ROTEIRO DE 1 CALCULO NUM ERICO - uft.edu.br · Cap tulo 1 Erros Desenvolver o conteudo selecionado...

ROTEIRO DE 1

CALCULO NUMERICO

Prof. Dr. Catalunha

Atualizado via LATEX em 3 de Fevereiro de 2014 as 17:17

1Este roteiro contem textos de minha autoria e outros retirados das bibliografias indicadas, ou textoscorrelatos no assunto, sempre que possıvel citadas as fontes. Tais notas nao excluem a consulta aoconteudo na integra da bibliografia original citada e sao apenas uma forma de guia de conteudo paraestudos.

Conteudo

I Ementa e Conteudo Programatico 4

II Conteudo da 1a Avaliacao 7

1 Erros 81.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Sistemas Lineares 92.1 Substituicao Retroativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Metodos Diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Metodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Metodo de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.3 Metodo da Pivotacao Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Metodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.1 Metodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Metodo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.3 Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Ajuste de Modelo 143.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Interpolacao 304.1 Interpolacao por ajuste de modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Interpolacao por lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Interpolacao por diferenca dividida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

III Conteudo da 2a Avaliacao 39

5 Zero de Funcao 405.1 Metodo da Bissecao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2 Metodo de Pegaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3 Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.4 Comparacao dos metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2

Prof. Dr. Catalunha - Roteiro Calculo Numerico

6 Integracao 446.1 Metodo de Newton-Cottes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.1.1 Trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.2 Simpson I e II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.3 Extrapolacao Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.4 Integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2 Quadratura Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Equacoes Diferenciais Ordinarias 467.1 Metodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

IV Administracao da disciplina 47

8 Dicas de como estudar 488.1 Rotina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.2 Morto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.3 Faminto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.4 Anti-social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.5 Arsenal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9 Procedimentos de avaliacao 509.1 Divisao do conteudo e quantidade de avaliacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.2 Preparacao da sala para a avaliacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.3 Estrutura da prova: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.4 Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.5 Outras orientacoes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

10 Elaboracao das Tarefas 5510.1 Tarefa exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10.1.1 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

11 Formulario 58

Atualizado via LATEX em 3 de Fevereiro de 2014 as 17:17 3

Parte I

Ementa e Conteudo Programatico

4


Ementa de disciplina do curso de Engenharia Ambiental conforme Plano Polıtico Pegagogicoaprovado em 2007.

DISCIPLINA:Calculo NumericoCH Total CH Teorica CH Pratica Creditos60 60 0 4

PERIODO: PRE-REQUISITOS:3 Calculo IIOBJETIVO:Capacitar os alunos para a aplicacao de tecnicas de calculo numerico para resolucao de proble-mas de engenharia e utilizacao de ferramentas computacionais auxiliares.

CONTEUDO BASICO:O Metodo numerico. Utilizacao de softwares e hardwares matematicos. Precisao e erro. Sis-temas de equacoes lineares, Ajuste de curvas. Interpolacao. Raızes de equacoes. Integracaonumerica. Solucao numerica de equacoes diferenciais ordinarias.METODOLOGIA DE ENSINO:O ensino sera ministrado de forma expositiva em sala de aula, utilizando os recursos audiovisuaisdisponıveis, com consulta ao material bibliografico e debates sobre o tema. A disciplina seraadministrada utilizando todos os recursos disponıveis no sistema Moodle.

PROCEDIMENTOS DE AVALIACAO:Trabalhos e provas.

BIBLIOGRAFIA BASICA:* Barroso, Leonidas Conceicao et al.. Calculo Numerico (com aplicacoes) / Leonidas ConceicaoBarroso, Magali Maria de Araujo Barroso, Frederico Ferreira Campos, filho, Marcio Luiz Buntede Carvalho, Mirian Lourenco Maia. 2 ed. Sao Paulo. editora HARBRA ltda, 1987.* Ruggiero, Marcia A. Gomes. Calculo numerico: aspectos teoricos e computacionais / MarciaA. Gomes Ruggiero, Vera Lucia da Rocha Lopes. 2 ed.Sao Paulo: MAKRON Books. 1996.* Claudio, Dalcidio Moraes. Calculo numerico computacional, teoria e pratica: Sao Paulo.Atlas, 1989. 464p.BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:* Boulos, Paulo; Abud, Zara Issa, Calculo diferencial e Integral, Volume 2, Sao Paulo, PearsonEducation do Brasil, 2002.* Bassanezi, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matematica: uma novaestrategia / Rodney Carlos Bassanezi. 2 ed. Sao Paulo, Contexto, 2004* Sperandio, Decio; Mendes, Joao Teixeira; Silva, Luiz Henry Monken e Silva. Calculo Numericoe Aplicacoes. Sao Paulo. Prentice Hall (Pearson). 2007. 368p.



Na Tabela 1 temos as datas conforme calendario do periodo vigente. Na Tabela 2 o encontroque sera realizado na referida data.

Data01-11-201308-11-201322-11-201329-11-201306-12-201313-12-201317-01-2014

21-02-2014 P124-01-201431-01-201414-02-201428-02-201407-03-201414-03-201407-02-2014

21-03-2014 P2

28-03-2014 PR

Tabela 1: Datas

Encontro Conteudo Planejado1 Apresentacao da disciplina. Erros2 Sistema Linear - Gauss, Pivotacao, Jordan.3 Sistema Linear - Jacobi, Newton.4 Ajuste de Modelo - Multiplo, Polinominal5 Ajuste de Modelo - Transformacao6 Interpolacao - Ajuste, Lagrange7 Interpolacao - Diferenca Dividida8 Revisao9 Prova 0110 Zero de Funcao - Bissecao, Newton11 Zero de Funcao - Pegaso12 Integracao - Trapezio, Simpson13 Integracao - Dupla, Quadratura14 EDO - Euler, Runge-Kutta15 EDO - Euler, Runge-Kutta16 Trabalho 01 e 0217 Revisao18 Prova 0219 Reposicao de Provas20 Prova de Recuperacao

Tabela 2: Conteudo

Legenda: RA: indica data de reposicao de aula. P1 e P2: indicam Prova 1 e Prova 2. PR:indica data de prova de recuperacao. RP: indica reposicao de prova.Observacao: Horario de atendimento aos alunos sera na quinta de 08h as 11h30, Bloco II, Sala10, Ramal 8229 ou Telefone 32328229.

6 Atualizado via LATEX em 3 de Fevereiro de 2014 as 17:17

Parte II

Conteudo da 1a Avaliacao

7

Capıtulo 1

Erros

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987, Capıtulo 1.1, Pag. 1a 3.]

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Freitas, 2000, Capıtulo 2.1, Pag.17.].



1.1 Exercıcios

1. Fonte: [Freitas, 2000, Pag. 18, Exemplo do item 2.2.3, adaptado] A diferenca entre umvalor exata x e sua aproximacao x foi de x = 100, x = 100.1. Bem como y = 0.0006 ey = 0.0004.Pede-se:

(a) Calcule o erro absoluto e relativo no calculo das aproximacoes.

Resposta: Concluimos que a aproximacao de x e melhor, pois o erro relativo naaproximacao foi menor.Solucao:Aplicando as equacoes temos

ex =| 100− 100.1 | (1.1)

ex = 0.1 (1.2)

ex =| 0.0006− 0.0004 | (1.3)

ey = 0.0002 (1.4)

Ex =0.1

100.1(1.5)

Ex = 0.000999 (1.6)

Ey =0.0002

0.0004(1.7)

Ey = 0.5 (1.8)

8

Capıtulo 2

Sistemas Lineares

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987], Capıtulo 2.1, Pag.17 a 19.

2.1 Substituicao Retroativa

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987], Capıtulo 2.1 a 2.1.6,Pag. 20 a 27

2.2 Metodos Diretos

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987], Capıtulo 2.2, Pag.27 a 49. Abrangendo os itens:

2.2.1 Metodo de Gauss

Com (n-1) passos um Sistema Linear ax=b e transformado num sistema triangular equivalente, oqual se resolve facilmente por substituicao. Um destes metodos e o de Gauss. Conforme descritoneste exemplo.

Considere o seguinte sistema linear de equacoes:2x1 +3x2 −x3 = 54x1 +4x2 −3x3 = 32x1 −3x2 +x3 = −1

(2.1)

Escrevendo este sistema linear numa forma de matriz aumentada, M, teremos:

M =

2 3 −1 | 54 4 −3 | 32 −3 1 | −1

=(A | b

)(2.2)

A escolha do pivo sera sempre aii de Mk. Os multiplicadores sao mki = −

akijpakipjp

. Em que ip e a linha

pivotal; jp e a coluna pivotal; k e a etapa. Sendo as linhas calculadas como Lk+1i = Lki + Lkip ∗m

ki

e sucessivamente teremos:

9


Etapa 0

Como a011 = 2, os multiplicadores serao m02 = −4

2= −2 e m0

3 = −2

2= −1 temos as linhas

atualizadas:

L11 = L0

1 (2.3)

L12 = L0

2 + L01 ∗m0

2 (2.4)

L13 = L0

3 + L01 ∗m0

3 (2.5)

(2.6)

Aplicando os valores nas equacoes temos:

M1 =

2 3 −1 | 54 + (2 ∗ −2) 4 + (3 ∗ −2) −3 + (−1 ∗ −2) | 3 + (5 ∗ −2)2 + (2 ∗ −1) −3 + (3 ∗ −1) 1 + (−1 ∗ −1) | −1 + (5 ∗ −1)

(2.7)

Calculando teremos:

M1 =

2 3 −1 | 50 −2 −1 | −70 −6 2 | −6

(2.8)

Etapa 1

Como a122 = −2, os multiplicadores serao m13 = −−6

−2= −3 e as linhas atualizadas serao:

L21 = L0

1 (2.9)

L22 = L1

2 (2.10)

L23 = L1

3 + L12 ∗m1

3 (2.11)

(2.12)

Aplicando os valores nas equacoes temos:

M1 =

2 3 −1 | 50 −2 −1 | −70 −6 + (−2 ∗ −3) 2 + (−1 ∗ −3) | −6 + (−7 ∗ −3)

(2.13)

Calculando teremos:

M1 =

2 3 −1 | 50 −2 −1 | −70 0 5 | 15

(2.14)

Retornando a matriz para forma de sistema linear teremos o sistema triangular desejado.2x1 +3x2 −x3 = 5

−2x2 −1x3 = −75x3 = 15

(2.15)



Basta resolver o sistema pelo metodo de substituicao retroativa.

x1 =5− (3 ∗ 2− 1 ∗ 3)

2= 1

x2 =−7− (−1 ∗ 3)

−2= 2

x3 =15

5= 3

(2.16)

Resultando em x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.

2.2.2 Metodo de Jordan

2.2.3 Metodo da Pivotacao Completa

2.3 Metodos iterativos

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987], Capıtulo 2.3, Pag.49 a 72. [Buffoni, 2000], Pag 20 a 23. Abrangendo os itens:

2.3.1 Metodo de Jacobi

2.3.2 Metodo de Gauss-Seidel

2.3.3 Criterios de convergencia

2.4 Exercıcios

1. Fonte: algum livro. Resolva cada um dos sistemas de equacoes lineares dados a seguir(I,II,...) conforme pede-se:

I

3x1 4x2 −5x3 x4 = −10x2 x3 −2x4 = −1

4x3 −5x4 = 32x4 = 2

II

2x1 −1x2 3x3 5x4 = −76x1 −3x2 12x3 11x4 = 44x1 −1x2 10x3 8x4 = 4

−2x2 −8x3 10x4 = −60



III

x1 4x2 52x3 = 5727x1 110x2 −3x3 = 13422x1 2x2 14x3 = 38

IV

3.2x1 x2 2x3 = 8.2−1x1 1.5x3 −2.4x4 = 2.844.1x1 2.5x2 2x4 = 13.6x1 2.8x4 = 4.72

V5x y z = 53x 4y z = 63x 3y 6z = 0

VI−4x1 10x2 = 195x1 3x2 = 15

VII3x1 0 x3 = 3x1 −x2 0 = 13x1 x2 2x3 = 9

VIIIx1 0 0 = 12x1 5x2 0 = 23x1 6x2 4x3 = 3

IXx1 = 1x1 x2 = −1x1 x2 x3 = 3x1 x2 x3 x4 = 3

Xx1 x2 x3 x4 = 4x1 x2 x3 = 3x1 x2 = 2x1 = 1

XIx1 −3x2 x3 = 6

4x2 −x3 = 3x3 = 4

XIIx1 x2 2x3 = 42x1 −x2 −x3 = 0x1 −x2 −x3 = −1



XIII10x1 2x2 6x3 = 28x1 10x2 9x3 = 72x1 −7x2 −10x3 = −17

XIV−4x1 10x2 = 195x1 3x2 = 15

.Pede-se:

(a) Metodo de Gauss.Resposta: ...Solucao:...

(b) Pivotacao Completa

Resposta: ...Solucao:...

(c) JordanResposta: ...Solucao:...

(d) Jacobi, considerando o vetor inicial x(0) = [0, 0, 0, 0]T com k ≥ 3 ou Erro ≤ 10−2


(e) Gauss-Seidel, considerando o vetor inicial x(0) = [0, 0, 0, 0]T com k ≥ 3 ou Erro ≤ 10−2



Capıtulo 3

Ajuste de Modelo

Uma regressao ou curva de tendencia pode ser o primeiro passo para uma modelagem. Umarelacao funcional, obtida atraves de uma ajuste dos dados, propicia condicoes para a elaboracaode hipoteses que levam a formulacao dos modelos.

Os modelos sao relacoes funcionais que incorporam as particularidades do fenomeno analisado.Um reta ou curva ajustada nao pode ser considerado um modelo matematico para uma deter-

minada situacao. Neste caso, a reta ou curva simplesmente descreve uma tendencia dos fatos nointervalo pesquisado.

Mesmo que uma curva possa fazer alguma previsao de futuros valores para o fenomeno estu-dado, ainda assim, tal formulacao nao poderia ser considerado um modelo matematico do fenomenoenquanto seus parametros nao tiverem algum significado biologico, quımico, fısico ou probabilısticocom o fenomeno em estudo !

Contudo o processo de ajuste de curvas e um dos mais importantes passos para o treinamentoem modelagem e entendimento do comportamento de um fenomeno que nao seja aleatorio.

Desenvolver conteudo da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987, Paginas 323 ate 356], e [Rodney, 2006,Paginas 54 ate 85].

3.1 Exercıcios

Uma seguencia de etapas importante para qualquer ajuste de modelo pode ser vista a seguir,sendo que estas etapas devem ser seguidas nos exercicios deste item.

1. O grafico dos pontos originais.

2. O modelo transformado e seus coeficientes.

3. A representacao da modelo transformado e pontos transformados num grafico.

4. Os coeficientes da equacao de regressao do modelo transformado

5. O coeficiente de ajustamento dos dados transformados.

6. O modelo original e seus coeficientes, obtido da relacao com os coeficientes do modelo trans-formado.

7. A representacao da modelo original e pontos originais num grafico.

14


8. O coeficiente de ajustamento dos dados originais.

9. O ajustamento por processo nao-linear, R ou Gnuplot.

10. O coeficiente de ajustamento pelo processo nao-linear.

11. A representacao num grafico dos pontos originais, modelo por mınimos quadrados e modelopor ajuste nao-linear.

Em cada situacao a seguir aplicando as etapas anteriores ajuste um modelo aos dados:

1. Fonte: [Barroso, 1987, Pag. 340, Exercıcio 7.7]. Considere os pontos da Tabela 3.1.

Tabela 3.1: Dados de Campox 0.1 1.5 3.3 4.5 5.0y 5.9 8.8 12 19.8 21.5

Pede-se:

(a) Ajustar os pontos ao modelo y = aebx.Resposta: Resposta: y = 5.7014e0.26283x

Solucao:E sempre bom plotar o grafico dos pontos para ter uma nocao nas manipulacoes ma-tematicas, veja Figura 3.1.

Figura 3.1: Modelo y = abx



Efetuando as transformacoes teremos:

y = aebx (3.1)

ln y = ln a+ ln ebx (3.2)

ln y = ln a+ bx ln e (3.3)

yt = at + bx (3.4)

Ficando os pontos na forma, veja Tabela3.2. Como os pontos originais foram alterados,

Tabela 3.2: Pontos Transformadosx 0.1 1.5 3.3 4.5 5.0y 5.9 8.8 12 19.8 21.5yt 1.7750 2.1748 2.4849 2.9857 3.0681

e importante ver os pontos transformados, veja Figura 3.2.

Figura 3.2: Modelo yt = at+ bx

A somas para montagem da matriz normal serao:

1 octave:1> x=[0.1 ,1.5 , 3.3, 4.5, 5.0]

2 x =

3 0.10000 1.50000 3.30000 4.50000 5.00000

4 octave:2> y=[5.9 , 8.8, 12, 19.8, 21.5]

5 y =

6 5.9000 8.8000 12.0000 19.8000 21.5000

7 octave:3> yt=log(y)

8 yt =

9 1.7750 2.1748 2.4849 2.9857 3.0681



10 octave:4> mx=[ length(x),sum(x);sum(x),sum(x.^2)]

11 mx =

12 5.0000 14.4000

13 14.4000 58.4000

14 octave:5> my=[sum(yt);sum(x.*yt)]

15 my =

16 12.488

17 40.416

Podemos ver estas somas na forma de planilha, como a seguir, Tabela 3.3,

Tabela 3.3: Pontos Transformadosi x y yt x2 xyt (y − y)2 y2

1 0.10000 5.9000 1.7750 0.010000 0.17750 0.0021868 348102 1.50000 8.8000 2.1748 2.250000 3.26213 0.1178681 774403 3.30000 12.0000 2.4849 10.890000 8.20019 2.4729728 1440004 4.50000 19.8000 2.9857 20.250000 13.43557 1.4272960 3920405 5.00000 21.5000 3.0681 25.000000 15.34026 0.0793819 462250∑

14.4000∑

68∑

12.488∑

58.4000∑

40.416∑

4, 0997∑

1110.5

Ficando a matriz normal na forma:[5.0000 14.400014.4000 58.4000

]∗[atb

]=

[12.48840.416

](3.5)

Este sistema linear deve ser resolvido conforme capıtulo 2, Sistemas Lineares, por qual-quer metodo pedido.

Antes de continuar e importante saber que a matriz normal, anterior, pode ser obtidatambem por manipulacao matricial.

X =

1 x11 x12 · · · x1p1 x21 x22 · · · x2p...

......

. . ....

1 xn1 xn2 · · · xnp

β =

β0β1...βp

Y =

y1y2...yn

(3.6)

Matriz de soma x = X ′X (3.7)

Matriz de soma y = X ′Y (3.8)

Como a seguir.

1 octave :13> mx =[[1;1;1;1;1] ,x’]

2 mx =

3 1.00000 0.10000

4 1.00000 1.50000

5 1.00000 3.30000

6 1.00000 4.50000

7 1.00000 5.00000



8 octave :15> my=yt’

9 my =

10 1.7750

11 2.1748

12 2.4849

13 2.9857

14 3.0681

15 octave :16> (mx ’*mx)

16 ans =

17 5.0000 14.4000

18 14.4000 58.4000

19 octave :17> mx ’*my

20 ans =

21 12.488

22 40.416

A solucao do sistema linear foi resolvido de forma matricial, para fins de simplificacao.Ficando:

1 octave:6> mc=mx**-1*my

2 mc =

3 1.74071

4 0.26283

Potanto mc e a matriz de coeficiente do modelo transformado, e como as relacoes paraa sao:

at = ln a (3.9)

eat = eln a (3.10)

eat = a (3.11)

(3.12)

Precisamos aplica exp() para obter os valores originais, ficando o b inalterado.

1 octave:8> a=exp(mc(1))

2 a = 5.7014

3 octave:9> b=mc(2)

4 b = 0.26283

Entao o valor dos coeficientes originais sao a = 5.7014 e b = 0.26283 ficando o modeloy = 5.7014e0.26283x conforme Figura 3.3

(b) Calcule o grau de ajustamento r2 do modelo aos dados.Resposta: Resposta: 97.8% ou 0.97793.

Solucao:O grau de ajustamento mede o grau de explicacao do modelo aos pontos originais. O



r2 tem o seguinte modelo em uma de suas formas:

R2 = 1−∑

(yi − yi)2∑(y2i )−

(∑yi)2

n

(3.13)

Uma das informacoes importantes para calculo do r2 e o valor de yi, veja Tabela 3.4

1 octave :20> ye =5.7014*e.^(0.26283.*x)

2 ye =

34 5.8532 8.4567 13.5726 18.6053 21.2183

Tabela 3.4: Pontos Estimados pelo modelox 0.1 1.5 3.3 4.5 5.0y 5.9 8.8 12 19.8 21.5yi 5.8532 8.4567 13.5726 18.6053 21.2183

Os valores intermediarios pode ser vistos na Tabela 3.3. Aplicando no modelo r2 temos:

1 octave :21> 1-(sum((y-ye).^2))/(sum(y.^2) -(sum(y)^2)/( length

(x)))

2 ans = 0.97793

Pontanto o modelo explica 97% dos dados originais.

(c) Utilizando o gnuplot ajuste o modelo aos dados.Resposta: Resposta: .

Figura 3.3: Modelo y = aebx



Solucao:Para ajustar os dados a um modelo utilizando o gnuplot basta criar o arquivo de pontos,conforme a seguir:

Arquivo 3.1: exercicios/Barroso340Exc7.7/grafico.pts

1 #x;y;

2 0.1 5.9

3 1.5 8.8

4 3.3 12

5 4.5 19.8

6 5 21.5

O script do gnuplot para ajustamento pode ser como a seguir:

Arquivo 3.2: exercicios/Barroso340Exc7.7/graficoC1.txt

1 # Comentario2 reset3 set term pngca i ro4 set output ’ g ra f i coC1 . png ’5 set grid6 set key out s id e c en te r bottom t i t l e ’ Legenda : ’7 set t i t l e ”Modelo Gnuplot”8 set xlabel ”x”9 set ylabel ”y”

10 f ( x )=a∗exp(b∗x )11 f i t f ( x ) ” g r a f i c o . pts ” using ( $1 ) : ( $2 ) v ia a , b12 plot ” g r a f i c o . pts ” using ( $1 ) : ( $2 ) t i t l e ”Pontos O r i g i n a i s ” ,

\13 f ( x ) t i t l e ”Modelo Gnuplot”

Apresentando o grafico conforme Figura 3.4.

O gnuplot tambem fornece uma arquivo, chamado ”fit.log”de resultados do ajustamentocom alguma analise estatıstica. Os parametros do modelo sao f(x) = 5.41218e0.277491x

conforme segue no arquivo.

Arquivo 3.3: exercicios/Barroso340Exc7.7/fit.log

123 *******************************************************************************

4 Mon Feb 4 09:13:02 2013

567 FIT: data read from "grafico.pts" using ($1):($2)

8 format = x:z

9 #datapoints = 5



Figura 3.4: Ajustando modelo a dados com Gnuplot

10 residuals are weighted equally (unit weight)

1112 function used for fitting: f(x)

13 fitted parameters initialized with current variable values

14151617 Iteration 0

18 WSSR : 21307.4 delta(WSSR)/WSSR : 0

19 delta(WSSR) : 0 limit for stopping : 1e-05

20 lambda : 275.175

2122 initial set of free parameter values

2324 a = 1

25 b = 1

2627 After 8 iterations the fit converged.

28 final sum of squares of residuals : 3.68649

29 rel. change during last iteration : -5.55842e-07

3031 degrees of freedom (FIT_NDF) : 3

32 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(WSSR/ndf) :

1.10853

33 variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf :

1.22883



3435 Final set of parameters Asymptotic Standard

Error

36 =======================

==========================

3738 a = 5.41218 +/- 0.6779

(12.53%)

39 b = 0.277491 +/- 0.02867

(10.33%)

404142 correlation matrix of the fit parameters:

4344 a b

45 a 1.000

46 b -0.964 1.000

2. FAHL et al, 1982, estudando as caracterısticas fisiologicas de tres cultivares de mandioca emque x=massa seca de raızes de mandioca, ; y=massa seca total da planta, . Tabela 3.5 .

Tabela 3.5: Dados para analisex y x y x y

478,8 116,1 375 63,1 492,5 168,1695,4 231,9 565,1 192,9 676,7 312,21095,1 462,2 816,7 338,8 908,1 479,61301,2 615,7 965 504,5 1141,8 600,61463,1 764,8 1120,4 589,8 1304,3 786,5

Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 3.5 ao modelo y = a+ bx.

3. PEREIRA et al, 1982, estudando as relacoes radiometricas em tres cultivares de mandioca,em que x = radiacao refletida do infravermelho proximo, ; y=radiacao incidente do infra-vermelho proximo,. Tabela 3.6 .Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 3.6 ao modelo y = a+ bx.

4. QUAGGIO et al, 1985, estudando metodos de determinacao da necessidade de calagem, emque x = (H+Al), meq/100 ; y=potencial hidrogenionico,. Tabela 3.7 .Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 3.7 ao modelo y = axb.



Tabela 3.6: Dados para analise

x y x y x y237 77 461 161 292 105286 98 489 161 223 77335 126 482 175 161 63384 147 432 154419 154 391 133


x y x y x y x y6,43 2,8 5,96 6,2 6,79 1,4 6,37 2,86,66 2 5,58 5,5 6,42 2,9 5,59 5,95,7 8 4,93 13,6 6,7 1,9 4,91 11,66,66 2,3 5,24 8,4 6,05 3,8 4,86 17,55,63 7,2 4,76 11,8 5,61 6,3 4,62 21,55,85 5 4,22 28,9 6,05 4,54,89 11,4 6,43 2,4 5,79 5,3


x y x y5,5 3 55 4020 8 60 4329 13 67 6339 17 80 8644 27



5. CHANG et al, 1982, estudando a resistencia do corte do colmo de cana-de-acucar, em quex = energia armazenada,kgf.cm; y=angulo do pendulo, graus.. Tabela 3.8 .Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 3.8 ao modelo y = abx.

6. PAES DE CAMARGO et al, 1982, estudando a construcao de um tensiometro simples deleitura direta, em que x = tensao,mb; y=altura da camara, mm.. Tabela 3.9 .


x y x y9 217 102 68112 291 147 71630 439 210 74642 515 290 75557 603

Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 3.9 ao modelo y =ax

b+ x.

7. QUAGGIO et al, 1985, estudando calagem para a sucessao batata-triticale-milho, em que y= porcentagem de tuberculos graudos,mb; x=calcio no solo, meq/100. Tabela 3.10 .


x y x y x y0,1 65,9 0,2 68,4 0,3 64,91 92,7 0,7 89,1 1,1 87

1,6 93 0,8 93,2 1,2 89,62,8 94,8 1,4 95,5 1,6 93,23,3 95,5 1,9 94,8 1,8 91,7

Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 3.10 ao modelo y = ab

x.

8. QUAGGIO et al, 1985, estudando metodos de determinacao da necessidade de calagem, emque x = (H+Al), meq/100 ; y=potencial hidrogenionico, . Tabela 3.11 .Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 3.11 ao modelo y = ea+bx.




x y x y x y x y6,43 2,8 5,96 6,2 6,79 1,4 6,37 2,86,66 2 5,58 5,5 6,42 2,9 5,59 5,95,7 8 4,93 13,6 6,7 1,9 4,91 11,66,66 2,3 5,24 8,4 6,05 3,8 4,86 17,55,63 7,2 4,76 11,8 5,61 6,3 4,62 21,55,85 5 4,22 28,9 6,05 4,54,89 11,4 6,43 2,4 5,79 5,3


x y60 0,5182 1,41116 2,97143 3,54172 3,35214 1,83249 0,48



9. FAHL et al, 1982, estudando as caracterısticas fisiologicas de tres cultivares de mandioca,em que y = ındice de area foliar; x=dias apos o plantio.. Tabela 3.12 .Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 3.12 ao modelo y = a+ bx+ cx2.

10. Fonte:... MACHADO et al, 1982, estudando as caracterısticas fisiologicas de quadro varie-dades de milho, em que y = ındice de area foliar; x=massa seca da planta, . Tabela 3.13 .


x y24,6 0,45128,4 1,46292,5 2,5624,3 2,99857,5 2,731041,2 2,11191,4 1,5

Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 3.13 ao modelo y = a+ b√x+ cx.

Resposta: y = −1.3965268 + 0.3729929 ∗√

(x)− 0.0081978 ∗ xSolucao:

1 octave :33> x

2 x =

34 24.600 128.400 292.500 624.300 857.500

1041.200 1191.400

56 octave :34> y

7 y =

89 0.45000 1.46000 2.50000 2.99000 2.73000

2.10000 1.50000

101112 octave :50> x1=sqrt(x)

13 x1 =

1415 4.9598 11.3314 17.1026 24.9860 29.2831

32.2676 34.5167

16



17 octave :51> x2=x

18 x2 =

1920 24.600 128.400 292.500 624.300 857.500

1041.200 1191.400

2122 octave :52> X=[ones (7,1),x1’,x2 ’]

23 X =

2425 1.0000 4.9598 24.6000

26 1.0000 11.3314 128.4000

27 1.0000 17.1026 292.5000

28 1.0000 24.9860 624.3000

29 1.0000 29.2831 857.5000

30 1.0000 32.2676 1041.2000

31 1.0000 34.5167 1191.4000

323334 octave :40> Y=[y’]

35 Y =

3637 0.45000

38 1.46000

39 2.50000

40 2.99000

41 2.73000

42 2.10000

43 1.50000

44 octave :54> X’*X

45 ans =

4647 7.0000e+00 1.5445e+02 4.1599e+03

48 1.5445e+02 4.1599e+03 1.2201e+05

49 4.1599e+03 1.2201e+05 3.7312e+06

5051 octave :55> X’*Y

52 ans =

5354 13.730

55 335.720

56 9111.036

5758 octave :42> (X’*X)**-1*(X’*Y)

59 ans =

6061 -1.3965268



62 0.3729929

63 -0.0081978

6465 octave :45> f=@(x) -1.3965268+0.3729929* sqrt(x) -0.0081978*x

66 f =

6768 @(x) -1.3965268 + 0.3729929 * sqrt (x) - 0.0081978 * x

6970 octave :46> f(24.6)

71 ans = 0.25179

72 octave :57> f(128.4)

73 ans = 1.7774

74 octave :60> f(x)

75 ans =

7677 0.25179 1.77740 2.58478 2.80519 2.49625

2.10352 1.71108

11. MACHADO et al, 1982, estudando as caracterısticas fisiologicas de quadro variedades demilho, em que x = dias apos o plantio; y=massa seca da planta, . Tabela 3.14 .


x y36 245,950 526,264 1102,978 1346,792 1619,8106 1775,8120 1775

Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 3.14 ao modelo y = ea+bx+cx2.

12. Considere os dados da Tabela 3.15 .Pede-se:

(a) Ajuste os dados da Tabela 3.15 ao modelo y = αxβe−γx.




x y22 1536 114,150 292,864 665,278 826,292 843,6106 782,5120 722


Capıtulo 4

Interpolacao

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987], Pag. 151 a 153.

4.1 Interpolacao por ajuste de modelo

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987], Capıtulo 4.3, Pag.153-155, 159.

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987], Capıtulo 4.4,Pag. 159 a 161.

4.2 Interpolacao por lagrange

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987], Capıtulo 4.5, Pag.164-165, 167-170 e [Freitas, 2000], Capıtulo 7.3.1, Pag. 139 a 140].

4.3 Interpolacao por diferenca dividida

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987], Capıtulo 4.6, Pag.175-189.

4.4 Exercıcios

1. Fonte: [Barroso, 1987, Pag. 167, Exemplo 4.9]. Considere os pontos da Tabela 10.1.

Tabela 4.1: Dados de Campoi 0 1 2 3x 0.0 0.2 0.4 0.5y 0.000 2.008 4.064 5.125

Pede-se:

30


(a) Utilizando o polinomio interpolador de Lagrange calcule o valor de P3(0.3)Resposta: Resposta: 3.027

Solucao:

O modelo generico do interpolador de Lagrange e:

Pn(x) =n∑i=0

yi ∗n∏j=0j 6=i

x− xjxi − xj

(4.1)

Para nosso problema temos n = 3 e x = 0.3, ou seja estimar um polinomio interpoladorde grau 3 para x = 0.3. Montando o somatorio e produtorio temos:

Pn(x) = y0∗x− x1x0 − x1

∗ x− x2x0 − x2

∗ x− x3x0 − x3

+ y1∗x− x0x1 − x0

∗ x− x2x1 − x2

∗ x− x3x1 − x3

+ y2∗x− x0x2 − x0

∗ x− x1x2 − x1

∗ x− x3x2 − x3

+ y3∗x− x0x3 − x0

∗ x− x1x3 − x1

∗ x− x2x3 − x2

(4.2)

Aplicando os numeros nas variaveis teremos as seguintes fracoes:

P3(0.3) = 0.000∗ 0.3− 0.2

0.0− 0.2∗ 0.3− 0.4

0.0− 0.4∗ 0.3− 0.5

0.0− 0.5

+ 2.008∗ 0.3− 0.0

0.2− 0.0∗ 0.3− 0.4

0.2− 0.4∗ 0.3− 0.5

0.2− 0.5

+ 4.064∗ 0.3− 0.0

0.4− 0.0∗ 0.3− 0.2

0.4− 0.2∗ 0.3− 0.5

0.4− 0.5

+ 5.125∗ 0.3− 0.0

0.5− 0.0∗ 0.3− 0.2

0.5− 0.2∗ 0.3− 0.4

0.5− 0.4

(4.3)

Resolvendo as fracoes teremos as seguintes numeros:

P3(0.3) = 0.000∗ −0.5∗ 0.25∗ 0.4

+ 2.008∗ 1.5∗ 0.5∗ 0.6666

+ 4.064∗ 0.75∗ 0.5∗ 2

+ 5.125∗ 0.6∗ 0.3333∗ −1

(4.4)



Efetuando os calculos temos:P3(0.3) = 3.027 (4.5)

(b) Utilizando ajuste de modelo determine o valor de x = 0.3 por um polinomio de 3 grau.Resposta: Resposta: 3.027

Solucao:O interpolador de lagrange fornece o mesmo resultado que um polinomio de mesmograu para o valor desejado. Provando iremos estimar este polinomio usando o octave,para montar as matrizes normais e calcular a resolucao do sistema, mas voce deveresolver o sistema por um processo tipo Gauss,etc .

1 octave:1> x=[0 ,0.2 ,0.4 ,0.5]

2 x =

3 0.00000 0.20000 0.40000 0.50000

4 octave:2> y=[0 ,2.008 ,4.064 ,5.125]

5 y =

6 0.00000 2.00800 4.06400 5.12500

7 octave:7> mx=[ length(x),sum(x),sum(x.^2),sum(x.^3);sum(x),

sum(x.^2),

8 sum(x.^3),sum(x.^4);sum(x.^2),sum(x.^3),sum(x.^4),sum(x.^5)

;sum(x.^3)

9 ,sum(x.^4),sum(x.^5),sum(x.^6)]

10 mx =

11 4.000000 1.100000 0.450000 0.197000

12 1.100000 0.450000 0.197000 0.089700

13 0.450000 0.197000 0.089700 0.041810

14 0.197000 0.089700 0.041810 0.019785

15 octave:8> my=[sum(y);sum(x.*y);sum(x.^2.*y);sum(x.^3.*y)]

16 my =

17 11.19700

18 4.58970

19 2.01181

20 0.91679

21 octave :11> c=mx**-1*my

22 c =

23 2.1285e-15

24 1.0000e+01

25 -4.5830e-13

26 1.0000e+00

Ficando o modelo y = 2.1285e− 15 + 1.0000e+ 01x− 4.5830e− 13x21.0000e+ 00x3 eaplicando o valor de x = 0.3 temos:

1 octave :10> xd =[1;0.3;0.3^2;0.3^3]

2 xd =

34 1.000000



5 0.300000

6 0.090000

7 0.027000

8 octave :12> sum(c.*xd)

9 ans = 3.0270

Teremos o mesmo resultado, P3(0.3) = 3.027, que o interpolador de lagrange.

(c) Utilizando o polinomio interpolador Newton calcule o valor de P3(0.3)Resposta: Resposta: 3.027

Solucao:O modelo generico do interpolador de Newton e:

Pn(x) = y0 +n∑i=1

Niy0 ∗i−1∏j=0

(x− xj) (4.6)

Para nosso problema temos n = 3 e x = 0.3, ou seja estimar um polinomio interpoladorde newtom de grau 3 para x = 0.3. Veja que temos que fazer a diferenca dividida aten = 3. Calculando primeiro a diferenca dividida, temos:

i xi yi Nyi N2yi N3yi

0 0.0 0.000y1 − y0x1 − x0

Ny1 − Ny0x2 − x0

N2y1 − N2y0x3 − x0

1 0.2 2.008y2 − y1x2 − x1

Ny2 − Ny1x3 − x1

2 0.4 4.064y3 − y2x3 − x2

3 0.5 5.125

(4.7)



Substituindo as equacoes pelos numeros teremos:

i xi yi Nyi N2yi N3yi

0 0.0 0.0002.008− 0.000

0.2− 0.0

Ny1 − Ny00.4− 0.0

N2y1 − N2y00.5− 0.0

1 0.2 2.0084.064− 2.008

0.4− 0.2

Ny2 − Ny10.5− 0.2

2 0.4 4.0645.125− 4.064

0.5− 0.4

3 0.5 5.125

(4.8)

Calculando os valores das fracoes temos:

i xi yi Nyi N2yi N3yi0 0.0 0.000 10.04 0.6 11 0.2 2.008 10.28 1.12 0.4 4.064 10.613 0.5 5.125

(4.9)

De posse das diferencas divididas podemos aplicar no modelo original de interpolacaode Newton.

Pn(x) = y0+ Ny0∗ (x− x0)

+ N2y0∗ (x− x0)∗ (x− x1)

+ N3y0∗ (x− x0)∗ (x− x1) (x− x2)

(4.10)

Substituindo as equacoes pelos numeros teremos:

P3(0.3) = 0.000+ 10.040∗ (0.3− 0.0)

+ 0.6∗ (0.3− 0.0)∗ (0.3− 0.2)

+ 1∗ (0.3− 0.0)∗ (0.3− 0.2)∗ (0.3− 0.4)

(4.11)

Calculando as somas e produtos encontramos P3(0.3) = 3.027.

Para este procedimento podemos usar tambem uma tabela para facilitar diferencas,somantorios e produtorios da ultima parte da equacao.

x 0.3 0.3 0.3xi 0 0.2 0.4

x− xi 0.3 0.1 −0.1∏i−1j=0(x− xj) 0.3 (0.3 ∗ 0.1) = 0.03 (0.3 ∗ 0.1 ∗ −0.1) = −0.003

(4.12)



Desta forma fica simples utilizar os resultados das Tabelas 4.9 e 4.12 para aplicar nomodelo principal Eq. 4.6.

P3(0.3) = 0.000+ 10.040∗ 0.3

+ 0.6∗ 0.03

+ 1∗ −0.003

(4.13)

Calculando as somas e produtos encontramos P3(0.3) = 3.027 como anteriormente.

(d) Utilizando metodo de ajuste nao linear de mınimos quadrados do gnuplot para deter-minar o valor de P3(0.3) no modelo f(x) = a+ b ∗ x+ c ∗ x2 + d ∗ x3Resposta: Resposta: Grafico.

Solucao:O ajuste nao-linear de um modelo por mınimos quadrado pode ser feito utilizando ognuplot de forma muito simples.

Inicialmente devemos definir o arquivo de dados para o ajuste. Conforme arquivo aseguir:

Arquivo 4.1: exercicios/Barroso167Exp4.9/grafico.pts

1 #x y2 0 .0 0 .0003 0 .2 2 .0084 0 .4 4 .0645 0 .5 5 .125

O script do gnuplot para ajustamento pode ser como a seguir:

Arquivo 4.2: exercicios/Barroso167Exp4.9/graficoD1.txt

1 # Comentario2 reset3 set term pngca i ro4 set output ’ g ra f i coD1 . png ’5 set grid6 set key out s id e c en te r bottom t i t l e ’ Legenda : ’7 set t i t l e ” Ajustando os dados modelo P 3”8 set xrange [ − 0 . 1 : 0 . 6 ]9 set yrange [ −1 :6 ]

10 set xlabel ”x”11 set ylabel ”y”12 f ( x )=a+b∗x+c∗x∗∗2+d∗x∗∗313 f i t f ( x ) ” g r a f i c o . pts ” using ( $1 ) : ( $2 ) v ia a , b , c , d14 plot ” g r a f i c o . pts ” using ( $1 ) : ( $2 ) t i t l e ”Pontos O r i g i n a i s ” ,

\15 f ( x ) t i t l e ” Ajuste Gnuplot” , f ( 0 . 3 ) t i t l e ” Valor f ( 0 . 3 ) ”



Apresentando o grafico conforme Figura 4.1.

Figura 4.1: Ajustando modelo a dados com Gnuplot

O gnuplot tambem fornece uma arquivo, chamado ”fit.log”de resultados do ajustamentocom alguma analise estatıstica. Os parametros do modelo sao f(x) = (7.53885E−31)+10 ∗ x+ (3.38236E − 12) ∗ x2 + 1 ∗ x3 segundo aquele arquivo.

Arquivo 4.3: exercicios/Barroso167Exp4.9/fit.log

123 *******************************************************************************

4 Thu Jan 31 10:58:45 2013

567 FIT: data read from "grafico.pts" using ($1):($2)

8 format = x:z

9 y range restricted to [ -0.100000 : 0.600000]

10 #datapoints = 4

11 residuals are weighted equally (unit weight)

1213 function used for fitting: f(x)

14 fitted parameters initialized with current variable values

15161718 Iteration 0

19 WSSR : 18.0937 delta(WSSR)/WSSR : 0



20 delta(WSSR) : 0 limit for stopping : 1e-05

21 lambda : 0.533824

2223 initial set of free parameter values

2425 a = 1

26 b = 1

27 c = 1

28 d = 1

2930 After 15 iterations the fit converged.

31 final sum of squares of residuals : 7.77028e-28

32 rel. change during last iteration : 0

333435 Exactly as many data points as there are parameters.

36 In this degenerate case , all errors are zero by definition.

3738 Final set of parameters

39 =======================

4041 a = 7.53885e-31

42 b = 10

43 c = 3.38236e-12

44 d = 1

2. Fonte: [Barroso, 1987, Pag. 152, Exemplo 4.1] Em Belo Horizonte em 1950 haviam 352724hab, em 1960 haviam 683908 hab, em 1970 haviam 1235030 hab e em 1980 haviam 1814990hab.Pede-se:

(a) Calcular o numero aproximado de habitantes de Belo Horizonte em 1975, com basenum polinomial de 2o grau.

3. Fonte: [Barroso, 1987, Pag. 159, Exercıcio 4.3.3.1] Data a funcao f(x) = 10x4 + 2x+ 1 comos valores de f(0.1) e f(0.2) determinar P1(0.15).Pede-se:

(a) Compare os valores funcao original com a funcao e valores interpolados.

4. [Barroso, 1987, Pag. 159, Exercıcio 4.3.3.3]

5. Fonte: [Barroso, 1987, Pag. 164, Exercıcio 4.4.3.3] Data a funcao f(x) = 10x4 + 2x+ 1 comos valores de f(0.1) e f(0.2) e f(0.3) determinar P2(0.15).Pede-se:

(a) Compare os valores funcao original com a funcao e valores interpolados.













16. [Barroso, 1987, Pag. 201, Exercıcio 4.9.3]













Parte III

Conteudo da 2a Avaliacao

39

Capıtulo 5

Zero de Funcao


5.1 Metodo da Bissecao

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987], Capıtulo 3.4, Pag.106-107, 109-110.

5.2 Metodo de Pegaso


5.3 Metodo de Newton


Pelo que vemos abaixo o valor de x0 = −2.44 ira convergir bem como o valor de x0 = −0.38,mas e um caso particular deste exemplo. O correto e aplicar a condicao de convergencia e usar ovalor aprovado na condicao.

1 octave:9> f=@(x) x**3-5*x**2+x+3

2 f = @(x) x ^ 3 - 5 * x ^ 2 + x + 3

3 octave :10> f1d=@(x) 3*x**2 -10*x+1

4 f1d = @(x) 3 * x ^ 2 - 10 * x + 1

5 octave :11> r=@(x) x-f(x)/f1d(x)

6 r = @(x) x - f (x) / f1d (x)

7 octave :12> r( -2.44)

8 ans = -1.4290

9 octave :13> r(ans)

10 ans = -0.88937


40


12 ans = -0.68167


14 ans = -0.64673


16 ans = -0.64575

17 octave :18> r( -0.38)

18 ans = -0.73220


20 ans = -0.65110


22 ans = -0.64577


24 ans = -0.64575

25 octave :27>

5.4 Comparacao dos metodos


5.5 Exercıcios

Plote as funcoes caso necessario para determinar um intervalo aproximado para as iteracoes.

1. Fonte: [Barroso, 1987, Pag. 129, Exemplo 3.29]. Considere o seguinte modelo f(x) =x3 − 5 ∗ x2 + x+ 3.Pede-se:

(a) Calcule a raiz χ sendo que −2.44 ≤ χ ≤ −0.38Resposta: Resposta: ...

Solucao:O script gnuplot, 5.1 gerou o grafico, 5.1.

Arquivo 5.1: exercicios/Barroso129Exp3.29/letraApergunta/graficoA.txt

1 reset

23 set term pngcairo

4 set output ’graficoA.png ’

56 set grid

78 plot [ -2.44: -.38] x**3-5*x**2+x+3,3*x**2 -10*x+1,6*x-10





4. Fonte: [Barroso, 1987, Pag. 120, Exemplo 3.25] ...Pede-se:

(a) ...Resposta: ...Solucao:Com base nas equacoes a seguir e usando o octave teremos os valores da Tabela 5.1

1 f=@(x) 5-x*exp(x);

2 x=@(a,b,FA,FB) b-((FB*(b-a)))/(FB-FA);

3 fFA=@(FA,FB,FX) (FA*FB)/(FB+FX)





Figura 5.1: Grafico ilustrativo



Tabela 5.1:

N=1 N=2 N=3 N=4A 1 2 2 2B 2 1,1892 1,2708 1,3178X 1,1892 1,2708 1,3178 1,3267FA 2,2817 -9,7781 -6,8344 -5,8664FB -9,7781 1,0941 0,47125 0,07776FX 1,0941 0,47125 0,07776 2,16E-004

FX ∗ FB < 0 simFX ∗ FB > 0 sim sim sim

Erro ? 0,0816 0,047 0,0089


Capıtulo 6

Integracao

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987], Capıtulo 5.1, Pag.205-206. [Freitas, 2000], Capıtulo 8, Pag. 163

6.1 Metodo de Newton-Cottes

6.1.1 Trapezio

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987], Capıtulo 5.2, Pag.206-209. [Freitas, 2000], Capıtulo 8.1, Pag. 164-168.

6.1.2 Simpson I e II

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Freitas, 2000], Capıtulo 8.2, Pag.169-173. [Barroso, 1987], Capıtulo 5.3,5.4; Pag. 214-232.

6.1.3 Extrapolacao Richardson


6.1.4 Integral dupla

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987], Capıtulo 5.6, Pag.243.

6.2 Quadratura Gaussiana


44


6.3 Exercıcios

Nao precisa calcular o erro cometido, nos exercıcios a seguir.

























Capıtulo 7

Equacoes Diferenciais Ordinarias

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987], Capıtulo 6.1 a 6.1.2,Pag. 275-279.

Desenvolver o conteudo selecionado da seguinte bibliografia: [Barroso, 1987], Capıtulo 6.1.3,Pag. 279-283.

7.1 Metodos de Runge-Kutta


7.2 Exercıcios

7.3 Exercıcios

Aplique apenas o metodo de Runge-Kutta de 4a ordem.




46

Parte IV

Administracao da disciplina

47

Capıtulo 8

Dicas de como estudar

Parece ate um tanto ousado um topico como este, mas por incrıvel que pareca existem algumasorientacoes que sao importantes de como se deve proceder para ter sucesso no estudo de umconhecimento qualquer, como no do presente curso.

Voce ao ler estas dicas pode dizer, mas isto nao serve pra mim. No entanto de tudo que voceler neste topico alguma coisa lhe servira de auxılio no seu estudo, e ja valeu a pena todo o esforcodeste texto.

Produtividade, e quando precisamos fazer muito em pouco tempo/espaco. Para isto precisamosaos poucos construir uma base solida para que a cada etapa possamos ir aumentando nossaprodutividade nos estudos. Nem sempre ir direto ao resumo resolve o problema, ele e um guiasobre o que sabemos de um assunto, se nao sabemos nada o resumo tem pouca validade.

8.1 Rotina

E muito importante voce estabelecer uma rotina de estudos para cada materia, lendo sempre oconteudo basico e nao apenas os resumos ou apostilas. E sem medo

Separe tempo para cada coisa: famılia, igreja, saude e estudos. Viu como os estudos vem porultimo, pois se vc parar para estudar e algum dos demais estiverem em falta, seu organismo/-conciencia comecara a cobrar a conta e vc nao tera paz para produzir com qualidade.

Tirar alguns momentos para programar um descanso/lazer e muito importante. Ficar dias edias trabalhando nao tras nenhum retorno a medio ou longo prazo.

8.2 Morto

Estudar cansado nao rende nada, com 30 minutos vc ja esta dormindo. Entao esteja sempredescansado antes das atividades de estudo. Nao adiante dormir a tarde toda e estudar ate as 4da madrugada, o dia seguinte cobra a conta. Apos se alimentar ou fazer uma atividade fısica oorganismo cobra um descanso, permita se relaxar apos o almoco por alguns minutos, uns 20 saoum bom referencial. Aprenda a dormir numa rede, ela e confortavel, leve, higienica e facil detransportar.

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8.3 Faminto

Com fome ficamos muito incomodados ao parar para estudar, entao faca um lanche antes de estu-dar, coisa leve. E ruim tambem comer enquanto estuda. O organismo nao gosta desta atividadesparalelas com a alimentacao. Acabar de almocar e estudar tambem e ruim, pois apos as refeicoesprecisamos dar ao organismo oportunidade de processar a alimentacao e isto consome energia epor isto ficamos mais cansados apos uma boa refeicao, importante dar oportunidade, com umcochilo, para o organismo trabalhar em paz. Evite ouvir musica apos o almoco, feche os olhos edeixe o organismo aproveitar a energia para processar o almoco.

8.4 Anti-social

Nao adianta vc querer estudar ligado no facebook, ou outra rede social. A mente precisa seconcentrar, de dedicacao para entender o conteudo a ser assimilado. Apos estudar algumas horas,vc para um descanso e ai sim se atualize, mas aquele conceito de conectado a todo momento,cobra seu preco na falta de rendimento nos estudos, vc parace que estudou horas, mas na verdadea mente aprendeu pouco coisa. Ai vc se irrita com o conteudo pois fica horas ’estudando’ e naoaprende, mas veja que vc nao estudou, ficou apenas olhando para o conteudo e concentrado naconversa da amiga sobre as mais recentes fofocas do dia. Ser anti-social no momento de estudare prova de equilıbrio e sucesso em algo mais importante, assimilar o conteudo com qualidade.

Ouvir musica e outro fator questionado. Muitos dizem, estudo apenas com musica, nao sei aocerto ate que ponto nossa mente consegue assimilar ambas as atividades com qualidade. Sempreexiste perda de alguma. E a musica e um lazer, entao reserve tempo de qualidade para ela e naodurante seu estudo. Igualmente para a televisao.

8.5 Arsenal

Antes de estudar, veja se vc possui todo material necessario para entendimento daquele conteudo.Nao perca tempo baixando, via internet, toneladas de tutoriais ou pegando dezenas de livros nabiblioteca, escolha alguns e tente entender a teoria partindo deles.

Estudar de apenas uma fonte tambem e ruim, pois nem todos os livros tem o mesmo foco oulinguagem, para isto tenha duas a quatro fontes boas como base de seus estudos.

Construa seus resumos bem organizadamente. Os resumos sao a prova de que sua menteorganizou o entendimento. Apos isto resolva os exercıcios somente baseando nos resumos. Antesda prova estude pela teoria e reforce o conhecimento nos resumos.


Capıtulo 9

Procedimentos de avaliacao

Com o intuito de esclarecer e evitar alguns problemas sobre o procedimento de avaliacao, seguemalgumas regras que DEVEM ser seguidas no presente curso.

9.1 Divisao do conteudo e quantidade de avaliacoes

1. Esta disciplina sera divida em 2 etapas. O conteudo sera ministrado em 8 encontros e aprova em 1, totalizando 9 encontros por etapa e 18 encontros no total. O 19o encontro serapara aplicacao de reposicao de provas e o 20o encontro para prova de recuperacao.

2. A avaliacao do desempenho do aluno dar-se-a por etapa, sendo que em cada etapa teremosum conjunto de trabalhos e uma prova, conforme Equacao 9.1 a 9.4. Todas as atividadesvalem 1 ponto bem como a sua totalizacao. Sendo este valor convertido para a nota nagrandeza que a universidade desejar.

3. Sera utilizado planilha eletronica, para calculo de notas e medias, sem interferencia subjetivanas notas ou casas decimais. No diario a nota 1 corresponde a nota da etapa 1, idem paranota 2. O lancamento da nota sera conforme padrao daquele sistema, uma casa decimal,arredondados conforme planilha. O trabalho tem peso 1 e a prova peso 9, em cada etapa.Na correcao das provas e trabalhos as notas valem de zero a um, com duas casas decimais,conforme as equacoes a seguir:

NotaTrab =

∑ni=1NotaTarefai

n(9.1)

NotaProva =

∑ni=1NotaQuestaoi

n(9.2)

NotaEtapa =NotaTrab ∗ PesoTrab+NotaProva ∗ PesoProva∑

(PesoTrab+ PesoProva)(9.3)

NotaF inal = NotaEtapa ∗ 10 (9.4)

9.2 Preparacao da sala para a avaliacao

4. As avaliacoes serao realizadas em sala de aula comum. Podendo haver modificacao de salapara realizacao da prova, devendo o aluno ficar atendo ao moodle onde sera publicada a

50


nova sala para avaliacao.

5. A carteira onde o aluno devera se colocar dentro da sala de aula sera decidida pelo professor.Durante a prova o aluno podera ser modificado de carteira sem previo aviso.

6. Os alunos devem organizar a sala de forma que a fila de carteiras, na horizontal ou vertical dasala, seja distribuıda de forma equidistante entre as carteiras dentro da sala. Cada fila deveter o mesmo numero de carteiras. As carteiras posicionadas proximas as paredes poderaopermanecer com o respectivo lado encostado na mesma. Os alunos devem ocupar as carteirasmais a frente e centrais deixando as carteiras do fundo e laterais vazias. Sempre que possıveldeve haver uma carteira vazia entre dois alunos.

7. Para inıcio da prova os alunos devem portar apenas roupa pessoal, oculos (caso necessariopara auxilio na visao), borracha, grafite, caneta, regua, calculadora (autorizada na disci-plina). Os demais objetos devem ser deixados dentro da bolsa na frente da sala.

8. Caso o aluno esteja portando blusa, a mesma deve estar sendo usada, senao deve deixar nafrente da sala. A calculadora nao deve permitir leitura de textos longos ou imagens, sendoque o aluno devera consultar o professor sobre se sua calculadora atende a este requisito parao mesmo realizar a prova. A realizacao da prova preve necessariamente o uso de calculadorae portanto o aluno nao deve presumir que tera condicoes de realizar a prova sem portaruma. Qualquer outro objeto eletronico devera ser deixado dentro da bolsa e desligado. Oaluno nao tera acesso a sua bolsa durante a realizacao da prova, caso o alarme ou outrossinais sonoros acontecam durante a prova o aluno nao podera ter acesso a seu objeto paramanuseio. O aluno deve tambem certificar de que nao esta de posse de nenhum outro papel,material ou objeto senao os autorizados. Acarretara o cancelamento da prova de todos osalunos, mesmo que um aluno esteja portanto os objetos especificados neste item, quer sejapor esquecimento ou outro motivo.

9. Como alimento durante a prova somente sera autorizado o uso de agua em recipiente trans-parente. Portanto o aluno devera efetuar um adequado desjejum antes do inıcio da prova.Que tera duracao de 200 minutos.

10. O acesso ao banheiro esta restrito a casos necessarios. Sendo a liberacao feita pelo professore nao pela vontade propria do aluno. Devendo o aluno sempre cientificar o professor de suasaıda e chegada.

11. Todo material necessario para a realizacao da prova, fora os citados acima serao entreguespelo professor e deverao ser devolvidos no final da prova. Nao ficando com o aluno nenhummaterial usada durante estas atividades. As folhas de rascunho serao eliminados no momentodo recolhimento da prova e as folhas de desenvolvimento devidamente identificadas seraoanexadas a prova.

12. O aluno que estiver portanto qualquer material bibliografico referente a disciplina, fora oentregue pelo professor, provocara o cancelamento imediato da prova de todos os alunospara equilibrio de condicoes com os demais colegas.



9.3 Estrutura da prova:

13. O aluno dispoe de 1 encontro, 200 minutos, para resolucao da prova. Para isto o aluno devecontrolar individualmente o tempo de resolucao de cada questao, bem como o tempo total.

14. O aluno recebera uma folha tipo A4, ou mais, onde constam alguns questoes e o que se pedede cada um. Nesta folha nao deve ser feita nenhuma resolucao.

15. Cada questao devera ser resolvida individualmente em folha tipo A4, fornecida para desen-volvimento. No cabecalho de cada folha de resolucao, devera constar:

(a) Nome da disciplina

(b) Nome do aluno

(c) Numero da questao

(d) Numero da letra correspondente resolvida.

O aluno deve usar uma linha dupla para separacao entre cada questao. O aluno deve evitaruso de duas colunas na folha ou quando fizer, usar uma linha vertical para separar o desen-volvimento. Devendo evitar o uso de linhas diagonais. Veja Capıtulo 10 para entendimentodo procedimento de elaboracao de tarefas.

16. A presenca do aluno na prova se da pela assinatura da folha de presenca.

17. A resolucao de uma questao tem duas partes: (1) O aluno devera efetuar o desenvolvimentoa lapis ou caneta. (2) A resposta somente a caneta, deve ser um texto claro onde consta ovalor numerico encontrado e a respectiva unidade quando for o caso.

18. A prova consta basicamente de desenvolvimento de qualquer problema matematico praticoutilizando conhecimento teorico constante na bibliografia e ministrado em sala. E nao ape-nas dos exercıcios entregues pelo aluno ou constantes na lista de exercıcios resolvidos oupropostos ou presentes na bibliografia.

19. As operacoes basicas da calculadora compreendem soma, subtracao, multiplicacao, divisao,operacoes trigonometricas, operacoes de potencia, operacoes logarıtmicas e somatorio delista de numeros. As demais operacoes e desenvolvimentos devem ser apresentados, como detalhamento solicitado, como parte da resolucao da questao. A equacoes ou modelosmatematicos devem apresentar todos valores envolvidos nas suas variaveis e parametros, epodem ser resolvidas diretamente na calculadora. O uso de funcoes avancadas, nao constan-tes da lista anterior, podera ser usada apenas para conferencia das resposta e nao constaracomo resposta do exercıcio.

20. A resolucao da questao, e a obtencao da nota da mesma, se da pela elaboracao completae conjunta de todos os calculos em cada passo, apresentando-os de forma clara, coerente,didatica, explicativa, organizada, legıvel e detalhada. E da resposta coerente com o desenvol-vimento. Nao serao consideradas fracoes de calculo ou desenvolvimento como atendimento anota da questao. A nota compoe-se da coerencia de todos os calculos envolvidos no exercıcioe nao somente da resposta final. E o aluno nao deve presumir que a escrita de algarismossoltos na folha, ou pedacos desconectos de desenvolvimento, irao justificar o desenvolvimentoe a resposta ao exercıcio. A divergencia entre desenvolvimento e resposta anula a questao.



21. Deverao ser utilizada 4 casas decimais. Com numeros diferentes de zero, em notacao ci-entıfica, para todos os calculos. O erro relativo maximo permitido entre o valor do gabaritoe o valor fornecido pelo aluno e de 1%.

22. O professor recebera a prova pessoalmente de cada aluno, somente se todas as informacoessolicitadas na prova estiverem preenchidas. Podendo o aluno sair de sala somente aposliberacao do professor, o abandono da prova em sala caracteriza desistencia da mesma e seraarrolada testemunha para tais fatos.

9.4 Estrutura do trabalho

23. O trabalho corresponde a resolucao de um conjunto de exercıcios, que serao aplicadas emsala ou via moodle, com prazo de entrega ao finalizar a etapa corrente, e avaliadas de formaindividual.

24. O trabalho de cada etapa nao necessariamente e a lista de exercıcios propostos. Podendo serdiferente e nem haver trabalho naquela etapa. O aluno deve ficar atento para a publicacaodo trabalho no moodle e em sala.

25. Os exercıcios propostos para aprendizagem devem ser conferidos com outros dois colegaspara assim havendo duvida solicitar discussao do tema em sala de aula.

26. O valor de cada tarefa vale 1 e o valor total do trabalho vale 1. Somente serao pontuadastarefas entregues completas.

9.5 Outras orientacoes:

27. A presenca do aluno sera registrada ate 30 minutos do inicio da aula e refeita 30 minutosantes do final da aula. A frequencia sera abonada apenas mediante processo no protocolocom deferimento pelo professor, e o aluno deve ficar atento ao numero de faltas para evitarreprovacao. As frequencias estarao disponıveis on line para conferencia de todos.

28. As provas ficarao com o professor, a disposicao do aluno, para revisoes de nota em data aser definida com o professor. Apos este perıodo estas atividades serao arquivadas. Exceto aprova de recuperacao, que ficara na Secretaria Academica do Curso.

29. O professor a todo momento podera revisar as notas lancadas, ate o fechamento do diariono final do semestre.

30. O aluno devera assinar lista de presenca em sala de aula e no atendimento a alunos noperıodo programado, como comprovacao de sua presenca naquela atividade.

31. As regras previstas no capıtulo Elaboracao de Tarefas,Capıtulo 10 serao adotadas comoreferencia para todas as tarefas: sejam elas provas, trabalhos, projetos, questoes, exercıciosetc; desenvolvidas durante o curso. Somente sendo considerados para correcao as tarefasque estiverem de acordo com estas regras.



32. A administracao da disciplina sera feita somente via moodle ou link relacionado neste.

33. A prova de recuperacao, que envolve toda a materia, tem os mesmos procedimentos de umaetapa, sem a atividade de trabalho.

34. A solicitacao para reposicao de provas seguira os tramites da Secretaria Academica do Curso,SAC, e sera analisadas de acordo com cada caso pelo professor. Sendo marcada uma unicadata para realizacao destas atividades.

35. Todas as atividades da disciplina como aulas, trabalhos e provas, estao previamente agen-dados e sao apresentados aos alunos no primeiro dia de aula. E constam do roteiro dadisciplina.

36. A mudanca de qualquer compromisso requer concordancia unanime dos alunos, disponibi-lidade de sala e disponibilidade do professor. O pedido de alteracao de deve ser feito porescrito e em tempo habil para estas mudancas.

37. As provas podem ser alteradas apenas uma vez da data da inicialmente prevista no inıciodo curso.

38. As notas serao divulgadas via moodle, logo apos a realizacao das correcoes que poderaocorrer mesmo depois da realizacao da prova seguinte. Sendo que as provas que estiveremcom dificuldade de interpretacao serao corrigidas por ultimo. O aluno nao deve presumirque deve ter acesso a nota anterior para realizacao de uma prova seguinte na agenda deavaliacoes.

Quaisquer outros procedimentos nao previstos neste texto serao resolvidos pelo professor eatualizados neste roteiro.


Capıtulo 10

Elaboracao das Tarefas

Uma disciplina e composta basicamente da ministracao/apresentacao de conteudo teorico e de-senvolvimento de atividades para fixacao e ampliacao destes conteudos.

O Moodle referencia qualquer atividade da disciplina (exercıcios, trabalhos, provas) comotarefa, o que sera seguido nestas orientacoes.

Para desenvolvimento das tarefas sera utilizado formulario de equacoes, material de escrita ecalculadora.

Uma tarefa sao situacoes a resolver oriundas de diversas fontes; numeradas assim 1,2,... . Eo que se deseja deste exercıcio no item ”Pede-se”numeradas assim (a),(b),... . Que devem serdesenvolvida no relatorio manual individualmente em cada letra conforme orientacoes a seguir.Seguindo sempre de uma resposta que coaduna com o desenvolvimento.

10.1 Tarefa exemplo

Considere que foi proposto uma tarefa ao aluno de nome Fulano Ferreira da Silva. Para CalculoNumerico deve ser feito desenvolvimento manual com resultados e formatacao similares a umdesenvolvimento digital apresentado.

A referencia a tarefa no item ”Exercıcios Propostos”de cada capıtulo e apresentada da seguinteforma:

10.1.1 Exercıcios Propostos

1. Considere os valores da Tabela 10.1 de um experimento onde y=f(x).

Tabela 10.1: Experimentox y

1.3 23.4 5.25.1 3.86.8 6.18 5.8

Pede-se:

55


(a) Esboce um grafico dos dados

(b) Ajuste um modelo polinomial de 1 grau, para os pontos dados.

(c) Calcule a raiz deste modelo.

(d) Integre o modelo num intervalo qualquer.

2. Veja na Bibliografia [Barroso, 1987, Pag. 335, Exemplo 7.5].

Veja que esta tarefa tem 2 exercicios. O primeiro constante na lista de exercıcios propostos.O segundo aponta para determinado livro usado na disciplina.

A estrutura de desenvolvimento deve seguir a orientacao conforme abaixo para que, quando eufor consulta-lo terei um entendimento claro do que voce quis fazer, de quais ferramentas utilizoue das manipulacoes matematicas necessarias ao desenvolvimento do exercıcio. Vendo claramenteo desenvolvimento e a resposta.

Evite usar coluna dupla na folha A4. Mas necessitando faze-lo utilize uma linha vertical paraseparar os conteudos.

Considere o retangulo a seguir como a primeira folha A4 utilizada na resolucao da tarefa.

1 Prova 01 de Calc. Num. - Fulano Ferreira da Silva - folha 1 de 2

2 ############################################################

3 Exercicio 01 - LETRA A

4 ############################################################

5 DESENVOLVIMENTO:

6 Neste item voc e desenvolve toda a resolu c~ao da referida letra do

exerc ıcio

7 RESPOSTA:

8 Ao final voc e DEVE escrever um texto claro , a caneta , como

resposta da letra em desenvolvimento , citando os valores num e

ricos , vari aveis e unidades necess arias para composi c~ao da

resposta.

9 ############################################################

10 Exercicio 01 - LETRA B

11 ############################################################

12 DESENVOLVIMENTO:

13 .....

14 RESPOSTA:

15 ...

Considere o retangulo a seguir como a segunda folha A4 utilizada na resolucao da tarefa.

1 Calc. Num. - Prova 02 - Fulano Ferreira da Silva - folha 2-2

2 ############################################################

3 continua c~ao do Exercicio 1 - Letra B.

4 ############################################################

5 DESENVOLVIMENTO:

6 .....

7 RESPOSTA:

8 ...



910 ############################################################

11 Exercicio 02 - LETRA A

12 ############################################################

13 DESENVOLVIMENTO:

14 .....

15 RESPOSTA:

16 ...

Quaisquer outras orientacoes neste item serao atualizadas e informadas aos alunos.


Capıtulo 11

Formulario

O uso do formulario e de extrema importancia em todas as atividades, inclusive nas provas, entaoestude pelo livro mas resolva os exercıcios usando apenas o formulario.

A estrutura do mesmo e apresentada em anexo.

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CÁLCULO NUMÉRICO1) Erros

e x=∣x−x∣ , E x=ex

∣x∣

2) Sistemas Lineares:

a11 x1a12 x2...a1n x n=b1

a21 x1a22 x2...a2n xn=b2

...an1 x1an2 x2...ann xn=bn

(1) ou ∑j=1

n

a ij x j=bi ou

Ax=b (2) com i=j=1,2,...,n; i=linha; j=coluna

2.1) Métodos diretos:

Etapa k ; pivô: a ip

jp

k ; multiplicador: i≠i p ; mik=−

aij p

k

a i p j p

k;

linha: Lik1

=Lik

Lip

k∗mi

k

Para Gauss: pivô é a i p j p onde i p= j p transformando a Li onde

ii p e Li p fica inalterada.

Para Pivotação Completa: pivô é a i p j p onde máx∣aij≠0∣

transformando a Li onde i≠i p e Li p fica inalterada.

Para Jordam: pivô é a i p j p onde i p= j p transformando a Li

onde i≠i p

2.2) Métodos iterativos: É condição suficiente para que a iteração de ambos os métodos

convirja se ∣a ii∣> ∑j=1, j≠i

n

∣aij∣ para i=1,2,...,n.

Para ambos os métodos, considere o sistema linear (1). Explicitando

x1 na 1ª equação, x2 na 2ª, …., tem-se:Para Jacobi:

x1(k + 1)

=b1−(a12 x2

(k )+ ...+ a1n xn

(k))

a11

x2(k+ 1)

=b2−(a21 x1

(k )+ ...+ a2n x n

(k ))

a22

...

xn(k+ 1)

=bn−(an1 x1

(k)+ an2 x2

(k )+ ...+ an ,n−1 xn−1

( k))

ann

Para Gauss-Seidel:

x1(k+ 1)

=b1−(a12 x2

(k )+ ...+ a1n xn

(k))

a11

x 2(k+ 1)

=b2−(a21 x1

(k+ 1)+ ...+ a2n xn

(k))

a22

...

xn(k+ 1)

=bn−(an1 x1

(k+ 1)+ an2 x2(k+ 1)+ ...+ an , n−1 xn−1

(k+ 1))

ann

Para ambos os métodos, os valores iniciais são xn

(0)

qualquer. E o

critério de parada é até k> Iterações ou

máx1≤i≤n∣x ik + 1

−x ik∣≤Erro

3) Ajuste de curvas y=c0c1 x1c2 x2...c p x p

[n ∑ x1i ∑ x2i ... ∑ xpi

∑ x1i ∑ x1i x1i ∑ x1i x2i ... ∑ x1i x pi

∑ x2i ∑ x2i x1i ∑ x2i x2i ... ∑ x2i x pi

... ... ... ... ...

∑ x pi ∑ x pi x1i ∑ x pi x2i ... ∑ x pi x pi

]∗[c0

c1

c2

...c p

]=[∑ yi

∑ x1i yi

∑ x2i yi

...

∑ x pi y i

]R2

=1−∑ y i− y i

2

∑ yi2−

∑ y i2

n

4) Interpolação

4.1) Interpolação Lagrangeana

Pn x =∑i=0

n

y i∏j=0j≠i

n x− x j

x i−x j 4.2) Formula de Newton para Diferença Dividida

1 y i=

y i1− y i

x i1−x i

n y i=

n−1 y i1−n−1 y i

x in−x i

Pnx = yo∑i=1

n

i y o∏j=0

i−1

x−x j

5) Zeros de funções

5.1) Método da bisseção

f x contínua no intervalo [a ,b] e f (a)∗ f (b)< 0 .

Faz-se x=ab

2. Se f a ∗ f x 0 então intervalo será

[a ,b= x ] . Senão, se f (x )∗ f (b)< 0 intervalo será

[a= x , b ] . Parada ∣b−a∣≤erro ou

iterações≥ln( b−a

erro )ln 2

−1

5.2) Método Pégaso ou Secante

f x é contínua em [a , b] e f (a)∗ f (b)< 0 . Faz-se

x=b−f bb−a

f b− f a . Se f x ∗ f b0 então faz a=b e

f a = f b . Senão, se f x ∗ f b0 então faz a=a e

f a =f a f b

f b f x . Em ambos os casos faz b=x e

f b= f x na próxima iteração.

Formulário de Cálculo Numérico. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 21/11/2013 às 17:56 hs Folha 1 de 2

5.3) Método de Newton

f x é contínua no intervalo [a , b] e f (a)∗ f (b)< 0 . É

condição suficiente para a convergência do método de Newton que:

f ´ x e f ´ ´ x sejam não nulas e preservem o sinal em

a , b e x0 seja tal que f x0∗ f ´ ´ x00 . Então faz

xn1= xn−f xn

f ´ xn

6) Integração

Considere ∫a

b

f x dx e h=b−a

n e x i=a+ hi e

i=0,1 , ... , n

6.1) Regra do Trapézio

I =h2 y02y1...2yn−1 yn

6.2) 1ª regra de Simpson (n=múltiplo de 2)

I =h3 y04y12y24y32y4...2yn−24yn−1 yn

6.3) 2ª regra de Simpson(n=múltiplo de 3)

I=3h8

y03y13y22y33y 43y52y6...3yn−23yn−1 yn

6.4) Richardson

I =I 2n1

p I 2−I 1

n2p−n1

p; p=2 se trapézio e p=4 se simpson.

6.5) Integral dupla

I =∫a

b

dx∫c

d

f (x , y )dy=kx ky∑i=0

i=nx

∑j=0

j=ny

((cxi cy j)∗ f ( x i , y j))

kx=hx2

se trapézio; kx=hx3

se 1 reg. de simpson; kx=3hx

8

se 2 reg. de simpson; idem para ky.

6.6) Gauss

I =∑i=0

n−1

Ai F t i e

F t =12b−a f 1

2b−a t

12ba sendo Ai e t i

coeficientes conforme tabela a seguir:

n i t_i A_i

1 0 0 2

2 1;0 ±0,57735027 1

3 0;12

±0,774596670

5/98/9

4 0;12;3

±0,86113631±0,33998104

0,347854840,65214516

7) EDO

7.1) Runge-Kutta de 4ª Ordem

y j1= y jh6K 12K 22K 3K 4

x j1=x jh

K 1= f x j , y j

K 2= f x jh2

, y jh2

K1

K 3= f x jh2

, y jh2

K2

K 4= f x jh , y jhK3

8) Observações e revisões Propriedades logarítmicas

ln ab=ln a ln b ln ab=ln a – ln b ln ab=b ln a

ln a=log e a ln e=1

Formulário de Cálculo Numérico. Prof. Dr. Catalunha - Versão atualizada em 21/11/2013 às 17:56 hs Folha 2 de 2

Bibliografia

[Barroso, 1987] Barroso, L. C. (1987). Calculo Numerico (com Aplicacoes) 2a Edicao. EditoraHarbra ltda.

[Buffoni, 2000] Buffoni, S. S. d. O. (2000). Metodos Numericos. Apostila de Introducao aosMetodos Numericos, Edicao 2002, UFF.

[Freitas, 2000] Freitas, S. R. (2000). Metodos Numericos. Edicao 12-01-2000, UFMS.

[Rodney, 2006] Rodney, C. B. (2006). Ensino-aprendizagem com modelagem matematica: umanova estrategia. 3a edicao. Editora Contexto. 2006. Sao Paulo. ISBN 85-7244-207-3.

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