrasados).

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 5 10 15 20 25 30

Nº de Embarques

atrasados por semana

LSCp

np

Número da semana

RPCAAP

9393

CARTAS npCARTAS np

Passos para construir a Carta npPassos para construir a Carta np

PASSOS DESCRIÇÃO1º

2º n deve ser grande (50 a 200),n deve ser constante

3º Dados devem ser coletados na ordemem que foram gerados

4º k 25

5º Registre o item como não-conforme,ou como conforme (se o item temvários defeitos ele é contado comosomente um não-conforme)

6º np = número de itens não conformes

7º Selecione a escala da carta,ligue os pontos com linhas retas

Escolha o fator aser controlado

Selecione o tama-nho do sub-grupo(n)

Selecione a fre-qüência da coleta

Selecione o númerode sub-grupos (k)

Inspecione cadaitem no sub-grupoe registre

Determine np paracada sub-grupo

Plote os dados

RPCAAP

9494

CARTAS npCARTAS np


P A S S O S D E S C R I Ç Ã O8 º n p n p k n p n p n p kk / . . . . . . /1 2

T r a c e n o g r á f i c o u m a l i n h a “ c h e i a ”

9 º

L S C n p n p n p n

L I C n p n p n p n

n p

n p

3 1

3 1

/

/

M a r q u e o s v a l o r e s n a c a r t a c o m u m a l i -n h a “ t r a c e j a d a ”

1 1 º O s s e g u i n t e s t e s t e s p a r a c o n t r o l e e s t a -t í s t i c o s s ã o v á l i d o s : p o n t o s a l é m d o s l i m i t e s “ c o r r i d a ” n u m d o s l a d o s ( m í n i m o 8


C a l c u l e a m é d i ad o p r o c e s s o ( n p ) ec o l o q u e n o g r á f i c o

C a l c u l e o s l i m i t e sd e c o n t r o l e e c o -l o q u e n o g r á f i c o

I n t e r p r e t e a c a r t a n p

RPCAAP

9595


Num hospital de 25 leitos foram compradas 25 camas Num hospital de 25 leitos foram compradas 25 camas com múltiplos movimentos. O fabricante garante que com múltiplos movimentos. O fabricante garante que defeitos em movimentação não devem ultrapassar 1%.defeitos em movimentação não devem ultrapassar 1%.A direção do hospital resolveu monitorar esta situação, A direção do hospital resolveu monitorar esta situação, considerando que qualquer cama que tenha pelo menos considerando que qualquer cama que tenha pelo menos uma falta de movimento deve ser considera não uma falta de movimento deve ser considera não conforme. Os dados dos últimos vinte e cinco dias foram conforme. Os dados dos últimos vinte e cinco dias foram levantadoslevantados

a) a) Construa a carta npConstrua a carta npb) b) Interprete a carta npInterprete a carta np

Dia Número inspecio-nado (n)

Nº de não-conformidades

1 25 0 2 25 2 3 25 1 4 25 4 5 25 0 6 25 0 7 25 8 8 25 2 9 25 1 10 25 2 11 25 0 12 25 7 13 25 2 14 25 2 15 25 0 16 25 0 17 25 2 18 25 0 19 25 0 20 25 1 21 25 0 22 25 6 23 25 2 24 25 3 25 25 1

RPCAAP

9696

CARTAS cCARTAS c Uma Uma Carta c Carta c (assim como a (assim como a Carta u Carta u - ver adiante) é - ver adiante) é

usada para analisar a variação de dados atributivos do usada para analisar a variação de dados atributivos do tipo “contagem”.tipo “contagem”.É usada para contar o É usada para contar o número de não número de não conformidades conformidades (ou outro aspecto de interesse) (ou outro aspecto de interesse) por por item item ou ou por unidade. por unidade. Lembramos que as cartas p e np são usadas para avaliar Lembramos que as cartas p e np são usadas para avaliar o o número de itens não-conformesnúmero de itens não-conformes..

A A Carta c Carta c (e também a (e também a Carta uCarta u) é chamada de ) é chamada de Carta Carta de Área de Oportunidadesde Área de Oportunidades, uma vez que ela , uma vez que ela monitora o número de vezes que um aspecto de interesse monitora o número de vezes que um aspecto de interesse ou não-conformidade ocorre numa ou não-conformidade ocorre numa área de área de oportunidadeoportunidade. Se este aspecto de interesse ou não . Se este aspecto de interesse ou não conformidade for definido com um conformidade for definido com um eventoevento, podemos , podemos definir definir área de oportunidade área de oportunidade como uma unidade como uma unidade onde um ou mais eventos podem ocorrer.onde um ou mais eventos podem ocorrer.

Áreas de oportunidade Áreas de oportunidade podem ser unidades podem ser unidades individuais de produção ou sub-grupos baseados em individuais de produção ou sub-grupos baseados em unidades de tempo, espaço ou área.unidades de tempo, espaço ou área.Exemplos:Exemplos:

Áreas de oportuni-dades

Nº de Eventos

Rede telefônica Nº de chamadas por horaSetor de manutenção Nº de solicitações por semanaChapa de aço Nº de inclusões de escóriaRestaurante Nº de clientes chegando por hora

RPCAAP

9797

CARTAS cCARTAS c Numa dada aplicação os eventos podem ser todos do mesmo Numa dada aplicação os eventos podem ser todos do mesmo

tipo ou podem incluir um número de diferentes tipos de não tipo ou podem incluir um número de diferentes tipos de não conformidades.conformidades.

Por exemplo, uma chapa de aço (área de oportunidade) pode Por exemplo, uma chapa de aço (área de oportunidade) pode ter não conformidades (eventos) diferentes: inclusões de ter não conformidades (eventos) diferentes: inclusões de escória, “pittings" de corrosão, trincas, etc...escória, “pittings" de corrosão, trincas, etc...

Neste caso, cada não-conformidade, independente do tipo, Neste caso, cada não-conformidade, independente do tipo, será contada como um evento.será contada como um evento.

Quando as áreas de oportunidade são de mesmo tamanho, Quando as áreas de oportunidade são de mesmo tamanho, usamos a usamos a Carta c Carta c (caso contrário usamos a (caso contrário usamos a Carta uCarta u))

Para se diferenciar melhor as Para se diferenciar melhor as Cartas p e np Cartas p e np das das Cartas c Cartas c e u e u consideremos um exemplo: a galinha e os piolhos.consideremos um exemplo: a galinha e os piolhos.

Se estamos interessados em Se estamos interessados em número de galinhas número de galinhas com piolhos com piolhos em amostra de galinhas, podemos usar a em amostra de galinhas, podemos usar a Carta np Carta np ou a ou a Carta pCarta p, quando há o mesmo número de , quando há o mesmo número de galinhas em cada sub-grupo e a galinhas em cada sub-grupo e a Carta p Carta p quando o quando o número de galinhas varia de sub-grupo para sub-grupo.número de galinhas varia de sub-grupo para sub-grupo.

Se estamos interessados em Se estamos interessados em números de piolhos em números de piolhos em galinhasgalinhas, usamos a , usamos a Carta c Carta c ou a ou a Carta uCarta u. Se as . Se as galinhas que estamos estudando são todas do mesmo galinhas que estamos estudando são todas do mesmo tamanho, a tamanho, a Carta c Carta c é a mais apropriada; galinhas de é a mais apropriada; galinhas de tamanho diferentes, requerem a tamanho diferentes, requerem a Carta u.Carta u.

RPCAAP

9898

CARTAS cCARTAS c

Exemplo de uma Exemplo de uma Carta cCarta c

Numa planta química, que tem milhares de válvulas, a Numa planta química, que tem milhares de válvulas, a variação no número de válvulas que vazam está sendo variação no número de válvulas que vazam está sendo monitorada. Neste caso o tamanho do sub-grupo é a monitorada. Neste caso o tamanho do sub-grupo é a planta toda (todas as válvulas). A área de oportunidade é planta toda (todas as válvulas). A área de oportunidade é grande em relação ao número de eventos (algumas grande em relação ao número de eventos (algumas válvulas vazam em cada semana). Nas últimas 25 válvulas vazam em cada semana). Nas últimas 25 semanas o número de válvulas que vazaram estão semanas o número de válvulas que vazaram estão plotados na carta abaixoplotados na carta abaixo

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25

Nº de válvulas que vazam LSC

c

c

Número da semana

LICc

RPCAAP

9999

CARTAS npCARTAS np



2º O tamanho do sub-grupo (n) é a áreaonde eventos podem ocorrer.n é constante de sub-grupo a sub-grupo


4º k 25

5º c é o número de defeitos; não importao tipo

6º

7º Selecione a escala da carta,ligue os pontos com linhas retas


Selecione o tama-nho do sub-grupo(n)



Conte o númerode não-conformi-dades (c) em cadasub-grupo

Registre os dados

Plote os dados

RPCAAP

100100

CARTAS pCARTAS p

Passos para construir a Carta pPassos para construir a Carta p

P AS S O S D E S C R IÇ ÃO8 º c c k c c c kk / . . . . . . /1 2

o n d e c 1 , c 2 , . . . . , c k s ã o o s n ú m e r o s d ed e f e i t o s , n o s s u b - g r u p o s 1 , 2 , . . . . . , k e ké o n ú m e r o d e s u b - g r u p o s

9 º L S C c c

L I C c c

c

c

3

3M a r q u e o s v a l o r e s n a c a r t a c o m u m a l i -n h a “ t r a c e j a d a ”

1 0 º O s s e g u i n t e s t e s t e s p a r a c o n t r o l e e s t a -t í s t i c o s s ã o v á l i d o s : p o n t o s a l é m d o s l i m i t e s “ c o r r i d a ” n u m d o s l a d o s ( m í n i m o 8


C a l c u l e a m é d i ad o p r o c e s s o ( c ) ec o l o q u e n o g r á f i c o

C a l c u l e o s l i m i t e sd e c o n t r o l e e c o -l o q u e n o g r á f i c o

I n t e r p r e t e a C a r t a c

RPCAAP

101101


O gerente de uma planta está interessado em determinar O gerente de uma planta está interessado em determinar se uma novo programa de segurança, implantado há se uma novo programa de segurança, implantado há quatro meses, está ajudando a reduzir acidentes. São quatro meses, está ajudando a reduzir acidentes. São considerados acidentes aqueles que requerem primeiros considerados acidentes aqueles que requerem primeiros socorros ou mais. Os dados dos últimos 24 meses são socorros ou mais. Os dados dos últimos 24 meses são dados abaixo.dados abaixo.

a)a) Construa a Carta c (é aplicável?)Construa a Carta c (é aplicável?)b)b) Interprete a Cata c Interprete a Cata c

Nº do Mês Nº de Acidentes 1 5 2 3 3 2 4 4 5 0 6 3 7 4 8 1 9 4 10 8 11 3 12 1 13 0 14 4 15 6 16 2 17 4 18 5 19 3 20 6 21 2 22 3 23 1 24 5

RPCAAP

102102

CARTAS uCARTAS u

AA Carta u Carta u é similar à é similar à Carta cCarta c. A principal diferença é . A principal diferença é que a Carta u não precisa ter o tamanho do sub-grupo que a Carta u não precisa ter o tamanho do sub-grupo constante.constante.

Para se usar a Para se usar a Carta u Carta u a área de oportunidades para a área de oportunidades para ocorrer defeitos no sub-grupo deve ser muito grande, mas ocorrer defeitos no sub-grupo deve ser muito grande, mas o número de defeitos que realmente ocorre deve ser o número de defeitos que realmente ocorre deve ser pequeno.pequeno.

Pelo fato de, em geral, os sub-grupos não terem tamanhos Pelo fato de, em geral, os sub-grupos não terem tamanhos iguais há duas alternativas para se construir as iguais há duas alternativas para se construir as Cartas uCartas u::

Os limites de controle calculados com base na média Os limites de controle calculados com base na média dos sub-grupos (n), desde que a variação entre dos sub-grupos (n), desde que a variação entre tamanhos de sub-grupos não seja maior do que ±25%tamanhos de sub-grupos não seja maior do que ±25%

Os limites de controle calculados para cada sub-grupoOs limites de controle calculados para cada sub-grupo

LSLSCCuu

LICLIC

uu

uu

(LSC(LSCuu) ) variávelvariável

(LIC(LICuu) ) variávelvariável

uu

RPCAAP

103103

CARTAS uCARTAS u

Passos para construir a Carta uPassos para construir a Carta u


2º Este número é arbritário, escolhidoconforme o problema


4º k 25

5º c = nº de defeitos encontrados emcada sub-grupo

n = Tamanho do sub-grupo = = número possível de amostras / UI

6ºu

c

n

7º Selecione a escala do gráfico,ligue os pontos


Selecione o tama-nho da Unidade deInspeção (UI)



Para cada sub-grupodetermine c e n

Calcule o númerode defeitos porunidade de inspe-ção (u)

Plote os dados

RPCAAP

104104

CARTAS uCARTAS u Passos para construir a Carta uPassos para construir a Carta u


u cc c c

n n nnk

k

/. . . . . .

. . . . . .1 2

1 2

o n d e c 1 , c 2 , . . . . , c k s ã o o s n ú m e r o s d ed e f e i t o s , n o s s u b - g r u p o s 1 , 2 , . . . . . , k en 1 , n 2 , . . . . , n k s ã o o s t a m a n h o s d o s s u b -g r u p o s 1 , 2 . . . . , kM a r q u e u c o m u m a l i n h a “ c h e i a ”

9 º n n k n n n kk / . . . . . . . /1 2

1 0 ºL S C u

un

L I C uun

u

u

3

3

.

.

M a r q u e o s l i m i t e s c o m u m a l i n h a“ t r a c e j a d a ” .T e o r i c a m e n t e d e v e m s e r c a l c u l a d o s L Cp a r a c a d a s u b - g r u p o . N o e n t a n t o , s e nn ã o v a r i a r m a i s d o q u e ± 2 5 % , i s t o n ã oé n e c e s s á r i o ( v e r a d i a n t e )

1 1 º O s s e g u i n t e s c o n t r o l e s e s t a t í s t i c o s s ea p l i c a m : P o n t o s a l é m d o s l i m i t e s d e c o n t r o l e “ C o r r i d a ” n u m d o s l a d o s ( m í n i m o 8

p o n t o s ) “ A l t e r n â n c i a ”

C a l c u l e o n ú m e r od e d e f e i t o s m é d i op o r s u b - g r u p o ( u ) ec o l o q u e n o g r á f i c o

c a l c u l e o t a m a n h om é d i o d o s s u b -g r u p o s ( n )

C a l c u l e o s l i m i t e sd e c o n t r o l e e c o l o -q u e n o g r á f i c o

I n t e r p r e t e a c a r t a u

RPCAAP

105105

CARTAS uCARTAS u

Carta u com tamanho variável do sub-grupoCarta u com tamanho variável do sub-grupo

Teoricamente os limites de controle devem ser Teoricamente os limites de controle devem ser calculados para cada sub-grupo, exceto se n não variar calculados para cada sub-grupo, exceto se n não variar mais do que ±25%, quando é aceitável calcular os mais do que ±25%, quando é aceitável calcular os limites com base em n.limites com base em n.

Porém, quando um ponto nesta carta se aproxima de Porém, quando um ponto nesta carta se aproxima de um dos limites é aconselhável recalcular o limite para um dos limites é aconselhável recalcular o limite para este ponto, seguindo a regra abaixoeste ponto, seguindo a regra abaixo

Para n > nPara n > n

Para n < nPara n < n

Fora de controle mesmo com


Recalcular os limites com base

em n

Recalcular os limites com base

em n

Sob controle, mesmo com


RPCAAP

106106



Um certo número de desenhos (>10) é revisado todos os Um certo número de desenhos (>10) é revisado todos os dias no departamento de engenharia. Foi escolhido dias no departamento de engenharia. Foi escolhido como unidade de inspeção (UI) 10 desenhos. Os dados como unidade de inspeção (UI) 10 desenhos. Os dados foram coletados para 25 semanas (k = 25 ), como segueforam coletados para 25 semanas (k = 25 ), como segue

a) a) Complete as tabelas e construa a Carta uComplete as tabelas e construa a Carta u

b) b) Interprete a CartaInterprete a Carta

Nº desemana

DesenhosRevisados

Tamanho dosub-grupo (n)

Nº de revi-sões (c)

Revisões porunidade (u)

1 200 20 56 2,8 2 150 15 43 2,9 3 160 16 65 4,1 4 180 18 39 2,2 5 320 60 6 270 55 7 210 53 8 170 46 9 220 38 10 260 45 11 270 62 12 300 35 13 200 44 14 160 34 15 130 40 16 170 65 17 240 43 18 260 55 19 230 57 20 290 53 21 250 56 22 170 43 23 200 38 24 240 69 25 270 44

RPCAAP

107107

RPCAAP

108108

RPCAAP

109109

CARTAS DE CONTROLE PARA CARTAS DE CONTROLE PARA ATRIBUTOSATRIBUTOS

Seleção de Cartas para AtributosSeleção de Cartas para Atributos

Tipo de Dado

pnp

p u c

MesmoTamanho doSub-grupo

MesmoTamanho doSub-grupo

Diferençamaior do que

± 25%

Diferençamaior do que

± 25%

u, comLC (n)

u, comLC variável

p, com LC variável

p, comLC (n)

* *

(Sim/Não) Contagem

S N

S

N N

S

N

S

* Inclue análise / recálculo dos limites de controle

RPCAAP

110110

USO DE CARTAS USO DE CARTAS DE CONTROLEDE CONTROLE

USO DE CARTAS USO DE CARTAS DE CONTROLEDE CONTROLE

RPCAAP

111111

USO DE CARTAS DE CONTROLEUSO DE CARTAS DE CONTROLE Diretrizes para implementar Cartas de ControleDiretrizes para implementar Cartas de Controle

1ª Diretriz - Iniciar uma Carta de Controle1ª Diretriz - Iniciar uma Carta de Controle Selecione a característica a controlar (ver Selecione a característica a controlar (ver 2ª Diretriz2ª Diretriz))

Antes de iniciar a carta, determine qual o seu objetivo. Se o Antes de iniciar a carta, determine qual o seu objetivo. Se o problema está definido, o objetivo é tentar resolvê-lo.problema está definido, o objetivo é tentar resolvê-lo.Um fluxograma do processo deve ser estabelecido antes do Um fluxograma do processo deve ser estabelecido antes do início, para que se determine onde colher os dados.início, para que se determine onde colher os dados.

Selecione o tipo adequado de carta (ver Selecione o tipo adequado de carta (ver 3ª diretriz3ª diretriz) ) Outras decisões a serem tomadas incluem a frequencia de Outras decisões a serem tomadas incluem a frequencia de coleta e o tamanho dos sub-grupos.coleta e o tamanho dos sub-grupos.Se possível, use tamanhos de sub-grupo constantes, que Se possível, use tamanhos de sub-grupo constantes, que tornam as aplicações mais simples.tornam as aplicações mais simples.A casualização (randomização) das amostras deve ser A casualização (randomização) das amostras deve ser considerada para estabelecer a frequencia.considerada para estabelecer a frequencia.

Construa a CartaConstrua a CartaPara construir a carta dados históricos, se houver, podem ser Para construir a carta dados históricos, se houver, podem ser usados; se não, inicie pela coleta de dados.usados; se não, inicie pela coleta de dados.Uma vez que se tenha dados suficientes (incluindo Uma vez que se tenha dados suficientes (incluindo históricos, com no mínimo 20 pontos) a média do processo históricos, com no mínimo 20 pontos) a média do processo e seus limites de controle devem ser calculados e plotados.e seus limites de controle devem ser calculados e plotados.

Analise a CartaAnalise a CartaUma vez que a carta mostre que o processo está fora de Uma vez que a carta mostre que o processo está fora de controle, busque a(s) causa(s); esta atividade pode ser controle, busque a(s) causa(s); esta atividade pode ser difícil, às vezes pelas complexidade, às vezes pelo fato de difícil, às vezes pelas complexidade, às vezes pelo fato de só se saber que o processo está fora de controle tardiamente só se saber que o processo está fora de controle tardiamente (p. ex. enquanto se aguarda dados para estabelecer os (p. ex. enquanto se aguarda dados para estabelecer os limites)limites)

RPCAAP

112112

USO DE CARTAS DE CONTROLEUSO DE CARTAS DE CONTROLE Diretrizes para implementar Cartas de ControleDiretrizes para implementar Cartas de Controle

2ª Diretriz - Selecionar a característica a 2ª Diretriz - Selecionar a característica a controlarcontrolar

Especificada pelo cliente:Especificada pelo cliente:Consiste dos requisitos de características especiais do Consiste dos requisitos de características especiais do produto que interessam ao cliente, que devem ser produto que interessam ao cliente, que devem ser levadas aos processos que produzem estas levadas aos processos que produzem estas características.características.Nestes processos são controlados (monitorados), ou os Nestes processos são controlados (monitorados), ou os parâmetros dos processos ou as características dos parâmetros dos processos ou as características dos produtos que são produzidos nestes processos.produtos que são produzidos nestes processos.

Especificada pelo fornecedor:Especificada pelo fornecedor:Em geral, como fruto de uma verificação de Em geral, como fruto de uma verificação de necessidades internas, realizada durante o necessidades internas, realizada durante o projeto/planejamento da qualidade do produto, durante projeto/planejamento da qualidade do produto, durante as inspeções (pelo relato de excesso de não-as inspeções (pelo relato de excesso de não-conformidades do produto), durante a prestação de conformidades do produto), durante a prestação de serviços ao cliente (reclamações, assistência técnica), serviços ao cliente (reclamações, assistência técnica), durante auditorias (de sistema, de processo ou de durante auditorias (de sistema, de processo ou de produto) e durante a análise dos dados da empresa produto) e durante a análise dos dados da empresa (refugos, retrabalhos, custos da qualidade)(refugos, retrabalhos, custos da qualidade)

Estas necessidades devem ser periodicamente analisadas Estas necessidades devem ser periodicamente analisadas criticamente, para se detectar novas necessidades, não criticamente, para se detectar novas necessidades, não mais afetivas (após controle com sucesso)mais afetivas (após controle com sucesso)Quando as cartas de controle são efetivamente aplicadas, Quando as cartas de controle são efetivamente aplicadas, as cartas por variáveis normalmente aumentam em as cartas por variáveis normalmente aumentam em número e as cartas por atributos diminuem.número e as cartas por atributos diminuem.

RPCAAP

113113

USO DE CARTAS DE CONTROLEUSO DE CARTAS DE CONTROLE

Diretrizes para implementar Cartas de ControleDiretrizes para implementar Cartas de Controle

3ª Diretriz - Selecionar o tipo adequado de 3ª Diretriz - Selecionar o tipo adequado de cartacarta

Ver páginas 84 e 109. Adicionalmente:Ver páginas 84 e 109. Adicionalmente:

Quando usar X - R (ou X - S):Quando usar X - R (ou X - S): Processo novo ou produto novo no processo Processo novo ou produto novo no processo

existenteexistente Processo cronicamente instável ou incapaz de Processo cronicamente instável ou incapaz de

atingir as tolerâncias especificadasatingir as tolerâncias especificadas Diagnóstico de um processo com problemasDiagnóstico de um processo com problemas Testes destrutivos são requeridos (ou outro teste Testes destrutivos são requeridos (ou outro teste

caro)caro) É desejável reduzir amostragemÉ desejável reduzir amostragem Foram utilizadas Cartas por Atributos e o processo Foram utilizadas Cartas por Atributos e o processo

continua fora de controle ou está sob controle com continua fora de controle ou está sob controle com rendimento inaceitávelrendimento inaceitável

As tolerâncias são “apertadas” ou a fabricação é As tolerâncias são “apertadas” ou a fabricação é difícildifícil

Necessidade de ajuste detectada pelo operadorNecessidade de ajuste detectada pelo operador Requisito de avaliação estatística de aprovação de Requisito de avaliação estatística de aprovação de

“set-up”“set-up” Estabilidade e capabilidade devem ser Estabilidade e capabilidade devem ser

continuamente demostradas, por requisito do continuamente demostradas, por requisito do cliente ou por requisitos regulamentares/legaiscliente ou por requisitos regulamentares/legais

RPCAAP

114114


Diretrizes para implementar Cartas de ControleDiretrizes para implementar Cartas de Controle 3ª Diretriz - Selecionar o tipo adequado de 3ª Diretriz - Selecionar o tipo adequado de cartacarta Quando usar cartas p, np, c, uQuando usar cartas p, np, c, u

As causas especiais estão controladas pelos As causas especiais estão controladas pelos operadores, mas é necessário reduzir não-operadores, mas é necessário reduzir não-conformidadesconformidades

O processo é uma operação complexa de O processo é uma operação complexa de montagem e a qualidade do produto é medida em montagem e a qualidade do produto é medida em termos de não-conformidades, sucesso/insucesso termos de não-conformidades, sucesso/insucesso de funções do produto, etc. (Exemplo: de funções do produto, etc. (Exemplo: computadores, automóveis e seus grandes computadores, automóveis e seus grandes subsistemas)subsistemas)

É necessário controlar o processo, mas dados É necessário controlar o processo, mas dados variáveis não são possíveis obter.variáveis não são possíveis obter.

É necessário um sumário do desempenho do É necessário um sumário do desempenho do processo para análise crítica da administraçãoprocesso para análise crítica da administração

Quando usar Cartas por indivíduos (X-AM)Quando usar Cartas por indivíduos (X-AM) É inconveniente ou impossível obter mais que uma É inconveniente ou impossível obter mais que uma

medida por amostra (Exemplo: indústria de medida por amostra (Exemplo: indústria de processos-química, celulose, metalúrgica)processos-química, celulose, metalúrgica)

Testes automatizados cuja tecnologia permita Testes automatizados cuja tecnologia permita medir cada unidade produzida. Neste caso, medir cada unidade produzida. Neste caso, também podem ser usadas as cartas CUSUM e também podem ser usadas as cartas CUSUM e EWMA (ver pag. 83)EWMA (ver pag. 83)

Os dados são disponibilizados muito lentamente e Os dados são disponibilizados muito lentamente e esperar por uma amostra grande e conseqüente esperar por uma amostra grande e conseqüente ação, demanda muito tempo (Exemplo - situações ação, demanda muito tempo (Exemplo - situações administrativas como contabilidade - mensal)administrativas como contabilidade - mensal)

RPCAAP

115115


4ª Diretriz - Manter uma Carta de Controle4ª Diretriz - Manter uma Carta de Controle Uma vez montada a carta de controle (usando as diretrizes Uma vez montada a carta de controle (usando as diretrizes 1ª, 2ª e 3ª) cada novo ponto é plotado, à medida que ele é 1ª, 2ª e 3ª) cada novo ponto é plotado, à medida que ele é coletado.coletado.

Existem duas possibilidades:Existem duas possibilidades: Processo sob controleProcesso sob controle

Este não é, normalmente, o caso, uma vez que o Este não é, normalmente, o caso, uma vez que o controle estatístico não é um estado natural.controle estatístico não é um estado natural.Mas, se o processo está sob controle, procure Mas, se o processo está sob controle, procure determinar sua capabilidade (ver adiante) e procurar determinar sua capabilidade (ver adiante) e procurar melhoriasmelhorias

Processo fora de controleProcesso fora de controleAs causas especiais devem ser identificadas e As causas especiais devem ser identificadas e removidas; para isto se utilizam ferramentas de removidas; para isto se utilizam ferramentas de estratégias de controle (ferramentas da qualidade)estratégias de controle (ferramentas da qualidade)Quando houver ação sobre o processo, a carta deve ser Quando houver ação sobre o processo, a carta deve ser recomeçada (com novos 20 pontos, etc.), sendo recomeçada (com novos 20 pontos, etc.), sendo recalculados a média e os limites de controlerecalculados a média e os limites de controle

Uma carta de controle não mostra como melhorar o Uma carta de controle não mostra como melhorar o processo. Para isto, se usa MASP, DOE.processo. Para isto, se usa MASP, DOE.

Casos quando é apropriado interromper a carta:Casos quando é apropriado interromper a carta: A carta não está auxiliando o controleA carta não está auxiliando o controle A carta foi criada somente para diagnóstico, A carta foi criada somente para diagnóstico,

desempenho potencial ou outra situação de desempenho potencial ou outra situação de transitoriedadetransitoriedade

O processo foi melhorado suficientemente; cuidados O processo foi melhorado suficientemente; cuidados devem ser tomados neste caso (p. ex. não interromper devem ser tomados neste caso (p. ex. não interromper de vez, mas manter a carta com coleta menos de vez, mas manter a carta com coleta menos freqüente)freqüente)

RPCAAP

116116

CAPABILIDADE CAPABILIDADE DO PROCESSODO PROCESSOCAPABILIDADE CAPABILIDADE DO PROCESSODO PROCESSO

RPCAAP

117117

CAPABILIDADE DO PROCESSOCAPABILIDADE DO PROCESSO

Caso da Distribuição NormalCaso da Distribuição Normal

Suponhamos que está sendo monitorada uma Suponhamos que está sendo monitorada uma característica da qualidade X, através de uma carta de característica da qualidade X, através de uma carta de controle X-R.controle X-R.

R está sob controle estatístico; então os R está sob controle estatístico; então os limites de controle de X podem ser calculados limites de controle de X podem ser calculados por:por:

X também está sob controleX também está sob controle

Agora, um novo dado é fornecido: a Agora, um novo dado é fornecido: a especificaçãoespecificação..

Uma especificação consta de :Uma especificação consta de :

uma uma metameta (que não é a média do processo) (que não é a média do processo)

o o limite superior de especificação limite superior de especificação (LSE) e(LSE) eo o limite inferior de especificação limite inferior de especificação (LIE)(LIE)

(que não são os limites de controle (que não são os limites de controle do processo)do processo)

A especificação é um dado que vem A especificação é um dado que vem de fora do de fora do processo processo (fornecido pelo cliente - interno ou externo)(fornecido pelo cliente - interno ou externo)

A questão é: o processo é capaz de atender as A questão é: o processo é capaz de atender as especificações?especificações?

R d/ 2

RPCAAP

118118

CAPABILIDADE DO PROCESSOCAPABILIDADE DO PROCESSO Caso da Distribuição NormalCaso da Distribuição Normal

Num processo sob controle, com distribuição normal, Num processo sob controle, com distribuição normal, as medidas obtidas, a cada instante, não são as as medidas obtidas, a cada instante, não são as mesmas, pois existe uma variação inerente ao mesmas, pois existe uma variação inerente ao processo (causas comuns de variação).processo (causas comuns de variação).

Esta variação é chamada Esta variação é chamada tolerância tolerância natural natural (TN) e é definida como 6(TN) e é definida como 6..

Uma vez que a distribuição é normal:Uma vez que a distribuição é normal: X é uma estimativa de X é uma estimativa de (média da população) (média da população) é uma estimativa de é uma estimativa de

(desvio padrão da população)(desvio padrão da população) Aproximadamente 99,73% dos dados estão nos Aproximadamente 99,73% dos dados estão nos

limites limites ± 3 ± 3 e a TN é a distância entre e a TN é a distância entre - 3- 3 e + 3 e + 3

Supondo que a diferença entre o LSE e o LIE seja a Supondo que a diferença entre o LSE e o LIE seja a tolerância da especificação tolerância da especificação (TE = LSE - LIE), (TE = LSE - LIE), podemos comparar TE com TN, como abaixopodemos comparar TE com TN, como abaixo

R d/ 2

(TE > TN)(TE > TN) (TE < TN)(TE < TN)

RPCAAP

119119

CAPABILIDADE DO PROCESSOCAPABILIDADE DO PROCESSO Índices de Capabilidade - Distribuição NormalÍndices de Capabilidade - Distribuição Normal

Índice CÍndice Cpp

Este Este índice de capabilidade índice de capabilidade independe da independe da centralizaçãocentralização do processo, ou seja, compara do processo, ou seja, compara somente os tamanhos de TE e TN, quando o somente os tamanhos de TE e TN, quando o processo é processo é estávelestável (sob controle) (sob controle)

é o desvio padrão relacionado é o desvio padrão relacionado somente às somente às causas comuns de variaçãocausas comuns de variação

Neste caso 6Neste caso 6é a capabilidade do processo é a capabilidade do processo (variação inerente de um processo estável)(variação inerente de um processo estável)

Observar :Observar : Se TE Se TE TN: C TN: Cpp 1,00 1,00

Se TE < TN: CSe TE < TN: Cpp < 1,00 < 1,00

Índice PÍndice Ppp

É o É o índice de desempenhoíndice de desempenho, que independe , que independe da da centralizaçãocentralização do processo, ou seja, compara do processo, ou seja, compara somente os tamanhos de TE e TN (usado para somente os tamanhos de TE e TN (usado para comparar com Ccomparar com Cpp e para medir a situação do e para medir a situação do

processo - através de amostras - ao longo do tempo)processo - através de amostras - ao longo do tempo)

SS é estimado por S (desvio - padrão da amostra), que é estimado por S (desvio - padrão da amostra), que

é calculado poré calculado por , onde n é o número , onde n é o número

total de todos os valores amostrados (e não o número de total de todos os valores amostrados (e não o número de amostras de um subgrupo)amostras de um subgrupo)

CTETN

LSE LIEonde

R d

p

6

2

, :

/

PLSE LIE

ondepS

6, :

S

X X

ni

2

1

RPCAAP

120120


Índices de Capabilidade - Distribuição NormalÍndices de Capabilidade - Distribuição Normal

Ínice CÍnice Cpkpk

Este Este índice de capabilidade índice de capabilidade leva em leva em consideração a consideração a centralizaçãocentralização do processo (o que o do processo (o que o torna melhor do que o índice Ctorna melhor do que o índice Cpp) e é definido por:) e é definido por:

CCpkpk = Mínimo (CPU, CPL), onde: = Mínimo (CPU, CPL), onde:

O índice Cpk relaciona a distância entre a média do O índice Cpk relaciona a distância entre a média do processo e o limite de especificação mais próximo, processo e o limite de especificação mais próximo, com a metade da dispersão total do processo.com a metade da dispersão total do processo.

Índice PÍndice Ppkpk

É o índice de desempenho, que leva em É o índice de desempenho, que leva em consideração a centralização do processo (o que consideração a centralização do processo (o que torna melhor do que o índice Ptorna melhor do que o índice Ppp) e é definido por:) e é definido por:

PPpkpk = Mínimo (CPU, CPL), onde: = Mínimo (CPU, CPL), onde:

e e SS é estimado por S (desvio padrão de é estimado por S (desvio padrão de

amosta)amosta)

PPpkpk é usado para comparar com Cpk e para medir a é usado para comparar com Cpk e para medir a

situação do processo - através de amostras - ao longo situação do processo - através de amostras - ao longo do tempo.do tempo.

CPULSE X

e CPLX LIE

e R d

3 3

2

/

CPULSE X

e CPLX LIE

S S

3 3

RPCAAP

121121

CAPABILIDADE DO PROCESOCAPABILIDADE DO PROCESO

Índices de Capabilidade - Distribuição NormalÍndices de Capabilidade - Distribuição Normal

Outra forma de calcular COutra forma de calcular Cpp e C e Cpkpk

CCpp é utilizado como uma introdução ao é utilizado como uma introdução ao

conceito de índice de capabilidade do processo; conceito de índice de capabilidade do processo; ele não leva em consideração nenhum ele não leva em consideração nenhum deslocamento do processo em relação ao centro deslocamento do processo em relação ao centro da faixa de especificação de um parâmetroda faixa de especificação de um parâmetro

SendoSendo S=TES=TE ee P = TN, então:P = TN, então:

Sendo D =Sendo D = valor central de projeto (não valor central de projeto (não precisa estar precisa estar no centro da faixa de no centro da faixa de especificação)especificação)

TemosTemos

entãoentão

Desta forma, k é uma fator de “penalização”, Desta forma, k é uma fator de “penalização”, que corrige o valor de Cque corrige o valor de Cpp, em relação a C, em relação a Cpkpk

CSPp

KD X

Sou k

X D

S

/ /2 2

o que tornou o que tornou K > 0K > 0

C k Cpk p 1 .

RPCAAP

122122

CAPABILIDADE DO PROCESSOCAPABILIDADE DO PROCESSO Exemplos de CExemplos de Cpp e C e Cpkpk - Distribuição Normal - Distribuição Normal

C Cp pk 1014

0 71,

C

C

p

pk

104

2 50

22

1 00

,

,

C

C

p

pk

106

1 67

43

1 33

,

,

C Cp pk 102

5 00,

RPCAAP

123123


Relação entre CRelação entre Cpp e PPM de não-conformes e PPM de não-conformes

Para uma curva normal sabemos que no intervalo Para uma curva normal sabemos que no intervalo -3-3 a + 3 a + 3a probabilidade de termos valores a probabilidade de termos valores conformes é de 99,73%; e, portanto, de defeituosos de conformes é de 99,73%; e, portanto, de defeituosos de 0,27% (para ambos os lados) e 0,135% (para cada lado)0,27% (para ambos os lados) e 0,135% (para cada lado)

É interessante relacionar os valores de CÉ interessante relacionar os valores de Cpp com as com as

porcentagens (ou PPM - partes por milhão) de não porcentagens (ou PPM - partes por milhão) de não conformes; por exemplo, no intervalo -3conformes; por exemplo, no intervalo -3 a + 3 a + 3 há há 1350 não-conformes por milhão para cada lado da curva 1350 não-conformes por milhão para cada lado da curva e 2700 para os dois lados.e 2700 para os dois lados.

PPM de não-conformesCp Especificação

para um ladoEspecificação

para os dois ladosIntervalo

0,25 226628 4532560,50 66807 1336140,60 35931 718620,70 17865 357300,80 8198 163960,90 3467 69341,00 1350 2700 -3 a +31,10 484 9681,20 159 3181,30 48 96 -4 a + 41,40 14 28 (para Cp =1,33)1,50 4 81,60 1 2 -5 a + 51,70 0,17 0,34 (para Cp =1,67)1,80 0,03 0,062,00 0,0009 0,0018 -6 a + 6

RPCAAP

124124



Uma carta X-S com um tamanho de sub-grupo n = 4 está Uma carta X-S com um tamanho de sub-grupo n = 4 está sendo usada para monitorar um processo. O processo está sendo usada para monitorar um processo. O processo está sob controle com relação a X e a S. Após 20 grupos, sob controle com relação a X e a S. Após 20 grupos, X= 7274,5 e X= 7274,5 e S = 333,7. O processo tem distribuição S = 333,7. O processo tem distribuição normal. As especificações estão na faixa de 330 a 390.normal. As especificações estão na faixa de 330 a 390.

a) a) Qual o valor de CQual o valor de Cpkpk??

b) b) Qual o PPM de não-conformes?Qual o PPM de não-conformes?


Um processo com distribuição normal está sendo Um processo com distribuição normal está sendo monitorado por uma carta MM-AM, com n = 4; o monitorado por uma carta MM-AM, com n = 4; o processo está sob controle com relação às medidas e às processo está sob controle com relação às medidas e às amplitudes.amplitudes.

A carta de controle indica que X = 97,17 e R = 3,39.A carta de controle indica que X = 97,17 e R = 3,39.

LIE =95 e LSE não existe.LIE =95 e LSE não existe.

a) a) Calcule o CCalcule o Cpkpk

b) b) Calcule o PPM de não-conformesCalcule o PPM de não-conformes

RPCAAP

125125


Situações com Distribuição Não - normalSituações com Distribuição Não - normal

Os cálculos de COs cálculos de Cpp e C e Cpkpk anteriores assumem que a anteriores assumem que a

população é normalmente distribuída, o que, em população é normalmente distribuída, o que, em processos industriais, nem sempre ocorre. processos industriais, nem sempre ocorre. Particularmente quando a característica tem uma Particularmente quando a característica tem uma especificação para um máximo ou mínimo.especificação para um máximo ou mínimo.

Se a distribuição é não - normal, métodos alternativos Se a distribuição é não - normal, métodos alternativos para determinar a capabilidade do processo são usadospara determinar a capabilidade do processo são usados

1ª Método: Transformação de Dados1ª Método: Transformação de Dados

Suponhamos o histograma abaixo:Suponhamos o histograma abaixo:

freqüêfreqüênciancia

A “curva” é A “curva” é “distorcida” “distorcida” (“skewed”)(“skewed”)

Há pontos além do Há pontos além do LSELSE

Não Não existe existe

LIELIELSELSE

XX

RPCAAP

126126


Situações com Distribuição Não - NormalSituações com Distribuição Não - Normal

1ª Método: Transformação de Dados1ª Método: Transformação de Dados

Para os dados X a curva é não normal e, Para os dados X a curva é não normal e, neste caso (“skewed”) podemos transformar neste caso (“skewed”) podemos transformar X para Y, tal queX para Y, tal que

Y = lnX, onde Y é a variável transformadaY = lnX, onde Y é a variável transformada

Para cada X se calcula o novo Y, e temos:Para cada X se calcula o novo Y, e temos:

O novo histograma fica:O novo histograma fica:freqüêfreqüênciancia A “curva” é A “curva” é

normalnormal Há pontos além Há pontos além

do ln(LSE)do ln(LSE)

Não Não existe existe

LIELIEln(LSE)ln(LSE)

XX

CLSE Y

pky

ln( )

3, onde, onde Y é a média da variável Y é a média da variável

transformada, transformada, YY é o seu é o seu

desvio padrão e ln (LSE) é o desvio padrão e ln (LSE) é o limite superior de limite superior de especificação transformadoespecificação transformado

RPCAAP

127127


Situações com Distribuição Não - normalSituações com Distribuição Não - normal

2ª Método: Distribuições Conhecidas2ª Método: Distribuições Conhecidas

Quando a distribuição é não normal, mas é Quando a distribuição é não normal, mas é conhecida a sua forma, podemos determinar quais conhecida a sua forma, podemos determinar quais valores da distribuição correspondem a um Cvalores da distribuição correspondem a um Cpkpk = 1. = 1.

Para fazer isto, determinamos o valor da Para fazer isto, determinamos o valor da distribuição onde 0,135% dos pontos são menores distribuição onde 0,135% dos pontos são menores do que êle e o valor onde 0,135% dos pontos são do que êle e o valor onde 0,135% dos pontos são maiores do que ele.maiores do que ele.

Este processo não permite determinar o valor Este processo não permite determinar o valor exato de Cpk, mas permite verificar se êle é maior exato de Cpk, mas permite verificar se êle é maior ou menor do que 1.ou menor do que 1.

Existem tabelas para se determinar estes valores Existem tabelas para se determinar estes valores ( por exemplo, a Tabela de Molina, que, para uma ( por exemplo, a Tabela de Molina, que, para uma distribuição de Poisson com determinado distribuição de Poisson com determinado = c, = c, relaciona probabilidades com números de defeitos)relaciona probabilidades com números de defeitos)

3ª Método: Omitir o calculo de C3ª Método: Omitir o calculo de Cpkpk

A porcentagem fora de especificação pode ser A porcentagem fora de especificação pode ser determinada diretamente do histograma das determinada diretamente do histograma das medidas individuais, desde que dados suficientes medidas individuais, desde que dados suficientes estejam disponíveis (normalmente mais do que estejam disponíveis (normalmente mais do que num período de 30 dias). num período de 30 dias).

Este método é um último recurso.Este método é um último recurso.

RPCAAP

128128


Capabilidades nas Cartas de ControleCapabilidades nas Cartas de Controle

Cartas X-R, X-R, X-AM e MM-AMCartas X-R, X-R, X-AM e MM-AM

Capabilidade = 6Capabilidade = 6, onde , onde = R/d = R/d22

Carta X-SCarta X-S

Capabilidade = 6Capabilidade = 6s s , onde , onde ss = S/c = S/c44

Cartas p e npCartas p e np

Capabilidade = pCapabilidade = p

Carta cCarta c

Capabilidade = cCapabilidade = c

Carta uCarta u

Capabilidade = uCapabilidade = u

~~

RPCAAP 1 CEPCEP Controle Estatístico de Processo Versão:Jul EmitidoGBP AprovadoCHJ Nº pag:128.

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