Fsica I

Rotaes de Corpos Rgidos

Professor: Rogerio M. de Almeida email: rmenezes@id.uff.br

Sala: C9

1o semestre, 2015

: constante caracterstica do par (i, j)

Movimento de um corpo rgido

Vamos abandonar o modelo de partcula: passamos a levar em conta as dimenses do corpo, introduzindo o conceito de corpo rgido (CR): aquele em que a distncia entre quaisquer dois de seus pontos constante. Sendo i e j dois pontos quaisquer de um CR:

O tipo mais geral de movimento de um CR uma combinao de uma translao com uma rotao. Neste captulo consideraremos apenas o caso de rotao de um CR em torno de um eixo fixo, como o caso do movimento de roldanas, rotores, CDs, etc.

Excluiremos, por exemplo, movimentos como o do Sol (no rgido) ou o de uma bola de boliche, cuja rotao se d em torno de um eixo que no fixo (rolamento).

Rotao de um corpo rgido

Queremos estudar a rotao de um corpo rgido em torno de um eixo fixo. O eixo fixo denominado eixo de rotao.

Por convenincia, vamos tomar o eixo de rotao (fixo) como sendo o eixo z.

O eixo de rotao no precisa ser um dos eixos de simetria do corpo.

conveniente escolher uma linha de referncia (arbitrria) presa ao corpo, perpendicular ao eixo z, para definir as variveis angulares em relao a ela.

Variveis rotacionais

A posio da linha de referncia (fixa ao corpo) define o ngulo de rotao do corpo rgido em torno do eixo. a posio angular do corpo rgido.

O sentido da rotao dado pela regra da mo direita.

a) Posio angular

negativo positivo

Variveis rotacionais

Cada ponto do corpo rgido executa um movimento circular de raio r em torno do eixo.

distncia percorrida pelo ponto:

y

x

zr

b) Deslocamento angular

x

y

r

z O deslocamento angular definido como:

Esta varivel tem mdulo ( ) , direo e sentido ( ) a ela associados.

Vetor ?

Variveis rotacionais

No podemos associar um vetor a uma rotao, pois vetores devem obedecer s regras da soma vetorial, o que no acontece com as rotaes. Por exemplo, a soma vetorial comutativa ( ), mas duas rotaes sucessivas feitas em ordens diferentes do resultados diferentes!

O exemplo ao lado mostra duas rotaes sucessivas de em torno dos eixos x e y nas duas ordens possveis: o resultado final depende da ordem!

Ento:

no um vetor! (a menos que os ngulos de rotao sejam infinitesimais).

Deslocamento angular:

Velocidade angular (escalar) mdia

Velocidade angular instantnea (vetor)

Deslocamento angular em torno de :

c) Velocidade angular

Variveis rotacionais

x

y

A velocidade angular uma caracterstica do corpo como um todo e no somente de um ponto particular nele situado.

r

na direo fixa ( ):

Variveis rotacionais

A acelerao angular instantnea um vetor paralelo a quando o eixo de rotao fixo!

Variao da velocidade angular

Acelerao angular mdia

Acelerao angular instantnea

Velocidade angular em funo de

c) Acelerao angular

Variveis rotacionais Quando o eixo de rotao fixo, os vetores de acelerao angular e de velocidade angular esto ao longo do eixo.

Cinemtica angular

Movimento circular uniformemente acelerado cte! Dadas as condies iniciais:

Temos, para constante:

Comparando com as variveis do movimento linear:

Em captulo anterior j estudamos o movimento circular uniforme. Vamos estudar agora o

Exerccio Pio sujeito acelerao angular

Condies iniciais:

Calcular e .

Relao com as variveis lineares

Posio

Velocidade

tangente trajetria no ponto considerado

x

z

y

Em mdulo:

r

(pois neste caso)

Relao com as variveis lineares

Acelerao

o vetor unitrio tangente trajetria; o vetor unitrio na direo que vai do eixo de rotao at a partcula (versor da direo radial)

(em mdulo: )

(em mdulo: )

No corpo em rotao, todos os pontos, exceto os radiais, tm mesma velocidade angular . Ento:

Energia Cintica de rotao A energia cintica de um corpo em rotao a soma:

A grandeza entre parnteses definida como o momento de inrcia I do corpo em relao ao eixo de rotao. Isto :

ou: (energia cintica de rotao)

Clculo do momento de inrcia

No caso de partculas puntiformes:

No caso de uma distribuio contnua de massa:

uma massa infinitesimal, onde que pode ser a de um fio, a de uma superfcie ou a de um volume:

: densidade linear de massa : densidade superficial de massa : densidade volumtrica de massa

Clculos de momento de inrcia Exemplos:

b) Disco de raio R e massa M (idem)

a) Anel de raio R e massa M uniformemente distribuda

dm

M

Notar que o resultado o mesmo para um cilindro macio!!!

Clculos de momento de inrcia

Exerccio A figura mostra uma barra delgada uniforme de massa M e comprimento L. Ela poderia ser, por exemplo, a batuta de um maestro. Determine o seu momento de inrcia em relao a um eixo passando pelo ponto O, a uma distncia arbitrria h de uma de suas extremidades.

Exerccio Determine o momento de inrcia de uma esfera macia e uniforme (como uma bola de bilhar ou a bolha de ao de um mancal) em relao a um eixo que passa pelo seu centro.

Alguns momentos de inrcia

O teorema dos eixos paralelos

Exerccio Um cabo leve, flexvel e no deformvel enrolado diversas vezes em torno da periferia de um tambor, um cilindro macio com dimetro de 0,120 m e massa igual a 50 kg, que pode girar em torno de um eixo estacionrio horizontal mantido por mancais sem atrito. A extremidade livre do cabo puxada com uma fora constante de mdulo igual a 9,0 N, deslocando-se por uma distncia de 2,0 m. Ele se desenrola sem deslizar e faz o cilindro girar. Se o cilindro inicialmente est em repouso, calcule sua velocidade angular e a velocidade escalar final do cabo.

Exerccio Enrolamos um cabo leve e flexvel em torno de um cilindro macio com massa M e raio R. O cilindro gira com atrito desprezvel em torno de um eixo horizontal estacionrio. Amarramos a extremidade livre do cabo a um objeto de massa m e libertamos o objeto sem velocidade inicial a uma distncia h acima do solo. medida que o objeto cai, o cabo se desenrola sem deslizar nem se esticar, fazendo o cilindro girar. Calcule a velocidade do objeto que cai e a velocidade angular do cilindro no instante em que o objeto atinge o solo.

Exerccio

Exerccio

Exerccio

Movimento linear

velocidade linear

acelerao linear

a = constante

energia cintica

Movimento de rotao (eixo fixo)

velocidade angular

acelerao angular

Equaes dos movimentos linear e rotacional

massa m Momento de inrcia I

energia cintica